Vorlesungsskript Hydromechanik

Technische Universität Braunschweig
Leichtweiß-Institut für Wasserbau
Abteilung Hydromechanik und Küsteningenieurwesen
Prof. Dr.-Ing. Hocine Oumeraci
Hydromechanik
Vorlesungsumdruck für die Bachelorvorlesung
„Hydromechanik“
Ausgabe April 2015
Inhaltsverzeichnis
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis ....................................................................................................................... 2 Abbildungsverzeichnis ............................................................................................................... 7 Tabellenverzeichnis .................................................................................................................. 11 Symbolverzeichnis ................................................................................................................... 12 1 Aufgaben der Hydromechanik. ......................................................................................... 19 2 Physikalische Eigenschaften des Wassers ........................................................................ 20 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3 Dichte ....................................................................................................................... 20 Kompressibilität (Volumenelastizität) ..................................................................... 21 Oberflächenspannung (Kapillarspannung) .............................................................. 22 Viskosität ................................................................................................................. 26 Löslichkeit der Luft und Luftgehalt des Wassers .................................................... 26 Zusammenfassung ................................................................................................... 27 Hydrostatik ........................................................................................................................ 27 3.1 Der Begriff "Druck"................................................................................................. 27 3.2 Hydrostatische Druckverteilung infolge Schwerkraft (Grundgleichungen der
Hydrostatik) ............................................................................................................. 32 3.3 Hydrostatische Druckkräfte auf ebene Flächen ....................................................... 35 3.4 Hydrostatische Druckkräfte auf gekrümmte Flächen .............................................. 37 3.5 Auftrieb (Prinzip von ARCHIMEDES)................................................................... 42 3.6 Schwimmender Körper und Schwimmstabilität ...................................................... 43 3.6.1 Schwimmfähigkeit ....................................................................................... 44 3.6.2 Schwimmstabilität und Kriterien ................................................................. 46 3.7 Einfluss zusätzlicher Beschleunigungen auf den hydrostatischen Druck................ 49 3.7.1 Problemstellung ........................................................................................... 49 3.7.2 Senkrecht beschleunigter Wasserbehälter.................................................... 50 3.7.3 Horizontal beschleunigter Wasserbehälter .................................................. 52 3.8 Zusammenfassung ................................................................................................... 55 3.9 Aufgaben.................................................................................................................. 57 4 Einführung in die Hydrodynamik ..................................................................................... 75 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Definition und Feldbeschreibung ............................................................................ 75 LAGRANGEsche und EULERsche Beschreibung ................................................. 76 Klassifizierung von Strömungen ............................................................................. 76 Grundgesetze der Physik und Stoffgesetze bei Strömungen ................................... 77 Wichtige Begriffe der Hydrodynamik (stationäre Strömung) ................................. 78 Inhaltsverzeichnis
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4.6 Zusammenfassung ................................................................................................... 83 5 Kontinuitätsgleichung ....................................................................................................... 84 5.1 5.2 5.3 5.4 6 Eindimensionales Strömungsfeld ............................................................................ 84 Zwei- und dreidimensionales Strömungsfeld .......................................................... 86 Zusammenfassung ................................................................................................... 88 Aufgaben.................................................................................................................. 88 Einführung in die Potentialströmung ................................................................................ 91 6.1 Definition und Begriffe............................................................................................ 91 6.2 Strom- und Potentiallinien bei stationärer Strömung .............................................. 94 6.3 Praktische Hinweise für die Untersuchung von Potentialströmungen .................... 97 6.3.1 Untersuchungsmethoden – Übersicht .......................................................... 97 6.3.2 Hinweise zur Erstellung von Potentialnetzen .............................................. 98 6.3.3 Hinweise zur Auswertung des Potentialnetzes .......................................... 100 6.4 Zusammenfassung ................................................................................................. 103 6.5 Aufgaben................................................................................................................ 104 7 Einführung in den Energiesatz ........................................................................................ 105 7.1 Allgemeines zur Energie-Gleichung...................................................................... 105 7.2 Herleitung der BERNOULLI-Gleichung .............................................................. 106 7.2.1 Annahmen und Ausgangsgleichung .......................................................... 106 7.2.2 Ausgangssystem......................................................................................... 106 7.2.3 Herleitung der BERNOULLI-Gleichung ................................................... 108 7.2.4 Diskussion und Anmerkungen ................................................................... 110 7.3 Anwendungsbeispiele ............................................................................................ 112 7.3.1 Ausfluss aus Öffnungen ............................................................................. 112 7.3.2 Rohrerweiterung und -verengung .............................................................. 113 7.3.3 Staudruck ................................................................................................... 114 7.3.4 Dynamischer Auftrieb und MAGNUS-Effekt ........................................... 118 7.3.5 Hydrodynamisches Paradoxon................................................................... 121 7.3.6 Schiffskollision .......................................................................................... 122 7.4 Zusammenfassung ................................................................................................. 124 7.5 Aufgaben................................................................................................................ 125 8 Einführung in den Impulssatz ......................................................................................... 129 8.1 Allgemeines ........................................................................................................... 129 8.2 Besonderheiten des Impulsbegriffes in der Hydromechanik ................................. 129 8.3 Herleitung des Impulssatzes in der Hydromechanik ............................................. 131 8.3.1 Ausgangssystem und Annahmen ............................................................... 131 8.3.2 Herleitung des Impulssatzes ...................................................................... 132 8.3.3 Stützkraftsatz.............................................................................................. 133 8.4 Anwendung des Impulssatzes ................................................................................ 136 8.4.1 Allgemeine Vorgehensweise ..................................................................... 136 Inhaltsverzeichnis
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8.4.2 Anwendungsbeispiele ................................................................................ 136 8.5 Zusammenfassung ................................................................................................. 147 8.6 Aufgaben................................................................................................................ 148 9 Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne.............................. 155 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 Ausgangssystem und Annahmen ........................................................................... 155 Ableitung der Zustandsgleichung eines Fließquerschnittes .................................. 155 Untersuchung der Zustandsgleichung bei konstantem Abfluss ............................. 156 Durchfluss bei konstanter Energiehöhe ................................................................. 161 Zusammenfassung ................................................................................................. 165 Aufgaben................................................................................................................ 166 10 Berechnung von lokalen Energieverlusten...................................................................... 170 10.1 Beispiel aus der Gerinneströmung: Ebener freier Wechselsprung ........................ 170 10.1.1 Problemstellung ......................................................................................... 170 10.1.2 Ausgangssystem und Annahmen ............................................................... 170 10.1.3 Berechnung der Unterwassertiefe .............................................................. 171 10.2 Beispiel aus der Rohrströmung: BORDAscher-Stoßverlust.................................. 173 10.2.1 Problemstellung ......................................................................................... 173 10.2.2 Ausgangssystem und Annahmen ............................................................... 173 10.2.3 Berechnung des BORDAschen Stoßverlustes ........................................... 174 10.3 Zusammenfassung ................................................................................................. 177 10.4 Aufgaben................................................................................................................ 178 11 Laminare und turbulente Strömung ................................................................................ 180 11.1 Definition - Auswirkung der Viskosität ................................................................ 180 11.2 Unterschied zwischen idealen und realen Strömungen – Das D'ALEMBERTsche
Paradoxon .............................................................................................................. 180 11.3 Laminare und turbulente Strömung - Das REYNOLDS-Experiment ................... 182 11.4 Viskosität und Reibungsgesetz von NEWTON ..................................................... 185 11.4.1 Definition und Fluidreibungsgesetz ........................................................... 185 11.4.2 Implikationen und Gültigkeit des NEWTONschen Reibungsansatzes ...... 187 11.5 Umschlag laminar/turbulent – REYNOLDS-Zahl ................................................ 188 11.5.1 Umschlag laminar/turbulent....................................................................... 188 11.5.2 Herleitung der REYNOLDS-Zahl ............................................................. 190 11.5.3 Bedeutung der REYNOLDS-Zahl ............................................................. 191 11.5.4 Kritische REYNOLDS-Zahl ...................................................................... 192 11.6 Grenzschicht-Konzept nach PRANDTL ............................................................... 196 11.6.2 Grenzschichtentwicklung ........................................................................... 198 11.7 Zusammenfassung ................................................................................................. 201 11.8 Aufgaben................................................................................................................ 203 12 Laminare Strömung im Kreisrohr ................................................................................... 206 12.1 Allgemeines und Annahmen.................................................................................. 206 Inhaltsverzeichnis
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12.2 Schubspannungsverteilung .................................................................................... 206 12.3 Geschwindigkeitsverteilung .................................................................................. 209 12.4 Zusammenfassung ................................................................................................. 213 13 Laminare Strömung im Boden (DARCY) ...................................................................... 214 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 Herleitung des DARCYschen Filtergesetzes ......................................................... 214 Wichtige Anmerkungen ......................................................................................... 218 Behandlung als Potentialströmung ........................................................................ 220 Hydraulischer Grundbruch .................................................................................... 222 Zusammenfassung ................................................................................................. 224 Aufgaben................................................................................................................ 225 14 Turbulente Strömung im Kreisrohr ................................................................................. 233 14.1 Einleitung ............................................................................................................... 233 14.1.1 Erweiterte BERNOULLI-Gleichung ......................................................... 233 14.1.2 Zentrales Problem der Berechnung von Druckrohrleitungen .................... 233 14.2 Allgemeines Widerstandsgesetz der stationären Druckrohrströmung ................... 235 14.2.1 Herleitung des Widerstandsgesetzes .......................................................... 235 14.2.2 Wichtige Anmerkungen ............................................................................. 238 14.3 Widerstandsbeiwert λ ............................................................................................ 239 14.3.1 Widerstandsbeiwert bei laminarer Strömung............................................. 239 14.3.2 Widerstandsbeiwert bei turbulenter Strömung .......................................... 240 14.4 Lokale Verluste ...................................................................................................... 249 14.4.1 Entstehung.................................................................................................. 249 14.4.2 Berechnungsansätze ................................................................................... 250 14.5 Druckströmung in Rohren mit nichtkreisförmigem Querschnitt ........................... 254 14.6 Praktische Hinweise zur Bemessung und Optimierung von Rohrleitungen .......... 255 14.7 Zusammenfassung ................................................................................................. 257 14.8 Aufgaben................................................................................................................ 259 15 Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne .................................................................. 266 15.1 Grundlegende Unterschiede zwischen Strömung im Druckrohr und im
Freispiegelgerinne.................................................................................................. 266 15.2 Strömungsfälle - Gleichförmiger und ungleichförmiger Abfluss .......................... 268 15.3 Widerstandsgesetz und empirische Fließformeln für den gleichförmigen stationären
Abfluss ................................................................................................................... 271 15.3.1 Herleitung des Widerstandsgesetzes .......................................................... 271 15.3.2 Empirische Fließformeln ........................................................................... 273 15.3.3 Einschränkungen bei der Anwendung der Fließformeln ........................... 277 15.3.4 Grundaufgaben der Gerinnehydraulik ....................................................... 278 15.4 Hydraulischer Radius und hydraulisch günstige Querschnitte – Sonderfälle – ... 279 15.4.1 Hydraulischer Radius ................................................................................. 279 15.4.2 Gerinne mit gegliedertem Querschnitt ....................................................... 282 15.4.3 Gerinne mit inhomogener Rauheit ............................................................. 284 Inhaltsverzeichnis
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15.4.4 Hydraulisch günstige Querschnitte ............................................................ 286 15.5 Zusammenfassung ................................................................................................. 288 15.6 Aufgaben................................................................................................................ 290 16 Weiterführendes Schrifttum ............................................................................................ 297 Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Abb. 1.1: Abb. 2.1: Abb. 2.2: Abb. 2.3: Abb. 3.1: Abb. 3.2: Abb. 3.3: Abb. 3.4: Abb. 3.5: Abb. 3.6: Abb. 3.7: Abb. 3.8: Abb. 3.9: Abb. 3.10: Abb. 3.11: Abb. 3.12: Abb. 3.13: Abb. 3.14: Abb. 3.15: Abb. 3.16: Abb. 3.17: Abb. 3.18: Abb. 3.19: Abb. 3.20: Abb. 3.21: Abb. 3.22: Abb. 3.23: Abb. 3.24: Abb. 3.25: Abb. 3.26: Abb. 3.27: Abb. 3.28: Abb. 3.29: Abb. 3.30: Abb. 3.31: Abb. 3.32: Abb. 3.33: Abb. 3.34: Abb. 3.35: Abb. 3.36: Stellung der Hydromechanik innerhalb der Technischen Mechanik und
Gliederung.................................................................................................... 19 Oberflächenspannung mit und ohne Randeinfluss....................................... 23 Bestimmung der Oberflächenspannung ....................................................... 25 Kapillarwirkung verschiedener Flüssigkeiten.............................................. 25 Zusammenhang zwischen verschiedenen Druckbegriffen........................... 29 Schweredruck ............................................................................................... 31 Pressdruck .................................................................................................... 31 Gleichgewichtsbedingungen in vertikaler Richtung .................................... 32 Hydrostatische Druckverteilung .................................................................. 34 Druckverteilung bei geschichteten Flüssigkeiten ........................................ 34 Definitionsskizze zur Ableitung der hydrostatischen Druckkraft ................ 35 PASCALsches Paradoxon............................................................................ 36 Hydrostatischer Druck in Gründungsfuge ................................................... 37 Druckkraft auf gekrümmte Flächen ............................................................. 39 Definitionsskizze zur Ableitung der vertikalen Druckkraftkomponente ..... 40 Resultierende Druckkraft auf gekrümmte Flächen (konvex) ....................... 41 Resultierende Druckkraft auf gekrümmte Flächen (konkav) ....................... 41 Definitionsskizze für die Bestimmung des Auftriebs .................................. 43 Prinzipienskizze zur Bestimmung der Auftriebskraft Fz ............................. 44 Schwimmvermögen ..................................................................................... 45 Stabile, labile und indifferente Schwimmlage ............................................. 47 Ausgelenkte Schwimmkörper (Definitionsskizze) ...................................... 48 Linien gleichen Druckes .............................................................................. 50 Vertikale Bewegung eines Wasserbehälters bei unterschiedlicher
