induktion - Fakult at f ur Physik

Kapitel 8
ZEITLICH
VERÄNDERLICHE
FELDER
Hier geht es um Effekte, die durch die
! und
zeitliche Änderung der Feldgrößen E
!
B hervorgerufen werden.
Dynamik
Aus der zweiten Gleichung folgt, dass
ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld
Ursache für eine endliche Zirkulation im
!
E-Feld
ist. Dieser Zusammenhang wurde
1831 von Faraday gefunden.
! ·E
! = 1ρ
∇
"0
!
! ×E
! = − ∂B
∇
∂t
Analoges sagt der letzte Term in der vierten Gleichung. Ein sich zeitlich änderndes
elektrisches Feld ist Ursache für eine Zir!
kulation des B-Feldes.
Diesen Term interpretierte Maxwell als
Verschiebungsstrom.
8.1
! ·B
! =0
∇
!
! ×B
! = µ0 !j + 1 ∂ E
∇
c2 ∂t
Faradaysches Induktionsgesetz
1831 induzierten Michael Faraday und Joseph Henry mit einem bewegten Stabmagneten Ströme in einer Leiterschleife. Grundlegende Versuche dazu sind die
Beobachtungen, dass ein Strom in der Schleife fließt,
1. wenn ein Permanentmagnet in eine Leiterschleife hinein bzw. aus ihr heraus bewegt wird,
2. wenn bei zeitlich konstantem Magnetfeld die Schleife aus dem Feldbereich
gezogen wird oder in das Feld bewegt wird,
3. wenn der Permanentmagnet durch eine Spule ersetzt wird und ein Strom
in dieser Spule ein- bzw. ausgeschaltet wird.
71
Schluss: Ein sich zeitlich verändernder magnetischer Fluß erzeugt ein elektrisches Feld. In einem Leiter äußert sich dieses Feld als Potentialdifferenz über
die Länge des Leiters. An den Leiterenden (Anfang und Ende der geschlossenen
Kurve C, siehe Abbildung auf Seite 10) kann die sogenannte Induktionsspannung abgegriffen werden. Nach Anwendung des Stoke’schen Satzes auf die
zweite Maxwell Gleichung
! ×E
! = −∂ B/∂t
!
∇
! "
!
#
! ×E
! · dS
! = −∂
! · dS
!
∇
B
∂t S
S
$
!
! · d!s = − ∂
! · dS
!
E
B
∂t S
C
folgt das Induktionsgesetz
$
!
∂
!
! · dS
! = − ∂ Φm
E · d!s = −
B
Uind =
(8.1)
∂t
∂t
C
S
Die Fläche S wird von der Kurve C umrandet. Das Vorzeichen (−) ist nicht
willkürlich festgelegt. Es gilt die Lenz’sche Regel, die besagt, dass die induzierte Spannung ein Magnetfeld erzeugt, das der Flussänderung entgegen wirkt.
Die Leiterschleife versucht, den magnetischen Fluss, der sie durchsetzt,
konstant zu halten.
Die Induktionspannung bewirkt in der Leiterschleife den Stromfluss I = Uind /R.
Dabei wird die Leistung P = I 2 R verbraucht. Diese Energie stammt aus der
kinetischen Energie der Bewegung.
"
! " #" $ %
!
$ %& ' ( )*
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/
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+
,
-
! " # $%
Aluminiumring auf einem Elektromagnet:
Beim Einschalten wird im Ring ein Strom induziert. Das entstehende Magnetfeld wirkt dem
primären Feld entgegen und beschleunigt den
Ring. (Ring mit kleinem Schlitz?)
I
Das Waltenhofen Pendel wird durch Wirbelströme gebremst. Die Lorentz-Kraft wirkt auf
jeden Abschnitt des induzierten Wirbelstromes.
Sie ist aber im Gebiet des stärkeren Magnetfeldes größer, hindert also die Bewegung. Bei einer
Begrenzung der Wirbelstrombahnen (z.B. dünne,
isolierte Bleche im Transformatorkern) können
Wirbelstromverluste minimiert werden.
B1
F1
F2
v
B2
Eine gut leitende Drahtschleife versucht mit Hilfe des Induktionsstromes den
magnetischen Fluss durch ihren Querschnitt konstant zu halten. Dies gelingt
umso besser, je höher die Leitfähigkeit des Leiters ist.
