Vorlesung “Logik” Sommersemester 2012 Universität Duisburg

Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Vorlesung “Logik”
Sommersemester 2012
Universität Duisburg-Essen
Barbara König
Übungsleitung: Christoph Blume
Barbara König
Logik
1
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Motivation: Prädikatenlogik
Wir beschäftigen uns nun im folgenden mit der Prädikatenlogik,
die gegenüber der Aussagenlogik folgendes erlaubt:
Man kann über ein beliebiges Universum (= Grundmenge)
und dessen Elemente Aussagen machen.
Man kann quantifizieren: “für alle x gilt . . . ”; “es gibt ein x,
so dass . . . ”
Es gibt mehrstellige Prädikatsymbole (interpretiert als
Relationen) und mehrstellige Funktionssymbole (interpretiert
als Funktionen).
Der Aufbau dieses Kapitels ist ähnlich wie bei der Aussagenlogik:
wir beginnen mit Grundbegriffen (Syntax, Semantik, Gültigkeit,
Erfüllbarkeit), Äquivalenz und Normalformen, und beschäftigen uns
dann mit der Resolution.
Barbara König
Logik
123
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme
Definition (Syntax der Prädikatenlogik)
Eine Variable hat die Form xi mit i = 1, 2, 3 . . ..
Ein Prädikatensymbol hat die Form Pik und ein
Funktionssymbol hat die Form fi k mit i = 1, 2, 3 . . . und
k = 0, 1, 2 . . .. Hierbei heißt i jeweils der
Unterscheidungsindex und k die Stelligkeit (oder Stellenzahl).
Wir definieren nun die Terme durch einen induktiven Prozess:
1 Jede Variable ist ein Term.
2 Falls f ein Funktionssymbol mit der Stelligkeit k ist, und
falls t1 , . . . , tk Terme sind, so ist auch f (t1 , . . . , tk ) ein
Term.
Barbara König
Logik
124
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme
Bemerkungen zur Syntax der Prädikatenlogik:
Es sind auch Funktionssymbole der Stelligkeit 0
eingeschlossen, und in diesem Fall fallen die Klammern weg,
d.h., statt c() schreiben wir nur c.
Nullstellige Funktionssymbole heißen auch
Konstanten(-symbole).
Genauso gibt es nullstellige Prädikatsymbole der Form P()
bzw. einfach nur P.
Barbara König
Logik
125
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme
Weitere Bemerkungen:
Für Variablen schreiben wir auch x, y , z, u, v , w , . . .
Für Prädikatsymbole schreiben wir auch P, Q, R, S, . . . (die
Stelligkeit ergibt sich dann aus dem Kontext).
Für Funktionssymbole schreiben wir auch f , g , h, . . . (die
Stelligkeit ergibt sich dann ebenfalls aus dem Kontext).
Für Konstanten(-symbole) schreiben wir auch a, b, c, d, . . .
Barbara König
Logik
126
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Syntax der Prädikatenlogik: Formeln
Nun können wir (wiederum induktiv) definieren, was Formeln (der
Prädikatenlogik) sind.
1
Falls P ein Prädikatsymbol der Stelligkeit k ist, und falls
t1 , . . . , tk Terme sind, dann ist P(t1 , . . . , tk ) eine Formel.
2
Für jede Formel F ist auch ¬F eine Formel.
3
Für alle Formeln F und G sind auch (F ∧ G ) und (F ∨ G )
Formeln.
4
Falls x eine Variable ist und F eine Formel, so sind auch ∃xF
und ∀xF Formeln. Das Symbol ∃ wird Existenzquantor und ∀
Allquantor genannt.
Barbara König
Logik
127
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Syntax der Prädikatenlogik: Formeln
Bemerkungen:
Atomare Formeln nennen wir genau die, die Form
P(t1 , . . . , tn ) haben (gemäß (1)). Falls F eine Formel ist und
F als Teil einer Formel G auftritt, so heißt F Teilformel von G .
Quantoren binden stärker als alle anderen Operatoren, d.h.,
Formeln werden folgendermaßen geklammert:
∀xP(x) ∧ Q(y ) entspricht (∀xP(x)) ∧ Q(y )
P(x) ∨ ∃yQ(y ) ∨ R(z) entspricht P(x) ∨ (∃yQ(y )) ∨ R(z)
Barbara König
Logik
128
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Freie und gebundene Variablen
Definition (Freie und gebundene Variable)
Alle Vorkommen von Variablen in einer Formel werden in freie und
gebundene Vorkommen unterteilt. Dabei heißt ein Vorkommen der
Variablen x in der Formel F gebunden, falls F eine Formel der
Form ∃xG oder ∀xG enthält und x in G vorkommt. Andernfalls
heißt dieses Vorkommen von x frei.
