Zusammenfassung Leistungselektronik
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HS2009 VL von Prof. Dr. J. W. Kolar Zusammenfassung Leistungselektronik Jonas Huber [email protected] Rev. 2 bis 29, 11.2.2010 1 Einführung Tastverhältnis periode: Das Tastverhältnis D ist definiert als das Verhältnis von Einschaltzeit zur TaktD= Tein TS (1) Tiefpass 1. Ordnung Besteht hier aus einer zur Last in Serie geschalteten Induktivität und hat die Übertragunsfunktion: 1 G(jω) = (2) L 1 + jω R Tiefpass 2. Ordnung Besteht hier aus einer zur Last in Serie geschalteten Induktivität und einer parallel zur Last geschalteten Kapazität, was folgende Übertragungsfunktion ergibt: G(jω) = 1+ L jω R 1 + (jω)2 LC (3) Spannungszeitflächengleichgewicht Das Spannungszeitflächengleichgewicht an einer Induktivität und das Ladungsgleichgewicht an einer Kapazität sind zwei wichtige Beziehungen: TS 1 uL dt = 0 TS 0 Z TS 1 iC dt = 0 iC = TS 0 Z uL = 1 (4) (5) Leistungselektronik Jonas Huber Zusammenfassung Abbildung 1: Tiefsetzsteller mit Eingangsstrom i1 und Laststrom i2 = iL − iC . 2 DC/DC-Wandler 2.1 Tiefsetzsteller (Buck Converter) 2.1.1 Kontinuierlicher Stromfluss in der Induktivität Spannungs- und Stromübersetzungsverhältnis Für einen stabilen Betrieb muss der Spannungsmittelwert über der Induktivität gleich Null sein. Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht ton (U1 − U2 ) = (TS − ton ) und mit tof f = TS − ton folgt daher: 1 (ton (U1 − U2 ) − tof f U2 ) = 0 = uL TS U2 I1 ton = = =D U1 I2 TS (6) (7) Das Stromübersetzungsverhältnis folgt aus der Leistungsbilanz P1 = U1 · I1 = U2 · I2 = P2 . Abbildung 2: Links: Spannungszeitflächenverhältnis und Stromrippel in der Induktivität; rechts: Ausgangsspannungsrippel. 2 Leistungselektronik Jonas Huber Zusammenfassung Stromrippel U1 − U2 U2 DTS = (1 − D)TS L L (8) ∆Q ∆iLpp TS U2 (1 − D)TS2 = = C C ·2·2·2 8LC (9) ∆iLpp = Ausgangsspannungsrippel ∆u2pp = Achtung: Bei linearem Verlauf von iL besteht der Ausgangsspannungsrippel aus Parabelstücken! Man kann auch die relative Schwankung der Ausgangsspannung bezüglich ihres Mittelwertes bestimmen und erhält: 1 ∆u2pp 1−D π2 = · TS2 · = · (1 − D) · U2 8 LC 2 Dabei ist fS = f0 = 2π√1LC . 1 TS f0 fS 2 (10) und f0 die Eigenfrequenz des durch L und C gebildeten Filters 2. Ordnung, also 2.1.2 Diskontinuierlicher Stromfluss in der Induktivität (Lückbetrieb) Da bei der praktischen Realisierung des Tiefsetzstellers die verwendeten Dioden negative Drosselströme verhindern, entstehen bei kleiner Last charakteristische Intervalle mit iL = 0. Man spricht dann vom lückenden Betrieb1 des Tiefsetzers. (a) Verlauf der Lückgrenze. (b) Diskontinuierlicher Stromverlauf in der Induktivität. Abbildung 3: Diskontinuierlicher Betrieb des Tiefsetzstellers. Lückgrenze Der Drosselstrom iL beginnt dann zu lücken, wenn der lineare Mittelwert I2 des Laststromes i2 kleiner wird als die halbe Schwankungsbreite 12 ∆iLpp . Bei der Lückgrenze2 erreicht der Drosselstrom am Ender der Pulsperiode gerade den Wert Null. Die Beziehung U2 = DU1 ist dann immer noch gültig. 1 U2 U1 TS I2g = ∆iLpp = (1 − D)TS = D(1 − D) 2 2L 2L 1 2 Skript, S. 27ff. Skript, S. 28ff. 3 (11) Leistungselektronik Aus dI2g dD Jonas Huber Zusammenfassung = 0 folgt, dass I2g für D = 0.5 maximal wird: I2g,max = I2g |D=0.5 = U1 TS 8L (12) Der Grenzwiderstand Rg ist derjenige Widerstand, welcher als Last maximal3 zulässig ist, um noch eine kontinuierliche Stromführung in der Induktivität zu gewährleisten. Rg = U2 2L = I2g (1 − D)TS (13) Spannungsübersetzungsverhältnis Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht folgt für den lückenden Betrieb das Spannungsübersetzungsverhältnis