ÜBUNGSBLATT NR.6:Galton-Brett
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Dr. Dankwart Vogel WS 2010/11 ÜBUNGSBLATT NR. 6: Galton-Brett Aufgabe 1: Unser Galton-Brett hat acht Stockwerke. a) Auf wie vielen verschiedenen Wegen kann eine Kugel vom Trichter in den Behälter Nummer 3 gelangen? b) Auf wie vielen verschiedenen Wegen kann eine Kugel durch unser Galton-Brett fallen? c) Auf wie vielen verschiedenen Wegen kann eine Kugel vom Trichter über den „Stift“ Nummer 3 vom vierten Stockwerk in den Behälter Nummer 5 gelangen? Aufgabe 2: Wir fragen: Was hat die Entwicklung des Binoms ሺܽ ܾሻ mit den Binomialkoeffizienten zu tun? a) Wie oft tritt beispielsweise beim Ausmultiplizieren von ሺܽ ܾሻଷ ሺܽ ܾሻ · ሺܽ ܾሻ · … ሺܽ ܾሻ der Summand ܽଵ · ܾ ଶ auf? b) Wie oft tritt also bei der Entwicklung von ሺܽ ܾሻ der Summand ܽ · ܾ auf? c) Wegen b) gilt ሺܽ ܾሻ ܽ ܾ ܽଵ ܾଵ … ܽଵ ܾ ଵ ܽ ܾ . 0 1 1 · Sind auf der rechten Seite wirklich alle Summanden erfasst? d) Warum entstehen beim Ausmultiplizieren von ሺܽ ܾሻ gerade 2 Summanden und wieso gilt deshalb 0 1 … 1 2? Anmerkung: Dieses Ergebnis gestattet eine vielleicht unerwartete Deutung: Eine -elementige Menge hat 0-elementige, 1-elementige, 2-elementige, … und -elementige 0 1 2 Teilmengen. Nach der Summenregel der Kombinatorik hat eine -elementige Menge somit insgesamt 2 Teilmengen. e) Zeige: Aus c) folgt 0 1 … ሺ1ሻଵ 1 ሺ1ሻ 0 . Aufgabe 3: Auf wie viele verschiedene Weisen kann man beim Lotto (6 aus 49) a) b) c) d) e) drei Richtige (Gewinnklasse V) vier Richtige (Gewinnklasse IV) fünf Richtige (Gewinnklasse III) fünf Richtige mit Zusatzzahl (Gewinnklasse II) sechs Richtige (Gewinnklasse I) erzielen? Aufgabe 4: Wenn man einen Lottoschein (6 aus 49) ausfüllt, hat man in jedem Fall 0 Richtige oder 1 oder 2 oder … oder 6 Richtige. ሺ2ሻ bezeichne z. B. die Anzahl der Scheine mit 2 Richtigen. 49, aus den Zahlen 6 a) Wie lässt sich die Gesamtzahl der verschiedenen Lottoscheine, also die Zahl ሺ0ሻ, ሺ1ሻ, … , ሺ6ሻ unter Verwendung des Ergebnisses von Aufgabe 3 gewinnen? b) Verallgemeinere das Resultat aus a). Abgabe: Dienstag, 30.11.2010