Eine Formel ohne Vorkommen einer freien Variablen heißt
geschlossen oder eine Aussage.
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Freie und gebundene Variablen
Beispiele für freie und gebundene Variable:
∀xP(x): in dieser Formel kommt x gebunden vor.
∀xQ(x, y ): in dieser Formel kommt x gebunden und y frei vor.
(∀xP(x)) ∧ R(x): in dieser Formel hat x sowohl ein
gebundenes als auch ein freies Vorkommen.
∀x((∀xP(x)) ∧ R(x)): in dieser Formel ist das erste
Vorkommen von x unter dem inneren und das zweite
Vorkommen unter dem äußeren Quantor gebunden.
Definition (Matrix)
Die Matrix einer Formel F ist diejenige Formel, die man aus F
erhält, indem jedes Vorkommen von ∃ bzw. ∀, samt der
dahinterstehenden Variablen gestrichen wird. Symbolisch
bezeichnen wir die Matrix der Formel F mit F ∗ .
Barbara König
Logik
130
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aufgabe zur Prädikatenlogik
NF: Keine Formel
F: Formel, aber nicht Aussage
NF
F
A: Aussage
A
∀∃P(x)
∀xP(a)
∀x∃y (Q(x, y ) ∨ R(x, y ))
∀xQ(x, x) → ∃xQ(x, y )
∀xP(x) ∨ ∀xQ(x, x)
∀P(x)
P(x) → ∃x
Barbara König
Logik
131
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aufgabe zur Prädikatenlogik
NF: Keine Formel
F: Formel, aber nicht Aussage
A: Aussage
NF
F
A
∀x¬∀yQ(x, y ) ∧ R(x, y )
∃z(Q(z, x) ∨ R(y , z)) → ∃y (R(x, y ) ∧ Q(x, z))
∃x(¬P(x) ∨ P(a))
P(x) → ∃xP(x)
∃x∀y ((P(y ) → Q(x, y )) ∨ ¬P(x))
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Logik
132
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Semantik der Prädikatenlogik: Strukturen
Definition (Struktur)
Eine Struktur ist ein Paar A = (UA , IA ) wobei UA eine beliebige
aber nicht-leere Menge ist, die die Grundmenge von A (oder der
Grundbereich, der Individuenbereich, das Universum) genannt wird.
Ferner ist IA eine Abbildung, die
jedem k-stelligen Prädikatensymbol P (das im
Definitionsbereich von IA liegt) eine k-stellige Relation (bzw.
ein k-stelliges Prädikat) über UA zuordnet,
jedem k-stelligen Funktionssymbol f (das im
Definitionsbereich von IA liegt) eine k-stellige Funktion auf
UA zuordnet,
jeder Variablen x (sofern IA auf x definiert ist) ein Element
der Grundmenge UA zuordnet.
Barbara König
Logik
133
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Semantik der Prädikatenlogik: Strukturen
Bemerkungen zu Strukturen:
Eine Struktur ist das analoge Konzept zu Belegungen in der
Aussagenlogik.
Die den Funktionssymbolen zugeordneten Funktionen können
folgendermaßen dargestellt werden: sei f ein n-stelliges
Funktionssymbol, dann schreiben wir f A = IA (f ) mit
n
f A : UA
→ UA
(a1 , . . . , an ) 7→ f A (a1 , . . . , an ),
beispielsweise die einstellige Nachfolgerfunktion auf den
natürlichen Zahlen (UA = N):
f A: N → N
n 7→ n + 1
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Logik
134
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Semantik der Prädikatenlogik: Strukturen
Die den Prädikatsymbolen zugeordneten Relationen können
folgendermaßen dargestellt werden: sei P ein n-stelliges
Prädikatsymbol, dann schreiben wir P A = IA (P) mit
n
P A ⊆ UA
= UA × · · · × UA
{z
}
|
n-mal
P A = {(a1 , . . . , an ) | a1 , . . . , an ∈ UA und . . . }
beispielsweise die zweistellige ≤-Relation auf den natürlichen
Zahlen:
PA ⊆ N × N
P A = {(n, m) | n, m ∈ N, n ≤ m}
Barbara König
Logik
135
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Semantik der Prädikatenlogik: Strukturen
Definition (Passende Struktur)
Sei F eine Formel und A = (UA , IA ) eine Struktur. A heißt zu F
passend, falls IA für alle in F vorkommenden Prädikatsymbole,
Funktionssymbole und freien Variablen definiert ist.
