Knoten- und Kantenfärbungen

Graphentheorie
Färbungen
Rainer Schrader
Zentrum für Angewandte Informatik Köln
28. Januar 2008
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Knoten- und Kantenfärbungen
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Knoten- und Kantenfärbungen
• wir wollen versuchen, die Knoten eines Graphen zu färben
• dabei dürfen keine zwei benachbarten Knoten die gleiche Farbe tragen
Gliederung
• Knotenfärbungen
• Kantenfärbungen
• Färbungen planarer Graphen
• chromatisches Polynom
• und es soll eine minimale Anzahl von Farben verwendet werden
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Knoten- und Kantenfärbungen
Knoten- und Kantenfärbungen
• zur Veranschaulichung:
• sei S eine Menge von Studenten und V eine Menge von Vorlesungen
• für v ∈ V sei h(v ) ⊆ S die Menge der Studenten, die eine Prüfung
über v ablegen wollen
• eine Färbung ist eine Abbildung f : V → {1, . . . , n} mit
• wir wollen eine minimale Anzahl von Prüfungsterminen einrichten
f (u) 6= f (v ) für (u, v ) ∈ E
• zwei Prüfungen dürfen sich nur dann überschneiden, wenn kein Prüfling
an beiden teilnehmen will
• die Knoten einer Farbe bilden eine Farbklasse
• wir definieren den Graphen
• offensichtlich ist jede Farbklasse eine stabile Menge von G
G = (V , E ) mit (u, v ) ∈ E , falls h(u) ∩ h(v ) 6= ∅
• ein Graph heißt k -färbbar, wenn eine Färbung mit k Farben existiert
• die minimale Anzahl von Prüfungen ist gleich χ(G)
• die chromatische Zahl χ(G) ist das kleinste k , für das G k -färbbar
ist
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Knoten- und Kantenfärbungen
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Knoten- und Kantenfärbungen
• wir setzen einfache Graphen voraus, denn:
• damit ist 2-Färbbarkeit in polynomieller Zeit testbar
• die Berechnung der chromatischen Zahl eines Graphen ist jedoch
• ein Graph mit Schlingen ist nicht färbbar
NP-vollständig
• und Mehrfachkanten beeinflussen die Färbbarkeit nicht
• insbesondere sind die folgenden Fragestellungen NP-vollständig
• offensichtlich gilt:
• für festes k ≥ 3, ist ein Graph k -färbbar ?
• χ(Kp ) = p,
• ist ein gegebener planarer Graph 3-färbbar ?
• χ(G) = 2 ⇐⇒ G ist bipartit,
• ist ein gegebener planarer Graph mit Maximalgrad vier 3-färbbar ?
• χ(Cn ) = 3, falls n ≥ 3 und ungerade
Wir wollen im Folgenden versuchen, zumindest Abschätzungen für die chromatische Zahl anzugeben.
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Knoten- und Kantenfärbungen
Knoten- und Kantenfärbungen
• seien
Lemma 1
Für einen Graphen G mit m Kanten gilt:
r
χ(G) ≤
2m +
δ(G) = min d (v ) und ∆(G) = max d (v )
v ∈E
der Minimal- bzw. Maximalgrad eines Graphen
1
1
+ .
4
2
Wir betrachten die folgende Färbungsheuristik:
Beweis:
(1)
(2)
(3)
(4)
• sei f eine Färbung mit k = χ(G) Farben
• dann existiert zwischen je zwei Farbklassen mindestens eine Kante
• also gilt m ≥ 12 k (k − 1)
nummeriere die Knoten v1 , . . . , vn
färbe v1 mit der Farbe 1
seien v1 , . . . , vi −1 gefärbt,
wähle im i -ten Schritten die kleinste Farbe für vi , die unter
Berücksichtigung der Färbung von v1 , . . . , vi −1 möglich ist.
• durch Auflösung nach k folgt die Behauptung.
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Knotenfärbungen
Knotenfärbungen
allgemeiner:
Bemerkungen:
(1) wähle eine maximale unabhängige Menge V1 aus
(2) färbe sie mit der Farbe 1
(3) färbe danach rekursiv den Graphen G r V1 mit den Farben 2, 3, . . .
