Institut für Physik

Fachhochschule Flensburg
Fachbereich Technik
Institut für Physik
Name :
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Versuch-Nr:
O4
Das Michelson-Interferometer
Gliederung:
Seite
Einleitung
1
Das Michelson-Interferometer
1
Längenmessung mit dem Michelson-Interferometer
5
Versuchsdurchführung und Auswertung
7
Literatur
10
Anhang 1: Das Konzept der optischen Weglänge
11
Anhang 2: Wellen und Interferenz
11
Semester:
.....................................
Unterschrift des/der Studenten
Als Übungsergebnis anerkannt:
Flensburg, den .......................
.....................................
Unterschrift des Dozenten
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Versuch :
O4
Blatt: 1
1. Einleitung
Interferometer sind optische Geräte, die als Messmethode die Interferenz des Lichtes ausnutzen. Entsprechend der Messgrößen gibt es Interferometer zur Längenmessung, Brechzahlbestimmung, Winkelmessung, Wellenlängenbestimmung und
Spektroskopie. Ihr Einsatz erstreckt sich von einfachen Anwendungen wie in diesem Laborversuch über industrielle Einsätze bis hin zu komplexen Geräten in der
Forschung wie beispielsweise zum Nachweis von Gravitationswellen (s. etwa
http://www.geo600.uni-hannover.de)
Im vorliegenden Versuch wird mit Hilfe eines Michelson-Interferometers der thermische Ausdehnungskoeffizient eines metallischen Probestabes bestimmt. Dabei wird
das Interferometer als hochempfindliches optisches Messinstrument eingesetzt, um
berührungslos Längenänderungen zu messen. Das Interferometer dient also als
Messtaster mit einer Genauigkeit von Bruchteilen von Wellenlängen des verwendeten Lichtes.
2. Das Michelson-Interferometer
2.1 Aufbau
Das Michelson-Interferometer ist ein ZweistrahlinterferoS1
meter und besteht in seiner einfachsten Form aus einer
n1
Lichtquelle LQ, einem Strahlteiler ST (z. B. einer
S2 ´
d1
Glasplatte) und zwei Spiegeln S1 und S2 (Abb. 1).
K
Als Lichtquelle eignet sich aufgrund seiner Kohärenz und
d2
spektralen Leistungsdichte besonders ein Laser. Andere
S2
Lichtquellen wie z. B. Glühlampen mit Filtern können aber
LQ ST
n2
ebenfalls – allerdings mit höheren Justieranforderungen –
eingesetzt werden.
Das Licht der Lichtquelle wird durch den beispielsweise
B
an der Vorderseite 50 % teilverspiegelten Strahlteiler ST
Abb. 1
Michelson-Interferometer
in zwei zueinander senkrechte Wege aufgeteilt; in diesem
Sinne zählt erst der Strahlteiler als diejenige Lichtquelle, von der zwei kohärente
interferenzfähige Wellen ausgehen (s. Anhang 2). Da die Intensität des einfallenden
Lichtes im Verhältnis der Verspiegelung auf die beiden Wege verteilt wird, spricht
man auch von Amplitudenteilung. Einer der Zweige (z. B. ST ↔ S1) wird als
Referenzzweig, der andere (z. B. ST ↔ S2) als Messzweig bezeichnet. Im
Messzweig erfolgt die Änderung der optischen Weglänge (s. Anhang 1), die mit
dem Interferometer gemessen werden soll.
Die beiden Zweige des Interferometers haben die jeweiligen geometrischen Längen
ST S1 = d1 bzw. ST S2 = d2 ; die Brechzahlen des in den beiden Zweigen jeweils
durchlaufenen Mediums seien n1 bzw. n2. Die optischen Weglängen sind somit lopt
1 = n1 d1 bzw. lopt 2 = n2 d2. Befindet sich das Interferometer in einem einheitlichen
Medium, beispielsweise Luft, so ist n1 = n2.
Die vom Strahlteiler ausgehenden Teilwellen werden an den Spiegeln S1 und S2
reflektiert und am Strahlteiler ST wieder vereinigt. Hinter dem Strahlteiler überlagern
sich die von den Spiegeln reflektierten Teilwellen, und ihre Interferenz wird in B auf
einem Schirm sichtbar gemacht.
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Blatt: 2
Da – in unserem Beispiel (Abb. 1) – das Licht von ST nach S2 den Strahlteiler dreimal, das Licht von ST nach S1 den Strahlteiler jedoch nur einmal durchläuft, ergeben sich selbst bei gleichen geometrischen Längen aufgrund des Weges durch den
brechzahlbehafteten Strahlteiler unterschiedliche optische Weglängen. Zum
Ausgleich wird bei einem derartigen Aufbau eine Kompensationsplatte K, die in
Dicke, Brechzahl und Neigung dem Strahlteiler entspricht, in den Pfad ST ↔ S1
eingefügt.
