Aufgabe 1: Zweitore

HFS
Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme I
LEHRSTUHL
FÜR
HOCHFREQUENZSYSTEME
Aufgabe 1: Zweitore
Gegeben ist folgende Zusammenschaltung dreier Zweitore:
R
L
L
U0
R
N1
N2
UA
N3
N
Abbildung 1: Zusammenschaltung dreier Zweitore
Das Zweitor N2 ist durch seine Kettenmatrix bestimmt:
1 0
A2 = 1
1
R
1. Ist das Zweitor N2 symmetrisch? Begründung.
2. Ist das Zweitor N2 reziprok? Begründung.
3. Wie lautet die Kettenmatrix für das Zweitor N1 bzw. N3 ?
4. Wie lautet die Kettenmatrix A für das Zweitor N ?
5. Ist das Zweitor N symmetrisch? Begründung.
6. Ist das Zweitor N reziprok? Begründung.
7. Zeichnen Sie die T-Ersatzschaltung des Zweitores N und stellen Sie hierzu die
Impedanzmatrix Z in Abhängigkeit von den Elementwerten L und R auf.
8. Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse aus der Aufgabe 1.7 indem Sie die Impedanzmatrix Z aus der Kettenmatrix A, die Sie in Aufgabe 1.4 ermittelt haben, bestimmen.
9. Berechnen Sie die kanonischen Impedanzen des Zweitores N und zeichnen Sie
gemäß des Satzes von Bartlett die zugehörige Kreuzschaltung.
Sommersemester 2012
04.09.2012
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Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme I
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FÜR
HOCHFREQUENZSYSTEME
Aufgabe 2: Leitungstheorie
In Abbildung 2 ist ein Netzwerk gegeben, das aus folgenden Elementen besteht:
• einer Spannungsquelle UG (t) mit U0 = 9V und einem Innenwiderstand Ri = 50Ω
• zwei parallel angeordneten dispersionsfreien und verlustlosen Leitungen L1 und L2 .
Die Leitung L1 hat die Länge l1 = 20m, einen Leitungswellenwiderstand ZL1 = 50Ω
und eine Phasengeschwindigkeit vph1 = 2.5·108 ms . Die Leitung L2 hat die Länge l2 =
10m, einen Leitungswellenwiderstand ZL2 = 50Ω und eine Phasengeschwindigkeit
vph2 = 1.25 · 108 ms .
• Beide Leitungszweige sind jeweils mit einer Last abgeschlossen. L1 ist abgeschlossen
mit einem Ohmschen Widerstand RE1 = 25Ω, L2 ist abgeschlossen mit einem
Ohmschen Widerstand RE2 = 100Ω.
Ri
UG (t)
l1
1
U1 (t)
ZL , vph1
RE1
UE1
ZL , vph2
RE2
UE2
1'
l2
Abbildung 2: Netzwerk
Dieses Netzwerk wird nun mit einem Spannungssprung wie in Abbildung 3 dargestellt
angeregt (UG (t) = U0 · s(t)):
UG (t)
U0
0
0
t
Abbildung 3: Spannungssprung UG (t)
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FÜR
HOCHFREQUENZSYSTEME
1. Zu welchem Zeitpunkt t1 erreicht die Flanke des durch UG (t) hervorgerufenen
Spannungssprungs den Abschlusswiderstand RE1 ?
2. Zu welchem Zeitpunkt t2 erreicht die Flanke des durch UG (t) hervorgerufenen
Spannungssprungs den Abschlusswiderstand RE2 ?
3. Berechnen Sie die in den Leitungszweig L1 und in den Leitungszweig L2 hineinlaufenden Spannungswellen Uhin1 und Uhin2 .
4. Berechnen Sie den Reflexionsfaktor rE1 am Ende des Leitungszweigs L1 und den
Reflexionsfaktor rE2 am Ende des Leitungszweigs L2 .
5. Berechnen Sie die von den Leitungsabschlüssen reflektierten Spannungswellen U1rück
(Leitungszweig L1 ) und U2rück (Leitungszweig L2 ).
6. Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung U1 (t) im Zeitraum von 0 < t <
320ns und beschreiben Sie die Besonderheiten dieses Verlaufes.
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FÜR
HOCHFREQUENZSYSTEME
Aufgabe 3: Streuparameter / Smith-Chart
Abbildung 4 stellt ein Netzwerk zur Impedanzanpassung dar. Eine komplexwertige Last
(ZLST = (10 + j80)Ω) soll mit Hilfe des LC-Hochpasses (ZL = (0 + j25)Ω, ZC ist
unbekannt) an die Quelle (ZQ = 50Ω) angepasst werden.
Z1 , r 1
ZQ
Z2 , r 2
1
r3
2
ZC
U0
ZLST
ZL
1'
2'
Quelle
2-Tor
Last
Abbildung 4: Anpassungsnetzwerk
1. Betrachten Sie zunächst die Ebene 2 − 2′ :
a) Welchen Wert muss die Ausgangsimpedanz Z2 besitzen, damit in der Ebene
2 − 2′ Leistungsanpassung vorliegt?
b) Welchen Wert besitzt dann r2 ?