gemäss: U2 D1 = U1 D1 + D2 (14) D1 = D kann von der Steuerung vorgegeben werden, D2 hingegen hängt von der Lastspannung U2 ab. Mit der Ladungsbilanz den Kondensators (ic = 0) folgt: U2 D2 = I2 U1 D2 + 14 · I2g,max (15) Wird ausgehende von der Lückgrenze die Last verringert, d. h. der Lastswiderstand R erhöht, so steigt bei konstantem D die Ausgangsspannung U2 an. Will man im Lückbetrieb konstante Ausgangsspannung haben, muss D wie folgt gewählt werden: v s u I2 1 8LU2 (U2 − 1) 1 u I2g,max t = D= · U 2 2 1 U2 2 −1 RU1 TS (16) Zusammen mit Gl. 7 kann nun das Tastverhältnis D für eine konstante Ausgansspannung U2 über den gesamte Lastbereich angegeben werden. 2.2 Hochsetzsteller (Boost Converter) Abbildung 4: Hochsetzsteller mit Eingangsstrom i1 = iL und Laststrom i2 = iD − iC . 4 Leistungselektronik Jonas Huber (a) Spannungszeitflächengleichgewicht Stromrippel. Zusammenfassung und (b) Ladungsträgergleichgewicht und Spannungsrippel. Abbildung 5: Hochsetzsteller im kontinuierlichen Betrieb. 2.2.1 Kontinuierliche Stromführung Spannungsübersetzungsverhältnis Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht U1 DTS = −(U1 − U2 )(1 − D)TS und der Leistungsbilanz folgen das Spannungs- und Stromübersetzungsverhältnis gemäss: U2 U2 − U1 I1 1 bzw. D= = = (17) U1 I2 1−D U2 Beachte, dass der Ausgangsstrom des Hochsetzters im Gegensatz zu jenem des Tiefsetzers eine schaltfrequente Pulsung aufweist und dass iL beim Hochsetzer dem Eingangsstrom entspricht. Stromrippel ∆iLpp = U2 U1 DTS = D(1 − D)TS L L (18) Ausgangsspannungsrippel ⇒ ∆Q IR DTS U2 DTS = = · C C R C DTS DTS = = mit τ = RC RC τ ∆u2pp = (19) ∆u2pp U2 (20) 2.2.2 Diskontinuierliche Stromführung Lückgrenze 1 1 U1 1 U2 − U1 ILg = I1g = ∆iLpp = · DTS = · (1 − D)TS 2 2 L 2 L 1 U2 I2g = · D(1 − D)2 TS 2 L 3 Cave: Kleine Last heisst kleiner Laststrom heisst grosser Widerstand! 5 (Eingangsstrom) (21) (Ausgangsstrom) (22) Leistungselektronik Jonas Huber (a) Lückgrenze. Zusammenfassung (b) Spannungszeitflächengleichgewicht. Abbildung 6: Hochsetzsteller im diskontinuierlichen Betrieb. dI 2g Aus dD = 0 folgt, dass der Strom I2g an der Lückgrenze für das Tastverhältnis D = wird: 2 U2 · · TS I2g,max = I2g |D= 1 = 3 27 L Den Verlauf der Lückgrenze ergibt sich zu: I2g I2g,max Spannungsübersetzungsverhältnis (U1 − U2 )D2 TS = 0 folgt: = 27 D(1 − D)2 4 1 3 maximal (23) (24) Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht uL = U1 D1 TS + U2 = D1 + D2 U1 D2 (25) Das Tastverhältnis D1 = D wird vorgegeben, D2 hingegen kann durch Verwenden der Bedingung 2L iC = 0 (Ladungsgleichgewicht) berechnet werden, was auf D2 = U12U D1 TS R führt. Für das Spannungsübersetzungsverhältnis im diskontinuierlichen Bereich findet man: s D= 4 U2 27 U1 U2 I2 −1 U1 I2g,max (26) Zusammen mit Gl. 17 kann man den ganzen Lastbereich abdecken. Bei kontinuierlichem Stromfluss ist das Spannungsübersetzungsverhältnis lastunabhänging, im diskontinuierlichen Fall hingegen muss das Tastverhältnis D bei sinkendem Laststrom I2 verringert werden, um bei konstanter Eingangsspannung U1 ein Ansteigen der Ausgangsspannung U2 zu verhindern. 2.3 Tief-Hochsetzsteller bzw. Inverswandler (Buck-Boost Converter) Vorsicht: Die folgenden Beziehungen gelten für den invertierenden Tief-Hochsetzsteller, also den Inverswandler. 6 Leistungselektronik Jonas Huber Zusammenfassung (a) Schaltbild. (b) Lückgrenze. Abbildung 7: Inverswandler. 