2.2 Entstehung von Interferenzstreifen
2.2.1 Die Michelson-Interferometer-Gleichung
Ein Beobachter in B sieht den (realen) Spiegel S1 und zusätzlich das virtuelle Bild S2´ des Spiegels S2. Je nach der
Position der Spiegel erscheint dem Beobachter das Bild S2´
vor, hinter oder genau auf dem Spiegel S1. Im letzteren Fall
ist in der Anordnung d1 = d2. Ist d1 ≠ d2, so besteht ein endlicher Abstand
Γ
P´´
ε
2d
P´
d
S1
ε
S2 ´
d = d2 - d1
P
zwischen S1 und S2´ (s. Abb. 2).
x
Abb. 2
B
Schräger Einblick in
das MichelsonInterferometer
Geht Licht von einem Punkt P der Lichtquelle aus und wird
dies an S1 und S2´ reflektiert, so sieht ein Beobachter B zwei
virtuelle Bilder P´ und P´´. Diese erscheinen bei Beobachtung entlang der Achse
des Interferometers im Abstand 2 d, so dass der Gangunterschied (s. Anhang 1)
Γ=2d
beträgt. Bei schrägem Einblick in das Interferometer - dies wird in der Praxis häufig
der Fall sein - verringert sich der scheinbare Abstand von P´ und P´´ mit zunehmendem Winkel ε zur Achse entsprechend
Γ = 2 d cos ε
0 ≤ ε ≤ 90°
(2.1)
Der Gangunterschied Γ enthält m Wellenlängen λ. Damit folgt die Michelson-Interferometer-Gleichung
2 d cos ε = m λ
(2.2)
Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen Beobachtungsort, Wellenlänge und
Spiegelabstand. m = 0, 1, 2, … ist die Ordnungszahl. Sie kann sehr hohe Werte erreichen.
2.2.2 Diskussion der Michelson-Interferometer-Gleichung
Je nach Größe des Gangunterschiedes - letztlich also des Spiegelabstandes d werden die beiden Teilstrahlen konstruktiv oder destruktiv interferieren, und der
Beobachter registriert an seinem Ort B(ε) Helligkeit oder Dunkelheit. Bei konstantem Spiegelabstand d und konstanter Wellenlänge λ ändert sich die Intensität mit
dem Beobachtungsort; auf einem Schirm sind helle und dunkle Zonen zu erkennen:
Interferenzstreifen (engl.: fringes). Ein Beobachter, der seinen Ort quer zur Interferometerachse (z. B. entlang der x-Achse) wechselt (d. h. ε variiert), registriert ab-
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wechselnd Helligkeit und Dunkelheit. Hält man demgegenüber den Winkel ε konstant, so ist das Problem rotationssymmetrisch: die hellen und dunklen Zonen erscheinen als konzentrische Kreise mit der Interferometerachse als Symmetrieachse
(Streifen gleicher Neigung). Bei festem Beobachtungsort (z. B. ε = 0) und Variation
des Spiegelabstandes d wird der Beobachter m Hell-Dunkel-Wechsel registrieren.
Mit ε = 0 folgt
λ =
2d
m
aus (2.2). Auf diese Weise kann eine unbekannte Wellenlänge bestimmt werden,
wenn d und m bekannt sind.
Hält man andererseits Beobachtungsort B(ε) und Wellenlänge λ konstant, so führt
eine Änderung des Spiegelabstandes d zu einer Intensitätsvariation. Diese Variante
der Gleichung wird im vorliegenden Versuch ausgenutzt.
Ist d = 0 und n1 = n2, so sind die von den beiden von ST ausgegangenen Teilwellen
zurückgelegten optischen Wege gleich lang, und man erwartet bei Beobachtung auf
der Interferometerachse (ε = 0) eine Verstärkung durch
konstruktive Interferenz – also maximale Intensität am
Beobachtungsort. Dies ist tatsächlich nicht der Fall, da
die Reflexion LQ → ST→ S1 an der Strahlteilerplatte ST
Phasensprung 0
Phasensprung π
einen Phasensprung von π bewirkt. Ein solcher
Phasensprung bei Reflexion
Phasensprung tritt stets auf bei der Reflexion an einer Abb. 3 an
einer Grenzfläche
Grenzfläche von einem Medium mit niedriger zu einem
Medium mit hoher Brechzahl (beispielsweise Luft → Glas, vgl. Abb. 3). Damit
besteht zwischen den Teilwellen insgesamt eine Phasendifferenz von δ = π, und am
Beobachtungsort B(ε = 0) ist minimale Intensität erkennbar (destruktive Interferenz);
bei gleichen Amplituden der Teilwellen also Dunkelheit (Auslöschung; s. Abb. 4).
Wird nun einer der Spiegel um ¼ λ verschoben, so ändert sich der Gangunterschied um ½ λ (warum?). Die Phasenverschiebung zwischen den Teilwellen ändert
sich damit um π, die Teilwellen interferieren nun konstruktiv (∑δ = 2 π), und der Beobachter registriert maximale Intensität. Eine weitere Verschiebung des Spiegels
um ¼ λ erzeugt wieder ein Intensitätsminimum (∑δ = 3/2 π) am Beobachtungsort
B(ε = 0) und so weiter.
Wird der Spiegelabstand d vergrößert, so vergrößert sich damit auch der Durchmesser eines bestimmten Interferenzringes (hell oder dunkel; Ordnung m), da das
Produkt 2 d cos ε in (2.2) notwendigerweise konstant ist. Der Term cos ε wird kleiner, so dass ε größer wird. Wann immer der Spiegel um weitere ½ λ verschoben
wird, erscheint ein neuer Ring der Ordnung m + 1 aus dem Zentrum, und die vorigen Ringe werden größer. Und mit zunehmendem Spiegelabstand d quellen die
Abb. 4
Auftreten von Interferenzringen mit zunehmendem Spiegelabstand d
neuen Ringe schneller aus dem Zentrum hervor, als dass die alten verschwinden,
so dass der Schirm schließlich mit immer dünneren Ringen gefüllt wird (Abb. 4).