(i) es existiert immer eine Anordnung der Knoten, so dass die Heuristik
optimal färbt:
• seien F1 , . . . , FK die Farbklassen eines Graphen G
• färbe die Knoten in der Reihenfolge F1 , . . . , FK
Lemma 2
• innerhalb einer Farbklasse ist die Anordnung beliebig
Für jeden Graphen G gilt χ(G) ≤ ∆(G) + 1.
• dann benötigt der Algorithmus genau k Farben
Beweis:
• offensichtlich liefert die obige Heuristik eine zulässige Färbung
• in G ist jeder Knoten zu maximal ∆(G) anderen Knoten benachbart
• damit kommen wir mit ∆(G) + 1 Farben aus.
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Knotenfärbungen
Knotenfärbungen
(ii) für vollständige Graphen und für Kreise ungerader Länge ist auch
∆(G) + 1 bestmöglich
Lemma 3
(iii) im Allgemeinen ist die Abschätzung jedoch sehr grob:
Beweis:
χ(G) ≤ 1 + max{δ(H ) : H induzierter Teilgraph von G}.
• wähle vn mit minimalen Grad in G
• sei Gi = G(v1 , . . . , vi ) der von den ersten i Knoten induzierte
Teilgraph
• vn−1 mit minimalen Grad in G r vn
• dann reichen für die Färbung von vi bereits dGi (vi ) + 1 Farben
• ...
• dann benötigt die Heuristik
• daraus ergibt sich:
1 + max{dGi (vi ) : 1 ≤ i ≤ n}
= 1 + max{δ(Gi ) : 1 ≤ i ≤ n}
≤ 1 + max{δ(H ) : H induzierter Teilgraph von G}.
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Knotenfärbungen
Knotenfärbungen
Weiter gilt:
Satz 4 (Brooks)
• sei G 1-knotenzusammenhängend und {v } ein trennender Knoten
Sei G ein zusammenhängender Graph mit n ≥ 2 Knoten, der weder
vollständig noch ein ungerader Kreis ist. Dann gilt χ(G) ≤ ∆(G).
• der Graph G r v zerfalle in Zusammenhangskomponenten
Gi = (Vi , Ei ) mit i = . . . r
• seien Hi die von Vi ∪ v
Beweis:
induzierten Teilgraphen von G,
• per Induktion über n
• dann ist χ(G) = max χ(Hi )
• der Fall n = 2 ist trivial
• mit dieser Beobachtung lässt sich die Abschätzung
• sei also n ≥ 3
χ(G) ≤ ∆(G) + 1 etwas verschärfen:
• wir unterscheiden die Fälle:
(i) G ist nicht ∆-regulär
(ii) G ist ∆-regulär
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Knotenfärbungen
Knotenfärbungen
(i) G ist nicht ∆-regulär
(ii) G ist ∆-regulär
• sei vn ein Knoten minimalen Grades
• da ein 2-regulärer zusammenhängender Graph ein Kreis ist, können
wir annehmen, dass ∆ ≥ 3
• dann ist d (vn ) < ∆
• weiter können wir annehmen, dass G zweifach
• da G zusammenhängend ist, hat vn einen Nachbarn vn−1 in Gn−1
knotenzusammenhängend ist:
• für diesen Knoten gilt dGn−1 (vn−1 ) < ∆
• angenommen v ist ein trennender Knoten
• per Induktion können wir eine Nummerierung der Knoten bestimmen,
• dann ist χ(G) = max χ(Hi ), wobei Hi alle am Knoten v
angehefteten Untergraphen durchläuft
so dass dGi (vi ) < ∆ für 1 ≤ i ≤ n
• die Färbungsheuristik benötigt dann höchstens ∆ Farben.
• da d (v ) < ∆ in jedem Hi , sind die Hi nicht ∆-regulär,
• d.h. χ(Hi ) ≤ ∆ nach (i) und somit χ(G) ≤ ∆.
