Versuchsanleitung - Hochschule Augsburg

Versuch Nr. 11
Physikalisches
Praktikum
Aufbauten 11 bzw. 31
Maxwell- Rad
1.__Grundlagen_und_Versuchsidee
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Hochschule
Augsburg
1.1 Grundlagen Maxwellsches Rad
h=s-R
Ein Rad sitzt auf einer Welle.
Der Radschwerpunkt liegt in der
│
│
r
Längsachse der Welle. Rad und
Welle sind statisch und dynamisch ausgewuchtet. Mit zwei
Schnüren, die beiderseits des
Rades an der Welle befestigt
sind, ist das Rad an einem waagerechten Träger aufgehängt.
Während man das Rad dreht, werFG
den die Schnüre einlagig auf die │
Welle aufgewickelt. Das Rad wird
dabei angehoben, bis es den Träger berührt. In dieser Lage wird
es freigegeben. Es bewegt sich
h
mit konstanter Beschleunigung a
nach unten, wobei es sich mit konstanter Winkelbeschleunigung 
dreht. Die Lageenergie des Rades (potentielle Energie) geht dabei in Bewegungsenergie über. Nachdem die Schnur vollständig abgewickelt ist, steigt das Rad unter Verlust von Bewegungsenergie
wieder in die Höhe. Da Reibungsarbeit verlorengeht, wird die
Starthöhe nicht wieder erreicht.
Sind die Masse m vom Rad und Welle sowie der Abstand r der
Schnurmitte von der Längsachse bekannt, so lässt sich das Massenträgheitsmoment JS von Rad und Welle bezüglich der Wellenlängsachse durch Messung der Zeit t bestimmen, in der das Rad um
die Höhe h sinkt.
1.2. Bestimmung des Massenträgheitsmomentes
Die Bestimmung des Massenträgheitsmomentes erfolgt durch
Berechnung aus den Massen:
⌠
Das Massenträgheitsmoment ist
J = │ r2·dm
⌡
wobei dm
ein Massenelement (infinitesimal) des Körpers und r dessen Abstand von der Drehachse ist. Für den Trägheits-Widerstand eines
Körpers gegen Drehbeschleunigung ist also nicht nur der Betrag
der Masse eines Körpers massgebend, sondern auch die Anordnung
der Masse.
Wie aus der Definitionsgleichung ersichtlich, addieren sich
Trägheitsmomente zweier um eine gemeinsame Achse rotierender
Körper algebraisch. Ein und derselbe Körper hat aber in bezug
auf verschiedene Achsen verschiedene Trägheitsmomente.
Beispiele für die Berechnung von Trägheitsmomenten:
a) Hohlzylinder mit Radius R und vernachlässigbarer Wandstärke:
J = m · r2
b) Vollzylinder mit Radius R: ⌠
J = │ r2 ·dm , wobei dm = 2r·h ·dr
⌡
02-07 / Stg K Ri / 11 / 1
dabei sind:
2·r · dr = Fläche eines unendlich dünnen
h
= seine Höhe

= seine Dichte
⌠R
⌠R
Js = │ r2 · 2r·h· ·dr = 2·h·
│r3 · dr
⌡O
⌡O
R4
=
2p·h··———
4
2 
=
1/2·R · · h·R2 ·
Js
= 1/2·m·R2
Hohlzylinders
c) Hohlzylinder mit Innenradius Ri und
Außenradius Ra
⌠Ra
Js = │ r2 2r·h· · dr = 1/2· ·h··(Ra4-Ri4)
⌡Ri
=
1/2·· ·h· ( Ra2 -Ri2) · ( Ra2 +Ri2)
Js
=
1/2·m ·(Ra2 + Ri2)
Räder Nr.1-5 (Duraluminium-Rad) haben folgende Form:
2. Versuchsbeschreibung
Die Massenträgheitsmomente werden mit Hilfe des Energiesatzes
aus der Zeit t zum Abrollen des Rades berechnet.
T
T
Das Rad mit der Achse A wird
mittels zweier Schnüre S an
einer Tragstange T aufgehängt
und an den Schnüren hochges
rollt. Bei Freigabe rollt das
h=s-R
M
Rad in beschleunigter Bewegung
as
an den Schnüren abwärts und
r
ri
setzt seine Lagenenergie in
Vi
Bewegungsenergie um. Nach
ew
vollständigem Abrollen läßt
.ht
die im Rad gespeicherte Bewem
gungsenergie das Rad wieder
vo
n
steigen. Der Vorgang wiederr
A
M
4
holt sich mit immer kleiner
ari
werdender Steighöhe, bis die
an
ganze anfängliche Lagenenergie
ne
durch Reibungsarbeit in Wärme
02
umgesetzt ist.
.1
07 / Stg Ri / 11 / 02
2.
20
02
8k
Energiebetrachtung :
1
1
2
mgh = —- mvmax
+ —— Js 
2
2
Mittlere Geschwindigkeit vm
2
max
,
h
= ———
t
h
Maximalgeschwindigkeit vmax = 2 ———
t
v