Dabei kann die Ordnungszahl m sehr hohe Werte erreichen. Wird umgekehrt d ver-
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ringert, so verschwinden die Ringe im Zentrum, bis der Schirm für d = 0 wieder
dunkel ist. Diese Effekte zu beobachten, ist immer wieder interessant.
Wenn die Lichtquelle Licht mit verschiedenen Wellenlängen
S1
ausstrahlt, so gilt die Michelson-Interferometer-Gleichung
K
für jede in dem Licht enthaltene Wellenlänge. Für zwei
ST
Wellenlängen (s. Abb. 5) ist beispielsweise bei festem
S2
LQ
Spiegelabstand d und fester Ordnung m
2 d cos ε1 = m λ1
2 d cos ε2 = m λ2
λ1 < λ2
λ1
Schirm
Daraus folgt, dass für eine kleinere Wellenlänge der Interfeλ2
renzstreifen m-ter Ordnung weiter vom Zentrum entfernt ist Abb. 5 Michelsonmit zwei verschieals für eine größere Wellenlänge. Bei Betrieb mit Weißlicht Interferometer
denen Wellenlängen
erscheinen daher die Maxima farbverschmiert. Nur das Maximum nullter Ordnung ist achromatisch und damit von den anderen zu unterscheiden. Eine interessante Anwendung dieses Effektes ist die Bestimmung einer unbekannten Wellenlänge λ2 mit Hilfe einer bekannten Wellenlänge λ1 und einem Michelson-Interferometer (solche Geräte werden als wave meter bezeichnet).
2.3 Strahlteilerplatte und Strahlteilerwürfel
Aus der bisherigen Diskussion folgt, dass der Einsatz einer
π
Strahlteilerplatte mit Nachteilen verbunden ist: einerseits ist
eine Kompensationsplatte erforderlich, was zumindest mit Juπ
π
stieraufwand verbunden ist, andererseits erfolgt bei der Reflexion ein Phasensprung von π (Abb. 6 a).
In praxisnahen Aufbauten wird daher vielfach ein Strahlteilerwürfel verwendet, der aus zwei verkitteten 90°-Prismen be- Abb. 6 a Strahlteilerplatte
steht (Abb. 6 b). Die Laufwege der Teilstrahlen durch den
π
Würfel sind gleich, so dass die optische Weglänge nicht beeinträchtigt wird und eine Kompensationsplatte nicht erforderlich
π
ist. Und da die Reflexion im Medium erfolgt, entfällt der Phasensprung von δ = π. Für d = 0 erwartet man dann Helligkeit.
Im vorliegenden Versuchsaufbau ist ein solcher Strahlteilerwürfel eingesetzt.
Abb. 6 b Strahlteilerwürfel
Das Michelson-Interferometer kann als hochempfindliches optisches Messinstrument eingesetzt werden, um berührungslos beispielsweise
Längenänderungen oder Brechzahlen zu messen. Bei diesem Verfahren wird der
Referenzzweig konstant gehalten und im Messzweig die gewünschte Änderung
eingeführt. Die Auswertung des Interferenzstreifensystems führt auf Ergebnisse,
deren Genauigkeit Bruchteile von Wellenlängen des verwendeten Lichtes beträgt.
2.4 Kontrast
Bei einem gut justierten Michelson-Interferometer ist das Ringsystem gut zu erkennen (s. z. B. Abb. 4). Ist das Interferometer nicht optimal justiert, so erscheinen die
Streifen verwaschen und wenig kontrastreich.
Dieser visuelle Eindruck lässt sich durchaus quantifizieren. Der Streifenkontrast
wird beschrieben durch die Kontrastfunktion
M =
Imax - Imin
Imax + Imin
(2.3)
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mit
der
am
Detektor
auftretenden Maximalintensität
Imax und der Minimalintensität
Imin.
Optimaler Kontrast ergibt sich
für Imin = 0, wohingegen der
Kontrast bei Imin = Imax
verschwindet - zwischen hellen
und dunklen Bereichen ist kein
Intensitätsunterschied
mehr
feststellbar. Der Kontrast lässt
sich leicht aus der Messkurve
bestimmen (Abb. 7).
Versuch :
Abb. 7
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Blatt: 5
Bestimmung des Kontrastes aus der Messkurve
3. Längenmessung mit dem Michelson-Interferometer
3.1 Versuchsaufbau
S1
Δx
Bei kontinuierlicher Änderung der Längendiffen = const.
Δϑ
renz d etwa durch langsames Verschieben eiLASER
ST
nes Spiegels um Δx ändert sich der GangunS2 ´ S2
terschied Γ kontinuierlich. Die Intensität am
I
Beobachtungsort variiert dementsprechend,
PD
und der Beobachter sieht die Interferenzstreifen
t
auf dem Schirm „wandern“. Im Experiment wird Abb. 8 Messung von Längenänderungen
mit dem Michelson-Interferometer
man die Intensitätsvariation am Beobachtungsort B(ε = 0) beispielsweise mit einem x-t-Schreiber registrieren. Das Schema
eines solchen Versuchsaufbaus ist in Abb. 8 dargestellt.
