Teil 7 (als pdf)

Leistung, Reibung
Leistung P:
Verrichtete Arbeit pro Zeit:
P=
dW
dt
Einheit der Leistung: 1 Watt = 1 J/s = 1 kg m2 / s3
x1
W =
∫
r r
F ds =
x0
dW d
=
dt
dt
t1
∫
r dsr
F
dt =
dt
t0
∫
t1
∫
1736 - 1819
r r
F ⋅ v dt
t0
r r
r r
F ⋅ v dt = F ⋅ v
r r
P = F ⋅v
147
Leistung beim Beschleunigen:
Beschleunigung mit konstanter Kraft:
r
d2 x (t ) r
m
=F
dt 2
Differentialgleichung integrieren:
r
r
r
d x (t ) r
F
= v (t ) = t + v 0
dt
m
r
r
r
F 2 r
x( t ) =
t + v 0 t + x0
2m
⇒
r r
r r
F2
P (t ) = F ⋅ v (t ) =
t +v0 ⋅F
m
(Wichtig z.B. bei Reibung!)
Die Leistung steigt quadratisch mit der beschleunigenden Kraft, aber linear
mit der Zeit an
148
1
Leistung und potentielle Energie:
∆s
∆m
h
∆E pot = ∆m g h
P=
P=
∆Epot
∆t
=
∆m
g h,
∆t
∆m
v g h.
∆s
oder (mit v
=
∆s
):
∆t
(Leistung proportional zur Geschwindigkeit des Bandes)
Der Motor muss die Leistung P liefern.
149
Reibung (nur phänomenologische Behandlung):
1. Haftreibung
FN
r
r
FR ≤ µ H FN
FR
FN : Normalkraft
FR : Reibungskraft
µH : Haftreibungskoeffizient
Die Haftreibung hängt nicht von der Auflagefl äche, sondern nur von der
Andruckkraft und der Oberflächenbeschaffenheit ab.
r
FG sin α
Der Körper beginnt
zu rutschen, wenn
FG sinα ≥ µ H FG cos α
⇒
µ H = tan α , α = arctg µ H
r
FG
r
FN
α
150
2
2. Gleitreibung
Wenn der Körper rutscht, wird die Reibungskraft geringer:
r
r
FR = µ G FN
FN
F R ,v
FN : Normalkraft
FR : Reibungskraft
µG : Gleitreibungskoeffizient
µG ≤ µH
µH
µG
Stahl-Stahl
0.7
0.6
Alu-Alu
1.0
1.0
Glas-Glas
0.9
0.4
Teflon-Teflon
0.04
0.04
Gummi-Beton
1.0
0.8
Gummi-Beton (naß)
0.3
0.25
Material
151
3. Rollreibung
Analog:
r
r
FR = µ R FN
FN : Normalkraft
FR : Reibungskraft
µR : Rollreibungskoeffizient
Material
µR
Stahl – Stahl
0.001
Gummi-Beton
0.01
µ R << µG , µH
152
3
4. Reibung und Schmierung (Modelle im atomaren Maßstab)
Schmiermittel-Moleküle (grün) füllen genügend große Zwischen räume zwischen zwei aufeinander reibenden Flächen aus und verhindern so die unmittelbare Berührung (Adhäsion, d.h. schwache
chemische Bindung) beider Flächen. Bei einer Gleitbewegung wandern die Moleküle in benachbarte atomare Lücken geeigneter Größe.
Oberfläche im atomaren Maßstab
ca. 0,5 nm
h
Unterste Atomlage ( Grenzschicht) des oberen Mediums
v
Schmiermittel-Moleküle
(mehrere Moleküllagen)
Oberste Atomlage ( Grenzschicht) des unteren Mediums
V(h) (Geschwindigkeitsgradient)
V=0
Beide Grenzflächen haben i. allg. unterschiedliche atomare Abmessungen (Gitterkonstanten).
Die Reibung zwischen den beiden Grenzflächen wird ersetzt durch die viskose Reibung in
dem flüssigen Schmiermittel, Geschwindigkeitsgradient dv/dh.
153
5. Viskose Reibung (Stokes-Reibung)
Kleine Kugel mit Radius r bewegt sich langsam in einer viskosen
Flüssigkeit:
r
r
FR = −6π η r v .
(Die Reibungskraft ist der Geschwindigkeit v entgegengerichtet)
η: Viskosität der Flüssigkeit.
Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit, also ist die an das
reibende Medium abgegebene Leistung P = F • v proportional zum
Quadrat der Geschwindigkeit.
Unter dem Einfluß der Gewichtskraft: Nach anfänglicher Beschleunigung
r
konstante Sinkgeschwindigkeit : v S
r
r
FR = −FG ,
Für Kugeln aus dem gleichen Material
(gleiche Dichte ?) aber verschiedenen
r
r
Radien
r ergeben sich unterschiedliche
− 6π η r v = −mg,
Sinkgeschwindigkeiten vS :
r
r
r
2 r 2 ρ´g
r
4π 3
mg
vS =
.
m = r ⋅ ρ´
vS =
.
9η
3
6π η r
Gleichgewicht:
ρ´= ρ − ρ Öl ,
(Auftrieb)
Kugel
ρ Öl
Öl
154
4
6. Schnelle Bewegung in Gas oder Flüssigkeit (Turbulenz)
Reibungskraft ist jetzt proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit v
(Wirbelbildung)
FR = 12 c w ρ Av 2
c w Widerstandskoeffizient (Kugel: c w ≅ 0,4; Stromlinienform: c w < 0,1)
ρ
Dichte des Mediums (Gas, Flüssigkeit)
A Querschnittsfläche
Widerstandsbeiwerte
cW :
0,4
( Stromlinienprofil)
(Tragflächenprofil)
„
0,06
0,8
(Kugel)
(Halbkugel)
0,1
0,2
1,2
(Scheibe)
1,4
( Kugelkalotte)
155
Leistung beim Autofahren:
Parameter für Auto: m = 1000 kg, A = 3 m2, c w = 0.5, ρ Luft = 1.2 kg/m3
Rollreibung:
FR,1 = µ R m g = 100 N
Luftwiderstand:
FR,2 = 12 cw ρ A v 2 = 0. 9 kg/m ⋅ v 2
Leistung:
P = FR ,ges ⋅ v
Bei 50 km/h (= 13,88 m/s):
Fges = 100 N + 174 N = 274 N
P
Bei 150 km/h (= 41,66 m/s):
= 3800 W
≅ 4 kW
Fges = 100 N + 1562 N = 1662 N
P
= 69240 W
≅ 70 kW
Leistung gegen Luftwiderstand ist ungefähr proportional zu v3
156
5