Optische und elektrische Eigenschaften von mikrostrukturierten

Optische und elektrische Eigenschaften von
mikrostrukturierten Halbleitern
Ein Praktikumsversuch
für Fortgeschrittene
Zulassungsarbeit
zur wissenschaftlichen Staatsprüfung
für das Lehramt an Gymnasien
von
Till Häusler
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Institut für Technische Physik I
Lehrstuhl für Mikrocharakterisierung
März 1998
Inhaltsverzeichnis
0 Ziel und Motivation dieser Arbeit .................................................... 4
0.1
0.2
0.3
0.4
Motivation .....................................................................................................4
Zielsetzung des Versuchs.............................................................................6
Worin besteht der Versuch? .........................................................................7
Aufbau der Arbeit..........................................................................................8
1 Für den Meßplatz relevantes Grundwissen.................................... 9
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Vorbemerkung ..............................................................................................9
Schwarzer Strahler / Planksches Strahlungsgesetz .....................................9
Beugung am Gitter......................................................................................10
Abbildung durch Linsen ..............................................................................11
Mikroskop / Lupe ........................................................................................13
Absorption ..................................................................................................16
Reflexion an Grenzflächen .........................................................................18
Fabry-Perot-Oszillationen ...........................................................................19
Anti-Reflexions-Vergütung..........................................................................20
2 Das Bändermodell im Festkörper ................................................. 22
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
Vorbemerkung ............................................................................................22
Bandaufspaltung im Festkörper..................................................................22
Bänderschema im Orts- und im k–Raum....................................................23
Zustandsdichte ...........................................................................................27
Dotierung von Halbleitern ...........................................................................30
Bandübergänge und Absorption .................................................................32
Exzitonen ....................................................................................................36
Der pn-Übergang ........................................................................................36
Photodioden und Photostrom .....................................................................40
Leuchtdiode (LED)......................................................................................41
Der Franz-Keldysh-Effekt ...........................................................................41
Der Quanten-Confined-Stark Effekt............................................................44
3 Der Versuchsaufbau....................................................................... 49
3.1
Schematische Aufbau.................................................................................49
3.2
Die einzelnen Komponenten.......................................................................50
3.2.1 Die Lampe ...............................................................................................50
3.2.2 Der Monochromator.................................................................................50
3.2.3 Die Faser .................................................................................................53
3.2.4 Die CCD-Kamera.....................................................................................56
3.2.5 Der Photodetektor mit Powermeter .........................................................57
3.2.6 Das Picoamperemeter mit eingebauter Spannungsquelle.......................58
3.2.7 HP-VEE-Steuerungssoftware ..................................................................58
3.2.8 Die Proben...............................................................................................59
a)
Herstellung der Probe.................................................................................60
b)
Design der Proben / Probenprocessing......................................................61
Inhaltsverzeichnis
3
4 Anhang ............................................................................................ 64
A.
B.
C.
Materialparameter GaAs.............................................................................64
Materialparameter AlxGa1-xAs .....................................................................65
Naturkonstanten .........................................................................................66
Literaturverzeichnis............................................................................. 67
Dank ...................................................................................................... 68
Selbständigkeitserklärung .................................................................. 69
0 Ziel und Motivation dieser Arbeit
0.1 Motivation
Die letzen beiden Jahrzehnte waren geprägt durch die rasante Entwicklung der
Halbleiterelektronik. Unter Ausnutzung der elektrischen Eigenschaften von
Halbleitern wie Silizium, Germanium usw. und der Entwicklung immer besserer
Herstellungsverfahren (z.B. Molekularstrahlepitaxie, Photolithographie) war es
möglich immer komplexere, bessere und vor allem kleinere Halbleiterbauelemente
herzustellen. Ein Resultat dieser Entwicklung, nämlich leistungsstarke PersonalComputer, sind heute praktisch schon in jedem Haushalt zu finden und aus der
heutigen Arbeitswelt gar nicht mehr wegzudenken. Bei allen Vorteilen und scheinbar
immer wachsenden Möglichkeiten der elektronischen Datenverarbeitung mittels
Halbleitertransistoren darf aber nicht vergessen werden, daß der elektronische
Austausch von Daten oder allgemeiner Information auch Nachteile hat.
Einer dieser Nachteile ist wohl jedem, der schon einmal mit einem modernen
Verkehrsflugzeug geflogen ist, aufgefallen. Das Benutzen von Laptops, CD-Playern,
Handys
usw., also von elektronischen Geräten, die hochfrequente
elektromagnetische Strahlung aussenden, ist während des Fluges nicht gestattet, da
es durch die Wechselwirkung elektromagnetischer Felder zu Störungen des
Datenflusses in der Bordelektronik kommen kann, was unter Umständen sehr
unangenehme Folgen haben kann. Elektronischer Datenfluß reagiert also sensibel
unter dem Einfluß äußerer elektromagnetischer Felder. Diese Sensibilität sezt
natürlich auch Grenzen bei der Verkleinerung elektronischer Bauelemente. Wie eng
dürfen zwei Leiterbahnen nebeneinander gesetzt werden, bevor sich die darin
fließenden Ströme gegenseitig beeinflußen?
Ein weiterer Nachteil wird deutlich, wenn man den Informationstransport über weite
Strecken (Telephonleitung, Internet) betrachtet. Das elektrische Signal unterliegt
einer starken Dämpfung, so daß in der Leitung sehr viele Zwischenstationen
vorhanden sein müssen, um das Signal wieder zu verstärken. Hinzu kommt, daß die
Bandbreite, die sich auf eine elektrische Trägerwelle modulieren läßt, nicht sehr groß
ist. Gerade der Fluß von Information wird aber in unserer Gesellschaft, die sich im
Wandel zu einer Informationsgesellschaft befindet, immer größer und wichtiger.
Begriffe wie Datenhighway, electronic mail usw. unterstreichen den Bedarf an
möglichst schnellem Austausch von Information.
Eine Alternative für den Datentransport bietet der Datentransfer mittels Licht durch
eine Glasfaser. Die Vorteile liegen sofort auf der Hand, wenn man weiß, daß
Photonen untereinander im Gegensatz zu Elektronen praktisch nicht wechselwirken.
Man kann Glasfasern nicht nur beliebig nahe aneinanderbringen, ohne daß sich die
darin laufenden Lichtstrahlen gegenseitig beeinflußen; es ist sogar möglich, in einer
Freistrahl-Optik zwei Lichtstrahlen miteinander zu kreuzen, ohne daß dabei die
Struktur der einzelnen Strahlen und die darin enthaltende Information verändert wird.
Ein weiterer Vorteil der optischen Datenübermittlung ist die geringe Dämpfung (0.02
dB/km für Standard-Single-Mode-Faser mit einem Dämfpungsminimum bei λ=1,55
nm), die um Größenordnungen geringer ist als bei elektrischen Strömen . Auch die
Bandbreite, die man einer optischen Trägerwelle aufmodellieren kann, ist größer als
bei elektronischer Datenübertragung. Die Optoelektronik, die durch die Entwicklung
von Halbleiterlasern in Kombination mit der Glasfasertechnologie zunehmend an
0. Ziel und Motivation dieser Arbeit
5
Wichtigkeit gewinnt, bietet aber nicht nur Vorteile im Bereich des
Informationstransportes. Optische Datenspeicherung (Audio-CD, CD-Rom, DVD),
aber auch die Sensorik und viele Bereiche des Desktop-Publishings (Laser-Printer,
Laser-Scanner) sind nur einige Beispiele für die zunehmende Bedeutung der
Optoelektronik.
Bei der Entwicklung elektrooptischer Bauelemente tritt nun genau die schon vorher
angesprochene Eigenschaft, daß Photonen untereinander praktisch nicht
wechselwirken, als Schwierigkeit auf. Um einen optischen Schalter oder die
Umsetzung eines optischen Signals auf ein elektrisches zu realisieren, muß ein
Medium gefunden werden, dessen elektrische Eigenschaften durch Licht bzw.
dessen optische Eigenschaften durch Ströme beeinflußt werden.
Materialien, die diese Anforderungen erfüllen, sind wiederum bestimmte Halbleiter.
Tatsächlich ändert sich das Absorptionsverhalten eines Halbleiterkristalls, wenn man
an ihn eine Spannung anlegt. Umgekehrt wird durch Lichteinfall in bestimmten
Halbleitern ein Stromfluß induziert (Solarzelle).
Der Grund für dieses Verhalten ist in der speziellen Struktur des Halbleiterkristalls zu
finden. Das Blochsche Theorem sagt aus, daß die Lösung der SchrödingerGleichung für ein Elektron im Potential des periodischen Festkörpers in der
Einteilchen-Näherung im wesentlichen durch die Periodizität des Kristallgitters und
nicht durch die atomaren Eigenschaften eines Gitteratoms geprägt ist. Da die
elektronischen, optischen, magnetischen und thermischen Eigenschaften des
Festkörpers von der Lösung seiner Schrödinger-Gleichung abhängen, bedeutet die,
daß die Eigenschaften eines Kristalls im hohen Maße von der periodischen
Anordnung seiner Elementarzellen bestimmt werden. Kurz gesagt: Die oben
angesprochenen Eigenschaften sind auf die periodische Anordnung des
Kristallgitters und den damit verbundenen erlaubten Energiezuständen der
Elektronen im Kristall zurückzuführen. Der genaue Zusammenhang sollte im Verlauf
des Studiums dieser Arbeit klarer werden.
Bei der Entwicklung neuer elektrooptischer Bauelemente ist man nun daran
interessiert, neben den schon vorhandenen elektrooptischen Eigenschaften des
Halbleiters dem Kristall zusätzliche nützliche Eigenschaften „aufzuzwingen“. Da die
elktro-optischen Eigenschaften auf der periodischen Kristallstruktur basieren, liegt die
Vermutung nahe, daß man durch Einbringung zusätzlicher Periodizität weitere
Eigenschaften gewinnen kann.
Duch das schichtartige „Aufwachsen“ verschiedener Halbleitermaterialien mit
ähnlichen Gitterkonstanten (Hetero-Übergitter) in der Größenordung einiger
Nanometer, bisweilen sogar nur weniger Atomlagen oder durch periodisch
abwechselndes Dotieren eines Materials („n-i-p-i“-Struktur), wobei verschieden
dotierte Schichten durch eine intrinsische (d.h. undotierte) Schicht getrennt sind
(siehe Abb. 0.1), lassen sich neue Halbleiterstrukturen herstellen, die zusätzlich zur
Gitterperiodizität eine weitere durch den Menschen aufgeprägte Periodizität besitzen.
H a lb le it e r 1
H a lb le it e r 2
H a lb le it e r 1
H a lb le it e r 2
a)
H a lb le it e r 1
b)
Abb. 0.1. Aufbau von künstlichen Übergittern
0. Ziel und Motivation dieser Arbeit
6
a) Hetero – Übergitter b) Dotierungsübergitter.
Natürlich sind auch Mischformen aus reinen Vertretern beider Gruppen, sogenannte
„Hetero-n-i-p-i´s“, möglich. Diese verschiedenen Strukturen werden unter dem Begriff
„Übergitterstruktur“ oder „Superlattice“ zusammengefaßt.
Da, wie oben erwähnt, die Periodizität wesentlich für die Eigenschaften des Materials
verantwortlich ist, lassen sich durch das „Design“ solcher Übergitterstrukturen
Bauelemente mit gewünschten Eigenschaften herstellen. Andererseits lassen sich
auch interessante Strukturen zur Überprüfung quantenmechanischer Modellsysteme
herstellen. Die elektrooptischen Eigenschaften solcher Strukturen finden ihre
Anwendung z.B. in elektrooptischen Modulatorstrukturen.
Einige, aber bei weitem nicht alle, elektrooptischen Eigenschaften solcher
mikrostrukturierten Halbleiter sollen von den Studenten im Rahmen des
Fortgeschrittenenpraktikums durch Untersuchung des Absorptionsverhaltens der
Halbleiterstruktur bestimmt werden.
0.2 Zielsetzung des Versuchs
Der neue Fortgeschrittenen-Praktikumsversuch „Optische und elektrische
Eigenschaften von mikrostrukturierten Halbleitern“ ersetzt den nicht mehr aktuellen
Versuch „Optische und elektrische Eigenschaften von Festkörpern“. Die Motivation
eines neuen Versuchaufbaus besteht darin, den Studenten die Möglichkeit zu bieten,
sich mittels moderner Geräte und Methoden, wie sie auch in der aktuellen Forschung
eingesetzt werden, mit Grundlagen der Festkörper- und insbesondere der
Halbleiterphysik auseinanderzusetzen.
Der Aufbau des Versuchs verfolgt folgende Ziele:
1. Experimentelle Zielsetzung
a) Die Entwicklung der Fähigkeit, aus bereitgestellten Komponenten selbständig
einen Meßplatz für elektro-optische Messungen (d.h. Untersuchung des
α(λ)
Absorptionsverlaufs
durch
spektrale
Transmissionsund
Photostrommessungen) an verschiedenen Halbleiterproben aufzubauen.
b) Das selbständige Erarbeiten von Meßmethoden, die auch in der aktuellen
Forschung verwendet werden, sowie die Durchführung, Auswertung und
Diskussion dieser Messungen.
c) Das Erlangen von grundlegendem Verständnis für eine moderne
Meßplatzsteuerung und moderne Auswertungsmethoden.
2. Theoretische Zielsetzung
a) Die Entwicklung eines vertieften Verständnisses für ein gängiges Modell der
Bandstruktur in Festkörpern und insbesondere in Halbleitern.
b) Das Erlernen der Fähigkeit, die im Versuch gewonnen Meßergebnisse in dem
erarbeiteten Modell zu erklären, bzw. Schwächen des Modells zu finden.
Am Ende des Versuchs sollte sich der Praktikant ein reproduzierbares Wissen über
die Bandstruktur und das Absorptionsverhalten von Halbleitern angeeignet haben,
auf das später durch zusätzliches theoretisches Wissen und praktische Erfahrungen
aufgebaut werden kann.
Für den interessierten Studenten besteht auch die Möglichkeit, schon vor der
Durchführung des Versuchs nach Absprache mit dem Versuchsleiter den
Versuchsaufbau anzusehen und sich über Einzelheiten zu informieren. Weiterhin
0. Ziel und Motivation dieser Arbeit
7
können auch eigene Vorschläge für Messungen eingebracht und durchgeführt
werden. Da der Versuch im Labor des Instituts für Technische Physik untergebracht
ist, können problemlos zusätzliche Meßgeräte zur Durchführung solcher Experimente
zur Verfügung gestellt werden. Es ist auch prinzipiell möglich, daß zusätzliche bzw.
andere Termine für die Durchführung wahrgenommen werden, soweit dies mit dem
entsprechenden Übungsleiter abgeklärt ist.
0.3 Worin besteht der Versuch?
Während des ersten Praktikumstages soll sukzessive ein Transmissionsmeßplatz
aufgebaut werden, wie er ähnlich auch in vielen modernen Forschungslabors zu
finden ist. Dabei werden verschiedene Proben aus mikrostrukturierten Halbleitern mit
Licht variabler Wellenlänge durchstrahlt. Mit Hilfe eines Photodetektors, der hinter
der Probe steht, kann der transmittierte Anteil der eingestrahlten Lichtleistung
gemessen und somit ein Rückschluß auf das Absorptionsverhalten der Probe
gezogen werden (s. Abb. 0.2a).
Weiterhin ist es möglich, durch das Messen der durch das eingestrahlte Licht in der
Probe induzierten Photoströme Erkenntnisse über das Absorptionsverhalten der
Probe zu gewinnen (s. Abb. 0.2b).
Durch Messung des transmittierten Lichtanteils bzw. des Photostroms in der Probe
kann dann schließlich die durch das Anlegen einer Spannung an der Probe
verursachte Änderung des Absorptionsverhalten untersucht werden (s. Abb. 0.2c/d).
Die Studenten sollen im Laufe des Versuchs einen solchen Aufbau Schritt für Schritt
aufbauen und dabei mit dem jeweilig bereits fertiggestellten Aufbau mögliche
Messungen durchführen, bevor die nächsten Komponenten hinzugefügt werden.
Gegen Ende des Versuchs am eine Lumineszenzmessung1 des Halbleitermaterials
durchgeführt werden (s. Abb. 0.2e).
a) Transm issionsm essung
L icht
d) Ph oto strom m e ssu ng m it Spann ung
L icht
+
c) Tra nsm issio nsm e ssun g
m it Spa nnung
Stro m m e ssu ng
D e tekto r
L icht
b) Ph oto strom m e ssu ng
L icht
+
D e tekto r
e) Elektro-Lu m ineszenzm essu ng
+
-
Stro m m e ssu ng
D e tekto r
L icht
Abb. 0.2. Verschiedene Meßmethoden zur Untersuchung des Absorption im Halbleiter
1
Lumineszenz ist die Eigenschaft eines Körpers, aufgrund von Anregung durch kurzwellige Strahlung
(Photolumineszenz), Elektronenstrahlen (Kathodolumineszenz) oder elektrischen Strom
(Elektrolumineszenz) spontan Licht zu emittieren (keine thermische Anregung).
0. Ziel und Motivation dieser Arbeit
8
0.4 Aufbau der Arbeit
Diese Arbeit ist in einen praktischen und einen theoretischen Teil aufgeteilt. Der
praktische Teil bestand im Aufbau eines neuen Versuchs im Fortgeschrittenen
Praktikum zur Untersuchung der elektrischen und optischen Eigenschaften von