Die Variation des Gangunterschiedes Γ kann geschrieben werden als
ΔΓ = p λ / 2 = 2 n Δx
p = 0, 1, 2, …; n = const.
(3.1)
mit der Zahl p als Laufzahl. Dabei liegt p = 0 im Zentrum des Ringsystems. Durch
Bestimmung von p – letztlich also durch Abzählen der am Beobachtungsort
„vorbeigewanderten“ Interferenzstreifen bzw. Hell-Dunkel-Wechsel – ist die Messung der Längenänderung Δx in Einheiten der Wellenlänge λ des verwendeten
Lichtes möglich. Der Vorteil dieser Methode liegt in der berührungslosen und auf
Bruchteile von Wellenlängen genauen Messung.
3.2 Thermische Längenausdehnung
Im vorliegenden Versuch wird die thermische Längenausdehnung eines Metallstabes mit dem Michelson-Interferometer dargestellt. Aus der Anzahl der in einem bestimmten Temperaturintervall ΔT durchlaufenden Interferenzstreifen wird der Längenausdehnungskoeffizienten α bestimmt.
Die Länge eines dünnen Stabes ist temperaturabhängig gemäß
l(T2) = l(T1) [1 + α (T2 - T1)]
mit dem Längenausdehnungskoeffizienten α, einer Materialkonstanten.
(3.2)
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Blatt: 6
Die Längenänderung Δl eines Stabes, dessen Temperatur um ΔT = T2 - T1 geändert
wird, beträgt demnach
Δl = α l0 ΔT
(3.3)
mit der Länge l0 zu Beginn der Temperaturänderung. Sind drei der in dieser Beziehung enthaltenen Größen bekannt, so lässt sich daraus die vierte berechnen.
Für die Bestimmung des Längenausdehnungskoeffizienten α sind die Ausgangslänge l0, die Temperaturänderung ΔT und die Längenänderung Δl erforderlich.
Diese wird berührungslos mit dem Michelson-Interferometer gemessen.
Aus (2.1) folgt mit ε = 0
Δl = α l0 ΔT = p
λ
2
(3.4)
Bei bekannter Länge l0, gemessener Temperaturänderung ΔT und gemessener
Längenänderung Δl kann somit der Längenausdehnungskoeffizient α bestimmt
werden. Dann ist
α = p
λ
2 l 0 ΔT
=
λ
p
;
ΔT 2 l 0
λ
= const.
2 l0
(3.5)
Der Faktor ½ rührt daher, dass bei zwei aufeinander folgenden Streifen (Δp = 2)
eine Längenänderung um ½ λ erfolgte, die zu einem Gangunterschied von Γ = λ
führte. Dies ist bei der Streifenauszählung zu berücksichtigen.
Der erste Streifen (der Abzähl-Start) ist stets bei p = 0 !
Als Beispiel sei ein Ausschnitt aus einer Messung betrachtet (Abb. 9), die mit einem HeNe-Laser
(λ = 632,8 nm) an einem l0 = 60 mm langen Metallstab ausgeführt wurde. Aufgetragen ist die Intensitätsvariation an einem auf der Interferometerachse (ε = 0) angeordneten Detektor über der Temperatur. Über ein Temperaturintervall von 3K erfolgten p = 7 Hell-Dunkel-Wechsel. Damit ergibt sich
632,8 ⋅ 10-9 1
1
α =7⋅
= 12,30 ⋅ 10- 6
2 ⋅ 0,06 ⋅ 3 K
K
p=7
ΔT = 3 K
Abb. 9
Ausschnitt aus einer Messung
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4. Versuchsdurchführung und Auswertung
Der Umgang mit Lasern erfordert besondere Sorgfalt und Vorsicht.
Laserstrahlung kann die Augen schädigen.
Sehen Sie nie direkt in den Laserstrahl !
Halten Sie optische Komponenten beim Einbau in den Strahlengang immer so, dass Reflexionen nach unten laufen und niemand gefährdet wird.
Bitte berühren Sie die Flächen optischer Komponenten nicht mit den Fingern.
4.1 Justage des Michelson-Interferometers
Abb. 10 zeigt den schematischen Versuchsaufbau. Da das Interferometer auch in
der Mach-Zehnder-Konfiguration betrieben werden kann, befinden sich auf der
Grundplatte einige Komponenten (US1, US2, ST2), die zum Betrieb des MichelsonInterferometers nicht unbedingt erforderlich sind. Dies sollte Sie nicht irritieren.
mikrooptische
Bank
n = const.
S1
l0
ST1
US2
LASER
L1
S2
SH
Z
Det
US1
B ST2
L2
Abb. 10 Versuchsaufbau Michelson-Interferometer, schematisch
1. Schalten Sie den Laser mit dem Schlüsselschalter EIN. Klappen Sie den Detektor und die Linse L2 aus dem Strahlengang heraus.
2. Klappen Sie den Halter SH mit dem beheizbaren Metallrohr und dem Spiegel S2
in den Strahlengang (Messzweig). Achten Sie darauf, dass die Abstände
ST1 S2 und ST1 S1 möglichst gleich sind. Fixieren Sie SH. Decken Sie den
Spiegel S1 mit einem Stück Papier ab, sodass der Referenzzweig blockiert ist.
