Da die Hieroglyphen in der Präsentation nicht erkennbar waren, hier

Geschichte der Mathematik
Zahlen und Rechentechnik der Ägypter
Christiane Beller
Da die Hieroglyphen in der Präsentation nicht erkennbar waren, hier Kopien der Folien.
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Zahlen und Rechentechnik der Ägypter
Christiane Beller
Die ältesten Zahlenangaben stammen aus der 1. und 2. Dynastie, die zwischen 3300 und
2740 vor Christus einzuordnen ist. Sie wurden auf den Siegesdenkmälern der Könige Namer
und Chaasechem gefunden. Es sind Hieroglyphen, die zur Darstellung von Zahlen
verwendet wurden. An der obigen Darstellung wird deutlich, dass die Ägypter mit dem
Zehnersystem gerechnet haben. Sie haben für die Zehnerpotenzen bis 1 000 000 für jeden
Zehner eine eigene Hieroglyphe.
Die Darstellung der „Spirale“ wird auch als „Strick“ bezeichnet. Die Spirale kann z.B. aus
einem Tau o.ä. gelegt werden. Die Bezeichnung von 1000 als „Lotosblume“ und 100 000 als
„Kaulquappe“ wird auf des häufige Auftreten in der Region zurückgeführt.
Die Verwendung des „Genius“ (oder auch Gott der Unendlichkeit) zur Darstellung von
1 000 000 wurde auch als Mann interpretiert, der wegen der Größe der Zahl erschrocken sei.
Dies ist der Literatur nach aber nicht korrekt (Vogel, Kurt; Ifrah, Georges). Neuere
Untersuchungen haben gezeigt, dass es sich um einen Genius handelt, der das
Himmelsgewölbe stützt. Die Hieroglyphe steht auch für „Ewigkeit“ oder „Million Jahre“.
Diese Die Benutzung des Genius für 1 000 000 verschwand mit der Zeit, so dass man
Zahlen dieser Größenordnung in multiplikativer Schreiweise notierte. Ein Beispiel dieser
Notation befindet sich auf der nachfolgenden Folie (untere Darstellung).
Die Ägypter konnten Zahlen sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links
notieren. Wo der Zeilenanfang ist, wird durch die Blickrichtung der Personen und Tiere
erkennbar. Ihre Blickrichtung ist immer zum Zeilenanfang gerichtet. Die Notation der Zahl
von rechts nach links hat für unsere Notation der Zahlen keine Auswirkung, da die Symbole
für die Zehnerpotenzen genau so verwendet werden, wie oben angegeben.
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Bei der Notation von Zahlen wurden die Zeichen gruppiert, damit die Zeilen nicht zu lang
wurden und die Lesbarkeit erhöht wurde. Die Gruppen bestand aus 2, 3, 4 oder mehr
Zeichen, die häufig übereinander gestellt wurden. Die Gruppierung der Zahlen erfolgte
möglichst so, dass die Zahl auf einen Blick erkannt werden konnten („Erkennbarkeit auf
einen Blick“).
Die Darstellung von 2 800 000 ohne Benutzung des Genius wurde vorgenommen, wie die
untere Darstellung zeigt. Man erhält mit dieser Darstellung die gesuchte Zahl, indem man die
28 (zwei Bügel und vier Merkstriche) mit 100 000 („Kaulquappe“) multipliziert (28 * 100 000 =
2 800 000).
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Die Notation der im Beispiel genannten Zahl (2 375 486) beginnt mit der größten
Zehnerpotenz ganz links. Um die Zahl ablesen zu können, muss man in diesem Fall
1 000 000 + 1 000 000 für die erste Stelle bestimmen, 100 000 + 100 000 + 100 000 für die
zweite Stelle usw. Somit erhält man am Ende die dargestellte Zahl.
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Wie hierzu vorgegangen wurde, ist auf der nächsten Folie dargestellt.
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Für die Addition der im Beispiel angegebenen Zahlen wurden gleiche Individualzeichen
zusammengefasst. Da das ägyptische Zahlensystem ein Zehnersystem ist, musste man
nach dem Zusammenschieben die Individualzeichen möglicherweise Anpassungen
vornehmen. In dem angegebenen Beispiel sind z.B. nach dem Zusammenschieben 11
Merkstriche vorhanden. An dieser Stelle muss man für 10 Merksteiche einen Bügel einfügen
und statt der vorher 11 Merkstriche nun noch einen notieren. Eine Anpassung in ähnlicher
Art muss bei den Spiralen (Hundertern) vorgenommen werden. Nach der Anpassung erhält
man das gesuchte Ergebnis, was auch als letztes notiert ist.