Wenn infolge des induzierten Stromes der
magnetische Fluss durch den Leiterring
(bzw. die leitende Platte) nahezu konstant
!
ist, dann werden also die Feldlinien von einem guten Leiter, der sich bewegt (wenigs$ %& '
#
tens teilweise) mitgenommen.
Diese Mitnahme erklärt die Verformung
des Dipolfeldes der Erde in großer Höhe
"
durch die geladenen Teilchen des Sonnenwindes, eines elektrisch leitenden Mediums
aus Protonen und Elektronen.
Ein Waffensystem (HEMP, huge electromagentic pulse) ist seit 1950 in Diskussion, mit dem die Elektronik des Gegeners, durch Wirbelströme in Folge von
!
riesigen Werten von ∂ B/∂t,
ausgeschaltet werden soll. Mit Implosionstechniken
(Mitnahme von Magnetfeldlinien) wurden kurzzeitig Magnetfelder über 103 T esla
demonstriert.
Wechselstromgenerator: Eine rechteckige Leiterschleife mit N Windungen
und der Fläche A dreht sich mit konstanter Geschwindigkeit im homogenen
Magnetfeld. Dabei ändert sich der magnetische Fluss durch die Leiterschleife
periodisch
Φm =
!
! · dS
! = BN A cos ϕ(t)
B
Der Winkel ändert sich mit der Zeit
gemäss ϕ(t) = ωt. Die Zirkulation von
! und damit die induzierte Spannung
E
ist proportional zur Winkelgeschwindigkeit und zum Produkt B N A. Eine
Wechselspannung wird induziert.
Uind = −
dΦm
= −ωB N A sin ωt
dt
(8.2)
!
!
!
(8.3)
Die Kurve C in Gl. (8.1) muß nicht mit einer Leiterschleife zusammenfallen.
Ein freies Elektron mit der Masse m und dem Impuls p erfährt die zeitliche
Änderung des Magnetfeldes als Beschleunigung:
$
! · d!s = 2RπE = − ∂ (B̄πR2 )
E
∂t
!
eR ∂ B̄
∂p
= −eE ≈
∂t
2 ∂t
"
1
p = mv =
e R B̄
2
wobei B̄ die mittlere Feldstärke innerhalb des Sollkreises mit dem Radius R an!
gibt. Nach diesem Prinzip werden im Betatron Elektronen im B-Feld
auf eine
!
Kreisbahn mit dem Radius R gezwungen und gleichzeitig beschleunigt, da B
mit der Zeit anwächst. Die Elektronen bleiben auf dem Sollkreis, wenn die Zentrifugalkraft die Lorentz-Kraft kompensiert. Die Magnetfeldstärke am Sollkreis
ist Bs = mv
eR und damit B̄ = 2Bs (Wideroe-Bedingung). Mit einem radial inhomogenen Magnetfeld (erzeugt durch geeignet geformte Polschuhe) erreicht man
im Betatron Elektronenenergien bis 200 M eV , z.B. für harte Röntgenquellen.
Der Drehstrommotor ist ein Beispiel für die Mitnahme eines guten Leiters
durch ein rotierendes Magnetfeld. Drei Wechselströme geeigneter Phasenverschiebung (φ = 120o ) speisen drei jeweils um 120o versetzte Spulenpaare. Damit entsteht im Inneren ein magnetisches Drehfeld. Dieses nimmt einen um das
Zentrum drehbaren, gut leitenden Rotor mit. Ein Vorteil ist, dass dieser Rotor
keine leitende Verbindung nach außen benötigt. Er dreht sich mit der Netzfrequenz.
Wirbelstromverluste: In einem Leiter mit dem Radius R entsteht durch ein
sich zeitlich änderndes Magnetfeld B = B0 cos(ωt) ein elektrisches Wirbelfeld
! × E = −Ḃ. Näherungsweise ist das induzierte Feld aus dem Stokesschen Satz
∇
E 2Rπ = ḂR2 π
Dieses Feld erzeugt im Leiter die Stromdichte j = σ E. Der Stromfluß I der
durch die Potentialdifferenz Uind entsteht, leistet die Joulsche Wärme P =
I Uind . Mit I = j dR dz und Uind = E 2Rπ ist die Joulsche Wärmeleistung
pro Volumseinheit, p (im zeitlichen Mittel %p& )
dBsdt
P
=j·E
p =
2Rπ dR dz
1
1
p = σE 2 = σR2 Ḃ 2 = σR2 ω 2 B02 sin2 ωt
4
4
1 2 2 2
σR ω B0
%p& =
8
dz
R
j
dR
Wegen %p& ∝ R2 baut man Transformatorenkerne aus dünnen, isolierten Blechen.