3. Setzen Sie die Zielscheibe Z in den Umlenkspiegel US1 ein. Bringen Sie durch
Drehen des Strahlteilers ST1 (waagerechte Schraube an ST1 lösen / festziehen)
um die senkrechte Achse den Strahl in der Waagerechten und durch Justieren
an den oberen Rändelschrauben des Strahlteilers in der Senkrechten in das
Zentrum der Zielscheibe. Sie hat im Zentrum ein kleines Loch, so dass Sie auf
einem Papier hinter US1 Licht sehen können.
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4. Nehmen Sie die Zielscheibe heraus. Der Strahl trifft nun auf die Irisblende B am
Strahlteiler ST2. Schließen Sie die Irisblende auf etwa halben Strahldurchmesser. Drehen Sie ggf. den Umlenkspiegel US1 um die senkrechte Achse, bis der
Strahl die Blende mittig trifft. Öffnen Sie die Blende so weit, dass der Strahl gerade hindurchgeht.
5. Öffnen Sie nun den Referenzzweig und decken Sie den Spiegel S2 mit einem
Stück Papier ab. Setzen Sie die Zielscheibe Z in den Umlenkspiegel US1 ein.
Zentrieren Sie den Strahl auf der Zielscheibe mit Hilfe der Rändelschrauben des
Spiegelhalters.
6. Nehmen Sie die Zielscheibe in US1 und das Papier vor Spiegel S2 heraus.
Hinter dem Strahlteiler ST2 können Sie nun Licht erkennen: im günstigsten Fall
einen, sonst zwei (evtl. ineinander übergehende) Flecken. Halten Sie mit einem
Stück Papier Referenz- und Messzweig abwechselnd zu, um die Flecken zuzuordnen.
7. Justieren Sie Spiegel S1 so, dass die Flecken übereinander liegen. Sie können
jetzt ein (evtl. sehr dichtes) Streifenmuster erkennen, das verschwindet, sobald
Sie einen der beiden Spiegel abdecken.
8. Justieren Sie Spiegel S1 so, dass aus den Streifen ein konzentrisches Ringsystem wird (s. Abb. 4). Zentrieren Sie das Ringsystem durch Justieren des
Spiegels S1. Wenn Sie viele Ringe sehen, ist offenbar d1 ≠ d2. Verschieben Sie
den Halter SH axial, bis die Ringzahl minimal wird. Fixieren Sie SH. Eventuell
müssen Sie an S1 nachjustieren.
Wenn Sie nun vorsichtig auf die Grundplatte des Interferometers drücken, können Sie die Bewegung des Ringsystems direkt beobachten (vgl. 2.2.2). Das
Interferometer reagiert sehr empfindlich, beispielsweise auch auf Klopfen.
9. Klappen Sie den Detektor in den Strahlengang und prüfen Sie, ob ihn das
Ringsystem zentrisch trifft (sonst Nachjustieren am Spiegel S1). Klappen Sie die
Linse L2 in den Strahlengang und zentrieren Sie das Ringsystem ggf. mit der
Linse L2. Das Michelson-Interferometer ist nun messbereit.
4.2 Vorbereitung und Durchführung der Messung
1. Schalten Sie den
Rechner und die
Heizeinheit
jeweils
am Netzschalter EIN.
Beachten Sie, dass
die Heizung noch
nicht
eingeschaltet
wird.
2. Starten Sie das Programm
„Michelson
Interferometer“. Sie
sehen die Bedieneroberfläche „Vorgabe“
des Datenschreibers
(Abb. 11).
Abb. 11
Bedieneroberfläche „Vorgabe“ des Datenschreibers
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Die Schaltflächen unten links haben folgende Bedeutung:
Startet den Endlosschreiber. Die am Detektor gemessene Intensität wird fortlaufend angezeigt.
Stop:
Stoppt den Endlosschreiber.
Edit:
Hier ohne Bedeutung
Speichern: Speichert ab sofort alle anfallenden Daten auf die Festplatte.
Nochmaliges Betätigen der Speichern-Taste stoppt den Vorgang.
Markieren: Damit lässt sich eine schwarze, senkrechte Marke auf dem
Schrieb platzieren.
Die digitale Anzeige unten rechts gibt die gemessene Temperatur in °C an.
Start:
3. Starten Sie den Schreiber. Maximieren Sie die Intensität am Ausgang des Interferometers (Druck auf Grundplatte; ggf. etwas an Spiegel S1 justieren – hinterher wieder zurückstellen). Dadurch wird der Messbereich optimal genutzt.
4. Wenn Sie, um einen ersten Eindruck zu erhalten, die Heizung bereits eingeschaltet hatten, schalten Sie sie wieder aus und warten Sie, bis eine Temperatur unter 30 °C erreicht ist.
5. Während der Speicherung der Daten erzeugen Sie mit dem Markierungsknopf
in 1 K-Intervallen Marken auf dem Schrieb. Setzen Sie bei einer ganzzahligen
Temperatur die erste Marke und notieren Sie diese Temperatur. Messen Sie
über ein Temperaturintervall von ≥ 10 K.
