DAS DREIECK DER GESCHWINDIGKEITEN

DAS DREIECK DER GESCHWINDIGKEITEN
und
die mathematische Ungenauigkeit der Lorentztransformation
in die spezielle Relativitätstheorie
Aleksandar Vukelja
[email protected]
www.masstheory.org
August 2007
Über Autorenrechte:
Das Werk ist im öffentlichen Bereich.
Abstract
Die Lorentztransformation im Rahmen die spezielle Relativitätstheorie ist keine genaue Menge von
Gleichungen. Dieses Werkt stellt einen allgemeinen Nachweis über die Ungenauigkeit, unabhängig von
der Prozedur der Ausführung.
Der Autor stellt eine neue Lösung dar, unter dem Namen „Dreieck der Geschwindigkeiten“, welche die
logische und mathematisch genaue Deutung der Lorentztransformation bildet.
2
1. Das Dreieck der Geschwindigkeiten
Die linearen Gleichungen, die als Grundlage für die Ausführung der Transformation der Koordinaten
genommen werden,
x ' =A xBt
t ' =Cx D t
(1.1)
haben eine sehr einfache mathematische Lösung, die wir jetzt ableiten werden. Der Schlüssel für die
Ableitung liegt in der Tatsache, dass diese Gleichungen keine Information darüber enthalten, wie die x
und x ' Koordinaten gegenseitig orientiert sind.
Den Dreieck in der Abbildung bilden zwei Koordinatensysteme K und K ' die entlang der
vorgegebenen Richtung wandern, mit einer konstanten relativen Geschwindigkeit v . Die Zeit stellen
wir auf Null in beiden Systemen ein, zum Zeitpunkt wenn die Koordinatensysteme aneinander
vorbeigehen ( t=0 , t '=0 wenn x=0 , x ' =0 ist).
Zur Definition des Dreiecks verwenden wir folgendes: ein materieller Punkt wandert mit der
Geschwindigkeit v entlang MN, während der Lichtstrahl mit der Geschwindigkeit c entlang MO für
dieselbe Zeit t . Die Idee ist, dass wir Geschwindigkeiten v und c verwenden, um den Winkel
zwischen zwei Systemen zu definieren.
M
ct
vt
K
x
N
K'
ϕ
⃗v
O
x'
Der Winkel  ist dann mit s i n =
vt v
= definiert. Wegen des trigonometrischen Verhältnisses
ct c
2
2
s i n c o s =1 haben wir:

v2
c o s= 1 − 2
c
(1.2)
Die Gleichung (1.2) wird die Hauptrolle in der Transformation der Koordinaten spielen (1.1), da sie
ausweist, wie sich die Längen in K ' zu den Längen in K verhalten. Die erste Gleichung aus 1.1.
können wir schreiben als:
B
x ' = A x−− t .
A
3
(1.3)
Für alle Ereignisse in der Grundlage K ' haben wir x ' =0 und x=v t . Durch den Wechsel in (1.3)
B
finden wir, dass die Geschwindigkeit K ' relativ gegenüber K v =−
beträgt, und wird auf (1.3):
A
x '= A x−vt 
(1.4)
Es gibt eine Symmetrie im Sinne, dass die Geschwindigkeit des beliebigen materiellen Punkts in beiden
Systemen dieselbe sein muss, aber gegensätzlichen Zeichens: NO /t=−OM /t ' . In der differentialen
Form schreibend, bekommen wir:
v=
d  AxBt 
dx
B
dx '
=− =−
=−
dt
A
dt '
d Cx Dt 
(1.5)
Für alle Ereignisse in der Grundlage K , haben wir x=0 , und aus (1.5) folgt:
B B
=
oder A =D .
A D
(1.6)
Ferner können wir die andere Gleichung aus (1.1) in folgender Form schreiben:
t ' =AtEx 
(1.7)
wo E =C / A ist. Um E zu finden, führen wir Ereignisse ein, an denen die Lichtstrahlen beteiligt sind.
Wir fordern, dass die Transformation gültig sein muss für alle Ereignisse, in denen folgendes gilt:
x=c t
(1.8)
x ' =c t '
(1.9)
Dies sind gültige Ereignisse im Dreieck, wie es durch Beispiele gezeigt wurde, nach diesem Verfahren
v
der Ableitung. Aus (1.4), (1.7), (1.8) und (1.9) finden wir E=− 2 . Jetzt wird die Transformation:
c
x ' = A x−vt
v
(1.11)
t ' =At− 2 x 
c
Der Ausdruck abgeleitet aus (1.11) der mit ihm invers ist:
x =A x ' v t ' 
v
t =A t '  2 x ' 
c
(1.12)
√
2
Nach dem Wechsel (1.12) in (1.11) finden A=1 / 1− v . wir merken, dass wir die Verwendung
2
c
von (1.11) und (1.12) vermeiden konnten, da der Wert A offensichtlich ist auf Grund des Dreiecks und
der Gleichungen (1.2) und (1.4), da x ' = x−v t / cos  .
Wir haben hiermit endlich die Lösung, die als “Lorenz-Transformation” bekannt ist”:
v
t− 2 x
x−vt
c
x '=
, t'=
(1.13)
2
v
v2
1− 2
1− 2
c
c

