Übungen zum Seminar Grundlagen der

Universität Ulm
Britta Dorn
Kerstin Döbel
Übungen zum Seminar
Grundlagen der Mathematik
Blatt 6
Das Prinzip der vollständigen Induktion
„Seht Euch doch diesen Mathematiker an“, sagt der Logiker, „er bemerkt,
dass die ersten neunundneunzig Zahlen kleiner als hundert sind und schließt
daraus auf Grund von etwas, das er Induktion nennt, daß alle Zahlen kleiner
als hundert sind.“
„Ein Physiker glaubt“, sagt der Mathematiker, „dass 60 durch alle Zahlen
teilbar ist. Er bemerkt, dass 60 durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist.
Er untersucht noch ein paar Fälle wie 10, 20 und 30, die, wie er sagt, aufs
Geratewohl herausgegriffen sind. Da 60 auch durch diese teilbar ist, betrachtet
er seine Vermutung als hinreichend durch den experimentellen Befund bestätigt.“
„Ja, aber seht Euch doch die Ingenieure an“, sagt der Physiker. „Ein Ingenieur
hatte den Verdacht, dass alle ungeraden Zahlen Primzahlen sind. Jedenfalls,
so argumentiert er, kann 1 als Primzahl betrachtet werden. Dann kommen 3,
5 und 7, alle zweifellos Primzahlen. Dann kommt 9; ein peinlicher Fall,
wir scheinen hier keine Primzahl zu haben. Aber 11 und 13 sind unbestreitbar
Primzahlen. ’Auf die 9 zurückkommend’, sagt er, ’schließe ich, dass 9 ein
Fehler im Experiment sein muss.’
Es liegt nur allzu sehr auf der Hand, dass Induktion zum Irrtum führen kann.
Um so bemerkenswerter ist es, da die Irrtumswahrscheinlichkeiten so überwältigend
erscheinen, dass Induktion manchmal zur Wahrheit führt.
Mathematik-Folklore
Aufgabe 1 (6 Punkte)
Beweise:
Es seien X und Y Mengen. Dann sind folgende Aussagen äquvalent:
i) Y ⊂ X
ii) X ∪ Y = X
iii) X ∩ Y = Y .
Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, dass man keine Gelegenheit versäumen
sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.
Blaise Pascal (1623 - 1662)
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Grundlagen der Mathematik
Blatt 6
Universität Ulm
Britta Dorn
Kerstin Döbel
Aufgabe 2 (4 Punkte)
a) Eine Gruppe von 20 Weihnachtsmännern zieht durch die Stadt und verteilt Geschenke.
Jeder Weihnachtsmann kann bis zu 18 Geschenke in seinen Schlitten packen.
Zeige: Zu jedem Zeitpunkt haben mindestens zwei Weihnachtsmänner die gleiche Anzahl
Geschenke in ihren Schlitten.
b) Ein Fakir bestückt sein Brett (1,5m x 0,6m) wahllos mit 100 Nägeln.
Zeige, dass es immer zwei Nägel gibt, die höchstens 15 cm auseinander liegen.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Zu n ∈ N sei A(n) eine Aussage so dass
1) A(n0 ) richtig ist für n0 ∈ N.
2) Für m ≥ n0 gilt: ist A(m) richtig, so ist auch A(m + 1) richtig.
Zeige mit Hilfe des nachstehenden Peano’schen Axioms, dass dann A(n) für alle n ≥ n0 gilt.
Hinweis: Betrachte die Menge M = {n ∈ N | A(n + n0 − 1) ist richtig} und zeige, dass M = N
gilt.
Peano’sches Axiom
Sei M ⊂ N so dass
1
1) 1 ∈ M und
2) Wenn n ∈ M , dann ist auch n + 1 ∈ M .
Dann ist M = N.
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Beweise den Binomischen Lehrsatz mittels vollständiger Induktion:
Seien x, y reelle Zahlen und n eine natürliche Zahl. Dann gilt
n X
n n−k k
n
(x + y) =
x
y .
k
k=0
n!
2.
Dabei bezeichnet nk den Binomial-Koeffizienten und es gilt nk = k!·(n−k)!
1
2
Eine Folgerung des Peano’schen Axioms ist die vollständige Induktion.
Dabei kannst du benutzen, dass
0!
n
=
1,
=
0,
n
−1
=
0,
n
k−1
=
n+1
n
k
+
n+1
k
(folgt direkt aus der Bonusaufgabe!).
Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, dass man keine Gelegenheit versäumen
sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.
Blaise Pascal (1623 - 1662)
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Britta Dorn
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Blatt 6
Bonusaufgabe (+ 6 Punkte)
Zur Info:
Der erste Mathematiker, der einen formalen Beweis durch vollständige Induktion
angab, war der italienische Geistliche Franciscus Maurolicus (1494 - 1575).
Er war Abt von Messina und wurde als größter Geometer des 16. Jahrhunderts
angesehen. In seinem 1575 veröffentlichten Buch „Arithmetik“ benutzte Maurolicus
die vollständige Induktion unter anderem dazu, für jede positive ganze Zahl
n die Gültigkeit von
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n · n
zu beweisen. Die Induktionsbeweise von Maurolicus waren in einem knappen
Stil geschrieben, dem man nur schwer folgen kann. Eine bessere Darstellung
dieser Methode wurde von dem französischen Mathematiker Blaise Pascal (1623
- 1662) angegeben. In seinem 1662 erschienen Buch „Traité du Triangle Arithmetique“
bewies er eine Formel über die Summe von Binomialkoeffizienten mittels vollständiger
Induktion. Er benutzte diese Formel dann um das heute nach ihm benannte
Pascalsche Dreieck zu entwickeln.
Obwohl die Methode der vollständigen Induktion also bereits 1575 bekannt
war, wurde der Name dafür erst 1838 erstmalig gebraucht. In jenem Jahr veröffentlichte
Augustus de Morgan (1806 - 1871), einer der Begründer der Mengenlehre, den
Artikel „Induction (Mathematics)“ in der Londoner Zeitschrift „Penny Cyclopedia“.
Am Ende dieses Artikels benutzte er den Namen für die vollständige Induktion
erstmals im heute üblichen Sinn. Jedoch fand diese Bezeichnung erst in unserem
Jahrhundert ihre weite Verbreitung.
Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, dass man keine Gelegenheit versäumen
sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.
Blaise Pascal (1623 - 1662)
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Britta Dorn
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Grundlagen der Mathematik
Blatt 6
Zur Aufgabe:
Zeige, dass für alle natürlichen Zahlen n, k ∈ N mit n ≥ k + 1 die Identität
n
n−1
n−1
=
+
k
k−1
k
gilt und interpretiere das Pascalsche Dreieck.
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, dass man keine Gelegenheit versäumen
sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.
Blaise Pascal (1623 - 1662)