Aussagenlogik - Wolfgang Hebold

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Logik
© Wolfgang Hebold
Aussagenlogik
Einleitung
Die Aussagenlogik befasst sich mit dem Erhalt von Wahrheitswerten beim Bilden von
zusammengesetzten Sätzen, die entweder wahr oder falsch sein können. Der aus der
Zusammensetzung resultierende Satz kann dabei wiederum nur entweder wahr oder falsch
sein. Ob ein einzelner, noch nicht zusammengesetzter Satz – ein Basissatz − wahr ist oder
nicht, ist für die Aussagenlogik ohne Interesse. Es geht ihr also nur um die Verknüpfung von
wahren oder falschen Sätzen zu einem Satz, der dann wiederum entweder wahr oder falsch
ist – weswegen es Aussagenlogik, ausdrücklich Plural, heißt.
Sachverhalt und Aussagen
Aussagen beschreiben Sachverhalte der Dinge oder des Denkens. Eine Aussage ist wahr,
wenn der Sachverhalt vorliegt oder falsch, wenn er nicht vorliegt.
Die Bedeutung einer Aussage ist deren Wahrheit oder Falschheit. Wir können auch sagen:
Die Bedeutung ist »wahr« oder »falsch«. Damit meinen alle wahren Sätze logisch dasselbe:
Den Wahrheitswert wahr. Ebenso meinen alle falschen Sätze logisch dasselbe: Den
Wahrheitswert falsch. Einen dritten Wert gibt es nicht. Das besagt das Prinzip vom
ausgeschlossenen Dritten (tertium non datur). Also muss eine eindeutige Bewertung
möglich sein, d.h. der Satz muss sich auf ein konkretes Objekt beziehen, über das er etwas
sagt, und es muss prinzipiell möglich sein zu entscheiden, ob er wahr oder falsch ist.
Anmerkung
Diese beiden Prinzipien: Die Beschränkung auf die beiden Wahrheitswerte und die
Offenheit, welcher Wahrheitswert es nun ist, den ein Satz hat, sind für die Satzlogik
grundlegend. Durch die Beschränkung wird der Bereich der Betrachtung eingegrenzt.
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Durch die Offenheit werden Aussagen über Sätze, deren Geltung nicht geklärt wird,
überhaupt möglich.
Anmerkung
Aussagen sind also ausdrücklich Sätze, dh. es handelt sich um ein linguistisches
Konzept. Die Verwendung des Begriffs weicht in der Literatur von dieser Lesart ab.
Aussage steht mitunter für den Sachverhalt und Satz für das sprachliche Konstrukt, das
den Sachverhalt bezeichnet. In diesem Fall wird dann auch von »Satzlogik« statt
»Aussagenlogik« gesprochen werden. In der angelsächsischen Literatur steht
proposition auch für den Sachverhalt, propositional logic für Aussagenlogik und
sentence allgemein für einen Satz; allerdings wird in älterer Literatur von sentential
logic an Stelle von propositional logic gesprochen. Dabei betont sentential die
syntaktische Abgeschlossenheit des Satzes, lässt aber – anders als proposition und
näher an der Aussagenlogik – die tatsächlich Gültigkeit eines Satzes offen.
Anmerkung
In einem radikal anderen Ansatz beschrieb Gottlob Frege die Bedeutung einer Aussage
nicht als den Sachverhalt, sondern als ihren Wahrheitswert, dh. als wahr oder falsch.
Damit werden etliche philosophische Probleme unterlaufen.
Beispiel
Der Satz »Die Sonne scheint.« ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist, denn der
Satz kann durch einen Blick zum Himmel überprüft werden; also handelt es sich um
eine Aussage. Diese Aussage ist wahr, wenn die Sonne scheint. Sonst ist sie falsch.
Beispiel
Der Satz »Die Sonne ist schön.« ist keine Aussage, weil nicht entschieden werden kann,
ob er wahr oder falsch ist. Ebensowenig ist der Satz »Ein Baum ist grün.« eine
Aussage, jedenfalls nicht, solange nicht spezifiziert ist, welcher Baum gemeint ist. Der
Satz »Dieser Baum dort ist grün.« wäre damit eine Aussage, denn nun hat man einen
konkreten Baum vor Augen.
Nun lässt sich ein einzelner Sachverhalt durch verschiedene Sätze beschreiben. In einem
Satz steckt also u.U. mehr, als der Sachverhalt, den er beschreibt. Dieses Mehr heißt der
Sinn eines Satzes bzw. einer Aussage. Allerdings ist dieser Sinn für die Logik ohne
Bedeutung; es interessiert – das besagt das Extensionalitätsprinzip der Logik – allein die
Bedeutung von Sätzen bzw. von Aussagen.
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Anmerkung
Sinn und Bedeutung eines Satzes sind also deutlich zu trennen. Die Bedeutung ist das,
worauf ein Satz referiert; der Sinn entspricht dem besonderen sprachlichen Ausdruck
des Satzes. Den Unterschied macht das folgende, von Gottlob Frege stammende
Beispiel deutlich: Die beiden Worte »Abendstern« und »Morgenstern« haben dieselbe
Bedeutung – die Venus – aber einen unterschiedlichen Sinn – die Venus einmal am
Morgenhimmel und einmal am Abendhimmel. Frege beschreibt den Sinn als den
Zugang zu dem Gegenstand, was bei seinem Beispiel buchstäblich offensichtlich ist:
Man sieht ihn am Morgen bzw. am Abend.
Ganz ähnlich haben die beiden Ausdrücke »10« und »7 + 3« dieselbe Bedeutung aber
einen unterschiedlichen Sinn. In beiden Fällen wird auf die Zahl 10 referiert, aber »7 +
3« beschreibt den Zugang über die Summe von zwei anderen Zahlen.
Anmerkung
Dass der Sinn der Aussagen in der Aussagenlogik ohne Belang ist, mag zunächst
irritieren. Aber über den Sinn kommt ein Moment der Interpretation in die Logik: Ich
kann entscheiden, welchen zum referierten ich für mich wähle. Dieses allein am
sprachlichen Ausdruck orientierte interpretationsbedürftige Mehr an Information soll
aber durch den Übergang zur reinen Logik aus den logischen Schlussregeln verbannt
werden. Damit geht natürlich ein wichtiges Moment von Sprachen verloren: Ihr
interpretatorischer Spielraum. Dies aber nun, wie es gelegentlich gemacht wird, der
Logik vorzuwerfen, geht an der Sache vorbei.
Sprachebenen: Objektsprache, Metasprache
Mitunter sind Aussagen so gemeint, dass ihr Wahrheitswert unter der Hand festgelegt ist.
Wir sagen »Die Sonne scheint.«, meinen damit aber nicht die Aussage, die überhaupt erst
überprüft werden soll, sondern stellen fest, dass es so ist. Diese Aussage, die eigentlich eine
Feststellung ist, unterscheidet sich aber sprachlich nicht von jener. Und wir haben auch
keine Möglichkeit, diesen Unterschied allein im Rahmen der Aussage abschließend deutlich
zu machen. Denn der Versuch, mit dem Satz » ›Die Sonne scheint.‹ ist wahr.«, die Sache zu
klären, endet nur in eben diesem weiteren Satz, der lediglich wiederum eine Aussage ist, die
wiederum wahr oder falsch ist. Und jedem weiteren Versuch in der Art eines »wirklich,
wirklich« ergeht es nicht besser. Wir bewegen uns in einem unendlichen Regress.
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Wir stehen hier vor einem Phänomen, dem man in der Logik immer wieder begegnet: Wir
machen Aussagen über Aussagen und bewegen uns dabei in einer erweiterten Ebene, dh. in
einer weiteren Sprache, in der wir über eine andere Sprache reden. In der gesprochenen
Sprache ändern wir in aller Regel den Tonfall, um eine Aussage über eine Aussage zu
formulieren. In der geschriebene Sprache sind wir gezwungen, Sätze, die Aussagen zu sein
scheinen, tatsächlich aber Feststellungen sind, jeweils von außen als solche zu
kennzeichnen, etwa graphisch durch die zusätzlichen Anführungszeichen » ›Die Sonne
scheint.‹ ist wahr«, ohne jedoch diesen Satz wieder als Aussage, die wahr oder falsch ist, zu
verstehen. Wir sprechen dann speziell von einer Feststellung über eine Aussage und nicht
mehr von einer Aussage.
Feststellungen und die Symbole, um die Aussage als Aussage zu kennzeichnen, sind aber Teil
einer anderen Sprache, einer Sprache in der wir über zB. die Geltung von Aussagen
sprechen. Die untersuchte Sprache, in der die Aussagen formuliert sind, wird
Objektsprache bezeichnet, ist sie doch das Objekt der Untersuchung. Entsprechend
sprechen wir von der Sprache, in der die Untersuchung durchgeführt wird, als
Metasprache. Diese beiden Sprachebenen müssen jeweils deutlich unterschieden werden.
Was mitunter schwierig wird, da auch die Metasprache untersucht werden kann und sich
das Spiel dann auf einer neuen Ebene wiederholt.
Beispiel
Der Unterschied in der Interpretation eines Satzes - einmal als Feststellung und einmal
als zu prüfende Behauptung - ist vergleichbar mit der Gleichung f ( 4 ) = 0, die
Feststellung verstanden werden kann oder als Aufforderung, zu prüfen, ob 4 eine
Nullstelle von f ist.