4

1.1. Beispiele
Beispiel 1. Der Dreieck der Geschwindigkeiten ist definiert mit v=0.866 c . Wie groß ist der Winkel
zwischen der aufliegenden Kathete und Hypotenuse?
v2
Wir haben in (1.2) gesehen, dass Kosinus dieses Winkels cos ϕ= 1− 2 =0.5 ist.
c
Daher ϕ=arccos 0.5=600 .
√
Beispiel 2. Wir können den Fall illustrieren, in dem beide Ausdrücke x=c t und x ' =c t ' . Diese
Längen sind auf der vertikalen Linie rechts bezeichnet.
ct
vt
K
K'
v

x
ct '
x'
Das Bild hat genaue Proportionen. Für ihre Erstellung wurde folgendes ausgenutzt: durch Wechsel (1.9)
in (1.5) und (1.9) in (1.12) finden wir:
 
v
v
1−
c ,
c
x' =
x
t '=
t
v
v
1
1
c
c
1−
v
=0.5 , so warden die obigen Ausdrücke
c
x ' =0.577 x , t ' =0.577 t . Die Dimensionen sind: x=c t=100 mm , v t=50 mm und
x ' =c t ' =57.7 mm .
Mit =300 , indem wir (1.2) benutzen, bekommen wir
Die verschiedenen Werte für die Zeit t und t ' bedeuten einfach, dass im K ' der Lichtstrahl eine
kleinere Entfernung zurücklegen muss, damit die Voraussetzung x'=c t ' erfüllt wird, gegensätzlich zur
größeren Entfernung, für welche x=c t wahrhaftig ist. So dass wir für x 'x , selbstverständlich t 't
haben. Ohne die Lorentztransformation zu kennen, bekämen wir dasselbe Ergebnis aus Verhältnissen,
die in der Abbildung ersichtlich sind:
vt c t ' cos =c t oder numerisch: 5057.7⋅cos 300=100 .
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2. Die mathematische Ungenauigkeit der Lorentztransformation in die
spezielle Relativitätstheorie
2.1 Das Verfahren der Ableitung der Lorentztransformation
Die Lorentztransformation in die spezielle Relativitätstheorie wird für zwei parallele
Koordinatensysteme K und K ' abgeleitet, in der relative uniformen Bewegung, mit Uhren, die auf
Null gestellt sind, zum Zeitpunkt wenn K und K ' aneinander vorbeigehen. Wir gehen von der
Erwartung aus, dass die Transformation linear sein muss:
x ' =A xBt
t ' =Cx D t
(2.1)
Es wird auch erwartet, obwohl das selten explizit angeführt wird, dass sich die Transformation auf
beliebige Ereignisse bezieht, ungebunden an die Bewegung der Koordinatensysteme. Das Ereignis ist
ein beliebiges Paar ( x , t ), und dass Ziel ist, dass Koordinaten ( x ' , t ' ) gefunden werden.
Die Erste Gleichung aus (2.1) kann wie folgt geschrieben werden:
B
x ' = A x−− t .
A
(2.2)
Für alle Ereignisse im Ausgang K ' haben wir x ' =0 und x=v t . Durch Wechsel in (2.2) finden wir,
B
daß die Geschwindigkeit K ' zum K relativ v =− beträgt, auf (2.2) und wird:
A
x '= A x−v t
(2.3)
Es gibt eine Symmetrie im Sinne, dass die Geschwindigkeit v des Systems K ' gegenüber K der
Geschwindigkeit des Systems K gegenüber K ' gleicht, aber mit dem gegensätzlichen Zeichen. In der
differentialen Form schreibend, bekommen wir:
d  AxBt 
B
dx '
v =− =−
=−
A
dt '
d CxDt 
(2.4)
Für alle Ereignisse im Ausgang K , haben wir x=0 , und aus (2.4) folgt:
B B
=
oder
A D
A =D
(2.5)
Ferner können wir die zweite Gleichung aus (2.1) in folgender Form schreiben:
t ' =AtEx 
(2.6)
wo E=C / A ist. Die Transformation muss gültig sein für alle Ereignisse, die mit der
Lichtgeschwindigkeit wander, im Verhältnis zum Ausgang K ' :
x=cv t
x ' =c t '
6
(2.7)
(2.8)
Die spezielle Relativitätstheorie behauptet folgendes für die Lichtgeschwindigkeit:
cv=c
(2.9)
Durch Wechsel von (2.9) in (2.7) und Verwendung in Ausdrücken (2.3), (2.6) und (2.8) bekommen wir
v
E =− 2 .
c
Jetzt wird die Transformation:
x ' = A x−vt
v
t ' =At− 2 x 
c
(2.10)
Der Ausdruck abgleitet aus (2.10), der mit ihm invers ist:
x =A x ' v t ' 
v
t =A t '  2 x ' 
c
(2.11)
Durch Wechsel (2.11) у (2.10) finden wir A =
1

