Grundwissenskatalog Mathematik 6. Klasse - Klenze

Klenze-Gymnasium
Grundwissen Mathematik
Klasse 6 (G8)
Stand: Juli 2005
Grundwissenskatalog Mathematik 6. Klasse
1. Brüche
1.1 Grundbegriffe
Brüche haben die Form nz mit z∈ INo und n∈ IN .
z heißt der Zähler, n heißt der Nenner des Bruches.
Brüche mit z > n heißen unechte Brüche, wir können sie in gemischte Zahlen umwandeln.
Beispiel: 17
= 2 73
7
Zu jedem Quotienten z:n gibt es eine Bruchzahl nz .
48 = 4 bzw. 12:9 = 12 = 4
Beispiel: 48:36 = 36
3
9
3
1.2 Erweitern und Kürzen
Zu jeder Bruchzahl gehören unendlich viele verschiedene Brüche.
4 = ...
Beispiel: 13 = 62 = 93 = 12
Erweitern:
Zähler und Nenner werden mit derselben natürlichen Zahl multipliziert.
Der Wert der Bruchzahl ändert sich dabei nicht.
z z ⋅k
21
Beispiel: 34 = 34⋅⋅77 = 28
n = n ⋅k ; k∈ IN
Kürzen:
Zähler und Nenner werden durch einen gemeinsamen Teiler k dividiert.
Der Wert der Bruchzahl ändert sich dabei nicht.
z z:k
21 = 21:7 = 3 andere Schreibweise: 21 = 3⋅7 = 3
Beispiel: 28
n = n:k ; k∈ IN
28:7 4
28 4⋅7 4
Ein Bruch, den man nicht mehr kürzen kann, nennt man vollständig gekürzt.
(Grundform des Bruches)
1.3 Anordnung der Bruchzahlen
Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist derjenige der größere, der den kleineren Nenner hat.
Beispiel: 34 > 73
Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist derjenige der größere, der den größeren Zähler hat.
Beispiel: 74 < 67
Brüche mit verschiedenen Nennern bringt man vor dem Vergleichen normalerweise auf den
Hauptnenner ( = kgV aller Nenner).
Diesen Schritt nennt man auch „gleichnamig machen“.
1.4 Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Regel: Zähler addieren (subtrahieren) und den gemeinsamen Nenner beibehalten.
3 + 5 = 8 ; 5−3=2 ;
5 − 8 =− 3
Beispiel: 11
7 7 7
11 11
13 13
13
Brüche mit verschiedenen Nennern erweitert man zuerst auf den Hauptnenner.
3 + 2 = 5
Beispiel: 14 + 16 = 12
12 12
1.5 Multiplizieren und Dividieren von Brüchen
a) Multiplizieren
Bruch ⋅ Bruch =
Zähler ⋅ Zähler
Nenner ⋅ Nenner
3 ⋅ 14 = 1⋅7 = 7
(Vorher kürzen!)
8 15
4⋅5
20
Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in unechte Brüche verwandelt werden.
Beispiel:
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b) Dividieren
a
b
Bruch : Bruch = Bruch ⋅ Kehrbruch
Beispiel: 3
:6
14 7
3⋅ 7
3 ⋅7 =
= 14
=
6 14 ⋅ 6
1⋅1
2⋅2
: dc =
=
a
b
⋅ dc
1
4
1.6 Bruchteil eines Bruches
Bei Anteilen bedeutet “von“ so viel wie „ ⋅ “.
Beispiel:
2 von 3 kg
5
8
= 25 ⋅ 83 kg = 51⋅⋅34 kg =
3 kg
20
2. Dezimalzahlen
2.1 Dezimalschreibweise
Zahlen wie z.B. 1,356 heißen Dezimalbrüche. Dabei bedeutet die 1. (2.,3.,...) Stelle hinter dem Komma
Zehntel (Hundertstel, Tausendstel,....). Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen.
Beispiel: 0,04 =
4
100
=
1
25
;
234
117
1,234 = 1 1000 = 1 500
2.2 Runden
Ist die erste wegzulassende Ziffer 0 ,1, 2, 3, 4, so wird abgerundet, ist sie 5, 6, 7, 8, 9, so wird aufgerundet.
Beispiel: Runden auf:
1 Dez.
2 Dez.
3 Dez.
3,4564
≈3,5
≈3,46
≈3,456
2.3 Addition und Subtraktion
Addition (Subtraktion) der Stellen gleichen Wertes!
Beispiel: 3,76 + 4,325 = 8,085
2.4 Multiplikation und Division mit Zehnerpotenzen
Verschieben des Kommas um so viele Stellen nach rechts (links), wie die Stufenzahl Nullen hat.
Beispiele: 2,04 ⋅ 1000 = 2040 ;
14,73 : 100 = 0,1473 ;
205,3 : 104 = 0,02053
2.5 Multiplikation von Dezimalbrüchen
Die Kommas bleiben beim Multiplizieren zunächst unberücksichtigt. Das Ergebnis erhält so
viele Dezimalen, wie die Faktoren zusammen haben.
Beispiel: 9,2 ⋅ 0,02 = 0,184
2.6 Division von Dezimalbrüchen
a) Division durch eine natürliche Zahl
Vor dem Herabholen der 1. Ziffer hinter dem Komma wird im Ergebnis das Komma gesetzt.