mikrostrukturierten Halbleitern. Dies beinhaltete das Bestellen der benötigten
Meßgeräte und Komponenten, das Erarbeiten bzw. Modifizieren schon existierender
Werkstattaufträge für weitere Komponenten, die Erstellung von Meßprogrammen für
die Einzelmessungen, sowie den eigentlichen Aufbau des Meßplatzes. Übergeordnet
dazu wurde ein didaktisches Konzept für die Durchführung das Versuchs
ausgearbeitet, wobei sowohl auf die Vermittlung von „unbedingten“ Lernzielen durch
ein Pflichtprogramm als auch auf einen gewissen Spielraum für interessante
zusätzliche Messungen Wert gelegt wurde.
Mit dem vorliegenden schriftlichen Teil sollen folgende Ziele erreicht werden: Durch
eine möglichst vollständige Dokumentation der im Aufbau vorkommenden
Komponenten sowie dem Erarbeiten der grundlegenden physikalische Modelle, die
zum Verständnis der durchzuführenden Versuche nötig sind, soll die Vorbereitung für
den Versuch hauptsächlich auf das Studium dieser Arbeit sowie einiger anderen
Quellen beschränkt werden. Die Arbeit ist hierzu in drei Kapitel unterteilt.
Im ersten Kapitel wird in Form von kurzen Stoffsammlungen auf physikalische
Grundkenntnisse eingegangen, die für das Verständnis des Versuchsaufbau benötigt
werden, wobei jeweils Bezug auf die entsprechende Komponente des Aufbaus
genommen wird.
Im zweiten Kapitel folgt eine Erarbeitung elementarer Begriffe aus der
Festkörperphysik hinsichtlich des Bändermodells. Hier liegt eine weitere Unterteilung
vor. Da der Versuch auf zwei Praktikumstage aufgeteilt ist, wird das notwendige
theoretische Grundwissen in der Reihenfolge erarbeitet, wie es für den jeweiligen
Praktikumstag zur Versuchsdurchführung zur Verfügung stehen sollte. Für den
ersten Tag geht es um die Aufarbeitung festkörperphysikalischer Grundlagen, die
auch schon aus der Festkörperphysikvorlesung bekannt sein sollten.
Am zweiten Tag soll durch die Messung zweier elektrooptischer Effekte, nämlich
dem Franz-Keldysh-Effekt und dem Quanten-Confined-Stark-Effekt, ein vertieftes
Verständnis des Absorptionsverhaltens von mikrostrukturierten Halbleitern erarbeitet
und somit gleichzeitig ein Einblick in die aktuelle Halbleiterforschung gegeben
werden. Auf Grund der Stoffülle des 2. Kapitels ist es ratsam, den zweiten Teil, der
sich mit den beiden vorher erwähnten Effekten beschäftigt, erst nach Durchführung
des ersten Praktikumstages zu lesen.
Im dritten Kapitel wird auf den Versuchsaufbau und die einzelnen Komponenten,
sowie auf die zu untersuchenden Proben eingegangen.
Für ein genaues physikalisches Verständnis ist ein weiteres Studium diverser Bücher
unumgänglich, wobei weiterführende Literaturangaben in der Zulassungsarbeit
gemacht werden.
1 Für den Meßplatz relevantes Grundwissen
1.1 Vorbemerkung
Das folgende Kapitel soll einen Überblick über physikalische Grundkenntnisse
geben, die für das Verständnis der verschiedenen Komponenten und der
Meßmethoden relevant sind, aber sicher auch für andere Versuche im F-Praktikum
nützlich sind. Dabei wurde nicht darauf Wert gelegt, jeden Punkt vollständig
auszuführen, sondern eine Art Stoffsammlung von für den Versuch relevantem
Grundwissen anzufertigen, das nicht im direkten Zusammenhang zum
physikalischen Lernziel des Versuchs steht.
1.2 Schwarzer Strahler / Planksches Strahlungsgesetz
Die im Versuch vorhandene durchstimmbare, monochromatische „Lichtquelle“
besteht aus einer Kombination einer Halogenlampe und einem Monochromator. Die
Lampe kann näherungsweise als Schwarzer Strahler angesehen werden. Während
der Versuchsdurchfühung soll das Emissionsspektrum dieser „Lichtquelle“
vermessen und mit dem Spektrum eines schwarzen Strahlers derselben Temperatur
verglichen werden.
Das spektrale Emisionsvermögen P(λ
λ,T) eines schwarzen Strahlers kann über das
Planksche Strahlungsgesetz (Gl. 1.1) berechnet werden. Wie in Abb. 1.1 zu
erkennen ist, verschiebt sich das Maximum der Strahlungsdichte für hohe
Temperaturen zu kleineren Wellenlängen.
8πhc 2
⋅
λ5
1
⋅ dλ
hc
exp(
) −1
kTλ
(1.1)
Sp ektra le Strahlun gsdichte
P ( λ,T ) ⋅ dλ =
0
1
2
3
4
5 µm
λ
Abb. 1.1. Planksche Strahlungskurve (Gethsen S.543)
1. Für den Meßplatz relevantes Grundwissen
10
Aus dem gemessenen Spektrum der „Lichtquelle“ läßt sich über das Maximum der
Strahlungskurve und dem Wienschen Verschiebungsgesetz (Gl. 1.2) die
Temperatur der Lampe, die für die theoretische Berechnung ihres Spektrums
benötigt wird, ermitteln:
0,2898 ⋅ 10 −2 m ⋅ K
T =
(Gl. 1.2)
λmax
1.3 Beugung am Gitter
Der Monochromator filtert einen bestimmten Anteil des von der Lampe emittierten
Spektrums aus. Generell gibt es verschiedene Möglichkeiten, aus einem
kontinuierlichen Spektrum von Wellenlängen einen bestimmten Wellenlängenantei zu
selektieren, wie z.B. Brechung des Lichtes an einem Prisma oder durch
Vielfachreflexionen an dünnen Schichten (Fabry-Perot Intterferrometer). Der im
Versuch verwende Monochromator nützt die Eigenschaft aus, daß Licht an einem
optischen Gitter in Abhängigkeit von der Wellenlänge unter verschiedenen Winkeln
gebeugt wird. Das Prinzip der Beugung am Gitter soll hier noch einmal kurz
wiederholt werden2. Auf die genaue Funktionsweise des Monochromators wird in
Kapitel 3.2.2 näher eingegangen.
Ein Reflexionsgitter ist eine planparallele spiegelnde Oberfläche, die mit
äquidistanten Ritzungen im Abstand g (g = Gitterkonstante) versehen ist, wobei die
Breite einer Ritzung klein gegen die Gitterkonstante ist. Das Licht wird nun an den
ungeritzten Stellen ungebeugt reflektiert und an den Ritzungen gebeugt.
g
G itter
B
B´
β
α
F
C
E
A
β
D
Abb. 1.2. Beugung am Reflexionsgitter
In Abb. 1.2 sei AB die Richtung der auf das Gitter fallenden Strahlen, die mit der
Normalen den Winkel α bilden. BC bezeichnet die Richtung der ungebeugten
reflektierten Strahlen (0-te Beugungsordnung). Unter dem Winkel β gegen die
Normale in der Richtung BD gebeugten Strahlen haben den Gangunterschied EB –
FB´. Aus der Geometrie der Abb.1.2 kann man erkennen, daß für diesen
Gangunterschied gilt:
2
Die folgenden Ausführungen über Optik sind angelehnt an die entsprechenden Kapitel aus Gerthsen,
Physik.
1. Für den Meßplatz relevantes Grundwissen
11
(1.3)
EB – FB´ = g sin α – g sin β
Konstruktive Interferenz benachbarter Strahlenbündel erhält man, wenn der
Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der eingestrahlten Wellenlänge
beträgt, also:
„Gangunterschied“ =z λ, z = 0, 1, 2, 3,..
Für die Interferenzmaxima gilt also:
z λ = g (sin α – sin β)
z λ = g (sin α + sin β)
bzw.
(1.4)
falls der einfallende und der gebeugte Strahl auf derselben Seite liegen. Die gesamte
gebeugte Intensität ist dann in hellen schmalen Interferenzstreifen vereinigt.
1.4 Abbildung durch Linsen
Eine wesentlicher Punkt in der Versuchsdurchführung ist die optische Abbildung der
Lichtquelle, bzw. der Probe. Aus diesem Grund wird im folgenden auf die
wesentlichen Abbildungsgesetze und die wichtigsten optischen Instrumente
eingegangen.
Möchte man einen Gegenstand mit einer Linse abbilden, sollte man sich über die
Konstruktion des Bildes klarwerden. Im folgenden wird die elementare
Abbildungsgleichung anhand einer einfachen Konstruktion hergeleitet.
b´
f
P
A
y1
O
F1
a´
B
F2
y2
f
a
C
b
P1
Abb. 1.3. Konstruktion des von einer Sammellinse entworfenen Bildes. Hierbei bezeichnet f die
Brennweite, y1 die Gegenstandsgröße, y 2 die Bildgröße, a die Gegenstandsweite und b die Bildweite.
Wie man der Abb. 1.3. entnehmen kann, sind die Dreiecke AF1P und OF1C sowie die
Dreiecke AOP und P1BO zueinander ähnlich. Mit der Gegenstandsgröße y1 und der
Bildgröße y2 ergibt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke (bzw. dem Strahlensatz):
y1
y
y1 a
= 2 und
=
(1.5a) und (1.5b)
a−f
f
y2 b
y
Elimination von 1 aus (1.5a) und (1.5b) ergibt die Abbildungsgleichung:
y2
1 1 1
+ =
(1.6)
a b f
Das Verhältnis zwischen der Größe y2 des reellen Bildes, welches von der Linse
oder einem Linsensystem entworfen wird, und der Größe y1 des Gegenstands
1. Für den Meßplatz relevantes Grundwissen
12
bezeichnet man als den Abbildungsmaßstab β. Er hängt nur von der Brennweite der
Linse f und der Gegenstandsweite a (oder der Bildweite b) ab, ist aber vom Standort
des Betrachters des Bildes unabhängig.
β=
y2 b f
b´
= = =
y 1 a a´ f
(1.7)
Liegt der Gegenstand außerhalb der Brennweite (a>f), so entwirft die Linse ein
reelles Bild. Dieses ist kleiner als der Gegenstand, wenn die Gegenstandsweite
größer als die doppelte Brennweite ist; gleich groß, wenn der Gegenstand in
doppelter Brennweite 2f liegt. Liegt die Gegenstandsweite zwischen der einfachen
und der doppelten Brennweite (f<a<2f), ist das Bild vergrößert. Steht der
Gegenstand genau in der Brennebene (a=f), befindet sich das Bild im „Unendlichen“.
In Abb. 1.4 wird dies noch einmal illustriert.
F2
1
2
3
2
O
F1
f
3
f
2f
Abb. 1.4. Zuordnung von Gegenstand und Bild bei einer Sammellinse
Umgekehrt liegt das Bild eines unendlich fernen
leuchtenden Punktes P in der Brennebene, und
zwar dort, wo derjenige Strahl aus dem nun
parallel einfallenden Bündel, der die Linse in
der Mitte und daher unabgelenkt durchdringt,
die Brennebene trift.
P
F2
Abb. 1.5. Abbildung eines unendlich fernen
Gegenstandes P.
P´
Liegt der Gegenstand zwischen Brennpunkt F1
und Linse, so entsteht kein reelles Bild. Die
Strahlen verlaufen nach Durchtritt durch die
Linse
divergent,
ihre
rückwärtigen
Verlängerungen schneiden sich im virtuellen
Bild.
P
A ´ F1
A
F2
Abb.
1.6.
Das
virtuelle
Bild
eines
Gegenstandes, der innerhalb der Brennweite
liegt.
1. Für den Meßplatz relevantes Grundwissen
13
Den reziproken Wert der Linsenbrennweite bezeichnet man als ihre Brechkraft. Mißt
man die Brennweite in Metern, so ist die Einheit der Brechkraft die Dioptrien [1/m].
Eine Linse mit z.B. der Brennweite f = 0.25 m hat also die Brechkraft 4 Dioptrien.
Im Versuch soll die Probe, die eine Oberfläche von ca. 1mm2 hat, mittels eines
Mikroskopobjektivs (Brennweite 10mm) auf eine Detektorfläche von 1 cm2 abgebildet
werden. Der Leser kann sich an dieser Stelle schon einmal Gedanken darüber
machen, wie sich in diesem Fall daraus der Abbildungsmaßstab und die Bild- bzw.
die Gegenstandsweite ergibt.
1.5 Mikroskop / Lupe
Die folgenden Ausführungen zu optischen Instrumenten sind keine notwendige
Voraussetzung für die Versuchsdurchführung, sollen aber aus Gründen der
Vollständigkeit nicht unerwähnt bleiben.
Die Größe unter der ein Gegenstand G einem Betrachter erscheint, hängt vom
Abstand seines Auges von G ab. Durch diesen Abstand ist der Sehwinkel ε
festgelegt. Nach Übereinkunft erklärt man, einen Gegenstand unter der
Vergrößerung 1 zu sehen, wenn er sich 25 cm vor dem Auge des Betrachters, in der
deutlichen Sehweite s0 befindet. Der zugehörige Sehwinkel sei ε0. Ist der Abstand
größer, so sieht man G verkleinert, ist er kleiner, so erscheint G größer. Da man das
Auge auf Grund seiner begrenzten Akkommodationsfähigkeit3 nicht beliebig nah an
den Gegenstand heranführen kann (Nahpunkt 10 cm), bedarf es zur Vergrößerung
optischer Instrumente wie der Lupe, des Mikroskops oder des Fernrohrs.
Da im Versuch auch Mikroskopobjektive zur Abbildung der Lichtquelle benutzt
werden, sowie die Möglichkeit besteht, die Proben unter einem Mikroskop zu
betrachten, soll im folgenden auf die Funktionsweise der Lupe und des Mikroskops
eingegangen werden. Die Vergrößerung dieser Instrumente ergibt sich wie folgt:
vInstrument =
3
ε
Sehwinkel mit Instrument
=
Sehwinkel in 25 cm Abstand ohne Instrument ε 0
(1.8)
Akkommodationsfähigkeit ist die Fähigkeit des Auges, die Brechkraft der Augenlinse durch
Muskelkontraktion bzw. Muskelrelaxion zu verändern.
1. Für den Meßplatz relevantes Grundwissen
14
Die Lupe:
Die Lupe ist eine Sammellinse mit kleiner Brennweite. Sie ermöglicht dem
Betrachter, den Gegenstand, der in der Brennebene der Linse liegt, mit nicht
akkommodiertem (d.h. völlig entspanntem, also auf unendliche Entfernung
eingestelltem) Auge zu betrachten. Das durch die Lupe betrachtete Bild ist virtuell,
kann also nicht auf einen Schirm abgebildet werden. Die Konstruktion des virtuellen
Bildes bzw. die Vergrößerung des Sehwinkels ist in Abb. 1.7 dargestellt.
ε
ε
B ild im
8
B
A
A uge
I
I
ε0
V0
A uge
Abb. 1.7. Lupe
Die Vergrößerung vLupe ergibt aus der obengenannten Formel (1.8) mit
ε=
AB
f
und
ε0 =
AB
:
s0
⇒
v Lupe =
ε s0
=
ε0
f
(1.9)
Rückt man den Gegenstand aus der Brennebene näher an die Linse, so liegt auch
das virtuelle Bild im Endlichen. Häufig verwendet man die Lupe so, daß das virtuelle
Bild für das akkommodierte Auge in deutlicher Sehweite s0 erscheint. Dann läßt sich
zeigen, daß für die Vergrößerung gilt:
s0
+1
(1.10)
f
Mit einer Lupe der Brennweite 10mm läßt sich dann eine ca 25-fache
Vergrößerungen erreichen.
v Lupe =
1. Für den Meßplatz relevantes Grundwissen
15
Das Mikroskop
Stärkere Vergrößerungen als mit der Lupe lassen sich mit dem Mikroskop erzielen.
Mit einem Objektiv, von dem der Gegenstand nur wenig
mehr als die Brennweite f1 entfernt ist, wird in einem
bestimmten Abstand ein vergrößertes Bild, das reelle
Zwischenbild, entworfen. Der Abbildungsmaßstab ist nach
(1.7):
O kular
b´ t
β= =
f2
f1 f1
Zw isch enbildMan betrachtet das reelle Zwischenbild in der Entfernung t
ebe ne
(Tubuslänge) mit dem Okular des Mikroskops als Lupe und
erzielt damit eine nochmalige Vergrößerung nach Formel t
(1.9):
s
v Lupe = 0 .
f
Die Gesamtvergrößerung durch das Mikroskop vMikroskop ist
also gleich dem Abbildungsmaßstab β des Objektivs f 1
multipliziert mit der Lupenvergrößerung vLupe des Okulars:
O b jektiv
O b jekt
Abb 1.8. Das Mikroskop.
v Mikroskop =
t s0
⋅
f1 f 2
(1.11)
Für eine einwandfreie Abbildung des Objekts durch das Mikroskop ist das
Auflösungsvermögen des Mikroskops wesentlich. Das Auflösungsvermögen g eines
Mikroskops ist folgendermaßen definiert:
λ
g=
,
(1.12)
sin α
wobei λ die Wellenlänge des verwendeten Lichts und sin α die numerische Apertur
α der Winkel, den die in das Objektiv eintretende
des Mikroskops ist. Hierbei ist 2α
Randstahlen mit der optischen Achse bilden. In diesem Fall ist α der Winkel, unter
dem gerade noch die erste Beugungsordnung des am Objekt gebeugten Lichtes in
das Objektiv fällt. (g sin α=1 λ). Diese Voraussetzung muß nach der Abbe´ schen
Mikroskoptheorie erfüllt sein, die besagt, daß mindestens zwei Beugungsordnungen
(hier also die Nullte und die Erste) ins Objektiv fallen müssen, damit zwei
benachbarte Gitterstriche aufgelöst werden können.
1. Für den Meßplatz relevantes Grundwissen
16
1.6 Absorption
Im Versuch zur Bestimmung der optischen und elektrischen Eigenschaften von
mikrostrukturierten Halbleitern wird das zu untersuchende Material mit Licht
durchstrahlt. Aussagen über das Material kann man sowohl anhand des
transmittierten als auch des absorbierten Anteils des Lichts machen. Deshalb ist es
wichtig, den Vorgang der Absorption zu verstehen4.
Sämtliche Stoffe absorbieren einen Teil des hindurchgehenden Lichtes, wobei die
Lichtenergie in eine andere Energieform umgewandelt wird; im allgemeinen entsteht
Wärme. Stoffe mit geringerer Absorption im sichtbaren Bereich (400–800nm) werden
als durchsichtig bezeichnet.
Ob und wie stark Licht im Festkörper absorbiert wird, hängt also von seiner
Wellenlänge ab. Um die durch Absorption verursachte Schwächung der ursprünglich
eingestrahlten Lichtleistung P0 im Festkörper zu bestimmen, untersuchen wir
zunächst die Absorption monochromatischen Lichts der Wellenlänge λ.
Wir betrachten den Lichtdurchgang durch einen homogenen isotropen Stoff. Beim
Auftreffen der Strahlungsleistung P0 auf die Oberfläche wird ein bestimmter Anteil,
nämlich RP0 mit dem Reflexionsfaktor R (0<R<1), reflektiert.
Der Rest, P0-RP0=P0(1- R) dringt in das Medium ein. Wenn die
Fortpflanzungsrichtung der Strahlung etwa x ist und das Material für diese
Wellenlänge nicht durchsichtig ist, so nimmt P(x) mit wachsendem x ab. Ist das Licht
um die Stecke dx fortgeschritten, so hat sich die Lichtleistung um dP(x) verringert.
Die Lichtleistung an der Stelle x+dx ist also
dP ( x )
⋅ dx ,
P ( x + dx ) = P ( x ) −
(1.13)
dx
d.h. die Abnahme der Leistung pro Längeneinheit ist
dP ( x )
−
.
(1.14)
dx
Es liegt nahe, diesen Wert proportional dem gerade vorhandenen Wert der Leistung
P(x) zu setzen:
P( x ) ∝ −
dP ( x )
dP ( x )
⇔ P ( x ) = −α ⋅
,
dx
dx
oder
dP ( x )
= −α ⋅ dx; (α > 0) . (1.15b)
P( x )
(1.15a)
absorbierendes
M ate rial
reflektierte r
A nteil P0 R
ein gestrah lte
Lichtleistung P 0
P0 (1-R )
x
x0=0
Abb. 1.9. Absorption
4
Die folgende Herleitung des Lambertschen Gesetzes für die Absorption sowie die Überlegungen zur
Reflexion an Grenzflächen sind angelehnt an die entsprechende Kapitel aus Bergamnn-Schaefer,
Lehrbuch der Experimentalphysik.
1. Für den Meßplatz relevantes Grundwissen
17
Integriert man (1.15b) nun über den ganzen Weg der Strahlung (x0=0 bis x), wobei
man beachten muß, daß die ins Medium eindringende Strahlungsleistung
P(x0=0)=P0(1-R) ist, erhält man sofort:
P ( x ) = P0 (1 − R ) ⋅ e −αx
ln P ( x ) = ln P0 (1 − R ) − αx bzw.
(1.16)
Dieses Gesetz wird als Lambertsches Gesetz bezeichnet. Die Größe α mit der
Einheit [1/m} wird Absorptionskonstante oder Absorptionskoeffizient genannt. α ist,
wie oben erwähnt, eine Funktion der Wellenlänge λ und der spezifischen Natur des
absorbierenden Mediums, aber nicht von x (deshalb die Bezeichnung Konstante).
Hat die absorbierende Schicht eine Dicke in der Größenordnung von 1/α, ist die
Leistung gerade um den Faktor 1/e verringert. Diese Lichtleistung, vermindert um
einen weiteren, an der Rückseite reflektierten Anteil, kann als transmittierte
Lichtleistung T hinter dem Medium gemessen werden. Man erhält also den in Abb.
1.10 dargestellten Verlauf für P(x).
P (x )
P0
A n d er Vord e rse ite
re fle ktie rte r A n te il
A n d er R ückse ite
re fle ktie rte r A n te il
Tra nsm ittie rter
A n te il
0
d =D icke de r
a bsorb ie ren de n
S chich t
x
Abb.1.10 Abnahme der Lichtleistung bei Durchgang durch absorbierendes Material.
Löst man nun nach α auf, so erhält man für den Absorptionskoeffizienten einer
Schicht der Dicke d:

T
1 
.
α = − ln
(1.17)
2 
d  P0 (1 − R ) 
Wie schon gesagt hängt die Absorption von der Wellenlänge des eingestrahlten
Lichtes ab. Man kann also für ein Spektrum verschiedener Wellenlängen den
transmittierten Anteil durch eine Schicht der Dicke d messen und erhält dann für
α(λ):

1 
T (λ )

α (λ ) = − ln
2 
d  P0 (1 − R(λ )) 
(1.18a)
Die Abhängigkeit des Reflexionsvermögens R(λ) wird im nächsten Abschnitt
behandelt.
1. Für den Meßplatz relevantes Grundwissen
18
1.7 Reflexion an Grenzflächen
Auf die enge Beziehung zwischen Reflexion, Brechung und Absorption konnte bisher
noch nicht eingegangen werden, da der Zusammenhang zwischen Reflexion und
den Brechungsindizes der beiden aneinandergrenzenden Medien noch nicht bekannt
war. Für den Fall eines Lichtdurchgangs von einem Medium M1 mit Brechungsindex
n1 in ein Medium M2 mit Brechungsindex n2 und des senkrechten Lichteinfalls (so
daß der relative Brechungsindex mit dem absoluten zusammenfällt) hat Fresnell
folgenden Zusammenhang angegeben:
Sei Ee die Amplitude der einfallenden Welle in M1, Er die Amplitude der reflektierten
Welle in M1. Dann gilt:
Er n1 − n2
=
(1.19)
Ee n1 + n2
Unter dem Reflexionsvermögen R versteht man – für senkrechte Inzidenz – die
Größe
2
E
R = r2 ,
(1.20)
Ee
da die Intensität proportional zum Quadrat der Amplitude ist. Daher ergibt sich für R
mit (1.19) und (1.20):
2
 n − n2 

R =  1
(1.21)
 n1 + n 2 
Für den Fall eines Übergangs von Luft in ein optisch dichteres Medium, z.B. einen
Halbleiter, ergibt sich aus Gleichung 1.22 mit nLuft~nVakuum=1:
2
 1 − n HL 

R = 
(1.22)
 1 + nHL 
Da für der Brechungsindex eines Mediums gerade das Verhältnis der Wellenlänge
des Lichts im Vakuum zur Wellenlänge des Lichts im Medium ist, also
n=n(λ)=λVakuum/λMedium, sieht man sofort, daß der reflektierte Anteil und damit auch
der transmittierte Anteil der eingestrahlten Lichtleistung von der Wellenlänge
anhängig ist. Da die Änderung der Brechzahl dn(λ) im Verhältnis zur Änderung der
Absorption dα(λ) relativ klein ist, setzen wir für das Reflexionsvermögen R(λ) als
Konstante, so daß wir für aus Gleichung (1.18a) für α(λ) erhalten:
1  T (λ ) 

α (λ ) = − ln
(1.18b)
d  P0 (1 − R ) 2 
Dem Leser sei an dieser Stelle überlassen zu berechnen, welcher Anteil der
eingestrahlten Lichtleistung von Licht mit einer Wellenlänge von 900nm bei einem
Übergang aus Luft in einen GaAs-Halbleiter mit der Brechzahl nGaAs(900nm) ≈ 3,59
reflektiert wird.
1. Für den Meßplatz relevantes Grundwissen
19
1.8 Fabry-Perot-Oszillationen
Beim Durchgang durch eine planparallele Platte können
zusätzlich zur einfachen Reflexion an der Vorderseite der
Platte
unter
bestimmten
Bedingungen
Mehrfachreflexionen an beiden Grenzschichten auftreten.
Dies ist in Abb. 1.12 schematisch dargestellt. Natürlich
unterliegen der transmittierte bzw. reflektierte Anteil mit
zunehmender
Zahl
von
Reflexionen
an
den
Grenzschichten einer Schwächung, so daß gilt
T0>T1>T2>... und R0>R1>R2>...
n1
n 2> n 1
n1
R3
T3
T2
R2
T1
R1
T0
R0
I0
d= D icke
der S ch icht
Abb. 1.11 Mehrfachreflexionen
an einer planparallelen Platte
Die transmittierten Strahlen der Intensität T1, T2, ... sind zueinander
phasenverschoben, wobei diese Phasenverschiebung von der Dicke und der
Brechzahl der Platte sowie der Wellenlänge der eingestrahlten Lichts abhängig ist.
Ist die Kohärenzlänge des eingestrahlten Lichts hinreichend groß, so können die
transmittierten Lichtstrahlen je nach Gangunterschied konstruktiv oder destruktiv
untereinander interferieren.
Für die transmittierte Intensität It und die reflektierte Intensität Ir in Abhängigkeit von
der Kreiswellenzahl k=2π/λPlatte= 2πn2/λVac in der Platte (n2=λVac/λPlatte), des
Reflexionskoeffizienten R und der Dicke d der Platte gelten die Formeln von G. B.
Airy:
Ι t (kd , R ) = Ι 0 − Ι r (kd , R ) = Ι 0 /(1 +
4R
sin 2 kd )
2
(1 − R )
(1.23)
π, N=1,2,3, ... die
Wie man aus Gleichung 1.23 ersehen kann, tritt für den Fall kd=Nπ
gesamte Strahlung ohne Verluste durch die Platte. Trägt man die transmittierte
Lichtleistung über kd bei festem d, auf so ergibt sich folgendes Bild:
Abb.1.12 It in Abhängigkeit von k (und damit implizit von λ) bei fester
Dicke d (Kneubühl S.305)
π ergibt sich:
Mit k=22πn2/λVac und kd=Nπ
Nπ = 2π
n2
N
1
⋅d ⇔
=
λVac
λVac 2n 2 d
(1.24)
1. Für den Meßplatz relevantes Grundwissen
20
Bildet man für die N- und die N+1-te Wellenlänge, die diese Maximalbedingung
λN++1-1/λ
λN, und geht von einer festen Dicke d aus, so
erfüllen, die Differenz aus 1/λ
erhält man:
1
λVac
N +1
−
1
λVac
N
=
Vac
!
λVac
− λVac
λVac
1
N + 1− N
N
N +1
N +1 ⋅ λN
d
=
=
⇔
=
Vac
2n 2 d
2n1d
λVac
− λVac
2n 2 (λVac
N +1 ⋅ λN
N
N +1 )
(1.25)
Man kann also aus dem Transmissionspektrum die Dicke der absorbierenden
Schicht bestimmen, wenn man die Maxima der im Spektrum auftretenden FabryPerot Oszillationen bestimmt.
Da die Brechzahl von der Wellenlänge abhängt, ist die Formel (1.25) natürlich nur
eine Näherung. Liegen aber die Wellenlängen λN und λN+1 der Maxima sehr nah
beieinander, so daß gilt n(λN)~n(λN+1), ergibt diese Näherung sehr gute Resultate.
Dies ist im Versuch, in dem man auch die Dicke der GaAs-Probe bestimmen soll, der
Fall.
1.9 Anti-Reflexions-Vergütung
Zum Bestimmen der Probendicke sind die im vorigen Kapitel erwähnten
Vielfachreflexionen zwar nützlich, bei den meisten Anwendungen (z.B.
Lichtdetektion) möchte man jedoch hohe Reflexionsverluste durch Fabry-PerotOszillationen an der Probenoberfläche vermeiden. Zu diesem Zweck wird das
Material mit einer Antireflexionsvergütung beschichtet. Im einfachsten Fall kann dies
durch Auftragen einer λ/4-Schicht auf der Probenoberfläche geschehen.
Bringt man auf das zu durchstrahlende Material mit dem Brechungsindex n3 eine
sehr dünne Schicht eines Stoffes mit einem Brechungsindex n2 < n3 und bemißt die
Schichtdicke so, daß die an der Vorder- und Hinterseite reflektierten Strahlen gerade
eine halbe Wellenlänge Gangunterschied haben, wozu bei senkrechter Inzidenz die
Schichtdicke also gerade λ/4 sein muß (siehe Abb. 1.11.), so interferieren diese
beiden Strahlen destruktiv. Letzteres läßt sich durch geeignete Wahl des
Brechungsindex des Schichtmaterials erreichen.
Für die drei Medien Luft, λ/4-Schicht und absorbierendes Material mit den
Brechungsindizes n1, n2 und n3 ergibt sich aus dem geometrischen Mittel für n2:
n 2 = n1 ⋅ n 3
(1.23)
was sich mit
n1=1 zu
n2 = n 3
(1.24)
vereinfacht.
Damit bei der reflektierten Wellenlänge λrefl die Reflektivität minimal wird, ergibt sich
aus der Phasenbedingung für die Dicke dARC des Anti-Reflection-Coatings
d ARC = (2k + 1)
λrefl
4 ⋅ n ARC
(1.24)
1. Für den Meßplatz relevantes Grundwissen
Auf diese Weise wird die Menge des
reflektierten Lichts vermindert und die
durchgelassene entsprechend vermehrt. Dies
gelingt natürlich streng nur für eine bestimmte
Wellenlänge, doch ist in der Praxis der Bereich
verhältnismäßig breit, so daß sich fast für den
gesamten sichtbaren Bereich des Spektrums
eine Reflexionsverminderung erreichen läßt.
21
A uslöschung
n
n
P hasensprun g
λ/4
n
Abb. 1.13. Reflexion an λ/4- Schicht
λ=900 nm) gegen
Möchte mann z.B. eine dünne GaAs-Schicht (nGaAs =3,59 (λ
Reflexionen vergüten, ergibt sich nach Formel (1.24) für den Brechungsindex der
λ/4-Schicht: nARC =1,894.
Möchte man eine Oberfläche für ein breiteres Spektrum entspiegeln (z.B.
Brillengläser), so erreicht man diese Breitbandverspiegelung durch das Auftragen
mehrerer Anti-Reflexions-Schichten.
2 Das Bändermodell im Festkörper
2.1 Vorbemerkung
Die Bandstruktur eines Festkörpers beschreibt alle möglichen Energiezustände, die
ein Elektron im geordneten Kristall besetzen kann, wobei Absorptions- und Emissionsvorgänge als optisch induzierte Übergänge des Elektrons zwischen
verschiedenen Zuständen interpretiert werden.
Um dieses Modell der elektrischen Bänder im Festkörper herzuleiten, sollte man den
historischen Weg der Entwicklung dieses Modells nachvollziehen. Dies fängt an beim
freien Elektronengas im kubischen Metallkristall, der durch einen „Potentialkasten“
mit unendlich hohen Wänden beschrieben wird, über die Fermi-Statistik, die
Aussagen über die Besetzungswahrscheinlichkeit von Energieniveaus in
Abhängigkeit von der Temperatur und der Energie macht, den Auswirkungen der
Symmetrieeigenschaften des Kristalls auf die Wellenfunktion des Elektrons und geht
bis zur Näherung des quasifreien und des stark gebundenen Elektrons. Da es im
Rahmen dieser Arbeit zu weit führen würde all diese Modelle zu erläutern bzw. schon
Grundlagen aus der elementaren Festkörperphysik- und Quantenmechanikvorlesung
beim Leser vorhanden sein sollten, werde ich mich darauf beschränken, nur die
notwendigsten Begriffe einzuführen und es dem Leser überlassen, ein tieferes
Verständnis durch das Studium eines der vielen Festkörperphysikbücher zu
gewinnen. Beim Verfassen des folgenden Kapitels habe ich mich vor allem auf das
Buch „Festkörperphysik – Einführungen in die Grundlagen“ von Ibach/Lüth (4
Auflage), insbesondere den Kapiteln 3, 6, 7, 9, 11 und 12. gestützt, da in diesem
Buch auch auf eine korrekte mathematische Beschreibung Wert gelegt wird.
2.2 Bandaufspaltung im Festkörper
Bekanntlich kann ein gebundenes Elektron, das im Potentialtopf seines Atoms
eingesperrt ist, nicht jedes beliebige Energieniveau einnehmen. Die
Elektronenzustände eines Atoms werden nach den Einelektronenzuständen des
radial-symmetrischen Potentials klassifiziert. Es gibt demnach, 1s 2s, 2p, 3s, 3p, 3d,
4s, 4p, 4d, 4f... Zustände, wobei die Zahl der Hauptquantenzahl n und die
Buchstaben s, p, d, f den Werten der Bahndrehimpulsquantenzahl entsprechen (l=
0, 1, 2, 3...). Dieser Klassifizierung entspricht die Vorstellung, daß für ein jeweils
betrachtetes Elektron die Wirkung der übrigen Elektronen durch eine kontinuierliche,
feste Ladungsverteilung mit abschirmender Wirkung auf das Kernpotential
beschrieben werden kann. Zusätzlich zur Hauptquantenzahl n und zur
Bahndrehimpulszahl l gibt es noch die magnetische Quantenzahl m, die (2l+1) Werte
annehmen kann. Nach dem Pauli-Prinzip ist jeder Elektronenzustand mit höchstens
zwei Elektronen entgegengesetzten Spins besetzbar. Dadurch ergibt sich mit
steigender Kernladungszahl der Aufbau des Periodensystems.
Bringt man in einem Gedankenexperiment mehrere Atome allmählich näher
zusammen, so entsteht durch die Wechselwirkung der Atome untereinander eine
Aufspaltung der Zustände (siehe Abb. 2.1). Ist eine große Anzahl von Atomen
beteiligt wie im festen Körper, so liegen die Elektronenterme auf der Energieskala
quasi-kontinuierlich verteilt, und man spricht deshalb von Bändern. Die Größe der
2. Das Bändermodell im Festkörper
23
Aufspaltung hängt vom Überlapp der betreffenden Wellenfunktionen ab, wobei
Elektronen im Kristall durch räumlich modulierte, unendlich ausgedehnte BlochWellen (Wellenzahlvektor k) beschrieben werden. Sie ist also klein für tief liegende
Energieniveaus, die ihren Schalencharakter auch im festen Körper behalten. Bei den
höchsten noch besetzten Elektronentermen ist dagegen die Aufspaltung so groß,
daß s- und p- und ggf. auch die d-Zustände ein gemeinsames Band, das
Valenzband bilden. Beim untersten unbesetzten Band spricht man vom
Leitungsband.
Abb. 2.1 Schematischer Verlauf der Bandaufspaltung für Halbleiter als Funktion des
interatomaren Abstands (Aus Ibach/Lüth. S.141).
2.3 Bänderschema im Orts- und im k–Raum
Wie dem Leser aus der Quantenmechanik bekannt sein sollte, macht es prinzipiell
keinen Unterschied, ob man die Wellenfunktionen der Elektronen im Orts- oder im
Impulsraum beschreibt. Beide Formen der Darstellung haben ihre Vorteile, so daß
man aus Gründen der Übersichtlichkeit jeweils die geeignetere Darstellung wählt. Für
die Theorie des Versuchs reicht es die meistens aus, den Ortsraum entlang einer
Raumachse zu betrachten. Hier wiederum betrachtet man in den meisten Fällen nur
zwei Bänder, nämlich das höchste besetzte Band, das Valenzband, und das
niedrigste unbesetzte Band, das Leitungsband. In der folgenden Abb. 2.2. sind die
Bänderschemata von einem Metall, einem Halbleiter und einem Isolator im Ortsraum
dargestellt:
2. Das Bändermodell im Festkörper
H albleiter
O rtskoordinate x
Iso lator
Leitun gsband
EL
EV
Valenzba nd
O rtskoordinate x
Leitun gsband
E lektronenen rg ie E
E lektronenen rg ie E
E lektronenen rg ie E
M etall
24
Eg
EF
Valenzba nd
O rtskoordinate x
Abb. 2.2. Termschema für Metall, Halbleiter und Isolator. Metalle besitzen auch bei T=0 K ein
teilweise besetztes (schattiertes) Band. Bei Halbleitern bzw. Isolatoren liegt das Fermi-Niveau
zwischen dem besetzten Valenzband und dem unbesetzten Leitungsband. EF Fermi-Niveau. EL
Leitungsbandunterkante. EV Valenzbandoberkante. Energie der Bandlücke: Eg = EL - EV.
Da Elektronen Fermionen, d.h. Spin ½-Teilchen sind, gilt für sie das Pauli-Prinzip,
was besagt, daß in einem atomaren System keine zwei Fermionen in allen
Quantenzahlen übereinstimmen dürfen. Dieses Außschließungsprinzip verlangt also,
daß im Zustand niedrigster Energie, d.h. für T → 0K, alle zur Verfügung stehenden
Elektronen des Kristalls die Energieterme von niedrigen Energien sukzessive bis zu
einer oberen Grenze auffüllen. Diese obere Grenzenergie, die bei T → 0K besetzte
von unbesetzten Zuständen trennt, heißt Fermi-Energie oder Fermi-Niveau E F0 .
Die Besetzungswahrscheinlichkeit f(E) eines Energieniveaus E durch ein Elektron
bei
T=0K ist eine Stufenfunktion mit f(E)=1 für E< E F0 und f(E)=0 für E> E F0 . Für größere
Temperaturen kommt es zu einer Aufweichung dieser Funktion, so daß auch
Niveaus E> E F0 besetzt werden können, während zugleich Niveaus E< E F0 unbesetzt
E
bleiben. Die Verteilungsfunktion ist:
T2 > T1
1
T1 > T0
(2.1)
f (E) =
0
E−µ
T=
0K
0
EF
exp(
) +1
kT
k Bolzmannfaktor, µ chemisches Potential
der Elektronen5,
wobei µ(T=0K)= E F0
0
1 f(E )
Abb 2.3. Fermi-Verteilungsfunktion
Das chemische Potential µ(T) ergibt sich aus der Annahme, daß im Fall eines Gleichgewichts aller
Energieniveaus die freie Energie F des Gesamtsystems stationär gegenüber einer Variation der
Besetzungszahlen der Niveaus untereinander sein muß. Dies bedeutet, daß die Ableitungen de r freien
Energie nach den Besetzungszahlen gleich sein müssen. Diese Ableitung dF/dni wird als neue
Konstante, das chemische Potential der Elektronen eingeführt (siehe Ibach/Lüth S. 111 –114).
5
2. Das Bändermodell im Festkörper
25
Zur Darstellung des Bänderschemas eines Festkörpers geht man aber auch oft von
der Ortsraumdarstellung in den k-Raum (Impulsraum, p = !k ) des „reziproken
Gitters“ über.
Gerade in der Beugungstheorie hat es sich gezeigt, daß es günstig ist, der
periodischen Gitterstruktur eines Kristalls ein sogenanntes „reziprokes Gitter“
zuzuordnen. Beugt man niederenergetische Elektronen an einem Kristall, so erhält
man als Beugungsbild eben gerade das reziproke Gitter. Mathematisch gesehen
entspricht der Übergang vom Orts- in den k–Raum einer Fourier-Reihen-Entwicklung
der Elektronendichte n(r), die im geordneten Kristall periodisch ist. Für den
eindimensionalen Fall ergibt sich dann also n(x) = n(x+a), a=Translationsvektor, der
das Ortsgitter invariant unter Verschiebungen um a läßt. Die Fourier-ReihenEntwicklung ergibt dann:
n( x ) = ∑ n p exp( 2πip x / a )
(2.2a)
p
np sind die komplexen Entwicklungskoeffizienten der Reihe, p die ganzen Zahlen.
πp/a im k-Raum.
Einem Punkt x im Ortsraum entspricht dann der Punkt 2π
Ist das Gitter im dreidimensionalen Ortsraum durch die Basisgittervektoren a1, a2 und
a3 aufgespannt, so ist das reziproke Gitter durch die reziproken Basisgittervektoren
g1, g2 und g3 gegeben (siehe Abb. 2.4.), definiert durch
a2 × a3
und zyklisch.
(2.2b)
g1 = 2π ⋅
a 1 ⋅ (a 2 × a 3 )
g2
a2
a1
g1
Abb 2.4. Ein zweidimensionales Gitter im Ortsraum und das zugehörige reziproke Gitter. Der
Vektor g1 steht senkrecht auf der von den Vektoren a1 und a2 aufgespannten Ebene. Man
beachte, daß der Ortsraum mit der Dimension m und der reziproke Raum (k-Raum) mit der
Dimension m-1 ineinander gezeichnet sind.
Mit Hilfe des reziproken Gitters lassen sich die „Brillouinschen Zonen“ definieren, die
der sogenannten Wiegner-Seitz-Zelle im Ortsraum entsprechen. Der kleinste von
den Mittelsenkrechten-Ebenen um den Ursprung des reziproken Gitters
aufgespannten Polyeder heißt 1 Brillouinsche Zone (Abb.2.5.).
2. Das Bändermodell im Festkörper
26
Γ
a)
b)
Abb 2.5. a) Konstruktion der 1. Brillouinschen Zone im Parallelogram-Gitter. b) Brillouinsche
Zone des kubisch flächenzentrierten Gitters (Aus Ibach/Lüth. S.47). Weitere Zonen erhält man
durch Konstruktion von Mittelsenkrechten-Ebenen durch größere reziproke Gittervektoren.
Punkte hoher Symmetrie tragen die Bezeichnung Γ, L, Χ etc. Die entstehenden Polyeder
können um jeden Punkt des reziproken Gitters gezeichnet werden und füllen dann den
gesamten Raum aus.
Die Zonenränder der Brillouinschen Zone zeichnen sich dadurch aus, daß für jede
Welle mit einem k-Vektor, der vom Ursprung aus die Zonengrenze erreicht, eine
braggreflektierte Welle entsteht. Braggreflexion tritt also nur für diskrete Energien
( E = c ⋅ p = ! ⋅ c ⋅ k ) ein, was auf eine diskrete Energieverteilung im Festkörper
hinweist. Es scheint also sinnvoll, die Energie entlang Richtungen hoher Symmetrien
im k-Raum aufzutragen. Da auch der k-Raum periodisch ist, genügt eine
Betrachtung der ersten Brillouin-Zone. In Abb. 2.6. ist die Bandstruktur von GaAs,
eines typischen Halbleitermaterials als Schnitt entlang Richtungen hoher Symmetrie,
dargestellt.
in te re ssa n te r
B e re ich
L e itun g sb a n du n terka n te
B a n d lü cke
Valen zb a n d o b erka n te
Abb 2.6. Bänderschema von GaAs (Aus Ibach/Lüth S.337).
Die entsprechenden Punkte Γ; L; X; usw. aus Abb. 2.5b sind hier nach rechts
aufgetragen. Im Γ-Punkt liegen Leitungs- und Valenzband energetisch sehr nah
beieinander. Der Bandverlauf im Bereich des Γ-Punktes ist für die weiteren
Betrachtungen wesentlich.
2. Das Bändermodell im Festkörper
27
Die Darstellung im k-Raum ist gewöhnungsbedürftig, aber sehr brauchbar zur
Erklärung von optischen und elektrischen Eigenschaften des Festkörpers wie z.B.
der Bandübergänge. Für ein genaueres Verständnis dieser Darstellung wird dem
Leser dringend geraten ein Festkörperbuch hinzuzuziehen.
Nachdem wir uns klargemacht haben, daß sich die möglichen Energiezustände im
Halbleiter zu Bändern aufspalten, müssen wir die Verteilung der zur Verfügung
stehenden Ladungsträger auf diese Zustände in den für uns interessanten Bändern,
d.h. im Valenz- und im Leitungsband, näher betrachten. Dies führt uns zum Begriff
der Zustandsdichte.
2.4 Zustandsdichte
Da wir uns später insbesondere für die Übergänge von Ladungsträgern zwischen
Leitungs- und Valenzband interessieren, betrachten wir den Bereich im k-Raum, in
dem sich diese Bänder am „nächsten“ sind. Die Krümmung der Bandverläufe ist in
diesem Bereich näherungsweise parabelförmig (s. Abb. 2.6).
Die E(k)-Abhängigkeit für z.B. das Leitungsband kann in diesem Bereich in guter
Näherung durch
!2
2
⋅ k =: E L + E [E (k ) = EV − E (fürValenzband )]
E (k ) = E L +
(2.3)
*
2m
beschrieben werden, wobei m* die sog. effektive Masse des Ladungsträgers ist. Ein
Teilchen mit der Masse m verhält sich in einem periodischen Potential wie ein
Teilchen mit der effektive Masse m* , welche durch
1
1 ∂ 2E
gegeben ist,
(2.4)
=
m * ! 2 ∂k 2
d.h. durch die Krümmung des Bandes an dieser Stelle (s.Abb. 2.7). Es ist also auch
möglich, daß ein Teilchen eine negative (bzw. unendliche) effektive Masse hat.
Im Minimum oder Maximum eines Bandes, daß durch einen parabelförmigen Verlauf
angenähert werden kann, ist die zweite Ableitung immer konstant. In diesem Fall
kann die effektive Masse m* also als Konstante angesehen werden.
2. Das Bändermodell im Festkörper
28
Abb.2.7 Schematische Darstellung der effektiven Masse für ein eindimensionales Bäderschema
E(k) für a) starke Bandkrümmung und b) schwache Bandkrümmung (Aus Ibach/Lüth.
S.195).
Aufgrund des Pauli-Prinzips kann jeder energetische Zustand nur durch maximal
zwei Elektronen besetzt werden. Außerdem ist das Volumenelement eines
π)3. Daraus ergibt sich für die Anzahl von Zuständen in
Zustandes im k-Raum 1/(2π
einem Volumen V im k-Raum
V
N = 2⋅
(2.5)
(2π )3
In einer Energiekugel V mit Radius k folgt also für die Anzahl der Zustände N(k):
1
4
⋅ πk 3
(2.6)
N (k ) = 2
3
( 2π ) 3
1
! 2k 2
Mit (2.3) ist E =
2m *
bzw.
 2m * E  2
k =  2  , somit ergibt sich für N(E):
 ! 
3
1  2m * E  2