8.2
Selbstinduktion
In einer festen Leiterschleife bewirkt ein sich ändernder Strom ein sich änderndes
Magnetfeld. Der Induktionseffekt ist in einer zweiten Spule nachweisbar, aber
auch in der ersten Spule selbst. Hat die erste Spule hat N Windungen, erzeugt das sich ändernde Magnetfeld in ihr die Induktionsspannung
Uind = −N
dΦm
dt
(8.4)
!
Der magnetische Fluß in der Spule ist proportional zum
Strom, der in ihr fließt:
N Φm = L I
(8.5)
" # $
!
Den Proportionalitätsfaktor L ist die Induktivität der
Spule. Die Größe von L hängt von der Spulengeometrie
ab. Für die in der Spule induzierte Spannung gilt
Uind = −N
dΦm
dI
= −L
dt
dt
(8.6)
Lenzsche Regel: Das Vorzeichen ist negativ, da die selbstinduzierte Spannung
stets ihrer Ursache entgegenwirkt. Für die Induktivität einer beliebigen Leiteranordnung definiert man
L=−
Uind
dI/dt
(8.7)
Berechnung von L für eine gerade Spule mit N Windungen:
Das Feld der Spule ist nach Gl.7.17 gleich B = µ0 w I, wobei w = N/( ist und
( die Länge der Spule angibt. Damit wird der magnetische Fluß Φm = B A und
mit der Beziehung 8.5 und dem Spulenvolumen V = ( A wird
L = µ0 w2 V
(8.8)
Die Dimension der Induktivität ist
[L] =
Vs
Wb
=
= Henry
A
A
(8.9)
8.3
Transformatoren
Transformatoren nutzen die gegenseitige Induktion zweier Spulen in vielen technischen Anwendungen. Ein Strom I1 fließt in der Spule SP1 mit Windungszahldichte w1 und erzeugt das Magnetfeld B1 . Eine zweite Spule SP2 spürt
diesen magnetischen Fluss am Ort (2). Für das Magnetfeld B1 gilt:
B1 = µ0 w1 I1
(8.10)
Für eine feste Spulenanordnung ist der magnetische Fluss durch die zweite
Spule Φm (2) ∝ I1 also Φm (2)/I1 =const. Wenn sich der Strom I1 zeitlich ändert,
dann wird in SP2 eine Spannung induziert:
dI1
U2 = −L21
(8.11)
dt
Die Größe L21 bezeichnet man als Gegeninduktivität, sie wird von der Geometrie beider Spulen bestimmt. Wenn die Spule SP2 N2 Windungen und die
Fläche A hat, und der gesamte Fluss durch die zweite Spule dringt, gilt
dI1
dB1
= −µ0 N2 A w1
U2 = −N2 A
dt
dt
! " # $ %
Damit ist die Gegeninduktivität
' ( *
L21 = µ0 w1 N2 A = µ0 w1 w2 V
Im allgemeinen Fall gilt
%
L21 = k L1 · L2
&
(8.12)
wobei k die Güte der Kopplung zwischen beiden Spulen
angibt (0 < k < 1). Mit einem Eisenkern schafft man eine
feste Kopplung zwischen beiden Spulen. Man erreicht in
guter Näherung, dass der gesamte Fluss der Spule SP1
durch die Spule SP2 dringt, Φm (1) = Φm (2) = Φm .
' ( )
!
An der Primärspule des unbelasteten Trafos liegt die Eingangsspannung Uext =
U0 cos ωt. Daher fließt ein Strom I1 , der einen magnetischen Fluß und damit
dΦm
1
eine Induktionsspannung U1 = Uind = −L dI
dt = −N1 dt bewirkt, welche der
von außen angelegten Spannung entgegengesetzt gleich ist.
dΦm
dΦm
U2 = −N2
(8.13)
U1 = −N1
dt
dt
U2 /U1 = N2 /N1
(8.14)
Diese Beziehung gilt nur bei vollständiger Kopplung und im Leerlauf
Liegt ein Lastwiderstand an der zweiten Spule an, dann fließt durch die
zweite Spule ein Strom, der zu einem
Spannungsabfall am Innenwiderstand
der zweiten Spule führt und dadurch U2
erniedrigt.
!
"
#
"
$
8.4
R-L Leiterkreis
Wir untersuchen die zeitliche Entwicklung des Stromes in einem RL-Leiterkreis.