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Knotenfärbungen
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Knotenfärbungen
Als nächstes zeigen wir:
(i) G ist dreifach knotenzusammenhängend
• es existieren Knoten v1 , v2 , vn ∈ V mit:
• es muss ein Knoten vn ∈ V existieren, dessen Nachbarn nicht auch
schon alle untereinander benachbart sind:
• v1 , v2 ∈ N (vn )
• andernfalls bestünde G aus einer disjunkten Vereinigung von
vollständigen Graphen der Größe ∆ + 1
• (v1 , v2 ) ∈
/E
• G r {v1 , v2 } ist zusammenhängend
• da G zusammenhängend ist, wäre G ein vollständiger Graph,
im Widerspruch zur Annahme
• wir unterscheiden wieder zwei Fälle:
(i) G ist dreifach knotenzusammenhängend
• somit existiert ein vn und Knoten v1 , v2 ∈ N (vn ) mit (v1 , v2 ) ∈
/E
(ii) G ist zweifach knotenzusammenhängend
• Da G 3-zusammenhängend ist, ist G r {v1 , v2 } zusammenhängend.
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Knotenfärbungen
Knotenfärbungen
G
(ii) G ist zweifach knotenzusammenhängend:
G1
• sei {v , vn } eine trennende Menge
v
• G − {v , vn } zerfällt in disjunkte Graphen G1 , . . . , Gr mit r ≥ 2
G
G1
v
2
v
1
Gr
2
Gr
2
vn
v
• seien v1 Nachbar in G1 und v2 Nachbar in G2
2
• dann ist (v1 , v2 ) ∈
/E
v
1
• {v1 } ist keine trennende Menge
vn
• daher existiert zu jedem Knoten in G1 r v1 ein Weg zu jedem anderen
v
Knoten in G r {v1 , v2 },
• der Knoten vn hat Nachbarn in allen Gi , da sonst {v } eine trennende
Menge wäre
• entsprechendes gilt für jeden Knoten in G2 r v2
• seien v1 Nachbar in G1 und v2 Nachbar in G2
• damit ist G r {v1 , v2 } zusammenhängend.
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Knotenfärbungen
Knotenfärbungen
Wir nummerieren die Knoten wie folgt:
• die Heuristik beginnt mit v1
• vn−1 ∈ V r {vn , v1 , v2 } sei zu vn benachbart
• sie färbt v1 und v2 mit der Farbe 1
• vn−2 ∈ V r {vn , vn−1 , v1 , v2 } sei zu einem Knoten in
{vn , vn−1 } benachbart
• für 3 ≤ i < n gilt:
• vn−3 ∈ V r {vn , vn−1 , vn−2 , v1 , v2 } sei zu einem Knoten in
• vi hat einen Nachbarn unter den späteren Knoten
{vn , vn−1 , vn−2 } benachbart
• damit ist vi zu höchstens ∆ − 1 Vorgängern benachbart
• …
• vn ist zu v1 und v2 benachbart ist, die gleich gefärbt sind
Der Algorithmus arbeitet korrekt:
• daher benötigt die Heuristik nie mehr als ∆ Farben
• vn−1 existiert, da ∆ ≥ 3
• für i = n − 2, n − 1, . . . , 3 gilt:
• es existiert ein Knoten vi ∈ V r {v1 , v2 , vn . . . vi +1 }, der zu
mindestens einem der Knoten vi +1 , . . . , vn benachbart ist
• ansonsten wäre G r {v1 , v2 } nicht zusammenhängend
.
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Knoten- und Kantenfärbungen
Knoten- und Kantenfärbungen
• entsprechend können wir eine Kantenfärbung betrachten
• d.h. eine Abbildung f : E → {1, . . . , m} mit
Gliederung
f (e1 ) 6= f (e2 ), falls e1 und e2 adjazent
• Knotenfärbungen
• Kantenfärbungen
• Färbungen planarer Graphen
• der chromatische Index χ0 (G) ist die kleinste Anzahl an Farben, mit
der G kantengefärbt werden kann
• chromatisches Polynom
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Knoten- und Kantenfärbungen
Knoten- und Kantenfärbungen
• sei G = (V , E ) ein Graph
Zur Veranschaulichung:
• wir definieren einen Graphen L(G) = (E , F ) auf den Kanten
• die Studenten in S wollen Einzelprüfungen bei Prüfern aus einer
• es ist (e1 , e2 ) ∈ F , wenn sie in G einen Endknoten gemeinsam haben
Menge P ablegen
• L(G) ist der Kantengraph oder line graph von G
• wir konstruieren den bipartiten Multigraphen G = (S ∪ P , E ) mit
(s, p) ∈ E , falls s bei p eine Prüfung ablegen will
• offensichtlich gilt χ0 (G) = χ(L(G))
• für Kreise C gilt beispielsweise L(C) = C
• dann entspricht die minimale Anzahl von Prüfungsterminen einer
minimalen Kantenfärbung von G
• daher ist für ungerade Kreise Cn mit n ≥ 3 und ungerade wiederum
χ0 (Cn ) = 3
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Knoten- und Kantenfärbungen
Kantenfärbungen
Für bipartite Graphen ist der chromatische Index einfach zu berechnen.