Beschleunigung b ......................................................................................... 51 Horizontal und geradlinig beschleunigter Wasserbehälter .......................... 53 Horizontal rotierender Wasserbehälter ........................................................ 54 Hydrostatischer Druck auf eine senkrechte Wand ....................................... 58 Druckspannnungsverteilung auf eine senkrechte Wand .............................. 59 Kreissegmentschütz ..................................................................................... 60 Druck auf schräge Fläche ............................................................................. 61 Druckspannungsfigur auf "Nase"................................................................. 62 Kräftezerlegung ............................................................................................ 63 Druck auf eine Klappe ................................................................................. 64 Druckspannungsverteilung auf die Klappe .................................................. 64 Druckspannungsverteilung bei gekrümmten Flächen .................................. 65 Prinzip des ARCHIMEDES ......................................................................... 69 Auftrieb einer Mauer .................................................................................... 70 Beschleunigungssysteme ............................................................................. 71 Beschleunigungssystem im Zustand "2" ...................................................... 72 Schwimmstabilität........................................................................................ 73 7
Abbildungsverzeichnis
Abb. 4.1: Abb. 4.2 : Abb. 4.3: Abb. 4.4: Abb. 5.1: Abb. 5.2: Abb. 5.3: Abb. 5.4: Abb. 6.1: Abb. 6.2: Abb. 6.3: Abb. 6.4: Abb. 6.5: Abb. 6.6: Abb. 6.7: Abb. 6.8: Abb. 6.9: Abb. 7.1: Abb. 7.2: Abb. 7.3: Abb. 7.4: Abb. 7.5: Abb. 7.6: Abb. 7.7: Abb. 7.8: Abb. 7.9: Abb. 7.10: Abb. 7.11: Abb. 7.12: Abb. 7.13: Abb. 7.14: Abb. 7.15: Abb. 7.16: Abb. 7.17: Abb. 7.18: Abb. 8.1: Abb. 8.2: Abb. 8.3: Abb. 8.4: Abb. 8.5: Abb. 8.6: Abb. 8.7: Abb. 8.8: Unterschied zwischen äußeren Kräften und Trägheitskräften ..................... 75 Definitionsskizzen für Stromlinien .............................................................. 78 Stromröhre und Stromfaden ......................................................................... 79 Kontrollvolumen und System ...................................................................... 80 Prinzipienskizze zur Ableitung der Kontinuitätsgleichung (eindimensionaler
Fall) .............................................................................................................. 84 Ableitung der Kontinuitätsgleichung für den zweidimensionalen Fall ....... 87 Rohrerweiterung........................................................................................... 89 Rohrverzweigung ......................................................................................... 90 Analogie zu den Strom- und Potentiallinien in der Elektrizitätslehre ......... 91 Definition der Rotationsfreiheit ................................................................... 92 Potentialströmungsarten ............................................................................... 93 Strom- und Potentiallinien bei einem Stromfaden ....................................... 94 Ebenes Potentialnetz .................................................................................... 95 Konstruktion eines Potentialnetzes .............................................................. 99 Randstromlinie bei Strömungsablösung .................................................... 100 Prinzipienskizze zur Auswertung des Potentialnetzes ............................... 101 Wehr ........................................................................................................... 104 Stromröhrenquerschnitt für die Ableitung des Energiesatzes .................... 107 BERNOULLI-Gleichung bei Druckrohrströmung .................................... 111 BERNOULLI-Gleichung bei Gerinneströmung ........................................ 111 Ausfluss aus einer Öffnung ........................................................................ 112 BERNOULLI-Gleichung bei Rohrverengung und -erweiterung ............... 114 Staudruck bei stationärer Anströmung einer Wandung ............................. 115 Angeströmter Körper im Druckrohr .......................................................... 116 Prinzip des PITOT-Rohres und des PRANDTLschen Staugerätes ........... 117 Geschwindigkeitsmessung mit dem PITOT-Rohr bei Gerinneströmung .. 118 Dynamischer Auftrieb ................................................................................ 119 MAGNUS-Effekt ....................................................................................... 120 FLETTNER-Rotor ..................................................................................... 121 Hydrodynamisches Paradoxon................................................................... 122 Kollision von Schiffen infolge des BERNOULLI-Effektes ...................... 123 Ausflussbehälter ......................................................................................... 125 Druck- und Energielinienermittlung .......................................................... 126 Rohrerweiterung......................................................................................... 127 Schematische Darstellung der Energie- und Drucklinie ............................ 128 Kraft-Zeit-Verlauf und Impuls ................................................................... 130 Ausgangssystem für die Herleitung des Impulssatzes ............................... 132 Prinzip des Stützkraftsatzes ....................................................................... 134 Stützkräfte als Schnittkräfte (Analogie zur Stabstatik) .............................. 135 Widerlagerkraft bei Rohrkrümmern........................................................... 137 Widerlagerkraft bei einem Winkel  = 90° ............................................... 138 Schräg auftreffender Strahl ........................................................................ 139 Normal auftreffender Strahl und Gesamtdruckkraft .................................. 140 8
Abbildungsverzeichnis
Abb. 8.9: Abb. 8.10: Abb. 8.11: Abb. 8.12: Abb. 8.13: Abb. 8.14: Abb. 8.15: Abb. 8.16: Abb. 9.1: Abb. 9.2: Abb. 9.3: Abb. 9.4: Abb. 9.5: Abb. 9.6: Abb. 9.7: Abb. 9.8: Abb. 10.1: Abb. 10.2: Abb. 10.3: Abb. 10.4: Abb. 11.1: Abb. 11.2: Abb. 11.3: Abb. 11.4: Abb. 11.5: Abb. 11.6: Abb. 11.7: Abb. 11.8: Abb. 11.9: Abb. 11.10: Abb. 11.11: Abb. 11.12: Abb. 12.1: Abb. 12.2: Abb. 12.3: Abb. 12.4: Abb. 13.1: Abb. 13.2: Abb. 13.3: Abb. 13.4: Abb. 13.5: Propellerstrahl, Druck- und Geschwindigkeitsverlauf ............................... 141 Die vier Grundformen des Schwalls .......................................................... 143 Schwall und Definitionsskizze ................................................................... 144 Definitionsskizze für die mittlere Wassertiefe bei Gerinnen mit beliebigem
Fließquerschnitt A ...................................................................................... 146 Impuls auf eine Platte................................................................................. 149 Düse ........................................................................................................... 150 Wal ............................................................................................................. 152 Schwallwelle .............................................................................................. 154 Ausgangssystem ......................................................................................... 155 Wassertiefen bei konstantem Durchfluss (q = konst.) ............................... 156 Stützkraftminimum .................................................................................... 158 Praktisches Feststellen der Fließart (Strömen oder Schießen?) ................. 161 Durchfluss bei konstanter Energiehöhe ..................................................... 162 Konjugierte Wassertiefen h1 und h2 ........................................................... 163 Grundschwelle ........................................................................................... 166 Wellenbild beim Werfen des Steines ......................................................... 167 Ebener freier stationärer Wechselsprung - Definitionsskizze .................... 171 Prinzipienskizze – plötzliche lokale Rohrerweiterung............................... 174 Ausgangssystem bei der Anwendung der BERNOULLI-Gleichung und des
Impulssatzes ............................................................................................... 175 BORDAscher Stoßverlust .......................................................................... 179 Vergleich zwischen idealer und realer Strömung ...................................... 181 Das D'ALEMBERTsche Paradoxon .......................................................... 182 REYNOLDS-Experiment für laminare und turbulente Strömung ............. 183 Larninarströmung ....................................................................................... 184 Turbulente Strömung ................................................................................. 184 Prinzipienskizze zur Erläuterung des Reibungsgesetzes nach NEWTON. 185 Reibungsverhalten NEWTONscher und nicht-NEWTONscher Fluide..... 189 Umschlag laminare/turbulente Strömung .................................................. 190 Zur Entstehung der Turbulenz ................................................................... 193 Grenzschicht- und Außenströmungsbereich .............................................. 197 Grenzschichtentwicklung an einer längsangeströmten ebenen Platte........ 198 Grenzschichtentwicklung bei einer Rohrströmung .................................... 200 Schubspannung bei laminarer Rohrströmung ............................................ 207 Schubspannungsverteilung bei laminarer Rohrströmung .......................... 208 Definitionsskizze........................................................................................ 210 Geschwindigkeitsverteilung bei laminarer Rohrströmung ........................ 212 Der DARCY-Versuch zur Herleitung des Filtergesetzes .......................... 215 Sickerverluste durch einen Damm ............................................................. 217 Unterströmung einer Talsperre .................................................................. 220 Sickerströmung als Potentialströmung – Definitionsskizze....................... 221 Prinzipienskizze zur Herleitung der Bedingung für den hydraulischen
Grundbruch ................................................................................................ 222 9
Abbildungsverzeichnis
Abb. 13.6: Abb. 13.7: Abb. 13.8: Abb. 13.9: Abb. 13.10: Abb. 13.11: Abb. 14.1: Abb. 14.2: Abb. 14.3: Abb. 14.4: Abb. 14.5: Abb. 14.6: Abb. 14.7: Abb. 14.8: Abb. 14.9: Abb. 14.10: Abb. 14.11: Abb. 14.12: Abb. 14.13: Abb. 14.14: Abb. 14.15: Abb. 14.16: Abb. 14.17: Abb. 14.18: Abb. 15.1: Abb. 15.2: Abb. 15.3: Abb. 15.4: Abb. 15.5: Abb. 15.6: Abb. 15.7: Abb. 15.8: Abb. 15.9: Abb. 15.10: Abb. 15.11: Abb. 15.12: Abb. 15.13: Abb. 15.14: Abb. 15.15: Abb. 15.16: Abb. 15.17: Laminare Strömung im Boden ................................................................... 225 Durchströmung von Böden – "Reihenschaltung" ...................................... 226 Böden in "Parallelschaltung" ..................................................................... 228 Kanalhaltung .............................................................................................. 229 Hydraulischer Grundbruch......................................................................... 230 Durchsickerung eines Dammes .................................................................. 231 BERNOULLI-Gleichung (links) und erweiterte BERNOULLI-Gleichung
(rechts) ....................................................................................................... 234 Energiehöhenverlust bei Druckrohrströmung ............................................ 235 Prinzipienskizze zur Herleitung des Widerstandsgesetzes ........................ 236 Einfluss der laminaren Unterschicht und der Wandreibung auf das
Widerstandsverhalten ................................................................................. 241 Das MOODY-Diagramm für technisch raue Rohre .................................. 245 Technische Rauheit und Sandkornrauheit.................................................. 246 Das NIKURADSE-Diagramm für Rohre mit künstlicher
Sandkornrauheit ......................................................................................... 247 MOCK-Nomogramme zur Bestimmung des Widerstandsbeiwertes λ ...... 248 Entstehung der lokalen Verluste ................................................................ 249 Einlaufverluste ........................................................................................... 251 Auslaufverluste .......................................................................................... 252 Lokale Verluste bei Querschnittserweiterung ............................................ 252 Verluste bei Querschnittsverengung .......................................................... 253 Umlenkverluste .......................................................................................... 253 Optimierung des Rohrdurchmessers D ...................................................... 256 Darstellung des Systems ............................................................................ 259 Pumpsystem ............................................................................................... 262 Bewässerungssystem.................................................................................. 264 Strömung im Druckrohr und im Freispiegelgerinne .................................. 267 Strömungsfälle bei stationärem und instationärem Abfluss ...................... 269 Strömungsfälle bei stationärem Abfluss .................................................... 270 Prinzipienskizze zur Herleitung des Widerstandsgesetzes ........................ 272 Versuch von BAZIN – Prinzipdarstellung ................................................. 275 Isotachen bei Voll- und Halbrohr............................................................... 276 Nomogram nach der GMS-Formel ............................................................ 280 Einfluss der Wassertiefe auf den hydraulischen Radius ............................ 281 Einfluss der Spiegelbreite auf den hydraulischen Radius .......................... 282 Zerlegung eines gegliederten Querschnittes mit "Vorländern" ................. 283 Kompakter Gerinnequerschnitt mit inhomogener Rauheit ........................ 284 Definitionsskizze eines hydraulisch günstigen Rechteckprofils ................ 286 Definitionsskizze eines hydraulisch günstigen Trapezprofils .................... 287 Kanalquerschnitt ........................................................................................ 291 Gerinnequerschnitt ..................................................................................... 292 Trapezquerschnitt ....................................................................................... 293 Gegliederter Querschnitt ............................................................................ 295 10
Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Tab. 2.1: Tab. 11.1: Tab. 13.1: Tab. 14.1: Tab. 15.1: Dichte des Wassers w [kg/m3] in Abhängigkeit der Temperatur und des
Salzgehaltes bei Atmosphärendruck ............................................................ 21 Abhängigkeit der kinematischen Viskosität von der Temperatur .............. 187 Durchlässigkeitsbeiwert für die DARCYsche Filterströmung................... 216 Richtwerte für die technische Rauheit k .................................................... 246 STRICKLER-Beiwert kst in der GMS-Formel .......................................... 277 11
Symbolverzeichnis
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Symbolverzeichnis
Formelzeichen
Benennung, Bedeutung
Einheit
A
Druckfläche, Fläche
[m²]
A(h)
Variabler Fließquerschnitt
[m²]
Af
Filterfläche
[m²]
Ap
Durchflussfläche eines Propellers
[m²]
B
Wasserspiegelbreite
[m]
BS
Sohlbreite
[m]
b
Beschleunigung
C
Dimensionsbehafteter Geschwindigkeitsbeiwert
c
Wellenschnelligkeit
cL
Leitfähigkeitskonstante
cl
Laminarer Strömungswiderstand
[m²/s²]
ct
Turbulenter Strömungswiderstand
[m²/s²]
D
Lichter Rohrdurchmesser
[m]
Däq
Äquivalenter Rohrdurchmesser
[m]
Dp
Querschnittsdurchmesser eines Propellers
[m]
d
Wassertiefe
[m]
ds
Längenelement (Integration)
[m]
dKap
Durchmesser der Kapillaren
[m]
dK
Korndurchmesser
[m]
d10, d60
Korndurchmesser mit 10% und 60% Siebdurchgang
[m]
E
Energie
[J]
Ei
Interne Energie
[J]
EK
Kinetische Energie
[J]
EL
Lageenergie
[J]
Ep
Druckenergie
[J]
Epot
Potentielle Energie
[J]
[m/s²]
[m1/2/s]
[m/s]
[-]
Symbolverzeichnis
13
Formelzeichen
Benennung, Bedeutung
Einheit
Eq
Wärmeenergie
[J]
EW
Kinetische Arbeit
[J]
Ew
Volumenelastizitätsmodul des Wassers
F
Kraft
Fr
Froude-Zahl
FAd
Adhäsionskraft
[N]
FA,FZ
Auftriebskraft
[N]
FG
Gewichtskraft
[N]
FK
Kohäsionskraft
[N]
FN
Normalkraft/Druckkraft
[N]
Fp
Druckkraft
[N]
FPropeller
Propellerschub
[N]
FR
Reibungskraft
[N]
FRes
Resultierende Kraft
[N]
FS
Schwerkraft
[N]
FT
Trägheitskraft
[N]
FW
Widerstandskraft
[N]
Fz
Auftriebskraft
[N]
f
Freibordhöhe
[m]
G
Körpergewicht, Eigengewicht, Schwerkraft
[N]
g
Erdbeschleunigung (9,81 m/s²)
H
Fallhöhe
[m]
HN
Nettohöhe
[m]
Hp
Betriebsdruckhöhe
h
Hydrostatische Druckhöhe
[mWS]
hD
Saughöhe
[mWS]
hE
Gesamtenergiehöhe
[mWS]
hE, min
Mindestenergiehöhe
[mWS]
[N/mm²]
[N]
[-]
[m/s²]
[bar]
Symbolverzeichnis
14
Formelzeichen
Benennung, Bedeutung
Einheit
hgr
Grenztiefe
hi
Lokale Verluste, Verlusthöhe
hk
Kapillare Steighöhe
[m]
hm
Abstand Körperschwerpunkt - Metazentrum
[m]
hman
Manometrische Druckhöhe
[mWS]
hr
Reibungsverlust
[mWS]
hs
Flächenschwerpunktskoordinate
hv
Energieverlusthöhe
hw
Tiefgang eines Körpers
[m]
Δh
Schwallhöhe
[m]
I
Gefälle
[-]
I
Impuls
[Ns]
I
Impulsstrom
[N]
I
Stromstärke
[Ampère]
ID
Druckliniengefälle
[-]
IE
Energieliniengefälle
[-]
Ikrit
Kritisches Gefälle
[-]
ISO
Sohlgefälle
[-]
Iw
Wasserspiegelgefälle
[-]
IO
Flächenträgheitsmoment
K
Gesamtkosten
[€]
KBa
Baukosten
[€]
KBe
Betriebskosten
[€]
k
Rauigkeit
[m]
kf
Durchlässigkeitsbeiwert
ks
Sandkornrauheit
kst
Äquivalenter Abflussbeiwert nach MANNIG-STRICKLER
L
Kennzeichnende Länge, Rohrlänge
[m]
[mWS]
[m]
[mWS]
[m4]
[m/s]
[m]
[m1/3/s]
[m]
Symbolverzeichnis
15
Formelzeichen
Benennung, Bedeutung
Einheit
Lm
PRANDTLscher Mischungsweg
M
Metazentrum
[-]
m
Böschungsneigung
[-]
m
Masse

m
Massenstrom
p
Druck
[Pa]
min p
Grenzdruck
[Pa]
pabs
Absoluter Druck
[Pa]
patm
Atmosphärendruck
[Pa]
pD
Dampfdruck
[Pa]
pü
Überdruck
[Pa]
pmax
Maximaler Staudruck
[Pa]
pS
Sohldruck
[Pa]
pStau
Staudruck
[Pa]
pu
Unterdruck
[Pa]
p0
Atmosphärendruck, Umgebungsdruck
[Pa]
Q
Durchfluss
q
Spezifischer Durchfluss
[m3/(sm)]
qmax
Maximaler spezifischer Abfluss
[m3/(sm)]
Δq
Spezifischer Teildurchfluss
[m3/(sm)]
R
Hydraulischer Radius
Re
Reynolds-Zahl
[-]
Rekrit
Kritische Reynolds-Zahl
[-]
S
Stützkraft
SK
Körperschwerpunkt
[-]
SV
Verdrängungsschwerpunkt
[-]
T
Temperatur
t
Zeit
[m]
[kg]
[kg/s]
[m3/s]
[m]
[N]
[°C]
[s]
Symbolverzeichnis
16
Formelzeichen
Benennung, Bedeutung
Einheit
U
Benetzter Umfang
U
Spannung
U
Ungleichförmigkeitszahl
u
Porenwasserdruck
[Pa]
V
Volumen
[m3]