2. Betrachten Sie nun das 2-Tor:
a) Welchen Wert muss die Kondensatorimpedanz ZC besitzen, damit das 2-Tor
die angestrebte Anpassung realisiert?
Hinweis: Alternativ können Sie die Dimensionierung des Bauteils direkt im SmithChart vornehmen (s. Aufgabenteil 4.a)
b) Bestimmen Sie die Kettenmatrix des 2-Tors (normiert auf Z0 = 50Ω) in der
Form
A B
K=
C D
Bestimmen Sie die Determinante der Kettenmatrix.
c) Berechnen Sie aus der ermittelten Kettenmatrix die Streumatrix des 2-Tors
in der Form
S11 S12
S=
S21 S22
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04.09.2012
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FÜR
HOCHFREQUENZSYSTEME
3. Betrachten Sie nun die Ebene 1 − 1′ :
a) Bestimmen Sie die Eingangsimpedanz Z1 des beschalteten 2-Tors.
b) Bestimmen Sie den Eingangsreflexionsfaktor r1 des beschalteten 2-Tors.
c) Ist das 2-Tor eingangsseitig angepasst?
4. Smith-Chart
a) Übertragen Sie die in Abbildung 4 dargestellte Anpassungsschaltung in das
beiliegende Smith-Diagramm.
b) Vergrößern Sie die Kondensatorimpedanz ZC um 10 Prozent. Zeichnen Sie
diese Situation ebenfalls in das Smith-Chart ein und bestimmen Sie aus dem
Smith-Chart das Maß der entstehenden Fehlanpassung. Welche Größe ziehen
Sie dazu heran?
Hilfestellung für komplexe Rechnung:
x=
a+jb
,c
c+jd
Sommersemester 2012
+ jd 6= 0
⇒
Re{x} =
ac+db
c2 +d2
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und Im{x} =
bc−ad
c2 +d2
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Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme I
The Complete Smith Chart
Black Magic Design
Bezugsimpedanz Z0 = 50Ω
0.11
70
(+
jX
/Z
45
1.0
2.0
0.5
0.
06
0.
44
0
14
5
0.0
4
0.
5
0.4
0.2
20
3.0
0.6
4.0
15
20
0.2
IND
UCT
IVE
0.28
5.0
10
0.25
0.26
0.24
0.27
0.23
0.25
0.24
0.26
0.23
0.27
REFLECTION COEFFICIENT IN DEG
REES
LE OF
ANG
ISSION COEFFICIENT IN
TRANSM
DEGR
LE OF
EES
ANG
8
0.
0.6
10
0.1
0.4
20
0.2
50
20
10
5.0
4.0
3.0
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
1.0
50
0.1
50
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
0.2
20
0.4
10
8
0.
-10
1.0
E
IV
CT
DU
N
I
2.0
1.8
1.6
4
1.4
0.9
1.2
0.13
0.36
0.8
1.0
0.14
-80
0.35
0
0
-4
0.15
5
-4
0.3
-5
-70
6
0
TR S. RF S. A
A W. L. W. TT
N P L L EN
SM EA O O
.
. C K SS [ SS C [dB
O
O (C dB O ]
EF
EF O ]
EF
F,
F, NS
F
E
P T.
or
P)
I
-65
0.6
-35
0.1
0.11
-100
0.12
0.37
0.4
0.39
0.38
¥ 40 30
0
10
20
1
0.9
1
0.0
5
0.8
0.9
0.1
3
15
2
0.7
4
0.6
0.8
0.2
10
3
4
0.5
0.4
0.7
0.3
2.5
5
8
6
0.3
0.6
0.4
2
7
6
8
0.2
0.5
0.5
1.8
9
5
10
0.1
0.4
0.6
1.6
0.3
0.7
1.4
4
12
3
14
0.05
0.2
0.8
1.2 1.1 1
2
20
0.01
1
15
TOWARD LOAD —>
10
7
5
1 1
1.1
30 ¥ 0
0.1
0 0
1.1
0.1
0 1
0.99
0.9
CENTER
1
1.1
0.2
1.2
1.3
0.95
4
1.2
1.3 1.4
0.4
0.6
1.4
0.8
1.5
0.9
2
<— TOWARD GENERATOR
2
1
3
1.6
1
1.8
1.5
2
2
1.6 1.7 1.8 1.9 2
0.8
0.7
3
4
3
4
5
0.6
0.5
10
5
2.5
3
0.4
¥
10 15 ¥
4
0.3
20
6
0.2
5
10 ¥
0.1
SM
20
A
N
R BS B] , P r I
SW d S [d EFF , E o
S
O CO EFF
.L .
N FL . CO
R L
RF
RT
¥ 100 40
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
ORIGIN
Abbildung 5: Smith-Chart
Sommersemester 2012
04.09.2012
.C
40
0.
0.5
-60
3
0.7
7
0.3
-55
0.1
06
-70
0.2
-30
2
-60
0.3
44
0.
31
0.
8
0.1
0
-5
-25
-1
0.1
0.4
1
-110
0.0
9
0.4
2
0.0
-12
8
0
C
A
P
0.4
AC
I
3
T
IVE
0.0
RE
7
AC
-1
T
A
30
NC
EC
OM
PO
N
EN
T
(-j
0.4
19
0.