2.3.1 Kontinuierliche Stromführung Spannungsübersetzungsverhältnis U2 (1 − D)TS = 0 folgt: Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht uL = U1 DTS + U2 D =− U1 1−D bzw. D=− U2 U1 − U2 (27) Stromübersetzungsverhältnis Das Stromübersetzungsverhältnis kann über die Leistungsbilanz P1 = U1 I1 = −U2 I2 = −P2 (beachte Zählpfeildefinition von Bild 2.37c im Skript, S. 51) berechnet werden: 1−D I2 = (28) I1 D Stromrippel ∆iLpp = U2 U1 DTS = (1 − D)TS L L (29) Strommittelwerte bei kontinuierlicher Stromführung und im Grenzfall 1 = IL D TS 1 I2 = IL (1 − D)TS = IL (1 − D) TS I1 = IL DTS (30) (31) 2.3.2 Diskontinuierliche Stromführung Lückgrenze −U2 1 U1 DTS = (1 − D)TS 2 L 2L 1 U2 = ILg (1 − D) = − (1 − D)2 TS 2 L ILg = (32) I2g (33) 7 Leistungselektronik Jonas Huber Zusammenfassung I2g wird für ein Tastverhältnis von D = 0 maximal und beträgt dann: I2g,max = − ⇒ I2g,n = 1 U2 TS 2 L I2g = (1 − D)2 (34) (35) I2g,max Spannungsübersetzungsverhältnis Bei diskontinuierlicher Stromführung beträgt das Spannungsübersetzungsverhältnis des Inverswandlers: U2 = −D · U1 s U2 ⇒ D=− · U1 1R TS 2L s (36) I2 I2g,max (37) Zusammen mit Gl. 27 kann so der gesamte Bereich abgedeckt werden. 2.4 Übersicht über die grundlegenden DC/DC-Konverter 2.4.1 Spannungsübersetzungsverhältnisse Konverter Buck Boost Buck-Boost Spannungsübersetzungsv. I2 > I2g I2 ≤ I2g D= D= U2 U1 U2 −U1 U2 2 D = − U1U−U 2 D= 1 2 r r D= 8LU1 (U2 −1) RU12 TS 4 U2 27 U1 U2 D = −U 1 q U2 U1 −1 I2 I2g,max I2 I2g,max Eingansstrom Ausgangsstrom diskont. stetig stetig diskont. diskont. diskont. 2.4.2 Beanspruchung der Leistungshalbleiter Die Ausnutzung des Leistungstransistors (Silicon Utilization) ist definiert als das Verhältnis von Ausgangsleistung P2 zur Bauteilleistung PT : P2 P2 = PT UT,max · IT,max (38) Beachte, dass UT,max und IT,max nicht gleichzeitig auftreten! Der Kehrwert, PPT2 wird als Switch Stress Factor bezeichnet. Grafik und Berechnung der passiven Komponenten siehe Skript, S. 58f. 2.5 Weitere DC/DC-Konverter Cuk-Converter U2 D =− U1 1−D 8 (39) Leistungselektronik SEPIC-Konverter Jonas Huber Zusammenfassung D U2 = U1 1−D (40) U2 = 2D − 1 U1 (41) Brückenschaltung 3 Einphasige Gleichrichterschaltung mit sinusförmigem Netzstrom Alle diese Schaltungen haben einen unidirektionalen Leistungsfluss von der AC- zur DC-Seite. Nachfolgend wird ein DC/DC-Konverter oder ein Wechselrichter geschaltet, um die Last zu versorgen. 3.1 Einphasen-Diodengleichrichter mit kapazitiver Glättung (a) Schaltbild des Einphase-Diodengleichrichters. (b) Betriebskennlinien. Abbildung 8: Einphasen-Diodengleichrichter: Schaltbild und Betriebskennlinien. Vereinfachende Annahmen: sehr gute Glättung der Ausgangsspannung, d. h. ud ≈ Ud = const. (praktische Realisierung durch Wahl von grossem Cd ). 3.1.1 Lückender Betrieb Ist die Ausgangsspannung Ud nahe dem Spitzenwert Û1 der Netzsspannung so arbeitet die Schaltung im Lückbetrieb (vgl. Abb. 9(a)). Dies ist in der Regel der Normalbetrieb eines Diodengleichrichters mit kapazitiver Glättung. Ausgangsstrom der Diodenbrücke Û1 id (t) = ωL1 während der Einschaltdauer β: ! Ud cos(α) − cos(ωt) − (ωt − α) Û1 für α ≤ ωt ≤ α + β (42) Für die Bedeutung von α und β siehe Abb. 9(a). Weitere Beziehungen: Ud = sin α Û1 1 − cos β α = arctan β − sin β und 9 (43) Leistungselektronik Jonas Huber (a) Lückbetrieb. Zusammenfassung (b) Nichtlückender Betrieb. Abbildung 9: Strom- und Spannungsverhältnisse des Einphasen-Diodengleichrichters. Mittelwert des Diodenstroms " Û1 Ud β 2 Û1 · (1 − cos β) − Id = πωL1 Ud Û1 2 # (44) Oder normiert auf den Gleichrichtwert des Kurschlussstromes des Netzes Id,n = " Id 2 π · Û1 ωL1 = 1 Û1 Ud β 2 · (1 − cos β) − · 2 Ud Û1 2 2Û1 πωL1 : # (45) 3.1.2 Nichtlückender Betrieb d über die Lückgrenze hinaus weiter verringert wird, arbeitet die Schaltung Wenn das Verhältnis U Û1 im nichtlückenden Betrieb (vgl. Abb. 8(b)). Ausgangsstrom der Diodenbrücke 2 Û1 id (t) = · cos(α0 ) · π ωL1 π π + α0 − ωt · cos(α0 ) − cos(ωt) 2 2 (46) Durch Integration von α0 bis α0 + π folgt für den Mittelwert Id : Id = 2 Û1 · · sin(α0 ) π ωL1 Und wiederum normiert auf den Gleichrichtwert des Kurzschlussstromes des Netzes: Id = sin(α0 ) Id,n = Û1 2 π · ωL1 (47) (48) 3.2 Netzstrom, Netzrückwirkungen Man kann den Eingangsstrom i1 des Gleichrichters in eine gegenüber der Netzspannung u1 um ϕ1 phasenverschobene Grundschwingung i1G und eine Summe von Oberschwingungen, den Verzerrungsanteil i1V , zerlegen: i1 = i1G + i1V 10 Leistungselektronik Jonas Huber Zusammenfassung (a) Netzstrom i1 für lückenden und nichtlücken- (b) Zerlegung des Netzstromes in einen Grundden Betrieb. schwingungsanteil i1G und einen Verzerrungsanteil i1V Abbildung 10: Verlauf des Netzstromes des einphasigen Diodengleichrichters. Leistungsfaktor Beschreibt die Belastung des Netzes bei Übertragung einer bestimmten Wirkleistung P1 und ist definiert als: λ= P1 S1 mit S1 = U1 · I1 und P1 = U1 · I1G · cos ϕ1 (49) Es trägt also nur die Grundschwingung des Eingangsstromes zur Wirkleistung bei! Es folgt also: λ= I1G · cos ϕ1 I1 1 und auch λ = q · cos ϕ1 2 1 + (T HD(i1 )) (50) Dabei beschreibt das THD (Total Harmonic Distortion) den Oberschwingungsanteil und ist definiert als T HD(i1 ) = II1V . Man erkennt, das sowohl eine Phasenverschiebung der Netzstrom1G Grundschwingung als auch eine Verzerrung des Netzstromes zu einer Verringerung des Leistungsfaktors führen! Netzspannungsverzerrung und Nulleiterbelastung Siehe Skript, Seiten 84ff. bzw. 86ff. 3.3 Einphasen-Diodengleichrichter mit sinusförmigem Eingangsstrom Die oben besprochene Schaltung entnimmt dem Netz einen höchst hässlichen Strom. Es ist jedoch wünschenswert, dass der Netzstrom einen weitgehend sinusförmig ist und gegenüber der Netzspannung keine Phasenverschiebung hat. Gleichrichterschaltungen mit sinusförmigem Eingangsstrom, auch als Power Factor Corrector (PFC) bezeichnet, verfügen über diese Eigenschaft. Tastverhältnis Im Prinzip wir dem Gleichrichter ein DC/DC-Konverter nachgeschaltet, hier ein Hochsetzsteller. Dessen Tastverhältnis wird so geregelt, dass zum einen eine konstante Ausgangsspannung Ud erzeugt wird und gleichzeitig der Eingangsstrom i0 proportional zur Eingangsspannung u0 ist. Das dazu nötige zeitabhängige Tastverhältnis ergibt sich (unter Vernachlässigung des gegenüber u1 kleinen lokalen Spannungsmittelwertes uL über der Induktivität) zu: d(t) = 1 − 1 |sin(ωt)| M 11 mit M = Ud Û1 (51) Leistungselektronik Jonas Huber Zusammenfassung Abbildung 11: Einphasen-Gleichrichter mit sinusförmigem Eingangsstrom. Die Ausgangsspannung sowie der Eingangsstrom werden geregelt. 3.3.1 Toleranzbandregelung Der Eingangsstrom i0 wird um einen vom Regler vorgegebenen Eingangsstromsollwert i0 ∗ innerhalb eines Toleranzbandes geführt. (a) Toleranzbandregelung des Eingangsstromes (b) Ein- und Ausschaltzeiten sowie Schaltfrei0 . quenz bei der Toleranzbandregelung (normierte Werte, vgl. Skript). Abbildung 12: Toleranzbandregelung des einphasigen Diodengleichrichters mit sinusförmigem Netzstrom. Toleranzbandbreite ∆ipp (t) = 2k · î0∗ |sin(ωt)| k : Proportionalitätsfaktor 12 (52) Leistungselektronik Jonas Huber Zusammenfassung Schaltzeitpunkte bzw. Intervalle Erster Ausschaltzeitpunkt (bzw. Dauer des ersten Einschaltintervalles): Tp1 = Ton,A T1 = · arctan π ωLIˆ0∗ (1 + k) Û1 ! T1 = 2π w Periodendauer des Netzes (53) Lokale Ausschaltdauer: Tof f,T (t) = sin(ωt) 2kLIˆ0∗ · ωLIˆ0∗ (1−k) Û1 M − sin(ωt) + cos(ωt) Û (54) 1 Lokale einschaltdauer: Ton,T (t) = 2kLIˆ0∗ · Û1 1− 1 ωLIˆ0∗ (1+k) Û1 (55) cot(ωt) 3.3.2 Regelung mit konstanter Tastfrequenz Der Nachteil der Toleranzbandregelung ist die starke Schwankung der