⋅
N (E ) =
(2.7)
3π 2  ! 2 
Die Anzahl der elektrischen Zustände im Energieinterval E+dE ist dann:
3
dN (E )
1  2m *  2
 E
=
⋅
D(E ) 3−dim . =
(2.8)
dE
2π 2  ! 2 
d.h. der Verlauf der Zustandsdichte ist wurzelförmig.
πk2 bzw. V=k, so daß sich dem
Für ein 2-dim. bzw. 1-dim. System ist V=π
entsprechend andere Zustandsdichten ergeben (s. Abb.2.8).
2. Das Bändermodell im Festkörper
D (E )
29
D (E ) 2 -dim .
GLP
∝ E
(
D (E )
E2
(
D (E )0 -dim .
1 -dim .
E2
(
E2
(
Abb. 2.8 Zustandsdichten für 3-dim,2-dim,1-dim und 0-dim-System
Die Wahrscheinlichkeit für die Besetzung eines Zustands wird wie in Kap. 2.3 durch
die Fermi-Verteilungsfunktion f(E) (2.1) beschrieben. Die tatsächliche Konzentration
von Ladungsträgern, Elektronen im Leitungsband bei der Energie E und von
Löchern6 im Valenzband, ergibt sich gerade aus dem Produkt der Zustandsdichte
D(E) und f(E). In der folgenden Abbildung ist dies für eine Temperatur T>0K für den
Fall gleicher Zustandsdichte in Leitungs- und Valenzband (a) und für den Fall
höherer Zustandsdichte im Valenzband (b) dargestellt. Da es genauso viele
Elektronen wie Löcher geben muß, liegt das Ferminiveau in Fall (b) nicht mehr genau
in der Mitte zwischen Leitungs- und Valenzband.
Abb. 2.9 Fermi-Funktion f(E). Zustandsdichte D(E) und Elektronen- bzw. Löcherkonzentration
für a) gleiche Zustandsdichte b) verschiedene Zustandsdichten (Aus Ibach/Lüth. S.340).
6
Mit dem Begriff Loch wird das Fehlen eines Elektrons beschrieben. Eine äquivalenter Begriff wäre
Defektelektron.
2. Das Bändermodell im Festkörper
30
Die Elektronenkonzentration n im Leitungsband bzw. die Löcherkonzentration p im
Valenzband ergibt sich also folgendermaßen:
∞
n = ∫ DL (E ) ⋅ f (E,T ) ⋅ dE
bzw.
(2.9a)
EL
EV
p = ∫ DV (E ) ⋅ [1 − f (E,T )] ⋅ dE
(2.9b)
−∞
Ist die Ladungsträgerkonzentration im Halbleiter für eine Temperatur T>0K gerade so
beschaffen, daß Elektronen im Leitungsband und entsprechend Löcher im
Valenzband vorhanden sind, so tragen diese „freien“ Ladungsträger zur
Eigenleitfähigkeit des Halbleiters bei.
In „Intrinsischen“ Halbleitern, d.h. in Halbleitern in denen „freie“ Elektronen und
Löcher ausschließlich nur durch elektronische Anregung aus dem Valenzband ins
Leitungsband zustande kommen, ist deshalb die Konzentration von Löchern im
Valenzband gleich der Konzentration von Elektronen im Leitungsband, wie in Abb.
2.9 dargestellt. Sind zusätzlich die effektiven Massen mn* und mp* der Elektronen
und Löcher und damit auch die Zustandsdichten DL und DV gleich (vgl. Gl.2.8), muß
das Fermi-Niveau genau in der Mitte des verbotenen Bereichs zwischen Leitungsund Valenzband liegen.
Wie gerade erwähnt, ist in Halbleitern die Ladungsträgerkonzentration nur von der
Temperatur abhängig. Die Ladungsträgerkonzentration in intrinsischen Halbleitern
(~1017 cm-3) reicht aber bei weitem nicht aus, um die in der Praxis erforderlichen
Stromdichten in Halbleiterbauelementen zu erzeugen. Diese werden erst durch den
„Einbau“ zusätzlicher Störstellen (Dotierung) erzeugt (Konzentration: ~1022 cm-3).
2.5 Dotierung von Halbleitern
Die im Versuch verwendete pin-Probe ist eine Schichtabfolge aus einem p-dotierten,
einem intrinsischen und einem n-dotierten Halbleitermaterial. Der Begriff der
Dotierung soll hier deshalb noch einmal kurz erläutert werden.
n-Dotierung:
Wird ein sog. Dotieratom an einen Gitterplatz des Kristalls gebracht, dessen
Wertigkeit um eins höher ist als die Wertigkeit der Kristallatome, so ist ein
Valenzelektron dieses Atoms nicht durch Bindung abgesättigt. Dieses Valenzelektron
kann sehr leicht vom Dotieratom abgelöst werden und ist somit als Leitungselektron
verfügbar (Größenordnung der Ionisationsenergie: 10 meV, und damit wesentlich
kleiner als die zur Lösung der Kristallbindung erforderliche Energie). Zurück bleibt
das einfach positiv geladene, nicht bewegliche Ion. Da eine solche Dotierung
Elektronen (Ladungsträgerart n) spendet, nennt man solche Dotieratome Donatoren.
Der Halbleiter wird deshalb n-leitend oder n-Typ-Halbleiter genannt. Auch wenn die
durch die Dotierung erzeugten Elektronen durch einen elektrischen Leitungsvorgang
„abgesaugt“ werden, bleibt der Halbleiter n-leitend, da die stationäre positive Ladung
des Donators dafür sorgt, daß sich ständig Elektronen im Halbleiter aufhalten, um im
Mittel für Ladungsneutralität zu sorgen. Die Elektronen im n-Leiter heißen
Majoritätsträger, die Löcher Minoritätsträger.
2. Das Bändermodell im Festkörper
31
p-Dotierung:
Analog lassen sich Halbleiter natürlich auch mit Dotieratomen gezielt verunreinigen,
deren Wertigkeit eins unter der Wertigkeit der Kristallatome liegt. Durch den Einbau
eines solchen Atoms fehlt nun ein Valenzelektron in der Bindung. Diese Lücke ist
allerdings noch nicht beweglich, da sie an das Dotieratom gebunden ist. Die Zufuhr
einer geringen Energie (Größenordnung 10 meV) bewirkt, daß ein normales Vale nzelektron des Kristallgitters an das Dotieratom gebunden wird. Dadurch entsteht ein
Defektelektron (Ladungsträgerart p) und ein unbewegliches negativ geladenes Ion.
Da durch eine solche Dotierung letztendlich Löcher erzeugt werden, indem
Dotieratome Valenzelektronen des Kristalls an sich binden, nennt man solche
Dotieratome Akzeptoren. Der Halbleiter wird p-leitend oder p-Typ-Halbleiter
genannt. Analog zum n-Typ-Halbleiter heißen im p-Typ-Halbleiter nun die Löcher
Majoritätsträger und die Elektronen Minoritätsträger.
In der folgenden Abbildung 2.10 sind beide Dotierungsarten sehr schematisch für
das 4-wertige Silizium einmal als n-Dotierung durch das 5-wertige Phosphor und
einmal als p-Dotierung durch das 3-wertige Bor dargestellt.
Abb. 2.10 Schematische Darstellung der n-Dotierung mit Phosphor und p-Dotierung mit Bor
(Aus Ibach/Lüth. S.342).
Da nun zusätzliche Ladungsträger zur Leitung zur Verfügung stehen, muß man sich
über die neue Ladungsträgerkonzentration in dotierten Halbleitern Gedanken
machen. Es wurde gesagt, daß nur eine geringe Energie, ca. 10 meV, notwendig ist,
um freie Elektronen durch Ionisation des Donators zu erhalten. Da die innere
Energie, die proportional zu kT ist, bei Raumtemperatur (T=300 K) ca. 25 meV > 10
meV beträgt, werden alle Donatoren ionisiert. Die Elektronen sind dann freie
Elektronen im Leitungsband. Das Energieniveau der Donatoren muß also im Abstand
dieser Ionisationsenergie unterhalb des Leitungsbandes liegen (s. Abb. 2.11 a)
Entsprechend muß das Akzeptorniveau für einen p-Typ Halbleiter oberhalb des
Valenzbandes liegen (s. Abb. 2.11b).
a)
p-H albleiter
b)
E
n-H albleiter
E
EL
EL
ED
EA
EV
EV
x
x
Abb.2.11 Schematische Darstllung des a) Akzeptorniveaus und des b) Donatorniveaus
2. Das Bändermodell im Festkörper
32
Der große Vorteil der Dotierung liegt darin, daß die Leitfähigkeit des Materials du rch
die Konzentration der Dotieratome genau eingestellt werden kann. Im Versuch wird
der sog. Verbindungshalbleiter GaAs (Ga ist 3-wertig, As ist 5-wertig) verwendet. Ein
üblicher Dotierstoff zur n-Dotierung von Galium wäre z.B. 4-wertiges Silizium bzw. 2wertiges Berilium zur p-Dotierung.
2.6 Bandübergänge und Absorption
Nachdem wir uns mit den möglichen Energiezuständen im Halbleiter und der
Verteilung der zur Verfügung stehenden Ladungsträger auf diese beschäftigt haben,
wenden wir uns mit den möglichen Übergängen zu, die ein Elektron von einem
Zustand in einen anderen überführen.
Wird ein Elektron aus dem besetzten Valenzband z.B. durch Absorption eines
eingestrahlten Photons in einen freien Leitungsbandzustand gehoben, so entsteht
ein Elektronen–Loch-Paar. Der umgekehrte Vorgang wäre die Rekombination eines
solches Elektronen-Loch-Paares unter Aussendung eines Photons der Energie ELEV. Diese Art von Übergang nennt man Interband-Übergang.
Ändert das Elektron seine energetische Lage nur innerhalb eines Bandes, spricht
man von Intraband-Übergängen. Diese Übergangsprozesse kann man in vier
verschiedene Klassen einteilen (s. Abb. 2.12):
1. Interband-Übergänge
a) Direkte Übergänge vom Valenzband in das Leitungsband sowie die
entsprechenden Rekombinationsprozesse
b) Indirekte Übergänge vom Valenzband in das Leitungsband unter Beteiligung von
Phononen (Gitterschwingungen) und/oder Exzitonen (gebundene ElektronenLoch-Paare, deren Energie im Gegesatz zu den freien erzeugten ElektronenLoch-Paaren um die für die Coulomb-Wechselwinkung notwendige Energie
erniedrigt ist), sowie die entsprechenden Rekombinationsprozesse
2. Übergänge von Elektronen unter Beteiligung von Störstellen
a)
b)
c)
d)
e)
Donator-Valenzband-Übergänge
Donator-Akzeptor-Übergänge
Leitungsband-Akzeptor-Übergänge
Übergänge nach Bildung von an Störstellen gebundenen Exzitonen
Phononenkaskaden- und Multiphononen-Übergänge
3. Intraband-Übergänge
4. Auger-Prozesse
2. Das Bändermodell im Festkörper
33
Abb. 2.12 Elektronische Übergänge im Halbleiter (Winstel/Weyrich S.31)
Im erster Linie hängt es von der Bandstruktur des Halbleiters ab, welche dieser
Übergänge auftreten,. Bezüglich der Bandstruktur können die Halbleiter in zwei
Gruppen eingeteilt werden:
1. Die direkten Halbleiter, bei denen Valenzband-Minima und Leitungsbandmaxima
im k-Raum direkt untereinander, i.A. bei k=0 liegen, was dem Punkt Γ der 1.
Brillouin-Zone entspricht. Wie der Name schon sagt, überwiegen hier die direkten
Interband-Übergänge. Wichtigste Vertreter in dieser Gruppe sind GaAs-Halbleiter.
2. Die
indirekten
Halbleiter,
bei
denen
Valenzband-Minima
und
Leitungsbandmaxima an verschiedenen Stellen im k-Raum liegen. Vertreter
dieser Gruppe sind Ge-, Si-, und GaP-Halbleiter
In Abb. 2.13 sind ein direkter und ein indirekter Bandübergang im k-Raum
dargestellt.
Abb. 2.13 Bandstruktur von GaAs und GaP bei k=0 (Winstel/Weyrich S.31).
2. Das Bändermodell im Festkörper
34
Da für alle Band-Übergänge sowohl Energie- als auch Impulserhaltung (entspricht
Erhaltung der Wellenzahl k) für die beteiligten Teilchen gelten, muß im Falle
ν/c des
indirekter Bandübergänge ein dritter Partner beteiligt sein, da der Impuls hν
absorbierten Photons, das für den Übergang verantwortlich war, viel zu klein ist um
eine solche Änderung des k-Werts des Elektrons zu bewirken. Solche Partner sind in
der Regel Phononen7. Indirekte Übergänge sind deshalb wesentlich seltener als
direkte.
Da im Versuch die Absorption von Licht innerhalb des Halbleitermaterials gemessen
wird, was ja gerade einem optisch induzierten Übergang entspricht, kann man
anhand der gemessenen Absorption Aussagen über die Bandstruktur des Halbleiters
machen, da die Frequenz des absorbierten Photons der von dem Elektron
überwundenen Energiedifferenz entspricht. Hat das eingestrahlte Licht eine Energie,
die unterhalb der Bandlückenenergie liegt, kann das Elektron nicht durch Absorption
des Photons ins Leitungsband gehoben werden. Das Photon wird also nicht
absorbiert, der Halbleiter ist für Licht dieser Energie durchsichtig. Im Idealfall kann
man also am Einsetzen der Absorption für Licht ab einer bestimmten Frequenz die
Bandlückenenergie ermitteln.
Der Prozeß der Anregung eines Elektrons vom Valenzband ins Leitungsband durch
Absorption eines Photons in einem direkten Halbleiter läßt sich näherungsweise in 1.
Ordnung Störungstheorie beschreiben. Der folgende Ausdruck ist auch als „Fermis
goldene Regel“ bekannt.
2
π ⋅ e2
Lk epˆ Vk´ δ (E Lk − EVk ´ − !ω )
α (!ω ) =
∑
ε 0 m0 cn r ω L,V ,k ,k ´
(2.10a)
wobei e den Polarisationsvektor, p̂ den Impulsoperator, m0 die freie Elektronenmasse, !ω die Energie des eingestrahlten Photons und ELk und EVk´ die
Energieeigenwerte des Elektronen- bzw. Lochzustandes in Leitungs- bzw.
Valenzband mit den Impulsen k und k´ bezeichnen.
Beim Übergang eines Elektrons vom Valenz- ins Leitungsband gilt dabei sowohl
Energie- als auch Impulserhaltung. Die betrachteten Einteilchenzustände sind
Blochzustände, die im Bild der einhüllenden Wellenfunktionen durch gitterperiodisch
modulierte ebene Wellen dargestellt werden. Dabei wird angenommen, daß im
Grundzustand alle Valenzbandzustände voll besetzt und alle Leitungsbandzustände
leer sind, so daß für die Berechnung der Absorption Besetzungsfaktoren keine Rolle
spielen. Außerdem wurde angenommen, daß der Realteil des optischen
Brechungsindex nr nicht von der eingestrahlten Photonenenergie !ω abhängt, was
in dem betrachteten eingeschränkten Energiebereich auch gerechtfertigt ist.
Mit der parabolischen Näherung (s. Kap.2.4, Gl.2.3) für die Zustandsdichte in
Leitungs- und Valenzband im k-Raum erhält man für die Energieeigenwerte also
! 2k 2
! 2k 2
und EVk ´ =
.
(2.11)
E Lk =
2me
2mL
7
Unter Phononen versteht man Gitterschwingungen im Kristall. Ähnlich zu elektromagnetischen
Wellen ist auch die Energie der Gitterschwingung gequantelt. Das entsprechende Energiequant nennt
man Phonon.
2. Das Bändermodell im Festkörper
35
Für einen Volumenhalbleiter (ohne elektrisches Feld in Einteilchennäherung) erhält
man dann den folgenden Ausdruck für den Absorptionskoeffizienten α (!ω ) :
3/2
µ LV
π ⋅ e2
4 2
α (!ω ) =
⋅
P !ω − E g ⋅ Θ (!ω − E g )
2 3
ε 0 m0 cn r ω 2π ! 3
(2.10b)
Dabei bezeichnet P2 das Impulsmatrixelement bei k=0, welches für kleine k als
konstant angenommen wird. µLV ist eine Näherung für die effektive Interbandmasse,
1
1
1
=
+
wobei gilt:
.
µ LV me mL
In der folgenden Abbildung 2.14 sind der Verlauf der Absorption für das eben
angesprochene „Ein-Teilchen-Modell“, für das Modell mit exzitonischer
Wechselwirkung sowie der gemessene Verlauf für GaAs aufgetragen:
Abb. 2.14 Berechnete (gepunktete Linien) und gemessenes Absorptionsspektrum
(durchgezogene Linie) von GaAs-Volumenmaterial bei Raumtemperatur (Kneissl, Physik
mikrostrukturierter Halbleiter)
Wie in der Abbildung 2.14 zu sehen, spiegelt sich im berechneten Absorptionsverlauf
der Einteilchennäherung („single particle model“) im wesentlichen der wurzelfrömige
Verlauf der dreidimensionalen kombinierten Zustandsdichte ( α ∝ !ω − E g ) wieder.
Allerdings fällt auch auf, daß das berechnete Absorptionsspektum qualitativ stark
vom gemessenen Verlauf abweicht. Die Absorption ist um etwa 4 meV zu
niedrigeren Energien verschoben und setzt außerdem wesentlich steiler ein. Dies
liegt daran, daß das „Ein-Teilchen-Modell“ die exzitonische Wechselwirkung
vernachlässigt. Das exzitonische Modell (ebenfalls in der Abbildung) ergibt einen
Verlauf, der die Wirklichkeit bedeutend besser beschreibt Im nächsten Kapitel ist
beschrieben, was man genau unter einem Exziton versteht.
2. Das Bändermodell im Festkörper
36
2.7 Exzitonen
Bei tiefen Temperaturen findet man bei Halbleitern ein von dem theoretisch
erwarteten Absorptionsspektrum abweichendes Ergebnis. Häufig beobachtet man
einen scharf strukturierten Einsatz der optischen Absorption, wie es in Abb. 2.13 für
GaAs dargestellt ist. Dies beruht auf der Anregung sog. Exzitonen. Exzitonen sind
Elektron-Loch-Paare, die sich durch die anziehende Coulomb-Wechselwirkung
zwischen einem Elektron, das aus einem Valenzband angeregt wurde, und dem im
Valenzband zurückbleibenden Loch bilden können. Statt einem freien Elektron und
einem freien Loch entsteht also ein über die Coulomb Wechselwirkung gebundenes
Elektronen-Loch-Paar.
Für diesen, dem Wasserstoffproblem
ähnlichen Fall, erhält man für GaAs
Bindungsenergien im Bereich von ca. 4
meV. Diese geringe Bindungsenergie ist
der Grund dafür, daß man Exzitonen nur
bei sehr tiefen Teperaturen beobachten
kann (Bei Raumtemperatur hat man
innere Energien um 25 meV).
In 2-dimensionalen Strukturen kann die
Coulomb-Anziehung
durch
das
umgebende polarisierbare Medium nicht
so effizient abgeschirmt werden, wie es
für 3-dimimensionale Strukturen der Fall
ist. Die Folge ist, daß die Bindungsenergie
der Exzitonen höher wird, so daß man sie
auch bei Raumtemperatur beobachten
kann.
Abb. 2.15 Absorptionskonstante von GaAs
gemessen bei 21 K in der Nähe der
Bandlückenenergie Eg. Der gestrichelte geschätzte
Verlauf ergäbe sich ohne das Vorhandensein von
Exzitonenanregung (Ibach/Lüth. S.320)
2.8 Der pn-Übergang
Eine der zu untersuchenden Proben im Versuch ist eine sog. pin-Struktur, d.h. eine
Schichtabfolge von einem p-dotierten Material (AlGaAs, p=1*1018 cm-3), einer
intrinsischen Schicht (GaAs) und einer n-dotierten Schicht (AlGaAs, n=1*1018 cm-3).
Um uns über die Bandstruktur eines solchen Kristalls klar zu werden, müssen wir
zuerst den einfachen pn-Übergang betrachten.
a) Im thermischen Gleichgewicht
In den vorherigen Kapiteln wurde das Dotieren von Halbleitern sowie die Lage des
Fermi-Niveaus und damit natürlich auch die Ladungsträgerkonzentration in dotierten
Halbleitern besprochen. Uns interessiert nun welche Auswirkungen das In-Kontaktbringen eines p-dotiertes und einen n-dotierten Halbleiters (wie es in der pin-Probe
des Versuchs realisiert ist) auf den Bandverlauf dieses neu entstandenen
2. Das Bändermodell im Festkörper
37
Halbleiterbauelements hat. Natürlich ist besonders der Kontakt-Bereich näher zu
untersuchen.
Als ersten Schritt stellt man sich vor, daß die beiden a )
Hälften, p-Halbleiter und n-Halbleiter, noch nicht in
p-H albleiter n-H albleiter
Kontakt miteinander stehen und nehmen weiterhin an, E
EL
EL
daß alle Dotieratome bereits vollständig ionisiert sind.
EF
Betrachtet man den Bandverlauf im Ortsraum der
ED
EA
beiden Hälften für eine Energieskala, so ergibt sich
E
F
folgendes Bild:
EV
EV
Abb. 2.16 Bänderschema der p- und
der n-Häfte für den gedachten Fall a)
einer vollständigen Entkopplung und
b) im thermischen Gleichgewicht.
b)
In Wirklichkeit handelt es sich jedoch um ein und
denselben Kristall, der nur einen abrupten E
p
EL
Dotierungsübergang aufweist. Das Fermi-Niveau als
-e V (x) -VD
n
EA
+
EL
elektrochemisches Potential muß im Fall eines
+
EF
EF
thermischen Gleichgewichts also in beiden Hälften
p
ED
E
V
gleich sein. Korrigiert man Abb. 2.16a, indem man die
Fermi-Niveaus in beiden Hälften gleichsetzt, erhält
n
EV
man einen Verlauf der Bandkanten, wie er in Abb.
x
2.16b zu sehen ist. Es muß also eine Art
Bandverbiegung auftreten.
Auf Grund des Konzentrationsgefälles von freien Ladungsträgern in der Nähe des
Dotierungsübergangs können Elektronen aus der n- Schicht in die p-Schicht und
Löcher aus der p-Schicht in die n-Schicht diffundieren (Diffusionsstrom). Zurück
bleiben die negativen bzw. positiven ortsfesten Ionenrümpfe. Im Gegensatz zur
Ladungsneutralität, die weit entfernt von der Übergangszone im Inneren des Kristalls
herscht, ( x = ∞, x = −∞ ) ergibt sich im Bereich des Dotieungsübergangs eine
Änderung der Ladungsträgerkonzentration.
c)
Das Diffundieren von Ladungsträgern schreitet
ρ[
solange voran, bis sich ein ortsabhängiges
Makropotential V(x) (Abb. 2.16 d) und damit
+
eine sog. Diffusionsspannung VD ausbildet
x
(VD=max. Differenz von V(x). Dieses Potential
p -Fe ld strom
entsteht, da sich durch das diffundieren der
jeweiligen Majoritätsladungsträger in die andere
p -D iffu sion strom
Schicht eine sog. Verarmungszone bildet, d.h. d )
V (x)
nicht mehr genügend positive Ladungen in der
p-Schicht vorhanden sind, um die negative
Ladung der ortsfesten Akzeptor-Ionen, bzw. die V n ( RR )
positive Ladung der ortsfesten Donator-Ionen
0
x
auszugleichen.
Es
entsteht
also
eine
V p ( -RR )
Raumladung ρ(x) (Abb. 2.16c) die mit dem
Makropotential über die Poisson-Gleichung
verknüpft ist:
2. Das Bändermodell im Festkörper
38
Abb. 2.16 c)Raumladung ρ(x)
d) Makropotential V(x)
∂ 2V ( x )
ρ(x)
=−
(2.12)
2
εε 0
∂x
Die zweimalige Integration über die Raumladung ρ(x) ergibt also gerade das
Makropotential V(x) und die damit zusammenhängende Bandverbiegung, die vorher
schon angesprochen wurde.
Im Halbleiter herrscht also ein dynamisches Gleichgewicht zwischen dem durch das
Konzentrationsgefälle
verursachten
Diffusionstrom
(Diffusion
von
jDiff
Majoritätsladungsträgern aus der p-Schicht (Löcher) in die n-Schicht und Diffusion
von Majoritätsladungsträgern aus der n-Schicht (Elektronen) in die p-Schicht) und
dem Feldstrom jFeld, der auf Grund der Raumladung und der damit erzeugten
Diffusionsspannung VD in der Verarmungszone in die entgegengesetzte Richtung
des Diffusionstroms fließt. Es gilt also:
jDiff=jFeld
∂n
∂p
− Dp
Wobei j Diff = e ⋅ (Dn
) und j Feld = e( n ⋅ µ n + p ⋅ µ p )ε x
(2.13a) u. (2.13b)
∂x
∂x
e ist die Elementarladung, n und p stehen für Elektronen und Löcher. Dn und Dp sind
die sog. Diffusionskonstanten, µn und µp die Beweglichkeiten der Elektronen und der
kT
µ verknüpft
Löcher, wobei die Diffusionskonstante und Beweglichkeit über D =
e
sind. Die Beweglichkeit µ ist dabei eine Größe, die von der effektiven Masse m*, der
Relaxationszeit τ(k) und der Geschwindigkeit v(k) des Ladungsträgers im
∂V ( x )
elektrischen Feld abhängt. ε x = −
ist die sich aus dem Makropotential
∂x
ergebende Feldstärke.
b) Mit Vorspannung
Legt man nun eine äußere Spannung U an, so wird dieses Gleichgewicht gestört. Da
die Verarmungszone aus Mangel an freien Ladungsträgern einen wesentlich höheren
elektrischen Widerstand als die Gebiete außerhalb des pn-Übergangs besitzt, fällt
die von außen angelegte Spannung U fast vollständig über dieser Raumladungszone
ab, so daß die gesamte über der Raumladungszone abfallende Spannung nicht mehr
VD, sondern gleich VD-U ist, wobei U positiv gezählt wird, wenn das Potential auf der
p-Seite gegenüber der n-Seite angehoben wird, d.h. der Pluspol der
Spannungsquelle an die p-Seite angelegt wird. Für positive Spannung verringert sich
also die Potentialdifferenz, gegen die die Elektronen aus der n-Schicht und die
Löcher aus der p-Schicht anzulaufen haben. Der Diffusionstrom jDiff wird also größer,
während der Feldstrom jFeld , der unabhängig von der Größe des Potentials ist, gleich
bleibt. Der Anteil der Elektronen aus der n-Schicht, die die Potentialdifferenz
überwinden bestimmt sich über den Bolzmanfaktor exp[-e(VD-U)/kT].
Für die Diffusions- und Feldströme der Elektronen gilt also:
n
n
j Diff
(U = 0) ≈ j Feld
(U ≠ 0)
und
n
j Diff
∝ exp[ −e(VD − U ) / kT ]
Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich:
n
j Diff
C ⋅ exp[ −e(VD ) / kT ]
(U = 0)
=
n
j Feld (U ≠ o ) C ⋅ exp[ −e(VD − U ) / kT ]
(2.14a)
(2.14b)
(2.14c)
2. Das Bändermodell im Festkörper
39
Da sich der Proportionalitätsfaktor C herauskürzt, erhält man:
 eU 
n
n
= j Feld
j Diff
exp