V
Volumenstrom
Vv
Verdrängtes Wasservolumen
[m3]
V0
Anfangsvolumen
[m3]
v
Fließgeschwindigkeit
[m/s]
v
Mittlere Strömungsgeschwindigkeit
[m/s]
vf
Filtergeschwindigkeit
[m/s]
vf,krit
Kritische Filtergeschwindigkeit
[m/s]
vf,zul
Zulässige Filtergeschwindigkeit
[m/s]
vm
Mittlere Geschwindigkeit
[m/s]
vp
Fließgeschwindigkeit eines Propellerstrahls
[m/s]
vR
Rotationsgeschwindigkeit
[m/s]
vS
Örtliche Geschwindigkeit
[m/s]
vx, max
Maximale Geschwindigkeit
[m/s]
vx, max
Scheitelgeschwindigkeit
[m/s]
v*
Schubspannungsgeschwindigkeit
[m/s]
W
Arbeit, Energie
xkrit
Übergangsbereich
[m]
z
Geodätische Höhe
[m]
γ
Intermittenzfaktor
[-]
δL
Grenzschichtdicke
[m]
δT
Dicke der turbulenten Grenzschicht
[m]
δUL
Dicke der laminaren Unterschicht
[m]
ε
Scheinviskosität
[m]
[Volt]
[-]
[m3/s]
[J]
[m2/s]
Symbolverzeichnis
17
Formelzeichen
Benennung, Bedeutung
Einheit
ξ
Lokaler Widerstandsbeiwert
[-]
ξB
Widerstandsbeiwert für stetige Querschnittserweiterung
[-]
ξD
Widerstandsbeiwert für unstetige Querschnittserweiterung
[-]
ξE
Widerstandsbeiwert für Querschnittserweiterung
[-]
ξa
Widerstandsbeiwert für Auslaufverluste
[-]
ξe
Widerstandsbeiwert für Einlaufverluste
[-]
ξj
Widerstandsbeiwert an Störstelle
[-]
ξk
Krümmerverluste
[-]
ξr
Reibungsverluste
[-]
ξu
Umlenkverluste
[-]
η
Dynamische Viskosität
ηp
Wirkungsgrad einer Pumpe
[-]
λ
Rohrreibungsbeiwert
[-]
κ
KARMAN-Konstante
[-]
κ
Kompressibilität
[bar-1]
ν
Kinematische Viskosität
[m2/s]
B
Dichte eines Bodenelements, Schüttdichte
[kg/m3]
eis
Dichte (Eis)
[kg/m3]
F
Dichte eines Körpers
[kg/m3]
W
Dichte des Wassers
[kg/m3]
σ
Spannung
[N/m2]
σ
Oberflächenspannung
σzul
Zulässige Spannung
[N/m2]
τl
Laminarer Anteil der Schubspannung
[N/m2]
τt
Turbulenter Anteil der Schubspannung
[N/m2]
τx, τ
Schubspannung
[N/m2]
τ0
Wandschubspannung
[N/m2]
φ
Potential, Potentialfunktion
[kg/ms]
[N/m],[kg/m2]
[m2/s]
Symbolverzeichnis
Formelzeichen
Benennung, Bedeutung
ψ
Proportionalitätsfaktor
ψ
Stromfunktion
ω
Winkelgeschwindigkeit
18
Einheit
[-]
[m2/s]
[1/s]
Aufgaben der Hydromechanik
19
1 Aufgaben der Hydromechanik
Die Hydromechanik1 ist ein Zweig der Technischen Mechanik (Abb. 1.1). Sie befasst sich mit
Kräften und ihren Wirkungen auf tropfbare flüssige Körper (niederviskose Flüssigkeiten). Sie
wird in Hydrostatik und Hydrodynamik unterteilt (Abb. 1.1).
Technische Mechanik
FLUIDMECHANIK
Mechanik niederviskoser Flüssigkeiten und
Gase
FESTKÖRPERMECHANIK
(Mechanik fester Körper)
Kinematik
RHEOLOGIE
Mechanik hochviskoser Medien
z.B. Fette, Farben, Schlick
Dynamik
HYDROMECHANIK
Kinetik
Statik
AERO u. GASMECHANIK
(Mechanik niederviskoser
Flüssigkeiten)
HYDROSTATIK
Lehre der ruhenden Flüssigkeiten
HYDROSTATISCHE
DRUCKKRÄFTE
HYDRODYNAMIK
Lehre der bewegten Flüssigkeiten
ROHRSTRÖMUNG
(Druckrohrströmung,
d.h. ohne freie Oberfläche)
GRUNDWASSERSTRÖMUNG
(Durchströmung poröser Medien)
*) Die fett umrahmten Kästchen kennzeichnen den Stoff, der im Rahmen der
Vorlesung Hydromechanik I und Hydromechanik II behandelt wird.
Abb. 1.1:
GERINNESTRÖMUNG
(Strömungen mit freier Oberfläche)
Stellung der Hydromechanik innerhalb der Technischen Mechanik und Gliederung
Die weitgehende Bedeutung der Hydromechanik für den Bauingenieur ist offenkundig, denn
sie bildet die Grundlage für die Bemessung und Planung der meisten Ingenieurbauwerke und maßnahmen im Wasserbau (z.B. Stauanlagen und Flussregelungen), im Küsteningenieurwesen
(z.B. Küsten- und Hochwasserschutzbauwerke), in der Wasserwirtschaft, im Grundbau, im Industriebau, im Anlagenbau etc..
1
Hydro (gr. hydro = Wasser). Da Wasser die weitverbreitetste Flüssigkeit ist, hat es der gesamten Lehre den
Namen gegeben.
Physikalische Eigenschaften des Wassers
20
2 Physikalische Eigenschaften des Wassers
Die wichtigsten physikalischen Eigenschaften bei der Lösung vieler Aufgaben der Hydromechanik sind Dichte, Viskosität, Kapillarität (bzw. Oberflächenspannung) und Kompressibilität.
Auch die Löslichkeit von Gasen und der Luftgehalt des Wassers können unter Umständen eine
Rolle spielen.
2.1 Dichte
Die Dichte  wird als Verhältnis von Masse m und Volumen V definiert:

m
kg / m3 
V
(2.1)
Die Dichte w des Wassers ist in geringem Maße temperaturabhängig. Sie besitzt einen Maximalwert bei 4 °C: w = 999,97 kg/m³  1000 kg/m³ (Anomalie des Wassers).
Genaugenommen ist w auch druckabhängig (siehe Kompressibilität). In der Regel genügt es
jedoch, bei der Lösung der meisten Aufgaben der Hydromechanik w = 1000 kg/m³ anzusetzen.
Bei einigen speziellen Aufgaben (z.B. Schichtenbildung in Seen und Talsperren) ist jedoch eine
genaue Bestimmung der Dichte erforderlich (siehe z.B.Tab. 2.1).
Salzgehalt, Schweb- und Schmutzstoffe beeinflussen ebenfalls die Dichte des Wassers w (z.B.
0,94 % Salzgehalt in der Ostsee führt zu w = 1007 kg/m³, schwebstoffhaltiges Flusswasser
kann Dichten von w = 1050 ÷ 1100 kg/m³ erreichen).
Der frühere Begriff der "Wichte" ( =  g) ist nach SI2 unzulässig und sollte nach DIN 1044
möglichst nicht verwendet werden.
2
SI = Système International d´Unitiés
Physikalische Eigenschaften des Wassers
21
Dichte des Wassers w [kg/m3] in Abhängigkeit der Temperatur und des Salzgehaltes bei Atmosphärendruck
Tab. 2.1:
TEMPERATUR [°C]
SALZGEHALT [0/00]
0*)
5
10
15
20
25
30
35**)
0
999,9
1004,0
1008,0
1012,0
1016,1
1020,1
1024,1
1028,1
5
1000,0
1004,0
1008,0
1011,9
1015,9
1019,8
1023,7
1027,7
10
999,8
1003,7
1007,6
1011,4
1015,3
1019,2
1023,1
1027,0
15
999,2
1003,0
1006,8
1010,7
1014,5
1018,3
1022,1
1026,0
20
998,3
1002,1
1005,9
1009,6
1013,4
1017,2
1021,0
1024,8
25
997,1
1000,9
1004,6
1008,4
1012,1
1015,8
1019,6
1023,4
30
995,7
999,4
1003,1
1006,9
1010,6
1014,3
1018,0
1021,7
35
994,1
997,8
1001,5
1005,1
1008,8
1012,5
1016,2
1019,9
*) 0 ‰
1‰
Süßwasser
1 g/l 1 kg/m3
**)
35 ‰ Mittelwert für Ozeane
Totes Meer: 263 ÷ 320 ‰
(salzigstes Meer der Welt)
2.2 Kompressibilität (Volumenelastizität)
Sie bezeichnet die Zusammendrückbarkeit des Wassers. Analog zum HOOKEschen3 Gesetz
für Festkörper   =  L/L 0 =  /E  gilt für Wasser:

mit:
3
V
p
=
V0
EW
oder
1
V 1
= 
EW
V0 p
V/V0
=
relative Volumenänderung (V0 = Anfangsvolumen) [-]
p
=
Druckänderung [N/m²]
Ew
=
Volumenelastizitätsmodul des Wassers [N/m²]. Er ist druck- und
temperaturabhängig: z.B. bei einigen bar und bei T = 20 °C ist
Ew = 20.000 bar (= 2,0 ÷ 103 N/mm²) im Vergleich zu Stahl mit
Es = 2.000.000 bar (d.h. Wasser ist 100-mal elastischer als Stahl)
HOOKE, Robert (1635–1703): Englischer Physiker und Naturforscher.
Physikalische Eigenschaften des Wassers
22
Mit folgender Definition der Kompressibilität des Wassers:
 = 1/E W = Kompressibilität  bar 1 
folgt:
= 
V 1
V0 p
(2.2)
Nach Gl. (2.2) ist ein Druck p = 200 bar notwendig, damit das Wasser um 1 % zusammengedrückt werden kann:
0, 01 =
p
 p = 200 bar
20000
Deshalb kann Wasser bei den meisten Strömungen als quasi-inkompressibel angesehen werden
(Kompressibilität des Wassers vernachlässigbar).
Bei Druckstoßproblemen spielt jedoch die Kompressibilität des Wassers eine wichtige Rolle
und muss daher berücksichtigt werden.
2.3 Oberflächenspannung (Kapillarspannung)
Wird ein Wassermolekül (H2O) als Kugel angesehen, so hat es einen Durchmesser von ca. 2·107
mm. Die Wassermoleküle ziehen sich durch sog. Kohäsionskräfte4 FK gegenseitig an. Innerhalb der Wassermasse heben sich diese Molekularkräfte auf (Abb. 2.1). An den Begrenzungsflächen mit anderen Medien (z.B. Luft) und Festkörpern (z.B. Wandung) treten jedoch resultierende Kräfte (Grenzflächenkräfte) in Erscheinung, deren Wirkungsradius kleiner als 10-6 mm
(kugeliger Wirkungsbereich) ist und deren Richtung vorwiegend von den Dichten der angrenzenden Medien abhängt:
4
Cohaerere (lat.): zusammenhängen. Kohäsionskräfte treten also zwischen gleichartigen Teilchen, d.h. Teilchen
desselben Körpers, auf.
Physikalische Eigenschaften des Wassers
Randeinfluss
23
Randeinfluss
FAd
kein Randeinfluss
kein Randeinfluss
FK
FRes
Wandung
Fres   Fk  0
Fres   Fk  0
(a)
(a)
FK
FAd
FRes
Fres   Fk  0
  90 
benetzende Flüssigkeit
(z.B. Wasser)
Abb. 2.1:
Fres   Fk  0
(b)
  90 
nichtbenetzende Flüssigkeit
(z.B. Quecksilber)
Oberflächenspannung mit und ohne Randeinfluss
Grenzfläche zwischen Wasser und Luft (Wasseroberfläche)
Die Moleküle der Wasseroberfläche werden von den darunter befindlichen Wassermolekülen stärker als von den darüberliegenden Luftmolekülen angezogen. An der Wasseroberfläche wirkt daher eine nach innen gerichtete resultierende Kraft FRes, die auf die
Flächeneinheit der Grenzfläche bezogen den Kohäsionsdruck ergibt (Abb. 2.1).
Dieser Druck muss überwunden werden, damit ein Wasserteilchen aus dem Inneren an
die Grenzfläche gelangen kann. Daher ist eine Kraft F entlang des Teilchenweges s, d.h.
eine Arbeit W = F·s, erforderlich, die eine Vergrößerung der Grenzfläche um A bewirkt (siehe auch Anmerkungen zur Oberflächenspannung S.24 ff.).
Dieser Sachverhalt dient der Definition der Oberflächenspannung
=
W
A
(2.3)
 Nm N 
mit der Maßeinheit 
= .
m
 m²
Die Oberflächenspannung hat somit das Bestreben, die Wasseroberfläche zusammenzuziehen und klein zu halten (daher Tropfenbildung). Sie ist stark von der Wassertemperatur
abhängig: Für Wasser bei T = 20 °C ist  = 0,073 N/m im Vergleich zu  = 0,47 N/m für
Quecksilber und  = 0,025 N/m für Alkohol.
Physikalische Eigenschaften des Wassers
(b)
24
Grenzfläche zwischen Wasser und Festkörper (Wandung)
Die Wassermoleküle an der Grenzfläche Wasser/Festkörper werden nicht nur durch die
o.g. Kohäsionskräfte FK, sondern auch durch die Teilchen des Festkörpers (Adhäsionskräfte5 FAd) angezogen. Die Richtung der resultierenden Kraft FRes ergibt sich aus der
vektoriellen Summe von FK und FAd, wobei sich die Wasseroberfläche stets senkrecht zu
der Resultierenden FRes einstellt. Dabei werden zwei Fälle unterschieden (Abb. 2.1).