Anmerkung
Die Umgangssprache geht den umgekehrten Weg: Hier behauptet jede Aussage
implizit, wahr zu sein: Der Satz »Die Sonne scheint.« besagt also meistens » ›Die Sonne
scheint.‹ ist wahr«. Nur lassen wir den Zusatz zumeist weg. Denn wir wissen, dass wir
ihn weglassen müssen, wollen wir nicht eine unendliche Kette von Zusicherungen
erzeugen. Dieses implizite Mitmeinen des Wahrheitsanspruchs ist ebenfalls eine Art
Metaebene, die zur gesprochenen Sprache gehört, denn wir artikulieren das
Implizite. In der Arithmetik ergibt sich das Problem nicht, weil das Ergebnis einer
Gleichung zu viele Varianten offen lässt und wir erst gar nicht auf die Idee kommen, die
spezifische Lösung zu unterschlagen.
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Anmerkung
Das wahr tritt also tatsächlich in drei Formen auf: Als das Wort »wahr« im
beschreibenden Satz, als »wahr« innerhalb einer Aussage und als der Wahrheitswert im
Sinne eines Gegenstand. Dabei haben »wahr« und »wahr« die Funktion eines Namens
für den letztgenannten Wahrheitswert; zum einen innerhalb eines normalen Satzes,
zum anderen innerhalb einer Aussage. Die beiden Wörter »wahr« und »wahr« meinen
also dasselbe. Für »falsch« gilt entsprechendes.
Verknüpfungen
Wie zu Beginn gesagt: Die Aussagenlogik beschäftigt sich mit der Frage, wie Aussagen
verbunden werden können und was mit den Wahrheitswerten geschieht. Die Verknüpfungen
sind die sogenannten Junktoren - auch logische Partikel oder Wahrheitsfunktionen
genannt. Es handelt sich um Negation, Konjunktion, Adjunktion und Konditional. Sie
werden auf Aussagen angewendet und liefern neue Aussagen, die wiederum wahr oder
falsch sind. Damit erhalten wir zwei Arten von Aussagen:
DEFINITION
elementare, zusammengesetzte Aussage
Eine Aussage heißt elementar, wenn sie nicht weiter zerlegt werden kann. Eine
Aussage heißt zusammengesetzt, wenn sie zerlegt werden kann.
Die Negation einer Aussage ist die verneinte Aussage. Ist eine Aussage wahr, dann ist die
verneinte Aussage falsch. Ist eine Aussage falsch, dann ist die verneinte Aussage wahr. Soll
eine Aussage verneint werden, dann wird ihr das
NICHT
vorangestellt.
Anmerkung
Die Verwendung von Kapitälchen soll die Junktoren vom restlichen Text und von den
Aussagen abheben.
Beispiel
Die Negation der Aussage »Die Sonne scheint.« ist die Aussage »Die Sonne scheint
nicht.« bzw. »nicht Die Sonne scheint.«. Dass die zweite Variante etwas holprig klingt,
soll uns nicht weiter stören. Es werden beide verwendet.
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Die Konjunktion von zwei Aussagen ist eine durch Verknüpfung der beiden Aussagen mit
Hilfe von UND entstandene Aussage. Ist eine der beiden Aussagen falsch, dann ist die
Verknüpfung falsch. Andernfalls ist die Verknüpfung wahr.
Beispiel
Der Satz »Die Sonne scheint.« ist eine Aussage, der Satz »Müller ist gesund.« eine
andere. Der Satz »Die Sonne scheint und Müller ist gesund.« ist die durch Konjunktion
der beiden einzelnen Aussagen entstandene Aussage.
Die Adjunktion - auch Disjunktion - von zwei Aussagen ist eine durch Verknüpfung der
beiden Aussagen mit Hilfe von ODER entstandene Aussage. Ist eine der beiden Aussagen
wahr, dann ist die Verknüpfung wahr. Andernfalls ist die Verknüpfung falsch.
Beispiel
Der Satz »Die Sonne scheint.« ist eine Aussage, der Satz »Müller ist gesund.« eine
andere. Der Satz »Die Sonne scheint oder Müller ist gesund.« ist die durch Adjunktion
der beiden einzelnen Aussagen entstandene Aussage.
Das Konditional - auch Subjunktion - von zwei Aussagen ist eine durch Verknüpfung der
beiden Aussagen mit Hilfe von FOLGT entstandene Aussage. Ist die erste Aussage wahr und
die zweite Aussage falsch, dann ist die Verknüpfung falsch. Andernfalls ist die Verknüpfung
wahr.
Beispiel
Der Satz »Die Sonne scheint.« ist eine Aussage, der Satz »Müller ist gesund.« eine
andere. Der Satz »Die Sonne scheint folgt Müller ist gesund.« ist die durchs Konditional
der beiden einzelnen Aussagen entstandene Aussage.
Anmerkung
Dieses sogenannte materiale Konditional ist ausdrücklich kein Bedingungssatz,
sondern lediglich eine von mehreren Möglichkeiten, zwei Aussagen zu verknüpfen. Es
handelt sich also nicht um eine sprachliche Konstruktion, mit der über zwei Sätze
ausgesagt wird, dass sie auseinander hervorgehen. Es ist lediglich eine Verknüpfung
innerhalb der Objektsprache, vergleichbar einer Summenbildung 3 + 4, die ebenfalls
ein Resultat liefert.
Auf der Basis der Verknüpfung von zwei Aussagen, kann man auch die Verknüpfung von
mehr als zwei Aussagen erklären. Die weiteren Aussagen werden durch die Junktoren mit
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dem Ausgangssatz zusammengefügt. Daraus ergeben sich komplexe Aussagen. Sie sind,
ebenso wie die einfachen Aussagen, wahr oder falsch.
Welchen Wert komplexe Aussagen haben, hängt allein von den Wahrheitswerten der
Teilsätze ab. Um den Wert eines komplexen Satz zu bestimmen, müssen also nur die
Teilsätze ausgewertet und dann die entsprechenden Junktoren angewendet werden. Das
besagt das sogenannte Kompositionalitätsprinzip. Das bedeutet umgekehrt, dass jeder
Satz, der aus der Zusammensetzung von Aussagen mit Hilfe sogenannter Junktoren entsteht,
nur die Werte wahr oder falsch haben kann.
Modellierung
Dieser bisher beschriebene rein sprachlichen Bereich der Kombinationen von Aussagen zu
neuen Aussagen, hat den Nachteil aller natürlichen Sprachen: Er lässt sich nicht
formalisieren. Um aber einem mathematischen Formalismus zugänglich zu sein, wird genau
das benötigt: Eine Formalisierung. Diese wird nun schrittweise entwickelt. Wir beginnen mit
dem Übergang von konkreten Aussagen zu abstrakten Symbolen für solche Aussagen und
definieren anschließend auf dieser Basis eine Sprache mit Variablen und Regeln für die
Kombinationsmöglichkeiten von Symbolen für Aussagen und Variablen zu sogenannten
Aussageschemata.
Aussageschemata
Die Aussagenlogik betrachtet allein die Form der Aussagenverknüpfungen, nicht die
Aussagen selber. Damit ist der Sinn der Aussagen ohne Bedeutung fürs ganze und es
interessieren allein die Wahrheitswerte, die die Aussagen meinen. Daher können konkrete
elementare oder zusammengesetzte Aussagen durch Symbole für diese Aussagen ersetzt
werden. Die Symbole müssen allerdings eineindeutig sein, dh. unterschiedliche Symbole
meinen in ein und demselben Kontext unterschiedliche Aussage. Diese Symbole werden als
Literale bezeichnet, da sie die elementaren oder zusammmengesetzten Aussagen
buchstäblich bzw. wortwörtlich vertreten.
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Beispiel
Die Aussage »Die Sonne scheint.« kann durch das Literal A vertreten in dem Satz »A
UND
Es ist warm«. A darf daber nicht wieder für eine andere Aussage verwendet
werden und es darf auch kein zweites Literal für diese Aussage geben.
Weil die Aussagenlogik nur an Aussageverknüpfungen interessiert ist, kann man sagen, sie
versuche, Aussagen über Aussageverknüpfungen zu machen. Damit wechselt sie auf die
Ebene über den konkreten Aussagen, dh. in die Metasprache, die über die Aussagen, dh. die
Objektsprache, etwas sagt. Auf dieser höheren Ebene werden Sätze über Aussagen gebildet,
dh. Sätze, die nicht auf eine einzelne Aussage, sondern auf Gesamtheiten von Aussagen
referieren. In diesen Sätzen werden konkrete Aussagen, auf die der Satz referiert, durch
Kürzel vertreten.
Diese sogenannten Platzhalter vertreten innerhalb eines gleichsam höheren Satzes eine
bestimmte Aussage, die elementar ist oder zusammengesetzt. Doch im Unterschied zu
Literalen, die ja ebenfalls für Aussagen stehen, ist es egal, um welche konkrete Aussage es
sich handelt. Insbesondere können verschiedene Platzhalter für dieselben Aussagen stehen.
Das unterscheidet Platzhalter von den zuvor erklärten atomaren Ausdrücken: Platzhalter
sind eindeutig, Literale dagegen eineindeutig.