 kT 
und somit für den Gesamtstrom der Elektronen:
 eU

n
n
n
n
= j Diff
− j Feld
= j Feld
− 1]
j ges
[exp
 kT

(2.15)
(2.16)
Dieselbe Analyse folgt natürlich auch für den Diffusionstrom jpges der Löcher, so daß
sich folgender durch den Kristall fließende Gesamtstrom ergibt:
 eU

 eU

n
p
n
p
+ j ges
= ( j Feld
+ j Feld
− 1] = j Feld ⋅ [exp
− 1]
j ges (U ) = j ges
)[exp
 kT

 kT

(2.17)
j ges
Dies ergibt die Kennlinie für einen pn-Übergang,
wie sie in Abb. 2.17 dargestellt ist:
p n
p n
- +
Sperrichtung
+ D urchlaßrichtung
Je nach Vorzeichen von U ist der pn-Übergang in
Durchlaßrichtung (U>0) oder in Sperrichtung
(U<0) gespannt.
U
Abb. 2.17
Übergangs
Kennlinie
eines
pn-
Wie wir gerade gesehen haben, hat das Anlegen eines äußeren elektrischen Feldes
U also ein Verkippen der Bandkante in Feldrichtung zur Folge. Um dies zu
verdeutlichen, ist in der folgenden Abbildung 2.18 der Bandverlauf für drei
verschiedene Spannungen U<0V, U=0V und U>0V schematisch dargestellt.
E (x)
E (x)
p n
EL
(V
U >0 V
x
EL
E (x)
EL
(V
(V
p n
U =0 V
x
Abb. 2.18 Verkippen der Bänder bei Anlegen einer Spannung U
p n
U <0 V
x
2. Das Bändermodell im Festkörper
40
2.9 Photodioden und Photostrom
Ein pn-Übergang, der in Sperrichtung gespannt ist, eignet sich sehr gut zur Detektion
optischer Strahlung, deren Photonenenergie größer ist als die Bandlücke. Der
zugrundeliegende Mechanismus ist in Abb. 2.19 dargestellt.
Wird in dem elektrischen Feld der Sperrschicht durch Absorption eines Photons ein
Elektronen-Loch-Paar erzeugt, driften die Elektronen aufgrund des Potentialgefälles
zur n-Seite, die Löcher zur p-Seite.
Schaffen die Elektronen, in die n-Schicht und die
p-Zo ne
n-Zo ne
SperrLöcher in die p-Schicht zu gelangen ohne vorher zu
S chicht
rekombinieren,
tragen
sie
als
jeweiliger E
L
Majoritätsladungsträger in ihrer Schicht zum Sromfluß
hω
(Photostrom) im äußeren Kreis bei. Der Feldstrom
hω
besteht also nicht nur aus thermisch generierten (V
+
Elektronen-Loch-Paaren, sondern wird um die optisch
+
generierten Ladungsträger, die durch das Feld getrennt
V
werden, erhöht. Zum Photostrom jPhoto tragen nur die in
+
RL
der Sperrschicht generierten Elektronen und Löcher
bei. Entsprechend ist der mittlere Photostrom <jPhoto>
maßgeblich durch die Erzeugungsrate Gges bestimmt:
Abb.
2.19
Elektron-LochErzeugung durch Absorption
eines
Photons
in
der
Sperrschicht
<jPhoto>=eGges
e Elementarladung
(2.18a)
Bei einer Lichtleistung P0 treffen P0 /(!ω ) Photonen pro Sekunde auf die
Halbleiterfläche auf. Da nur der in der Sperrschicht absorbierte Anteil zur ηP0 zum
ηext
Photostrom
beiträgt
(η
Externe
Quantenausbeute
oder
externer
Quantenwirkungsgrad), ergibt sich für jPhoto:
< j Photo >= η ext ⋅ e ⋅ P0 / !ω =
η ext ⋅ e ⋅ P0 ⋅ λ
h ⋅c
(2.18b)
Der Photostrom überlagert sich additiv dem ohne Lichteinstrahlung vorhandenen
Diodenstrom, den man in diesem Fall auch als Dunkelstrom bezeichnet, und der
gegeben ist durch (2.17) als:
eU
− 1)]
(2.19)
j Dunkel = j Feld [exp(
kT
2. Das Bändermodell im Festkörper
Die Diodenkennlinie (s.Abb.2,20) bekommt die Form:
j Diode = j Dunkel − < j Photo >
41
j Diod e
(2.20)
j Dun kel
j P hoto >
U
Abb. 2.20 Kennlinie einer Photodiode mit
Photostrom <jPhoto> und Dunkelstrom jDunkel
2.10 Leuchtdiode (LED)
Die pin-Probe kann auch als Leuchtdiode betrieben werden, indem der pn-Übergang
in Durchlaßrichtung gepolt wird. Ist dies der Fall, so werden in die p-Schicht Löcher
und in die n-Schicht Elektronen also die jeweiligen Majoritätsladungsträger injeziert.
Diese können unter Abgabe eines Photons rekombinieren, so daß der Kristrall zu
leuchten beginnt.
Hiermit endet der Stoff, der für den ersten Praktikumstag relevant ist. Die folgenden
Ausführungen betreffen speziell die Messungen, die am zweiten Praktikumstag
vorgenommen werden sollen.
2.11 Der Franz-Keldysh-Effekt
Bisher haben wir besprochen, wie durch Absorption von Licht optische Übergänge
induziert werden, aber auch welche Folgen das Anlegen eines elektrischen Feldes
auf die Bandstruktur hat (Verkippen der Bandkante in Feldrichtung). Nun stellt sich
die Frage, wie diese beiden Effekt zusammenspielen. Diese sog. Elektroabsorption,
also die Änderung der Absorption von Licht in Abhängigkeit der an den Kristall
angelegten Spannung wird auch nach W. Franz und L.V Keldysh, die diesen
Zusammenhang 1958 erstmals untersuchten, Franz-Keldysh-Effekt genannt und ist
besonders für die Herstellung von elektrischen Licht-Modulatoren interessant.
Wenn man an einen Halbleiterkristall ein äußeres elektrisches Feld anlegt, werden
die Bänder in Feldrichtung verkippt, und die ursprünglichen ausgedehnten
Blochzustände koppeln zu neuen Energieeigenzuständen des Kristalls. Wie in Abb.
2.21a zu sehen, oszillieren die neu entstandenen Wellenfunktionen im Ortsraum
außerhalb der Bandlücke und besitzen eine gewisse Aufenthaltswahrscheinlichkeit
innerhalb des verbotenen Bereichs, die exponentiell abklingt. Dies führt dazu, daß
sich die effektive Bandlücke verkleinert, so daß auch Absorption unterhalb der
Bandlückenenergie (auch Bandkante genannt) möglich wird. Mit steigendem Feld
erhöht sich darum unterhalb der Bandkante die Absorption. Zu kleineren
Photonenenergien hin verringert sich unterhalb der Bandkante die Überlappung der
Wellenfunktionen, und die Absorption klingt exponentiell ab. Oberhalb der Bandlücke
interferieren die oszillierenden Wellenfunktionen für verschiedene Photonenenergien
einmal konstruktiv, einmal destruktiv, und der Absorptionskoeffizient oszilliert um die
wurzelförmige Absorptionkante (Abb. 2.21b).
2. Das Bändermodell im Festkörper
42
Abb. 2.21 a) Schematische Darstellung der Bandkanten und Wellenfunktionen im elektrischen
Feld im Ortsraum; b) Absorptionskoeffizient α von GaAs für verschiedene Felder, ermittelt aus
Photostrommessungen (Diplomarbeit M. Kneissl S.22).
Der Franz-Keldysh-Effekt kann sowohl durch Transmissionsmessungen als auch
durch die Messung des durch optische Anregung induzierten Photostroms gemessen
werden.
Im Versuch wird die Elektroabsorption in der i-Schicht der pin-Struktur mittels
Anlegen verschiedener Sperrspannungen an den pn-Übergang untersucht.
a) Bestimmung von α aus Photostrommessungen
Ändert sich mit angelegtem Feld das Absorptionsverhalten des Kristalls, so ändert
sich natürlich auch der durch die Lichteinstrahlung verursachte Photostrom. Daher ist
es möglich, die Änderung des Absorptionsverhalten über die Änderung des
Photostroms zu bestimmen.
Der Zusammenhang zwischen dem gemessenen Photostrom jPhoto und der
eingestrahlten Lichtleistung POpt ist gegeben durch (2.18):
j Photo (λ,U pn ) =
POpt
!ω
⋅ e ⋅ η ext =
POpt ⋅ λ
hc
⋅ e ⋅ η ext
(2.21)
wobei e die Elementarladung und ηext der externe Quantenwirkungsgrad der pinStruktur ist. Dieser setzt sich zusammen aus dem nicht reflektierten Anteil und dem
absorbierten Anteil der eingestrahlten Lichtleistung POpt, sowie dem internen
Quantenwirkungsgrad ηint , so daß sich für ηint ergibt:
η ext = (1 − R ) ⋅ (1 − e −αd ) ⋅ η int
(2.22)
Wenn man annimmt, daß die Reflexion auf Grund der Anti-Reflexions-Vergütung
gegen 0 geht, sowie ηint =1 setzt, ergibt sich aus den letzten beiden Gleichungen
jPhoto:
2. Das Bändermodell im Festkörper
j Photo (λ,U pn ) =
α (λ,U pn ) = −
POpt ⋅ λ
hc
⋅ e ⋅ (1 − e −αd )
und somit
j
⋅ hc
1
)
⋅ ln(1 − Pkoto
d
λ ⋅ e ⋅ Ι Opt
43
(2.23)
(2.24)
Mißt man nun für verschiedene Spannungen αi(λ
λ,Ui), so läßt sich aus der Differenz
αi(λ
λ,Ui)- αj(λ
λ,Uj) auch ein ∆α bestimmen.
Da in diese Messung Reflexionsverluste nicht eingehen, sowie auch die Näherung
ηint =1 zusätzliche Unsicherheit im Meßergebnis verursacht, ist es, falls der
reflektierte Anteil R sowie ηint unbekannt sind, günstiger, ∆α aus einer
Transmissionsmessung zu ermitteln.
b) Bestimmung von ∆α aus Elektro-Transmissionsmessungen
Da man daran interessiert ist, wie sich das Absorptionsverhalten für die einzelnen
Wellenlängen bei einer anliegenden Spannung U im Verhältnis zum spannungslosen
Fall ändert, ist es sinnvoll, nicht α(λ,U)) sondern ein ∆α(λ,U/U0) zu ermitteln.
Graphisch würde das für Abb. 2.21b bedeuten, die Kurve für U=0V von einer Kurve
mit U ≠ 0V zu subtrahieren, so wie es im vorigen Absatz für zwei verschiedene
Spannungen Ui und Uj angesprochen wurde. Es ist aber auch möglich,
∆α(λ,U/U0) direkt aus sog. Elektro-Transmissionsmessungen zu ermitteln.
Wie schon in Kapitel 1.7 ausgeführt, gilt mit (1.20) für die Abnahme der Lichtleistung
im Medium: P ( x, λ ) = P0 ⋅ (1 − R ) ⋅ e −αx
Für die transmittierte Lichtleistung T durch ein absorbierendes Material der Dicke d,
wobei nur die Reflexionen an den beiden Grenzschichten (daher der Faktor (1-R) im
Quadrat) und keine Vielfachreflexionen und Interferenzeffekte berücksichtigt werden,
gilt also:
(2.25)
T = P0 ⋅ (1 − R ) 2 ⋅ e −αd
1
2
Mißt man nun für zwei Spannungen Upn und Upn die transmittierte Lichtleistung T1
und T2, so erhält man
T2 P0 ⋅ (1 − R ) 2 ⋅ exp( −α 2 d )
=
= exp( − ∆αd )
T1 P0 ⋅ (1 − R ) 2 ⋅ exp( −α 1d )
(2.26)
wobei eventuell auftretende Änderungen in der Reflektivität nicht berücksichtigt
werden. Damit ergibt sich für die Änderung des Absorptionskoeffizienten ∆α aufgrund
der Spannungsmodulation:
1 T2
(2.27)
ln( )
d T1
Man erhält also feldinduzierte Absorptionsänderungen ∆α ohne die Einflüsse durch
die Reflexionen berücksichtigen zu müssen, und ohne Kenntnis der absoluten
Lichtleistung der Lichtquelle.
Mittels der gemessenen ∆α aus den Elektro-Transmissionsmessungen lassen sich
natürlich auch die ∆α aus den Photostrommessungen korrigieren.
∆α = −
2. Das Bändermodell im Festkörper
44
2.12 Der Quanten-Confined-Stark Effekt
In der zweiten Halbleiter-Probe liegt eine sogenannte Vielfachquantentopfstruktur vor
(MQW-Struktur = Multiple-Quantum-Well). Das Prinzip solcher Strukturen beruht
darauf, Halbleiter, die verschiedene Bandlücken besitzen, schichtweise aufeinander
aufzuwachsen, so daß in Wachstumsrichtung eine periodische Modulation der
Bandlücke entsteht. Voraussetzung für eine solche Struktur ist, daß die
verschiedenen Halbleiter eine ähnliche Gitterkonstante besitzen, um ein möglichst
störungsfreies epitaktisches Aufwachsen zu garantieren. Interessant sind also
Halbleiter, die fast die gleiche Gitterkonstante besitzen, aber beträchtliche
Unterschiede in der Bandlückenenergie aufweisen. In Abb. 2.22 ist die
Bandlückenenergie Eg wichtiger Element- und binärer Verbindungshalbleiter gegen
die Gitterkonstante aufgetragen. Auf der rechten Abszisse ist die der
Bandlückenenergie entsprechende Lichtwellenlänge λ aufgetragen.
Abb.
2.22 Auftragung der Bandlückenenergie Eg wichtiger ElementVerbindungshalbleiter gegen die Gitterkonstante (Ibach/Lüth. S.369).
und
binärer
A lG aA s
G a As
G aA s
G aA s
EL
G aA s
E
A lG aA s
A lG a As
Für den Verlauf der Bandkante im Ortsraum ergibt sich dann folgendes Bild (Abb.
2.23), wenn man auf der x-Achse die Wachstumsrichtung anträgt:
EV
W achstu m srichtung
Abb. 2.23 Verlauf der Bandkante in einer GaAs/AlGaAs-Struktur.
Es
ergibt
sich
also
eine
eindimensionale
Quantentopf-Struktur
in
Wachstumsrichtung. Für die Wellenfunktionen der Elektronen und Löcher ergibt sich
2. Das Bändermodell im Festkörper
45
dadurch in Wachstumsrichtung eine zusätzliche Einschränkung. Zum weiteren
Verständnis folgt eine kurze Wiederholung des 1-dim. Potentialtopfes8:
a) Der eindimensionale Potentialtopf mit endlicher Höhe
U (x)
Man betrachte ein Elektron im Kastenpotential:
0
U(x) = 
 U9
für
für
A lG a As
x < a 

