DIN Format und Pythagoras

Hans Walser, [20111226a]
DIN-Format und Pythagoras
Es wird die Idee der pythagoreischen Dreiecke mit dem DIN-Format kombiniert.
1 Einstieg
Ein jedermann im Lande kennt die Abbildung 1.
Abb. 1: Pythagoreisches Dreieck
Die kleinen Zählquadrate können durch Zählrechtecke im DIN-Format (also mit dem
Seitenverhältnis 2 ) ersetzte werden. Das geht sogar auf zwei Arten (Abb. 2).
Abb. 2: Zählrechtecke
Die beiden Kathetenrechtecke und das Hypotenusenrechteck haben dann auch das DINFormat. Wenn wir die Zählrechtecke abzählen, ist immer noch 32 + 4 2 = 5 2 , und das
rechtwinklige Dreieck hat seine Form nicht verändert. Allerdings passen die Kathetenrechtecke nicht in einen gemeinsamen Raster. Das liegt daran, dass 2 eine irrationale
Zahl ist.
Die nahe liegende Idee, den Quadratraster der Abbildung 1 affin zu verzerren, funktioniert nicht (Abb. 3). Die Kathetenrechtecke liegen nun zwar im selben Raster, aber das
Hypotenusenviereck ist ein Parallelogramm.
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Abb. 3: Affine Verzerrung
Trotzdem können wir quasipythagoreische Dreiecke in einem Rechtecksraster finden.
2
DIN-Raster
Wir arbeiten in einem Rechtecksraster, dessen Rechtecke das Seitenverhältnis 2 haben. Solche Raster können im „Hochformat“ oder im „Querformat“ vorliegen. In beiden
Fällen ist es jedoch möglich, quasipythagoreische rechtwinklige Dreiecke einzupassen
(Abb. 4). Die Ecken der rechtwinkligen Dreiecke sind Rasterpunkte, ebenso die Ecken
der beiden Kathetenrechtecke und des Hypotenusenrechtecks.
Abb. 4: Quasipythagoreische rechtwinklige Dreiecke im DIN-Raster
Die beiden Dreiecke sind kongruent. Der Querformatraster (Abb. 4b) ist aus dem Hochformatraster (Abb. 4a) durch Halbieren der Rasterrechtecke entstanden. Entsprechend
wurden die beiden Kathetenrechtecke und das Hypotenusenrechteck halbiert.
Die Stimmigkeit der quasipythagoreischen Figuren lässt sich leicht verifizieren. Für die
Rechnung wird jeweils die kürzere Seite der Rasterrechtecke auf 1 normiert.
( )2 = 32 , also 1 + 8 = 9
2
2
Im der Abbildung 4b ergibt sich: ( 2 ) + 4 2 = ( 3 2 ) , also 2 + 16 = 18
Im der Abbildung 4a haben wir: 12 + 2 2
In der Abbildung 4a (Hochformat-Raster) ist die Hypotenuse in „kleinen“ Einheiten
(kurze Seite der Rasterrechtecke) gemessen, in der Abbildung 4b (Querformat) in „langen“ Einheiten. Dies ist aber nicht an den Rastertyp gebunden. Die Abbildung 5 zeigt
ein Beispiel im Hochformat, bei dem die Hypotenuse in „langen“ Einheiten gemessen
wird.
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Abb. 5: Hochformat, Hypotenuse in langen Einheiten
Wir sehen aber sofort, dass dieses Beispiel durch Vertauschen der beiden Katheten in
den Fall der Abbildung 4b (Querformat) übergeführt werden kann. Dieser wiederum
kann durch Verdoppeln der Rasterrecke in den Fall der Abbildung 4a übergeführt werden. Wir können also ohne Verlust an Allgemeinheit eine Standardisierung vornehmen.
3 Standardisierung
Wir arbeiten im Hochformat-Raster und messen die Hypotenuse in Einheiten der kurzen
Rasterrechtecksseite. Die Abbildung 6 zeigt ein etwas größeres Beispiel.
