Kap. V : Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit §24

Math. Logik V.24
Kap. V : Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit
§24 Berechenbare Funktionen
Literatur:
Börger, E.: Berechenbarkeit, Komplexität, Logik , vieweg 1992
Cooper, S.B.(ed.): Computability, Enumerability, Unsolvability, Cambridge 1996
Cutland, N.J.: Computability, Cambridge 1984
Odifreddi,P.: Classical Recursion Theory, Amsterdam 1992
Soare, R.I.: Recursively enumerable Sets and Degrees, Springer 1987
Um nachzuweisen, dass bestimmte mathematische Probleme nicht berechenbar bzw. nicht
effektiv lösbar sind, muss man den Begriff der berechenbaren Funktion präzisieren. Hierzu
gibt es verschiedene Ansätze, die unabhängig voneinander, aber fast gleichzeitig erschienen und
sich nachträglich als äquivalent herausgestellt haben.
(1) TURING-berechenbare Funktionen (Alan TURING 1936)
Eine TURING-Maschine M besteht aus einem kombinierten Schreib- und Lesekopf, der sich
über einzelne Felder eines (aus prinzipiellen Gründen) unendlichen Bandes bewegen kann. Die
Felder des Bandes sind entweder leer oder beschrieben mit einem Symbol einer endlichen Liste
von Symbolen {s1 , . . . , sn } , dem Alphabet von M . (Auf dem leeren Feld kann man sich ein
zusätzliches Symbol
s0 eingetragen denken.) Ausserdem ist M zu jeder gegebenen Zeit in
einem von endlich-vielen Zuständen q1 , . . . , qn , die Einfluss auf des Verhalten der Maschine
M haben.
M kann 3 Typen von Operationen bzw. (Anweisungen) ausführen, die bezeichnet werden mit:
(a)
(b)
q i sj sk ql , bzw.
qi sj R ql , bzw.
(c)
q i sj L ql
(mit 1 ≤ i,l ≤ m und 0 ≤ j,k ≤ n).
Dabei führt M im Zustand qi über einem Feld, in dem sj steht, die folgenden Operationen aus:
(a)
lösche sj und schreibe an dessen Stelle sk ,
(b)
bewege den Kopf ein Feld weiter nach rechts,
(c)
bewege den Kopf ein Feld weiter nach links.
Anschliessend gehe M in den neuen Zustand: ql über.
Ein Programm für M ist eine endliche Liste von Anweisungen der obigen Formen (a) - (c),
welches konsistent ist, d.h. zu gegebenem Paar qi sj (für die Ausgangssituation) gibt es in der
Liste höchstens eine hiermit beginnende Anweisung.
V.86
Math. Logik V.24
Um eine Rechnung durchzuführen, muss der Maschine M ein Band vorlegen und über einem
vorbezeichneten Feld stehen in einem vorgegebenem Anfangszustand. Liegt hierfür im Programm
eine Anweisung vor, so führe M sie aus, gehe entsprechend dieser Anweisung möglicherweise
über ein neues Feld in den neuen Zustand und so fort, soweit möglich -anderenfalls stoppe M.
Beispiel:
Das Alphabet von M bestehe aus den Symbolen O, 1 (und X für ein leeres Feld), mögliche
Zustände seien q1 und q2 . Das Programm bestehe aus den folgenden 4 Anweisungen:
q 1 0 R q1
q 1 1 0 q2 .
q 2 0 R q2
q 2 1 R q1 .
Anfangs stehe M im Zustand q1 über einem Feld in einem Band, das links nur leere Felder und
rechts n-viele aufeinanderfolgende Felder besitzt, in dem jeweils das Symbol 1 steht:
↓
x x x 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x
Operiert M auf diesem Band wie angegeben, so ergibt sich als Endzustand das folgende Band:
↓
x x x 0 1 0 1 0 1 x x x x x x x x x x x x x x x x
Es soll nun erklärt werden, in welcher Weise eine T-Maschine mit vorgegebenem Programm
eine Funktion berechnet: Dazu bezeichnen wir das Symbol s1 mit 1 und benutzen es als Marke,
indem n+1 aufeinderfolgende Felder mit 1 (umgeben von jeweils einem Leerfeld am Anfang
und Ende) die Zahl n darstellen.
Eine partielle (d.h. nur auf einer Teilmenge D von { ) definierte Funktion f: D → { wird von
M berechnet gdw M , beginnend über dem ersten Feld, welches die Zahl n darstellt, im
Zustand q1 als Ausgangssituation, genau dann über dem Band stoppt, wenn n ∈ D ist, und in
diesem Fall schließlich f(n)-mal das Symbol 1 auf dem Band im Endzustand erscheint
(möglicherweise auf nicht direkt aufeinanderfolgenden Feldern).
Auf ähnliche Weise geht man im Falle mehrstelliger Funktionen vor.
Eine partielle Funktion
f
heisst
TURING-berechenbar gdw es eine T-Maschine
einem Programm gibt, welche f berechnet.
Für partielle Funktionen f, g bedeute
f(x) ↓ : ⇔ f ist an der Stelle x definiert,
f(x) ≅ g(x): ⇔ ( f(x) ↓ ⇔ g(x) ↓ ) und ( f(x)↓ ⇒
V.87
f(x) = g(x) ) .