Der Definitionsbereich von IA ist also eine Teilmenge von
{Pik , fi k , xi | i = 1, 2, 3, . . . und k = 0, 1, 2, . . .} (wobei alle
Prädikatsymbole, Funktionssymbole und freien Variablen von
F vorkommen) und
der Wertebereich (bzw. Bildbereich) von IA ist eine Teilmenge
aller Relationen und Funktionen auf UA , sowie der Elemente
von UA .
Wir schreiben abkürzend statt IA (P) einfach P A , statt IA (f )
einfach f A und statt IA (x) einfach x A .
Barbara König
Logik
136
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Semantik der Prädikatenlogik: Strukturen
Definition (Wert eines Terms)
Sei F eine Formel und A eine zu F passende Struktur. Für jeden
Term t, den man aus den Bestandteilen von F bilden kann (also
aus den freien Variablen und Funktionssymbolen), definieren wir
nun den Wert von t in der Struktur A, den wir mit A(t)
bezeichnen. Die Definition ist wieder induktiv.
1
2
Falls t eine Variable ist (also t = x), so ist A(t) = x A .
Falls t die Form t = f (t1 , . . . , tk ) hat, wobei t1 , . . . , tk Terme
und f ein k-stelliges Funktionssymbol ist, so ist
A(t) = f A (A(t1 ), . . . , A(tk )).
Fall (2) schließt auch die Möglichkeit ein, dass f nullstellig ist,
d.h., t die Form hat t = a. In diesem Fall ist also A(t) = aA .
Barbara König
Logik
137
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Semantik der Prädikatenlogik: Strukturen
Auf analoge Weise definieren wir (induktiv) den (Wahrheits-)Wert
der Formeln F unter der Struktur A, wobei wir ebenfalls die
Bezeichnung A(F ) verwenden.
Definition (Wahrheitswert einer Formel)
Falls F die Form F = P(t1 , . . . , tk ) hat mit den Termen
t1 , . . . , tk und k-stelligem Prädikatsymbol P, so ist
1, falls (A(t1 ), . . . , A(tk )) ∈ P A
A(F ) =
0, sonst
Falls F die Form F = ¬G hat, so ist
1, falls A(G ) = 0
A(F ) =
0, sonst
Barbara König
Logik
138
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Semantik der Prädikatenlogik: Strukturen
Falls F die Form F = (G ∧ H) hat, so ist
1, falls A(G ) = 1 und A(H) = 1
A(F ) =
0, sonst
Falls F die Form F = (G ∨ H) hat, so ist
1, falls A(G ) = 1 oder A(H) = 1
A(F ) =
0, sonst
Barbara König
Logik
139
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Semantik der Prädikatenlogik: Strukturen
Falls F die Form F = ∀xG hat, so ist
1, falls für alle d ∈ UA gilt: A[x/d] (G ) = 1
A(F ) =
0, sonst
Falls F die Form F = ∃xG hat, so ist
1, falls es ein d ∈ UA gibt mit: A[x/d] (G ) = 1
A(F ) =
0, sonst
Hierbei steht A[x/d] für diejenige Struktur A0 , die überall mit A
0
identisch ist, bis auf die Definition von x A . Wir definieren
0
x A = d, wobei d ∈ UA = UA0 – unabhängig davon, ob IA auf x
definiert ist oder nicht.
Barbara König
Logik
140
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Modell, Gültigkeit, Erfüllbarkeit
Definition (Modell)
Falls für eine Formel F und eine zu F passende Struktur A gilt
A(F ) = 1, so schreiben wir wieder A |= F . Sprechweise: F gilt in
A oder A ist Modell für F .
Gültigkeit, Erfüllbarkeit, Unerfüllbarkeit
Falls jede zu F passende Struktur ein Modell für F ist, so schreiben
wir |= F , andernfalls 6|= F . Sprechweise: F ist (allgemein-)gültig.