Anmerkung
Um Literale und Platzhalter voneinander zu unterscheiden, werden für Literale die
Großbuchstaben A, B, … vom Anfang und für Platzhalter die Großbuchstaben vom Ende
des Alphabets genommen, beginnend bei X, Y, … Die verwendeten Zeichenfolgen für
Aussagen sind deren Bezeichner. An Stelle von A, B, C, … schreiben wir auch A1, A2,
A3, bzw. X1, X2, X3, … wenn der Vorrat an Bezeichnern unbegrenzt sein soll.
Anmerkung
Bei Literalen und Platzhaltern handelt es sich nicht um Variablen im eigentlichen Sinne
des Wortes, denn diese beziehen sich auf eine Menge, deren Elemente sie vertreten.
Literale und Platzhalter sind lediglich Symbole, für die andere Symbole eingesetzt
werden können. Sie werden daher gelegentlich auch als Schemavariablen bezeichnet.
Elementare Aussagen, Literale und Platzhalter haben eines gemeinsam: Sie lassen sich nicht
weiter zerlegen. Sie werden daher als Atome oder atomare Ausdrücke bezeichnet, da sie
die kleinsten Elemente bilden, die in einer Aussage für sich stehen können und aus denen die
Sprache der Aussagenlogik aufgebaut ist.
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Anmerkung
Die Bezeichnung atomare Formel statt atomarer Ausdruck ist irreführend, denn sie
suggeriert, es handele sich, wie in der mathematischen Sprache, um eine Formel mit
Variablen. Atomare Ausdrücke enthalten, wie schon gesagt, ausdrücklich keine
Variablen.
Beginnend mit den Atomen werden unter Verwendung von Junktoren und den Klammern als
Hilfszeichen zusammengesetzte Sätze, sogenannte Moleküle gebildet. Es wird also im
Grunde das gleiche gemacht, was wir oben mit Aussagen machten, nur dass jetzt Literale
und Platzhalter auftreten können. Ein Satz mit wenigstens einem Platzhalter wird
Aussageschema, kurz Schema; auch aussagenlogische Formel oder Aussageform
genannt. Ein Aussageschema hat keinen logischen Wert. Es ist also weder wahr noch falsch.
Es ist, weil Platzhalter keinen konkreten Wert haben, offen. Insbesondere ist ein
Aussageschema keine Aussage.
Anmerkung
Hier wird der Begriff Aussageschema bzw. Schema vorgezogen, weil Aussageform zu
sehr nach Formel und Variablen klingt, die man quantifizieren kann. Ausdrücke wir,
»für alle X, Y, etc« sind aber ausdrücklich nicht zugelassen.
Anmerkung
Die Offenheit eines Aussageschemas darf nicht mit der Offenheit einer Aussage
verwechselt werden. Eine Aussage ist konkret, aber es kann nicht gesagt werden, ob
sie wahr oder falsch ist. In einem Schema sind dagegen die Aussagen, die für die
Platzhalter eingesetzt werden, unbekannt. Aussageschema und Aussagen stammen aus
anderen Kategorie: Schemata sind abstrakt, Aussagen dagegen konkret.
Anmerkung
Sätze, in denen nur atomare Ausdrücke auftreten, sind weiterhin zugleich auch
Aussagen.
Anmerkung
Im weiteren werden immer wieder Aussagen über Aussageschemata gemacht. In diesen
Sätzen über Schemata wird dann generell auf Aussageschemata referiert, dh. auch für
Aussageschemata werden auf einer höheren Ebene Referenzen gebraucht. Hier greifen
wir auf das griechische Alphabet zurück. Insgesamt haben wir somit drei Klassen von
Namen: atomare Ausdrücke, Platzhalter und Zeichen für Aussageschemata. Die
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griechischen Buchstaben sind nicht Teil der aussagenlogischen Sätze, sondern Teil von
Sätzen über aussagenlogische Sätze. Sie sind Teil der Metasprache.
Beispiel
Der Satz »Helena hat einen Ball
UND
X.« ist ein Aussageschema, das die Aussage
»Helena hat einen Ball.« und den Platzhalter X durch die Konjunktion verbindet. Für X
kann irgendeine Aussage stehen. Der Satz sagt also nicht, »Helena hat einen Ball
UND
X«, im Sinne von X zusätzlich zum Ball haben. Der Satz ist nur das Schema für eine
Aussage, die durch das Einsetzen einer Aussage für X erst entsteht. Die Aussage könnte
zB. der Satz »Die Sonne scheint.« sein. Damit würde aus dem Aussageschema die
Aussage »Helena hat einen Ball
UND
Die Sonne scheint.« Dieser Satz ist dann wahr
oder falsch. An Stelle von X kann aber zB. auch ein zusammengesetzter Satz oder ein
anderes Aussageschema stehen. Dann würde aus dem einen Schema eine anderes.
Ebenso kann der Satz »Helena hat einen Ball« durch die atomare Formel A vertreten
werden, dann lautet das Aussageschema »A UND X.«.
Aussageschemata werden durch die Kombination von atomaren Ausdrücken und
Platzhaltern gebildet. Es entstehen sprachliche Ausdrücke, die in den Aussagen Elemente
der Umgangssprache verwenden und diese um spezielle Zeichen für die Verknüpfungen
erweitern. Grammatikalische Regeln insbesondere für die umgangssprachlichen Satzteile
wurden nicht definiert. Für eine systematische Betrachtung der Aussagenlogik in ein solches
Regelwerk aber nötig und wird daher jetzt definiert.
Dabei werden in einem ersten Schritt die umgangsprachlichen Elemente von Aussagen und
Aussageschemata eliminiert. Die zu entwickelnde Sprache enthält also nurmehr Literale,
Platzhalter, Junktoren und als Hilfszeichen Klammern. Dabei übernehmen Literale und
Platzhalter in etwa die Rolle der umgangssprachlich formulierten Aussagen.
Anmerkung
Dass Aussagen durch Platzhalter ersetzt werden können, hat einen einfachen Grund:
Sowohl die Aussagen als auch die Platzhalter stehen jeweils nur für die Wahrheitswerte
wahr oder falsch. Und da der Sachverhalt, auf den sich eine Aussage bezieht, nicht von
Interesse ist, kann man bei der Betrachtung der Satzbildung auf konkrete Aussagen
überhaupt verzichten und sich auf die Kombination der möglichen Wahrheitswerte bzw.
der Platzhalter beschränken. Sprachlich sind Aussagen und Platzhalter natürlich nach
wie vor voneinander verschieden. Doch logisch sind sie ununterscheidbar.
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Anschließend werden die Regeln für Anordnung von Literalen, Platzhaltern, Junktoren und
Klammern beschrieben. Wir verlassen die Ebene der natürlichen Sprachen und begeben uns
in den Bereich der formalen Sprachen. Dabei fallen die konkreten Aussagen gleichsam
unter den Tisch und es entsteht eine formale Sprache zur Formulierung abstrakter Aussagen
und Aussageschemata.
Syntax
Um die eingepeilte formale Sprache zu definieren, konzentrieren wir uns zunächst auf die
formale Struktur ihrer Sätze. Wir erklären die Syntax aussagenlogischer Sätze, wobei, wie
bereits mehrfach angedeutet, konkrete Aussagen entfallen. In den Sätzen dieser Sprache
können folgende Zeichen auftreten:
DEFINITION
Zeichensatz A der Aussagenlogik
Der Zeichensatz der Aussagenlogik besteht aus einer abzählbaren Menge von
atomaren Ausdrücke, einer abzählbaren Menge von Platzhaltern, den Junktoren ¬,
&, ∨, → und den Klammern ( und ) als Hilfszeichen.
Anmerkung
Die Menge der atomaren Ausdrücke bzw. Platzhalter kann unendlich sein, bleibt aber in
jedem Ausdruck endlich, da nur Ausdrücke endlicher Länge gebildet werden. Allerdings
kann die Zahl der Atome und Platzhalter nicht überabzählbar werden.
Anmerkung
Die Junktoren ¬, &, ∨ und → vertreten ihre ausformulierten Gegenüber
ODER
NICHT, UND,
und FOLGT. Sie werden in der Literatur oftmals als Konstanten bezeichnet, weil
sich ihre Bedeutung nicht ändert. Die Sprechweise klingt zunächst vielleicht
ungewöhnlich, weil man die Junktoren wohl mit Funktionen vergleicht und die scheinen
nicht konstant. Tatsächlich aber geht es hier nur um die Zuordnung eines Symbols und
ob es sich um eine konstante oder variable Zuordnung handelt und zB. dem Symbol &
wird eine feste Bedeutung zugeordnet.
Auf der Basis dieses Zeichensatzes wird nun die Syntax der Sprache der Aussagenlogik
erklärt. Sie enthält neben den Aussagen alle syntaktisch korrekten Aussageschemata. Was
ein syntaktisch korrektes Schema ist, wird zunächst informell erklärt:
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DEFINITION
Sprache ℱ der Aussagenlogik
Geg. ist der Zeichensatz A der Aussagenlogik.
Die Menge ℱ aller syntaktisch korrekten Sätze der Aussagenlogik, dh. die Menge der
Aussageschemata, ergibt sich rekursiv aus den folgenden Regel. Zunächst gelten die
beiden Grundregeln:
(1)
atomare Ausdrücke sind Aussageschemata.
(2)
Platzhalter sind Aussageschemata.
Zu den Grundregeln kommen die beiden Konstruktionsschemata:
(3)
Ist α ein Aussageschema, dann sind auch ( α ) und ¬ α eine
Aussageschemata.