Abb. 6: Größeres Beispiel
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Die Stimmigkeit der Figur lässt sich leicht verifizieren:
(
72 + 6 2
)2 = 112
also 49 + 2 36 = 121
4 Quasipythagoreische Zahlentripel
Wir zählen die Rasterrechtecke längs der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks. Im Beispiel der Abbildung 4a erhalten wir das Zahlentripel (1, 2, 3) , im Beispiel der Abbildung
6 das Zahlentripel ( 7, 6,11) . Die erste Zahl entspricht der horizontalen Kathete im standardisierten Fall, die zweite Zahl der vertikalen Kathete und die dritte Zahl der Hypotenuse. Die Zahlentripel ( p, q, r ) der beiden Beispiele genügen der Gleichung:
p 2 + 2q 2 = r 2
Wegen der Rasterlänge 2 in vertikaler Richtung ist diese Bedingung allgemein genau
dann erfüllt, wenn wir eine quasipythagoreische Figur in standardisierter Form haben.
Diese quasipythagoreischen Zahlentripel können in Anlehnung an die gewöhnlichen
pythagoreischen Zahlentripel zum Beispiel wie folgt generiert werden. Es zeigt sich
allerdings, dass dazu zwei verschiedene Formelsätze benötigt werden.
4.1
Erste Parametrisierung
Wir wählen zwei teilerfremde Parameter u mit u ungerade und v < u 1 . Dann erfül 2 len die Zahlen
p = u 2 2v 2
q = 2uv
r = u 2 + 2v 2
die Bedingung p 2 + 2q 2 = r 2 , wie man leicht nachrechnet. Zudem ist das Tripel teilerfremd. Die Tabelle 1 zeigt die ersten Beispiele.
v
p
q
r
u
3
3
5
5
5
7
7
7
7
9
9
9
9
11
11
11
11
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
4
5
1
2
3
4
7
1
23
17
7
47
41
31
17
79
73
49
31
119
113
103
89
6
12
10
20
30
14
28
42
56
18
36
72
90
22
44
66
88
11
17
27
33
43
51
57
67
81
83
89
113
131
123
129
139
153
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11
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13
13
13
13
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5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
71
49
23
167
161
151
137
119
97
71
41
7
110
132
154
26
52
78
104
130
156
182
208
234
171
193
219
171
177
187
201
219
241
267
297
331
Tabelle 1
Für u = 3 und v = 1 ergibt sich das Tripel ( 7, 6,11) der Abbildung 6.
Schön und gut. Allerdings fehlt das Beispiel der Abbildung 4a). Dort haben wir das Tripel (1, 2, 3) . Dazu würden die Parameter u = 2 und v =
1
2
gehören. Wir müssen also
einen zweiten Anlauf nehmen.
4.2
Zweite Parametrisierung
Wir wählen zwei teilerfremde Parameter u und v mit v < u 2 und v ungerade. Dann
erfüllen die Zahlen
p = 2u 2 v 2
q = 2uv
r = 2u 2 + v 2
die Bedingung p 2 + 2q 2 = r 2 , wie man leicht nachrechnet. Zudem ist das Tripel teilerfremd. Die Tabelle 2 zeigt die ersten Beispiele.
u
v
p
q
r
1
2
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
1
1
1
1
3
5
1
3
7
1
5
7
1
3
5
9
1
3
5
1
7
17
31
23
7
49
41
1
71
47
23
97
89
73
17
127
119
103
2
4
6
8
24
40
10
30
70
12
60
84
14
42
70
126
16
48
80
3
9
19
33
41
57
51
59
99
73
97
121
99
107
123
179
129
137
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8
8
8
9
9
9
9
10
10
10
10
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10
7
9
11
1
5
7
11
1
3
7
9
11
13
79
47
7
161
137
113
41
199
191
151
119
79
31
112
144
176
18
90
126
198
20
60
140
180
220
260
177
209
249
163
187
211
283
201
209
249
281
321
369
Tabelle 2
Hier sehen wir nun zuoberst das Beispiel der Abbildung 4a.
Die Abbildung 7 zeigt den Fall u = 2 , v = 1 mit dem Tripel ( 7, 4, 9 ) .
Abb. 7: Tripel (7, 4, 9)
Ich weiß nicht, ob die Vereinigung der beiden Tabellen (ad infinitum gedacht) nun alle
Fälle umfasst. In interessantes zahlentheoretisches Problem.