Falls es mindestens ein Modell für die Formel F gibt, so heißt F
erfüllbar, andernfalls unerfüllbar.
Barbara König
Logik
141
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aufgabe zu Erfüllbarkeit und Gültigkeit
Folgende Formeln sind erfüllbar, aber nicht gültig. Finden Sie
jeweils eine Struktur, die ein Modell für die Formel ist, und eine
Struktur, die kein Modell für die Formel ist.
1
F = ∀xP(x)
2
G = ∀x∃yQ(x, f (y ))
Barbara König
Logik
142
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aufgabe zu Erfüllbarkeit und Gültigkeit
Modell A für F = ∀xP(x):
Universum UA = N
PA = N
(das ist die einzige mögliche Interpretation von P, die zu
einem Modell führt)
Struktur, die kein Modell für F = ∀xP(x) ist:
Universum UB = N
P B = {n | n gerade}
Barbara König
Logik
143
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aufgabe zu Erfüllbarkeit und Gültigkeit
Modell A für G = ∀x∃yQ(x, f (y ))
Universum UA = N
Q A = {(n, m) | n < m}
f A : N → N mit f A (n) = n + 1
Struktur, die kein Modell für G = ∀x∃yQ(x, f (y )) ist:
Universum UB = N
Q B = {(n, m) | n < m}
f B : N → N mit f B (n) = 1
Bemerkung: diese Strukturen sind natürlich keineswegs die einzigen
Beispiele für Modelle bzw. Nicht-Modelle von F , G .
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Logik
144
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aufgabe zu Erfüllbarkeit und Gültigkeit
G: Gültig
E: Erfüllbar
U: Unerfüllbar
G
E
U
∀xP(a)
∃x(¬P(x) ∨ P(a))
P(a) → ∃xP(x)
∀xP(x) → ∃xP(x)
∀xP(x) ∧ ¬∀yP(y )
∀xP(x) → ∀xP(f (x))
Barbara König
Logik
145
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Prädikatenlogik mit Gleichheit
Bei Prädikatenlogik mit Gleichheit sind Formeln genauso
aufgebaut, wie bei herkömmlicher Prädikatenlogik, mit dem
Unterschied, dass es ein spezielles Prädikat = gibt, das in
Infix-Notation verwendet wird. Das heißt, zur Definition der Syntax
wird folgender Satz hinzugefügt:
Falls t1 , t2 Terme sind, dann ist (t1 = t2 ) eine Formel.
Außerdem steht (t1 6= t2 ) für ¬(t1 = t2 ).
Und die Definition des Wahrheitswert einer Formel wird
folgendermaßen ergänzt:
Falls F die Form F = (t1 = t2 ) hat mit den Termen t1 , t2 , so
ist
1, falls A(t1 ) = A(t2 )
A(F ) =
0, sonst
Barbara König
Logik
146
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aufgabe zu Erfüllbarkeit und Gültigkeit
G: Gültig
E: Erfüllbar
U: Unerfüllbar
G
E
U
∃x∃y ∃z(x 6= y ∧ y 6= z ∧ x 6= z)
∀x∀y (x = y → f (x) = f (y ))
∀x∀y (f (x) = f (y ) → x = y )
∃x∃y ∃z(f (x) = y ∧ f (x) = z ∧ y 6= z)
Barbara König
Logik
147
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Tarski’s World
Tarski’s World
Tarski’s World ist eine Lehrsoftware für Prädikatenlogik,
entworfen von Jon Barwise und John Etchemendy.
Dabei werden die Formeln auf einem Schachbrett evaluiert,
auf dem sich Tetraeder, Würfel und Dodekaeder in drei
Größen (small, medium, large) befinden können.
Gegenüber der allgemeinen Prädikatenlogik gibt es sowohl
Einschränkungen an die Syntax von Formeln als auch an die
zulässigen Strukturen.
Ob eine Formel für eine bestimmte Welt gilt (oder nicht),
kann in einem Spiel gegen den Rechner intuitiv
veranschaulicht werden.
Barbara König
Logik
148
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Tarski’s World – Screenshot
Barbara König
Logik
149
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Tarski’s World
Einschränkungen an die Syntax – zulässige Konstanten und
Prädikatsymbole:
Zulässige Konstanten: a, b, c, d, e, f
Zulässige Prädikatsymbole (Auswahl):
Einstellig:
Tet, Cube, Dodec, Small, Medium, Large
Zweistellig:
Smaller , Larger , BackOf , FrontOf , LeftOf , RightOf
Dreistellig: Between
Neben den Konstanten kommen in den Formeln bei Tarski’s World
keine weiteren Funktionssymbole vor.