M
mit
Math. Logik V.24
(2) URM-berechenbare Funktionen (SHEPHERSON-STURGIS 1963)
Eine unbeschränkte Register-Maschine (URM) besitzt eine unendliche Anzahl von Registern:
R 1 , R2 , R3 , . . . , die jeweils eine Zahl enthalten; rn sei die Zahl im Register Rn .
Diese Zahlen werden von einer URM gemäß folgenden Typen von Anweisungen abgeändert:
Z(n):
S(n):
T(m,n):
0 → Rn
r n +1 → Rn
r m → Rn
bzw.
rn := 0
ersetze
bzw.
rn := rn +1
rn := rm
addiere 1 zu rn
ersetze rn durch
bzw.
rn durch
0
rm
J(m,n,q): falls rn = rm , so gehe zu q-ten Anweisung über, sonst zur nächsten.
Ein Programm ist nun wieder eine numerierte endliche Folge derartiger Anweisungen.
Soll eine URM mit einem Programm
P = I1 ,....,Ik eine Berechnung durchführen, so muss ein
Anfangszustand der Registerinhalte gegeben sein, auf welches die URM mit der ersten Anweisung
beginnt und dann den weiteren Anweisungen folgt.
Beispiel:
I1 :
J(1,2,6)
I2 :
S(2)
I3 :
S(3)
I4 :
J(1,2,6)
I5 :
J(1,1,2)
I6 :
T(3,1)
Beginnt die URM mit den Zahlen 9 im 1 und 5 im 2. Register, so endet sie mit der Zahl 4 im
3. Register (weil sie bei der Anweisung I6 landet, auf die keine weitere folgt).
Sei f eine partielle n-stellige Funktion auf den natürlichen Zahlen, P ein Programm,
a 1 ,...,a n ,b
gegebene Zahlen, so konvergiert das mit a1 ,...,a n
beginnende Programm
P(a 1 ,...,a n ) gegen b - formal: P(a1 , ...,an ) ↓ b - gdw es nach endlich-vielen Schritten stoppt
und dann die Zahl b im 1. Register ist.
P berechnet f gdw für alle a1 ,...,an ,b gilt:
P(a 1 ,....,a n ) ↓ b gdw f ist für (a1 ,...,a n ) definiert und hat den Wert b = f(a1 ,....,a n ) .
f ist URM-berechenbar gdw es ein Programm P gibt, welches f berechnet.
V.88
Math. Logik V.24
(3) GÖDEL-HERBRAND-KLEENE (1936)
Allgemein-rekursive Funktionen werden definiert mit Hilfe eines Gleichungskalküls.
(4) CHURCH (1936) : λ -definierbare Funktionen
(5) GÖDEL-KLEENE (1936)
µ -rekursive Funktionen und partiell-rekursive Funktionen (s.u.)
(6) POST (1943)
berechenbare Funktionen mittels kanonischer Deduktionssysteme
(7) MARKOV (1951)
berechenbare Funktionen mittels Algorithmen über endlichen Alphabeten
Alle diese Definitionen haben sich als formal äquivalent herausgestellt, außerdem ist bisher
jede einzelne der (intuitiv) berechenbaren Funktion berechenbar in dem obigen formalen
Sinne, was zu folgender Annahme Anlass gegeben hat (CHURCHsche
Thesis):
Die (intuitiv) berechenbaren Funktionen sind genau
die (in einem der obigen Sinne) formal berechenbare Funktionen.
Ergänzend einige wichtige
Aufzählbarkeitssätze :
• Es gibt eine effektive Aufzählung aller einstelligen berechenbaren partiellen Funktionen:
ϕ1, . . . , ϕn , . . .
• Es gibt eine (totale) Funktion f : { → {
f(n) = ϕ n (n)+1 , falls ϕ n (n)
•
, die nicht berechenbar ist:
definiert ist,
= 0
sonst. (Diagonalargument)
Somit gibt es zwar eine Aufzählung aller totalen berechenbaren Funktionen, aber diese
Aufzählung selbst ist nicht berechenbar.
Ferner sind die folgenden Prädikate nicht entscheidbar (d.h. ihre charakteristischen
Funktionen sind nicht berechenbar):
ϕ n (n) ist definiert , ϕ n ist totale Funktion , ϕ n ist die Funktion ≡ 0 , ϕ n = ϕ m ,
das n-te Programm mit n (allgemeiner: m ) als Eingabe stoppt nach endlich-vielen
Schritten (das Halte-Problem)
• Existenz universaler Funktionen (bzw. Programmen):
Zu jeder berechenbaren 2-stelligen Funktion
f(n,m)
f(n,m) ≅ ϕ k ( n ) (m) ;
die 2-stellige Funktion ϕ (n,m) = ϕ n (m) ist berechenbar.