-90
TR
0.0
5
R
O
),
Zo
X/
-75
0.6
-20
5
0.8
3.0
0.3
0
-4
0.4
4.0
4
0.0
0
-15 -80
1.0
-15
0.2
4
0.
0.2
9
1
-30
0.2
0.3
0.28
0.22
5.0
0.48
0.2
-20
o)
jB/Y
E (NC
TA
P
E
SC
SU
0.6
RADIALLY SCALED PARAMETERS
1
0.22
1.0
1.0
80
15
0
0.3
9
0.2
30
0.8
1
0.2
RE
AC
TA
75
NC
EC
OM
PO
N
EN
T
0.4
50
2
0.3
6
8
0.3
25
0.1
0.4
0.1
30
0.2
40
0.0 —> WAVELE
0.49
NGTH
S TOW
ARD
0.0
—
0.49
GEN
D LOAD <
R
A
W
ERA
0.48
S TO
– 180
H
TO
T
0.47
170
R—
-170
ENG
L
E
0.47
>
AV
W
0.0
160
<—
4
-90
90
-160
0.4
85
-85
6
7
3
31
0.
R
,O
o)
0.1
0.3
60
19
0.
VE
TI
CI
PA
A
C
4
35
1.8
65
3
0.4
0
13
6
0.3
1.6
7
0.0
)
/Yo
(+jB
CE
AN
PT
E
SC
SU
0.1
70
40
1.4
0
12
0.6 60
2
0.4
0.15
0.35
80
0.7
0.0
0.14
0.36
90
0.8
55
8
0.37
0.9
110
1
0.4
0.13
0.38
50
0.4
9
0.0
0.12
0.39
100
1.2
0.1
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HFS
Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme I
LEHRSTUHL
FÜR
HOCHFREQUENZSYSTEME
Aufgabe 4: Rauschen
1. Geben Sie das Rauschersatzschaltbild eines thermisch rauschenden Widerstandes
an.
2. In Abbildung 6 wird ein Rundfunkempfänger mit der Rauschzahl FT.280K = 3dB
an einer Dachantenne betrieben. Tuner und Antenne sind mit einer 100m langen
Koaxialleitung verbunden, die über der gesamten Länge eine Dämpfung von 6dB
(TL = 280K) aufweist. Berechnen Sie die Gesamtrauschzahl dieses Systems und
beachten Sie die Hilfestellung am Ende.
l
Antenne
T uner
Leitung
Abbildung 6: Rundfunkempfang ohne Verstärker
3. Im 1.Fall wird zur Verbesserung der Empfangsqualität ein Verstärker mit der
Rauschzahl FV.280K = 5dB und einer Verstärkung GV = 10dB eingesetzt. Der
Verstärker wird zwischen Antenne und Antennenleitung geschaltet (Abb. 7). Berechnen Sie die Gesamtrauschzahl dieses Systems.
l
Antenne V erstärker
Leitung
T uner
Abbildung 7: Rundfunkempfang mit Verstärker vor der Antennenleitung
4. Im 2. Fall wird dieser Verstärker (Rauschzahl FV.280K = 5dB und Verstärkung
GV = 10dB) nun zwischen Antennenleitung und Tuner geschaltet (Abb. 8). Berechnen Sie die Gesamtrauschzahl dieses Systems.
Sommersemester 2012
04.09.2012
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Klausur zur Vorlesung: Signale und Systeme I
HFS
LEHRSTUHL
FÜR
HOCHFREQUENZSYSTEME
l
Antenne
Leitung
V erstärker
T uner
Abbildung 8: Rundfunkempfang mit Verstärker nach der Antennenleitung
5. Diskutieren Sie die Ergebnisse.
Hilfestellung:
Zur Vereinfachung der Umrechnung der dB-Werte in lineare Werte für die Leistungsverhältnisse können Sie die folgende Tabelle mit angenäherten Werten benutzen:
dB-Wert Leistungsverhältnis
3dB
2
-3dB
1/2
5dB
3
-5dB
1/3
6dB
4
-6dB
1/4
10dB
10
-10dB
1/10
Sommersemester 2012
04.09.2012
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Klausur-Musterlösung zur Vorlesung: Signale und Systeme I
LEHRSTUHL
FÜR
HOCHFREQUENZSYSTEME
Aufgabe 1: Zweitore
Gegeben ist folgende Zusammenschaltung dreier Zweitore:
R
L
L
U0
R
N1
UA
N3
N2
N
Abbildung 1: Zusammenschaltung dreier Zweitore
Das Zweitor N2 ist durch seine Kettenmatrix bestimmt:
1 0
A2 = 1
1
R
1. Das Zweitor N2 ist symmetrisch, da A11 = A22 und detA = 1.
2. Die Reziprozitätsbedingung für das Zweitor N2 ist durch die erfüllte Symmetriebedingung (s.o.) bereits erfüllt: detA = 1. Zudem ist ein aus reziproken (passiven)
Bauelementen aufgebautes Zweitor reziprok.