(4)
Sind α und β Aussageschemata, dann sind auch α & β, α ∨ β und α → β
Aussageschemata.
Anmerkung
Aussagen, soweit es sich um atomare Ausdrücke handelt, sind in dieser Definition
zugleich Aussageschemata. Eine Einbeziehung in die Syntax wäre recht aufwendig bzw.
unmöglich, da dann die Grammatik der natürlichen Sprachen vollständig beschrieben
werden müsste.
Anmerkung
Man muss deutlich zwischen den Basiszeichen, die in Regel (1) und (2) fixiert werden,
und den Produktionsregeln in (3) und (4) unterscheiden. Die Basiszeichen setzen die
Ausgangspunkte, die Regeln beschreiben die Struktur der Aussagen bzw.
Aussageschemata.
Anmerkung
In (3) und (4) werden, wie schon oben angedeutet, griechische Buchstaben als
Bezeichner für beliebige Aussageschemata verwendet. Sie gehören zur Metasprache.
Damit gehören auch Ausdrück wie α & β zur Metasprache. Atomare Formeln und
Platzhalter sind dagegen, wie schon gesagt, Teil der Objektsprache. Der Ausdruck X &
Y gehört also zur Objektsprache; ebenso A ∨ B.
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Anmerkung
Die Vorrangsregeln lauten:
Vorrang
Operator
1
¬
2
&
3
∨
4
→
Halten wir fest. Wir haben es nunmehr mit drei Arten von Sätzen zu tun: Aussagen,
Aussageschemata und Sätzen über Aussageschemata. Dabei sind alle Aussagen, soweit es
sich um atomare Ausdrücke handelt, zugleich Schemata. Formalisiert wurden
Aussageschemata.
Semantik
Den so syntaktisch formalisierten Aussageschemata wird nun eine Bedeutung verliehen, die
oben implizit bereits durch das Extensionalitätsprinzip angedeutet worden ist, als wir vom
Wahrheitswert für Aussagen sprachen. Nur dass wir es jetzt mit Aussageschemata zu tun
haben und eben nicht mit Aussagen. Allerdings sind die Aussagen bzw. deren Platzhalter der
Ausgangspunkt, um die Semantik der Aussageschemata zu definieren.
Modell
Generell besteht eine Semantik aus zwei Teilen: Den Zeichen, denen ein Bedeutung
zugeordnet werden soll und dem Bereich, aus dem die Bedeutung der Zeichen stammt.
Betrachten wir zunächst das Modell bzw. den sogenannten semantischen Bereich, also
die Menge, auf deren Elemente die Zeichen schließlich verweisen. Weil wir es mit Aussagen
zu tun haben, die entweder wahr oder falsch sind, haben wir es mit einem semantischen
Bereich zu tun, der letztendlich auf einer zweiwertigen Menge basiert. Vorweg definieren
wir daher:
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DEFINITION
Bool, �
Die Menge der booleschen Werte heißt Bool; kurz �. Sie enthält die beiden Werte, auch
Wahrheitswerte »wahr« und »falsch«, kurz T für »true« und F für »false«.
Anmerkung
Die Werte aus � dürfen nicht mit den Wahrheitswerten der Aussagen verwechselt
werden.
Zu diesen beiden Werten kommen nun noch eine Reihe von Abbildungen bzw. Funktionen
über �. Ganz allgemein werden sie wie folgt definiert:
DEFINITION
�→�
Geg. sind die Menge � und n ∈ ℕ.
Dann ist �n → � die Menge aller n-stelligen Abbildungen von �n auf � und ⋃i∈ℕ �n → �
+
die Menge aller Abbildungen beliebiger Stelligkeit; geschrieben �* → �.
Anmerkung
� * → � fasst also alle Funktionen auf � zusammen, unabhängig davon, ob sie null-, ein-,
zwei- oder eben n-stellig sind.
Konkret ergeben sich für � → � die 4 Funktionen:
X f1 f2
f3
f4
T
T
T
F
F
F
T
F
T
F
⊤
I
¬ ⊥
Unter diesen 4 Funktionen befindet sich zunächst die Negation ¬. Dazu kommen mit f 1 und
f4 die sogenannte einstellige Tautologie bzw. einstellige Kontradiktion. Bei f 2 handelt es sich
schließlich um die einstellige Identität.
Für � → � ergeben sich die 16 Funktionen:
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X Y f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 f16
T T
T
T T T T T T T F F
F
F
F
F
F
F
T F T
T T T F F F F T T
T
T
F
F
F
F
F T
T
T F F T T F F T T
F
F
T
T
F
F
F F T
F T F T F T F T F
T
F
T
F
T
F
⊤ ∨ ← X → Y ↔ & ↑ ⊕ ¬X ↛ ¬Y ↚
↓ ⊥
Anmerkung
Die Funktionen sind hier einfach für jede Stelligkeit durchnummiert. In der jeweils
letzten Zeile der Tabellen stehen die gebräuchlichen Namen. Aber Vorsicht: In der
Literatur weichen bei der Namensgebungen noch immer voneinander ab. So wird an
Stelle von & oftmals ∧ oder auch ⋅ und an Stelle von ∨ nicht selten ein + verwendet.
Anmerkung
Die booleschen Funktionen werden durch runde Klammern ergänzt, um sie von den
Ausdrücken der Sprache der Aussagenlogik syntaktisch zu unterscheiden.
Unter diesen 16 Funktionen befinden sich zunächst die oben bereits genannten Konjunktion,
Adjunktion und Konditional. Daneben werden die folgenden regelmäßig gebraucht: f 1 bzw. f16
sind die zweistellige Tautologie bzw. Kontradiktion. Sie liefern für alle Wertepaare T bzw. F.
f10 ist die exklusive Adjunktion - auch exklusive Disjunktion, ausschließendes
ODER
oder
exklusives ODER. Sie liefert genau dann T, wenn die beiden Werte des Wertespaares
verschieden sind und wird mit ⊕ bezeichnet. f7 ist das logische Bikonditional, also ein
Konditional in beiden Richtungen. Es ist genau dann T, wenn beide Werte des Wertepaares T
oder beide F sind und wird mit ↔ bezeichnet. f9 ist die verneinende Konjunktion - auch
verneinendes UND, Sheffer Stroke oder
NAND.
Sie ist genau dann wahr, wenn die Konjunktion
falsch ist.
Anmerkung
Weniger häufig werden die folgenden Junktoren gebraucht: Die verneinende
Adjunktion - auch verneinendes
ODER
oder Peirce Pfeil - ist genau dann wahr, wenn die
Konjunktion falsch ist. Die binäre Negation des ersten Arguments und die binäre
Negation des zweiten Arguments. Das umgekehrte Konditional. Das
Nichtkonditional und das umgekehrte Nichtkonditional. Die beiden zweistelligen
Identitäten, einmal für das erste und das andere Mal für das zweite Argument.
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Anmerkung
Tautologie und Kontradiktion werden oftmals ebenfalls mit F und T bezeichnet.
Allerdings führt das zur Verwirrung, weil die Ebenen der Wahrheitswerte und der
Funktionen nicht mehr deutlich getrennt sind.
Anmerkung
Diese zweistelligen Operationen sind zueinander dual, d.h. es gibt zu jeder auf das
bezogenen Funktion ein Pendant für das
ODER.
UND
Anders gesagt: Man kann wahr und
falsch vertauschen. Was nur eine andere Art ist zu sagen, dass die Aussagenlogik rein
formal und eben nicht inhaltlich ist.
Für �3 → � findet würden wir schließlich 256 Funktionen finden, doch die werden, wie sich
gleich zeigt, hier nicht explizit benötigt.
Anmerkung
Damit bleibt als Besonderheit �0 → �, die Menge der 0-stelligen Funktionen auf �. 0stellige Funktionen entsprechen einer Relation auf dem einstelligen kartesischen
Produkt über �, dh. aus der Menge �. Die Menge der 0-stelligen Funktionen enthält
damit gerade die Elemente aus �. Hier noch von einer Zuordnung zu sprechen, klingt
seltsam, aber es zeigt sich bald, dass dieser Ausnahmefall sinnvoll ist.
Der semantische Bereich von A besteht damit aus den Elementen der Mengen � und �* → �.
Mit Hilfe des semantischen Bereichs wird nun sämtlichen Zeichenfolgen der oben
definierten Sprache eine Bedeutung zugeordnet. Dabei wird bottom-up vorgegangen, dh. es
wird zunächst den Literalen, dann den Platzhaltern und im nächsten Schritt den Junktoren
ein Element aus dem semantischen Bereich zugeordnet. Darauf aufbauend erhalten
beliebige Zeichenkette eine Semantik. Im einzelnen und verbal beschrieben: Wir beginnen
mit den Junktoren. Ihnen werden abhängig von ihrer Stelligkeit jeweils Elemente aus � → �
und �2 → � hinzugefügt.
Anmerkung
Da Junktoren jeweils konkrete Werte zugeordnet werden, die sich nicht ändern, handelt
es sich bei ihnen genau betrachtet ebenfalls um Literale, dh. um Zeichen mit einer fixen
Bedeutung.
Bei den atomaren Formeln A, B, … und den Platzhaltern X, Y, Z, … ist die Sache etwas
komplexer, denn mit deren Semantik erhalten die Sätze der Aussagenlogik ihre Dynamik.
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Allerdings unterscheiden sich an diesem Punkt Atome und Platzhalter nicht. Sie vertreten
Aussagen und müssen daher auf die Bedeutung der Aussagen referieren, sprich auf T oder F.