6. Beginnen Sie mit der Speicherung der Daten. Schalten Sie die Heizung EIN.
7. Nach Erreichen der Endtemperatur (letzte Marke noch setzen!) stoppen Sie die
Speicherung und schalten Sie die Heizung AUS. Wählen Sie die Seite „Druck“.
Sie sehen die Bedieneroberfläche „Druck“ des Datenschreibers (Abb. 12).
Abb. 12 Bedieneroberfläche „Druck“ des Datenschreibers
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Drücken Sie die Schaltfläche „Laden“ links
unten, und Ihre gespeicherten Messdaten
werden inklusive der Markierungen angezeigt.
Mit einem Mausklick der rechten Taste erscheint ein Popup-Menü (Abb. 13).
Sie können jetzt das Diagramm so verändern,
dass es inklusive der ersten und letzten Markierung die weiße Fläche füllt. Starten Sie den
Ausdruck des Diagramms.
Abb. 13 Popup-Menü „Druck“ des
Datenschreibers
4.3 Auswertung
Die Wellenlänge des HeNe-Lasers ist λ = 632,8 nm.
Die Länge des Probestabes beträgt l0 = (65 ± 2) mm.
Stellen Sie die für die Auswertung relevanten Daten (p1, ΔT=1K .. p10, ΔT=10K ) in
einer Tabelle zusammen.
Tragen Sie mit allen Wertepaaren p über der Temperaturänderung ΔT auf (es ist
durchaus p ∈ Թ möglich). Der Graph sollte linear verlaufen; welche Ursachen
können Abweichungen von der Linearität haben?
p
des
ΔT
Graphen und deren Unsicherheit Δm. Ermitteln Sie aus der Steigung den
Längenausdehnungskoeffizienten α (Welchen Korrekturfaktor müssen Sie hierbei
berücksichtigen? Welche alternative Auftragung ist möglich?).
Bestimmen Sie mittels Linearer Regression die mittlere Steigung m =
Geben Sie α mit errechneter Unsicherheit an.
Vergleichen Sie Ihren Wert für den Längenausdehnungskoeffizienten α mit Literaturwerten für Metall. Aus welchem Material könnte das Rohr gefertigt sein?
Bestimmen Sie aus der Messkurve den Kontrast M.
4.4 Zusammenfassung
Stellen Sie Ihre Ergebnisse in einer Schlussbetrachtung zusammenfassend dar.
5. Literatur
1. Pedrotti, F. u. L., W. Bausch u. H. Schmidt
Optik
2. Naumann, H. u. G. Schröder
Bauelemente der Optik
Berlin 2002
München 61992
Danksagung
Der Versuch „Michelson-Interferometer“ wurde unter Mitwirkung von cand. ing.
Ralph Abel erstellt.
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6. Anhang 1: Das Konzept der optischen Weglänge
6.1 Optische Weglänge
Eine wichtige Größe bei der Betrachtung der Lichtausbreitung ist
1
die optische Weglänge lopt; insbesondere Interferometer reagieren auf Differenzen der optischen Weglänge. Sie ist definiert als
a)
n
d1 = d2
das Produkt von Brechzahl n des durchlaufenen Mediums und
c
(durchlaufener) geometrischer Länge d
2
lopt = n d
Das Konzept der optischen Weglänge ermöglicht den Vergleich
1
der Laufzeiten des Lichtes in unterschiedlichen Medien und entlang unterschiedlichen Wegen:
d1 = d2
n
b)
Bei gleichen geometrischen Weglängen und gleichen Brechzahc
len breitet sich das Licht in den Medien gleich schnell aus
2
(Abb. A 1 a)).
nm > n
cm < c
Bei gleichen geometrischen Wegen und verschiedenen Brechzahlen breitet sich das Licht in den Medien unterschiedlich
1
schnell aus, wobei die Ausbreitungsgeschwindigkeit im dichteren
Medium geringer ist. Zwei gleichzeitig gestartete Teilwellen
c)
n
kommen also zu verschiedenen Zeiten am Ziel an (Abb. A 1 b)).
c
Dieser Unterschied der Brechzahlen hat den gleichen Effekt wie
ein Unterschied der Weglängen bei gleicher Brechzahl des Mediums: auch hier kommen zwei gleichzeitig gestartete Teilwellen
2
d2 > d1
zu verschiedenen Zeiten am Ziel an (Abb. A 1 c)).
Abb. A 1 Zur Bedeutung der optischen
Weglänge
Die optische Weglänge berücksichtigt also sowohl den Einfluss
unterschiedlicher Wege als auch den „Widerstand“, den eine Welle während der Ausbreitung in einem dichteren Medium (nm > n; z. B. Glas - Luft: nGlas ≈ 1,5, nLuft ≈ 1) erfährt.
6.2 Gangunterschied und Phasendifferenz
Die (räumliche) Differenz zweier Teilwellen, die verschiedene optische Weglängen durchlaufen haben, wird als Gangunterschied
Γ = lopt 2 - lopt 1 = m λ
m∈
(A 5.1)
bezeichnet. Dieser Gangunterschied wird von m Wellenlängen λ aufgefüllt (m ∈ ).