Wo Änderungen der Individualeichen notwendig sind, kann man auch anhand der
schriftlichen Addition verdeutlichen, die wir heute verwenden. Hier die schriftliche Addition
1 2024 1 6
der oben angegebenen Aufgabe: + 3 5 217 415
1 5 5 51 51
Zur Darstellung von Zahlen, die größer als 10 sind, notieren wir die einer an der
entsprechenden Stelle und notieren den Übertrag (die Zehner) in der nachfolgenden Zeile
(Zur genauen Vorgehensweise siehe Vortrag von Julia Grote „Algorithmen für
Grundrechenarten in verschiedenen Ländern“). An den Stellen, an denen wir Überträge
verwenden, mussten die Ägypter eine Anpassung der Individualzeichen vornehmen.
Die genaue Berechnung einer Differenz ist auf der nachfolgenden Folie nähre beschrieben.
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Man erhält die Differenz zweier Zahlen, indem man die Anzahl der Zeichen der zweiten Zahl
von der ersten wegstreicht. Da aber schon in dem angegebenen Beispiel deutlich wird, dass
nicht immer ausreichend Zeichen vorhanden waren, die weggestrichen werden können, sind
teilweise Anpassungen erforderlich. Zur anschaulichen Darstellung hier die Erklärung der
Vorgehensweise anhand des Beispiels:
Damit ausreichend Bügel vorhanden sind, wird eine Spirale umgewandelt in zehn Bügel. Die
Notation der Zahl sieht dann folgender maßen aus:
22222
6 4 33
111
7
22222
64 3
111
2
An dieser Stelle wird schon deutlich, dass diese Veränderung zur Berechnung der Aufgabe
noch nicht ausreichend ist. Als nachfolgende Schritte werden noch weitere Umwandlungen
vorgenommen (nachfolgend die einzelnen Schritte):
1. Änderung einer Lotosblume in 10 Spiralen:
33333 22222
6
111
7 4 33333 22222
6
111
333
2
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2. Änderung einer Kaulquappe
in 10 große Finger:
33333 22222
55555
111
76
4 33333 22222
55555
111
333
2
3. Änderung eines großen Fingers
in 10 Lotosblumen:
4. Änderung des Genius
in 10 Kaulquappen:
44444 33333 22222
55555
111
76
44444 33333 22222
5555
111
4 333
2
66666
44444 33333 22222
55555
111
66666
44444 33333 22222
5555
111
6
4 333
2
In diesem Schritt sind von jedem Symbol ausreichend Zeichen zum Wegstreichen
vorhanden. Somit erhält man das gewünschte Ergebnis durch (wegzustreichende Symbole
sind rot markiert):
66666
44444 33333 22222
55555
111
66666
44444 33333 22222
5555
111
6
4 333
2
Nun ist das gesuchte Ergebnis direkt an den noch schwarzen Symbolen ablesbar: 849 671.
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An dem Beispiel kann man erkennen, dass Aufgabenstellungen schon einige Hieroglyphen
umfassen. Um bei uns die Aufgabenstellung zu notieren, sind in unserer Schreibweise
folgende Zeichen erforderlich: 100 ⋅ 10 , was eine wesentliche Verkürzung ist. Bei der
angegebenen Aufgabe wird schon deutlich, dass die Ägypter die Multiplikation mit 10 leicht
umsetzen konnten, indem das Individualzeichen verändert wurde. Bei mehrstelligen Zahlen,
die mit 10 multipliziert werden sollen, mussten alle Symbole jeweils um 10 erhöht werden,
also alle Individualzeichen verändert werden.
Bei der Berechnung eines Produktes stand den Ägyptern nicht das Einmaleins zur
Verfügung, das wir heute verwenden. Sie kannten allerdings die Rechenoperation der
Verdopplung. Um kompliziertere Aufgaben berechnen zu können, mussten sie sich behelfen.
Hierzu nutzten sie in Additionsschema, das nachfolgend an einem Beispiel erklärt wird.
Zur Berechnung der Aufgabe 15 · 13 wurde zuerst eine Art „Tabelle“ angelegt. Rechts wurde
der Multiplikator 15 notiert, links der Multiplikand 1.
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Als nächster Schritt wurden Verdopplungen der vorhergehenden Zeile vorgenommen, d.h.
