Normen - Institut für Mathematik - Goethe

Einleitung
Grundlagen
Einordnung
Normen
Thomas Gerstner
Institut für Mathematik
Goethe-Universität Frankfurt am Main
Einführungsvortrag
Proseminar Normen“
”
25. Januar 2013
Thomas Gerstner
Normen
Einleitung
Grundlagen
Einordnung
Outline
1
Einleitung
Motivation
Anwendungsbereiche
2
Grundlagen
Definition
Grundlegende Eigenschaften
Normkugeln
3
Einordnung
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Wichtige Normen
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Anwendungsbereiche
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1
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2
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Grundlegende Eigenschaften
Normkugeln
3
Einordnung
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Wichtige Normen
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Motivation
Anwendungsbereiche
Motivation
Norm: Beschreibung der Größe“ eines
”
mathematischen Objekts
Beispiel: Die euklidische Norm
p
kv k2 = x 2 + y 2
entspricht der anschaulichen Länge eines
Vektors in der euklidischen Ebene
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Mathematische Objekte (Elemente eines Vektorraums):
Zahlen
Matrizen
Funktionen
Zahlentupel
Folgen
Operatoren
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Anwendungsbereiche
Anwendungsbereiche
Anwendungsbereiche:
Geometrie (Länge, Abstand)
Analysis (Metrik, Funktionenräume)
Lineare Algebra (Matrixnormen)
Numerik (Fehlerabschätzungen)
Approximationstheorie (Bestapproximation)
Funktionalanalysis (Banachräume)
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Definition
Grundlegende Eigenschaften
Normkugeln
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1
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Anwendungsbereiche
2
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Grundlegende Eigenschaften
Normkugeln
3
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Wichtige Normen
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Normkugeln
Definition
Definition: Eine Norm ist eine Abbildung
k · k : V → R+ , x 7→ kxk
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von einem Vektorraum V über dem Körper K der reellen oder
komplexen Zahlen nach R+ mit den drei Eigenschaften (Axiomen)
• kxk = 0 ⇒ x = 0
• kα · xk = |α| · kxk
• kx + y k ≤ kxk + ky k
(Definitheit)
(absolute Homogenität)
(Dreiecksungleichung)
für alle Vektoren x, y ∈ V und alle Skalare α ∈ K.
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Grundlegende Eigenschaften
Normkugeln
Beispiel (Euklidische Norm)
Definitheit:
kxk = 0 ⇒ x = 0
Hat ein Vektor die Länge null, so ist er der Nullvektor.
Absolute Homogenität:
kα · xk = |α| · kxk
Wird ein Vektor mit einer Zahl multipliziert, so ändert sich seine Länge
mit dem Betrag dieser Zahl.
Dreiecksungleichung:
kx + y k ≤ kxk + ky k
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Die Länge der Summe zweier Vektoren ist
höchstens so groß wie die Summe der beiden Längen.
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Grundlegende Eigenschaften
Normkugeln
Grundlegende Eigenschaften
Umgekehrte Richtung der Definitheit:
Setze in der absoluten Homogenität α = 0:
kα · xk = |α| · kxk
k0 · xk = |0| · kxk
k0k = 0
Der Nullvektor hat damit die Länge null:
x = 0 ⇒ kxk = 0
Zusammen mit der Definitheit gilt dann:
kxk = 0 ⇔ x = 0
Ein Vektor hat genau dann die Norm null, wenn er der Nullvektor ist.
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Grundlegende Eigenschaften
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Grundlegende Eigenschaften
Symmetrie:
Setze in der absoluten Homogenität α = −1:
kα · xk = |α| · kxk
k(−1) · xk = |−1| · kxk
k − xk = kxk
Der inverse Vektor hat die gleiche Norm wie der Ausgangsvektor.
Damit gilt auch für die Differenz zweier Vektoren:
ky − xk = k − (x − y )k = | − 1| · kx − y k = kx − y k
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Grundlegende Eigenschaften
Nichtnegativität:
Setze in der Dreiecksungleichung y = −x:
kx + y k ≤ kxk + ky k
kx − xk ≤ kxk + k−xk
k0k ≤ 2 · kxk
0 ≤ kxk
Jede Norm ist also nichtnegativ.