Am Kreis liegt die feste äußere Spannung U0 an.
• Einschalten: Wird der Schalter geschlossen (Position a), dann gilt für die Summe
der Spannungen
U0
#
!
= R I − Uind
dI
= RI +L
dt
%
"
(8.15)
$
!
Ohne Selbstinduktion L würde der Strom sofort auf den Wert U0 /R ansteigen. Infolge der Selbstinduktion entsteht in der Spule einen Gegenspannung,
sodass der Stromanstieg dI/dt den Wert U0 /L nicht übertreffen kann. Mit der
Abkürzung für die Zeitkonstante
L
τ=
gilt für den Strom
(8.16)
R
"
#
U0
I(t) =
1 − e−t/τ
(8.17)
R
Praktisches Beispiel: Mit einer Spule von 600 Henry und einem Widerstand
R = 200 Ω steigt der Strom im Kreis mit einer Zeitkonstante τ ≈ 3 Sekunden
an. Nach einer Zeit t = τ erreicht der Strom (1 − 1/e) ≈ 0.63 des Endwertes
U0 /R.
• Ausschalten: Wenn wir den Stromkreis öffnen, wird L dI
dt unendlich groß,
eine gefährlich hohe Induktionsspannung kann entstehen. Wenn wir den
Schalter auf Position b bringen, dann ist der maximale Stromfluss durch
den Widerstand begrenzt: Imax = Uind /R. (eigentlich sollten wir den Gesamtwiderstand R + RL nehmen. Den zeitlichen Verlauf des Stromes erhalten wir aus
0 = R I − Uind = R I + L
dI
dt
(8.18)
als
I(t) = Imax e−t/τ
Die hohe Induktionsspannung verwendet man
z.B. bei der Zündung von Leuchtstoffröhren.
Anfänglich fließt ein Strom über den Bimetallstreifen und die Spule, I = U0 /(R + RL ).
Nach Erwärmen öffnet sich der Bimetallschalter. Beim schnellen Abschalten des Stromes entsteht eine hohe Induktionsspannung, die zum
Zünden der Gasentladung ausreicht.
(8.19)
+ ' , - . (/ (0 1123 . 2'
!
$ %& ' () **
"
#
!
R-C Leiterkreis:
Eine Spule hat für das magnetische Feld eine ähnliche Bedeutung wie die Kapazität (C = Q/U ) für das elektrische Feld. Wir schließen eine Spannungsquelle
U0 an einen R−C Kreis um den Kondensator aufzuladen. Zur Zeit t = 0 ist die
Spannung am Kondensator U (t = 0) = 0. Für den Ladestrom muss gelten:
I(t) =
U0
Q(t)
1
(U0 − U (t)) =
−
R
R
R·C
(8.20)
Dabei ist Q(t) die zur Zeit t am Kondensator anliegende freie Ladung. Nach
Differentiation erhalten wir
1
dI(t)
=−
I(t)
dt
R·C
(8.21)
I(t) = I0 e−t/(R·C)
(8.22)
Damit ergibt sich für den Ladestrom
und für die zeitliche Entwicklung der Spannung am Kondensator (τ = R · C)
beim Einschalten
U (t) = U0 (1 − e−t/τ )
8.5
(8.23)
Ursache für elektrische Felder
Wir haben also zwei Ursachen für das Auftreten eines elektrischen Feldes:
1. Elektrisches Feld durch ruhende Ladungen: (Statik)
! ×E
! =0
∇
und
! ·E
! = 1ρ
∇
*0
(8.24)
Die Feldlinien starten in + Ladungen und enden in − Ladungen. Dieses
! = −∇φ.
!
Feld ist konservativ, E
2. Elektrisches Feld durch Magnetfeldänderung: (Dynamik)
! ×E
! = − ∂B
∇
∂t
(8.25)
Dabei entstehen (in Abwesenheit von Ladungen) elektrische Feldlinien die
geschlossen sind. Dieser Anteil des Feldes kann nicht durch den Gradienten
! muß
eines skalaren Potentials angegeben werden. Zur Berechnung von E
man die Zeitabhängigkeit des Vektorpotentials mit hinzunehmen
!
! = −∇φ
! − ∂A
E
∂t
(8.26)
! =∇
! ×A
! definiert wurde (siehe Gl.7.24)
Da das Vektorpotential über B
erfüllt der Ansatz 8.26 die zweite Maxwell Gleichung (8.25).