1 · 2 und 15 · 2. Diese Berechnung wurde so lange wiederholt, bis der Wert in der linken
Spalte nicht größer ist, als der gesuchte Multiplikand. In diesem Fall musste man nach der
dritten Verdopplung abbrechen, da 16 größer wäre als 13, somit für die gesuchte Aufgabe
nicht relevant ist.
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Zur Bestimmung des gesuchten Ergebnisses musste die Summe der linken Spalte so
gebildet werden, dass man den Multiplikanden 13 erhält. Damit man sich vergessen hat,
welche Zeilen benutzt wurden, wurden links von den Multiplikanden Markierungen notiert. In
dem angegebenen Beispiel war der gesuchte Multiplikand 13. Man benutzte zunächst die
Zeile, in der der größte Multiplikand stand, hier 8, somit bekam die letzte Zeile eine
Markierung. Da noch 5 als Differenz zu 13 übrig blieben (13 – 8 = 5), wurden als weitere
Zeilen die dritte und erste Zeile markiert. Da 8 + 4 + 1 = 13 ergibt, ist man an dieser Stelle
fertig mit diesem Schritt.
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Mit Hilfe der Markierungen der benutzten Zeilen konnte das Ergebnis der Produkts bestimmt
werden. Hierzu wurden den die Zahlen in der rechten Spalte der markierten Zeilen addiert.
Diese Summe ergabt das Ergebnis der Aufgabe.
Für unser Beispiel ist das: 120 + 60 + 15 = 195. Das Ergebnis von 15 · 13 ist somit 195.
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Wie schon erwähnt, sieht die Division ähnlich aus wie die Multiplikation. Zur Verdeutlichung
der Berechnung wird die Division anhand eines Beispiels genauer beschrieben.
Auch für die Division wurde eine Art Tabelle angelegt. Rechts wurde der Divisor, in diesem
Fall 15, eingetragen, links eine 1. In der nächsten Zeile wurde jeweils die Verdopplung des
vorherigen Wertes notiert. Dieser Schritt wurde so lange wiederholt, bis der Wert in der
rechten Spalte nicht größer ist als 195.
Bei dem Beispiel muss man mit den Verdopplungen abschließen, wenn 120 erreicht ist. Im
nächsten Schritt würde man 240 erhalten, was größter ist als 195 und somit für diese
Aufgabe nicht relevant ist.
Zur Bestimmung des Ergebnisses wurde aus der rechten Spalte die Summe der Zahlen so
bestimmt, dass man 195 erhielt. Um die Zeilen festzulegen, die benutzt wurden, wurde mit
der größt möglichen Zahl der Zeilen begonnen. In dem Beispiel wurde mit der vierte Zeile
begonnen. Damit man sich merken konnte, welche Zeilen verwendet wurden, wurde auch
bei der Division links der benutzten Zeilen eine Markierung notiert.
Zur Ermittlung der weiteren Zeilen, die berücksichtigt wurden, wurde nun die Differenz
195 – 120 gebildet, man erhielt 75. Als weitere Zeilen wurden noch die dritte und erste Zeile
benötigt (60 + 15 = 75).
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Das Ergebnis von 195 : 15 erhält man nun durch Addition der Zahlen der linken Spalte der
markierten Zeilen. Man erhält für 195 : 15 durch 8 + 4 + 1 = 13.
Während der Präsentation kam die Frage auf, wie die Berechung der Aufgabe 196 : 15
aussieht. Für diese Berechnung wird ebenfalls eine Tabelle aufgestellt, die ebenfalls die
Zeilen einhält, die bei 195 : 15 erforderlich waren. Da man für die Ermittlung des Ergebnisses
in der rechten Spalte die Zeilen so addieren muss, dass man 196 erhält, fehlt noch 1. Hierzu
ist noch eine zusätzliche Zeile erforderlich. Man erhält den Wert 1 in der rechten Spalte,
indem man die erste Zeile durch 15 dividiert. Die Zeile würde folgendermaßen aussehen:
15
1
15 steht für 1/15, d.h. man benötigt Brüche zur Bestimmung der Lösung zu Aufgabe
196 : 15. Wie man mit Brüchen näher rechnet, wird später noch näher erläutert. An dieser
Stelle nur der Hinweis, wie man solche Aufgaben lösen kann.
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Für Aufgaben, bei denen der Dividend kleiner ist als der Divisor, wird ähnlich gerechnet, wie
bei der Division von Aufgaben, bei denen der Dividend größer ist als der Divisor. Allerdings
sind hierzu keine Verdopplungen von Zeile zu Zeile erforderlich, sondern Halbierungen.