Funktion k(n) mit
V.89
gibt es eine totale berechenbare
Math. Logik V.24
Im Folgenden betrachten wir nun den Begriff der rekursiven Funktion:
24.1 Definition
(i)
Anfangsfunktionen sind
R1
Z(x) = 0
Nullfunktion
R2
S(x) = x+1
Nachfolgerfunktion
R3
n
P i (x 1 ,...,x n ) = xi
i-te Projektion
( i i ) Substitution
R4
f(x 1 ,....,x n ) = g(h1 (x 1 ,....,x n ),....,h m (x 1 ,....,x n ) )
( i i i ) Primitive
R5
Rekursion
f(x 1 ,....,x n ,0) = g(x1 ,....,x n )
f(x 1 ,....,x n ,y+1) = h(x 1 ,....,x n ,y,f(x 1 ,....,x n , y ) )
( i v ) µ -Schema
f(x 1 ,....,x n ) ≅ µ y ( g(x1 ,....,x n ,y) = 0) , wobei allgemein
R6
µ y R(x 1 ,....,x n ,y) =
die kleinste natürliche Zahl y mit R(x 1 ,....,x n ,y) , falls ein
derartiges y existiert,
= 0 sonst.
Eine (totale) Funktion
f : {k → {
heißt p r i m i t i v - r e k u r s i v (p.r.) gdw
f
aus den
Anfangsfunktionen mittels der Schemata der Substitution und der primitiven Rekursion erhalten
werden kann;
f heißt rekursiv gdw f aus den Anfangsfunktionen mittels der Schemata der Substitution, der
primitiven Rekursion und dem µ -Schema erhalten werden kann, wobei im Falle der Anwendung
des µ -Schemas vorausgesetzt sei, dass für alle
x 1 ,....,x n ein y mit
g(x1 ,....,x n ,y) = 0
existiert.
Eine Relation
R ⊆ {k
charakteristische Funktion
χ R (x 1 ,....,x k ) = 1
= 0
R ⊆{
heißt
p r i m i t i v - r e k u r s i v (p.r.) bzw. r e k u r s i v
gdw ihre
χ R primitiv-rekursiv bzw. rekursiv ist, wobei
falls R(x1 ,....,x k ),
falls ¬ R(x1 ,....,x k ) .
heißt r e k u r s i v - a u f z ä h l b a r (r.e.) gdw
R = Ø
rekursive Funktion f .
Bemerkung:
Eine rekursive Relation heißt auch entscheidbar.
R ist rekursiv gdw R und { - R sind r.e.
V.90
oder
R = {f(x)|x ∈ { } für eine
Math. Logik V.24
24.2 Satz
Ist g: { k → {
(primitiv-)rekursiv und sind
z1 ,....,z k (nicht notwendig verschiedene)
Variable unter den x1 ,....,xn , so ist auch die Funktion f : { n → { mit
f(x 1 ,....,x n ) = g(z1 ,....,z k )
(primitiv-)rekursiv.
Beweis: Ist zi = xj , so zi = Pn j (x 1 ,....,x n ) und somit
i
i
n
n
f(x 1 ,....,x n ) = g(P j 1 (x 1 ,....,x n ),...., P j k (x 1 ,....,x n ) ) .
Beispiel: Ist g p.r. (rekursiv), so auch f mit
f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = g(x1 ,x 3 ) bzw
f(x 1 ,x 2 ) = g(x2 ,x 1 ) bzw
f(x 1 ) = g(x1 ,x 1 ) .
24.3 Satz
Folgende Funktionen sind primitiv-rekursiv:
x + y , x y, xy
arithmetische Operationen
δ (x) = x-1 , falls x > 0, = 0 , falls x = 0
Vorgänger
x - y = x-y , falls x≥y, = 0 sonst
modifizierte Differenz
|x - y| , x! ,
rm(x,y)
Rest bei der Division von y durch x
qt(x,y)
Ergebnis der Division von y durch x , so dass
für x ≠ 0 : y = x qt(x,y) + rm(x,y) mit
rm(x,y) < x .
p n = (n+1) te Primzahl (p0 = 2) .
24.4 Satz
(i) Ist g p.r. (rekursiv), so auch f mit
f(x 1 ,....,x n ,z) =
Σ
y<z g(x1 ,....,x n ,y) bzw. f(x1 ,....,x n ,z) =
Π
y<z g(x1 ,....,x n ,y) .
(ii) Ist g p.r. (rekursiv), so auch f mit
f(x 1 ,....,x n ,z) = µ y<z ( g(x1 ,....,x n ,y) = 0) , wobei allgemein
µ y<z R(x1 ,....,x n ,y) = die kleinste natürliche Zahl y<z mit R(x1 ,....,x n ,y) , falls existiert,
= z (!) sonst.
24.5 Satz
Rekursive und primitiv-rekursive Prädikate sind abgeschlossen unter den BOOLEschen
Operationen ¬ , ∨ , ∧ und unter beschränkter Quantifikation ∀ x<y , ∃ x<y .
V.91
Math. Logik V.24
Der folgende Satz stellt ein wichtiges Hilfsmittel zur Codierung endlicher Folgen natürlicher
Zahlen dar:
24.6 Satz
Es sei
(i)
β (x,y,z) = rm(1+(z+1)y,x)
(GÖDELsche β -Funktion). Dann gilt:
β ist p.r.
( i i ) Für jede endliche Folge natürlicher Zahlen ko , k1 ,...,kn existieren Zahlen b,c mit
β (b,c,i) = ki für alle 0 ≤ i ≤ n .
Der Beweis benutzt den Chinesischen Restsatz (Satz über simultane Kongruenzen).