Variablen, aussagenlogische Operatoren und Quantoren können
beliebig benutzt werden. Außerdem ist das Prädikat Gleichheit (=)
erlaubt.
Barbara König
Logik
150
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Tarski’s World
Einschränkungen an die Semantik – zulässige Strukturen:
Universen bestehen immer aus Mengen von Körpern auf dem
Schachbrett.
Die Interpretation der Prädikatsymbole ist durch die Größe
und Art der Körper und durch ihre Positionierung auf dem
Schachbrett festgelegt.
Beispielsweise gilt:
Tet(a) bedeutet, dass a ein Tetraeder ist.
Smaller (a, b) bedeutet, dass a kleiner als b ist.
LeftOf (c, d) sagt aus, dass sich c links von d befindet.
Between(a, b, c) sagt aus, dass sich a zwischen b und c
befindet.
Barbara König
Logik
151
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Tarski’s World
Daraus folgt: Nicht jede Formel, die in jeder Tarski’s World gilt, ist
eine im prädikatenlogischen Sinne gültige Formel.
Beispiel: ∀x(Small(x) ∨ Medium(x) ∨ Large(x))
Barbara König
Logik
152
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Folgerung und Äquivalenz
Definition (Folgerung)
Eine Formel G heißt eine Folgerung der Formeln F1 , . . . , Fk falls
für jede Struktur, die sowohl zu F1 , . . . , Fk als auch zu G passend
ist, gilt:
Wenn A Modell von {F1 , . . . , Fk } ist, dann ist A auch
Modell von G .
Wir schreiben F1 , . . . , Fk |= G , falls G eine Folgerung von
F1 , . . . , Fk ist.
Definition (Äquivalenz)
Zwei Formeln F , G heißen (semantisch) äquivalent, falls für alle
Strukturen A, die sowohl für F als auch für G passend sind, gilt
A(F ) = A(G ). Hierfür schreiben wir F ≡ G .
Barbara König
Logik
153
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aufgabe zu Folgerung und Äquivalenz
1
F1 = ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x)
2
F2 = ∀x(P(x) ∨ Q(x))
3
F3 = ∀xP(x) ∨ ∀yQ(y )
J
N
F1 |= F2
F2 |= F3
F3 |= F1
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Logik
154
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aufgabe zu Folgerung und Äquivalenz
1
F1 = ∃y ∀xP(x, y )
2
F2 = ∀x∃yP(x, y )
J
N
F1 |= F2
F2 |= F1
Barbara König
Logik
155
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Aufgabe zu Folgerung und Äquivalenz
J
∀x∀yF ≡ ∀y ∀xF
∀x∃yF ≡ ∃x∀yF
∀x∃yF ≡ ∃y ∀xF
∃x∃yF ≡ ∃y ∃xF
∀xF ∨ ∀xG ≡ ∀x(F
∀xF ∧ ∀xG ≡ ∀x(F
∃xF ∨ ∃xG ≡ ∃x(F
∃xF ∧ ∃xG ≡ ∃x(F
Barbara König
N
∨ G)
∧ G)
∨ G)
∧ G)
Logik
156
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Äquivalenzen
Satz (Äquivalenz von prädikatenlogischen Formeln)
Seien F und G beliebige Formeln. Dann gilt:
1
¬∀xF ≡ ∃x¬F
¬∃xF ≡ ∀x¬F
2
Falls x in G nicht frei vorkommt, gilt:
∀xF ∧ G ≡ ∀x(F ∧ G )
∀xF ∨ G ≡ ∀x(F ∨ G )
∃xF ∧ G ≡ ∃x(F ∧ G )
∃xF ∨ G ≡ ∃x(F ∨ G )
3
∀xF ∧ ∀xG ≡ ∀x(F ∧ G )
∃xF ∨ ∃xG ≡ ∃x(F ∨ G )
4
∀x∀yF ≡ ∀y ∀xF
∃x∃yF ≡ ∃y ∃xF
Barbara König
Logik
157
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Äquivalenzen
Bemerkung: alle Äquivalenzgesetze der Aussagenlogik behalten
weiterhin ihre Gültigkeit.