Benetzende Flüssigkeiten (z.B. Wasser):
FAd > FK: Die Resultierende FRes ist nach außen, d.h. zur festen Berandung,
gerichtet. Sie muss daher eine konkave Form annehmen Abb. 2.1a).

Nichtbenetzende Flüssigkeiten (z.B. Quecksilber)
FAd < Fk: Die Resultierende FRes ist nach innen gerichtet; d.h. es muss sich
eine konvexe Form der Wasseroberfläche einstellen Abb. 2.1b).
Die Oberflächenspannung in der Nähe der Wandung wird als Grenzflächenspannung bezeichnet.
Anmerkung zur Bestimmung der Oberflächenspannung
Zur Bestimmung der Oberflächenspannung einer Flüssigkeit kann z.B. der in Abb. 2.1 dargestellte Versuch dienen. Ein Ring mit dem Durchmesser d wird in die Flüssigkeit getaucht und
anschließend mit der Kraft F nach oben gezogen. Dabei haftet die Flüssigkeit an dem Ring bis
zu einer Höhe s, wodurch sich die Grenzfläche um den Wert ΔA  2( πd )s vergrößert.
Nach Gl. (2.3) und Abb. 2.2 gilt:

5
F
W
Fs

 
2d
A  2  d  s
(2.4)
Adhaerere (lat.): festhängen, anhaften. Adhäsionskräfte treten also zwischen Teilchen verschiedenartiger Körper
bzw. Medien auf.
Physikalische Eigenschaften des Wassers
25
U=  d
( d)s
Zugkraft F
Ring
s
anhaftende
Flüssigkeit
s
d
zu untersuchende Flüssigkeit
Abb. 2.2:
Bestimmung der Oberflächenspannung
Anmerkung zur Kapillarwirkung
Liegen die Wandungen des Festkörpers sehr dicht zusammen (wie z.B. bei dünnen Röhrchen,
die als Kapillaren bezeichnet werden oder bei engen Spalten und Fugen), so wirkt sich der
Randeinfluss viel stärker aus. Je nachdem, ob eine benetzende Flüssigkeit (Abb. 2.3a) oder eine
nicht benetzende Flüssigkeit (Abb. 2.3b) vorliegt, wird die Flüssigkeit angehoben oder abgesenkt.
dKap
kapillare
Steighöhe
hk
dKap
Glasröhrchen
Glasröhrchen
Meniskus
hk
Wasser
(a) Kapillaraszension (z.B. Wasser)
Abb. 2.3:
Meniskus
Quecksilber
(b) Kapillardepression (z.B Quecksilber)
Kapillarwirkung verschiedener Flüssigkeiten
Physikalische Eigenschaften des Wassers
26
Die kapillare Steighöhe hK6 folgt aus der Gleichgewichtsbedingung "Gewichtskraft = Kapillarkraft", im Falle kreisrunder Kapillaren mit dem Durchmesser dKap:
 π d 2Kap 
h k  ρ W g = σ π d Kap 


 4

hK =
4σ
ρ W g d Kap
(2.5)
und im Falle eines engen Spaltes zwischen zwei parallelen Platten mit der Spaltbreite a und der
Länge der Randlinie b:
(h k a b) w g =  2b 
hK =
2
.
w g a
(2.5)a
2.4 Viskosität
Viskosität wird nach DIN 1342 als die Eigenschaft eines fließfähigen Stoffsystems definiert,
beim Verformen eine Spannung aufzunehmen, die von der Verformungsgeschwindigkeit7 abhängt. Die Stoffgröße "Viskosität" ist demnach ein Maß für die durch innere Reibung bestimmte Verschiebbarkeit der Flüssigkeitsteilchen gegeneinander. Die Viskosität wird in Zusammenhang mit dem Fluidreibungsansatz von NEWTON in der Vorlesung "Reale Flüssigkeiten" (vgl. Abschnitt 11) näher behandelt, da sie den grundsätzlichen Unterschied zwischen idealen (reibungsfreien) und realen (reibungsbehafteten) Flüssigkeiten ausmacht.
Die Vernachlässigung der Viskosität bei idealen Flüssigkeiten ermöglicht oftmals einen schnellen Einblick in die Strömungsprozesse; d.h. viele Strömungsgesetze werden für ideale Flüssigkeiten abgeleitet und dann durch experimentell ermittelte Koeffizienten dem Verhalten der realen Flüssigkeiten möglichst gut angepasst (vgl. Abschnitt 11).
2.5 Löslichkeit der Luft und Luftgehalt des Wassers
Aufgrund seines Absorptionsvermögens8 enthält Wasser eine gelöste Luftmenge, die dem
Druck direkt proportional ist und zudem auch von der Temperatur abhängt. Bei Druckverminderung (z.B. beim Öffnen einer Flasche Sekt!) wird gelöste Luft frei, die in Form kleiner Bläschen mit der Geschwindigkeit v = 0,25 ÷ 0,30 m/s (im ruhenden Wasser) aufsteigt. Zum Beispiel enthält 1 l Wasser bei 100 % Sättigung unter Atmosphärendruck 22,4 ml gelöste Luft bei
10 °C bzw. 18,3 ml bei 20 °C. Dieser Sachverhalt ist besonders wichtig bei Anlagen, die im
Unterdruckbereich arbeiten (z.B. Heberleitungen), wo es zum Ausscheiden der gelösten Luft
6
Bei Kies ist hk < 3mm; bei Sand hK = 20 ÷ 80 mm und bei Lehm- bzw. Tonböden beträgt hK bis ca. 400 mm.
7
Bei Festkörpern ist die Verformung und nicht die Verformungsgeschwindigkeit maßgebend.
8
Absorbieren: aufsaugen, einlagern.
Hydrostatik
27
und damit zu Abflussstörungen kommen kann (Verengung des Fließquerschnittes durch Ansammlung von Luftbläschen).
Außerdem werden bei Abstürzen und hohen Fließgeschwindigkeiten große Luftmengen durch
die Wasseroberfläche aufgenommen, die dann bei Fließstrecken mit geringeren Geschwindigkeiten wieder entweichen. Dies muss z.B. bei Schussrinnen und anderen Hochwasserentlastungsanlagen durch besondere Maßnahmen (u.a. Entlüftung) berücksichtigt werden.
2.6 Zusammenfassung
1.
Die wichtigsten physikalischen Eigenschaften des Wassers sind die Dichte, die Viskosität
und die Oberflächenspannung (Kapillarität). Die Kompressibilität und der Luftgehalt des
Wassers können bei bestimmten Aufgaben der Hydromechanik zusätzlich von Bedeutung
sein.
3 Hydrostatik
Hydrostatik ist die Lehre von den Gleichgewichtszuständen ruhender, inkompressibler Flüssigkeiten bei Einwirkung äußerer Kräfte (Pressung, Schwer- und Trägheitskräfte).
Da Flüssigkeiten keine Zugkräfte übertragen können und da Reibung (Schubkräfte) bei ruhender Flüssigkeit nicht vorhanden ist, können in der Hydrostatik nur Druckkräfte auftreten. Aufgabe der Hydrostatik ist es, diese Druckkräfte und ihre Wirkungen auf Bauwerke und andere
Körper im und am Wasser zu bestimmen.
3.1 Der Begriff "Druck"
(a)
Definition und Druckeinheiten
EULER9 definierte als erster den Druckbegriff: Druck ist der Quotient aus Kraft F und
Fläche A und stellt somit eine Spannung dar:
p=
Kraft
F
=
Fläche A
N
 m² 
Die SI-Einheit für den Druck ist das PASCAL10 [Pa]:
1 Pa = N/m²
9
EULER, Leonhard (1707–1813): Schweizer Mathematiker und Physiker.
10
PASCAL, Blaise (1623–1662): Französischer Mathematiker, Physiker und Philosoph.
(3.1)
Hydrostatik
28
1 bar11 = 105 Pa ( atm. Druck)
Die alten Druckeinheiten dürfen nach SI nicht mehr verwendet werden. In der Praxis des
Wasserbauers hat sich der Anschaulichkeit wegen der Begriff der Druckhöhe eingebürgert (siehe auch Abschnitt 3.2):
hD =
p
ρw g

p
p
p
=
m= 4
m
kg m
10
Pa
4 N
1000 10
10
m³ s²
m²
hD 1 m
=
p 104 Pa
11
"barus" (griech.): schwer
Hydrostatik
29
Daraus folgt für die alte Druckeinheit mWS (Meter Wassersäule):
1 mWS = 0,1 bar = 104 Pa = 10 kPa
10 mWS = 1 bar = 105 Pa = 100 kPa
(b)
Weitere Druckbegriffe
In der Technik werden häufig folgende Druckbegriffe verwendet:




Atmosphärendruck p0,
absoluter Druck pabs,
Überdruck pü,
Unterdruck pu,
die in Abb. 3.1 definiert sind.
pabs
p1,ü
Druckniveau 1
p1,ü = Überdruck
Atmosphärendruck
p0
p2,u = Unterdruck
Druckniveau 2
p2,abs
p0 = 10,33 mWS
p2,u
p1,abs
absoluter Druck
0
Abb. 3.1:
Vakuum
Zusammenhang zwischen verschiedenen Druckbegriffen
Hydrostatik

30
Atmosphärendruck: mittlerer Luftdruck auf Meeresspiegelhöhe bei 0 °C und 45°
geographischer Breite:
p0 = 1,01325 bar
In der Hydromechanik wird i.d.R. p0 als Bezugsdruck gewählt, wobei:
p0  1 bar = 105 Pa

Absoluter Druck pabs: Alle Druckangaben, die sich auf pabs = 0 (Vakuum) beziehen,
sind Absolutdrücke und daher positiv.

Überdruck:
pü = pabs – p0 > 0

Unterdruck:
pu = pabs – p0 < 0
Ein weiterer wichtiger Druckbegriff ist der Dampfdruck pD, auch Siede- oder Verdampfungsdruck genannt. Unter Atmosphärendruck siedet Wasser bei 100 °C. Bei geringerem Druck ist
hierfür eine niedrigere Temperatur erforderlich: z.B. pD  0,2 bar bei 60 °C und pD  0,024 bar
bei 20 °C. Wird der Dampfdruck pD erreicht, so bilden sich als Folge der Verdampfung kleine
mit Luft und Wasserdampf gefüllte Hohlräume (cavitas), die zu unerwünschten Erscheinungen
führen können (Verengung vom Fließquerschnitt durch Ansammlung von Luftblasen, Kavitationsschäden, etc.). Dies ist von besonderer Bedeutung bei Strömungsvorgängen, wo Unterdruck an bestimmten Stellen auftritt und den Dampfdruck erreichen kann. Als Folge der Verdampfung kann die Strömung abreißen. Theoretisch ist dies bereits bei einem Unterdruck von:
min p = - (p0 - pD )
möglich; d.h. bei 20 °C folgt z.B.:
min p = - (1,013 bar - 0,024 bar)  - 0,989 bar  - 100 kPa
-10 mWS
Diesem Unterdruck entspricht eine Saughöhe von hD  10 m. Diese stellt einen theoretischen
Grenzwert dar, bei dem ein Abreißen der Strömung eintritt. In der Realität kommen weitere
Einflüsse hinzu (Luftgehalt, geodätische Höhe, etc.), die diesen Grenzwert auf etwa hD  7 m
bzw. min p = –70 kPa sinken lassen.
(c)
Entstehung des hydrostatischen Druckes
Bei der Entstehung des hydrostatischen Druckes bestehen grundsätzlich zwei Möglichkeiten:

Schwere- bzw. Gewichtsdruck:
Der Druck an einer Stelle im Wasser rührt ausschließlich vom Eigengewicht der
darüber lastenden Wassermassen her (Abb. 3.2).
Hydrostatik

31
Pressdruck:
Ein Pressdruck wird mittels eines Kolbens auf das in einem vollständig abgeschlossenen Gefäß befindliche Wasser ausgeübt (Abb. 3.3).
p  F/ A
(3.2)
Oft treten jedoch Schweredruck und Pressdruck gleichzeitig auf.
Abb. 3.2:
1
p klein
2
p groß
Schweredruck
p
Fläche A
Kraft F
F
p
A
p
Abb. 3.3:
Pressdruck
p
Hydrostatik
32
3.2 Hydrostatische Druckverteilung infolge Schwerkraft (Grundgleichungen der Hydrostatik)
Innerhalb einer Wassermasse werden die Gleichgewichtsbedingungen in vertikaler Richtung
an einem herausgeschnittenen differentialen Wasserelement in Form eines Würfels (dx, dy, dz)
betrachtet (Abb. 3.4). Der Würfel hat ein Gewicht von:
dG = w g (dx dy dz)
p0
p0
p0
p0
Atmosphärendruck
Druck p
dx
y
dy
dz
dG
Druck
(p + dp)
z
Abb. 3.4:
Gleichgewichtsbedingungen in vertikaler Richtung
Auf die obere Würfelseite wirkt die Druckkraft:
dF0 = p dx dy
Auf die untere Würfelseite wirkt die Druckkraft
dFU = (p + dp) dx dy
x
Hydrostatik
33
Die Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung lautet:
p dx dy + w g (dx dy dz) - (p + dp) dx dy = 0
dF0
+
dG
-
dFU
=0
: (dx dy)
 p + w g dz - p - dp = 0
dp =  w g dz
(3.3)12
Die Integration von Gl. (3.3) liefert:
p  w g z + C (C = Integrationskonstante)
Da an der Wasseroberfläche der Atmosphärendruck p0 herrscht, folgt:
z = 0  C = p0
 p = w g z + p 0
Da der Atmosphärendruck p0 als Bezugsdruck betrachtet wird, folgt für die hydrostatische
Druckverteilung:
p = w g z
(3.4)
Gl. (3.4) besagt, dass die Druckspannung p mit der Tiefe z unter dem Ruhewasserspiegel (z = 0)
linear zunimmt (Abb. 3.5).
12
Gl. (3.4) stellt einen Sonderfall des EULERschen Grundgesetzes der Hydrostatik (VENNARD und STREET,
1976):
dp   w
a
x
dx  a y dy  a z dz

Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.
für den Fall ax = ay =0 und az =g (ax, ay und az = Massenbeschleunigung in Richtung x, y und z) dar.
Hydrostatik
34
z=0
p  w  g  z
z
h
1
Fp  w  g  h w 2
2
h
3
p = w g h
Abb. 3.5:
Hydrostatische Druckverteilung
Die Druckfläche (Dreieck) ergibt die gesamte hydrostatische Druckkraft:
Fp =
( w g h)
1
h =  w g h²
2
2
 N / m
(3.5)
Anmerkung zur hydrostatischen Druckverteilung bei geschichteten Flüssigkeiten
Bei geschichteten Flüssigkeiten (Flüssigkeiten mit verschiedener Dichte) ist wie in Abb. 3.6
vorzugehen.
z=0
Alkohol (1):
p 1 = 1 g h1
h1
z
h
Wasser (2):
p 2 = 1 g h1+ 2 g (h - h1)
h - h1
1 g h1
Abb. 3.6:
2 g (h - h1)
Druckverteilung bei geschichteten Flüssigkeiten
Hydrostatik
35
Anmerkung zu den Niveauflächen
Auf den Ruhewasserspiegel wirkt der Atmosphärendruck, d.h. p = p0 = konst.. Solche Flächen
mit p = konst. (bzw. dp = 0) heißen Niveauflächen. Die allgemeine Gleichung für die Niveauflächen entsteht aus Gl. 3.4 mit dp = 0:
(3.6)
a x dx + a y dy + a z dz = 0
Für a x = a y = 0 und a z = g folgt:
g dz = 0  dz = 0  z = konst.
Dies ist die Gleichung des Ruhewasserspiegels (z = 0) und aller dazu paralleler Flächen. Für
den Fall ax  0 siehe Abschnitt 3.7.
3.3 Hydrostatische Druckkräfte auf ebene Flächen
(a)
Ableitung der hydrostatischen Druckkraft
An einer festen Wandung wirkt die differentiale Druckkraft dF stets senkrecht auf das
Flächenelement dA. Die gesamte Druckkraft auf eine beliebig geformte ebene Fläche A
der Wandung greift im Punkt D an (Abb. 3.7). Mit dem Druck p = w g h nach Gl. (3.4)
und h = y sin folgt aus dF = p dA:
dF = w g h dA = w g sin  y dA
F = w g sin   y dA
A
x
z
hD
h
hs
xs
dF
F
S
D
xD
dA
dA
Fläche A
S
D
ys
α
yD
y
Abb. 3.7:
S(xs, ys) = Schwerpunkt der
geometrischen Fläche
D(xD, yD) = Angriffspunkt der
Druckkraft F
(Angriffsmittelpunkt)
Definitionsskizze zur Ableitung der hydrostatischen Druckkraft
Hydrostatik
36
 y dA
das statische Moment der gedrückten Fläche A in Bezug auf die
Da das Integral
A
x-Achse darstellt, lautet die Gleichgewichtsbedingung für die Flächenmomente:
 y dA = y
S
A
A
F = w g sin  yS A
und mit
yS sin  = hS
 F = w g h S A
(3.7)
Die hydrostatische Druckkraft F auf eine ebene Fläche A ist gleich dem Produkt aus dieser
Fläche A und dem hydrostatischen Druck p  w g hS im Schwerpunkt der Fläche A.
Anmerkung zur Bestimmung der Lage des Schwerpunktes S und des Angriffspunktes D der
Druckkraft
Da der Druck an der unteren Seite der Fläche A stets größer als der Druck auf der oberen Seite
ist (p = w g z), liegt der Angriffspunkt D immer tiefer als der Schwerpunkt S. Die Lage von D
und S erfolgt nach den üblichen Gleichgewichtsbedingungen für die Flächenmomente (siehe
Vorlesung "Technische Mechanik").
(b)
Druck auf horizontale Bodenflächen: Das hydrostatische Paradoxon
Der hydrostatische Druck auf die Böden der Behälter Abb. 3.8 ist in allen drei Fällen
gleich groß (p = W g h) und von der Form der Behälter unabhängig, d.h. bei gleicher
Bodenfläche A und gleicher Wassertiefe h wirkt die gleiche Druckkraft F auf alle drei
Böden.
Anmerkung: Auch bei engsten Fugen, Klüften und Spalten wirkt der volle hydrostatische Druck
(Abb. 3.9).
h
h
h
F
F
p = w gh
Abb. 3.8:
A
PASCALsches Paradoxon
A
F
A
Hydrostatik
37
h
h
gedichtete
Gründungsfuge
in A
A
offene
Gründungsfuge
Dichtung
B
w g h
w g h
Druck in Fuge AB
w g h
(b) Fuge dicht zwischen A und B
(Dichtung in B): falsch!
(a) Fuge dicht zwischen A und B
(Dichtung in A): richtig !
Abb. 3.9:
B
A
Hydrostatischer Druck in Gründungsfuge
3.4 Hydrostatische Druckkräfte auf gekrümmte Flächen
(a)
Herleitung der resultierenden Druckkraft
Es wird die gekrümmte Fläche z = f(x) in Abb. 3.10a betrachtet. Der Ruhewasserspiegel
(RWS) schneidet die gekrümmte Fläche in B (x0, 0).
In der Wassertiefe z wirkt nach Gl. (3.5) der Druck
p  w g z
und die gesamte Horizontalkraft Fh = W g h²/2 wirkt auf die fiktive vertikale Ebene 0A.
Um herauszufinden, welche gesamte Druckkraft auf die gekrümmte Fläche wirkt, wird
ein Element ds aus der gekrümmten Fläche herausgeschnitten (Abb. 3.10b). Senkrecht
auf das Element ds wirkt die Druckkraft dF = p ds (Abb. 3.10b). Die Zerlegung der Druckkraft dF entlang der x-Richtung ergibt dFx und entlang der z-Richtung dFz. Die Betrachtung der ähnlichen Dreiecke (dF, dFx, dFz) und (ds, dx, dz) in Abb. 3.10b führt zu:
dF
sin α = x
p ds
dFx = p dz

(3.8)
dz
sin α =
ds
Hydrostatik
38
dFz
p ds
dx
cos α =
ds
cos α =

dFz = p dx
(3.9)
Die Kraftkomponenten Fx und Fz über die Wassertiefe h folgen aus der Integration von
Gl. (3.8) und Gl. (3.9) (mit p = w g z):
h
h
0
0
Fx   p dz  w g  z dz = w g
h²
= Fh (horiz. Kraft in Abb. 3.10a)
2
Hydrostatik
39
(a) Definitionsskizze
RWS
z
h
z = f(x)
x0
0
x
B
dF = p ds
p = w g z
ds
w g h 2
Fh 
2
Detail A
A
z
dFx = x-Komponente von
F
dFz = z-Komponente von
F
dz = Projektion von ds in
z-Richtung
dx = Projektion von ds in
x-Richtung
(b) Detail der Kraftzerlegung
dF = p ds

dFz
dz
dFx

dx
ds
Abb. 3.10:
Druckkraft auf gekrümmte Flächen
Hydrostatik
40
x0
x0
0
0
Fz =  p dx = ρ w g  z dx und mit z = f(x) (gekrümmte Fläche)
 x0

Fz = ρ w g   f(x) dx 
 0

(3.10)
Fläche 0AB über der Kurve z  f (z)
Die z-Komponente der Druckkraft F2 stellt somit die Auflast des Wassers auf die gekrümmte Fläche z = f(x) dar (Abb. 3.11).
x0
Fz =  w g  f (x) dx
0
x0
0
B
Auflast
x
Fz
z = f(x)
h
x0
Fläche 0AB =
 f (x) dx
0
A
z
Abb. 3.11:
Definitionsskizze zur Ableitung der vertikalen Druckkraftkomponente
Die resultierende Druckkraft F auf die gekrümmte Fläche wird durch Aufspaltung in eine
horizontale (Fx) und vertikale (Fz) Kraftkomponente bestimmt (Abb. 3.12).
Hydrostatik
41
RWS
Fz
0
x0
x
F
Fz
Fx
α
h
Betrag:
Fx
Richtung:
F = Fx2  Fz2
tan  
Fz
Fx
ρw g h
z
Abb. 3.12:
Resultierende Druckkraft auf gekrümmte Flächen (konvex)
Luftseite
RWS
x0
0
x
F = Fx2  Fz2
Fz
tan  
Wasserseite
Fx
F
Fz
α
Fx
z
Abb. 3.13:
w g h
Resultierende Druckkraft auf gekrümmte Flächen (konkav)
Fz
Fx
h
Hydrostatik
42
Anmerkung:
Liegt das Wasser auf der konkaven statt auf der konvexen Seite der gekrümmten Fläche, so
stellt die vertikale Kraftkomponente Fz nicht die Auflast, sondern den Auftrieb auf die gekrümmte Fläche dar (Abb. 3.13). (Für die Definition des Auftriebes siehe Abschnitt 3.5.)
3.5 Auftrieb (Prinzip von ARCHIMEDES)
Auftrieb tritt in folgenden Fällen auf:
(a)

Bei Körpern, die völlig bzw. teilweise ins Wasser eintauchen.

Bei Bauwerken, die im Wasser (auch Grundwasser!) errichtet sind bzw. vom Wasser unterströmt werden.
Auftrieb auf eingetauchte Körper
Prinzip von ARCHIMEDES13: Die Auftriebskraft Fz ist gleich dem Gewicht des verdrängten Wasservolumens VV:
Fz = ρW g VV
(3.11)
Beweis: Wir betrachten einen beliebig geformten eingetauchten Körper mit der Dichte w in
Abb. 3.14, wobei eine Einheitsbreite b = 1 m zur x-z-Ebene angenommen wird (zweidimensionale Betrachtung!).
Die obere Grenzfläche des Körpers, auf die die Auflast wirkt, ist z = f1(x) und die
untere Grenzfläche, auf die der Auftrieb wirkt, ist z = f2(x). Damit ergeben sich die
differentialen Vertikalkräfte auf ein Körperelement der Dicke dx:
Auflast
dFz1 = ρ W g z 1 dx =  W g f1 (x ) dx
"Auftrieb"
dFz2 = ρ W g z 2 dx =  W g f 2 (x ) dx
Resultierende Druckkraft
13
d Fz  d Fz 2  d Fz1   W g  f 2 ( x )  f 1 ( x )  d x
ARCHIMEDES (287–212 v. Chr.): Mathematiker und Physiker aus Syrakus.
Hydrostatik
43
dFz1
z1 = f1(x)
RWS
xB
0
x
obere Kurve
zo = f1(x)
z2 = f2(x)
A
B
dx
untere Kurve
zu = f2(x)
dFz2
z
Abb. 3.14:
Definitionsskizze für die Bestimmung des Auftriebs
Die resultierende Vertikalkraft Fz auf den Gesamtkörper folgt aus der Integration
(Abb. 3.15):
xB
Fz   dFz   w g   f 2 (x)  f1 (x)  dx
0
 xB
Fz  w g   f1 (x)dx
 0

Fz,1  Fläche OABx B
begrenzt durch obere
Kurve z  f1 (x) (Abb.19a)

xB
 f (x)dx   
2

0
w
g VV
Fz, 2  Fläche OABx B
begrenzt durch untere
Kurve z  f 2 (x) (Abb.19b)
(Definition von VV siehe Abb. 3.15 c)
3.6 Schwimmender Körper und Schwimmstabilität
Baukörper wie z.B. Senkkästen (Caissons) müssen gelegentlich schwimmend zum Einbauort
transportiert werden. Dabei müssen stets zwei Bedingungen erfüllt werden:
Schwimmfähigkeit und Schwimmstabilität.
Hydrostatik
Fz 1   w g
44
xB

Fz 2   w g
f1 ( x ) d x
xB

xB
0
xB
0
+
Fz1
z = f1(x)
Fz2
A
B
B
xB
0
x
x
A
Fz  Fz2  Fz1
f 2 ( x )d x
0
0
=
x
A
z = f2(x)
z
z
z
(a) Druck auf obere Fläche
(b) Druck auf untere Fläche
z1 = f1(x) als Auflast
z2 = f2(x) als Auftrieb
Abb. 3.15:
3.6.1
B
Fz
Verdrängtes
Wasservolumen VV
(c) Resultierende Druckkraft auf den
Körper (Auftrieb)
Prinzipienskizze zur Bestimmung der Auftriebskraft Fz
Schwimmfähigkeit
Am Beispiel des Schwimmkörpers mit der Dichte F, der Höhe H, der Schwimmfläche A, dem
Körpervolumen VK und dem verdrängten Wasservolumen Vv in Abb. 3.16 sollen nachstehend
die Bedingungen für die Schwimmfähigkeit demonstriert werden.

Körpergewicht in der Luft:
G  F g VK  F g H A

Auftriebskraft (ARCHIMEDES):
FA   w g VV   w g h w A

Schwimmbedingung:
G  FA
F g H A  w g h w A
F H   w h w
Daraus folgt der Tiefgang hw:
h w  f / w  H
(3.12)
Hydrostatik
45

Und der Freibord f =  H  h w    H 

F 
H :
w 
  
f  H 1  F 
 w 
(3.13)
Freibord f
Schwimmfläche A
SK
G = K g VK
RWS
Tiefgang hw
H
SV1 FA = w g VV
SK : Körperschwerpunkt
SV1 : Verdrängungsschwerpunkt
p = w g hw
Abb. 3.16:
Schwimmvermögen
Beispiel:
Gesucht:
Dicke H einer Eisscholle (Eisplatte!), wenn diese mit f = 5 cm aus dem Wasser herausragt. Dabei ist (bei T = 0 °C) ρeis = ρK = 916,7 kg/m3 und
ρwas3
ser = w = 999,85 kg/m
Lösung:
Aus Gl. (3.13) folgt für die Dicke H:
H
f
 F 
1  
 w 

0,05m
 0,60m
916,7 

1  999,85 


Hydrostatik
3.6.2
46
Schwimmstabilität und Kriterien
Schwimmfähigkeit allein ist für den Transport nicht ausreichend. Zusätzlich muss der Baukörper für den Transport stabil schwimmen und darf dabei nicht kentern.
Hinsichtlich der Schwimmlage sind grundsätzlich 3 Fälle zu unterscheiden, die inAbb. 3.17
dargestellt und erläutert sind.
Für die Ableitung der Kriterien der Schwimmstabilität wird der Schwimmkörper in Abb. 3.18
betrachtet, der leicht um den Winkel α aus seiner stabilen Lage ausgelenkt wird.
Die wichtigsten Parameter für die Beschreibung der Kriterien für die Schwimmstabilität sind
(vgl. Abb. 3.18):

hm:
Abstand zwischen dem Schwerpunkt SK des Schwimmkörpers und dem
Metazentrum M. Das Metazentrum ist der Schnittpunkt zwischen der ausgelenkten Schwimmachse und der Wirkungslinie der versetzten Auftriebskraft
FA

hk:
Abstand zwischen dem Schwerpunkt SK des Körpers und dem Verdrängungsschwerpunkt Sv1 bei Ruhelage vor der Auslenkung

Vv:
durch den Körper verdrängtes Wasservolumen

∆Vv: durch den Körper verdrängtes Wasservolumen infolge Auslenkung

I0 :
Trägheitsmoment der Schwimmfläche A in Bezug auf die Achse 0 y:
I0   x 2 dA
A
Abb. 3.17:
Stabile, labile und indifferente Schwimmlage
F
SV1
Stabil
SK
G
FA
SV2
rückdrehen
SK
SK: Schwerpunkt des Körpers
SV: Verdrängungsschwerpunkt
Körper mit tief
liegendem
Schwerpunkt
Rückkehr in Ausgangslage,
wenn Ursache der
Auslenkung beseitigt ist.
SV1
Labil
G SK
SV2 FA
F
SK
kentern
Indifferent
FA SV2
drehen
SV1
SK G
F
SK
Körper mit gleichmäßiger
Massenverteilung (z.B.
Kugel; Zylinder)
Körper mit hoch
liegendem
Schwerpunkt
Schwimmfläche
Ständiges Drehen des
Körpers durch äußere
Kraft
Umkippen bzw.
Kentern in andere
stabile Schwimmlage
Schwimmachse
Indifferent
Labil
Ruhelage
Auslenkung
durch Kraft
Stabil
Hydrostatik
47
Hydrostatik
48
b
M Metazentrum

a
- VV
Schwimmfläche A
0
b=1m
hM

FG
hK
SV1
dA
0

z
x
FA
a
+ VV
SV2
dVV  z dA
VV
0
c
dA
x

z
x
z
dFA
z
FG = Gewichtskraft des Körpers
SK = Schwerpunkt des Körpers
Sv1 = Verdrängungsschwerpunkt vor
der Auslenkung (Ruhelage)
Abb. 3.18:
x
y
SK
a
Ausgelenkte Schwimmkörper (Definitionsskizze)
Durch die Auslenkung wird der Auftrieb auf der aufgetauchten Seite um den Wert
∆FA = - ρw g ∆VV verringert (Abb. 3.18a). Auf der eingetauchten Seite nimmt die Auftriebskomponente um den Wert ∆FA = + ρw g ∆VV zu. Wird das eingetauchte bzw. aufgetauchte Volumen in viele kleine Scheiben dVv = z dA (Abb. 3.18) zerlegt, so lässt sich das entstehende
Drehmoment M aus der Integration der Auftriebskräfte für die Scheiben über den Abstand x
zur Schwimmachse berechnen. Da bei sehr kleiner Auslenkung z/x = tan α = α ist, folgt:
dFA  w g dVV  w g dA z  w g dA x 
(3.14)
Das infinitesimale Drehmoment dM ist:
dM  x dFA   w g x 2  dA
(3.15)
Daraus folgt das gesamte Drehmoment M:
M   dM   w g  x 2 dA
A
A
M  w g   x 2 dA  w g  I0
A
(3.16)
Hydrostatik
49
Durch die Auslenkung entsteht ein Moment der Auftriebskraft FA∙a um den alten Verdrängungsschwerpunkt Sv1, das mit dem Moment infolge Veränderung der Eintauchtiefe der beiden
Seiten im Gleichgewicht stehen muss:
FA  w g  I0
(3.17)
Der Hebelarm a (Abb. 3.18) folgt aus
a
I
 w g  I0  w g  I0