Taktfrequenz fT innerhalb einer Netzhalbschwingung. Dies kann durch eine lineare Regelung des lokalen Eingangsstrommittelwertes gemäss dem Sollwert i0∗ erfolgen, wobei man dieses Verfahren als Average Current Mode Control bezeichnet. Hier ist also die Schaltfrequenz fT vorgegeben und der Verlauf der Einhüllenden des Rippels stellt sich entsprechend ein. Eingangsstromrippel Lokaler Spitzenwert: ∆i0pp = 1 0 u · d(t) · TT L mit d(t) = 1 − 1 sin(ωt) M (56) Dabei ist d(t) das durch den Stromregler eingestellte, zeitabhängige Tastverhältnis. Der Rippel mit Breite ∆i0pp liegt symmetrisch um den Sollwert i0∗ , daher sind die Einhüllenden: 1 ∆i0E = ± ∆i0pp 2 1 oder i0E = i0∗ ± ∆i0pp 2 (57) Achtung: Diese Beziehungen gelten nur für den kontinuierlichen Betrieb, d. h. wenn gilt: Û1 · TT Iˆ0∗ ≥ 2L Ausgangsspannungsregelung und Eingangsersatzwiderstand (58) siehe Skript, S. 105f. bzw. S. 106ff. 3.4 Dimensionierung einer Gleichrichterschaltung Vorausgesetzt wird kontinuierliche Stromführung in der Eingangsinduktivität des Hochsetzstellers! 13 Leistungselektronik Jonas Huber Ausgangskapazität Zusammenfassung Die Amplitude (!) der Ausgangsspannungssschwankung berechnet sich zu: ÛCd = Pd 1 · Ud 2ωCd ⇒ peak-to-peak: ∆ud = 2 · ÛCd (59) d der relativen Schwankung ∆u Soll der Peak-to-Peak-Wert 2ÛUCd Ud der Ausgangsspannung auf einen d bestimmten Wert beschränkt werden, muss die Kapazität Cd wie folgt dimensioniert werden: Cd ≥ 1 2ω ÛUCd d 1 · Rd Strombeanspruchung: 2 ICd,rms 1 = · M 4 1 − 3π 4M · Iˆ1∗2 (60) Ausgangsdiode Mittelung der Strombeanspruchung über eine Netzperiode: IDH,avg = 1 ˆ∗ ·I 2M 2 IDH,rms = 4 · Iˆ∗2 3πM (61) Leistungstransistor IT H,avg = 1 2 − π 2M · Iˆ1∗ IT2 H,rms = 1 4 − 2 3πM · Iˆ1∗2 (62) 4 Netzgeführte Stromrichter 4.1 Ungesteuerte Mittelpunktschaltung (Skript, S. 119ff.) 4.1.1 Gleichspannungsbildung Eine ohm’sche Last soll aus dem Dreiphasennetz gespeist werden (Fig. 4.1, Skript). Durch die Parallelschaltung der drei Phasenspannungen plus Dioden mit gemeinsamer Kathode wird erreicht, dass immer die höchste positive Phasenspannung an die Last durchgeschaltet wird. Jede der Dioden führt also während 120◦ den Laststrom. Der arithmetische Mittelwert der Lastspannung udi ergibt sich durch Integration zu: √ Z π √ 3 1 3 3 Udi0 = 2π 2U cos(ωt) d(ωt) = √ U (63) π 2 − π3 3 U ist dabei der Effektivwert der sekundärseitigen Phasenspannungen und Udi wird auch als ideelle Leerlaufgleichspannung bezeichnet. Achtung: Gilt nur für nichtlückenden Betrieb (sonst: Skript, S. 147f.). 4.2 Gesteuerte Mittelpunktsschaltung Dioden sind durch Thyristoren ersetzt, welche einen bestimmten Winkel, den sog. Zündwinkel α, nach dem natürlichen Kommutierungszeitpunkt einschalten und den Strom übernehmen. Der arithmetische Mittelwert der Ausgangsspannung ist dann von α abhängig: √ 3 3 (64) Udiα = Udi0 cos(α) = √ cos(α) · U π 2 14 Leistungselektronik Jonas Huber Zusammenfassung Für α ≤ 90◦ arbeitet die Schaltung im Gleichrichterbetrieb, es wird Leistung von der Wechselspannungsseite zur Gleichspannungsseite übertragen. Für α ≥ 90◦ arbeitet sie im (stationären) Wechselrichterbetrieb, der Leistungsfluss geht von der Gleichspannungsseite zur Wechselspannungsseite (beachte auch Pfeilrichtungen der Spannungen: Skript). Typischerweise kann α nicht grösser als etwa 150◦ werden, da sonst Wechselrichterkippen auftreten kann. 4.3 Drehstrombrückenschaltung (B6-Schaltung) Besteht im Prinzip aus zwei M3-Schaltungen. Daher addieren sich die Ausgangsspannungen dieser beiden: Udiα,6 = Udiα,1 + Udiα,2 (65) Für die ungesteuerte Variante gilt z. B.: Udi0,6 = 2Udi0 √ 3 3 =2· √ U π 2 (66) Diese Beziehungen können über Integration gefunden werden; beachte dass das Integrationsintervall wegen den sechs Pulsen π3 beträgt! 