Hierbei wird deutlich, dass die Ägypter schon Brüche kannten.
Die Aufgabe 2 : 8 wird also ebenfalls mit dem Tabellenschema notiert. Von Zeile zu Zeile
werden die Zahlen der vorherigen Zeile allerdings durch 2 dividiert.
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Wie vorhin schon erwähnt, kannten die Ägypter schon Brüche. Wie sie notiert wurden und
wie man mit ihnen rechnete, wird nachfolgend näher beschrieben.
Die Ägypter notierten Brüche auf ähnliche Art wie ganze Zahlen. Sie fügten zur
Verdeutlichung, dass es sich um einen Bruch handelt, eine Hieroglyphe „Mund“, die in
diesem Zusammenhang die Bedeutung „Teil“ hat, oberhalb der Zahl ein. Wenn mehrere
Symbole zur Darstellung des Nenners notwendig waren, wurd die Hieroglyphe ganz rechts
über der kleinsten Zehnerpotenz notiert (zu sehen an 1/249). Durch diese Darstellung
werden nur Stammbrüche, also Brüche mit Zähler 1, beschrieben. Die Ägypter hatten nur
wenige Brüche zusätzlich zu den Stammbrüchen. Sie hatten Symbole für ½ , ⅔ und ¾
(entsprechende Symbole sind oben dargestellt). In einigen Büchern wird auch beschrieben,
dass ¼ als × dargestellt wurde.
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Zur Darstellung von Brüchen mussten die Ägypter die Summe von mehreren Stammbrüchen
bilden, wobei die Wiederholung eines Bruches nicht zulässig war. Um zu ermitteln, welche
Stammbrüche zur Darstellung benutzt wurden, wurde zu erst überprüft, ob ½, ⅓ usw. in dem
darzustellenden Bruch enthalten waren. Man versuchte die Brüche mit möglichst großen
Stammbrüchen darzustellen.
3
3
Für die Darstellung des Bruches 5 wurde also zuerst überprüft, ob ½ in 5 enthalten ist.
Mit den uns heute bekannten Verfahren, würden wir zur Kontrolle die beiden Brüche zuerst
gleichnamig machen und anschließend die Differenz bestimmen.
3
5 =
6
10 =
5
10 +
1
1
1
10 = 2 + 10 an dieser Stelle ist die Umrechnung schon
abgeschlossen, da nur noch Stammbrüche verwendet werden. Bei komplizierteren Brüchen
kann es erforderlich sein, mehrere Stammbrüche zu überprüfen, bevor die endgültige
Darstellung ermittelt ist.
An anderer Stelle in der Literatur wurde die Darstellung des Bruches über die Division des
Zählers durch den Nenner bestimmt (wie bei Subtraktion von Brüchen zur Darstellung von
4
beschrieben).
15
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Zur einfacheren Schreibweise wird in den Büchern eine vereinfachte Darstellung der Brüche
vorgenommen. Die Notation von Brüchen als Hieroglyphen ist aufwendiger, sodass man
Brüche in eine uns zugänglichere Form notiert werden. Um Stammbrüche zu notieren, wird
in der Literatur oft nur der Nenner des Stammbruchs mit einem waagrechten Strich darüber
geschrieben. Für die Notation von ⅔ wurden in dieser Schreibweise einfach zwei waagrechte
Striche über der 3 notiert.
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Zur Addition von Brüchen ist hier eine Beispielaufgabe, die aus dem Papyrus Rhind stammt
(Informationen zum Papyrus Rhind sind in der Präsentation von Michalke zum Thema „Die
bemerkenswerte Geometrie im antiken Ägypten und Babylonien“ zu finden).
In der angegebenen Aufgabe soll folgende Aufgabe bestimmt werden:
1 1 1 1
1
1
1
1
+ + +
+
+
+
+
. Unter den letzten 5 Brüchen sind in rot so genannte
2 4 8 16 32 64 72 576
Hilfszahlen notiert. Diese Zahlen geben an, mit welchem Faktor der entsprechende Bruch
erweitert werden musste, um ihn zu den anderen zu addieren. In dieser Aufgabe würde man
1
36
z.B.
mit 36 erweitern und
erhalten. Somit würde man für die fünf letzten Brüche in
16
576
36
18
9
8
1
+
+
+
+
folgender Weise erhalten:
.
576 576 576 576 576
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Als Ergebnis dieser „Teilaufgabe“ erhält man, indem man die Hilfszahlen addiert und erhält:
72
1
, was sich zu
kürzen lässt. Die übrigen Brüche kann man schon im Kopf dazu
576
8
1 1 2 1 1 1 2 1
1 1 2
addieren: + = = , + = = und + = = 1 .