 0
FA
VV
 w g VV
(3.18)
Da die Auslenkung α als sehr klein angenommen wird, kann der Hebelarm a durch die Parameter hM, hK und α wie folgt beschrieben werden:
a  (h M  h K ) sin   (h M  h K ) 
(3.19)
Wird Gl. (3.19) in Gl. (3.18) eingesetzt, so folgt für die Lage des Metazentrums:
hM 
I0
 hK
VV
(3.20)
Das Flächenträgheitsmoment I0 ist für die Schwimmfläche A (Abb. 3.18a) zu ermitteln.
Für die oben erwähnten Schwimmlagen (s. Abb. 3.17) gelten folgende Kriterien:
hM > 0
:
stabile Schwimmlage
hM < 0
:
labile Schwimmlage
hM = 0
:
indifferente Schwimmlage
Liegt der Verdrängungsschwerpunkt SV oberhalb des Körperschwerpunktes SK, so ist die
Schwimmlage stets stabil.
3.7 Einfluss zusätzlicher Beschleunigungen auf den hydrostatischen
Druck
3.7.1
Problemstellung
Im Abschnitt 2 wurde gezeigt, dass Wasser leicht verformbar und nahezu inkompressibel ist,
aber auch, dass sich seine Oberfläche stets normal zur Resultierenden FR aller auf sie wirkenden
Kräfte einstellt.
Wirkt also nur die Schwerkraft, so stellt sich zwangsläufig eine horizontale Wasseroberfläche
ein. Dies ist der Fall, wenn das Wasser im Behälter nicht bewegt wird bzw. eine gleichförmige
geradlinige Bewegung erfährt, d.h. es wirkt außer der Erdbeschleunigung g keine weitere Beschleunigung. Dabei wirkt die Erdbeschleunigung stets senkrecht zur Wasseroberfläche (Isobare p = 0) sowie zu anderen Linien gleichen Druckes (p = konst.: Isobaren).
Hydrostatik
50
RWS
Isobare
z=0
z=1m
z=2m
z
z=3m
z=4m
z
p=0
Isobare
p  1mWS 10 4 N / m 2
Isobare
p  2 mWS
2  10 4 N / m 2
Isobare
p  3 mWS
3  10 4 N / m 2
Isobare
p  4 mWS
4 10 4 N / m 2
p = w g z
g
Abb. 3.19:
Linien gleichen Druckes
Der Einfluss jeder zusätzlichen Beschleunigung b auf das Ausgangssystem mit der Erdbeschleunigung g kann durch eine effektive Beschleunigung be berücksichtigt werden:
  
be  g  b
(3.21)
die wie folgt in die Druckberechnung eingeht:

p  W be z
(3.22)
Dabei ist zu beachten, dass die Trägheitskraft infolge der Wirkung von b stets in entgegengesetzter Richtung von b wirkt. Im Folgenden wird die Wirkung der zusätzlichen Beschleunigung
b in senkrechter sowie in horizontaler Richtung betrachtet.
3.7.2
Senkrecht beschleunigter Wasserbehälter
Hier sind drei Fälle zu unterscheiden, die am Beispiel eines Wasserbehälters in einem fahrenden
Fahrstuhl demonstriert werden können (Abb. 3.20).
Fall 1: Gleichförmige Bewegung nach oben bzw. unten (Abb. 3.20a)
Fährt der Fahrstuhl mit v = konst. nach oben bzw. unten, so ist
Hydrostatik
51
dv/dt = b = 0,
d.h. es wirkt nur die Erdbeschleunigung g. Der Bodendruck
p  w g h
bleibt unverändert.
Fall 2: Beschleunigte Fahrt nach oben (Abb. 3.20b)
Der Fahrstuhl hat eine nach oben gerichtete Beschleunigung b = konst. Dadurch entsteht eine
Trägheitskraft in entgegengesetzter Richtung von b, d.h. in Richtung von g. Dies bewirkt eine
Erhöhung des spezifischen Gewichtes des Wassers von
w g
  w (g  b),
sodass sich der Bodendruck entsprechend erhöht:
p  w g h
 p  w (g  b) h
(3.23)
p = w g h  p = w (g + b) h
b=0
h
b 0
b0
h
g
p = w g h
h
g
p = w g h
p = w g h
p = w (g - b)h
p = w (g + b)h
(a) Gleichförmig nach
oben bzw. unten
Abb. 3.20:
Beispiel:
(b) Beschleunigt nach oben
g
(c) Beschleunigt nach
unten
Vertikale Bewegung eines Wasserbehälters bei unterschiedlicher Beschleunigung b
Bei einem Erdbeben ist b ≈ 0,4 m/s2 nach oben gerichtet. Dadurch kommt es zu einer Druckerhöhung von ca. 4 %:
 w (g  b) h g  b 9,81  0, 4


 1, 04
g
9,81
 w gh
Hydrostatik
52
Fall 3: Beschleunigte Fahrt nach unten (Abb. 3.20c)
Der Fahrstuhl hat eine nach unten gerichtete Beschleunigung b = konst. Sie bewirkt eine Trägheitskraft nach oben, d.h. in entgegengesetzter Richtung von g. Dadurch kommt es zu einer
Abminderung des spezifischen Gewichts des Wassers:
w g  w (g  b)
(3.24)
sodass sich der Bodendruck entsprechend vermindert:
p   w g h  p   w (g  b) h
(3.25)
Sonderfall: Beschleunigte Fahrt nach unten mit der Beschleunigung b = g
Erfährt der Fahrstuhl eine nach unten gerichtete Beschleunigung b = g, so wirkt nach
Gl. (3.24) ein spezifisches Gewicht des Wassers von:
w (g  g)  0
(Schwerelosigkeit)
Der hydrostatische Druck ist somit nach Gl. (3.26) p = ρw (g - g) h = 0.
3.7.3
Horizontal beschleunigter Wasserbehälter
Die Wirkung einer horizontalen Beschleunigung soll zunächst an einem horizontal und geradlinig fahrenden Wasserbehälter und dann an einem horizontal rotierenden Behälter demonstriert
werden.
(a)
Horizontal und geradlinig beschleunigter Behälter
Wird der Wasserbehälter in Abb. 3.21 nach rechts mit b = konst. beschleunigt, so
wirken auf die Wassermasse m folgende Kräfte:



Trägheitskraft
F  m b ,



Gewichtskraft
FG  m g .
Hydrostatik
53
Isobaren (p = konst.)
RWS


F  mb

b  konst.

ursprünglicher
RWS
h


FR  m b e
Abb. 3.21:


FG  m g

Horizontal und geradlinig beschleunigter Wasserbehälter
Die resultierende Kraft FR folgt zu

 

FR  m b  g  m be ,  be 


b2  g2 ,
d.h. die Wasseroberfläche muss sich schräg einstellen, damit sie stets senkrecht zur resul-

tierenden Beschleunigung be bleibt.
Der Neigungswinkel α der Wasseroberfläche folgt aus:
tan  
F m b

FG
mg

tan  = 
b
g
(3.26)
Anmerkung:
Durch die Schräglage der Wasseroberfläche wird potentielle Energie gespeichert, die
nach Wegfall der Beschleunigung b in Wellenbewegung umgesetzt wird. Deshalb sind
z.B. bei Schiffshebewerken nur geringe Beschleunigungen (b < 0,015 m/s2) zugelassen.
(b)
Horizontal rotierender Wasserbehälter
Bei beschleunigter Drehbewegung wirken Zentrifugal- und Schwerekräfte zusammen,
d.h. zu jedem Abstand r von der Rotationsachse 0z gehört eine nach innen gerichtete
Beschleunigung b (Abb. 3.22):
b  r 2 mit   v / r  Winkelgeschwindigkeit
 b  v2 / r
Hydrostatik
54
Nach Gl. (3.27) ist:
tan   
b
v 2 / r 2 / r


g
g
g
Andererseits gilt (Abb. 3.22):
tan  

dz
dr
dz
2 r
2
2 r 2

 dz  
r dr  z(r)  
C
dr
g
g
g 2
Das heißt, die Wasseroberfläche ist ein Paraboloid (Abb. 3.22).

Detail M
M
0
r
Detail M

r

dr
M
Tangente

be
z
Abb. 3.22:
Isobaren p = konst.
Horizontal rotierender Wasserbehälter
r
0
dz
-b
g
b
r
z
Hydrostatik
55
3.8 Zusammenfassung
1.
Der Bezugsdruck in der Hydrostatik ist der atmosphärische Druck. Die SI-Einheit des
Druckes ist Pascal (1 Pa = 1 N/m2).
2.
Der Druck in einer ruhenden Flüssigkeit ist in alle Richtungen gleich groß. Druck ist
daher eine skalare Größe (kein Vektor).
3.
Der hydrostatische Druck infolge Schwerkraft steigt linear mit der Wassertiefe z:
p  w g z
4.
Die hydrostatische Druckkraft wirkt stets senkrecht auf die Begrenzungsfläche.
5.
Die hydrostatische Druckkraft F auf eine ebene Fläche A ist gleich dem Produkt aus dieser Fläche und dem hydrostatischen Druck p = ρw g h im Schwerpunkt dieser Fläche:
F  (w g h s )A
6.
Da die hydrostatische Druckverteilung nur von der Wassertiefe abhängig ist, spielen
Größe und Form des Wasserbehälters keine Rolle (hydrostatisches bzw. PASCALsches
Paradoxon).
7.
Zur Bestimmung der hydrostatischen Druckkraft auf gekrümmte Flächen ist eine Aufspaltung in eine horizontale (Fx) und vertikale (Fz) Kraftkomponente erforderlich:
Fx   w g h 2 / 2
(h = Wassertiefe)
Fz  w g V
(V = Volumen über der gekrümmten Fläche bis zur
Höhe des RWS)
8.
Die Auftriebskraft auf einen Körper im bzw. am Wasser lässt sich nach dem Prinzip von
ARCHIMEDES bestimmen:
FA   w gVV
(VV = durch den Körper verdrängtes Wasservolumen)
Die Größe der Auftriebskraft eines eingetauchten Körpers ist somit von der Eintauchtiefe
unabhängig.
9.
Ein Körper schwimmt, wenn das Körpergewicht gleich der Auftriebskraft ist. Für die
Schwimmstabilität werden stabile, labile und indifferente Schwimmlage unterschieden.
In der stabilen Schwimmlage liegt das Metazentrum lotrecht über dem Schwerpunkt des
schwimmenden Körpers.
Hydrostatik
56
10.
Bei der Wirkung einer zusätzlichen Beschleunigung auf eine ruhende Flüssigkeit ist zu
beachten, dass sich die resultierende Beschleunigung (bzw. Kraft) stets senkrecht zur
Wasseroberfläche einstellt, wobei bei der Berechnung der Resultierenden zu beachten ist,
dass die zusätzliche Beschleunigung entgegen ihrer Wirkungsrichtung anzusetzen ist
(Trägheitskräfte).
11.
Die Oberfläche einer beschleunigten rotierenden Flüssigkeit hat die Form eines Rotationsparaboloids.
Hydrostatik
57
3.9 Aufgaben
Aufgabe 3.1:
"Einheiten"
Was ist die SI-Einheit für Druck? Welche weiteren Einheiten können Sie für den hydrostatischen Druck angeben? Wie können Sie diese auf die SI-Einheit umrechnen?
Aufgabe 3.2:
"Druck"
Was verstehen Sie unter relativem und absolutem Druck?
Aufgabe 3.3:
"Salzgehalt"
Wie ändert sich die Dichte des Wassers bei zunehmendem Salzgehalt? Welchen Einfluss hat
der Salzgehalt auf den hydrostatischen Druck?
Aufgabe 3.4:
"Kavitation"
Wie groß ist der Dampfdruck? Was verstehen Sie unter Kavitation? Geben Sie zwei Beispiele,
wo Kavitation auftreten kann.
Aufgabe 3.5:
"Hydrostatischer Druck"
Wie groß ist der Druck, der auf einen Taucher in 1 m, 10 m und 100 m Wassertiefe wirkt?
Geben Sie diesen Druck in den Einheiten [mWS] und [kN/m2] an.
Hydrostatik
58
"Hydrostatischer Druck auf eine senkrechte Wand"
Aufgabe 3.6:
Berechnen Sie den hydrostatischen Druck und die resultierende Kraft pro laufenden Meter auf
eine Mauer.
Gegeben:
p0 = 1013,25 mbar
w = 1,0 t/m3
d = 10,0 m
z
d = 10m
Sohldichtung
Abb. 3.23:
Hydrostatischer Druck auf eine senkrechte Wand
Lösung:
a)
Ermittlung des hydrostatischen Druckes an der Sohle ps

Berechnung des absoluten Druckes:
Mit p0  1013,25mbar  1,013 bar  1,013 105 Pa folgt :
p S   W g d  p 0  1000  9,81  10, 0  1, 013  10 5  1,994  10 5 Pa
Anmerkung: Es wirkt von der anderen Seite der Mauer derselbe atmosphärische
Druck entgegen. Der Luftdruck kann somit vernachlässigt werden und
es ist daher zulässig mit p0 = 0 kN/m2 zu rechnen.

