Das Beweismuster der "Vollständigen Induktion" In den bisherigen

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Das Beweismuster der "Vollständigen Induktion"
In den bisherigen Beweisen nach dem Prinzip der doppelten Verneinung wollten wir zeigen, dass
gleichzeitig eine Behauptung für eine natürliche Zahl k nicht gilt, aber für die Zahlen von 1 bis (k-1)
sollte sie gelten. Dies ist offenbar nicht möglich, weil - z.B. beim Turmproblem von A(k-1) = A'(k-1)
auf A(k) = A'(k) geschlossen werden kann - allgemein stets von der Gültigkeit der Behauptung für
den Vorgänger auf die Gültigkeit der Behauptung für den Nachfolger geschlossen werden konnte.
Der Umweg über die "falsche" Annahme lässt sich vermeiden, wenn man den Beweis direkt angeht.
Eine mathematische Behauptung lasse sich in der Form aussprechen:
" Für alle natürlichen Zahlen n gilt A(n)",
wobei A(n) eine Aussage ist, etwa der Form, dass eine rekursive und eine explizite Formel identisch
sind oder dass n5 - n + 41 eine Primzahl liefert usw...
Der Beweis erfolgt in zwei Schritten:
(I) Rekursionsanfang: Man zeigt, dass A(1) eine richtige Aussage ist. (Verankerung)
(II) Rekursionsschluss: Man zeigt, dass für alle natürlichen Zahlen n  1
(Vererbung)
"Wenn A(n) dann A(n+1)"
Bemerkungen:
(1) Nur mit den zwei Nachweisen - Verankerung und Vererbung - ist der Beweis der Aussage für
unendlich viele natürliche Zahlen n erbracht.
(2) Der zweite Beweisschritt wird oft dahingehend missverstanden, dass man die zu beweisende
Aussage A(n) bereits für ein beliebiges n als bewiesen annimmt; dann wäre der Nachweis von
A(n+1) in der Tat unsinnig.
(3) Wenn Dominosteine hinreichend dicht hintereinander stehen, so wissen wir: Wenn irgendein
Stein fällt, so fällt der nächste (Vererbung).
Doch nur, wenn man dafür sorgt, dass der erste Stein fällt, hat man die Gewähr, dass alle Steine
fallen (Verankerung).
Einige Beweisbeispiele:
n2 + n
1. Behauptung: Der Term1 2
liefert für alle n ε  eine natürliche Zahl.
Beweis: (I): n = 1 ; 2 : 2 = 1 ist ganze Zahl
n2 + n
(n+1) 2 + n+1
(II): Für n  1: Wenn 2
eine ganze Zahl ist, dann auch
2
2
2
2
(n+1) + n+1
n +2n+1+n+1
n +n 2n+2
Beweis:
=
= 2 + 2
= z'+ n + 1.
2
2
Da n eine ganze Zahl ist, ist auch die Summe z'+ n + 1 eine ganze Zahl.
2. Behauptung: Für alle natürlichen Zahlen n gilt die Summenformel:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 0,5 (n5 + n)
Beweis: (I) n = 1 ; 1 = 0,5 (15 + 1) = 0,5 (1 + 1) = 0,5  2 = 1
(II) Für n  1 gilt: Wenn 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n = 0,5 (n5 + n), dann auch
1 + 2 + 3 +...+ n + (n+1) = 0,5 [(n+1)5 + (n+1)].
Beweis: 1 + 2 + 3 +...+ n + (n+1) = 0,5 (n5 + n) +(n+1)
= 0,5 (n5 + n + 2n + 2)
= 0,5 (n5 + 2n + 1 + n + 1)
= 0,5 [(n + 1)5 + (n +1)].
3. Behauptung: Der Term "n3 - n" liefert für alle n ε  eine durch 6 teilbare Zahl.
Beweis: (I) n = 1 ; 1 - 1 = 0; 0 : 6 = 0 [ Zur Verankerung genügt die Rechnung für n = 1]
n = 2 ; 8 - 2 = 6; 6 : 6 = 1
n = 3 ; 27 - 3 = 24; 24 : 6 = 4
n3 - n
6 eine ganze Zahl (natürliche Zahl) ist,
(n+1)3 - (n+1)
dann ist auch
eine ganze Zahl.
6
(n+1)3 - (n+1) n3+3n2+3n+1-n-1 n3-n 3n2+3n
Beweis:
=
= 6 +
6
6
6
(II) Für alle n  3: Wenn
(*)
=z+
n2+n n2+n
2 2 . 2 gilt nach Bsp (1) Damit gilt (*).
4. Die Summe der n-ersten ungeraden natürlichen Zahlen ergibt n5.
Beispiele: 1 + 3 + 5 = 9 = 35 (die 3-ersten ungeraden Zahlen).
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 45.
Beweise die Behauptung.
Achtung: es geht doch einfacher !!!
Es folgen nun einige Behauptungen, bei denen nur der Beweisschritt (I) oder
(II) gelingt. Damit sind diese Behauptungen aber eben nicht für alle natürlichen Zahlen n gültig.
(1) 1 + 2 + 3 + ... + n = 0,5(n5 + n + 6)
(2) 2p - 1 ist eine Primzahl, wenn p selbst eine Primzahl ist.
(3) Für alle natürliche Zahlen n liefert n5 + 1 eine gerade Zahl.
(4) Für alle natürliche Zahlen n liefert n5 + n + 1 eine gerade Zahl.
(5) n5 - n + 41 ist für alle n ε  eine Primzahl.
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