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5 Das Kantholz im Nacken
„Das Kantholz im Nacken“ war früher ein didaktisches Prinzip. Das Kantholz war das
Lineal des Lehrers, es hatte einen quadratischen Querschnitt (damit man durch „Abrollen“ eine Lineatur ziehen konnte). Ein Quader der Länge p mit quadratischem Querschnitt der Seitenlänge q hat die Diagonalenlänge r mit r 2 = p 2 + 2q 2 . Wir sind also
beim Thema.
Das Kantholz hat als Motivationsprinzip ausgedient. PISA sei Dank.
6
Überlagerung von DIN-Rastern
6.1 Beispiele mit der ersten Parametrisierung
Wir zeichnen in der Abbildung 6 das ursprüngliche Rechtecksraster vor die quasipythagoreische Figur (Abb. 8). Wir haben somit im Bereich des Hypotenusenrechtecks eine
Überlagerung von zwei kongruenten Rastern. Wir stellen fest, dass außer den Eckpunkten des Hypotenusenrechteckes noch weitere Punkte den beiden Rastern gemeinsam
sind.
Abb. 8: Überlagerung von Rastern. Gemeinsame Punkte
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Wir können diese beiden Rastern gemeinsamen Punkte zu einem neuen Rechtecksraster
im DIN-Format erweitern (Abb. 9).
Abb. 9: Überlagerungsraster für u = 3, v = 1
Feststellungen ohne Beweis:
Der ursprüngliche Raster und der Raster des Hypotenusenrechteckes sind gegenüber
diesem neuen Raster gespiegelt.
Die Rasterlinien des Überlagerungsrasters durch die Dreiecksecke links unten sind die
innere und äußere Winkelhalbierende des dortigen Dreieckswinkels.
Die kurzen Rechtecksseiten des Überlagerungsrasters haben die Länge r .
Die zugehörigen Rasterlinien haben im Basisraster ein Steigungsdreieck mit Horizontalweite u und der Vertikalweite v. Die Steigung ist im Basisraster uv , geometrisch also
v 2
u
.
6.2 Beispiele mit der zweiten Parametrisierung
Nehmen wir das einfachste Beispiel mit u = 2 und v = 1 , das zum Tripel ( 7, 4, 9 ) führt
(Abb. 7). Wir erhalten wieder einen Überlagerungsraster (Abb. 10).
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Abb. 10: Überlagerungsraster für u = 2, v = 1
Feststellungen ohne Beweis:
Der ursprüngliche Raster und der Raster des Hypotenusenrechteckes sind gegenüber
diesem neuen Raster gespiegelt.
Die Rasterlinien des Überlagerungsrasters durch die Dreiecksecke links unten sind die
innere und äußere Winkelhalbierende des dortigen Dreieckswinkels.
Die kurzen Rechtecksseiten des Überlagerungsrasters haben die Länge r .
Die zugehörigen Rasterlinien haben im Basisraster ein Steigungsdreieck mit Horizontalweite v und der Vertikalweite –u. Die Steigung ist im Basisraster uv , geometrisch
also u v 2 . Das ist der einzige Unterschied zur ersten Parametrisierung.
7 Komplexe Zahlen
Wir können die Parametrisierungen auch mit komplexen Zahlen beschreiben.
7.1
Erste Parametrisierung
Wir wählen w = u + 2vi . Damit wird:
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w 2 = u 2 2v 2 + 2 2uvi = p + 2qi
w2
2
= p 2 + 2q 2 = r 2
w2 = r
w = r
7.2
Zweite Parametrisierung
Wir wählen w = 2u + vi . Damit wird:
w 2 = 2u 2 v 2 + 2 2uvi = p + 2qi
w2
2
= p 2 + 2q 2 = r 2
w2 = r
w = r
8
Ausblick
Statt mit DIN-Rechtecken mit dem Seitenverhältnis 2 können wir mit Rechtecken im
Seitenverhältnis n, n , arbeiten. Die Abbildung 11 zeigt ein Beispiel mit Rechtecken im Seitenverhältnis
3.
3
Der Rechtecksraster lässt sich in einen Dreiecksraster umbauen (Abb. 12).
Abb. 11: Seitenverhältnis
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Abb. 12: Dreiecksraster
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