5 Induktivitäten als Bauelemente leistungselektronischer Schaltungen 5.1 Grundlagen Unter Vernachlässigung des ohmschen Widerstandes der Spule sowie der parasitären Parallelkapazität gilt für lineare Materialien die bekannte Gleichung: u=L di dt Gespeicherte Energie: 1 Wm = LI 2 2 (67) Pulsförmige Spannung Wird eine Pulsförmige Spannung an eine Induktivität gelegt, verhält sich der Strom eigentlich nichtlinear. Für den für die Leistungselektronik relevanten Fall von vernachlässigbarem ohm’schem Widerstand sowie einer Zeitkonstante die viel grösser als die Pulsfrequenz ist, kann jedoch mit einer linearen Näherung gearbeitet werden: i≈ U ·t L Real nichtlinear: i = t U (1 − e− τ ) R τ= L R (68) 5.2 Homogener Magnetkreis Unter der Annahme, dass die magnetische Feldstärke H im Magnetkern abschnittsweise konstant ist (gut erfüllt) sowie vereinfachend, dass die magnetische Feldstärke konstant längs des gesamten magnetischen Weges ist (exakt nur für Toroidspule), ergibt sich für N Wicklungen um einen solchen Kern der magnetische Widerstand und die Induktivität zu: Rm = l µAE L = N2 µAE 1 = N2 = N 2 · AL l Rm mit AL := 1 Rm (69) AL wird oft in Datenblättern spezifiziert, l ist die magnetische Weglänge und AE die Querschnittsfläche des (Eisen-)kerns. 15 Leistungselektronik Jonas Huber Zusammenfassung Unter Vernachlässigung von Streufeldern beträgt die in der Induktivität gespeicherte magnetische Energie: B2 Wm = VE VE : Eisenvolumen (70) 2µE 5.3 Magnetkreis mit Luftspalt Um eine Sättigung des Eisenkerns bei hohen Strömen zu vermeiden, kann ein Luftspalt der Breite δ in den Magnetkern geschnitten werden. Da die Permeabilität des Eisens viel grösser als jene von Luft ist (µE >> µ0 ) folgt Rδ >> RE , d. h. die Induktvität ist nur vom Luftspalt abhängig und es gilt unter Vernachlässigung der Streufelder: L ≈ N2 µ 0 AE δ oder mit µef f := µ0 l δ ⇒ L ≈ N2 µef f AE l (71) Die gespeicherte Energie beträgt: Wm = B2 B2 B2 VE + Vδ ≈ Vδ 2µE 2µ0 2µ0 (72) 5.4 Baugrösse einer Induktivität Sie L der geforderte Induktivitätswert, Iˆ der Spitzenwert des Betriebsstromes und Irms der entsprechende RMS-Wert. Weiter sei AW die Querschnittsfläche des Wicklungsraumes, kw < 1 der Kupferfüllfaktor und AL = SIrms der Kupferquerschnitt des Drahtes bei einer maximal zulässigen rms Stromdichte von Srms . Dann gilt für die Windungszahl: N= kw Aw AL (73) Mit der maximal zulässigen Induktion (Sättigungsinduktion) BS ergibt sich: ˆ rms = kw Srms BS AW AE LII für Iˆ ≈ Irms ≈ I: 1 2 1 LI = kw Srms BS AW AE 2 2 (74) Der Luftspalt muss so gewählt werden, dass der gewünschte Induktivitätswert erreicht wird. 5.5 Dimensionierung Oft sind L, Iˆ und Irms vorgegeben und die Kerngrösse (AE , AW ) sowie N und δ gesucht. Der Magnetkern wird aufgrund des Flächenproduktes AW AE gewählt und es gilt: AW AE = ˆ rms LII kw Srms BS N= LIˆ BS AE δ= N 2 µ 0 AE L (75) Achtung: Diese Formel für N sollte nur in diesem Kontext verwendet werden. Allg. gilt L ∝ N 2 , z. B. beim Trafo. Die Wicklungsverluste ergeben sich mit der mittleren Windungslänge lW und dem spezifischen Widerstand ρ zu: 2 2 Irms RW = ρkw AW lW Srms mit Kupferwiderstand Andere, iterative Vorgehensweise im Skript, S. 184. 