Nun war es aber das Ziel der Aussagenlogik, von den konkreten Werten der jeweiligen
Aussagen unabhängig, Aussagen zu neuen Aussagen zu verknüpfen. Wir können also nicht
wissen, ob eine Aussage auf T oder F verweist. Literale und Platzhalter zeigen, wenn man so
will, auf beide zugleich.
Um trotzdem Aussagen über Aussageschemata machen zu können, werden die Platzhalter X,
Y, Z, … sukzessive mit allen möglichen Werten und Wertekombinationen verknüpft. Die
Gleichzeitigkeit von entweder T oder F wird somit durch eine Wertefolge aus T und F
ersetzt. Die Semantik der Platzhalter ist daher zuerst einmal die Semantik der konkreten
Wertebelegung und nicht die der Platzhalter für Aussagen, deren Wert unbekannt sind.
Zuletzt müssen diese Elemente der Semantik zu einer Semantik aller möglichen Sätze
verschmelzen. Für die fraglichen Sätze heißt das umgekehrt, dass sie schrittweise in ihre
Teile zerlegt und diese Teile dann isoliert von den anderen Teilen betrachtet werden. Die
Zerlegung endet bei Platzhaltern und Junktoren, deren Semantik bereits festgelegt ist.
Rückwärts lässt sich anschließend die Semantik des zuvor zerlegten Aussageschemas
bestimmen.
Interpretation ℑ
Die eben verbal beschriebenen Schritte werden formalisiert, dh. sie erhalten eine
mathematische Form. Dabei wird, anders als in der verbalen Beschreibung, top-down
vorgegangen, dh. zunächst wird erklärt, was eine Semantik überhaupt ist. Erst danach folgt
die Definition der Details. Die Sematik der Aussagenlogik ist im Kern eine Funktion auf
der Menge aller Aussageschemata in die Menge [ �* → � ] aller Abbildungen auf �.
DEFINITION
Semantik, Interpretation
Geg. ist der Zeichensatz A, die Menge ℱ der syntaktisch korrekten Aussageschemata,
die Menge � und die Menge [ �* → � ] aller Funktionen auf �.
Eine Funktion ℑ, die jedem Aussageschema α ∈ ℱ eine Abbildung �n → � zuordnet,
heißt Interpretation oder Semantik der Aussagenlogik; geschrieben ℑ :
ℱ → ( � → � ) bzw. α ↦ ℑ ⟦ α ⟧.
18
Die einem Aussageschema α über ℑ zugeordnete Abbildung ℑ ⟦ α ⟧ ∈ � → � ist die
Semantik von α.
Anmerkung
Die doppelten eckigen Klammern als Argumentklammern werden genommen, um das
Argument von ℑ ausdrücklich als eine Art Anführungszeichen um den Satz α als Satz,
dh. als Zeichenfolge zu kennzeichnen. α benennt einen Satz, spielt also im Rahmen der
linguistischen Konzepte bzw. Objekte. ℑ ⟦ α ⟧ benennt dagegen eine Funktion.
Da ein komplexes Aussageschema aus einer Menge von Aussageschemata besteht, ist die
Semantik eines Aussageschemas eigentlich eine umfangreiche Komposition von
Abbildungen. Die Definition ist also sehr allgemein. Die explizite Definition von ℑ setzt nun
ein Verfahren voraus, mit dem ein komplexes Aussageschema zerlegt werden kann. Das
wollen wir hier so einfach wie möglich halten, um nicht zu tief in die Abgründe der
Syntaxanalyse zu geraten.
Wir gehen daher vereinfachend davon aus, dass ein Aussageschema α orientiert an den
zweistelligen Junktoren immer in zwei Teile zerlegt werden kann und vorerst keine
Klammern enthält: α = τ ∘ β. Mit dieser Zerlegung des Aussageschemas α in den führenden
Ausdruck τ, den Junktor ∘ und den verbleibenden Ausdruck β, wird die Zerlegung zur
Berechnung von ℑ ⟦ α ⟧ zu:
ℑ ⟦ α ⟧ = ℑ ⟦ τ ∘ β ⟧ = ℑ ⟦ ∘ ⟧ ( ℑ ⟦ τ ⟧, ℑ ⟦ β ⟧ )
Für das führende Aussageschema und den Junktor ist keine weitere Zerlegung möglich. β
kann dagegen wiederum aus Teilausdrücken bestehen.
Für den einstelligen Junktor, also die Negation, ergibt sich:
ℑ⟦¬α⟧=ℑ⟦¬⟧(ℑ⟦α⟧)
Hier gibt es für die Negation keine weitere Zerlegung. α kann dagegen wiederum aus
Teilausdrücken bestehen.
Dieser Zerlegungsprozess wird soweit geführt, bis zuletzt keine Zerlegung mehr möglich ist.
Bei den nun nicht weiter zerlegbaren Aussageschemata handelt es sich immer entweder um
einen Junktor oder um einen Platzhalter. Andere elementare Elemente sind nicht definiert.
19
Für die Semantik der Junktoren ergibt sich die jeweilige Funktion aus � → � bzw. �2 → �,
also etwa
ℑ ⟦ & ⟧ = & ()
wobei auch hier in den doppelten eckigen Klammern das Symbol aus der formale Sprache
und auf der rechten Seite der Name der entsprechenden Funktion aus �2 → � gemeint ist.
Die runden Klammern bei & deuten an, dass es sich um den Namen für die entsprechende
Funktion handelt.
Wir finden also einen doppelten rekursiven Prozess, der mit Platzhaltern bzw. Konstanten
nach einer endlich Anzahl von Schritten abschließen muss. Zum einen wird das
Aussageschema zerlegt, zum anderen werden nach und nach die entsprechenden
Funktionen aus �* → � gebildet. Die Klammern haben jetzt nur noch eine steuernde
Wirkung. Sie treten als Klammern in den Anordnungen der Funktionsparameter zu Geltung.
Wir werden sie hier nicht weiter berücksichtigen.
Damit bleibt noch die Semantik der Platzhalter zu klären. Zunächst stehen X, Y, Z, … jeweils
für die Wahrheitswerte T und F, ohne dass bekannt wäre, für welchen konkret. Man könnte
also versucht sein zu sagen, die Platzhalter stünden für �. Auf der abstrakten Ebene ist das
zwar richtig. Nur erhalten auf dieser Ebene die Aussageschemata zunächst keine Semantik,
weil die konkrete Funktion, auf die sie verweisen, nicht mehr bestimmt werden kann.
Funktionen sind ja nichts weiter als Relationen, also werden die einzelnen Werte, die in
Relation zueinander stehen, gebraucht. Will heißen: Es müssen alle Wertekombinationen
durchprobiert werden, um die passende Relation zu bestimmen. Während sich die Semantik
eines Junktors also direkt über dessen Namen ergibt, ergibt sich die Semantik eines
komplexen, aus einer Kombination von Junktoren und Platzhaltern bestehenden
Aussageschemas über die Liste aller Ein- und Ausgabetupel.
Beispiel
Die Semantik von X & Y lässt sich direkt aus dem Junktor & herleiten. Die Auswertung
von X und Y ist nicht notwendig. Beim Ausdruck ¬ ( X & Y ) geht das zunächst einmal
nicht mehr, hier müssen für X und Y Werte eingesetzt werden. Die tatsächliche
Funktion findet man anschließend in der Tabelle durch einen Vergleich der Wertetripel.
Den Platzhaltern eines Aussageschemas werden daher sukzessive alle Wertekombinationen
zugeordnet und dann jeweils die Aussage, die aus dem transformierten Schema entstanden
20
ist, berechnet. Formal gesprochen: Jedem Aussageschema α wird eine Abbildung v seiner
Platzhalternamen auf Werte aus � zugeordnet, die sogenannte Wertebelegung der
Platzhalter des Aussageschemas α; kurz die Wertebelegung von α. Jedes v liefert dann
mit dem Ausdruck v ⟦ X ⟧ den Wert des Platzhalters X. Die Namen der Platzhalter sind also
Argumente der Abbildung v und wir schreiben auch hier v ⟦ X ⟧, um deutlich zu machen,
dass es sich um Namen handelt und vα, falls wir uns auf ein bestimmtes Schema α beziehen.
Anmerkung
Technisch kann man die Wertebelegung v aber auch als Tupel betrachten. Die Namen
der Platzhalter sind dann eine Indexmenge oder informationstechnisch gesprochen: v
ist ein assoziatives Array. Abstrakt beschrieben steht ( X, Y, Z, … ) für all diese Tupel;
geschrieben v = ( vx, vy, vz, …) bzw. v = ( v1, ..., vn ) ∈ �n, um ggf. vom Vorrat an
Buchstaben unabhängig zu sein. Bei jedem konkreten Tupel handelt es sich also um ein
sogenanntes boolesches Belegungstupel, kurz Belegungstupel aus �n. Die
Zuordnung der Platzhalter zu den Positionen im Belegungstupel v muss natürlich
eindeutig sein.