8.6
Energie des Magnetfeldes
In der Elektrostatik hatten wir für die im Kondensator gespeicherte Energie
1 A
1
1
C U 2 = *0 E 2 d2 = *0 E 2 V
2
2 d
2
Wel =
(8.27)
und für die Energiedichte des elektrischen Feldes:
wel =
1
*0 E 2 .
2
(8.28)
Asu den SI-Einheiten für die elektrische Feldstärke
'
&
1
A·s V2
A·V ·s
W ·s
J
*0 E 2 =
=
=
.
[wel ] = 3 =
m
2
V · m m2
m3
m3
lässt sich die Dimension verifizieren (Energie pro Volumen).
Beim Entladen der Spule wird die Energie des magnetischen Feldes im Widerstand in Joulsche Wärme umgewandelt. Die zeitliche Entwicklung des Stromes
ist I(t) = I0 e−t/τ und damit die Leistung
P (t) =
dW
= I 2 R = RI02 e−2t/τ
dt
(8.29)
Da die Leistung gleich ist der Energie pro Zeiteinheit, gilt für die gesamte, im
Magnetfeld gespeicherte Energie
! ∞
! ∞
τ
1
2
Wmag =
P (t) dt = RI0
e−2t/τ dt = R I02 = L I02 .
(8.30)
2
2
0
0
Um die Energiedichte des magnetischen Feldes zu bestimmen, gehen wir von
einem homogenen Feld im Inneren der Spule aus. Die magnetische Feldstärke
in der Spule ist B = µ0 w I0 . Mit der Selbstinduktivität der Spule L = µ0 w2 V
(V ist das Volumen der Spule, w is die Windungszahldichte) wird
Wmag =
1 2
1 B2
V
L I0 =
2
2 µ0
(8.31)
und die Energiedichte des magnetischen Feldes (µ0 *0 c2 = 1 )
wmag =
1
1 2
B = *0 c2 B 2
2µ0
2
(8.32)
Für die Dimension gilt:
'
&
J
A · s m2 V 2 · s2
W ·s
1 2 2
[wmag ] = 3 =
*0 c B =
=
.
2
4
m
2
V ·m s
m
m3
Die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes ist
wem =
)
1 ( 2
*0 E + c2 B 2
2
(8.33)
80
8.7
Verschiebungsstrom
Noch fehlt die Behandlung zeitlich veränderlicher elektrischer Felder (zeitlich
variable Ladungsverteilungen und deren Felder).
Dazu wiederholen wir das Beispiel von Seite 10: Bei
Aufladen des Kondensators fließt ein Strom I(t) für
einige Zeit, obwohl der Stromkreis “unterbrochen” ist.
!
!
Wir denken uns eine Kurve C um den Draht mit der
Fläche S1 . Gemäß der Stromdichte auf der rechten
Seite von Gl.(7.14) erwarten wir
"
$
C
#
! · d!s ∝ (Fluss von I durch S1 )
B
!
!
"
#
#
#
#
"
$
$
%
%
Jetzt zeichnen wir eine neue Oberfläche S2 , mit der gleichen Berandung C. Diese
Fläche ähnelt einem Fingerhut, sie schneidet den Leiter nicht. Kein herkömmlicher
! um C muss die
Strom fließt durch diese Oberfläche, aber die Zirkulation von B
gleiche bleiben. Die Erklärung dazu kam von Maxwell: Im Kondensator baut
sich im Laufe der Zeit ein elektrisches Feld auf. Die zeitliche Änderung dieses
!
Feldes ist Ursache für die Zirkulation von B.
Maxwell führte das Konzept eines Verschiebungssstroms ein, der zwischen
!
den Elektroden des Plattenkondensators (in dem sich ein elektrisches Feld E
aufbaut) fließt. Mit dem Ansatz für die Verschiebungsstromdichte
!
!js = *0 ∂ E ,
(8.34)
∂t
in der verallgemeinerten Ampere’schen Beziehung
$
! "
#
!
! · d!s = µ0 I = µ0
!j + !js · dS
(8.35)
B
C
S
und dem Stokes’schen Satz
$
! "
#
! · d!s =
! ×B
! · dS
!
B
∇
C
(8.36)
S
ergibt sich die differentielle Form der Maxwell Gleichung (in Abwesenheit von
Materie!) als
!
! ×B
! = µ0 !j + µ0 *0 ∂ E
∇
(8.37)
∂t
Magnetfelder entstehen durch freie Ströme und
durch zeitlich sich ändernde elektrische Felder.