Termin 2: Was ist ein Beweis?

Rhetorik und Argumentationstheorie
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Teil 2
Was ist ein Beweis?
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Wichtige Grundlagen
„Tautologie“ nennt man eine zusammengesetzte Aussage, die wahr ist, unabhängig
vom Wahrheitswert ihrer Bestandteile.
z.B. „Morgen ist Freitag oder
morgen ist nicht Freitag“
„Widerspruch“ nennt man ein Paar von
Aussagen, die nicht beide zugleich wahr sein
können.
z.B. „Morgen ist Freitag“ und
„Morgen ist nicht Freitag“
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Wichtige Grundlagen
Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch
Der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch
behauptet die Unmöglichkeit, dass eine
Aussage und ihre Negation zugleich wahr
sind.
Eine Menge von Aussagen ist „inkonsistent“
genau dann, wenn es nicht möglich ist, dass
alle Aussagen der Menge zugleich wahr sind.
Das ist insbesondere der Fall, wenn die
Menge einen Widerspruch enthält.
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Wichtige Grundlagen
Satz vom ausgeschlossenen Dritten
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten
behauptet, dass jede Aussage entweder wahr
oder falsch ist.
Logiken in denen dieser Satz gilt, nennt man
„zweiwertig“ oder „bivalent“.
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Was ist ein Beweis?
Bestandteile eines Beweises
Einen Beweis nennt man die deduktive
Herleitung der Wahrheit einer Aussage aus
einer Menge von Axiomen und bereits
bewiesenen Aussagen.
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Was ist ein Beweis?
Bestandteile eines Beweises
Ein Beweis ist also ein korrektes Argument mit
der Besonderheit, dass die Wahrheit der
Annahmen entweder aufgrund ihres Status als
Axiome (und Definitionen) oder durch früher
gegebene Beweise gesichert ist.
Einen bewiesenen Satz nennt man „Theorem“.
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Was ist ein Beweis?
Direkter Beweis
Der zu beweisende Satz lässt sich ohne
zusätzliche Annahmen aus den Axiomen des
Systems herleiten.
Indirekter Beweis
Es wird angenommen, dass das Gegenteil des
zu beweisenden Satzes wahr ist und aus
dieser Annahme wird ein Widerspruch
hergeleitet.
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Was ist ein Beweis?
Formale Beweise
Ein formaler Beweis ist eine Folge von Sätzen
einer formalen Sprache für die gilt, dass jeder
Satz entweder (1) ein Axiom ist, oder (2) aus
früheren Sätzen des Beweises mittels vorab
festgelegter Schlussregeln folgt.
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Was ist ein Beweis?
Formale Argumente
Ein formales Argument ist eine Folge von
Sätzen einer formalen Sprache für die gilt,
dass jeder Satz entweder (1) ein Axiom ist,
oder (2) aus früheren Sätzen des Beweises
mittels vorab festgelegter Schlussregeln folgt,
oder (3) eine Annahme des Arguments
darstellt.
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Was ist ein Beweis?
Formale Sprache
Eine formale Sprache besteht aus einem
vorab definierten Vokabular und Regeln zur
Konstruktion von Sätzen, den sogenannten
„Wohlformungsregeln“.
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Was ist ein Beweis?
Formale Sprache
Das Vokabular formaler Sprachen ist im
Allgemeinen endlich, muss dies aber nicht
sein.
Beispiel
Die (endliche) Sprache AL besteht aus den
Zeichen: P, *, ⌐, V, Λ, →, ), (
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Was ist ein Beweis?
Formale Sprache
Die Wohlformungsregeln geben an, wie aus
den Zeichen der Sprache Sätze gebildet
werden können. Die Sätze werden auch
Formeln genannt.
Beispiel
Definition einer „atomaren Formel“
1. P ist eine atomare Formel von AL
2. Wenn α eine atomare Formel von AL ist, dann
auch α*.
3. Nichts sonst ist eine atomare Formel von AL.
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Was ist ein Beweis?
Formale Sprache
Beispiel
(Fortsetzung)
Definition einer „wohlgeformten Formel von AL”
1. Jede atomare Formel ist eine wohlgeformte
Formel von AL.
2. Ist α eine wohlgeformte Formel von AL, dann
auch ⌐α.
3. Sind α und β wohlgeformte Formeln von AL,
dann auch (α V β), (α Λ β) und (α → β) .
4. Nichts sonst ist eine wohlgeformte Formel v. AL.
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Beweissysteme
Begrifflichkeiten
Wenn von formalen Beweisen die Rede ist,
dann ist „Beweis“ stets zu lesen als „Beweis in
Beweissystem X“.
Ein „Beweissystem“ besteht aus einer Menge
von Axiomen und einer nicht-leere Menge von
Schlussregeln.
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Beweissysteme
Begrifflichkeiten
„Axiome“ nennt man besondere Annahmen,
die innerhalb eines Beweissystems keiner
gesonderten Rechtfertigung bedürfen und
darin als unbezweifelbare Wahrheiten gelten.
„Schlussregeln“ nennt man Regeln, die
festlegen, unter welchen Umständen ein neuer
Satz, der kein Axiom ist, in einem Beweis
eingefügt werden darf.
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Beweissysteme
Wahl der Axiome und Regeln
Verschiedene Beweissysteme unterscheiden
sich in der Anzahl und Auswahl der Axiome,
und der Schlussregeln.
Systeme die Axiome enthalten, werden
„axiomatische Kalküle“ genannt.
Systeme ohne Axiome, wie etwa der „Kalkül
des natürlichen Schließens“, verfügen im
Regelfall über mehr Schlussregeln als
axiomatische Kalküle.
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Beweissysteme
Axiomatischer Kalkül nach Frege-Lukasiewicz
Axiom 1 (α → (β → α))
Axiom 2 ((α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)))
Axiom 3 ((⌐α → ⌐β) → (β → α))
Modus ponens
α und α → β dann β
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Beweissysteme
Beispiel eines formalen Beweises
…im vorgestellten axiomatischen Kalkül
P →((Q →P) →P)
Axiom 1
(P →((Q →P) →P)) →((P →(Q →P)) →(P →P))
Axiom 2
(P →(Q →P)) →(P →P)
Modus ponens
P →(Q →P)
Axiom 1
(P →P)
Modus ponens
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Bedeutung für die Philosophie
Beweise und Argumente
Formale mathematische Beweise stellen ein
praktisch unerreichbares Ideal dar. Auch in der
Mathematik erfolgen die meisten Beweise
informell.
Aber formale Beweise veranschaulichen
strenge Argumentation. Vor allem kritische
Schritte sollten nach diesem Vorbild in
einfachere Teilschritte zergliedert werden.
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Bedeutung für die Philosophie
Formale Logik allgemein
Die Präzision interpretierter formaler Sprachen
erlaubt Probleme und Thesen klarer zu
formulieren und feine Unterschiede
herauszuarbeiten.
Resultate der formalen Logik
Logische Theoreme wurden und werden auch
direkt zur Lösung philosophischer Probleme
herangezogen, etwa zur Definition von
„Wahrheit“.
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