24.7 Definition
T sei eine Theorie in der Sprache der PEANO-Arithmetik PA. In der Sprache von T existieren
somit konstante Terme
0 , 1 , . . , k , welche die natürlichen Zahlen 0, 1, . . , k im
Standardmodell repräsentieren.
Eine zahlentheoretische Relation R ⊆ { n ist in T ausdrückbar gdw eine Formel
ϕ (x 1 ,....,x n ) mit n freien Variablen existiert, so dass für alle natürlichen Zahlen
k 1 ,...., kn gilt:
( 1 ) R(k 1 ,....,k n )
⇒ T |− ϕ(k 1 ,....,kn) und
( 2 ) nicht R(k1 ,....,k n ) ⇒ T |− ¬ ϕ(k 1 ,....,kn) .
Eine zahlentheoretische Funktion f : { n → { ist in T repräsentierbar gdw eine Formel
ϕ (x 1 ,....,x n+1 ) mit n+1 freien Variablen existiert, so dass für alle natürlichen Zahlen
k 1 ,.....,k n ,k
gilt:
( 1 ) f(k 1 ,....,k n ) = k
(2)
⇒ T |− ϕ(k 1 ,....,kn, k)
und
T |− ∃! x n+1 ϕ(k 1 ,....,kn,x n+1 ) .
Ersetzen wir die letzte Bedingung durch
( 2 ´ ) T |− ∀ x 1 .... ∀ x n ∃! x n+1 ϕ(x 1 ,....,x n ,x n+1 ) , so heißt f stark repräsentierbar in T.
24.8 Satz
(i)
Jede rekursive Funktion
f
ist in PA (stark) repräsentierbar,
( i i ) jede rekursive Relation R ist in PA ausdrückbar.
Tatsächlich gilt auch die Umkehrung von (i):
Jede in PA repräsentierbare Funktion ist rekursiv,
jede in PA ausdrückbare Relation ist rekursiv (entscheidbar).
V.92
Math. Logik V.25
§25 Gödelisierung
25.1 Jedem Symbol
s
s
der Sprache der PEANO-Arithmetik ordnen wir eine natürliche Zahl
s
als ihren Code zu (man nennt
¬
=3 ,
∨
0
= 15 ,
´
=5,
∃
= 17 ,
=7,
+
auch die GÖDEL-Nummer von s ):
(
= 19 ,
= 9,
.
)
= 21 ;
= 11,
vi
=
= 13 ,
= 23+2i ,
einer Formel als endlicher Zeichenreihe ordnen wir als Code (GÖDEL-Nummer) zu:
ist
ϕ = z1. . . .zn , so
ϕ
= 2 z1
3 z2
. . .. . pn-1 zn
Codes von Symbolen sind ungerade Zahlen, Codes von Formeln gerade. So ist z.B.
∃ v 2 ( v2 ´ x v3 = 0´)
= 27 327 59 727 1117 1321 1729 1911 2315 2917 3111 .
25.2 Damit lasen sich syntaktische Begriffe in zahlentheoretische Prädikate übersetzen:
Var(x):
↔ ∃ i ( x = 23 + 2i )
"x ist Code einer Variablen".
Ähnlich, und zwar durch primitive Rekursion, erhält man primitiv rekursive Prädikate,
welche ausdrücken:
Term(x)
"x ist Code eines Terms"
Fml(x)
"x ist Code einer Formel"
sub(x,y,z)
"x ist Code einer Formel ϕ (v o ), y ist Code eines Terms t
und z ist Code der Formel ϕ (t/vo )"
Axl(x)
"x ist Code eines logischen Axioms"
Ax PA (x)
"x ist Code eines PEANO-Axioms"
RMod(x,y,z)
"x ist Code einer Formel ϕ , y ist Code einer Formel
der Form ϕ → ψ , und z ist Code der Formel ψ ".
Indem wir Beweisen als endlichen Folgen von Formeln wiederum (wie im Falle der Formeln als
endliche Zeichenreihen) Zahlen als Codes zuordnen, erhalten wir ein primitiv-rekursives
Prädikat
Pr(x,y)
"x ist Code eines Beweises der Formel ϕ mit Code y aus den PEANO-Axiomen".
Im folgenden sei T eine Theorie der PEANO-Sprache, welche rekursiv axiomatisierbar ist,
d.h. es gibt ein rekursives Prädikat
AxT (x), welches ausdrückt
"x ist Code eines Axioms von T" .
Entsprechend gibt es dann ein rekursives Prädikat
PrT(x,y)
"x ist Code eines Beweises der Formel ϕ mit Code y aus den Axiomen von T".
25.3 Insbesondere gilt dann auch für jede Theorie T , welche PA erweitert:
Jede durch eine Formel in T repräsentierbare Funktion ist rekursiv,
jede durch eine Formel in T ausdrückbare Relation ist rekursiv.
V.93
Math. Logik V.26
§26 Die GÖDELschen Sätze
26.1 Diagonalisierungs-Lemma
Zu jeder Formel ϕ (v o ) der PEANO-Sprache existiert ein Satz
PA |− σ ↔ ϕ( σ ) .
σ mit
Beweis: Es existiert eine rekursive Funktion d mit folgender Eigenschaft:
ist m = ψ (v o )
, so ist
ψ (k)
d(m,k) =
.