• die Berechnung des chromatischen Index eines Graphen ist
NP-vollständig
Satz 6 (König)
Für bipartite Graphen G = (V , E ) gilt χ0 (G) = ∆(G).
• es ist bereits NP-vollständigen zu entscheiden, ob ein gegebener
einfacher Graph chromatischen Index drei hat
Beweis:
• für den Fall der 2-Färbbarkeit gilt jedoch wiederum:
• Induktion über |E |:
• sei G ein Graph mit ∆(G) = k und e = (u, v ) ∈ E eine beliebige
Lemma 5
Kante
Die 2-Färbbarkeit von Kanten eines Graphen kann effizient entschieden
werden.
• per Induktion hat G r e eine Kantenfärbung mit k Farben
Beweis:
• ein Graph ist 2-kantenfärbbar, wenn sein Kantengraph bipartit ist.
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Kantenfärbungen
Kantenfärbungen
• der Grad von u und v in G r e ist höchstens k − 1
• betrachte einen maximalen Kantenzug P in H , der in u startet
• daher gilt: es fehlt mindestens
• da ∆(H ) ≤ 2, ist P ein Weg
• da die Farben entlang P alternieren, kann der andere Endpunkt von
• eine Farbe i unter den zu u inzidenten Kanten
P nicht v sein:
• eine Farbe j unter den zu v inzidenten Kanten
• andernfalls trägt die letzte Kante von P eine andere Farbe als die
erste,
• P hätte gerade Länge
• ist i = j , so können wir e mit i färben und die Behauptung ist
bewiesen
• andernfalls sei H der Graph, der aus allen Knoten V und den Kanten
• und würde mit e einen ungeraden Kreis bilden
besteht, die mit i oder j gefärbt sind
• wir vertauschen die Farben i und j entlang P und können
• dann ist ∆(H ) ≤ 2 und der Grad von u in H ist höchstens eins
anschließend e mit j färben.
Das nächste Lemma liefert ein hinreichendes Kriterium für Kantenfärbungen:
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Kantenfärbungen
Kantenfärbungen
• betrachte eine Kantenfärbung von G r u mit k Farben
Lemma 7
• sei Xi die Menge der Nachbarn von u, an denen die Farbe i fehlt,
Sei u ∈ V so, dass sowohl u als auch alle seine Nachbarn Grad höchstens
k haben und höchstens ein Nachbar Grad k hat. Dann gilt:
1≤i ≤k
G r u k -kantenfärbbar =⇒ G k -kantenfärbbar.
1 fehlt
2 fehlt
3 fehlt
k fehlt
Beweis:
• per Induktion über k :
• für k = 1 ist diese Aussage offensichtlich richtig
• wir wählen die Färbung so, dass
• für den allgemeinen Fall können wir annehmen:
Pk
i =1
|Xi |2 minimal ist, und
unterscheiden zwei Fälle:
• genau ein Nachbar hat Grad k
(i) |Xi | =
6 1 für alle i = 1, . . . , k
• alle anderen Nachbarn haben Grad k − 1
• dies können wir dadurch sicherstellen, dass wir neue Knoten
(i) es existiert ein i mit |Xi | = 1
hinzufügen, die wir geeignet mit den Nachbarn verbinden
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Kantenfärbungen
Kantenfärbungen
(i) |Xi | =
6 1 für alle i = 1, . . . , k :
(ii) es existiert ein Index i mit |Xi | = 1 :
• in einem Nachbarn fehlt genau eine Farbe, in allen anderen genau zwei
• wir können annehmen, dass i = k und Xk = {v }
• daher taucht dieser eine Knoten in einem Xi auf und alle anderen in
• sei G 0 der Teilgraph von G, der entsteht, wenn wir die Kante
genau zwei
P
• somit gilt ki=1 |Xi | = 2d (u) − 1 < 2k
(u, v ) und alle mit k gefärbten Kanten entfernen
• dann gilt:
• damit existieren Indizes i und j mit |Xi | < 2 und |Xj | ungerade
• G 0 r u ist mit k − 1 Farben kantengefärbt,
• d.h. |Xi | = 0 und |Xj | ≥ 3
• u und alle seine Nachbarn haben in G 0 Grad höchstens k − 1,
• sei Hij der von den Kanten mit den Farben i und j induzierte Teilgraph
• höchstens einer hat Grad k − 1
• sei P ein Pfad, der in einem Knoten von Xj startet
• per Induktion ist dann G 0 mit k − 1 Farben kantenfärbbar
• wenn wir entlang P die Färbung vertauschen, reduzieren wir
• wir fügen die mit k gefärbten Kanten wieder hinzu
|Xi |2 + |Xj |2 , im Widerspruch zur Wahl der Färbung.