Um die Werte der Platzhalter zu berücksichtigen und dann die Semantik eines
Aussageschemas α bestimmen zu können, wird ℑ ⟦ α ⟧ auf eine Abbildung v bzw. das
Belegungstupel v angewendet; abstrakt geschrieben ℑ ⟦ α ⟧ ( v ) mit einer konkreten
Abbildung v. Mit dieser Erweiterung ergibt sich die Semantik der Platzhalter jeweils konkret
zu:
ℑ⟦X⟧(v)=v⟦X⟧
Wird nun die Menge aller Wertebelegungen durchlaufen, ergibt sich bei einem
Aussageschema mit n verschiedenen Platzhaltern insgesamt eine Abbildung �n auf � und
wir wollen von einem n-stelligen Schema sprechen. Die konkrete Abbildung ist dann die
Semantik des Aussageschemas.
Beispiel
Die Semantik des Aussageschemas ¬ ( X & Y ) ergibt sich aus:
ℑ⟦¬(X&Y)⟧(v)
=ℑ⟦¬⟧(ℑ⟦(X&Y)⟧(v))
=ℑ⟦¬⟧(ℑ⟦X&Y⟧(v))
21
= ℑ ⟦ ¬ ⟧ ( ℑ ⟦ & ⟧ ( ℑ ⟦ X ⟧ ( v ), ℑ ⟦ Y ⟧ ( v ) ) )
=¬(&(v(X),v(Y)))
und durch Einsetzen der booleschen Werte für X und Y erhält man die konkrete
Funktion.
Werteverläufe
Beim Ersetzen der Platzhalter durch alle Kombinationen der Wahrheitswerte T und F
ergeben sich drei unterschiedliche Möglichkeiten: (1) Es gibt wenigstens eine Kombination
von Wahrheitswerten, die aus dem Satz eine wahre Aussage macht. (2) Jede Kombination
macht den Satz wahr. (3) Es gibt keine Kombination, die aus dem Satz eine wahre Aussage
macht. Das ergibt nacheinander:
DEFINITION
erfüllt
Geg. sei die Interpretation ℑ und ein Aussageschema α ∈ ℱ.
Eine Wertebelegung v erfüllt ein Aussageschema α ∈ ℱ; geschrieben:
⊨v α
wenn die α zugeordnete Abbildung ℑ ⟦ α ⟧ mit der Wertebelegung v wahr wird bzw. T
liefert.
Gibt es ein Wertebelegung, die α erfüllt, dann heißt α erfüllbar und v ein Modell für
α.
Anmerkung
Bei ⊨ handelt es sich um ein Zeichen aus der Metasprache, mit der über
Aussageschemata gesprochen wird. α ist ebenfalls Teil der Metasprache. In diesem
Sinne handelt es sich nicht um formalisierte Ausdrücke, sondern um Kurzformen für
Sätze der natürlichen Sprache. Wir sprechen auch von halb-formalisierten Sätzen.
Anmerkung
Der Begriff Modell mag hier zunächst irritieren. Aber damit ist allein angedeutet, dass
man die Platzhalter des Aussageschemas auch anders deuten kann. Die Deutung über
�, ja sogar die über Aussagen, ist nur ein Modell.
22
Führen alle Wertebelegungen eines Aussageschemas zu wahren Aussagen, dann definieren
wir:
DEFINITION
allgemeingültig
Geg. sei die Interpretation ℑ und ein Aussageschema α ∈ ℱ.
Ein Aussageschema α ∈ ℱ heißt allgemeingültig, kurz gültig; geschrieben:
⊨α
wenn die α zugeordnete Abbildung ℑ ⟦ α ⟧ mit jeder Wertebelegung v wahr wird bzw. T
liefert.
Beispiel
Der Satz »X ∨ ¬ X« ist allgemeingültig. Egal welcher Satz den Platz von X einnimmt,
die resultierende Aussage ist immer wahr. Die für X eingesetzte Aussage wird dabei als
wahr oder falsch angenommen.
Führt dagegen keine Wertebelegung eines Aussageschemas zu einer wahren Aussagen, dann
definieren wir:
DEFINITION
widersprüchlich
Geg. sei die Interpretation ℑ und ein Aussageschema α ∈ ℱ.
Ein Aussageschema α ∈ ℱ heißt ungültig, auch widersprüchlich; geschrieben:
⊭α
wenn α mit keiner Wertebelegung v wahr wird.
Anmerkung
Man beachte, dass erfüllt sich auf eine Wertebelegung v zusammen mit einem
Aussageschema α bezieht und nicht allein auf α. Die beiden Kategorisierungen
allgemeingültig und ungültig beziehen sich dagegen im Grunde allein auf das
Aussageschema, da die Eingangswerte nicht mehr spezifiziert sind – der Satz gilt ja für
alle bzw. für keinen.
Anmerkung
»Erfüllbar«, »gültig« und »ungültig« sind Feststellungen über ein Aussageschema. In
23
diesem Sinne sind »erfüllbar«, »gültig« und »ungültig« Teil der Metasprache. Zugleich
kann man die Feststellung aber auch als Aussage über ein Aussageschema lesen.
Dann ist unbekannt, ob es stimmt oder nicht. Untersuchungen über die
Allgemeingültigkeit gehören dann in eine weitere Metaebene der Sprache. Wir
verstehen alle drei Begriffe als Feststellung, dh. als wahre Aussage.
Anmerkung
Die Eigenschaft, allgemeingültig zu sein, ist bei einem Satz, der sich auf die Realität
bezieht, keine positive Eigenschaft. Ein allgemeingültiger Satz eignet sich nämlich
nicht, etwas in der Welt zu beschreiben. Er trifft ja auf alles zu, beschreibt also alles.
Ebenso ist die Eigenschaft widersprüchlich zu sein, keine negative Eigenschaft eines
Satzes, der sich auf die Realität bezieht. Es gibt eben einfach keine Realität, auf die er
sich beziehen könnte.
Alle drei Kategorisierungen sind Sätze, die wahr oder falsch sind. Bei einem Satz der Art
⊨να handelt sich also ausdrücklich nicht um eine Aussage, die wie auch immer auf ihren
Wahrheitswert hin untersucht werden soll, sondern um die Feststellung, dass α aus v
ableitbar ist. Soll die Aussage geprüft werden, wird das ausdrücklich gesagt.
Beispiel
Der Satz ⊨X X ∨ ¬ X besagt, dass X ∨ ¬ X mit jeder Belegung von X wahr ist. Erst die
Aufforderung »Prüfe den Satz ⊨X X ∨ ¬ X auf Wahrheit«, stellt ⊨X X ∨ ¬ X in Frage.
Allgemeingültige und widersprüchliche Aussageschemata spielen eine zentrale Rolle in der
Logik.
Tautologien
Die allgemeingültigen Aussageschemata werden als Tautologien bezeichnet. Sie sind in
jeder Interpretation wahr ist. In einem tautologischen Satz ergibt sich für jede beliebige
Belegung der Platzhalter ein wahrer Satz. Man könnte, genau genommen, die konkrete
Interpretation also auch lassen. Dieser operationellen Verkürzung wird nun dadurch
entsprochen, dass man für die Menge aller allgemeingültigen Aussageschemata ein
spezielles, platzhalterloses Symbol definiert. Es wird ⊤ geschrieben und gleichfalls als
24
Tautologie bezeichnet. Es vertritt in einem Aussageschema die Menge aller
Aussageschemata, die allgemeingültig sind.
Das alles kann man mit gleichsam umgekehrtem Vorzeichen natürlich auch für die niemals
gültigen Sätze sagen. Die entsprechende platzhalterlosen Schemata für den Widerspruch
nennen wir Kontradiktion und bezeichnen sie mit ⊥. Es kann in einem Satz für jede
beliebige falsche Aussagen stehen. Bei beiden Zeichen handelt es sich um Literale.
Nachdem der Zeichensatz A der aussagenlogischen Sprache um die beiden Zeichen ⊤ und ⊥
erweitert ist, muss auch die Interpretation ℑ angepasst werden. Und da ⊤, also die
Funktion, bei jeder Wertebelegung T und ⊥, wiederum die Funktion, bei jeder
Wertebelegung F liefert, ist die Semantik der beiden Symbole ⊤ und ⊥:
ℑ⟦⊤⟧=⊤
bzw.
ℑ⟦⊥⟧=⊥
wobei der Ausdruck auf der rechten Seite kein Literal ist, also auch nicht in Fettdruck
angezeigt wird.
Anmerkung
Die Wahrheitswerte T und F und die beiden Literale ⊤ und ⊥ dürfen nicht miteinander
verwechselt werden. ⊤ und ⊥ sind Bestandteil des Zeichensatzes von A, T und F sind
dagegen Elemente der Menge �. Ebenso dürfen die beiden Zeichen ⊤ und ⊤ bzw. ⊥
und ⊥ nicht verwechselt werden. Bei den Literalen ⊤ und ⊥ handelt es, wie schon
gesagt, um Zeichen aus A. Die anderen beiden Zeichen sind Namen für Funktionen aus
[ �* → � ].
Anmerkung
Im Zusammenhang mit der Semantik wird deutlich, warum die Verwendung von ⊤ und
⊥ als Zeichen, die formal auf einer Stufe mit einem beliebigen Aussageschema α
stehen, so naheliegend ist: Ihre Semantik ist tatsächlich dieselbe, nämlich ⊤ bzw. ⊥.
Weil wir Aussagen semantisch lesen, ersetzen wir die Menge ⊤ durch den
entsprechenden Wert und umgekehrt die Menge der Aussageschemata durch ein
einzelne, gleichsam fiktive aussagenlogische Formel.