Als rekursive Funktion ist d in PA repräsentierbar, es existiert also ein Ausdruck sub, so
dass für alle k :
( 1 ) PA |− sub( ψ (v o ) , k) =
ψ (k)
.
(Eigentlich ist diese Gleichung durch die entsprechende 3-stellige Relation sub(x,y,z)
auszudrücken, welche in der dritten Stelle funktional ist!)
Es sei nun
δ (v o ) : = ϕ (sub(v o ,v o )) , m :=
δ (v o ) , σ : = δ (m) .
Dann gilt:
PA |− σ ↔
δ (m)
PA |− σ ↔ ϕ (sub( m, m))
nach Def. von δ
PA |− σ ↔ ϕ (sub( δ (v o ) , m))
nach Def. von m
PA |− σ ↔ ϕ ( δ ( m)
)
PA |− σ ↔ ϕ ( σ )
nach (1)
nach Def. von σ .
26.2 Definition
T sei eine Theorie der PEANO-Sprache. T heißt ω -konsistent gdw für alle Formeln
gilt:
falls T |− ϕ (k)
für alle natürlichen Zahlen k , so gilt T
T heißt ω -vollständig gdw für alle Formeln
falls T |− ϕ (k)
º
∃ x ¬ ϕ (x) .
ϕ (v o ) gilt:
für alle natürlichen Zahlen k , so gilt T |−∀ x ϕ (x) .
T ist also ω -unvollständig gdw es eine Formel ϕ (v o ) gibt mit:
T |− ϕ (k)
für alle natürlichen Zahlen k , aber T
º
∀ x ϕ (x) .
Bemerkungen:
Ist T ω -konsistent, so auch konsistent (wähle für ϕ (v o ) die Formel vo = vo ).
Ist das Standardmodell { ein Modell von T , so ist T ω -konsistent.
V.94
ϕ (v o )
Math. Logik V.26
26.3
Erster GÖDELscher Unvollständigkeitssatz
T sei eine Theorie der PEANO-Sprache, welche PA erweitert und welche rekursiv
axiomatisierbar ist. Dann existiert ein Satz ϕ G der PEANO-Sprache, so dass gilt:
(i)
Ist T konsistent, so gilt
T
( i i ) Ist T ω -konsistent, so gilt
(iii)
ϕG ,
º
º ¬ ϕG ,
T
{ |= ϕG .
Beweis: Wir wenden das Diagonalisierungs-Lemma an auf die Formel
ϕ (v o ) := ¬ ∃ x PrT (x,v o )
"vo ist Code einer Formel, die nicht in T beweisbar ist"
und erhalten einen Satz mit
( * ) T |− σ ↔ ¬ ∃ x PrT (x, σ ) .
(i) Falls T |− σ , so gibt es einen Beweis von σ aus den Axiomen von T , dieser Beweis habe die
Code-Nummer m . Wegen der Ausdrückbarkeit des rekursiven Beweisprädikates in T gilt dann:
T |− PrT ( m, σ ) , also auch T |− ∃ x PrT (x, σ )
im Widerspruch zur Annahme T |− σ und der Konsistenz von T !
(ii) Falls T |− ¬ σ , so gilt wegen der Konsistenz von T: σ ist nicht in T beweisbar, also wieder
wegen der Ausdrückbarkeit des rekursiven Beweisprädikates in T :
T |− ¬ PrT ( m, σ ) für alle m, aber aus der Annahme T |− ¬ σ folgt wegen (*):
T |− ∃ x PrT (x, σ ), was der Annahme widerspricht, dass T ω -konsistent ist.
(iii) ergibt sich dadurch, dass σ besagt " σ ist in T nicht beweisbar" , was aufgrund von (i)
wahr ist.
ROSSER hat durch leichte Abänderung der im obigen Beweis benutzten Formel ϕ (v o ) gezeigt,
dass man die Vorausetzung "T ω -konsistent" auch in (ii) zu "T konsistent" abschwächen kann.
Insbesondere gilt:
jede konsistente und rekursiv-axiomatisierbare Erweiterung von PA ist unvollständig.
Da Th({ ) eine konsistente und vollständige Erweiterung von PA ist, so ist insbesondere
•
Th( { ) nicht rekursiv-axiomatisierbar, somit
•
Th( { ) nicht rekursiv, d.h.
•
das Prädikat “ { |= σ “ ist nicht entscheidbar.
V.95
Math. Logik V.27
Es sei ConT die Formel ¬ ∃ x PrT (x, 0=1 ) , welche die Konsistenz von T formal ausdrückt.
Zweiter GÖDELscher Unvollständigkeitssatz
26.4
T sei eine Theorie der PEANO-Sprache, welche PA erweitert und welche rekursiv
axiomatisierbar ist. Dann gilt:
Falls T konsistent ist, so gilt
T
º
ConT .
Beweisskizze:
Aufgrund des 1. GÖDELschen Unvollständigkeitssatzes gilt für den Satz σ = ϕG :
( * ) Falls T konsistent ist, so: σ ist in T nicht beweisbar.
Analysiert man den Beweis von (*), so sieht man, dass man ihn formalisieren und mit den
Mitteln von PA beweisen kann:
T |− ConT → ¬ ∃ x PrT (x, σ ) , d.h. nach Definition von σ :
T |− ConT → σ , und da σ in T nicht beweisbar ist (wenn T konsistent), so
T
º
ConT .
