fk(xk) − f(xk)| + |f(xk) − f(x)

5.1 a) Mit kxk k ≤ M gilt
|fk (xk ) − f (x)| ≤ |fk (xk ) − f (xk )| + |f (xk ) − f (x)|
≤ kfk − f kM + |f (xk − x)| → 0.
b) Mit kfk k ≤ M gilt
|fk (xk ) − f (x)| ≤ |fk (xk ) − fk (x)| + |fk (x) − f (x)|
≤ M kxk − xk + |fk (x) − f (x)| → 0.
∗
c) In l2 sei xk = ek und fk (x) = x(k). Dann gilt fk (xk ) = 1, aber fk ⇁ 0 und
xk ⇁ 0.
5.2 Aus der starken Konvergenz folgt die schwache Konvergenz.
Sei xk ⇁ 0 in l1 . Wir müssen zeigen, daß dann auch kxk kl1 → 0 . Angenommen,
dies ist nicht der Fall. Dann gibt es eine Teilfolge, die wir wieder mit (xk ) bezeichnen,
mit
∞
X
|xk (i)| ≥ ε > 0 .
Zu jedem k ∈
N sei k
i=1
′
der größte Index mit
X
ε
|xk (i)| ≤
8
i≤k′
und k ′′ der kleinste Index mit
X
|xk (i)| ≤
i≥k′′
ε
.
8
Wie in der vorigen Aufgabe zeigt man, daß aus xk ⇁ 0 die punktweise Konvergenz
folgt, die für endliche Abschnitte auch gleichmäßig ist. Aus diesem Grund gilt k ′ →
′
∞ und wir können eine Teilfolge kl auswählen mit kl′ < kl′′ < kl+1
, also
X
|xkl (i)| ≤
i∈(k
/ l′ ,kl′′ )
ε
.
4
Setze nun f = (f (1), f (2), . . .) mit
f (i) = sign(xkl (i)) für i ∈ (kl′ , kl′′ ) ,
f (i) = 0 sonst .
Damit ist f ∈ l∞ = l1 ′ , kf kl∞ = 1 , und
kl′′ −1
f (xkl ) ≥
X
|xkl (i)| −
i=kl′ +1
3
ε
ε
ε
≥ ε− = .
4
4
4
2
Dies ist ein Widerspruch zu xk ⇁ 0 .
5.3 Wie im Hinweis angegeben setzen wir,
x k1 = x 1 ,
|(xk1 + . . . + xkl−1 , xkl )| ≤ 1
Wegen (y, xk ) → 0 für alle y ∈ X lässt sich immer ein solches xkl finden. Diese
Teilfolge bezeichnen wir wieder mit (xk ). Wegen der schwachen Konvergenz gilt
kxk k ≤ K. Es gilt
n
n
i−1
n
1 X
2
X
X
1 X
2
kxi k + 2Re
(xi ,
xj )
xi ≤ 2
n i=1
n i=1
i=2
j=1
≤
1
(nK + 2(n − 1)) → 0.
n2
5.4 Da P
die Mengen Ωk meßbar und positiv sind, folgt aus der σ-Additivität, daß
µ(Ω) = ∞
k=0 µ(Ωk ) > 0, also auch µ(Ωk ) > 0 für ein k.
5.5 Nach Konstruktion gibt es cantorähnliche Teilmengen Ca von [0, 1] mit beliebigem Maß µ(Ca ) ∈ [0, 1). Sei C = ∪∞
k=2 C1−1/k . C ist meßbar und nach dem Satz von
Lebesgue gilt µ(C) = 1. Weiter ist jedes Ca nirgends dicht, sodaß C mager ist.
Ein eleganterer Beweis geht so: Sei {q1 , q2 , . . .} die Menge der rationalen Zahlen
im Intervall [0, 1]. Setze für n ∈
Mn = [0, 1] \ ∪i B2−n−i (qi ) .
N
Aus der abgeschlossenen Menge wird eine offene Menge entfernt, also ist Mn abgeschlossen. Mn enthält keine inneren Punkte, denn jedes offene Intervall enthält eine
rationale Zahl. Es gilt
µ ∪i B2−n−k (qi ) ≤
∞
X
2−n−i = 2−n ,
i=1
also µ(Mn ) ≥ 1 − 2−n . Damit ist M = ∪n Mn als Vereinigung nirgends dichter Mengen mager und besitzt Lebesgue-Maß 1.