25
Anmerkung
Tautologien und Kontradiktionen sind mit Funktionen vergleichbar, die für jeden Wert
den gleichen Funktionswert liefern, dh. mit konstanten Funktionen. Eigentlich
bräuchte man nichts auswerten, wenn man wüsste, dass es sich um eine konstante
Funktion handelt. f ( X ) = 0 ⋅ X wäre so ein Fall. ⊤ und ⊥ werden daher auch als
Konstanten bezeichnet.
Anmerkung
Die Einführung der Symbole ⊤ und ⊥, die als Abkürzung gemeint ist, stiftet leider nicht
selten Verwirrung, weil das Weglassen der Platzhalter suggeriert, ⊤ wäre tatsächlich
platzhalterlos oder gar eine atomare Aussage. Atomare Aussagen selber sind aber
niemals eine Tautologie. Und umgekehrt refereiert ein Satz der Art A & ⊤ nun auf eine
Menge von Sätzen und nicht nur auf einen, obwohl man für ⊤ nicht einmal einen Satz
einsetzen muss.
Dabei ergeben sich je nach Stelligkeit der Funktion zwar mathematisch betrachtet jeweils
andere Funktionen, aber sie alle haben eines gemeinsam: Sie liefern für jedes v ∈ �n immer
T bzw. F. Daher tragen sie in jeder Menge [ � n → � ] auch denselben Bezeichner, nämlich ⊤
bzw. ⊥ und werden ebenfalls Tautologien bzw. Kontradiktionen genannt. In diesem Sinne
wurde ℑ für ⊤ bzw. ⊥ nicht eindeutig definiert, da nicht deutlich ist, welches ⊤ bzw. ⊥
jeweils gemeint ist. Da man aber, wie bereits angedeutet, die Platzhalter in einem
tautologischen Schema im Grunde auch weglassen kann, wird festgelegt, dass es sich um
Verweise auf Funktionen handelt, die keinen Definitionsbereich haben.
Für n = 2 ergeben sich alle zweistelligen Funktionen usw. Der oben schon angedeutete Fall
n = 0 führt nun zu den gewünschten Funktionen ohne Definitionsbereich, dh. [ � 0 → � ]
besteht aus Elementen, die den beiden Elementen T und F der Menge � entsprechen.
Anders gesagt: Es gibt auf � zwei 0-stellige Funktionen. Diese werden mit ⊤ und ⊥ –
ausdrücklich kein Fettdruck – bezeichnet. Und diesen werden bei ℑ die beiden Literale ⊤
und ⊥ zugeordnet.
Anmerkung
Dass auch die 0-stelligen Funktionen zu �n → � gehören, lässt sich aus dem Umstand
erkennen, dass Funktionen letztendlich Teilmengen des kartesischen Produkts
beliebiger Mengen sind. Der 0-stellige Fall ergibt sich dann als Sonderfall 1-stelliger
Relationen.
26
Anmerkung
Weil ein tautologischer Satz ein Aussageschema ist, das durch Einsetzen egal welcher
Aussage wahr wird, ist man schnell dabei, jede Tautologie und insbesondere ⊤ selber
für wahr zu halten und zu sagen: »Eine Tautologie ist wahr« bzw. »Ein tautologisches
Aussageschema ist immer wahr«. Das zu sagen, ist aber nicht etwa falsch, sondern
unsinnig. Ein tautologisches Aussageschema ist der Name für eine Menge von
zwingend komplexen Aussagen, die allesamt wahr sind. Ein Name ist aber, zumindest in
der Logik, prinzipiell nicht wahr oder falsch. Also ist auch ⊤ als Name für die Menge
aller allgemeingültigen Aussageschemata nicht wahr oder falsch.
Was man indes sagen kann: Eine Aussage gehört in die Menge, die durch ein
tautologisches Aussageschema beschrieben wird. Eine Aussage aus dieser Menge ist
dann unbedingt wahr. Man kann ebenfalls sagen: Ein Aussageschema gehört in die
Menge der Tautologien. Mehr aber auch nicht. Durch die Verwendung der
Mengennamen in Aussageschemata bzw. Aussagen wird dieser Unterschied in
bedenklicher Weise vermischt.
Beispiel
Der Satz »Die Sonne scheint oder Die Sonne scheint nicht« ist keine Tautologie. Er ist
genaugenommen nicht einmal wahr. Es handelt sich weiterhin um eine Aussage, die
wahr oder falsch sein kann. Erst nach einer Analyse des Satzes zeigt sich, dass diese
Aussage niemals falsch sein kann. Dafür ist allerdings der Rückgriff auf das
Aussageschema nötig, auf dem der Satz basiert. Dieses Schema erweist sich als
tautologisch. Trotzdem sagt man in diesem Fall, die Aussage sei immer wahr, obwohl
die Formulierung »Die Aussage basiert auf einem tautologischen Aussageschema« den
Sachverhalt trifft.
Anmerkung
Das angedeutete Missverständnis, dass man tautologische Sätze für Aussagen hält,
wird auch syntaktisch forciert: Das Fehlen der Platzhalter, eigentlich eine
Bequemlichkeit, zwingt beinahe dazu, diese Sätze nicht mehr als Aussageschemata zu
lesen. Durch das Fehlen der Platzhalter rutscht ⊤ gleichsam in den Bereich der
Aussagen. Dass ⊤ zudem als wahr interpretiert wird, macht die Sache rund.
Ein Blick in die Arithmetik verdeutlicht die Problematik, wenn man konstante
Funktionen betrachtet. Definiert man zu einer gegebenen Funktionen g eine Funktion
f = 3 ⋅ g, dann steht die Konstante auf der rechten Seite nicht die Zahl 3, sondern eine
27
konstante Funktion, die alle Werte des Definitionsbreichs auf 3 abbildet. In diesem Sinn
ist ⊤ eine aussagenlogische Formel und eben nicht der Wert wahr.
Die Besonderheit von allgemeingültigen und kontradiktorischen Aussageschemata ist, dass
sich allein aus dem Schema ergibt, ob die sich jeweils ergebenden Aussagen wahr oder
falsch sind. Und darin liegt die Bedeutung von Tautologie und Widerspruch. Zwei zentrale
Aufgabe der Logik ergeben sich nun: Einmal will man aus dem Wahrheitswert einer Aussage
auf den Wahrheitswert einer anderer Aussagen schließen. Zum anderen will man erkennen,
ob und welche Aussageschemata allgemeingültig bzw. widersprüchlich sind.
Implikation und Äquivalenz
Auf der nächsten Stufe werden Aussageschemata nicht mehr nur auf Allgemeingültigkeit
und Widersprüchlichkeit hin untersucht, sondern in Relation zueinander gebracht. Der
Werteverlauf von zwei Aussageschemata wird miteinander verglichen. Da überhaupt nur
zwei Ergebniswerte möglich sind, ist diese Untersuchung auch bei mehr als zwei oder drei
Platzhaltern vollständig durchführbar - was bei arithmetischen Gleichungen auf zB. ℕ ein
Ding der Unmöglichkeit ist. Dabei kommen wir auf zwei Arten von Zuordnung: Implikation
und Äquivalenz:
DEFINITION
Implikation, Äquivalenz
Geg. sei die Interpretation ℑ und ein Aussageschema α ∈ ℱ.
Ist ein Aussageschema β mit einer Wertebelegung v immer dann erfüllt, wenn auch das
Aussageschema α mit v erfüllt ist, dann folgt β aus α; geschrieben:
α⊨β
Der Ausdruck wird als Implikation, auch Folgerung bezeichnet; wir sagen auch, α ist
hinreichend für β.
α ist die Voraussetzung, auch Hypothese oder Prämisse; β die Konklusion.
Gilt die Folgerung in beide Richtungen, dann spricht man von einer Äquivalenz.
Anmerkung
Bei der Implikation ⊨ handelt es sich um eine Feststellung über Aussageschemata, dh.
28
um ein Zeichen aus der Metasprache. α und β sind ebenfalls Teil der Metasprache. Es
handelt sich also um einen reinen Metasatz. Die Implikation ist ein Satz der
Metasprache und wird daher auch als metasprachliche Implikation bezeichnet.
Anmerkung
Die Implikation α ⊨ β ist nur dann erklärt, wenn α für das entsprechende v erfüllt ist.
Die Folgerung ist also nur auf einem Teil des Definitionsbereichs anwendbar und zwar
auf jenen, auf dem α erfüllt ist. Daher ist sie auch nicht einfach mit dem Konditional
vergleichbar, das ja auch dann wahr ist, wenn das Vorderglied falsch ist. Dieser Fall ist
hier ausdrücklich nicht mitgemeint.
Anmerkung
Keineswegs sagt die Folgerung, dass aus der Allgemeingültigkeit von α die
Allgemeingültigkeit von β folgt. Die Fälle, in denen α nicht erfüllt ist, werden gar nicht
betrachtet und in diesen könnte β nicht erfüllbar sein.
Allgemeingültigkeit, Implikation und Äquivalenz sind Sätze der Metasprache. Es handelt
sich zB. bei der Folgerung um einen Satz, bei dem die Wahrheit der Hypothese implizit
vorausgesetzt wird. Nur ist diese Metaebene unvollständig in dem Sinne, dass es
syntaktische korrekte Ausdrücke gibt, die keine Semantik haben.
Beispiel
Der Ausdruck 3 > 4 ⊨ X ≥ Y hat keine Bedeutung, da die Voraussetzung falsch ist.