1−
Wir haben endlich die Lösung:
x '=
x−vt

v2
1− 2
c
t−
, t'=

v2
c2
v
x
c2
v2
1− 2
c
(2.12)
Es gibt auch andere Verfahren der Ableitung, aber sie bilden eine Stil Variation, keine wesentliche
Variation, wie in der Fachliteratur oder im Internet geprüft werden kann.
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2.2. Erklärungen der Fehler
In der Ausführung der Lorentztransformation in die spezielle Relativitätstheorie wurden ernsthafte
Fehler in der Logik begangen. Das ist die Einführung der „invarianten “ Zahl, dann die Verwendung der
schwachen Induktion, damit die Transformation gültig für beliebige Ereignisse gilt und schließlich die
Behauptung, dass sich die Transformation auf parallele Systeme bezieht, obwohl die Prozedur keine
Information enthält, die eine solche Stellungnahme bekräftigt.
Wir werden die wahrgenommenen Fehler detailliert in Betracht nehmen.
2.2.1. Die “invariante” Zahl
Da die Geschwindigkeit v in der Transformation anders ist als Null, bedeutet der Ausdruck (2.9), daß s
eine sehr spezielle Zahl ist, für die die Arithmetik nicht gilt. Das hat natürlich keinen Sinn, wie auch
sinnlos ist zu sagen, dass 2 + 1 = 2 ist, für eine sehr spezielle Zahl 2.
Der Ausdruck (2.9) ist nötig, weil ohne sie die Prozedur auf x'=x−vt , t '=t zurückgeführt wird (was
die Galileische Transformation für parallele Systeme ist). Damit nicht gesagt wird, dass für die Zahl s
die Arithmetik nicht gilt, wurde ihm ein spezieller Name gegeben – die “invariante” Zahl. Diese
„Auffassung“ ist spezifisch nur für die Relativitätstheorie, da die Mathematik keine “invarianten”
Zahlen kennt. In der theoretischen Physik wird dies direkt durch Schreiben der Gleichungen (2.7) und
(2.8) verborgen, als:
x=c t
x ' =c t '
wo die Hauptgleichung (2.9) implizit ist, während c sofort “invariant” genannt wird, damit angeblich
erklärt wird, warum die Geschwindigkeiten nicht addiert werden.
2.2.2. Die Unverwendbarkeit auf beliebige Ereignisse
Die Gleichungen (2.12) wurden nur für folgende Klassen der Ereignisse abgleitet:
x=v t wenn x '=0 ist,
x=0 wenn x ' =−v t ' ist,
x=c t wenn x '=c t ' ist.
Alle drei Bedingungen sind Gleichungen der Bewegung und der Zeit und jede von ihnen braucht Zeit,
die nötig ist für das Zurücklegen einer bestimmten Entfernung.
Der logische Fehler der Relativitätstheorie ist die Schlussfolgerung über die Tendenz zur Bestätigung
(eng. confirmation bias), was der Mangel des menschlichen Verstands ist. Die Transformation für
beliebige Ereignisse war der Wunsch, so dass wir für ein beliebiges Paar  x , t  Koordinaten  x ' , t ' 
finden können. Dann wurde durch Verwendung der Prozedur, die auf angeführte Klassen von
Ereignissen beschränkt ist, die Transformation erhalten wird, für welche ohne Nachweise gilt, dass sie
für irgendetwas verwendet wird.
Im Dreieck der Geschwindigkeiten, beliebige Ereignisse (z.B. wenn die Glühbirne auf x=1, t =0
eingeschaltet wird) haben keinen Sinn im Kontext der Prozedur der Ausführung und sind im Konflikt
mit der angeführten Bedeutung der Zeit in angeführten Ausdrücken, wo sich die Zeit auf die Bewegung
bezieht und kann keine Null für die zurückgelegte Entfernung verschieden als Null sein ( x=v t=0 oder
x=c t=0 , daher ist x≠1 wenn t =0 ist).
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2.2.3. Das Nichtvorhandensein der Information, dass K und K ' parallel sind
Am Beginn der Prozedur sagt man dass K und K ' parallel zueinander sind und das Set der linearen
Gleichungen (2.1) ist aufgestellt als Ausgangspunkt.
Vor dem Ausdruck (2.7), enthält die Prozedur keine Information über den Winkel zwischen zwei
Systemen (es kann ein beliebiges sein).
Wir haben in (2.7) angeführt, dass die Geschwindigkeit des Lichtstrahls gegenüber K cv beträgt.
Das ist die einzige Stelle in der gesamten Prozedur, die die Information trägt, dass zwei Systeme parallel
sind.
Nachdem (2.9) in (2.7) gewechselt wurde, wird der Ausdruck x=c t . Durch Wechsel x=cv t mit
x=c t besteht die Information, dass zwei Systeme parallel aufgehoben ist, während damit gleichzeitig
die Prozedur durchgeführt wurde, identisch wie das Dreieck der Geschwindigkeiten.
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