x > a 
U0
A lG a As
G a As
x
0 a
Abb.
2.24
Potentialtopf
für
den
Leitungsbandverlauf eines AlGaAs-GaAsAlGaAs Schichtsystems
-a
Setzt man eine eindimensionale Bewegung voraus ergibt sich nach einem Separationsansatz für die zeitunabhängige Schrödingergleichung:
! 2 ∂ 2ψ
und
−
⋅
= Eψ für x < a
2m0 ∂x 2
! 2 ∂ 2ψ
⋅
= (E − U 0 )ψ für x > a
2m0 ∂x 2
Diese Gleichung hat für 0<W<U0 die allgemeine Lösung:
−
ψ ( x ) = A ⋅ sinαx + B ⋅ cos αx
für
x <a
ψ ( x ) = C ⋅ exp( − βx ) + D ⋅ c exp( βx ) für
wobei zur Abkürzung
α = + 2m0 E / ! 2 ,
gesetzt werden.
(2.28)
und
x >a
β = + 2m0 (U 0 − E ) / ! 2
(2.29)
(2.30)
Aus der Forderung nach Normierung der Wellenfunktionen folgt D=0 für x>a und C=0
ψ(x)/dx an den Topfwänden bei x=a und
für x<a. Die Stetigkeitsbedingung ψ(x) und dψ
x=-a ergibt:
A ⋅ sinαa + B ⋅ cos αa = C ⋅ exp( − βa )
α ⋅ A ⋅ cos αa + α ⋅ B ⋅ sinαa = − β ⋅ C ⋅ exp( − βa )
− A ⋅ sinαa + B ⋅ cos αa = D ⋅ exp( − βa )
(2.31)
α ⋅ A ⋅ cos αa + α ⋅ B ⋅ sinαa = − β ⋅ D ⋅ exp( − βa )
Daraus folgt unmittelbar:
2 ⋅ A ⋅ sinαa = (C − D ) ⋅ exp( − βa )
2 ⋅ α ⋅ A ⋅ cos αa = − β ⋅ (C − D ) ⋅ exp( − βa )
2 ⋅ B ⋅ cos αa = (C + D ) ⋅ exp( − βa )
2 ⋅ α ⋅ B ⋅ sinαa = − β ⋅ (C + D ) ⋅ exp( − βa )
8
(2.32)
Die Ausführungen zum endlich und unendlich hohen Potentialtopf sind angelehnt an die
entsprechenden Kapitel aus Ebeling, Integrierte Optoelektronik.
2. Das Bändermodell im Festkörper
46
Für A ≠ 0 und C ≠ D bzw. B ≠ 0 und C ≠ −D ergibt sich:
α ⋅ cot αa = − β
α ⋅ tanαa = β
und
(2.33)
Da diese beiden Gleichungen nicht gleichzeitig erfüllt sein können, da aus beiden
tan2αa=-1 folgt, was zu imaginären α und damit negativen Energien E führen würde,
die hier nicht interessieren, muß für die Lösungen gelten:
A = 0, C = D und α ⋅ tanαa = β
B = 0, C = −D und α ⋅ cot αa = − β
bzw.
βa = αa ⋅ tanαa
oder
βa = −αa ⋅ cot αa
oder
(2.34)
(2.35)
Weiterhin gilt mit (2.30)
(αa ) 2 + ( βa ) 2 = a 2 2m0 E / ! 2 + a 2 2m0 (U 0 − E ) / ! 2 = 2m0U 0 a 2 / ! 2
Eine übersichtliche Lösung der charakteristischen Gleichung
erhält man als Schnittpunkt des Graphen der Gleichungen
(2.35) mit der sich durch Gleichung (2.36) ergebenden
Kreislinie, wie es in Abb. 2.25 dargestellt ist. Da es nur
endlich viele Schnittpunkte gibt, existieren Lösungen der
Wellenfunktionen mit der geforderten Randbedingung nur für
diskrete Energiewerte. Diese Lösungen werden als
gebundene Zustände bezeichnet. Die Energieniveaus sowie
die entsprechenden Wellenfunktionen dieser Zustände sind
ebenfalls in Abb. 2.23 dargestellt.
βD
αa ta n (αa )
4
U =0
E4
E3
E2
-a
0
E1
a
x
ψ4
ψ3
ψ1
x
x
x
−αa co t(αa )
2
0
E
U =U 0
ψ2
αa ta n (αa )
−αa co t(αa )
6
(2.36)
2
4
6
8
αD
x
Abb. 2.25 Graphische Lösung der charakteristischen
Gleichung, Lage der Energieniveaus und dazu
entsprechende Wellenfunktionen
b) Der eindimensionale Potentialtopf unendlicher Höhe
Da der unendlich hohe Potentialtopf zu einfacheren analytischen Ausdrücken für die
Energie und die Wellenfunktionen führt und es möglich ist, die Ergebnisse der
tiefsten Energieeigenzustände für den endlich hohen Potentialtopf zu übernehmen,
wird hier noch kurz der unendlich hohe Potentialtopf diskutiert.
2. Das Bändermodell im Festkörper
47
Mit U0 → ∞ gilt β=0, d.h. die exponentiell abklingenden Funktionen für x<-a und x>a
verschwinden. So vereinfachen sich die Randbedingungen zu:
A ⋅ sinαa + B ⋅ cos αa = 0)
− A ⋅ sinαa + B ⋅ cos αa = 0
also
(2.37)
A ⋅ sinαa = 0, B ⋅ cos αa = 0
(2.38)
αa) oder cos(α
αa) nicht beide gleichzeitig
Für vorgegebene α oder E können sin(α
verschwinden, so daß sich dementsprechend zwei Klassen von Lösungen ergeben;
die symmetrischen Lösungen für:
A=0
und
cos αa = 0
(2.39)
und die antisymmetrischen Lösungen für:
B=0
und
sinαa = 0
(2.40)
π/2 mit ganzzahligem k, wodurch sich die Energieeigenwerte wie
Dies erfordert αa=kπ
folgt festlegen:
Ek =
π 2! 2k 2
, k = 1,2,3,..
8m 0 a 2
ψ ( x ) = B ⋅ cos
(2k − 1)πx
2a
bzw. ψ ( x ) = B ⋅ sin
und
(2.41)
2kπx
2a
(2.42)
Aus Gleichung (2.41) sind zwei wichtige Ergebnisse zu ziehen: Die Energie E1 des
Grundzustands, die sog. Confinement-Energie ist umgekehrt porportional zur
Teilchenmasse m0 und zum Quadrat der Topfbreite 2a.
Legt man nun eine Sperrspannung an die MQW-Probe, die ja in die i-Schicht einer
pin-Struktur eingebettet ist, so kommt es zu der schon vorher besprochenen
Verkippung der Bänder, wie es in der folgenden Abb. 2.26 für einen Quantentopf der
MQW-Struktur dargestellt ist. Zusätzlich sind in der Abb. 2.26 die Wellenfunktionen
eines Elektrons und eines Loches für die Confinement-Energien eingezeichnet:
2. Das Bändermodell im Festkörper
48
E lektronenw e llenfunktion
Lochw e llen funktion
ohn e elektrische s Fe ld
m it elektrischem Feld
Abb. 2.26 Schematische Darstellung des Bandverlaufs und der Teilchenwellenfunktionen in
einer MQW-Struktur ohne und mit angelegtem Feld.
Das Verkippen der Bänder durch Anlegen einer Spannung führt zu zwei Effekten:
Durch die Verkippung der Bänder werden die Ladungsträger räumlich stärker
beschränkt, was zu einer Absenkung der Confinement-Energie zu niedrigeren
Energien führt, ohne das die Exzitonen einer Feldionisation unterliegen. Dieses
Verhalten
resultiert
in
einer
Rotverschiebung
des
exzitonischen
Absorptionsmaximums, wie man auch in Abb. 2.27 erkennen kann, und wird als
Quantum-Confined-Stark-Effekt bezeichnet. Außerdem ist eine Verbreiterung des
Peaks zu beobachten. Die Ursache dafür liegt in der räumlichen Trennung der
Elektronen und Löcher, die wiederum zu einer Abnahme der exzitonischen
Wechselwirkung und somit zu einer geringeren Exzitonenlebensdauer führt.
Der zweite Effekt ist eine Verringerung der Absorption. Der Grund dafür ist, daß beim
Verkippen der Bänder die Überlappung der Matrixelemente von Elektron- und
Lochwellenfunktion immer geringer wird, so daß die Wahrscheinlichkeit für
Übergänge kleiner wird.
Die Auswirkungen auf das Absorptionsspektrum einer MQW-Struktur sind in Abb.
2.27 für verschiedene Felder dargestellt.
Abb. 2.27 Spektraler Verlauf der feldabhängigen Absorption einer MQW-Struktur in Folge des
Quantum-Confined-Stark Effekts.
3 Der Versuchsaufbau
3.1 Schematische Aufbau
Der in Abb. 3.1a dargestellte schematische Aufbau beinhaltet alle wesentlichen
Komponenten des Versuchs. Mit dem hier dargestellten Meßplatz lassen sich
spektrale, spannungsabhängige Transmissions- und Photostrommessungen
durchführen. Die genaue Anordnung der einzelnen Komponenten hängt natürlich von
der Art der Messung ab.
Lam pe
A usgang sspalt
E inga ngsspalt
Lin se
Ph oto Detektor
G lasfase r
Po w erm eter zur
M essung der
L ich tleistung
z
y
x
CCD-Kam era
Lin se
Abb. 3.1a. Schematische Darstellung der Versuchsanordnung
Vergrößertes
Bild der P robe
auf M on ito r
3. Der Versuchsaufbau
50
In Abb. 3.1b sind schematisch eine Vergrößerung der Probenstation und die Nadeln
zum Kontaktieren der Probe dargestellt.
G lasfase r m it xyzVerstellkom p onente zum
B eleu ch ten de r P robe
X Y Z-Ve rstellko m p onente
z
y
x
Verbindu ng d er N a deln m it
P icoam perem eter zu m An legen der
Spa nnung und zur Strom m essu ng
N ade ln zu r K ontaktierun g
der P robe
Abb. 3.1b. Vergrößerte Ansicht der Probenstation und der Nadeln zum Kontaktieren der Probe
3.2 Die einzelnen Komponenten
3.2.1 Die Lampe
Als Lichtquelle dient eine Halogenlampe (max. 10 A). Sie ist auf einem verstellbaren
Verschiebetisch angebracht, der sich in einem in der Mechanikwerkstatt gefertigten
Gehäuse befindet. Zusätzlich enthält dieses Lampengehäuse noch einen Ventilator
zur Kühlung sowie einen Ablenkspiegel, der ebenfalls auf einem Verstelltisch
befestigt ist. Das Emissionsspektrum der Lampe kann annähernd durch das eines
schwarzen Strahlers gleicher Temperatur beschrieben werden. Die dazu benötigte
Farbtemperatur der Lampe soll im Laufe des Versuchs bestimmt werden.
3.2.2 Der Monochromator
Der Monochromator ist ein TRIAX 180 von der Firma Jobin-Yvon-Spex.
Er besitzt zwei verschiedene holographische Gitter für die Wellenlängenbereiche 190
bis 1200nm und 500 bis 1500nm, sowie ein geritztes Gitter für den
Wellenlängenbereich 1000 bis 2500nm. Die Gitter befinden sich auf einem Karussell,
so daß je nach gewünschter Wellenlänge das entsprechende Gitter benutzt wird.
Am Monochromator befindet sich ein Eingangs- und ein Ausgangsspalt mit einer
Spalthöhe von 15mm und einer variablen Spaltbreite von 0 bis 2mm, verstellbar mit
einer Schrittweite von 2µm.
Die Brennweite des Monochromators beträgt 190 mm.
Das Einstellen der Gitter und der Spalte erfolgt PC-gesteuert über die im
Monochromator eingebauten Schrittmotoren.
Der Monochromator arbeitet nach dem Cross-Czerny-Prinzip (siehe Abb. 3.2a). Die
Lichtquelle wird mit einem Hohlspiegel auf den Eingangsspalt abgebildet. Im Inneren
3. Der Versuchsaufbau
51
des Monochromators wird der Eingangsspalt 1:1 auf den Ausgangsspalt abgebildet.
Dies geschieht mit Hilfe zweier Parabolspiegel. Zwischen den beiden Spiegeln ist der
Strahlengang parallel. Diese Anordnung gewährleistet, daß das Gitter, egal in welche
Position es gedreht ist, optimal ausgeleuchtet wird. Dies ist wichtig, da das
Auflösungsvermögen des Gitters λ/∆λ bekanntlich folgendermaßen von der Anzahl
der beleuchteten Spalte abhängt:
λ
= z⋅n
(1.5)
∆λ
wobei z die Zahl der im Gangunterschied benachbarter Bündel enthaltener
Wellenlängen (Ordnungszahl) und n die Anzahl der zur Interferenz gelangenden
Bündel (Anzahl der beleuchteten Spalte) ist.
Das bedeutet für ein vollkommen beleuchtetes Gitter mit 100.000 Spalten bei der
Verwendung der 1. Ordnung ein Auflösungsvermögen von 100.000, d.h. daß
Wellenlängen um 600 nm noch getrennt ausgemessen werden können, wenn sich
ihre Wellenlängen um nur
λ
600 ⋅ 10 −9 m
unterscheiden
(1.6)
∆λ =
=
= 6 ⋅ 10 −12 m = 0,006 nm
3
z⋅n
100 ⋅ 10
Dies ist jedoch leider nicht das Auflösungsvermögen des Monochromators. Dieses
hängt noch von zwei weiteren Faktoren, nämlich der Breite des Eingangsspaltes und
der Brennweite des Monochromators ab, die dem Abstand zwischen Eingangsspalt
und erstem Hohlspiegel entspricht. Je kleiner der Eingangsspalt und je größer die
Brennweite des Monochromators ist, desto höher wird das Auflösungsvermögen des
Monochromators. Da die Brennweite eine gerätespezifische, feste Größe ist, kann
man das Auflösungsvermögen also nur durch Verkleinern der Spaltgröße (was eine
Verminderung der einfallenden Intensität zur Folge hat) und der Wahl des Gitters
beeinflussen.
Bei Verwendung eines der holographischen Gitter, sowie einer Spaltöffnung von
10µm beträgt die Auflösung des Monochromators 0.3nm bei einer Dispersion von 3.6
nm/mm.
Nullte Beugungsordnung
E in gan gsspalt
D reh bare s G itte r
A usgan gsspalt
Abb.3.2a. Strahlengang im Monochromator für 0.te Beugungsordnung.
3. Der Versuchsaufbau
52
In Abb. 3.2b ist das Gitter so eingestellt, daß der rote Anteil des in der ersten
Beugungsordnung gebeugten Lichts auf den Ausgangsspalt trifft. Da der blaue Anteil
des auf das Gitter einfallenden Lichtes am Gitter unter einem kleineren Winkel
gebeugt wird, trifft er nicht mehr den Ausgangsspalt. Wie man in der Abb. 3.2b
erkennen kann, treffen der rote und der blaue Anteil um so mehr räumlich getrennt
auf den Parabolspiegel, je größer die Entfernung vom Gitter zum Spiegel
(Brennweite) ist.
Erste Beugungsordnung
Spiege l
0-te B .O .
Spiege l
E in gan gsspalt
La m p e
D reh bare s G itte r
A usgan gsspalt
Abb.3.2b. Strahlengang im Monochromator für 1.te Beugungsordnung.
In Abb. 3.2c steht das Gitter in einer solchen Position, daß der rote Anteil des Lichts
in der ersten Beugungsordnung unter dem gleichen Winkel gebeugt wird wie der
blaue Anteil in der zweiten Beugungsordnung. In diesem Fall trifft also rotes und
blaues Licht auf den Ausgangsspalt. Der Leser sollte sich an dieser Stelle Gedanken
darüber machen, welche Maßnahmen man zu treffen wären, um dies zu vermeiden.
3. Der Versuchsaufbau
53
Erste u. zw eite Beugungsordnung
0-
te
B.
O
.
Sp ieg e l
Sp ieg e l
E in g a n g sspa lt
Lam pe
D re h b a re s G itte r
A u sg an g ssp a lt
Abb.3.2c. Strahlengang im Monochromator für 1.te und 2.te Beugungsordnung
3.2.3 Die Faser
Bei der Versuchsdurchführung wird zum Lichttransport von der Lichtquelle zur Probe
eine Glasfaser mit 50 µm Kerndurchmesser verwendet. Die Faser bietet die
Möglichkeit, den Aufbau flexibler zu gestalten. So ist es z.B. nicht nötig, alle
Komponenten von der Lampe bis zum optischen Meßkopf auf einer optischen Achse
zu montieren. Eine x-y-z-Verstellkomponente am Ende der Faser ermöglicht
zusätzlich das Justieren des Leuchtspots auf der Probe. Ein weiterer Vorteil der
Glasfaser ist, daß auf kurzen Weglängen von wenigen Metern so gut wie kein Verlust
von optischer Leistung zu merken ist. So beträgt die Dämpfung einer StandardSingle-Mode-Faser (die ein Dämpfungsminimum bei λ=1,55 nm besitzt) ca. 0,2
dB/km, d.h. nach 100 km wird die Lichtleistung um ca. 20 dB , also 2
Größenordnungen, abgeschwächt.
a) Funktionsprinzip und Aufbau der Faser9
Die verlustarme Lichtleitung in einer Glasfaser beruht auf dem Prinzip der
Totalreflexion: Wenn ein Lichtstrahl in einem Medium mit dem Brechungsindex n1 auf
die Grenzfläche zu einem optisch dünneren, d.h. zu einem mit kleinerem
Brechungsindex n2, fällt und der Einfallswinkel θ dabei den kritischen Winkel θk
(Winkel der Totalreflexion) überschreitet, der durch die Gleichung
sin θk = n2 / n1
9
(3.1)
Die folgenden Betrachtungen über Glasfasern sind aus den entsprechenden Kapiteln der
Zulassungsarbeit von R. Amman entnommen.
3. Der Versuchsaufbau
54
gegeben ist , wird der gesamte Strahl reflektiert.
Denn während bei Einfallswinkel θ < θk der Strahl nach dem Gesetz von Snellius
sin θ n2
=
(3.2)
sin α n1
mit einem Ausfallswinkel α < 90° wie in Abb. 3.3 gebrochen wird, erreicht α beim
Einfallswinkel θk den Wert 90°. Das bedeutet , daß das Licht sich nicht mehr in das
angrenzende Medium ausbreitet, sondern im ursprünglichen bleibt, also wie in Abb.
3.3 vollständig reflektiert werden muß.
n1
θ < θk
B re ch un g
n2
n1
θ > θk
To ta re fle xio n
α
θ
n2
θ
Abb. 3.3. Strahlengang an der Grenzfläche von einem optisch dichteren zu einem dünneren
Medium. Hierbei bezeichnen n1>n2 die Brechungsindizes, θ den Einfallswinkel, α den
Ausfallswinkel und θk den kritischen Winkel.
Eine Glasfaser nutzt diesen Effekt, um Lichtstrahlen in ihrem Inneren so
gefangenzuhalten, daß sie sich zwar entlang der Faser nahezu verlustfrei
fortbewegen, sie aber - außer am Faserende - nicht verlassen können. Zu diesem
Zweck besteht sie, wie Abb. 3.4 zeigt, aus einem Kern, genannt „Core“, umgeben
von einer optisch dünneren Hülle , dem „Cladding“.
C la dding
C ore
C la dding
a)
b)
Abb. 3.4. Aufbau einer Glasfaser. a) Querschnitt. b) Längsschnitt. Das Cladding hat einen niedrigeren Brechungsindex als der Core.
Wenn der Brechungsindex im gesamten Core konstant ist und erst an der Grenze
zum Cladding abrupt wechselt, so spricht man von einer ,,step-index"- oder
abgekürzt ,,SI"-Faser. In Abb. 3.5 ist der Strahlengang eines in einer solchen Faser
geführten Strahls dargestellt.
n2
n0
θ
β
n1
n2
Abb. 3.5. Strahlengang eines in einer SI-Faser geführten Lichtstrahls. β Einkoppelwinkel.
θ Einfallswinkel auf die Grenze zwischen Core und Cladding. n0, n1, n2 Brechungsindex mit n1 >
n 2.
3. Der Versuchsaufbau
55
Unter welchem maximalen Einfallswinkel βmax von einem Medium mit dem
Brechungsindex n0 aus Licht auf die Stirnfläche einer Glasfaser treffen darf, damit es
noch ,,gefangen" werden kann, geht aus der numerischen Apertur NA der
betreffenden Faser hervor. Sie ist definiert als
N A = n0 sin βmax,
(3.3)
und läßt sich aus dem Brechungsindex des Cores und des Claddings berechnen.
Bei einer SI-Faser wie in Abb. 3.5 ist – mit den dortigen Bezeichnungen - β = βmax
erreicht, wenn θ = θk gilt, so daß man mit Hilfe der Aussage (3.1) und (3.2)
NA = n0 sin βmax = n1 sin(90° − θk ) = n1 cos θk = n1 − n2
2
2
(3.4)
erhält. Für die am Versuchsaufbau benutzte 50 µ-Faser beträgt der maximale
Akzeptanzwinkel βmax ≈ 12° .
b) Weitere Bemerkungen
Ein gemäß der numerischen Apertur genügend kleiner Einkoppelwinkel ist zwar
notwendig, um einen Lichtstrahl in einer Glasfaser einzusperren, jedoch noch nicht
hinreichend dafür, daß er sich auch darin fortbewegen kann. Dies ist nur bei den
Strahlrichtungen möglich, die zusätzlich einer der wellenoptischen ,,Moden" der
Faser entsprechen. Als Moden eines Wellenleiters bezeichnet man die
elektromagnetischen Feldverteilungen, die unter Berücksichtigung seiner speziellen
Gegebenheiten die Wellengleichung erfüllen. Die Ausbreitungsrichtung der Strahlung
ist dabei für jede Mode eine andere.
Um die Moden einer bestimmten Glasfaser zu berechnen, benötigt man die
Randbedingungen für die zylindrische Geometrie von Core und Cladding sowie
deren Materialkonstanten wie z.B. die Brechungsindizes. Bezüglich der Anzahl der
Moden ergibt sich dabei folgendes: Je größer der Core-Durchmesser und die
numerische Apertur, die ja wiederum mit der Differenz der Brechungsindizes wächst,
desto mehr Moden können sich entlang der Faser ausbreiten. Mit steigender
Wellenlänge des eingekoppelten Lichts dagegen nimmt die Anzahl der geführten
Moden ab.
Bewegen sich in einer Faser mehrere Moden fort, so legt vom Faseranfang bis zum
Faserende aufgrund ihrer unterschiedlichen Ausbreitungsrichtungen jede eine
andere Weglänge zurück. Bei einer SI-Faser, in der wegen des konstanten
Brechungsindex des Cores die Ausbreitungsgeschwindigkeit für alle Moden gleich
ist, kommen sie daher zu unterschiedlichen Zeiten am Faserende an. Schickt man
gepulstes Licht durch die Faser, so bewirkt dieser Effekt eine Pulsaufweitung (dieser
Effekt wird als Modendispersion bezeichnet).
Obiges Problem kann umgangen werden, wenn man eine Glasfaser verwendet,
deren Core-Durchmesser und numerische Apertur so klein sind, daß die Faser bei
der gewünschten Wellenlänge nur noch eine einzige Mode führt. Eine solche Faser
bezeichnet man als ,,Singlemode"-, eine, die die Ausbreitung mehrerer Moden
erlaubt, als ,,Multimode"-Faser. Aufgrund ihrer kleinen numerischen Apertur kann in
Singlemodefasern nur mit den annähernd punktförmigen Laserlichtquellen eine
nennenswerte optische Leistung eingekoppelt werden. Die maximal transportierbare
3. Der Versuchsaufbau
56
Lichtleistung liegt bei Multimodefasern höher als bei Singlemodefasern, da letztere
wegen des erheblich kleineren Coredurchmessers leichter beschädigt oder gar