wobei
= ——
r
v = Geschwindigkeit
 = Winkelgeschwindigkeit
h = s-R1 Fallweg des Rades
t = Fallzeit
r = Rollradius der Achse
=r4i+halbe Dicke der Schnur
Aus dieser Energiebetrachtung ergibt sich für das Trägheitsmoment
Js =
g t²
r² m ( ————————
2 h
- 1 )
Tabelle 1
Eigenschaften der zu messenden Räder
Rad
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Material
Legierung
Duraluminium
„
„
„
Stahl
Messing
Triamet =
Hartmetall
Magnesium
10
11
12
Kupfer
Kupfer
Aluminium
Zusammensetzung
chem. Zeichen
Al 98% Mg 2%
Dichte
g/cm3
2,72
Fe 98% C 2%
Cu 63% Zn 37%
W 95% Fe2% Ni3%
Wolfram
Mg 96% Al 3%
Zn 1 %
Cu 100%
" "
Al 98 % Si 2%
* Zu messen bzw. zu wiegen
7,85
8,3
18,0
2R1
mm
200
200
*
*
*
130
130
126,8
l1
mm
30
*
*
*
*
30
30
25,6
m
kg
1,310
1,306
*
*
*
3,157
3,393
5,931
1,74
186
26
1,317
8,9
8,9
2,7
148
200
300
30
29,5
30
4,645
5,634
6,014
07-11 / Stg / 11 / 03
3._Versuchsdurchführung
Die Zeit t wird während der ersten Fallbewegung gemessen, bei
der die Reibungsverluste noch gering sind. Nach jedem Hochrollen wird die Achse waagrecht justiert. Jedes der zwei Räder
wird mindestens 10 mal gemessen. Die Abmessungen R1 , ri und da
werden mit Schublehre gemessen, s mit Massband:
Rad R1
Nr. /mm
r2 r...
/mm
s
/mm
da
/mm
t1
/s
t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10
/s
Eigenschaften der Welle (für alle Räder):
Material:
Stahl
Durchmesser Aussenteile:
di =8,5 mm
Durchmesser Innenteile:
2·r4 =10 mm
gesamte Länge:
l3 =150 mm
Länge des Innenteiles :
=l1
Messung des Schnurdurchmessers d:
da
————————————————
————————————————
d = (da -di ) /2
Rollradius r = (da +di ) /4
———
—————————
—————————
———
di
———
———
4._Auswertung
Die Bestimmung des Massenträgheitsmomentes erfolgt auf zwei
Arten:
4.1. Berechnung von Js für ein Rad aus den Abmessungen nach
Formeln in 1.2..
4.2. Js für zwei Räder wird aus den Fallzeiten mit der Formel
für das Trägheitsmoment Js aus der Energiebetrachtung berechnet.
4.3. Fehlerrechnung:
Für ein Rad wird eine Fehlerstatistik für t mit Standardabweichung und Unsicherheit (Vertrauensbereich 68 % und 95%) angestellt.
4.4. Fehlerrechnung:
Für ein Rad wird u(Js) mit der Annahme berechnet, dass die relative (prozentuale) Unsicherheit u(Js)/Js die doppelte relative (prozentuale) Unsicherheit von u(r)/r ist, u(r) ist 0,1mm.
Das Ergebnis wird in der Form Js = Js ± u(Js) angegeben.
08 / Ri / 11 / 4