1. Das 3. Keplersche Gesetz Das Verhältnis der dritten Potenzen der

1. Das 3. Keplersche Gesetz
Das Verhältnis der dritten Potenzen der grossen Halbachsen zweier Planeten ist
gleich dem Verhältnis der Quadrate ihrer Umlaufzeiten.
a 3
1
a2
=
P 2
1
P2
a - Halbachsen der elliptischen Bahnen, P - Periodendauer eines Umlaufes.
In dieser Form ist das Gesetz nicht exakt gültig, da die Eigenmassen der
Objekte die Periode beeinflussen.
Herleitung einer exakteren Formulierung des 3. Keplerschen Gesetzes aus Newtonschen Gesetzen:
Ausgangspunkt: 2. Keplersches Gesetz
(1)
Ȧ =
1
k
2
Ȧ - Flächengeschwindigkeit, k - Drehimpuls.
k ist konstant, und somit ist es auch die Flächengeschwindigkeit.
Der Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
Glg. (1) kann umgeschrieben werden zu
1
k dt
2
und über eine volle Periode integriert werden:
Z
Z P
1
dA = k
dt
2
Bahnumlauf
0
dA =
Für die Fläche einer Ellipse gilt
A = π a b = π a2
√
1 − e2
a und b sind die grosse und die kleine Halbachse, e die Exzentrität. Wir erhalten:
√
1
π a2 1 − e 2 = k P
2
Für k gilt (es ist natürlich die ganze Zeit vom Betrag des Drehimpulsvektors die
Rede, k = |~k|):
p
k = G (m1 + m2 ) a (1 − e2 )
1
2
Einsetzen ergibt die gesuchte neue Formulierung des 3. Keplerschen Gesetzes:
4 π2
a3
G (m1 + m2 )
Werden die Entfernungen in astronomischen Einheiten, die Zeiten in siderischen
Jahren und die Massen in Sonnenmassen ausgedrückt, wird G = 4 π 2
und Glg. (2) zu
(2)
(3)
P2 =
a3 = (m1 + m2 ) P 2 .
2. Massenbestimmung von Doppelsternen
2.1. Visuelle Doppelsterne.
00
Direkte Beobachtung liefert den Winkelabstand a der beiden Sterne und die Umlaufzeit P . Wenn zusätzlich die Entfernung des Dopplesternsystems bekannt ist,
kann daraus a bestimmt werden und es ergint sich mit Glg.(3) die Massensumme.
Können durch die Bewegung der beiden Komponenten relativ zum Massenzentrum a1 und a2 bestimmt werden, ergibt sich damit durch
a1
m2
=
a2
m1
das Massenverhältnis. Aus Massenverhältnis und der Gesamtmasse können die
Einzelmassen bestimmt werden.
2.2. Spektroskopische Doppelsterne.
sind Doppelsterne, welche durch Teleskope nicht aufglöst werden können. Sie wurden entdeckt, da ihre Spektrallinien in gleichmässigen Zeitabständen verdoppelt
erscheinen. Diese Trennung ist am grössten, wenn sich die eine Komponente auf
den Beobachter zu, die andere von ihm weg bewegt.
Die beobachtete Geschwindigkeit v ist mit der wahren Geschwindigkeit v0 über
v = v0 sini
verbunden, wobei i - Bahnneigung, d.h. Winkel zwischen der Sichtlinie und der
Bahnnormalen. Diese Bahnneigung ist unbekannt.
Vereinfachend wird angenommen, beide Komponenten umlaufen auf Kreisbahnen
das Massenzentrum. Die beobachtete Bahngeschwindigkeit von Komponente 1 ist
dann
2 π a1 sini
v1 =
P
3
Durch
a1
m2
=
a
m1 + m 2
kann a1 ersetzt werden.
2 π a m2 sini
P m1 + m 2
Dieses wird nach a umgestellt und in das 3.Keplersche Gesetz Glg.(3) eingesetzt
und man erhält die sogenannte Massenfunktionsgleichung:
v1 =
v13 P
m32 sin3 i
=
(4)
(m1 + m2 )2
8 π3
Wenn beide Spektren sichtbar sind und deren absolute Linienverschiebung gemessen werden konnte, erhält man aus
v1
a1
m2
=
=
v2
a2
m1
die Beziehung
m2 v 2
m1 =
v1
Setzt man dies ein in die Massenfunktionsglg, kann der Wert von m2 sin3 i und
entsprechend auch von m1 sin3 i bestimmt werden. Der tatsächliche Wert kann
jedoch nicht ohne die Kenntnis der Bahnneigung bestimmt werden.
3. Massenbestimmung von Spiralgalaxien
Eine Rotationskurve ist eine Abbildung der Winkelgeschwindigkeit ω über dem
Abstand vom galaktischen Zentrum R.
Als Beispiel soll hier die Rotationskurve der Milchstrasse dargestellt werden:
4
Abbildung 1
Die Rotationskurve wird von den Massekomponenten bestimmt. Der steile Anstieg
im Inneren (nahezu Rotation wie die eines festen Körpers) wird durch die schnell
nach aussen ansteigende innere Masse der Galaxis bestimmt. Ausserhalb dieser
Region nimmt die Geschwindigkeit zuerst ab und beginnt dann zu wachsen.
Nach dem Erreichen eines Maximums sollte die Geschwindigkeit nach früheren
Vorstellungen mit zunehmendem Radius geringer werden.
Die Masse kann nach dem dritten Kepplerschen Gesetz für die Bahngeschwindigkeiten ausgerechnet werden:
Die Umlaufzeit P wird als Funktion vom Bahnradius R und der Bahngeschwindigkeit v ausgedrückt als
2πR
P =
.
v
Eingesetzt in das Glg.(3) ergibt das mit G = 4 π 2 und M = m1 + m2
r
GM
(5)
v =
R
Die Geschwindigkeit der Rotation der Galaxis nimmt, wie die Abbildung zeigt,
nach aussen hin nicht ab, sondern bleibt nahezu konstant oder steigt sogar an. Dies
passt nicht zu den Keplerschen Gesetzen, die einen Abfall nach aussen vorhersagen.
Andere Galaxien zeigen dieses Verhalten auch. Die Erwartung des Abfallens basiert
auf der Wirkung der Gravitation der Gesamtmasse der Galaxis. Das Fehlen des
Abfalls wird nun so gedeutet, dass es wohl mehr Masse gibt, als man mit den
bekannten Materiekomponenten (Sterne, Gas, Staub, Kometen) erklären kann.
⇒ Dunkle Materie