3. Die Kettenmatrix für das Zweitor N1 bzw. N3 lautet:
A1 = A3 =
1 pL
0 1
4. Die Kettenmatrix A für das Zweitor N ergibt sich aus der Multiplikation der drei
Kettenmatrizen A1 , A2 , A3 (in der richtigen Reihenfolge):
A = A1 · A2 · A3
A=
A=
1 pL
0 1
1 0
1
1
R
pL
R
pl
1
A=
Sommersemester 2012
1+
1
R
1+
1
R
pL
R
1 pL
0 1
1 pL
0 1
2pl + pLpL
R
pL
+
1
R
04.09.2012
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HFS
Klausur-Musterlösung zur Vorlesung: Signale und Systeme I
LEHRSTUHL
FÜR
HOCHFREQUENZSYSTEME
5. Das Zweitor N ist symmetrisch, denn
• A11 = A22 = 1 +
pL
R
und
• detA = 1 +
pL
R
1+
pL
R
−
2pl
R
+
pLpL
RR
=1+
2pl
R
+
pLpL
RR
−
2pl
R
−
pLpL
RR
=1
6. Die Reziprozitätsbedingung für das Zweitor N ist durch die erfüllte Symmetriebedingung (s.o.) bereits erfüllt: detA = 1. Zudem ist ein aus reziproken (passiven)
Bauelementen aufgebautes Zweitor reziprok.
7. Das Zweitor N2 besteht aus einem quer liegendem ohmschen Widerstand. Damit
liegt das Zweitor N2 bereits als T-Ersatzschaltung vor:
L
L
R
N
Abbildung 2: Zusammenschaltung dreier Zweitore
Die T-Ersatzschaltung ist durch folgende Impedanzmatrix Z bestimmt:
Z=
Z1 + Z3
Z3
Z3
Z1 + Z3
Auf das behandelte Beispiel angewendet lautet die Impedanzmatrix Z des Zweitores N :
Z=
pL + R
R
R
pL + R
8. Die Parameter der Impedanzmatrix Z lassen sich aus der zuvor bestimmten Kettenmatrix A ermitteln:
Z11 =
1 + pL
A11
R
= R + pL
=
1
A21
R
Z12 =
Sommersemester 2012
detA
1
= 1 =R
A21
R
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Klausur-Musterlösung zur Vorlesung: Signale und Systeme I
Z21 =
Z22
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LEHRSTUHL
FÜR
HOCHFREQUENZSYSTEME
1
1
= 1 =R
A21
R
A22
=
=
A21
pL
R
+1
1
R
= R + pL
Die so ermittelten Parameter der Impedanzmatrix Z sind identisch mit denen der
Teilaufgabe 1.7.
9. Zur Anwendung des Satzes von Bartlett wird das Zweitor zunächst aufbausymmetrisch realisiert. Die kanonischen Impedanzen bestimmen sich aus der Eingangsimpedanz einer Symmetriehälfte bei Leerlauf bzw. bei Kurschluss an ihrem Ausgang.
L
L
2R
2R
N
L
Z1k = pL + 2R
2R
L
Z2k = pL
2R
Z1k
Z2k
Z2k
Z1k
Abbildung 3: Satz von Bartlett und Kreuzersatzschaltung
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Klausur-Musterlösung zur Vorlesung: Signale und Systeme I
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LEHRSTUHL
FÜR
HOCHFREQUENZSYSTEME
Die kanonischen Impedanzen lassen sich auch aus der Impedanzmatrix Z des Zweitores N berechnen:
Z1k = Z11 + Z12 = pL + R + R = pL + 2R
Z2k = Z11 − Z12 = pL + R − R = pL
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FÜR
HOCHFREQUENZSYSTEME
Aufgabe 2: Leitungstheorie
In Abbildung 4 ist ein Netzwerk gegeben, das aus folgenden Elementen besteht:
• einer Spannungsquelle UG (t) mit U0 = 9V und einem Innenwiderstand Ri = 50Ω
• zwei parallel angeordneten dispersionsfreien und verlustlosen Leitungen L1 und L2 .
Die Leitung L1 hat die Länge l1 = 20m, einen Leitungswellenwiderstand ZL1 = 50Ω
und eine Phasengeschwindigkeit vph1 = 2.5·108 ms . Die Leitung L2 hat die Länge l2 =
10m, einen Leitungswellenwiderstand ZL2 = 50Ω und eine Phasengeschwindigkeit
vph2 = 1.25 · 108 ms .
• Beide Leitungszweige sind jeweils mit einer Last abgeschlossen. L1 ist abgeschlossen
mit einem Ohmschen Widerstand RE1 = 25Ω, L2 ist abgeschlossen mit einem
Ohmschen Widerstand RE2 = 100Ω.