Dass es bei den Beweisen der GÖDELschen Sätze wesentlich auf die Form des formalen
Beweisprädikates (bzw. des Prädikats der Konsistenz) ankommt, hat FEFERMAN gezeigt:
S. Feferman: Arithmetization of metamathematics in a general setting, Fund Math XLIX , 35-92
(1970).
Mathematisch interessante Sätze, die in der PEANO-Theorie unabhängig sind, haben zuerst Paris
und Harrington gefunden, s.:
Paris-Harrington: A Mathematical Incompleteness in Peano Arithmetic, in:
Handbook of Mathematical Logic (ed. Barwise), Amsterdam 1977.
Kaye, R.: Models of Peano Arithemetic, Oxford 1991
Simpson, S.G.: Nonprovability of certain combinatorial properties of finite trees, in: Harvey
Friedman´s Research on the Foundations of Mathematics, Amsterdam 1985
Smorynski, C.: Some rapidly growing functions, Math. Intell. 2,3 (1971), 149-154
Smorynski, C.: The varieties of arboreal experience, in: Harvey Friedman´s Research on the
Foundations of Mathematics, Amsterdam 1985
V.96
Math. Logik V.27
§27 Unentscheidbarkeit des PK
27.1 Satz
T sei eine konsistente Theorie der PEANO-Sprache. Ist die Funktion d mit
ϕ (k)
d(k) =
, falls k =
ϕ (v o )
(d.h. d(k) = d(k,k) des Diag. Lemmas 3.1) ,
in T repräsentierbar, so ist die Menge der (Codes von) in T beweisbaren Sätze
T
:= { σ
| T |− σ , σ Satz}
in T nicht ausdrückbar.
Beweis: Angenommen,
(1)
(2)
d werde in T durch die Formel ϕ d repräsentiert,
T in T durch die Formel ϕT ausgedrückt.
Die Formel
ϕ (v o ) = ∀ v 1 ( ϕ d (v o ,v 1 ) → ¬ ϕ T (v 1 ) )
ϕ (k) = ∀ v 1 ( ϕ d (k,v 1 ) → ¬ ϕ T (v 1 ) )
habe den Code k,
hat dann den Code
d(k) = m , und es gilt:
( 3 ) T |− ϕ d ( k , m ) .
Beh.: (4) T |− ¬ ϕ T ( m )
1. Fall: T
º
ϕ ( k ) . Dann ist m ∉
2. Fall: T |− ϕ ( k ) . Dann
T , also gilt nach (2): T |− ¬ ϕ T ( m ) .
T |− ∀ v 1 ( ϕ d (k,v 1 ) → ¬ ϕ T (v 1 ) ) , also nach (3) ebenfalls:
T |− ¬ ϕ T ( m ) .
Wegen T |− ∃! v1 ϕd( k ,v1 ) und (3) gilt also
T |− ϕ d ( k ,v1 ) → v1 = m , also wegen (4)
T |− ϕ d ( k ,v1 ) →
¬ ϕ T (v 1 ) ,
T |− ∀ v 1 (ϕ d ( k ,v1 ) →
¬ ϕ T (v 1 )) , d.h.
T |− ϕ ( k ) und somit m ∈
d.h. T |− ϕT( m )
T
,
im Widerspruch zu (4)!
27.2 Korollar
T
sei eine konsistente Theorie der PEANO-Sprache, in welcher jede rekursive Funktion
repräsentierbar ist. Dann ist die Menge der (Codes von) in T beweisbaren Sätze
T
:= { σ | T |− σ , σ Satz} nicht rekursiv, d.h. T ist unentscheidbar.
Insbesondere ist die PEANO-Theorie und jede ihrer konsistenten Erweiterungen
unentscheidbar. Da es eine endlich-axiomatisierbare Teiltheorie von PA gibt, in in welcher jede
rekursive Funktion repräsentierbar ist, folgt:
V.97
Math. Logik V.27
27.3 Korollar (CHURCH)
{ σ
| σ Satz und |− σ } ist nicht rekursiv,
d.h.
der PK ist unentscheidbar.
Tatsächlich ist bereits der
PK mit einem 2-stelligen Relationszeichen unentscheidbar (CHURCH),
dagegen ist der monadische Prädikatenkalkül, d.h.
der PK mit nur einstelligen Prädikatszeichen (und der Gleichheit) entscheidbar
(LÖWENHEIM/SKOLEM/BEHMANN).
Weitere Ergebnisse über (Un-)Entscheidbarkeit beziehen sich auf Formelklassen mit
bestimmten Präfixtypen, wobei man sich auf Sprachen ohne Funktionszeichen beschränkt.
Entscheidbar (bzgl. Allgemeingültigkeit) sind Formeln mit folgenden Präfixtypen:
∀ . . . ∀ ∃ . . . ∃ und
∀ . . . ∀ ∃ ∀. . . ∀ , ferner
∀ . . . ∀ ∃ ∃ ∀. . . ∀ (ohne = -Zeichen), dagegen ist
unentscheidbar :
∃∀∃
(auch bereits ohne = -Zeichen).