Beispiel:
9,2 : 8 = 1,15
b) Division durch einen Dezimalbruch
Beim Dividenden und Divisor darf das Komma um gleich viele Stellen in die gleiche Richtung
verschoben werden. Das Komma wird so weit verschoben, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist.
Beispiel: 2,56 : 1,6 = 25,6: 16 = 1,6
2.7 Umwandlung Dezimalzahlen – gewöhnliche Brüche
z
= z:n ergibt einen endlichen oder unendlichen periodischen Dezimalbruch.
n
Die sich wiederholende Ziffernfolge heißt Periode.
Beispiel: „zwei-Komma-eins-Periode-drei-vier“ bedeutet 2,134 = 2,13434343434...
3. Rechnen mit rationalen Zahlen
Die aus der 5. Klasse bekannten Rechenregeln für ganze Zahlen gelten auch für rationale Zahlen, also:
Klammern zuerst (von innen nach außen)
Potenz vor Punkt vor Strich
Kommutativgesetze:
a+b = b+a
ab=ba
Assoziativgesetze:
(a+b)+c = a+(b+c)
(a b) c = a (b c)
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Die aus der 5. Klasse bekannten Vorzeichenregeln für die Addition bzw. Subtraktion und für die
Multiplikation bzw. Division zweier Zahlen gelten auch für rationale Zahlen.
Beispiele für Addition bzw. Subtraktion:
5,2 – 8,3 = – (8,3 – 5,2) = – 3,1
– 5,2 – 8,3 = – (5,2 + 8,3) = – 13,5
– 5,2 + 8,3 = 8,3 – 5,2 = +3,1
Beispiele für Multiplikation und Division:
(– 2 12 ) (– 4 13 ) = +10 56
8
(– 6 13 ) : (– 2 12 ) = +2 15
„Minus mal Minus gibt Plus“
(+ 3 12 ) (– 5 72 ) = – 18 12
(– 5 12 ) : (+ 2 12 ) = – 2 15
„Plus mal Minus gibt Minus“
4. Flächeninhalt von Dreiecken und Vierecken
4.1 Parallelogramm
.
Flächeninhalt = Länge der Grundseite mal Länge der zugehörigen Höhe
.
ha
.
hb
AP = a ⋅ ha = b ⋅ hb
b
.
.
a
4.2 Dreieck
C
Flächeninhalt = halbe Länge der Grundseite mal Länge der zugehörigen Höhe
.
b
1
1
1
AD = ⋅ a ⋅ ha = ⋅ b ⋅ h b = ⋅ c ⋅ hc
2
2
2
hb
ha
.
a
h
.c
A
c
B
4.3 Trapez
Flächeninhalt = halbe Summe der Längen der parallelen Seiten mal Länge der Höhe
c
D
AT =
1
⋅( a + c )⋅ h
2
d
A
h
a
C
b
B
5. Volumen
5.1 Volumeneinheiten:
Hat ein Würfel die
Kantenlänge
so ist sein
Volumen
1 mm
1 mm3
1 cm
1 cm3
1 dm
1 dm3
1m
1 m3
Umrechnungen: Die Umrechnungszahl zwischen zwei aufeinanderfolgenden Einheiten beträgt 1000.
1
Beispiele: 1dm 3 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 cm 3 ;
1dm 3 =
m3 ;
1000
1
65cm 3 = 65 ⋅
dm 3 = 0,065dm 3
43256cm 3 = 43,256 ⋅ 1000cm 3 = 43,256dm 3
1000
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5.2 Volumen von Quader und Würfel
VQ = l ⋅ b ⋅ h
VW = s 3
h
l
b
s
6. Prozentrechnung
p
von etwas
100
Anteile werden häufig in Prozent angegeben:
p% von etwas =
Beispiel: Wie viel Prozent sind 3 von 20?
3
15
=
= 0,15 = 15%
20 100
Es gilt:
p% von G = P
p%: Prozentsatz, G: Grundwert , P: Prozentwert
Dem Grundwert werden immer 100% zugeordnet.
Musteraufgaben:
1. Eine Ware kostet 50.00 € und wird um 16% verteuert. Was kostet sie nun?
100% =
2. Weg: 116% von G = 1,16 . 50€ = 58€
ˆ 50 ,00 €
1% =
ˆ 50,00 € : 100 = 0 ,50 €
116% =
ˆ 0 ,50 € ⋅ 116 = 58,00 €
2. Eine Ware kostet 58,00 € und wird um 16% verbilligt. Was kostet sie nun?
100% =
ˆ 58,00 €
1% =
ˆ 58,00 € : 100 = 0 ,58 €
84% =
ˆ 0 ,58 € ⋅ 84 = 48,72 €
2. Weg: 84% von G = 0,84 . 58€ = 48,72€
3. Eine Ware wird von 50 € auf 58 € verteuert. Um wie viel Prozent?
50 € =
ˆ 100%
1€ =
ˆ 100% : 50 = 2%
8€ =
ˆ 2% ⋅ 8 = 16%
2. Weg:
8€
8
16
=
=
= 16%
50€ 50 100
4. Eine Ware kostet noch 84% ihres ursprünglichen Preises. Wie hoch war dieser?
84% =
ˆ 48,72 €
2. Weg: 84% von G = 48,72€
1% =
ˆ 48,72 € : 84 = 0 ,58 €
0,84 . G = 48,72€
G = 48,72€ : 0,84
100% =
ˆ 0 ,58 € ⋅ 100 = 58 €
G = 58€