Ri
UG (t)
l1
1
U1 (t)
ZL , vph1
RE1
UE1
ZL , vph2
RE2
UE2
1'
l2
Abbildung 4: Netzwerk
Dieses Netzwerk wird nun mit einem Spannungssprung wie in Abbildung 5 dargestellt
angeregt (UG (t) = U0 · s(t)):
UG (t)
U0
0
0
t
Abbildung 5: Spannungssprung UG (t)
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Klausur-Musterlösung zur Vorlesung: Signale und Systeme I
LEHRSTUHL
FÜR
HOCHFREQUENZSYSTEME
1. Der Zeitpunkt t1 , an dem die Flanke des durch UG (t) hervorgerufenen Spannungssprungs den Abschlusswiderstand RE1 erreicht, ergibt sich aus der Länge der Leitung L1 und der Phasengeschwindigkeit vph1 :
t1 =
l1
20m
=
= 80ns
vph1
2.5 · 108 ms
2. Der Zeitpunkt t2 , an dem die Flanke des durch UG (t) hervorgerufenen Spannungssprungs den Abschlusswiderstand RE2 erreicht, ergibt sich aus der Länge der Leitung L2 und der Phasengeschwindigkeit vph2 :
t2 =
10m
l2
=
= 80ns
vph2
1.25 · 108 ms
3. Für den Zeitraum bis zum Erreichen der von den Abschlusswiderständen reflektierten Spannungswellen kann die Situation an den Klemmen 1 und 1′ wie folgt
dargestellt werden:
Ri
UG (t)
1
U1 (t)
ZL
1'
ZL
Abbildung 6: Spannungsteileransatz
Der Spannungsteileransatz liefert den Wert der Spannung an den Klemmen 1 und
1′ für den besagten Zeitraum:
ZL1 || ZL2
U1 (0 < t < 2t1 = 2t2 )
=
U0
Ri + ZL1 || ZL2
U1 (0 < t < 2t1 = 2t2 ) =
ZL1
2
Ri + Z2L1
U0 ·
=
1
Z
2 L
U0
3
Z
2 L
1
Uhin1 = Uhin2 = U0 = 3V
3
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FÜR
HOCHFREQUENZSYSTEME
4. Beide Leitungszweige sind nicht angepasst und sorgen für eine Reflexion der hineinlaufenden Spannungswellen, deren Größe durch den jeweiligen Reflexionsfaktor
bestimmt wird:
RE1 − ZL1
(25 − 50) Ω
1
rE1 =
=
=−
RE1 + ZL1
(25 + 50) Ω
3
1
(100 − 50) Ω
RE2 − ZL2
=
=
rE2 =
RE2 + ZL2
(100 + 50) Ω
3
5. Die von den jeweiligen Abschlusswiderständen reflektierten Spannungswellen Urück1
und Urück2 ergeben sich aus den in den jeweiligen Leitungszweig hinlaufenden Spannungswellen und den Reflexionsfaktoren:
1
Urück1 = rE1 · Uhin1 = − · 3V = −1V
3
1
Urück2 = rE2 · Uhin2 = · 3V = 1V
3
6. Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung U1 (t) im Zeitraum von 0 < t <
320ns und beschreiben Sie die Besonderheiten dieses Verlaufes.
U1 (t)/V
2t1 = 2t2
t1 = t2
U0
3
0
80
160
240
320 t/ns
Abbildung 7: Zeitl. Verlauf der Spannung U1 (t)
• In beide Leitungen wird eine hineinlaufende Spannungswelle Uhin1 = Uhin2 =
3V an ihrem Ende reflektiert.
• Beide Reflexionen finden trotz unterschiedlicher Länge und Ausbreitungsgeschwindigkeiten zeitgleich statt bei t1 = t2 = 80ns. Ebenfalls zeitgleich erreichen die reflektierten Wellen den Anfang der beiden Leitungen bei 2t1 =
2t2 = 160ns.
• Da beide Reflexionen betragsgleich aber invers zu einander sind, kompensieren
sie sich.
• Bei oberflächlicher Betrachtung des Spannungsverlaufes gemäß Bild 7 könnte
man dem Trugschluss erliegen, in beiden Leitungszweigen herrsche Anpassung
am Ausgang und es existiere dort keine Reflexion, weil der Spannungsverlauf
bis t = 320ns keine Sprünge aufweist.
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HOCHFREQUENZSYSTEME
• Nicht klausurrelevanter Nachtrag: Da der Eingang der Leitungen ebenfalls
nicht angepasst ist (Ri = 50Ω - im Gegensatz zu der Parallel-Impedanz der
beiden Leitungen (25Ω) - findet bei t = 160ns eine Reflexion am Quellausgang
statt, der sich in die beiden Leitungszweige ausbreitet. Beide werden an ihrem
jeweiligen Ende bei t = 240ns reflektiert und überlagern sich bei t = 320ns
am Leitungseingang. Diese kompensieren sich aber nicht vollständig. Ebenso
tritt dies bei t = 640ns, usw auf (mit kleiner werdender Amplitude).
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Aufgabe 3: Streuparameter / Smith-Chart
Abbildung 8 stellt ein Netzwerk zur Impedanzanpassung dar. Eine komplexwertige Last
(ZLST = (10 + j80)Ω) soll mit Hilfe des LC-Hochpasses (ZL = (0 + j25)Ω, ZC ist
unbekannt) an die Quelle (ZQ = 50Ω) angepasst werden.
Z1 , r 1
ZQ
Z2 , r 2
1
r3
2
ZC
U0
ZLST
ZL
1'
Quelle
2'
2-Tor
Last
Abbildung 8: Anpassungsnetzwerk
1. Ebene 2-2’:
a) Bei Anpassung der Last an den Ausgang des 2-Tores muss dessen Ausgangsimpedanz dem konjugiert komplexen Wert der Last entsprechen.