• und färben die Kante (u, v ) mit k
• und erhalten eine k -Färbung von G.
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Kantenfärbungen
Knoten- und Kantenfärbungen
• der nächste Satz zeigt, dass der chromatische Index nur eine von zwei
Zahlen annehmen kann
• trotzdem ist die Entscheidung, welcher der Zahlen die richtige ist,
NP-vollständig.
Gliederung
Satz 8 (Vizing)
• Knotenfärbungen
• Kantenfärbungen
• Färbungen planarer Graphen
0
Für einen einfachen Graphen gilt ∆(G) ≤ χ (G) ≤ ∆(G) + 1.
Beweis:
• chromatisches Polynom
• offensichtlich gilt χ0 (G) ≥ ∆(G)
• für die zweite Ungleichung wähle einen beliebigen Knoten u
• per Induktion ist G r u mit ∆ + 1 Farben färbbar
• u erfüllt die Voraussetzungen des Lemmas 7 mit k = ∆ + 1
• nach Lemma 7 ist damit auch G (∆ + 1)-färbbar.
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Färbungen planarer Graphen
Färbungen planarer Graphen
• Mitte des vorletzten Jahrhunderts wurde folgende Vermutung
Satz 9
aufgestellt:
Jeder planare Graph ist 5-färbbar.
• jede Landkarte kann so mit maximal vier Farben gefärbt werden
Beweis:
• dass keine zwei benachbarten Länder die gleiche Farbe tragen
Übungsaufgabe
• in der Sprache der Graphentheorie: jeder planare Graph lässt sich mit
vier Farben färben
• trotz zahlreicher Versuche hat es mehr als hundert Jahre gedauert bis
Appel und Haken 1976 einen ersten Beweis gefunden haben
• dieser blieb allerdings umstritten, da er zum großen Teil aus einer
Fallunterscheidung von mehr als 1000 Fällen besteht, die mit
Computerunterstützung durchgeführt wurde
• 1997 wurde der Ansatz vereinfacht, besteht aber immer noch aus einer
Vielzahl von Einzelfällen
• wir zeigen daher ein etwas schwächeres Resultat:
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Färbungen planarer Graphen
Färbungen planarer Graphen
• die 3-Färbbarkkeit liefert uns eine Schranke für das Problem der
Satz 10
Museumswächter
Jeder kreisplanare Graph ist 3-färbbar.
• zu Erinnerung:
Beweis:
• sei G ein kreisplanarer Graph
Museumswärter-Problem
• nach Korollar 7.18 hat G einen Knoten v vom Grad höchstens zwei
• gegeben sei der Grundriss eines (einfachen) Museums
• G r v ist ein kreisplanarer Graph
• per Induktion ist G r v 3-färbbar
• dann ist G ebenfalls 3-färbbar, da v nur zwei Nachbarn hat.
• Wärter können in jeder Ecke des Museums plaziert werden
• ihr Sichtfeld ist durch den Grundriss beschränkt
• wieviele Wärter sind notwendig, um jeden Punkt des Museums
einsehen zu können ?