Der Gangunterschied - eine Länge - macht sich bei der Überlagerung von Wellen als Phasendifferenz δ bemerkbar. Die Phasendifferenz ist ein Konzept aus der Wellentheorie und besagt, dass eine
Welle der Wellenlänge λ einem vollen Umlauf von 2 π auf dem Referenzkreis entspricht. Die Verknüpfung von Gangunterschied Γ und Phasendifferenz δ ist gegeben durch
Γ
δ
(A 6.2)
=
λ
2π
7. Anhang 2: Wellen und Interferenz
7.1 Wellen und ihre Beschreibung
Wellen breiten sich im Laufe der Zeit von ihrer Quelle ausgehend im Raum aus, sie sind also ein
raum-zeitliches Phänomen. Dies gilt für alle Formen der Wellenausbreitung, seien es mechanische,
akustische oder elektromagnetische Wellen (Licht).
Die Ausbreitung von Wellen – oder allgemeiner: von Störungen – in Raum und Zeit wird durch die
Wellengleichung
∂2 z(x, t)
1 ∂2 z(x, t)
(A 6.1)
=0
∂ x2
c2
∂ t2
beschrieben, wobei die partiellen Ableitungen jeweils den Orts- und Zeitanteil der Welle berücksichtigen. Die Größe c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) der Welle in dem
Medium, in dem sie sich ausbreitet; im Fall elektromagnetischer Wellen also die Lichtgeschwindigkeit.
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Die mathematische Funktion, die die Wellengleichung erfüllt, ist die orts- und zeitabhängige Wellenfunktion f(x, t). Sie kann je nach Art der Störung (z. B. Puls oder Dauersignal) vielerlei Gestalt annehmen; aus Gründen der Anschaulichkeit wird sie häufig als harmonische Funktion
(A 6.2)
z(x, t) = Z 0 cos [ k x m ω t + δ]
angenommen. Hier stellt ω die Kreisfrequenz, k = 2 π / λ die Kreiswellenzahl, λ die Wellenlänge und
Z0 die Amplitude der Welle dar. δ ist die Nullphase, die berücksichtigt, dass nicht notwendigerweise
alle Wellen zur Zeit t = 0 dieselbe Phasenlage haben. Dies ist zwar für eine einzelne Welle unerheblich, nicht aber, wenn mehrere Wellen miteinander in Beziehung treten. Das Minuszeichen im
Argument der Sinusfunktion bedeutet, dass sich die Welle in positive X-Richtung, das Pluszeichen,
dass sich die Welle in negative X-Richtung ausbreitet.
Eine alternative und mathematisch vielfach einfacher zu handhabende Darstellung der Wellenfunktion ist
i [ (ω t m k x) + δ]
z(x, t) = Re Z 0 e
(A 6.3)
{
}
= Re Z 0 [ cos (ω t m k x + δ) + i sin (ω t m k x + δ)]
mit der imaginären Einheit i = -1 . Re bedeutet, dass nur der Realteil dieser komplexen Funktion
betrachtet wird (hier also der cos), und wird unter der Übereinkunft, dass das Verhalten der Wellenfunktion durch den Realteil beschrieben wird, zumeist weggelassen. Der Vorteil der Exponentialdarstellung ist, dass räumliche und zeitliche Anteile separiert werden können
i [ (ω t m k x) + δ]
z(x, t) = Z 0 e
= Z 0 ei ω t e m i k x ei δ = Z 0 ei ω t e m i k x
was die mathematische Behandlung mitunter deutlich vereinfacht. Im letzten Schritt ist die komplexe
Amplitude Z0 = Z0 e iδ eingeführt worden.
7.2 Interferenz
Wellen, die von verschiedenen Quellen ausgehen (beispielsweise von verschiedenen Stellen einer
Glühwendel oder von verschiedenen Atomen oder Molekülen eines Gases), können sich bei ihrer
Ausbreitung überlagern. Hierbei gilt das Prinzip der ungestörten Superposition (Überlagerung): am
Ort der Überlagerung beeinflussen die Wellen sich gegenseitig, außerhalb jedoch breitet sich jede
Welle aus, als wären die anderen nicht vorhanden.
Die Überlagerung von Wellen wird als Interferenz bezeichnet. Interferenz ist ein grundlegendes
Phänomen in der Wellenlehre, das daher auch in der Optik vertreten ist und wird vielfach für Messzwecke ausgenutzt wird.
Als einfachste Form der Interferenz sei die Überlagerung von zwei Wellen betrachtet. Sie sollen der
Einfachheit der Darstellung halber gleiche Frequenz ω und gleiche Wellenlänge λ (also gleiche
Wellenzahl k), aber durchaus verschiedene Amplituden und verschiedene Phasenkonstanten haben
und in die positive x - Richtung laufen. Die einzelnen Wellenfunktionen sind dann
z2 (x, t) = Z2 sin (ω t - k x + δ2)
(A 6.4 a / b)
z1 (x, t) = Z1 sin (ω t - k x + δ1)
Mathematisch wird die Überlagerung der beiden Wellen beschrieben durch die Summenbildung der
beiden einzelnen Wellenfunktionen. Die resultierende Wellenfunktion zr ist demnach
zr (x, t) = Zr sin (ω t - k x + δr) = z1 (x, t) + z2 (x, t) = Z1 sin (ω t - k x + δ1) + Z2 sin (ω t - k x + δ2)
i [ (ω t − k x) + δ1]
i [ (ω t − k x) + δ2 ]
(A 6.5)
= Z e
+ Z e
1
2
Nach einigem Umformen ergeben sich durch Koeffizientenvergleich die Beziehungen zwischen den
Amplituden und den Phasenkonstanten und letztlich die Amplitude der resultierenden Welle zu
Zr =
Z12 + Z 2
2 + 2 Z1 Z 2 cos (δ2 - δ1)
(A 6.6)
mit der Phasendifferenz δ = δ2 - δ1 zwischen den beiden ursprünglichen Wellen.