Z2 = ZC + ZL || ZQ = −100Ω +
j25 · 50
j50
Ω = −100Ω +
Ω
j25 + 50
2+j
∗
Z2 = −100Ω + (10 + j20)Ω = (10 − j80)Ω = ZLST
b) Bei Anpassung der Last an den Ausgang des 2-Tores muss der Eingangsreflexionsfaktor der Last identisch sein mit dem konjugiert komplexen Ausgangsreflexionsfaktor des 2- Tores. Der Eingangsreflexionsfaktor der Last r3 ergibt
sich aus der komplexen Last ZLST und der Bezugsimpedanz Z0 :
r3 =
ZLST − Z0
−2 + j4
2
4
−40 + j80
=
= + j = 0.4 + j0.8
=
ZLST + Z0
60 + j80
3 + j4
5
5
r2 = r3∗ = 0.4 − j0.8
2. 2-Tor:
a) Die Bauelementwerte des 2-Tors lassen sich aus dessen Ausgangsimpedanz
ermitteln:
Z2 = Z3∗ = ZC + ZL || ZQ
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ZC = Z3∗ −
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j25 · 50
ZL ZQ
= (10 − j80) Ω −
Ω
ZL + ZQ
j25 + 50
ZC = (10 − j80 − 10 − j20) Ω = (0 − j100)Ω
b) Dem Matrizen-Hilfsblatt können die Werte der Kettenmatrix des 2-Tors einfach entnommen werden:
ZC
1
1 0
1 ZZC0
1 −j2
Z0
= Z0 ZC
·
=
Z0
1
−j2 −3
+1
0 1
ZL
ZL
ZL
Die Determinante des reziproken 2-Tors kann nur den Wert 1 haben:
detK = 1 · (−3) − j 2 22 = 1
c) Aus der Kettenmatrix werden die Elemente der Streumatrix gewonnen:
S11 =
S22 =
1 − j2 + j2 + 3
2
2 4
A+B−C −D
=
=
= − +j = −0.4+j0.8
A+B+C +D
1 − j2 − j2 − 3
−1 − 2j
5 5
−A + B − C + D
−1 − j2 + j2 − 3
2
2 4
=
=−
= −j = 0.4−j0.8
A+B+C +D
1 − j2 − j2 − 3
−1 − 2j
5 5
2
1
1
2
S21 =
=
= − + j = −0.2 + j0.4
A+B+C +D
−1 − j2
5
5
S12 = S21 =
S=
1
1
2
2 · detK
=
= − + j = −0.2 + j0.4
A+B+C +D
−1 − j2
5
5
− 52 + j 45 − 51 + j 25
− 51 + j 25 25 − j 54
=
−0.4 + j0.8 −0.2 + j0.4
−0.2 + j0.4 0.4 − j0.8
3. Ebene 1-1’:
a) Der Erfolg der Anpassung der Last an die Quelle muss sich niederschlagen in
einer Eingangsimpedanz der Schaltung, die der Bezugsimpedanz entspricht.
Z1 = ZL || (ZC + ZLST ) =
Z1 =
ZL · (ZC + ZLST )
ZL + ZC + ZLST
j50 − j 2 100
250
j25 · (10 − j20)
Ω=
=
Ω = 50Ω
10 + j5
2+j
5
b) Für eine erfolgreiche Anpassung muss der Eingangsreflexionsfaktor r1 der
Schaltung den Wert Null haben.
r1 =
Sommersemester 2012
Z1 − Z0
50 − 50
=0
=
Z1 + Z0
50 + 50
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c) Die Ergebnisse der Aufgabenteile 4.a und 4.b belegen die eingansseitige Anpassung.
4. Smith-Chart
a) Anpassung
• Die Lastimpedanz ZLST = (10 + j80) Ω wird normiert auf die Bezugsimpedanz von Z0 = 50Ω. ZLST N = 0.2 + 1.6j wird in das Smith-Diagramm
eingetragen: Punkt 1:“Last“.
• Die Kondensatorimpedanz ZC = (0 − j100) Ω wird ebenfalls normiert auf
die Bezugsimpedanz von Z0 = 50Ω: ZCN = 0 − j2. Die Impedanzen ZLST
und ZC liegen in Reihe und werden zur Impedanz ZLST C = 0.2 − j0.4
addiert und ins Smith-Diagramm übertragen: Punkt 2.
• ZLST C liegt parallel zu ZL . Im Smith-Chart wird die Parallelschaltung
zweier Impedanzen als Addition ihrer Admittanzen abgebildet. Punkt 3:
YLC = 1/ZLST C = 1 + j2 (Diesen Punkt kann man statt rechnerisch auch
grafisch im Smith-Chart ermitteln durch eine Spiegelung des Punktes P2
am Mittelpunkt des Smith-Charts). Zur Admittanz YLST C muss die Admittanz YL = 1/ZLN = 0 − j2 addiert werden. Yges = YLST C + YL =
1 = Zges . Punkt 4 („Quelle“) beschreibt die Gesamteingangsimpedanz
ZE = Z0 . Der Mittelpunkt des Smith-Charts entspricht zudem dem Reflexionsfaktor r = 0. Es liegt (wie im ersten Aufgabenteil bereits herausgearbeitet) Anpassung vor.
b) Fehlanpassung
• Da sich die Schaltung strukturell nicht verändert hat, können die Veränderungen leicht ins Smith-Chart nachgetragen werden. Die Gesamtein′
gangsimpedanz kann im Smith-Chart direkt abgelesen werden: Z1N
=
(0.5 − j0.5)Ω.