Beispiel:
∀x¬(P(x) ∧ ¬P(x)) ≡ ∀x(¬P(x) ∨ P(x))
(nach deMorgan)
Barbara König
Logik
158
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Substitution
Definition (Substitution)
Sei F eine Formel, x eine Variable und t ein Term. Dann
bezeichnet F [x/t] diejenige Formel, die man aus F erhält, wenn
man jedes freie Vorkommen der Variablen x in F durch t ersetzt.
Durch [x/t] wird eine Substitution beschrieben.
Dabei geht man davon aus, dass durch die Substitution keine
Variable in t gebunden wird.
Beispiele für Substitutionen:
P(x) ∨ Q(f (x)) ∨ R(y ) [x/g (y )] =
P(g (y )) ∨ Q(f (g (y ))) ∨ R(y )
∀xP(x) ∨ Q(x) [x/g (y )] = ∀xP(x) ∨ Q(g (y ))
Barbara König
Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Substitution
Unterscheidung zwischen F [x/t] und A[x/d] :
Bei F [x/t] wird eine syntaktische Ersetzung innerhalb der
Formel F vorgenommen.
Bei A[x/d] wird eine Struktur verändert, d.h., diese Ersetzung
bezieht sich auf die Semantik.
Der Zusammenhang zwischen beiden Notationen ist wie folgt:
Überführungslemma
Für jede Formel F , jede Variable x und jeden Term t, der keine in
F gebundene Variable enthält, gilt:
A(F [x/t]) = A[x/A(t)] (F ).
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Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Bereinigte Formeln
Definition (Bereinigte Formel)
Eine Formel heißt bereinigt, sofern es keine Variable gibt, die in der
Formel sowohl gebunden als auch frei vorkommt, und sofern hinter
allen vorkommenden Quantoren verschiedene Variablen stehen.
Lemma (Gebundene Umbenennung)
Sei y eine Variable, die in F nicht vorkommt. Dann gilt:
∃xF ≡ ∃y (F [x/y ])
∀xF
≡ ∀y (F [x/y ])
Lemma
Zu jeder Formel F gibt es eine äquivalente Formel in bereinigter
Form.
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Pränexform
Definition (Pränexform)
Eine Formel heißt pränex oder in Pränexform, falls sie folgende
Bauart hat
Q1 y1 Q2 y2 . . . Qn yn F ,
wobei Qi ∈ {∃, ∀}, n ≥ 0, und die yi (paarweise verschiedene)
Variablen sind. Es kommt ferner kein Quantor in F vor.
Satz
Für jede Formel gibt es eine äquivalente (und bereinigte) Formel in
Pränexform.
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Pränexform
Verfahren zur Bestimmung der Pränexform:
Gegeben: eine prädikatenlogische Formel F .
1
2
3
Erstelle durch gebundene Umbenennung eine bereinigte
Formel, die zu F äquivalent ist.
Schieben alle Negationen mit Hilfe der Gesetze ¬∀xF ≡ ∃x¬F
und ¬∃xF ≡ ∀x¬F hinter die Quantoren.
Ziehe alle Quantoren nach vorne unter Verwendung folgender
Gesetze (Annahme: x kommt nicht frei in G vor):
(∀xF ∧ G ) ≡ ∀x(F ∧ G )
(∀xF ∨ G ) ≡ ∀x(F ∨ G )
(∃xF ∧ G ) ≡ ∃x(F ∧ G )
(∃xF ∨ G ) ≡ ∃x(F ∨ G )
(Für diese Umformung ist es unbedingt notwendig, dass F
zuvor bereinigt wurde.)
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Pränexform
Beispiel: Formen Sie die folgende Formel in Pränexform um.
F = (∀x∃y P(x, g (y , f (x))) ∨ ¬Q(z)) ∨ ¬∀x R(x, y )
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Skolemform
Wir definieren nun noch die Skolemform, in der keine
Existenzquantoren mehr enthalten sind.
Definition (Skolemform)
Eine Formel ist in Skolemform, falls sie folgende Bauart hat
∀y1 ∀y2 . . . ∀yn F ,
wobei n ≥ 0, und die yi (paarweise verschiedene) Variablen sind.
Es kommt ferner kein Quantor in F vor.