16 RW = ρ N 2 lw k w AW (76) Leistungselektronik Jonas Huber Zusammenfassung 6 Transformator-Funktion, Ersatzschaltbild und Dimensionierung Siehe Skript, S. 187ff. 6.1 Dimensionierung An einem mehr oder weniger konkreten Beispiel ab S. 214. Wichtige Formeln daraus: N1 = BS · lE Iˆ1,µ · µE AE = Ψ̂1 N1 BS (77) Wichtige Erkenntnis: Je höher die Taktfrequenz, desto kleiner kann die Baugrösse von Übertragern gewählt werden: 1 AE AW ∝ (78) fp 6.2 Transformator ohne Streuung aber mit endlicher Permeabilität des Kerns L1 N2 = 12 L2 N2 U1 N1 = U2 N2 i1 = i1,µ + i2 N2 N1 (Verhältnis Primär-/Sekundärinduktivität) (79) (Spannungsübersetzung) (80) (Ströme – beachte Vorzeichen: hier i2 := i∗2 ) (81) 7 Potentialgetrennte DC/DC-Konverter 7.1 Sperrwandler (Flyback Converter Der Sperrwandler wird im Wesentlichen vom Inverswandler abgeleitet, indem die Induktivität durch zwei gekoppelte Induktivitäten ersetzt wird. Beachte, dass nie beide Windungen gleichzeitig Strom Abbildung 13: Sperrwandler führen! Im Ausschaltmoment des Transistors übernimmt die Sekundärwindung den Strom derart, dass die die Energie definierende magnetische Induktion im Kern kontinuierlich bleibt (Details vgl. N1 Skript, S. 225ff.): Iˆ2 = Iˆ1 N 2 17 Leistungselektronik Jonas Huber Zusammenfassung 1 Die Sperrspannungsbeanspruchung des Transistors ist dann gleich UT = U1 + U2 N N2 , wobei U2 die an der Sekundärwindung auftretende Spannung ist (Achtung: Falls Dioden Flussspannungen haben, gilt us 6= U2 )! 7.1.1 Diskontinuierliche Magnetisierung Um diskontinuierlichen Betrieb sicherstellen zu können, muss die Entmagnetisierung innerhalb des Ausschaltintervalles vollständig abgeschlossen sein. Als Bedingung an das Windungszahlverhältnis für diskontinuierlichen Betrieb ergibt sich: N1 D U1 ≥ N2 1 − D U2 Spannungsbeanspruchung des Transistors: UT1 ,m = U1 + U2 N1 N2 (82) Das Tastverhältnis beeinflusst also die Bauelementebeanspruchung! Abbildung 14: Ableitung des auf die Primärseite bezogenen Ersatzschaltbildes des Sperrwandlers. Pro Taktperiode wird während des Einschaltintervalls Energie in der Induktivität gespeichert und anschliessend auf die Sekundärseite geliefert. Daraus kann die Leistung berechnet werden: 1 WL = LIˆ12 2 P1 = WL TS (83) Spitzenwert des Primärstromes am Ende des Einschaltintervalls, die im mittel über eine Taktperiode U2 übertragene Leistung und daraus mit P2 = R2 (R: Lastwiderstand) die Spannungsübersetzung: U1 Iˆ1 = DTP L1 1 U12 2 P2 = D TP 2 L1 U2 =D U1 s 1R TP 2 L1 (84) Annahme: Durch grossen Ausgangskondensator näherungsweise konstante Ausgangsspannung U2 . 7.1.2 Kontinuierliche Magnetisierung Siehe Skript, S. 231ff. 7.1.3 Nichtideale Kopplung Bei nichtidealer Kopplung wird die Sperrspannung des Transistors erhöht, und es ist eine Schaltung zur Spannungsbegrenzung vorzusehen. Details siehe Skript, S. 233ff. 18 Leistungselektronik Jonas Huber Zusammenfassung Abbildung 15: Ströme und Spannungen beim Sperrwandler im diskontinuierlichen Betrieb. 7.2 Durchflusswandler Im Gegensatz zum Sperrwandler nutzt der Durchflusswandler den Transformator auf normale“ ” Weise, d. h. nicht zur Energiespeicherung. Ausgehend vom Tiefsetzsteller erhält man das Ersatzschaltbild des Durchlusswandlers. Abbildung 16: Durchflusswandler mit dritter Wicklung N3 zum Abbau der Magnetisierungsenergie, welche hier in die Quelle zurückgeliefert wird. Eine Spannungsbegrenzung über dem Transistor ist wegen der real auftretenden Streuung zwischen L1 und L3 trotzdem nötig, aber nicht eingezeichnet. 7.2.1 Unidirektionale magnetische Aussteuerung Bei unidirektionaler Aussteuerung des Magnetkerns bzw. diskontinuierlicher Magnetisierung wird der Fluss innerhalb der Taktperiode wieder auf Null abgebaut. Um die zu gewährleisten muss 19 Leistungselektronik Jonas Huber Zusammenfassung gelten: 1−D N3 ≤ N1 D Max. Spannung über Transistor: UT1 ,m = U1 + U1 N1 N3 (85) Bei Voraussetzung idealer Kopplung ergeben sich die charakteristischen Verläufe gemäss Fig. 7.2.1. Für die Spannungsübersetzung bzw. den Spitzenwert des magnetisierungsstromes gilt: Abbildung 17: Charakteristische Ströme und Spannungen beim Ein-Schalter-Durchflusswandler. U2 N2 =D U1 N1 Weiter gilt L1 L3 = U1 Iˆ1,µ = DTP L1 ⇒ N1 Iˆ3 = Iˆ1,µ N3 (86) N12 . N32 Zwei-Transistor-Durchflusswandler Wenn ein zweiter Transistor verwendet wird, kann die Primärwicklung auch für die Entmagnetisierung verwendet werden; die entmagnetisierende Spannung ist dann −U1 und die Dauer dieses Vorgangs gleich wie jende der Aufmagnetisierung, woraus Dmax = 0.5 folgt. Es ergeben sich das Ersatzschaltbild und die Verläufe aus Fig. 7.2.1. 