8 8 8 4 4 4 4 2
2 2 2
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Die Subtraktion von Brüchen wird auch mittels Hilfszahlen durchgeführt. Als Beispiel auch
hier eine Aufgabe aus dem Papyrus Rhind:
⎛2 1 ⎞
Die Aufgabe besteht darin, 1- ⎜ + ⎟ zu berechnen. Die Hilfszahlen geben, wie auch bei
⎝ 3 15 ⎠
der Addition von Brüchen, an, mit welchen Faktoren erweitert werden muss. Die Aufgabe
⎛ 20 1 ⎞
sähe also nach der Erweiterung so aus: 1- ⎜
+ ⎟ . Aus dieser Aufgabe kann man noch
⎝ 30 15 ⎠
nicht direkt erkennen, wie man weiter gerechnet hat. Man kann aber erkennen, dass man
20
10
10 1 11
zu
kürzen kann. Nun wird zuerst die Klammer berechnet:
+
=
. Jetzt kann
30
15
15 15 15
15
15 11 4
−
=
. An dieser Stelle sieht man, dass das Ergebnis durch
man 1 umwandeln zu
15
15 15 15
4
hatten, mussten sie
zu bestimmen ist. Da die Ägypter aber keine eigene Darstellung für
15
noch über die Aufgabe 4 : 15 die Darstellung ermitteln.
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Man notiert wie bei der Division in einer Art Tabelle in der rechten Spalte 15 und in der linken
1. Als erster Schritt wird in der zweiten Zeile der Wert 1/10 unter der 1 und 1 ½ unter 15
notiert. Die Zeile wird als durch 10 dividiert.
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1
, und 15 : 5,
5
also 3, notiert. Da man 4 : 15 darstellen soll, fehlt noch 1 bis zum gesuchten Ergebnis
1
(4 – 3 = 1). Also wird in der nachfolgenden Zeile der Wert 1 : 15 =
und 15 : 15 = 1 notiert.
15
Anschließend wird dann in der nachfolgenden Zeile der Wert für 1 : 5, also
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Durch die Merkstriche werden wieder die Zeilen markiert, die zur Ermittlung des Ergebnisses
erforderlich sind. Wie schon in der Beschreibung oben angegeben, erhält man 4 durch 3 + 1.
Somit muss vor der dritten und vierten Zeile ein Merkstrich notiert werden. Das Ergebnis zu
4
1 1
erhält man also durch +
.
15
5 15
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Zahlen und Rechentechnik der Ägypter
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Zusätzlich zu den verschiedenen Rechentechniken habe ich etwas zur hieratischen Schrift
notiert. Dies habe ich vor allem deshalb gemacht, da ich mir nicht sicher war, ob ich mit den
von mir präsentierten die Zeit vollkommen ausgenutzt war. Aus Zeitgründen wurde dieser
Teil nicht präsentiert. Daher hier eine Beschreibung der Hieroglyphen und der hieratischen
Schrift.
Da man schon im Anfang der Präsentation gesehen hat, dass die Notation mit Hieroglyphen
sehr aufwendig war, kann man sich vorstellen, dass auch die Ägypter eine einfachere
Schreibweise nutzen wollten. Aus den Hieroglyphen ist durch Schematisierung und
Reduzierung auf das Wesentliche die hieratische Schrift entstanden. Hierbei wurden zur
Unterscheidung der verschiedenen Zahlen charakteristische Merkmale hinzugefügt. Eine
Entwicklung der Zeichen für 20 bzw. 30 sind in dem Bild dargestellt. Durch die Darstellung
wird deutlich, dass es eine Entwicklung in der Art der Notation gegeben hat. Es wird auch
deutlich, dass sich einige Symbole sehr ähneln.
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Zahlen und Rechentechnik der Ägypter
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An dieser Stelle ein weiteres Beispiel zur Entwicklung der Zahlen 5 bis 9 in hieratischer
Schrift. Man erkennt zu Anfang noch deutlich die Verbindung zur Schreibweise mit
Hieroglyphen. Vergleicht man allerdings die Hieroglyphen nur mit dem letzten hieratischen
Schriftzeichen ist kein direkter Zusammenhang erkennbar.
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Zahlen und Rechentechnik der Ägypter
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Abschließend noch eine Übersicht, in der die Notation der Zahlen 1 bis 10 sowie einige
weitere Zahlen dargestellt sind.