Grundwissen Mathematik 6. Klasse - Gym

Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oberasbach
Grundwissen Mathematik 6. Klasse
6.A Bruchzahlen
Multiplikation:
6.A.1 Brüche
Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und
Nenner mit Nenner multipliziert.
Brüche haben die Form
z
n
mit n ≠ 0.
Merke: Bruch =
3 7 21
⋅ =
8 5 40
Bsp.:
z heißt Zähler, n heißt Nenner.
Zähler
= Dividend : Divisor = Quotient
Nenner
Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in unechte
Brüche umgewandelt werden.
6.A.2 Einteilung der Brüche
Bedingung
Bezeichnung
z=1
Stammbruch
z<n
echter Bruch
z>n
unechter Bruch
n teilt z
1 1 1
; ;
3 4 7
2 4 1
;
;
3 11 5
3 7 23
; ;
2 4 13
6 16 2
;
;
3 4 2
Scheinbruch
2 2 5 2 10
1 ⋅ = ⋅ =
3 11 3 11 33
Bsp.:
Beispiel
Division:
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem
Kehrbruch multipliziert.
Bsp.: 1)
3 5 3 7 21
1
: = ⋅ = =1
4 7 4 5 20
20
2)
3
3 1 3
:5= ⋅ =
4
4 5 20
Kürzen nie vergessen!!!
6.A.3 Formänderung von Brüchen
•
Erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl
(k ≠0) multipliziert.
z z⋅k
=
n n⋅k
Bsp:
•
6.C.1 Begriffe
3 3⋅5 15
=
=
4 4⋅5 20
Kürzen: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl
(k ≠0) dividiert.
z z :k
=
n n :k
Bsp.:
6.C Dezimalzahlen
14 14:7 2
=
=
21 21:7 3
oder:
14 2⋅7 2
=
=
21 3⋅7 3
Kürzen
Zahlen wie z.B. 1,465 heißen Dezimalbrüche.
Dabei bedeutet die 1. (2., 3., …) Stelle hinter dem Komma
Zehntel (Hundertstel, Tausendstel, …).
Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen.
6.C.2 Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen
Kann der Nenner eines Bruches durch Kürzen / Erweitern auf
eine Stufenzahl gebracht werden, so entsteht ein endlicher
Dezimalbruch, ansonsten ein unendlich periodischer
Dezimalbruch.
Bsp.: 1)
z z⋅k
=
n n⋅k
3 6
= =0,6
5 10
2)
2
=2:3=0, 
6
3
6.C.3 Runden von Dezimalzahlen
Ist die erste wegzulassende Ziffer
Erweitern
→ eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet.
→ eine 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet.
Endnullen dürfen nach dem Runden nicht weggelassen
werden!!!
So erkennt man, auf welche Stelle gerundet wurde.
(≈ Genauigkeit)
6. B Rechnen mit Brüchen
Addition / Subtraktion:
Brüche mit gleichem Nenner werden addiert (subtrahiert), indem
man die Zähler addiert (subtrahiert) und den gemeinsamen
Nenner beibehält.
Bsp.: 1)
3
4
7
 =
11 11 11
2)
7
3
4
− =
13 13 13
Brüche mit verschiedenem Nenner erweitert man zuerst auf den
Hauptnenner (kleinster gemeinsamer Nenner = kgV der Nenner)
und addiert (subtrahiert) dann die nun gleichnamigen Brüche.
Bsp.: 1)
1 1 3
2
5
 =  =
4 6 12 12 12
2)
1 1 5
3
2
− = − =
3 5 15 15 15
Bsp.:
1) 3,4564 [3D] ≈3,456
3) 2,99 [1D] ≈ 3,0
2) 3,4564 [2D] ≈ 3,46
6.D Rechnen mit Dezimalzahlen
Addition / Subtraktion:
Die Dezimalbrüche so untereinander schreiben, dass Komma
unter Komma steht und stellenweise rechnen.
0,0345 + 1,986 = 2,0205
0,0345
+ 1,9860
2,0205
Grundwissen Mathematik 6. Klasse
1,862 – 1,79 = 0,072
Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oberasbach
1,862
- 1,790
6. G Schlussrechnung / Dreisatz
Regel: Die gesuchte Größe steht am Ende der Sätze.