⇒ Jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor hat eine positive Norm.
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Grundlegende Eigenschaften
Umgekehrte Dreiecksungleichung:
Wende die Dreiecksungleichung auf x − y + y an:
kx − y + y k ≤ kx − y k + ky k
kxk ≤ kx − y k + ky k
kxk − ky k ≤ kx − y k
Analoge Anwendung auf y − x + x:
ky − x + xk ≤ ky − xk + kxk
ky k ≤ ky − xk + kxk
ky k − kxk ≤ kx − y k
Insgesamt gilt damit:
| kxk − ky k | ≤ kx − y k
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Grundlegende Eigenschaften
Konvexität: Eine reellwertige Funktion
f : V → R heißt konvex, falls
f (tx + (1 − t)y ) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y )
für alle x, y ∈ V und 0 ≤ t ≤ 1 gilt.
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Jede Norm ist konvex, denn es gilt
ktx + (1 − t)y k ≤ ktxk + k(1 − t)y k =
tkxk + (1 − t)ky k
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Normkugeln
Normkugeln
Offene Normkugel um x0 ∈ V :
{x ∈ V : kx − x0 k < r }
Abgeschlossene Normkugel um x0 :
{x ∈ V : kx − x0 k ≤ r }
Normsphäre um x0 :
{x ∈ V : kx − x0 k = r }
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Einheitskugel und Einheitssphäre: Wähle x0 = 0 und r = 1
Jede Normkugel entsteht aus der Einheitskugel durch Skalierung mit
dem Faktor r und Verschiebung um den Vektor x0 .
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Grundlegende Eigenschaften
Normkugeln
Normkugeln
Konvexe Menge: Menge M ⊂ V heißt konvex, wenn
tx + (1 − t)y ∈ M
für alle x, y ∈ M und alle 0 ≤ t ≤ 1 gilt.
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Die Einheitskugel einer Norm ist konvex, denn
ktx + (1 − t)y k ≤ t kxk +(1 − t) ky k ≤ t + (1 − t) = 1
|{z}
|{z}
≤1
≤1
Die Einheitskugel einer Norm ist punktsymmetrisch
bzgl. des Nullpunkts, denn
kxk ≤ 1 ⇔ k − xk ≤ 1
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Wichtige Normen
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3
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Wichtige Normen
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Einordnung
Jedes Skalarprodukt induziert eine Norm:
p
kxk = hx, xi
Jede Norm induziert eine Metrik:
d(x, y ) = kx − y k
Jede Metrik induziert eine Topologie:
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Uε (x) = { y ∈ V , d (x, y ) < ε}
T
= {M ⊂ V | ∀ x ∈ M ∃ ε > 0 : Uε (x) ⊂ M}
Bezüglich dieser Topologie ist jede Norm eine stetige Abbildung.
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Wichtige Normen
Begriffe
Skalarprodukträume (V , h·, ·i)
Topologische Räume (X , T )
Winkel
Offene Mengen
Orthogonalität
Stetigkeit
Normierte Räume (V , k · k)
Länge, Größe
Grenzwert
Inneres und Äußeres
Metrische Räume (X , d)
Rand
Abstand
Beschränktheit
V : Vektorraum
Cauchy-Folge
X : beliebige Menge
Vollständigkeit
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Wichtige Normen
Wichtige Normen
Zeilensummennorm
Zahlnormen
Betragsnorm
Spaltensummennorm
Vektornormen
Folgennormen
Maximumsnorm
bv -Norm
Euklidische Norm
`p -Normen
Summennorm
Funktionennormen
p-Normen
Supremumsnorm
Matrixnormen
BV -Norm
Gesamtnorm
Lp -Normen
Frobeniusnorm
Cs -Normen
Spektralnorm
Sobolev-Normen
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Wichtige Normen
Quellen
Quellen:
Wikipedia: Norm (Mathematik)
Wikipedia: Konvexe und konkave Funktionen
Wikipedia: Konvexe Menge
Wikipedia: Normierter Raum
Wikipedia: Raum (Mathematik)
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