zerstört werden.
Charakteristisch für eine Glasfaser ist neben numerischer Apertur und
Pulsaufweitung die Abschwächung, die durch Absorption, Streuung und
geometrische Effekte bewirkt wird. Die meisten Ursachen für die Abschwächung sind
material- und herstellungsbedingt, doch eine läßt sich durch geeignete Handhabung
vermeiden: Weist eine Glasfaser eine Biegung auf, so wird dort, wie Abb. 3.6 zeigt,
der Einfallswinkel eines Strahls auf die Grenze zwischen Core und Cladding kleiner
als er im geraden Teil der Faser war. Bei einem entsprechend engen Kurvenradius
wird dadurch der kritische Winkel der Totalreflexion unterschritten, und ein Teil der
Strahlung geht verloren. Sobald jedoch die Radien mindestens 10 cm betragen, sind
die Verluste zu vernachlässigen.
θ1
θ2
r
Abb. 3.6. Strahlengang in einem gebogenen Core. r Kurvenradius.θ1, θ2 Einfallswinkel des
Strahls auf die Grenze zum Cladding mit θ2 < θκ <θ1 wobei θκ der Grenzwinkel Totalreflexion ist
Herstellungsmaterialien für ,,Glasfasern" sind Glas und Kunststoff, die mit anderen
Stoffen versetzt werden, um die gewünschten Unterschiede in den Brechungsindizes
zu erhalten. Dabei können Core und Cladding entweder beide aus Glas, beide aus
Kunststoff oder der Core aus Glas und das Cladding aus Kunststoff bestehen, was
man als ,,PCS"-Faser für ,,plastic cladded silica" bezeichnet.
3.2.4 Die CCD-Kamera
Da das Kontaktieren der Probe , so wie das Justieren des aus dem Faserende
kommenden Lichtspots auf Grund der Größenverhältnisse mit dem bloßem Auge
nicht mehr möglich ist, erzeugt man ein reelles vergrößertes Bild, das auf eine CCDKamera abgebildet wird und auf einem Monitor betrachtet werden kann. Auf ein
mögliches Funktionsprinzip einer CCD-Kamera10 soll im Folgenden kurz
eingegangen werden.
CCD-Bildsensoren (CCD = charge coupled devices) bestehen im Prinzip aus
vertikalen Spalten von lichtempfindlichen Detektorelementen mit jeweils einem
analogen CCD-Schieberegister (Speicherteil). Ein weiteres horizontales CCD dient
zur Parallel-Seriell-Umsetzung und zum Transport der Signale zur Ausgangsstufe (s.
Abb. 3.7) . Die vertikalen CCDs werden mit der Zeilenfrequenz des Sensors getaktet;
das horizontale CCD arbeitet mit der Auslesefrequenz, die um den Faktor der
Spaltenzahl höher ist als die Zeilenfrequenz. Das horizontale CCD muß gegen von
außen einfallendes Licht abgedeckt werden, damit keine unerwünschten
Ladungsträger erzeugt werden.
10
Genauere Informationen über CCD´ s in Winstel, Optoelektronik.
3. Der Versuchsaufbau
S ensor
Speicherteil
Das CCD selbst ist ein Halbleiterbauelement. Während
der Integrationszeit wird durch Lichteinfall im Bauelement
(z.B. pin-Diode) ein Elektron-Loch-Paar erzeugt. In der
Auslesephase werden die so erzeugten Ladungsträger
über das Schieberegister zum Auslese-CCD transportiert.
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, daß es neben dem
hier beschriebenen Bildsensor, der nach dem InterlineTransfer (IT) Prinzip arbeitet, auch noch auf andere Weise
arbeitende Bildsensoren gibt.
57
A usleseteil
Abb.
3.7
Schematischer
Aufbau eines flächenhaften
CCD-Bildsenrors nach dem
IT-Prinzip
3.2.5 Der Photodetektor mit Powermeter
Um das Spektrum der Lichtquelle zu vermessen, benötigt man ein Meßgerät, das die
optische Leistung in Abhängigkeit von der Wellenlänge bestimmen kann. Im Versuch
stehen dazu zwei Photo-Detektor-Meßköpfe zur Verfügung, die auf dem Prinzip der
Photonendetektion beruhen. Eine andere Art von Detektoren sind die thermischen
Detektoren, deren Funktionsprinzip auf der Messung der durch Anregung von
Gitterschwingungen resultierenden Temperaturerhöhung beruht.
Die sogenannten Photonendetektoren, die auch als Quanten- oder
Teilchendetektoren bezeichnet werden, basieren auf der direkten Wechselwirkung
zwischen den auftreffenden Photonen und den Elektronen des Detektorkristalls.
Durch die Absorption der Photonen werden freie Ladungsträger erzeugt oder
angeregt, was zu einer meßbaren Änderung der Leitfähigkeit führt. Hier wird nun
noch einmal nach Detektoren mit äußerem Photoeffekt, bei denen Elektronen, die
durch Absorption eines Photons aus dem Kristall herausgelöst und von einer Anode
abgesaugt werden, und nach Detektoren mit innerem Photoeffekt unterschieden. Bei
letzteren werden Ladungsträger durch die Absorption von Photonen von einem
Zustand niedriger Beweglichkeit in einen Zustand höherer Beweglichkeit angehoben.
Erfolgt die Anregung vom Valenzband in das Leitungsband, so spricht man von
intrinsischen Photodetektoren. Bei Übergängen von Donator- bzw Azeptorniveaus in
das Leitungs- bzw. Valenzband spricht man von extrinsischen Photodetektoren, da
diese Energiezustände außerhalb der erlaubten Bänder liegen. Da die Photonen eine
Mindestenergie νc (cutt-off Frequenz) besitzen müssen, um überhaupt freie
Ladungsträger erzeugen zu können (bei intrinsischen Photodetektoren gerade die
Bandlückenenergie Eg), sind die Detektoren erst für eine Frequenz ν>νc empfindlich.
In unserem Fall stehen ein Si-Photodetektor mit einem Meßbereich von 450 – 1020
nm und ein Ge-Photodetektor mit einem Meßbereich von 900 – 1700 nm zur
Verfügung. Bei diesen sogenannten Sperrschichtdetektoren wird ein internes
elektrisches Feld zur Trennung bzw. Sammlung der photogenerierten Ladungsträger
ausgenützt (siehe auch Kapitel 2. Die Photodiode). Die in der Raumladungszone des
pn-Übergang getrennten Ladungsträgers tragen ohne innere Verstärkung zum
Photostrom bei. Der externe Quantenwirkungsgrad ηext ergibt sich aus dem
3. Der Versuchsaufbau
58
Verhältnis der Zahl der in der Sperrschicht erzeugten Ladungsträger, die zum
Photostrom beitragen und der Zahl der auftreffenden Photonen:
η ext =
j Photo / e
POpt / !ω
(3.5)
Die sogenannte Responsivität R einer Photodiode ergibt sich aus dem Verhältnis
zwischen dem Photostrom und der auftreffenden Strahlungsleistung:
R=
j Photo η ext ⋅ e η ext ⋅ e ⋅ λ
=
=
!ω
POpt
h⋅c
(3.6)
Aus diesen beiden Gleichungen erhält man folgenden einfachen Zusammenhang
zwischen der eingestrahlten optischen Leistung POpt und dem resultierenden
Photostrom jPhoto :
POpt =
⋅h ⋅c
j Photo
j
= Photo
ext
R
η ⋅e⋅λ
(3.7)
Möchte man die optische Leistung aus dem Photostrom ermitteln, muß die
Wellenlänge der Strahlung bekannt sein. Aus diesem Grund muß man dem
Powermeter immer die zu detektierende Wellenlänge mitteilen.
3.2.6 Das Picoamperemeter mit eingebauter Spannungsquelle
Das Picoamperemeter von Hewlett&Packard ist im Prinzip ein Strommeßgerät, mit
dem allerdings Ströme bis in den Bereich von 10-12 A gemessen werden können.
Zusätzlich ist in das Gerät eine Spannungsquelle integriert, so daß man damit z.B.
die Strom-Spannungs-Kennlinie einer pin-Diode zu messen kann.
3.2.7 HP-VEE-Steuerungssoftware
Sämtliche Meßgeräte sowie der Monochromator besitzen sog. IEEE-Schnittstellen,
so daß es möglich ist, mit Hilfe eines PCs die Monochromatorsteuerung und das
Auslesen der verschiedenen Meßgeräte zu synchronisieren, um möglichst schnell
und einfach eine große Anzahl von Einzelmessungen durchzuführen und die
Ergebnisse zu speichern. Realisiert wird dies mit einer modernen MeßprogrammErstellungs-Software, HP-VEE von Hewlett &Packard. HP-VEE ist eine graphisch
orientierte Programmier-Sprache, die durch vorgefertigte „Module“ wie z.B. „If/ThenAbfragen oder Schleifen-Befehlen das Programmieren von Meßprogrammen extrem
vereinfacht.
Während der Entwicklung des Versuchs wurden mit HP-VEE neue Programme zur
Ansteuerung der verschiedenen Hardwarekomponenten geschrieben, sowie durch
Modifikation schon vorhandener Programme und dem Hinzufügen neuer
Programmteile ein aufwendiges Meßprogramm erstellt, das die Messung der
Absorption
sowohl
durch
Transmissionsmessungen
als
auch
durch
Photostrommessungen ermöglicht.
3. Der Versuchsaufbau
59
Im Laufe des Versuchs soll nach einer kurzen Einführung in HP-VEE selbständig ein
kurzes Meßprogramm erstellt werden, um einen kleinen Einblick in eine moderne
Meßsoftware zu geben.
3.2.8 Die Proben
Für die Untersuchung des Absorptionsverhaltens eines Halbleiters durch spektrale
Transmissionsmessungen würde schon eine dünne Schicht des zu untersuchenden
Halbleiters ausreichen. Man möchte aber auch die Absorption über die in der Probe
generierten Photoströme, sowie Abhängigkeit der Absorption vom Anlegen einer
Spannung, untersuchen. Dazu benötigt man auf der Probe Kontakte, an denen die
Spannung angelegt, bzw. der Strom abgegriffen werden kann.
Sogenannte p-i-n-Strukturen sind dafür sehr gut geeignet. Eine p-i-n-Struktur ist eine
Schichtabfolge von Halbleitern, wobei die oberste Schicht p-dotiertes AlGaAs, die
mittlere Schicht intrinsisches GaAs und die unterste Schicht n-dotiertes AlGaAs ist.
Diese Schichtabfolge stellt einen pn-Übergang mit einer intrinsischen
Zwischenschicht dar. Bei der Untersuchung des Absorptionsverhaltens von GAAs
durch spektralen Transmissionsmessungen ist nur die intrinsische GaAs-Schicht
interessant. Da die Bandlückenenergie von AlGaAs höher ist als die von GaAs,
stören die umliegende p- und n-Schicht die Untersuchung nicht, da AlGaAs für den
Wellenlängenbereich, in dem die Bandlückenenergie von GaAs liegt, durchsichtig ist
(keine Absorption in AlGaAs unterhalb der Bandlückenenergie). Das Messen von
Photoströmen sowie die Untersuchung der spannungsabhängigen Absorption wird
mit Hilfe des pn-Übergangs realisiert. Durch Metall-Kontakte, die auf der p- und auf
der n-Schicht aufgebracht sind, ist es möglich, die durch Lichtabsorption in der iSchicht induzierten Photoströme zu messen. Durch das Anlegen verschiedener
Spannungen an der Probe ist es außerdem möglich, das interne elektrische Feld des
pn-Übergangs zu variieren und somit das Absorptionsverhalten in der i-Schicht zu
beeinflußen.
In Wirklichkeit ist die gerade geschilderte Schichtabfolge aus technischen Gründen
etwas komplexer. In Abb. 3.8a ist die genaue Schichtabfolge der pin-Struktur, sowie
der Bandverlauf für Leitungs- und Valenzband für verschiedene angelegte
Spannungen dargestellt.
+
p - G aAs
d= 10 nm
p - Al G a0 ,6 As
d= 500 nm
0 ,4
18
~2 0 kV /cm
-3
p=1*10 cm
i - Al 0 ,4Ga 0 ,6As
d = 100 nm
i - G aA s
d= 500 nm
i - Al0 ,4 Ga0 ,6 As
d = 100 nm
n - Al 0 ,4G a0 ,6 As
d=1000 nm
18
-3
~1 00 kV /cm
n=1*10 cm
i - AlAs - Bu ffer
d=100nm
GaAs S ubstrat
Abb. 3.8a Schichtabfolge der p-i-n-Probe und zugehörige Bandstruktur im Ortsraum.
3. Der Versuchsaufbau
60
Direkt auf dem Substrat ist eine AlAs-Schicht abgeschieden. Sie ermöglicht das
Ablösen der Probe vom Substrat (siehe Probenprocessing). Danach kommt die nSchicht (n-dotiertes AlGaAs). Die eigentliche i-Schicht (GaAs), in der die Absorption
vermessen werden soll, ist umgeben von zwei intrinsischen AlGaAs-Schichten, dem
sogenannten Cladding. Durch das Cladding wird eine Ansammlung freier
Ladungsträger an der Heterogrenzfläche AlGaAs/GaAs verhindert, so daß man ein
wirklich konstantes Feld in der GaAs-Schicht erhält. Nach der oberen CladdingSchicht kommt die p-Schicht (p-dotiertes AlGaAs). Zum Schluß ist noch eine sehr
dünne GaAs-Schicht zur besseren Kontaktierung der p-Schicht aufgewachsen.
Zur Messung des schon im zweiten Kapitel angesprochenen Quanten-ConfinedStark-Effekts steht eine weitere Probe, die p-iMQW-n-Struktur zur Verfügung. Diese
besitzt dieselbe Makrostruktur wie die pin-Struktur. Zusätzlich ist aber in der i-Schicht
(zwischen dem Cladding) eine Abfolge von abwechselnden GaAs/AlGaAs-Schichten
aufgewachsen. Wie man in Abb. 3.8b erkennen kann, hat dies eine Modulation der
Bandstruktur in Wachstumsrichtung zur Folge, die eine Abfolge von „Quantentöpfen“
darstellt. Daher der Name p-iMQW ((Multiple-Quantum-Well)-n-Struktur.
+
p - G aAs
d= 10 nm
p - Al G a0 ,6 As
d= 500 n m
0 ,4
18
-3
i - G aAs
d = 10 nm
i - Al 0 ,5G a0 ,5As
d= 1 nm
i - G aAs
d = 10 nm
i - Al0 ,5 G a0 ,5As
d=
i - Al0 ,4 G a0 ,6 As
d= 400 nm
n - Al 0 ,4G a0 ,6 As
1 nm
50 G aA s/A lG aA sD oppelschich ten
p =1*10 cm
d=1000 n m
18
-3
n =1*10 cm
i - AlAs - Bu ffer
d =100nm
GaAs S ubstrat
Abb. 3.8b Schichtabfolge der MQW-Probe und zugehörige Bandstruktur im Ortsraum.
Zusätzlich ist auf beiden Proben noch eine PI-Schicht zum Schutz der Probe, sowie
eine ARC-Schicht (Anti-Reflection-Coating) zur Reflexionsverminderung aufgetragen.
a) Herstellung der Probe
Beide Proben wurden am Institut für Technische Physik im MolekularstrahlepitaxieVerfahren hergestellt und im institutseigenen Reinraum bearbeitet.
Die Molekularstrahlepitaxie (MBE=molecular beam epitaxy) ist heute neben der
MOVPE (metal organic vapour phase epitaxy) das weitverbreitetste und exakteste
Verfahren zur Herstellung von Halbleiterstrukturen. In einer mit flüssigem Stickstoff
gekühlten UHV-Kammer (Druck <10-8 Pa) befindet sich auf einem rotierenden Halter
das GaAs-Substrat. Um die Oberflächenbeweglichkeit der auftreffenden Atome bzw.
3. Der Versuchsaufbau
61
Moleküle zu erhöhen, wird das Substrat auf ca. 500°- 600° C aufgeheizt. Aus
sogenannten Effusionszellen (beheizbare Materialtiegel) werden dann die einzelnen
Komponenten des III-V-Halbleiters (Gallium, Arsen, Aluminium, Indium) und ebenso
die Dotierstoffe, wie z.B. Silizium für die n-Dotierung und Berillium für die pDotierung, verdampft. Über die Temperatur der Effusionszellen kann der Dampfdruck
und damit der Fluß des Molekularstrahls eingestellt werden. Durch Öffnen und
Schließen von mechanischen Verschlüssen an den Ausgängen der Effusionszelle,
den sogenannten Shuttern, läßt sich das Schichtwachstum steuern. Die
Wachstumsgeschwindigkeit liegt im allgemeinen zwischen 0.5 µm/h und 1 µm/h, was
umgerechnet ungefähr einer Monolage pro Sekunde entspricht. Die geringe
Wachstumsgeschwindigkeit und das Aufwachsen in Schichten ermöglicht es, von
Atomlage zu Atomlage die Zusammensetzung der Übergitterstruktur und die
Dotierkonzentration zu ändern. In der folgenden Abbildung ist der schematische
Aufbau einer MBE-Anlage dargestellt.
Abb. 3.9 Schematischer Aufbau einer MBE-Anlage (Aus M. Kneissl, Diplpmarbeit S.5)
b) Design der Proben / Probenprocessing
Nachdem die Probe fertig gewachsen ist, ist man oft daran interessiert, die
Halbleiterstruktur zu strukturieren. Dies geschieht mit photolithographischen
Methoden sowie durch das Aufdampfen weiterer Materialien. Dies soll anhand der
Herstellung von Kontakten an der pin-Probe im Folgenden kurz schematisch erläutert
werden.
Da die pin-Probe im Prinzip einen pn-Übergang darstellt, muß man z.B. zur Messung
der Kennlinie die p-Schicht bzw. die n-Schicht kontaktieren, um eine Spannung
anlegen zu können. Dies wird folgendermaßen realisiert: Die noch nicht behandelte
Probe liegt anfangs wie in Abb. 3.11a vor. Da die n-Schicht von i- und p-Schicht
verdeckt ist, müssen diese Schichten teilweise entfernt werden, um an die n-Schicht
zu gelangen. Dafür wird auf die Probenoberseite, also auf die p-Schicht, ein
Photolack aufgeschleudert. Nun wird die Probe durch eine sogenannte „Maske“
belichtet. Diese Maske, die aufgrund der sehr kleinen Dimensionen der Probe (ca.
1mm2) ebenfalls sehr klein sein muß, wird mit Hilfe eines Laserscanners hergestellt,
der Strukturen im Bereich von µm darstellen kann. Würde man alle Masken
übereinander legen, ergäbe sich das in Abb. 3.10a dargestellte Bild. In Abb. 3.10b im
Vergleich dazu ein SEM-Bild (Elektronen Mikroskop Aufbahme) der pin-Probe zu
sehen.
3. Der Versuchsaufbau
a)
62
b)
1 mm
K on taktpad
ARCFe nste r
p
1 mm
K on taktpad
2 50 µm
p
K ontaktpad
n
n
2 50 µm
K ontaktpa d
5 00 µm
Abb. 3.10 a) Schematische Darstellung der Masken, b) SEM-Bild der Probe
Nach der Belichtung wird die Probe in eine Lösung gelegt, die den unbelichteten
Photolack entfernt. Danach wird die Probe in eine Ätze gelegt, die den belichteten
Photolack nicht angreift. Durch die genaue Kenntnis der Ätzgeschwindigkeit kann
man die Ätztiefe über die Ätzdauer festlegen. Durch diesen Vorgang ist es möglich,
genau bis auf die n-Schicht hinunterzuätzen. Nun wird mit Hilfe weiterer Masken an
bestimmten Stellen Metall für die Kontakte aufgedampft. Dabei werden die Kontakte
auf der p-Schicht auf das Niveau der n-Schichtkontakte hinuntergezogen. Die
Kontakte erhalten eine zusätzliche Vergrößerung, die sogenannten Kontaktpads, die
das spätere Kontaktieren mit Nadelspitzen erleichtern sollen. Durch beliebiges
Wiederholen der gerade erwähnten Schritte wie Belichten, Ätzen, Aufdampfen von
Kontakten, usw. lassen sich die verschiedensten Strukturen herstellen. Dieser
Prozeß ist in der folgenden Abbildung 3.11a-d für die Strukturierung der pin-Probe
schematisch dargestellt.
3. Der Versuchsaufbau
63
B elich ten
M aske
P h otolack
p -S chich t
p -S chich t
i-S ch ich t
i-S ch ich t
n -S chich t
n -S chich t
a) Unstrukturierte Probe
belichteter
P hotolack
b) Belichten der m it Photolack
versehenen Probe
p-K ontakte
p -S chich t
p -S chich t
i-S ch ich t
i-S ch ich t
n -S chich t
n -S chich t
n-K ontakte
c) Ätzen auf n-Schicht
d) Entfernen des belichteten
Photolacks und Aufdam pfen der
Kontakte m it Hilfe geeigneter M asken
Abb. 3.11 Probenprocessing
c) Lift-Off
Ist die Probe fertig strukturiert, wird noch der sogenannte „Lift-off“ durchgeführt.
Darunter versteht man die Ablösung der eigentlichen Probe vom Substrat. Für diesen
Vorgang ist zwischen dem Substrat und der n-Schicht noch eine 100 nm dicke AlAsSchicht eingefügt.
Zuerst wird auf die Probe eine Wachsschicht aufgebracht. Danach legt man sie in
Flußsäure, so daß die AlAs -Schicht weggeätzt wird. Im Idealfall löst sich die Probe
vom Substrat und kann mittels einer Nadel, die man in die vorher aufgebrachte
Wachsschicht sticht, aus der Flußsäure holen. Die Probe, die ohne Substrat nur noch
eine Dicke von 2,2 µm besitzt, wird nun auf eine Glasscheibe aufgeklebt. Danach
wird die Wachsschicht wieder entfernt. Die Probe kann nun in Transmission
vermessen werden.
Jetzt kanns losgehen, viel Spaß!
4 Anhang
A.
Materialparameter GaAs
Bandlückenenergie bei 300 K (Raumtemperatur)
Egap = 1.423 eV
λgap=873 nm
Effektive Ladungsträgermassen im Γ-Punkt
me* = 0.067 m0
mlh* = 0.094 m0
B re ch u n gsind e x n r
Brechungsindex nr von GaAs und AlxGa1-xAs:
Abb. A1 Brechungsindex nr von GaAs und AlxGa1-xAs mit einem Al-Anteil von 10%, 20% und
30% (Aus Kiesel, Doktorarbeit, S.220).
4. Anhang
B.
65
Materialparameter AlxGa1-xAs
Bandlückenenergie bei 300 K (Raumtemperatur)
E g ap (eV )
1.24 ⋅ x für 0 ≤ x < 0.45