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Färbungen planarer Graphen
Knoten- und Kantenfärbungen
• der Grundriss sei ein einfaches Polyon mit n Ecken
• wir fassen dieses als kreisplanaren Graphen auf
• den wir durch Hinzugen von Sehnen triangulieren
Gliederung
• damit erhalten wir einen maximalen kreisplanaren Graphen G
• Knotenfärbungen
• Kantenfärbungen
• Färbungen planarer Graphen
• chromatisches Polynom
• nach Lemma 10 ist G 3-färbbar
• daher enthält jedes Dreieck in G einen Knoten jeder Farbe
• jeder Punkt im Polygon liegt auch in einem Dreieck
• sei 1 die Farbklasse mit den wenigsten Knoten
• damit reichen
n
3
Wärter aus
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chromatisches Polynom
chromatisches Polynom
• im Zusammenhang mit Lösungsansätzen für das Vier-Farben-Problem
• zur Veranschaulichung sei G = Kn .
wurde Anfang des 20. Jahrhunderts von Birkhoff das chromatische
Polynom eingeführt
• dann ist fKn (k ) = 0 für k < n
• für k = n können wir
• es zählt die Anzahl der verschiedenen Färbungen eines Graphen
• den ersten Knoten beliebig mit einer von den n Farben färben,
• den zweiten Knoten mit einer von den n − 1 übrigen,
• dabei sind zwei Färbungen verschieden, falls mindestens ein Knoten
von ihnen verschieden gefärbt wird
• usw.
• wir bezeichnen mit fG (k ) die Anzahl der verschiedenen Färbungen
• damit ist
eines Graphen G mit höchstens k Farben
fKn (n) = n · (n − 1) · . . . 2 · 1 = n!
• offensichtlich ist fG (k ) > 0 dann und nur dann, wenn G k -färbbar ist
• wie das folgende Lemma zeigt, lässt sich fG (k ) rekursiv berechnen
• dazu sei e = (u, v ) ∈ E eine beliebige Kante und G ◦ e der durch
Kontraktion von e entstehende Teilgraph
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chromatisches Polynom
chromatisches Polynom
Diese Lemma erlaubt uns, die folgenden Eigenschaften von fG (k ) herzuleiten:
Lemma 11
Satz 12
fG (k ) = fGre (k ) − fG◦e (k ).
Sei G = (V , E ) ein einfacher Graph und k ≥ χ(G). Dann ist fG (k ) ein
Polynom in k der Form fG (k ) = an k n + an−1 k n−1 + . . . + a0 und es gilt:
Beweis:
• betrachte eine beliebige Färbung F von G r e
(i) fG (k ) hat Grad n,
• sind u und v gleichgefärbt, so ist F auch eine Färbung von G ◦ e
(ii) die Koeffizienten an , an−1 , . . . , a0 haben alternierende Vorzeichen,
• umgekehrt liefert jede Färbung von G ◦ e auch eine Färbung von
(iii) an = 1, an−1 = −m, a0 = 0.
G r e, in der u und v gleichgefärbt sind
• jede Färbung von G r e, in der u und v verschieden gefärbt sind,
Beweis:
entspricht eineindeutig einer Färbung von G
• wir führen eine Induktion nach m durch:
• damit folgt fGre (k ) = fG (k ) + fG◦e (k ).
• ist m = 0 und |V | = n, so können die Knoten beliebig gefärbt werden,
d.h. fG (k ) = k n
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chromatisches Polynom
chromatisches Polynom
• sei e = (u, v ) ∈ E
Lemma 13
• nach Lemma 11 ist fG (k ) = fGre (k ) − fG◦e (k )
Ist G = G1 ∪ G2 mit G1 ∩ G2 = Kn , so folgt
• per Induktion folgt
fG (k ) = fG1 (k ) · fG2 (k )/fKn (k )
fGre (k ) = bn k n +
bn−1 k n−1 + . . . + b0
fG◦e (k ) =
cn−1 k n−1 + . . . + c0
Beweis:
• damit folgt
• jede Färbung F von G entspricht genau einem Paar (F1 , F2 ) von
Färbungen von G1 bzw. G2 , die auf Kn übereinstimmen
• ist F1 eine k -Färbung von G1 , so gibt es offensichtlich
an = bn = 1
fG2 (k )/fKn (k )
an−1 = bn−1 − cn−1 = −(m − 1) − 1 = −m
a0 = b0 − c0 = 0
k -Färbungen von G2 , die auf Kn mit F1 übereinstimmen.
ai = bi − ci , wobei bi > 0 ⇐⇒ ci < 0
und somit ai > 0 ⇐⇒ bi > 0.