7.2.2 Bidirektionale Aussteuerung Siehe Skript, S. 247ff. 8 Einphasen- und Dreiphasen-Pulswechselrichter mit eingeprägter Eingangsspannung 8.1 Einphasen-Brückenschaltung (Vierquadrantensteller) 8.2 Dreiphasen-Brückenschaltung 9 Allgemeines 20 Leistungselektronik Jonas Huber Zusammenfassung Abbildung 18: Ersatzschaltbild und charakteristische Ströme und Spannungen beim Zwei-SchalterDurchflusswandler. Mittel- und Effektivwert Iavg 1 = T Für Sinusgrössen gilt Irms = s Z T i(t) dt Irms = 0 ˆ √I . 2 1 T Z T (i(t))2 dt (87) 0 Beachte, dass beim berechnen des Effektivwertes über eine ganze R T /2 2 Halbschwingung aus den lokalen RMS-Werten irms (t) ebenfalls die Formel Irms = T2 0 irms (t)2 dt gilt (vgl. Skript, S. 114). Spezielle Signale: Rechteck, dass während 0 ≤ t < DTp konstant Iˆ beträgt und für DTp ≤ t < T Null ist: s Z √ 1 DTp ˆ2 Iavg = DIˆ Irms = I dt = DIˆ (88) Tp 0 Dreieck, das während 0 ≤ t < DTp linear von 0 auf Iˆ ansteigt und für DTp ≤ t < T Null ist: Iavg v u u 1 Z DTp Irms = t DIˆ = 2 Tp 0 !2 Iˆ ·t DTp s dt = Dˆ I 3 (89) Grundschwingung bestimmen Wähle die Nullage so, dass die Fourierreihe nur cos-Anteile besitzt, d. h. gerade ist. Dann berechnen sich die Koeffizienten der cos-Reihe nach: a0 1 c+T = f (t) dt 2 T c Z c+T 2 an = f (t) · cos(nωt) dt T c Z (Gleichanteil) (90) (91) Mit Periode T = 2π ergibt sich: a0 = 1 π Z π f (x) dx (Gleichanteil) −π an = 1 π Z π f (x) cos(nx) dx −π Der Koeffizient a1 ist dann die Amplitude der Grundschwingung. 21 (92) Leistungselektronik Jonas Huber Leistungsmittelwerte S =U ·I =U Zusammenfassung Mit Annahme sinusförmiger Spannung U (RMS-Wert), gilt: q 2 + I2 + I2 + . . . I(1) (2) (3) (Scheinleistung) (93) (Grundschwingungsscheinleistung) (94) Q(1) = U · I(1) sin(ϕ1 ) (Grundschwingungsblindleistung) (95) P = U · I(1) cos(ϕ1 ) (Wirkleistung) (96) (Gesamtblindleistung) (97) S(1) = U · I(1) Q= p S2 − P 2 Beachte, dass nur die Grundschwingung zur Wirkleistung beiträgt! Bei Dreiphasensystemen den Faktor 3 nicht vergessen! 22 Index Boost Converter, 4 Brückenschaltung, 9 Buck Converter, 2 Buck-Boost Converter, 6 SEPIC-Konverter, 9 Silicon Utilization, 8 Spannungszeitflächen, 1 Sperrwandler, 17 Cuk-Konverter, 8 Tastverhältnis, 1 Tief-Hochsetzsteller, 6 Tiefpass 1. Ordnung, 1 2. Ordnung, 1 Tiefsetzsteller, 2 Lückbetrieb, 3 Transformator, 17 Drehstrombrückenschaltung, 15 Dreiphasen-Brückenschaltung, 20 Durchflusswandler, 19 Effektivwert, 20 Einphasen-Brückenschaltung, 20 Einphasen-Gleichrichter, 9 kapazitive Glättung, 9 Leistungsfaktor, 11 Netzrückwirkungen, 10 sinusförmiger Netzsstrom, 11 Toleranzbandregelung, 12 Einphasen-Gleichrichter: konstante Taktfrequenz, 13 Flyback Converter, 17 Gleichrichter, 9 Grundschwingung, 21 Hochsetzsteller, 4 Induktivität Dimensionierung, 16 Induktvität, 15 Inverswandler, 6 Lückgrenze, 3 Ladungsgleichgewicht, 1 Luftspalt, 16 Magnetkreis, 15, 16 Mittelpunktschaltung gesteuerte, 14 ungesteuerte, 14 Mittelwert, 20 Netzgeführte Stromrichter, 14 PFC, 11 23 Vierquadrantensteller, 20
![Aufgabenblatt 9 Aufgabe 1 [Cournot–Gleichgewicht und Kooperation]](http://s1.studylibde.com/store/data/001957943_1-2e6d359103c4b453dc7370242c782f0d-300x300.png)