Reduktionstypen , d.h.
|− ϕ ist auf
|− ψ für ein
ψ
dieses Typs zurückführbar (und damit
auch unentscheidbar), sind die Klassen
∃∃∃∀ ...∀ ,
∃ ∃ ∀. . . ∀ ∃ ,
∃∃∀∃...∃,
∀∃∀∃...∃ .
Literatur:
Ackermann, W.: Solvable cases of the decision problem, Amsterdam 1962
Börger-Grädel-Gurevich: The classical decision problem, Springer 1997
Döpp, K.: Berechenbarkeit und Unlösbarkeit, vieweg 2000
Goldfarb, W.: On the Gödel class with identity, JSL 46 (1981), 354-364
Goldfarb, W.: The undecidability of the Gödel class with identity, JSL 49 (1984), 1237-1252
Goldfarb-Gurevich-Shelah: A decidable subclass of minimal the Gödel class with identity, JSL
49
(1984),
1253-1261
Tarski-Mostowski-Robinson: Undecidable theories, Amsterdam 1971
V.98
Math. Logik V.27
Inhalt
Kap. I. Der Aussagenkalkül (AK)
§ 1
Syntax des AK
1
§ 2
Semantik des AK
6
§ 3
Normalformen
11
§ 4
Folgerungs- und Beweisbegriff
16
§ 5
Vollständigkeits- und Kompaktheitssatz
23
Kap. II. Der Prädikatenkalkül (PK)
§ 6
Syntax des PK: Formale Sprachen
29
§ 7
Semantik des PK: Der Wahrheitsbegriff
32
§ 8
Ein Axiomensystem für den PK
35
§ 9
Der Tautologiesatz
38
§ 10
Gesetze über Quantoren
40
§ 11
Das Deduktionstheorem
42
§ 12
Weitere Metatheoreme
44
§ 13
Pränexe Normalformen
46
Kap. III. Vollständigkeit und Kompaktheit
§ 14
Erweiterungen von Theorien, Widerspruchsfreiheit
50
§ 15
Termmodelle
54
§ 16
HENKIN-Theorien
56
§ 17
Vervollständigung einer Theorie
58
§ 18
Der GÖDELsche Vollständigkeitssatz
61
§ 19
Der Kompaktheitssatz
64
Kap. IV. Einiges aus Mengenlehre und Modelltheorie
§ 20
Eine Axiomatisierung der Mengenlehre
67
§ 21
Modelltheoretische Grundbegriffe
75
§ 22
Die Sätze von LÖWENHEIM-SKOLEM-TARSKI
80
§ 23
Die Sätze von SKOLEM und HERBRAND
84
Kap. V. Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit
§ 24
Rekursive Funktionen
86
§ 25
Gödelisierung
93
§ 26
Die GÖDELschen Sätze
94
§ 27
Unentscheidbarkeit des PK
97
V.99
Math. Logik V.27
Anhang
Quantorenregeln für die Prädikatenlogik
(ohne Variablenbedingungen)
∫ ¬ ∀x ϕ ↔ ∃x ¬ ϕ , ∫ ¬ ∃x ϕ ↔ ∀x ¬ ϕ
∫ ∀x ϕ → ∃x ϕ
º ∃x ϕ → ∀x ϕ
∫ ∀x ¬ ϕ → ¬ ∀ x ϕ
º ¬ ∀x ϕ → ∀x ¬ ϕ
∫ ¬ ∃x ϕ → ∃x ¬ ϕ
º ∃ x ¬ ϕ → ¬ ∃x ϕ
∫ ∀ x ( ϕ ∧ ψ ) ↔ ∀ x ϕ ∧ ∀x ψ
∫ ∃ x (ϕ ∧ ψ) → ∃ x ϕ ∧ ∃ x ψ
º ∃ x ϕ ∧ ∃ x ψ → ∃ x (ϕ ∧ ψ )
∫ ∃x ( ϕ ∨ ψ ) ↔ ∃ x ϕ ∨ ∃x ψ
º ∀ x (ϕ ∨ ψ) ↔ ∀ x ϕ ∨ ∀ x ψ
∫ ∀ x ϕ ∨ ∀ x ϕ → ∀ x (ψ ∨ ϕ)
∫ ∀ x ( ϕ → ψ ) → ( ∀ x ϕ → ∀x ψ )
º ( ∀x ϕ → ∀x ψ ) → ∀x ( ϕ → ψ )
∫ ( ∃ x ϕ → ∃x ψ ) → ∃ x ( ϕ → ψ )
º ∃ x ( ϕ → ψ ) → ( ∃ x ϕ → ∃x ψ )
∫ ∀ x ( ϕ → ψ ) → ( ∀ x ¬ ψ → ∀x ¬ ϕ )
º (∀ x ¬ ψ → ∀ x ¬ ϕ ) → ∀ x ( ϕ → ψ )