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chromatisches Polynom
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chromatisches Polynom
Lemma 14
• sei u ein Blatt von T und sei T 0 = T r u
Für einen Baum T mit n Knoten gilt
• nach Induktion gilt fT 0 (k ) = k (k − 1)n−2
n−1
fT (k ) = k (k − 1)
• ist v der Nachbar von u, so schneidet die Kante (u, v ) T 0 in v
!
n−1
X
i n −1
=
(−1)
k n−i
i
• nach Lemma 13 folgt fT (k ) = fT 0 (k ) · fK2 (k )/fK1 (k )
i =0
Die Umkehrung gilt auch nach Satz 12 (i) - (iii).
Beweis:
• Induktion nach n :
• für n = 1 ist nichts zu zeigen
• das chromatische Polynom hat noch eine andere Darstellung
• sei n > 1
• dafür benötigen wir ein vorbereitendes ein Lemma, das als
Inklusions-Exklusionsprinzip bekannt ist
• sei u ein Blatt von T und sei T 0 = T r u
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chromatisches Polynom
chromatisches Polynom
• sei
Lemma 15
• A eine Grundmenge
Die Anzahl der Elemente von A, die in keiner der Teilmengen Ai enthalten
sind, beträgt
r
[
X
\
|A r
Ai | = |A| +
(−1)|I| · | Ai |.
• Ai ⊆ A Teilmengen von A für i = 1, . . . , r
• und S = {1, . . . , r }
• gesucht ist die Anzahl der Elemente, die in keiner Teilmenge liegen
Beispiel:
Beweis:
Dann ist
A1
A
• jedes Element, das in keiner Teilmenge liegt, wird im ersten
Summanden einmal gezählt
2
|A r
3
[
i =1
A3
i ∈I
I⊆S,S6=∅
i =1
Ai | = |A| −
3
X
|Ai |
• liegt ein Element in den Teilmengen A1 , . . . , Am , so taucht es in der
i =1
obigen Summation 2m mal auf (einschließlich des ersten Summanden)
+ |A1 ∩ A2 | + |A1 ∩ A3 | + |A2 ∩ A3 |
A
− |A1 ∩ A2 ∩ A3 |.
• dabei erscheint es aber genau so oft in einer ungeraden Menge
|S| wie in einer geraden
• daher ist der Beitrag eines solchen Elements Null.
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chromatisches Polynom
chromatisches Polynom
Für F ⊆ E sei
Beweis:
• G(F ) = (V , F ) der von den Kanten in F induzierte Untergraph
• sei A die Menge der Färbungen, bei denen auch adjazente Knoten die
gleiche Farbe tragen dürfen
• und c(G(F )) die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von G(F )
• dann ist |A| = k n = (−1)|F | k c(G(F )) mit F = ∅
• sei Ai die Teilmenge dieser Färbungen, in denen die Endknoten der
Satz 16 (Whitney)
Kante ei gleich gefärbt sind
Das chromatische Polynom lässt sich schreiben als
X
fG (k ) =
(−1)|F | · k c(G(F )) .
• nach dem Inklusions-Exklusionsprinzip aus Lemma 15 ist
fG (k ) =
F ⊆E
X
F ⊆E
• die Menge
(−1)|F | · |
\
Ai |
i ∈F
T
i ∈F Ai besteht aus Färbungen, die in jeder Kante aus
F die Färbungsbedingung verletzen
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chromatisches Polynom
• die Menge
T
i ∈F Ai besteht aus Färbungen, die in jeder Kante aus
F die Färbungsbedingung verletzen
• die Endknoten einer Kante e ∈ F sind somit gleichgefärbt
• damit sind auch alle Zusammenhangskomponenten von
G(F ) gleichgefärbt
• diese Zusammenhangskomponenten können aber unabhängig
voneinander gefärbt werden
T
• d.h. i ∈F Ai enthält k c(G(F )) Färbungen
• somit:
fG (k ) =
X
F ⊆E
=
X
(−1)|F | · |
\
Ai |
i ∈F
(−1)|F | · k c(G(F )) .
F ⊆E
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