Berechnung des relativen Druckes:
p S   w g d  p 0  1,0  9,81  10, 0  0  98,1kN / m 2
Hydrostatik
59
z
d = 10 m
Fres
d/3
Sohldichtung
ps= 98,1 kN/m²
Abb. 3.24:
b)
Druckspannnungsverteilung auf eine senkrechte Wand
Ermittlung der resultierenden Druckkraft:
d
F   p dA 
0
Aufgabe 3.7:
ps
98,1
d
10  490,5 kN / m
2
2
"Druck auf Kreissegmentschütz"
Ein Kreissegmentschütz soll einen Stollen mit einem Rechteckquerschnitt verschließen. Der
Stollen hat eine Breite b von 5,0 m und eine Höhe a von 2,0 m. Der Winkel α des Kreissegmentschützes beträgt 55°.
a)
Bestimmen Sie Größe und Richtung der hydrostatischen Gesamtkraft auf das Auflager
im Punkt M.
b)
Zeichnen Sie die Druckspannungsverteilung auf das Schütz für


den horizontalen Wasserdruck,
den vertikalen Wasserdruck.
Hydrostatik
60
h
r

r
Abb. 3.25:
Kreissegmentschütz
Gegeben:
ρw = 1,0 t/m3
g = 9,81 m/s2
a = 2,0 m
b = 5,0 m
h = 1,5 m
α = 55°
M
a
Hydrostatik
Aufgabe 3.8:
61
"Druck auf schräge Flächen"
Berechnen Sie die Druckverteilung und die resultierende Vertikalkraft auf die "Nase" ABCD.
RWS
A
8,0 m
d =10 m
C
B
D
5,0 m
Abb. 3.26:
Gegeben:
Druck auf schräge Fläche
ρw = 1,0 t/m3
g
= 9,81 m/s2
patm = 0 kN/m2
Lösung:
a)
Ermittlung des hydrostatischen Druckes an den Punkten A, B, C und D
pA = p0 = patm = 0 kN/m2 (Bezugsdruck)
pB = ρw g z + p0 = 1,0 · 9,81 · 8,0 + 0 = 78,5 kN/m2
pC = pB = 78,5 kN/m2 (gleiche Wassertiefe wie Punkt B)
pD = ρw g d + p0 = 1,0 · 9,81 · 10,0 + 0 = 98,1 kN/m2
 Druckspannungsfigur
2,0 m
Hydrostatik
62
RWS
A
F1
Druck auf Teilfläche CD.
78,5 kN/m2
C
d =10 m
98,1 kN/m2
78,5 kN/m2

C
B
D
98,1 kN/m2
78,5 kN/m2
Abb. 3.27:
b)
c)
F2
Druckspannungsfigur auf "Nase"
Ermittlung der Kräfte auf die Teilflächen AB und BC
F1 
pA  pB
78,5  0
L AB 
 52  82  370,3 kN / m
2
2
F2 
pB  pC
78,5  78,5
L BC 
 5  392,5 kN / m (Auftrieb)
2
2
Ermittlung der resultierenden Gesamtkraft auf die Nase:
sin  
LAC 8,0

   58
LAB 9,43
FH1  F1 sin   370,3  sin58  314,0 kN / m
D
Hydrostatik
63
A

F1
FV1
FH1

B
Abb. 3.28:
LAC
C
Kräftezerlegung
FV1  F1 cos   370,3  cos58  196,2 kN / m (Auflast)

resultierende Vertikalkraft der Nase:
Fv,ges  FV1  F2  196, 2  392, 5  196, 3 kN / m (Auftrieb)
Das gleiche Ergebnis lässt sich viel einfacher nach dem Prinzip des ARCHIMEDES berechnen, wobei VV das durch den Hohlkörper ABC verdrängte Wasservolumen darstellt.
Fv,ges   w g Vv  1,0  9,81  (8,0  5,0) / 2  196, 2 kN / m
1
FH   w g h 2  314,1kN / m 2
2
"Druck auf eine Klappe"
Aufgabe 3.9:
An einem Behälter ist eine quadratische Klappe befestigt, die im Punkt A drehbar gelagert ist.
Welche Kraft FRes ist notwendig, damit die Klappe geschlossen bleibt? Das Eigengewicht der
Klappe darf vernachlässigt werden.
Gegeben:
w = 1,0 t/m³
g
= 9,81 m/s²
p0 = 0 kN/m²
Hydrostatik
64
RWS
b = 0,3 m
h = 1,0 m
Fres
A
F
a = 0,1 m
B
Sohle
Abb. 3.29:
Druck auf eine Klappe
Lösung:
a)
Berechnung der resultierenden Kraft auf die Klappe:
pA = ρw g h + po = 1,0 · 9,81 · 1,0 + 0 = 9,81 kN/m²
pB = ρw g (h + a) + p0 = 1,0 · 9,81 · (1,0 + 0,1) + 0 = 10,79 kN/m²
F = [(pA + pB)/2] a2 = [(9,81 + 10,79)/2] · 0,12 = 0,103 kN
pA
A
a
pB – pA
Abb. 3.30:
B
pB
Druckspannungsverteilung auf die Klappe
Hydrostatik
b)
65
Berechnung des Moments der hydrostatischen Kräfte um den Punkt A:
M A  pA a 2
a  pB  pA  2 2

a
a
2
2
3
= 9,81 0,12 
0,1 10, 79  9,81
2

 0,12   0,1
2
2
3
 M A  0, 00523 kNm
c)
Gleichgewicht der Momente:
M A = FRes b  FRes  MA / b  0,00523 / 0,3  0,017 kN
Die erforderliche Kraft FRes, um die Klappe geschlossen zu halten, beträgt 17 N.
Aufgabe 3.10:
"Druck auf gekrümmte Flächen"
Für eine zylindrische Stauklappe, die im Punkt "0" drehbar gelagert ist, soll die resultierende
Kraft Fres mit dem zugehörigen Winkel α berechnet werden. Daraus ist das Moment auf die
zylindrische Stauklappe zu berechnen. Das Eigengewicht der Klappe kann vernachlässigt werden.
Gegeben:
w = 1,0 t/m³
g
= 9,81 m/s²
p0 = 0 kN/m²
RWS
FV
VA
Fres
r = 2,0 m
FH
r

(0)
r = cos 
r = 2,0m
Abb. 3.31:
Druckspannungsverteilung bei gekrümmten Flächen
FH

Fres
FV
A
Hydrostatik
66
Lösung:
FH 
 w g r  r  1,0  9,81  2,0  2,0  19,62 kN/m
2
2
Die Vertikalkraft entspricht dem Gewicht des Wassers über der Klappe (Auflast):
FV =  w g VA   w g ( r 2 
1 2
1
 r )  1, 0  9,81  (2 2    2 2 )  8, 42 kN/m
4
4
Aus dem Satz der Pythagoras ergibt sich die resultierende Kraft und der Winkel:
Fres = F2H +F2V = 19,622 +8,42²=21,35 kN/m
F 
  arctan  V   arctan (8,42 /19,62)  23,23
 FH 
Da die Wirkungslinie der resultierenden Kraft durch den Mittelpunkt der zylindrischen Stauklappe führt, entsteht hier kein Moment.
Aufgabe 3.11:
"Die Krone des ARCHIMEDES"
ARCHIMEDES wurde von seinem König beauftragt, dessen neue Krone daraufhin zu überprüfen, ob sein Goldschmied die Krone wirklich nur aus Gold hergestellt hat oder etwa billigeres
Silber der Krone beigemischt wurde. Der König hatte dem Goldschmied l kg Gold für die Herstellung der Krone gegeben.
ARCHIMEDES dachte lange über die Lösung des Problems nach. Während er sein wöchentliches Bad nahm, bemerkte er, wie das Wasser in der Badewanne stieg, wenn er sich hinein
setzte. Da kam ihm die leuchtende Idee. Mit einem "Heureka" (Ich habe es geschafft!) sprang
er aus der Wanne und überprüfte wie folgt den Goldgehalt der Krone:
ARCHIMEDES bestimmte das Gewicht der Krone zu l kg. Anschließend besorgte er sich l kg
Silber und l kg Gold. Schließlich tauchte er sowohl das Gold, das Silber und die Krone in einen
randvoll mit Wasser gefüllten Eimer und ermittelte die Überlaufmenge.
Aus den Überlaufmengen für das Gold und das Silber konnte er folgende Dichten ermitteln:
ρGold = 19,3 g/cm3
ρSilber = 10,5 g/cm3
Für die Krone ermittelte er eine Überlaufmenge von 56,16 cm3.
Überprüfen Sie, ob die Krone aus reinem Gold bestand. Wenn die Antwort "Nein" lautet, dann
ermitteln Sie den beigemischten Silbergehalt.
Lösung:
Hydrostatik
a)
Bestimmung der Überlaufmenge und somit des Volumens von l kg Gold und l kg Silber
VKrone,Gold = mGold/ρGold = 1.000/19,3
= 51,81 cm3
VKrone,Silber = mSilber /ρSilber = 1.000/10,5
= 95,24 cm3

b)
67
Die Krone besteht nicht nur aus Gold, denn dann müsste die Überlaufmenge
51,81 cm3 betragen. Der Goldschmied war also ein Schwindler.
Bestimmung des Silbergehaltes
Das gesamte Volumen der Krone setzt sich aus einem Gold- und einem Silberanteil zusammen.
m Gold
m Silber
Vgcs 

Gold
Silber
Dies gilt auch für das Gewicht der Krone.
mGold + mSilber = 1.000 g

mGold = 1.000 g - mSilber
 Vges 
1.000  mSilber mSilber  1
1 
1.000



 mSilber 
Gold
Silber  Silber Gold 
Gold
 mSilber

1.000  
1.000 
 Vges 
  56,16 
Gold  
19,3 


 100 g
1 
 1
 1
1 



 10,5  19,3 




Gold 
 Silber
 Der Krone waren 100 g Silber beigemischt.
Aufgabe 3.12:
"Tiefgang eines Schiffes"
Ein Schiff mit einem Gewicht von 40.000 kN fährt vom Süßwasser ins Salzwasser. Berechnen
Sie die Änderung des Tiefgangs ∆hw.
Gegeben:
ρw = 1,0 t/m3
ρSalzwasser = 1,025 t/m3
g = 9,81 m/s2
Abmessungen des Schiffes:
Länge L = 100 m
Höhe H = 10 m
Breite B = 10 m
Hydrostatik
68
Lösung:
Zur Lösung der Aufgabe wird das Prinzip des ARCHIMEDES verwendet. Danach entspricht
das Gewicht des verdrängten Wasservolumens VV dem Eigengewicht des Schiffes GSchiff.
a)
Berechnung des Tiefgangs im Süßwasser hw, süß:
GSchiff  w g VV
 40.000  1,0  9,81   L B h w,Süß 
 h w , Süß = 40.000 / 1, 0  9,81  100  10   4, 08 m
b)
Berechnung des Tiefgangs im Salzwasser hw, Salz:
GSchiff  Salzwasser g VV
 40.000  1,025  9,81   L B h w, Salz 
 h w, Salz = 40.000 / 1,025  9,81100 10  3,98 m

Der Tiefgang des Schiffes nimmt beim Einfahren vom Süß- ins Salzwasser um ∆hw
= hw, Süß - hw, Salz = 10 cm ab.
Aufgabe 3.13:
"Prinzip des ARCHIMEDES"
Das Gewicht eines mit Wasser gefüllten Behälters beträgt 60 MN (a.)). In diesen Behälter wird
ein Körper mit einem Gewicht G = 10 MN gelegt, der schwimmt (b.)) bzw. auf dem Boden
liegt (c.)). Berechnen Sie die überlaufende Wassermenge und das resultierende Gewicht unter
der Annahme, dass der Wasserstand in allen drei Fällen gleich bleibt (h = h1).
Gegeben:
ρw = 1,0 t/m3
ρStahl = 8,0 t/m3
g = 9,81 m/s2
Hydrostatik
a.)
69
b.)
RWS
RWS
R`= ?
R = 60 MN
c.)
RWS
R``= ?
Abb. 3.32:
Prinzip des ARCHIMEDES
Lösung:
zu b) Der Körper schwimmt im Behälter. In diesem Fall kann das Prinzip des ARCHIMEDES
angewandt werden. Dieses besagt, dass das ρW∙g- fache des verdrängten Wasservolumen
VV dem Gewicht G des schwimmenden Körpers entspricht.
G  w g VV
 VV = G /  w g   10.000 / 1,0  9,81  1.019 m3
 Dies bedeutet, dass das Eigengewicht des Behälters konstant bleibt.
 R´= 60 MN
zu c) Der Körper liegt auf dem Boden des Behälters. In diesem Fall muss das Volumen des
Körpers VK berechnet werden, da dieses der Überlaufwassermenge entspricht.
VK 
G
 Stahl g 
 10.000   8,0  9,81  127, 4 m 3
Das Gewicht des Behälters ergibt sich nun aus dem Gewicht des mit Wasser gefüllten
Behälters abzüglich des Gewichts des übergelaufenen Wassers zuzüglich des Gewichts
des Körpers.
Hydrostatik
70
 R"  R  G  VK w g  60.000  10.000  127,4  1,0  9,81
 68.750 kN = 68, 75 MN
Aufgabe 3.14:
"Auftrieb einer Mauer"
Ein schlechter Ingenieur hat sich die unten dargestellte Mauer mit einer Sohldichtung stromabwärts ausgedacht. Ermitteln Sie das bei dieser Anordnung erforderliche Gewicht G der Mauer
und machen Sie einen Verbesserungsvorschlag.
a = 2m
a /2
G
d = 10m
Dichtung
undurchlässig
Sohlfuge
Abb. 3.33:
Auftrieb einer Mauer
Gegeben:
ρw = 1,0 t/m3
(A)
= 9,81 m/s2
g
p0 = 0 kN/m2
Lösung:
G = 1.829,6 kN/m
Aufgabe 3.15:
"Beschleunigungssysteme"
Für das unten dargestellte Fahrzeug ist der hydrostatische Druck an der Sohle Ps für die Zustände "1", "2" und "3" zu bestimmen. Alle Behälter haben die gleichen Abmessungen bei
gleicher Wassertiefe h = 2,0 m.
Hydrostatik
71
d = 1,5 m
2
g
b
h = 2,0 m
b
3
1
g
g
b
Abb. 3.34:
Gegeben:
Beschleunigungssysteme
ρw = 1,0 t/m3
g
= 9,81 m/s2
b
= 2,5 m/s2
Lösung:
2
Zustand „1”: p S   w (g  b) h  1, 0  (9, 81  2, 5)  2, 0  24, 62 kN/m
2
Zustand „3“: p S   w (g  b) h  1, 0  (9,81  2, 5)  2, 0  14, 62 kN/m
Zustand „2“: tan   b / g    arctan(2,5 / 9,81)  14,3
tan   e / (d / 2)  e  d / 2 tan   e  1,5 / 2  tan14,3  0,19 m
b res  b 2  g 2  2, 52  9,812  10,12 m / s 2
cos  
c1
 c1  (d  e) cos   2,12 m
(d  e)
cos  
c2
 c2  (d  e) cos   1, 75 m
(d  e)
Hydrostatik
72
pS,li nks  w bres c1  1,0  10,12  2,12  21, 45 kN / m2
pS,rechts  w bres c2  1,0  10,12  1,75  17,76 kN / m2
d/2
e
d/2
Fahrtrichtung

b
c1
h


g

Beschleunigungssystem im Zustand “2“
Abb. 3.35:
Beschleunigungssystem im Zustand "2"
 c
2
Hydrostatik
73
"Schwimmstabilität"
Aufgabe 3.16:
Für den unten dargestellten Senkkasten aus Beton sollen Schwimmfähigkeit und Schwimmstabilität überprüft werden.
Schnitt 1-1 und 2-2
2
0,4 m
0,4 m
a = 5m
f
t
0,4 m
0,4m
a=
1
1
2
b = 5,0 m
Abb. 3.36:
Schwimmstabilität
Gegeben:
ρw = 1,0 t/m3
ρBeton = 2,2 t/m3
g = 9,81 m/s2
Lösung:
a)
Überprüfung der Schwimmfähigkeit
Ermittlung des Betonvolumens VBeton:
VBeton = 50,91 m3
Ermittlung des Betongewichts G:
G  Beton g VBeton  2, 2  9,81 50,91  1098, 7 kN
Anwendung des Prinzips des ARCHIMEDES:
FV  G  FV  w g VV  G
 VV =
G
1.098,7