∫ ( ∃ x ¬ ψ → ∃x ¬ ϕ ) → ∃ x ( ϕ → ψ )
º ∃x ( ϕ → ψ ) → ( ∃ x ¬ ψ → ∃ x ¬ ϕ )
∫ ∀x ( ϕ → ψ ) → ( ∀x ϕ → ∀x ψ )
↓
↓
∫ ( ∃x ϕ → ∃x ψ ) → ∃x ( ϕ → ψ )
∫ ∀x ∀y ϕ ↔ ∀y ∀x ϕ
∫ ∀x ∀y ϕ ↔ ∀y ∀x ϕ
∫ ∃x ∃y ϕ ∃y ∃x ϕ
∫ ∃x ∃y ϕ ∃y ∃x ϕ
∫ ∃y ∀x ϕ → ∀x ∃y ϕ
º ∀x ∃y ϕ → ∃y ∀x ϕ
V.100
Math. Logik V.27
Quantorenregeln für die Prädikatenlogik
(mit Variablenbedingungen)
Falls x ∉ V(ϕ )
Falls x ∉ V(ϕ )
∫ ∀x ϕ ↔ ϕ
∫ ∃x ϕ ↔ ϕ
∫ ∀ x ( ϕ ∧ ψ ) ↔ ϕ ∧ ∀x ψ
∫ ∀ x ( ϕ ∧ ψ) ↔ ∀ x ϕ ∧ ψ
∫ ∃ x (ϕ ∧ ψ) ↔ ϕ ∧ ∃ x ψ
∫ ∃ x (ϕ ∧ ψ) ↔ ∃ x ϕ ∧ ψ
∫ ∀x (ϕ ∨ ψ) ↔ ϕ ∨ ∀ x ψ
∫ ∀x (ϕ ∨ ψ) ↔ ∀ x ϕ ∨ ψ
∫ ∃ x (ϕ ∨ ψ) ↔ ϕ ∨ ∃ x ψ
∫ ∃ x (ϕ ∨ ψ) ↔ ∃ x ϕ ∨ ψ
Falls x ∉ V(ψ )
∫ ∀ x ( ϕ → ψ ) ↔ (ϕ → ∀ x ψ )
∫ ∀ x ( ϕ → ψ ) ↔ (∃ x ϕ → ψ )
∫ ∃ x ( ϕ → ψ ) ↔ (ϕ → ∃ x ψ )
∫ ∃ x (ϕ → ψ) ↔ ( ∀ x ϕ → ψ)
Falls x ∉ V(ψ )
∫ ∀x (ϕ → ψ) ↔ (¬ ψ → ∀x ¬ ϕ )
∫ ∃ x (ϕ → ψ) ↔ (¬ ψ → ∃x ¬ ϕ )
Falls x ∉ V(ψ )
Falls x ∉ V(ϕ )
Falls x ∉ V(ψ )
Falls x ∉ V(ϕ )
Falls x ∉ V(ϕ )
∫ ∀x (ϕ → ψ) ↔ (ϕ → ∀x ψ)
↓
↓
∫ (ϕ → ∃x ψ) ↔ ∃x (ϕ → ψ)
Falls x ∉ V(ψ )
∫ ∀x (ϕ → ψ) ↔ (∃x ϕ → ψ)
↓
↓
∫ (∀x ϕ → ψ) ↔ ∃x (ϕ → ψ)
Falls x,y ∉ V(ϕ ):
∫ ∀x ∃y ϕ ↔ ∃y ∀x ϕ
¬ Qx ϕ ↔ Q*x ¬ ϕ
Qx ϕ(x) ∧ ψ ↔ Qx (ϕ(x) ∧ ψ)
Qx ϕ(x) ∨ ψ ↔ Qx (ϕ(x) ∨ ψ)
Qx ϕ(x) → ψ . ↔ . Q*x ϕ(x) → ψ)
ψ → Qx ϕ(x) . ↔ . Qx (ψ → ϕ(x))
wobei
∀ * = ∃ , ∃ * = ∀ , und x in der Formel ψ nicht frei vorkomme.
V.101
Math. Logik V.27
Entscheidbare Theorien
Theorie der Gleichheit (nur logische Symbole und Axiome)
Löwenheim 1915
Theorie eines 1-stelligen Funktionssymbols
Monadischer Prädikatenkalkül
Behmann 1922
(nur 1-stellige Prädikate + Gleichheit)
Theorie einer Äquivalenzrelation
Janiczak 1953
T h ( N ,+,0,´)
Presburger 1929
Th(N , x ,´)
Theorie der BOOLEschen Algebren
Tarski 1949
Theorie der(dichten) linearen Ordnung
Ehrenfeucht 1949
Theorie der ABELschen Gruppen
W. Smielew 1949
Theorie der geordneten ABELschen Gruppen
Tarski 1949
Theorie der reell-abgeschlossenen Körper
Tarski 1949
Theorie der algebraisch-abgeschlossenen Körper
Tarski 1949
Euklidische Geometrie
Tarski 1949
Hyperbolische Geometrie
Schwabhäuser 1959
Unentscheidbare Theorien
PK mit mind. einem 2-stelligen Relationssymbol
Trachtenbrot 1953
PK mit mind. zwei 1-stelligen Funktionssymbolen
Trachtenbrot 1953
PK mit mind. einem 2-stelligen Funktionssymbol
Trachtenbrot 1953
T h ( N ,+, x,´,0)
Tarski 1949
Theorie der (distributiven) Verbände
Ershov, Taitslin 1961/63
Theorie der partiellen Ordnung
Taitslin 1962
Theorie der Gruppen
Malcev 1961
Theorie der Ringe
Malcev 1961
Theorie der Körper
Robinson 1949
Mengenlehre
Tarski 1949
V.102