Bemerkenswert an diesem Ergebnis ist, dass sich die aus der Überlagerung der Wellen resultierende Amplitude nicht einfach nur aus der Summe der beiden Amplituden Z1 und Z2 zusammensetzt,
sondern dass ein zusätzlicher Term auftritt, der die resultierende Amplitude Zr mit einer von der
Phasendifferenz δ abhängigen cos-Funktion beeinflusst. Dieser Term wird als Interferenzterm bezeichnet.
Institut für Physik
Versuch :
O4
Blatt: 13
Der Interferenzterm ist wesentlich bestimmt durch die Phasendifferenz δ, die durch den (räumlichen)
Gangunterschied Γ verursacht wird. Er bewirkt, dass an bestimmten Orten der Überlagerungszone
zweier Wellen eine große, an anderen Orten hingegen eine kleine Auslenkung vorhanden ist.
Die cos-Funktion nimmt stets Werte zwischen +1 und -1 an. Dementsprechend nimmt die resultierende Amplitude Zr einen Maximalwert
Zr max = Z2 + Z2 + 2 Z Z
1
2
1 2
(A 6.7 a)
immer dann an, wenn der Gangunterschied Γ = m λ mit m = 0, 1, 2,
... beträgt. Dann trifft Wellenberg auf Wellenberg, und man spricht
von konstruktiver Interferenz oder „Verstärkung“ (Abb. A 2). Und Zr
nimmt einen Minimalwert
Zr min = Z2 + Z2 - 2 Z Z
1
2
1 2
Abb. A 2 Konstruktive Interferenz
(A 6.7 b)
λ
mit m = 0, 1, 2,
2
... beträgt. Dann trifft Wellenberg auf Wellental, und man spricht von
destruktiver Interferenz oder „Auslöschung“ (Abb. A 3).
Wenn beide Amplituden gleich sind (Z1 = Z2 = Z), bewegt sich die
resultierende Amplitude Zr im Intervall
dann an, wenn der Gangunterschied Γ = (2 m + 1)
Abb. A 3 Destruktive Interferenz
0 ≤ Zr ≤ 2 Z
Je nach der Phasenlage der beteiligten Wellen ergeben sich Verstärkung, Auslöschung oder Zwischenwerte.
Wichtig für das Zustandekommen von (optischer) Interferenz ist das Vorhandensein einer festen
Phasenbeziehung zwischen den beteiligten (elektromagnetischen) Wellen. Dieser Zusammenhang
wird als Kohärenz (lat.: Zusammenhang) bezeichnet.
Nur bei kohärenten miteinander interferierenden (elektromagnetischen) Wellen können die beschriebenen Phänomene - Verstärkung und Abschwächung - beobachtet werden (der größte Gangunterschied, bei dem noch Interferenz stattfindet, wird als Kohärenzlänge bezeichnet und bewegt sich im
Bereich µm … m).
Standardlichtquellen wie Sonne, Glühlampe, Hohlkathodenlampe o. ä. senden Licht aus, das nur in
sehr kleinen räumlichen und zeitlichen Intervallen beobachtbare Interferenzerscheinungen zeigt und
somit als quasi inkohärent betrachtet werden kann. Mit dem Laser steht dem Anwender eine hochkohärente Lichtquelle zur Verfügung. Der Laser sendet kohärentes Licht mit extremer Bündelbegrenzung aus, von dem üblicherweise als Laserstrahl gesprochen wird.
Bisher wurden die Amplituden betrachtet. Aufgrund der hohen Schwingungsfrequenzen des Lichtes
(Größenordnung 1015 Hz) kann jedoch kein Empfänger die zeitliche Variation der Amplituden auflösen – weder das Auge noch Photomultiplier, Halbleiterdioden oder andere. Empfänger registrieren
lediglich mittlere Intensitäten, das sind die Amplitudenquadrate mit herausgemittelter Zeitkomponente. Für die Intensität der resultierenden Welle bedeutet dies
Ii = Zi2
Ir = I1 + I2 + 2 Z1 Z2 cos(k Δ)
mit den Extremwerten
Ir max = I1 + I2 + 2 Z1 Z2
Ir min = I1 + I2 - 2 Z1 Z2
Mathematisch zeigt sich der Unterschied zwischen inkohärenter und kohärenter Überlagerung von
zwei Wellen dadurch, dass für die Intensität bei inkohärenter Überlagerung
Ir = Z12 + Z22
Inkohärenz
Sonne, Glühlampe
gilt, für die Intensität bei kohärenter Überlagerung hingegen
Ir = (Z1 + Z2)2 = Z12 + Z22 + 2 Z1 Z2
Kohärenz
Laser
wodurch wiederum der Interferenzterm entsteht.
Schf./CN 0107