• Über die Entfernung dieses Punktes zum Mittelpunkt des Smith-Charts
kann das Stehwellenverhältnis SW R = 2.6 abgelesen werden, was einer
schlechten Anpassung entspricht.
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The Complete Smith Chart
Black Magic Design
Bezugsimpedanz Z0 = 50Ω
0.11
70
(+
jX
/Z
45
1.0
2.0
0.5
0.
06
0.
44
0
14
5
5
0.0
4
0.
20
3.0
0.6
P3
4.0
15
20
0.2
IND
UCT
IVE
0.28
5.0
10
0.25
0.26
0.24
0.27
0.23
0.25
0.24
0.26
0.23
0.27
REFLECTION COEFFICIENT IN DEG
REES
LE OF
ANG
ISSION COEFFICIENT IN
TRANSM
DEGR
LE OF
EES
ANG
8
0.
0.6
10
0.1
0.4
20
0.2
50
20
10
5.0
4.0
3.0
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
P 4(Quelle)
RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)
50
0.1
50
0.2
20
0.4
10
8
0.
-10
1.0
1.6
1.4
1.2
0.9
1.0
0.14
-80
0.35
0
0
-4
0.15
5
-4
4
-5
-70
0.3
0.13
0.36
0.8
-35
0.1
6
0
TR S. RF S. A
A W. L. W. TT
N P L L EN
SM EA O O
.
. C K SS [ SS C [dB
O
O (C dB O ]
EF
EF O ]
EF
F,
F, NS
F
E
P T.
or
P)
I
0.5
2.0
-70
-65
1.8
40
06
0.
0.6
-60
0.7
7
3
-55
0.1
0.3
0.11
-100
0.12
0.37
0.4
0.39
0.38
¥ 40 30
0
10
20
1
0.9
1
0.0
5
0.8
0.9
0.1
3
15
2
0.7
4
0.6
0.8
0.2
10
3
4
0.5
0.4
0.7
0.3
2.5
5
8
6
0.3
0.6
0.4
2
7
6
8
0.2
0.5
0.5
1.8
9
5
10
0.1
0.4
0.6
1.6
0.3
0.7
1.4
4
12
3
14
0.05
0.2
0.8
1.2 1.1 1
2
20
0.01
1
15
TOWARD LOAD —>
10
7
5
1 1
1.1
30 ¥ 0
0.1
0 0
1.1
0.1
0 1
0.99
0.9
CENTER
1
1.1
0.2
1.2
1.3
0.95
4
1.2
1.3 1.4
0.4
0.6
1.4
0.8
1.5
0.9
2
<— TOWARD GENERATOR
2
1
3
1.6
1
1.8
1.5
2
2
1.6 1.7 1.8 1.9 2
0.8
0.7
3
4
3
4
5
0.6
0.5
10
5
2.5
3
0.4
¥
10 15 ¥
4
0.3
20
6
0.2
5
10 ¥
0.1
SM
20
A
N
R BS B] , P r I
SW d S [d EFF , E o
S
O CO EFF
.L .
N FL . CO
R L
RF
RT
¥ 100 40
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
ORIGIN
Abbildung 9: Smith-Chart
Sommersemester 2012
04.09.2012
.C
0.0
5
R
O
),
Zo
X/
0.2
-30
2
-60
0.3
44
0.
8
0.1
0
-5
-25
-1
0.1
0.4
1
-110
0.0
9
0.4
2
0.0
-12
8
0
C
A
P
0.4
AC
I
3
T
IVE
0.0
RE
7
AC
-1
T
A
30
NC
EC
OM
PO
N
EN
T
(-j
0.4
31
0.
-90
19
0.
P2 '
TR
E
IV
CT
DU
N
I
-75
0.6
-20
5
0.8
3.0
0.3
0
-4
0.4
4.0
4
0.0
0
-15 -80
1.0
-15
0.2
4
0.
0.28
P2
0.2
9
1
-30
0.2
0.3
0.22
P 4(Quelle)
'
5.0
0.48
0.2
-20
o)
jB/Y
E (NC
TA
P
E
SC
SU
0.6
RADIALLY SCALED PARAMETERS
1
0.22
1.0
1.0
0
0.3
0.8
1
0.2
RE
AC
TA
75
NC
EC
OM
PO
N
EN
T
0.4
25
9
0.2
30
15
50
2
0.2
80
8
0.3
0.3
6
0.1
30
P3 '
0.4
0.1
0.4
P 1(Last)
0.2
40
0.0 —> WAVELE
0.49
NGTH
S TOW
ARD
0.0
—
0.49
GEN
D LOAD <
R
A
W
ERA
0.48
S TO
– 180
H
TO
T
0.47
170
R—
-170
ENG
L
E
0.47
>
AV
W
0.0
160
<—
4
-90
90
-160
0.4
85
-85
6
7
3
31
0.
R
,O
o)
0.1
0.3
60
19
0.