GaAs
+
E gap

1.24 + 1.147 ⋅ ( x − 0.45) für 0.45 < x ≤ 1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
x-G eh alt (% )
Abb. B1 Bandlücke von AlxGa1-xAs als Funktion des Al-Anteils x für T=300 K berechnet mit
obiger Formel (Aus Kiesel, Doktorarbeit, S.220).
Effektive Ladungsträgermassen im Γ-Punkt
4. Anhang
C.
Naturkonstanten
c = 2.997925 108 m/s
Lichtgeschwindigkeit
e = 1.60219 10-19 As
Elementarladung
h = 6.6262 10-34 Js
Planksche Konstante
! = h/2π = 1.05459 10-34 J/K
= 6.58218 10-16 eVs
k = 1.380662 10-23 J/K
= 8.617343 10-31 kg
Boltzmannkonstante
m0 = 9.10956 10-31 kg
Ruhemasse des Elektrons
66
Literaturverzeichnis
R. Amman. ZA
M. Kneissl. Elektroabsorption in Quantentopfstrukturen unter Einfluß schichtparalleler
elektrischer Felder und deren Anwendung in elektrooptischen Modulatoren. Elangen:
Lehrstuhl für Mikrocharakterisierung, Friedrich Alexander Universität, 1997 (Physik
mikrostrukturierter Halbleiter, Bd. 1).
F. K. Kneubühl. Repetitorium der Physik. Stuttgart: Teubner, 1990.
L. Bergmann u. C. Schaefer. Lehrbuch der Experimentalphysik. Optik und
Atomphysik, Bd. III, Erster Teil Wellenoptik. Berlin: Walter de Gruyter & Co., 1962.
Ch. Gerthsen, H. O. Kneser und H. Vogel. Physik. Ein Lehrbuch zum Gebrauch
neben Vorlesungen. Berlin: Springer, 1992.
K. J. Ebeling. Integrierte Optoelektronik. Wellenleiteroptik, Photonik, Halbleiter.
Berlin: Springer, 1989.
H. Ibach u. H. Lüth. Festkörperphysik. Einführung in die Grundlagen. Berlin:
Springer, 1995.
Ch. Kittel. Einführung in die Festkörperphysik. München: Oldenbourg, 1996.
R. Müller. Grundlagen der Halbleiterelektronik. Berlin: Springer, 1991 (HalbleiterElektronik, Bd. 1).
H. Wegener. Physik für Hochschulanfänger. Stuttgart: Teubner, 1989 (TeubnerStudienbücher: Physik).
P. Kiesel. Opto-elektronische Untersuchungen an Schwachdotierten GaAs n-i-p-i
Strukturen. Diplomarbeit. Erlangen: Institiut für technische Physik, 1989.
P.Kiesel. Elektro-optische Modulation und bistabiles optisches Schaltverhalten in
p-i-n und n-i-p-i Strukturen – Schlüsselkomponeneten für die Photonik -.Doktorarbeit.
Erlangen. Institut für Technische Physik, 1993.
G. Winstel u. C. Weyrich. Optoelektronik I. Lumineszenz- und Laserdioden. Berlin:
Springer, 1981 (Halbleiter-Elektronik Bd. 10).
M. Kneissl. Dipl. Arbeit
21. IFF - Ferienkurs.