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Skolemform
Für jede Formel F in bereinigter Pränexform (BPF) definieren wir
ihre Skolemform(-el) als das Resultat der Anwendung des
folgenden Algorithmus auf F :
while F enthält einen Existenzquantor do
begin
F habe die Form F = ∀y1 ∀y2 . . . ∀yn ∃z G für eine
Formel G in BPF und n ≥ 0 (der Allquantorblock kann
auch leer sein);
Sei f ein neues bisher in F nicht vorkommendes
n-stelliges Funktionssymbol;
F := ∀y1 ∀y2 . . . ∀yn G [z/f (y1 , y2 , . . . , yn )];
(der Existenzquantor in F wird entfernt und jedes
Vorkommen von z in G durch f (y1 , y2 , . . . , yn ) ersetzt)
end
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Skolemform
Satz
Für jede Formel F in bereinigter Pränexform gilt: F ist erfüllbar
genau dann, wenn die Skolemform von F erfüllbar ist.
Bemerkung: die Umformung in die Skolemform erhält nur die
Erfüllbarkeit von Formeln, nicht jedoch deren Gültigkeit! Man sagt
daher, dass die Formel F und ihre Skolemform
erfüllbarkeitsäquivalent sind. Sie sind im allgemeinen jedoch nicht
äquivalent.
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Skolemform
Beispiel 1: Formen Sie folgende Formel in Skolemform um.
F = ∃x∀y ∃z∀u∃vP(x, y , z, u, v )
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Skolemform
Beispiel 2: Gegeben sei die Formel
F = ∀x∃y P(x, y )
Bestimmen Sie zunächst die Skolemform F 0 von F .
Geben Sie ein Modell von F an und erweitern Sie es zu einem
Modell von F 0 .
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Klauselform
Definition (Klauselform)
Eine Aussage heißt in Klauselform, falls sie die Bauart hat
∀y1 ∀y2 . . . ∀yn F ,
wobei F keine Quantoren enthält und in KNF (konjunktiver
Normalform) ist.
Eine Aussage in Klauselform kann als Menge von Klauseln
dargestellt werden.
Beispiel: ∀x∀y ((P(x, y ) ∨ Q(x)) ∧ R(y )) ist in Klauselform und
wird dargestellt als:
{{P(x, y ), Q(x)}, {R(y )}}
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Klauselform
Verfahren zur Bestimmung der Klauselform:
Gegeben: eine prädikatenlogische Formel F (mit eventuellen
Vorkommen von freien Variablen).
1
Bereinige F durch systematisches Umbenennen der
gebundenen Variablen. Es entsteht eine zu F äquivalente
Formel F1 .
2
Seien y1 , y2 , . . . , yn die in F bzw. F1 vorkommenden freien
Variablen. Ersetze F1 durch F2 = ∃y1 ∃y2 . . . ∃yn F1 . Dann ist
F2 erfüllbarkeitsäquivalent zu F1 und F und enthält keine
freien Variablen mehr.
3
Stelle eine zu F2 äquivalente (und damit zu F
erfüllbarkeitsäquivalente) Aussage F3 in Pränexform her.
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Klauselform
4
Eliminiere die vorkommenden Existenzquantoren durch
Übergang zur Skolemform von F3 . Diese sei F4 und ist dann
erfüllbarkeitsäquivalent zu F3 und damit auch zu F .
5
Forme die Matrix von F4 um in KNF, wodurch man die
Klauselform erhält (und schreibe diese Formel F5 dann als
Klauselmenge auf).
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Klauselform
Welche dieser Formel sind bereinigt, in Pränexform, in Skolemform,
in Klauselform?
B
P
S
K
∀x(Tet(x) ∨ Cube(x) ∨ Dodec(x))
∃x∃y (Cube(y ) ∨ BackOf(x, y ))
∀x(¬FrontOf(x, x) ∧ ¬BackOf(x, x))
¬∃xCube(x) ↔ ∀x¬Cube(x)
∀x(Cube(x) → Small(x)) → ∀y (¬Cube(y ) → ¬Small(y ))
(Cube(a) ∧ ∀xSmall(x)) → Small(a)
∃x(Larger(a, x) ∧ Larger(x, b)) → Larger(a, b)
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Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Klauselform
Beispiel: Formen Sie die folgenden Formeln in Klauselform um:
F1 = ∀xP(x) → ∀xP(f (x))
F2 = (∀x∃y P(x, g (y , f (x))) ∨ ∀z¬Q(z)) ∧ ¬∀x R(x, x)
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