Um solche Lücken ggf. zu vermeiden, muss jede Implikation und Äquivalenz eine Semantik
erhalten, dh. die Definition der Implikation muss erweitert werden. Die Allgemeingültigkeit
betrifft das Problem nicht, denn sie ist ohnehin für alle v definiert. Konkret: α ⊨ β besagt
nun nicht mehr, dass aus der Wahrheit von α die Wahrheit von β folgt und α implizit
vorausgesetzt wird, sondern α ⊨ β kann zum einen falsch sein und zum anderen wird die
Aussage nicht mehr beschränkt auf die Wertebelegungen v, die α erfüllen. Die Folgerung α
⊨ β wird damit zu einer Art Konditional der Metasprache, dh. sie ist wahr, wenn α entweder
falsch oder α wahr und β ebenfalls wahr; in den anderen Fällen ist sie falsch. Der
Definitionsbereich des Aussageschemas α wird also um mögliche falsche Sätze erweitert und
ist damit total. Für diese totale Implikation benutzen wir die Kurzform:
α⇒β
Die Gültigkeit dieser totalen Implikation, also metasprachlich gesprochen:
29
⊨(α⇒β)
entspricht dann dem Ausdruck:
⊨α→β
Hier kann α also auch nicht erfüllbar sein für einige v.
Anmerkung
Man sagt wegen ⊨ α → β gelegentlich: Die totale Implikation ist die Allgemeingültigkeit
des Konditionals. Damit sagt die totale Implikation etwas über das Konditional und
muss daher für alle möglichen Wertebelegungen des Konditionals definiert sein.
Anmerkung
In der Literatur wird das Konditional oft als materiale Implikation, auch logische
oder objektsprachliche Implikation bezeichnet, denn sie ist Teil der Objektsprache, hier
der Aussagen. Die Implikation α ⊨ β bzw. ⇒ ist dann die metasprachliche oder auch
semantische Implikation, denn sie sagt etwas über einen Satz in Bezug zum
semantischen Bereich. Oftmals wird jedoch die totale Implikation als Teil einer höheren
Formalisierung betrachtet und dann ihrerseits ebenfalls zu einer Art materialen
Implikation.
Anmerkung
Die Verwechslung von materialer und metasprachlicher Implikation hat in der
Philosophie der Logik immer wieder zu heftigen Debatten geführt, da angeblich aus
falschen Sätzen etwas Wahres gefolgert werden könnte. Das ist aber Unsinn, denn
tatsächlich hat die materiale Implikation nichts mit der Wahrheit im metasprachlichen
Sinne zu schaffen und die semantische Implikation betrachtet Folgerungen, die auf
falschen Annahmen basieren erst gar nicht.
Ist mehr als eine Prämisse vorhanden, dann schreiben wir für:
⊨ α1 & … & αn → β
die formalisierte Fassung:
α1 & … & αn ⇒ β
Diese entspricht dem metasprachlichen Ausdruck:
30
α1, … , αn ⊨ β
In der formalisierten Metaebene handelt es sich bei diesen Sätzen um Sätze der
Objektsprache. Die Metasprache für diese Sätze ist dann die gewöhnliche Sprache.
Andernfalls hätte man es mit Konstruktionen der Art
⊨⊨α→β
zu tun. Das ginge rein formal zwar auch, wäre aber verwirrend.
Für die metasprachliche Äquivalenz benutzen wir die Kurzform:
α⇔β
und bezeichnen sie gleichfalls als Äquivalenz. Die Gültigkeit dieser Äquivalenz, also
metasprachlich gesprochen:
⊨(α⇒β)&(β⇒α)
entspricht dann der Allgemeingültigkeit des Bikonditionals, dh.:
⊨α↔β
Ordnung und Klassifizierung
Implikation und Äquivalenz definieren auf der Menge der aussagenlogischen Formeln
jeweils zweistellige Relationen. Speziell die Implikation führt dabei auf eine für die Logik
zentrale Ordnung der Aussageschemata:
DEFINITION
Geg. sind die Aussageschemata α und β.
α heißt logisch stärker oder auch logisch schärfer als β, falls aus ⊨v α immer auch
⊨v β folgt.
Anmerkung
α ist logisch stärker, wenn α → β allgemeingültig ist, dh. formalisiert α ⇒ β gilt.
31
Anmerkung
Die Bezeichnung für die Implikation gibt diesen Sachverhalt wider: ⇒ deutet an, dass
die linke Seite größer ist als die rechte. Allerdings ist die Bezeichnung stärker
irreführend, weil stärker in aller Regel mit wahrer verbunden wird, hier aber ⊥ stärker
ist als ⊤. Strikter bzw. restriktiver bringt den Inhalt besser zur Geltung.
Für die Mengenschreibweise gilt im Grunde dasselbe: φ stärker als ψ legt eine
Teilmengenrelation der Art { φ } ⊇ { ψ } für die Zustände nahe, während tatsächlich
{ φ } ⊆ { ψ } gilt, denn φ wird durch weniger Zustände erfüllt als ψ.
Die so definierte Ordnung ist reflexiv und transitiv aber nicht antisymmetrisch, dh. es
handelt sich um eine Präordnung:
SATZ
Die Implikation ist eine reflexive, transitive und anti-symmetrische Relation.
BEWEIS
Reflexivität - zz. ist die Allgemeingültigkeit des Konditionals α → α. Da α ein
Aussageschema ist, das nur entweder T oder F liefert, reicht es, die Erfüllbarkeit von
X → X für alle Werte des Platzhalters X in einer Wertetabelle zu zeigen.
X
X→X
F
T
T
T
Transitivität - zz. ist, dass für jedes Schema α, β, γ gilt: Falls α → β und β → γ jeweils
allgemeingültig sind, dann auch α → γ. Für die Allgemeingültigkeit von α → γ muss
lediglich gezeigt werden, dass aus der Gültigkeit von α die Gültigkeit von γ folgt. In
jedem anderen Falls ist α → γ ohnehin erfüllbar. Sei also α gültig, dann ist auch β gültig.
Und aus der Gültigkeit von β folgt die von γ. Wiederum werden in der Tabelle
Platzhalter verwendet:
32
X
Y
Z
X→Y Y→Z X→Z
F
F
F
T
T
T
F
F
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T
Die fehlende Anti-Symmetrie folgt direkt aus der Definition der Anti-Symmetrie: Eine
Relation R heißt anti-symmetrisch, falls aus ( α, β ) ∈ R und α ≠ β folgt ( β, α ) ∉ R.
Wiederum wird der Beweis über eine Wahrheitstabelle mit Platzhaltern geführt:
X
Y
X→Y Y→X
F
F
T
T
F
T
T
F
T
F
F
T
T
T
T
T
In zwei Zeilen ergibt sich jeweils für beide Ausdrücke der Wert T, dh. die Umkehrung
gilt, was bei Antisymmetrie aber nicht sein dürfte.
Anmerkung
Man beachte, dass der Satz auf einer Aussage über Mengen von Aussageschemata
basiert.
Anmerkung
Wäre die Implikation antisymmetrisch, hätten wir es mit einer Halbordnung zu tun.
Anmerkung
Wegen der fehlenden Antisymmetrie wird das Zeichen ≤ für ⇒ in aller Regel vermieden.
Mit diesen Formalisierungen lassen sich Behauptungen aufstellen und Berechnungen
durchführen.
33
Beispiel
Der satzlogische modus ponens besagt:
⊨ ( (α → β) & α ) → β
mit α und β als Aussageschemata. Er soll überprüft werden. Die Überprüfung geschieht
durch Einsetzen.
X Y
X → Y X → Y∧X ((X → Y) & Y) → Y
T T
T
T
T
T F
F
F
T
F T
T
F
T
F F
T
F
T
Der Zusatz satzlogisch soll darauf verweisen, dass die Bezeichnung modus ponens in
anderen Bereichen als der Aussagenlogik verwendet wird.
So wie die Implikation auf der Menge der Aussagen eine Ordnung erklärt, unterteilt die
Äquivalenz die Aussagen in voneinander verschiedene Klassen. Wir sagen: Sie klassifiziert.
Dabei sind die einzelnen Klassen ausdrücklich voneinander verschieden. Daher wird die
Äquivalenz auch als Abstraktion bezeichnet, denn Verschiedenes wird unter einem
bestimmten Aspekt als gleich betrachtet und dann als eines verstanden. In diesem Sinne
sind Implikation und Äquivalenz zwei deutlich verschiedene Relationen, auch wenn die eine
auf der anderen basiert.
Die Klassifizierung mittels Äquivalenz erklärt ein wichtiges Mittel zur Vereinfachung von
aussagenlogischen Formulierungen: Die Definition. Als Abstraktionstechnik legt die
Äquivalenz es nahe, die äquivalenten Sätze unter einem Namen zusammenzufassen; bei
Tautologie und Widerspruch ist das bereits durchgeführt worden. Mit anderen Worten: Wir
sagen also nicht nur, ein Satz kann für einen anderen stehen, wenn er äquivalent zu diesem
anderen ist. Wir sagen überdies, ein neues Zeichen oder eine neue Formel steht für einen
Satz, und meinen damit, dass es überall den gleichen Wertverlauf haben muss, wie die
Zeichen und Formeln, für die es steht.
34
Beispiel
Das logische UND lässt sich mit Hilfe von Negation und logischem
definieren:
α&β≔¬(α∨β)
ODER
wie folgt