VE
TI
CI
PA
A
C
4
35
1.8
65
3
0.4
0
13
6
0.3
1.6
7
0.0
)
/Yo
(+jB
CE
AN
PT
E
SC
SU
0.1
70
40
1.4
0
12
0.6 60
2
0.4
0.15
0.35
80
0.7
0.0
0.14
0.36
90
0.8
55
8
0.37
0.9
110
1
0.4
0.13
0.38
50
0.4
9
0.0
0.12
0.39
100
1.2
0.1
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HOCHFREQUENZSYSTEME
Aufgabe 4: Rauschen
1. Das thermische Rauschen beruht auf der regellosen Bewegung der zum Stromfluss beitragenden Ladungsträger in den Widerstandsmaterialien. In der Ersatzschaltung wird ein rauschender Ohmscher Widerstand R der Temperatur T im
Frequenzintervall durch einen nichtrauschenden Widerstand R und einen Rauschspannungsgenerator ersetzt:
R|T =0
uef f =
√
4kT R∆f
R|T
uef f =
√
4kT R∆f
Abbildung 10: ESB eines thermisch rauschenden Widerstandes
2. In Abbildung 11 wird ein Rundfunkempfänger mit der Rauschzahl FT.280K = 3dB
an einer Dachantenne betrieben. Tuner und Antenne sind mit einer 100m langen
Koaxialleitung verbunden, die über der gesamten Länge eine Dämpfung von 6dB
(TL = 280K) aufweist. Für die Berechnung der Gesamtrauschzahl dieses Systems
kann mit den angenäherten Werten aus der Hilfestellung (Tabelle) gearbeitet werden.
l
Antenne
T uner
Leitung
Abbildung 11: Rundfunkempfang ohne Verstärker
Die Dämpfung der 100m-langen Antennenleitung beträgt 6dB, bzw.
GL = 10−0.6 = 0.25
Daraus lässt sich die Rauschzahl dieses Leitungsstückes berechnen:
FL.280K =
1
GL.280K
=
1
= 4.0
0.25
Die Rauschzahl des Tuners beträgt FT.280K = 3dB, bzw.
FT.280K = 100.3 = 2.0
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Die Gesamtrauschzahl des Systems beträgt
Fges.280K = FL.280K +
Fges.280K = 4.0 +
FT.280K − 1
GL
2.0 − 1
= 8.0
0.25
3. Im 1.Fall wird zur Verbesserung der Empfangsqualität ein Verstärker mit der
Rauschzahl FV.280K = 5dB und einer Verstärkung GV = 10dB eingesetzt. Der
Verstärker wird zwischen Antenne und Antennenleitung geschaltet (Abb. 12).
l
Antenne V erstärker
Leitung
T uner
Abbildung 12: Rundfunkempfang mit Verstärker vor der Antennenleitung
Die Rauschzahl des Verstärkers beträgt FV.280K = 5dB, bzw.
FV.280K = 100.5 = 3.0
Seine Verstärkung beträgt GV = 10dB bzw.
GV = 101 = 10.0
Die Gesamtrauschzahl des Systems beträgt
Fges.280K = FV.280K +
Fges.280K = 3.0 +
Sommersemester 2012
FL.280K − 1 FT.280K − 1
+
GV
GV GL
4.0 − 1
2.0 − 1
+
= 3.7
10.0
10.0 · 0.25
04.09.2012
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4. Im 2. Fall wird dieser Verstärker (Rauschzahl FV.280K = 5dB und Verstärkung
GV = 10dB) nun zwischen Antennenleitung und Tuner geschaltet (Abb. 13).
l
Antenne
V erstärker
Leitung
T uner
Abbildung 13: Rundfunkempfang mit Verstärker nach der Antennenleitung
Nach Vertauschung der Reihenfolge von Antennenleitung und Verstärker beträgt
die Gesamtrauschzahl des Systems
Fges.280K = FL.280K +
Fges.280K = 4.0 +
FV.280K − 1 FT.280K − 1
+
GL
GV GL
3.0 − 1
2.0 − 1
+
= 12.4
0.25
10.0 · 0.25
5. Wird der Verstärker zwischen Antenne und Antennenleitung geschaltet steigt die
Empfangsqualität gegenüber dem Betrieb ohne Verstärker. Die Gesamtrauschzahl
des Systems wird verringert. Wird er jedoch zwischen Antenne und Empfänger
geschaltet, erhält das Empfangssystem eine Qualität, die sogar schlechter ist als
käme kein Verstärker zum Einsatz. Die Gesamtrauschzahl wird erhöht.
Die Rauschzahl der ersten Baugruppe ist für die Rauschzahl des HF-Systems von
entscheidender Bedeutung. Je größer die Verstärkung der ersten Baugruppe, desto weniger Einfluss haben die Rauschzahlen der folgenden Baugruppen für die
Rauschzahl des HF-Systems.
Anmerkung:
Für die Klausur war das Rechnen mit gerundeten Werten erlaubt. Die Verwendung
von exakten Werten ergibt folgendes Ergebnis:
System
I
II
II
Sommersemester 2012
Rauschzahl (linear) Rauschzahl (dB)
Fges = 7.94
Fges = 9.00dB
Fges = 3.85
Fges = 5.86dB
Fges = 13.02
Fges = 11.15dB
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