0,072
6.G.1 direkte Proportionalität
Multiplikation:
Ohne Rücksicht auf die Kommas multiplizieren und dann im
Ergebnis das Komma so setzen, dass dieses so viele Dezimalen
hat, wie die Faktoren zusammen.
Bsp.:
0,03 . 2,5 = 0,075
Division:
In Dividend und Divisor das Komma so weit nach rechts
verschieben, dass der Divisor eine ganze Zahl ist; beim Dividieren
beim Überschreiten des Kommas im Dividend auch im Ergebnis
das Komma setzen.
Bsp.:
0,015 : 0,75 = 1,5 : 75 = 0,02
Die relative Häufigkeit gibt an, welcher Bruchteil aller Ergebnisse
Treffer sind.
Bsp.:
3kg kosten 2,40€
1kg kostet 2,40€ : 3 = 0,80€
5kg kosten 0,80€ . 5 = 4€
Schluss auf die Einheit .
Schluss auf ein Vielfaches
Zwei Größen heißen zueinander direkt proportional, wenn dem
Doppelten, Dreifachen, ... der einen Größe das Doppelte,
Dreifache, … der anderen Größe entspricht.
6.G.2 indirekte Proportionalität
In 15 Stunden wird eine Wohnung von 3 Malern tapeziert. Wie
lange brauchen 5 Maler?
6. E Relative Häufigkeit
relative Häufigkeit =
3kg Äpfel kosten 2,40€. Wie viel kosten 5kg?
Anzahl der Treffer
Anzahl der Ergebnisse
Würfelt man zehnmal und tritt dabei zweimal die Eins
auf, so ist die relative Häufigkeit für die Eins =
2 1
= .
10 5
Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so pendelt sich die
relative Häufigkeit bei einem festen Wert ein.
6. F Prozent
3 Maler brauchen 15h
1 Maler braucht 15h . 3 = 45h
5 Maler brauchen 45h : 5 = 9h
Schluss auf die Einheit .
Schluss auf ein Vielfaches
Zwei Größen heißen zueinander indirekt (oder umgekehrt)
proportional, wenn dem Doppelten, Dreifachen, … der einen
Größe die Hälfte, ein Drittel, … der anderen Größe entspricht.
6. H Geometrie
6. H.1 Flächeninhalte
Parallelogramm
Dreieck
Trapez
Parallelogrammfläche
= Grundseite mal
Höhe
Dreiecksfläche =
½ mal Grundseite
mal Höhe
Trapezfläche =
Mittellinie mal
Höhe
AP = g . h
AD = ½ . g . h
AT = m . h
= ½ . (a + c) . h
6.F.1 Begriff
Prozente geben Bruchteile an. „Prozent“ heißt „Hundertstel“.
1
=1 %
100
1
=50 %
2
1
=25 %
4
1=100 %
6.F.2 Prozentrechnung
p% = Prozentsatz
G = Grundwert
Es gilt: p% von G = P, d.h.
P = Prozentwert
p
⋅G= P
100
6. H.2 Oberflächen- und Rauminhalt
Dem Grundwert werden immer 100% zugeordnet.
Mögliche Aufgabenstellungen:
•
Prozentsatz p gesucht
Wie viel Prozent sind 7 von 35?
p%=
•
•
7 1
= =0,2=20 %
35 5
Prozentwert P gesucht
Wie viel sind 20% von 75€?
20% von 75€ = 0,2 . 75€ = 15€
Grundwert G gesucht
25% von G sind 45€. Wie hoch ist G?
5% von G sind 45€ : 5 = 9€
100% von G sind 9€ . 20 = 180€ = G
Wenn die Umrechnungszahl für Längeneinheiten 10 ist, dann
ist sie für die zugehörigen Flächeneinheiten 100, bzw.
für die zugehörigen Raumeinheiten 1000.
1km = 1000m
1m = 10dm
1dm = 10cm
1km2 = 100ha
1km3 =
1.000.000.000m3
1ha = 100a
1a = 100m2
3
3
1m = 1000dm
3
1cm = 10mm
1m2 = 100dm2
3
1dm = 1000cm
1cm3 = 1000mm3
Speziell: 1l = 1dm3
1ml = 1cm3
Oberfläche des Quaders
OQ = 2 . l . b + 2 . l . h + 2 . b . h
Oberfläche des Würfels
OW = 6 . a2
Volumen des Quaders
VQ = l . b . h
Volumen des Würfels
VW = a3
1hl = 100l