 112,0 m 3
w g
1,0  9,81
Berechnung des Tiefgangs:
VV  b c t  t  VV /  b c  112 /  5,0 ·5,0  4,48 m  a
 Freibord f = a - t = 0,52 m
c = 5,0 m
Hydrostatik
74
 Der Senkkasten schwimmt.
b)
Überprüfung der Schwimmstabilität
Der Körperschwerpunkt liegt bei aK = 2,5 m. Der Verdrängungsschwerpunkt liegt
bei aV = t/2 = 2,24 m über der Sohle des Senkkastens. Hieraus kann der Abstand hK
zwischen Körperschwerpunkt und Verdrängungsschwerpunkt berechnet werden:
 hK = aK – aV = 2,50 - 2,24 = 0,26 m
Ermittlung der Lage des Metazentrums hM:
I0
5,0  5,03
hM 
 hk 
 0, 26  0, 20m  0
VV
112 12
mit : I 0  Flächenträgheitmoment 
b c3
12
Das Metazentrum liegt 0,20 m oberhalb des Körperschwerpunktes, d.h. es handelt
sich um eine stabile Schwimmlage.
Einführung in die Hydrodynamik
75
4 Einführung in die Hydrodynamik
4.1 Definition und Feldbeschreibung
Hydrodynamik ist die Lehre der Bewegung von Flüssigkeiten unter dem Einfluss von äußeren
Kräften und Trägheitskräften. Der Unterschied zwischen Trägheitskräften und äußeren Kräften
wird durch Abb. 4.1 veranschaulicht.
Abb. 4.1:
Unterschied zwischen äußeren Kräften und Trägheitskräften
Während bei der Hydrostatik die Gewichtseigenschaften der Flüssigkeit, d.h. das spezifische
Gewicht (w g) bzw. das Gewicht G = w g V maßgebend sind, stellen in der Hydrodynamik
die Masseneigenschaften der Flüssigkeit, d.h. die Dichte w bzw. die Masse m = w V, die
maßgebenden Größen dar.
Wie in der Hydrostatik können auch in der Hydrodynamik die Flüssigkeiten als Kontinuum
angesehen werden, sodass jedes Flüssigkeitspartikel durch seine Dichte, den Druck, seine Geschwindigkeit und andere Strömungsgrößen charakterisiert werden kann. Da eine Flüssigkeit
leicht verformbar ist, kann jedes Partikel eine andere Geschwindigkeit, einen anderen Druck
usw. haben, die außerdem räumlich und zeitlich variieren können. Eine Beschreibung der Geschwindigkeit und weiterer Flüssigkeitseigenschaften der Partikel zu jedem Zeitpunkt durch
mathematische Funktionen ist möglich (Kontinuum) und erforderlich (Feldbeschreibung). Abhängige Variablen wie z.B. Druck und Geschwindigkeiten werden Feldvariablen genannt. Das
betrachtete Flüssigkeitsgebiet heißt Strömungsfeld.
Einführung in die Hydrodynamik
76
4.2 LAGRANGEsche und EULERsche Beschreibung
Für die Beschreibung des Strömungsfeldes gibt es zwei grundsätzliche Betrachtungsweisen:
Die LAGRANGE14sche und die EULERsche Betrachtungsweise.
Bei der LAGRANGEschen Betrachtungsweise wird jedes Partikel identifiziert und zeitlich verfolgt, es entstehen sog. Bahnlinien. In diesem Fall sind die strömungsmechanischen Größen
(Geschwindigkeit, Beschleunigung, etc.) nicht fest, sondern an das Teilchen gebunden (Teilchenkoordinaten). Anders als bei Festkörpern sind bei Flüssigkeiten die LAGRANGEschen
Bewegungsgleichungen mathematisch zu aufwendig und daher nur in Sonderfällen anwendbar.
Im Gegensatz dazu ist bei der EULERschen Betrachtungsweise das "Einzelschicksal" der Partikel uninteressant. Deshalb werden die strömungsmechanischen Größen an einem festen Ort
beschrieben (feste Koordinaten). Da der Ingenieur mehr an der Wirkung der Fluidteilchen als
Ganzes auf ein Hindernis (z.B. Bauwerk) als an dem Einfluss des Hindernisses auf jedes individuelle Fluidteilchen interessiert ist, und weil die EULERschen Bewegungsgleichungen mathematisch weniger aufwendig sind, eignet sich diese Betrachtungsweise besser für die Beschreibung des Strömungsfeldes bei ingenieurmäßigen Anwendungen.
4.3 Klassifizierung von Strömungen
Folgende Strömungen werden unterschieden:

Strömungsgruppen:

Strömungsarten:

Strömungsformen:

Strömungsklassen:
Linienströmung (1D), Flächen- bzw. ebene Strömung (2D)
und räumliche Strömung (3D)
stationäre (zeitunabhängige) und instationäre (zeitabhängige) Strömung, gleichförmige (wegunabhängige) und ungleichförmige (wegabhängige) Strömung
laminare (Schichten-) und turbulente (verwirbelte) Strömung
Potentialströmung (drehungs- und reibungsfrei) und Wirbelströmung (drehungs- und reibungsbehaftet).
Bei einer Einteilung nach Homogenitätsgesichtspunkten kann zwischen:

einphasiger Strömung (homogenes Fluid: z.B. nur Wasser) und

mehrphasiger Strömung (inhomogenes Fluid: z.B. Wasser-Luft-Gemisch)
unterschieden werden.
Bei Gerinneströmungen wird außerdem noch zwischen schießendem und strömendem Abfluss
unterschieden (vgl. Abschnitt 9).
14
J. L. De LAGRANGE (1736–1813): Französischer Mathematiker.
Einführung in die Hydrodynamik
77
4.4 Grundgesetze der Physik und Stoffgesetze bei Strömungen
Die Erfahrung hat gezeigt, dass folgende Grundgesetze der Physik auch für alle Strömungen
gültig sind:

Massenerhaltungsgesetz

Die 3 Bewegungsgesetze von NEWTON15:
(i)
Jeder Körper verharrt in einem Zustand der Ruhe oder gleichförmiger, geradliniger Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird,
seinen Zustand zu ändern (Erstes Bewegungsgesetz).
(ii)
Die Kraft auf ein Objekt ist gleich seiner Masse multipliziert mit seiner Beschleunigung: F = m b (Zweites Bewegungsgesetz).
(iii) Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich oder die Wirkungen zweier
Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung,
d.h. Actio = Reactio (Drittes Bewegungsgesetz).


Die 2 Hauptsätze der Thermodynamik:
(i)
Energieerhaltungssatz (Erster Hauptsatz).
(ii)
Die Änderung der Entropie16 eines Systems und seiner Umgebung ist immer
positiv, d.h. alle Vorgänge der Natur führen zu einer Entropieerhöhung
(Zweiter Hauptsatz).
Das Postulat der Stoffeigenschaften:
Die verschiedenen Eigenschaften eines Fluides stehen in Beziehung zueinander.
Ist ein gewisses Minimum an Stoffeigenschaften (i.d.R. zwei) bekannt, so können
die anderen Eigenschaften daraus abgeleitet werden.
Wichtig ist, dass diese Grundgesetze für alle Strömungen gelten, unabhängig von der Natur des
Fluides und anderer Randbedingungen.
Zusätzlich kommen einige Gesetze hinzu, die nur unter bestimmten Bedingungen bzw. für bestimmte Fluide gelten, so z.B. das Fluidreibungsgesetz von NEWTON (vgl. Abschnitt 11.4).
Solche Gesetze, die nur für bestimmte Stoffe gelten, heißen "Stoffgesetze".
Die Anwendung der Grundgesetze wie z.B. das Massenerhaltungsgesetz, das Gesetz der Energieerhaltung sowie das 2. Bewegungsgesetz von NEWTON haben es ermöglicht, die drei wichtigsten Erhaltungsgesetze der Hydrodynamik herzuleiten:
15
I. NEWTON (1642–1727): Englischer Physiker und Mathematiker.
16
Entropie (gr., lat.): physikalische Größe, die die Verlaufsrichtung eines Wärmeprozesses kennzeichnet.
Einführung in die Hydrodynamik

die Kontinuitätsgleichung,

die BERNOULLI-Gleichung,

den Impuls- bzw. Stützkraftsatz.
78
4.5 Wichtige Begriffe der Hydrodynamik (stationäre Strömung)
(a)
Bahn eines Teilchens, d.h. die Strömungsrichtung an jedem Punkt
wird durch die Tangente an die Stromlinie S beschrieben:

 ds

(4.1)
vS =
(vS = Geschwindigkeitsvektor)
dt
Stromlinie:
Stromlinien des gleichen Strömungsfeldes können sich weder schneiden noch knicken (sonst
wären an einem Punkt zwei verschiedene Tangenten, d.h. Geschwindigkeitsvektoren, möglich).
Eine Verdichtung der Stromlinien S bedeutet größere Fließgeschwindigkeiten und eine Aufweitung der Stromlinien bedeutet eine Verzögerung der Strömung (Abb. 4.2).

vs

vs
a) Stromlinie
s
s
s
s
Verdichtung
beschleunigte
Strömung
b) Verdichtung und Verdünnung der Stromlinien
Abb. 4.2 :
Definitionsskizzen für Stromlinien
s
s
Verdünnung
verzögerte Strömung
Einführung in die Hydrodynamik
(b)
79
Stromfaden und Stromröhre

Eine Stromröhre (Abb. 4.3) ist ein Bündel von Stromlinien begrenzt durch eine
Mantelfläche. Durch die Mantelfläche erfolgt definitionsgemäß kein Durchfluss
(kein Fluidaustausch nach außen). Die mittlere Geschwindigkeit über dem Stromröhrenquerschnitt A ist:
1
(4.2)
v   vS dA
AA

Ein Stromfaden ist eine infinitesimale Stromröhre mit dem Querschnitt dA
(Abb. 4.3).
Stromröhre
Stromröhrenquerschnitt A2
dA
Mantelfläche
s
s
s
s
s
s
s
Stromlinien
s

vs
Stromfaden
S = Stromlinie
Stromröhrenquerschnitt A1
Abb. 4.3:
(c)
Stromröhre und Stromfaden
Volumen- und Massenstrom

 : zeitliche Änderung des Wasservolumens bzw. Durchflusses Q:
Volumenstrom V
  Q  dV / dt
V

(4.3)
Massenstrom m: zeitliche Änderung der Masse:
.
m
dm d( w V)

dt
dt
Bei w = konst. (inkompressible Flüssigkeit) folgt:
[kg/s]
(4.4)
Einführung in die Hydrodynamik
m  w
(d)
dV
 w Q
dt
80
(4.5)
[kg]
Kontrollvolumen-Konzept
Um die o.g. Grundgesetze als mathematische Modelle zur Beschreibung der Strömung formulieren zu können, wird ein Ausgangssystem bzw. ein Kontrollvolumen benötigt. Der Unterschied zwischen System und Kontrollvolumen besteht darin, dass:

ein System eine bestimmte Fluidmasse (z.B. ein Fluidpartikel) bzw. eine infinitesimale oder finite Fluidmasse darstellt,

ein Kontrollvolumen ein bestimmtes fiktives Gebiet im Strömungsfeld (infinitesimales bzw. finites Volumen) beschreibt, wobei das Volumen beweglich und verformbar bzw. ortsgebunden oder fest sein kann.
Beide Konzepte in infinitesimaler und finiter Größe werden für Untersuchungszwecke verwendet (Abb. 4.4). Das finite Kontrollvolumen in Abb. 4.4 wird z.B. durch zwei Kontrollschnitte
und die Wandung begrenzt.

Die Systembetrachtung entspricht der LAGRANGEschen Beschreibung und hat
den Vorteil, dass die o.g. Grundgesetze direkt auf die Massensysteme anwendbar
sind.
1
Finites
Kontrollvolumen
2
Strömung
v
v
Finites System: Masse
im finiten Volumen
y
2
Abb. 4.4:
1
Infinitesimales System:
Fluidpartikel im Punkt (x,y)
Kontrollvolumen und System
x
Infinitesimales
Kontrollvolumen
Einführung in die Hydrodynamik

81
Das Kontrollvolumen-Konzept entspricht der EULERschen Betrachtung und hat
den Nachteil, dass die o.g. Grundgesetze nicht direkt auf die Volumina anwendbar
sind. Diese Schwierigkeit wird dadurch überwunden, dass durch den sog. Transportsatz (WHITE, 1979) eine mathematische Verknüpfung zwischen beiden Betrachtungsweisen hergestellt wird.
Dabei wird davon ausgegangen, dass zu jedem Zeitpunkt eine bestimmte Fluidmasse im Kontrollvolumen vorhanden ist (zeitliche Änderung der Fluidmasse!),
d.h. die o.g. Grundgesetze können für jeden Zeitschritt auf das momentane System
im Kontrollvolumen angewandt werden. Das Kontrollvolumen ermöglicht somit
die Identifizierung eines spezifischen Systems, auch wenn es nur für eine kurze
Zeitspanne gilt:
dBsyst
dt

d
d
b dm 
b  w dV

dt msyst
dt Vsyst
(4.6)
Mit Bsyst = bestimmte Eigenschaft des Systems wie z.B.:



Masse m
Impuls I = m v
Energie E = m v2/2



b=1
b=v
b = v2/2
Das finite Kontrollvolumen wird häufig verwendet und stellt ein wichtiges und einfaches Konzept für die Lösung vieler Strömungsprobleme dar.
(e)
Lokale und konvektive Beschleunigung
Wird ein Fluidpartikel in einem Punkt P(x, y, z) eines räumlichen Strömungsfeldes zu verschiedenen Zeitpunkten t betrachtet, so hängen nach der EULERschen Betrachtungsweise die Eigenschaften der Fluidpartikel von der Zeit t und ihrer räumlichen Lage (x, y, z) ab, d.h. für eine
wirkliche Fluideigenschaft B gilt:
B = B (x, y, z, t)
(4.7)
Die Gesamtänderung von B folgt nach den Regeln der Differentialrechnung für den dreidimensionalen Fall in Gl. (4.7):
dB B B x B y B z




dt t x t y t z t
Mit v x 
(4.8)
z
x
y
und v z 
als Komponenten der Geschwindigkeit v in x-, y- und z, vy 
t
y
t
Richtung folgt aus Gl. (4.8):
dB B  B
B
B 

  vx
 vy
 vz

dt t  x
y
z 
(4.9)
Einführung in die Hydrodynamik
82
Da die Eigenschaft B willkürlich gewählt wurde, kann in Gl. (4.9) für B jede beliebige Fluideigenschaft angesetzt werden:
d  


 
   vx
 vy
 vz 
dt t  x
y
z 
(4.10)
Wird als Strömungsgröße die Geschwindigkeit v mit den Komponenten (vx, vy, vz) betrachtet,
so folgen die Beschleunigungskomponenten in x-, y- und z- Richtung:
v
v 
dv x v x  v x

  vx
 v y x  vz x 
dt
t  x
y
z 
dv y v y  v y
v y
v y 
by 

  vx
 vy
 vz

dt
t  x
y
z 
bx 
bz 
(4.11)
dv z v z  vz
v
v 

  vx
 v y z  vz z 
dt
t  x
y
z 
Wird nur eine eindimensionale Strömung in x-Richtung betrachtet, so folgt aus Gl. (4.11)
bx 
dv x v x
v

 vx x
dt
t
x
(4.12)
Analog lässt sich entlang einer Stromlinie s die folgende Gleichung (4.13) ermitteln:
dvs
vs
v

 vs s
t
s
dt
(f)
(4.13)
Stationäre und instationäre Strömung

Stationäre Strömung:

Instationäre Strömung:
v s
 0
t
v s
 0
t
⇒
vs(t) = konst.
⇒
vs(t) = variabel
Entscheidend für die Unterscheidung zwischen stationärer und instationärer Strömung ist also
die lokale Beschleunigung vs t . Diese Unterscheidung ist unabhängig davon, welchen Wert
 v 
die konvektive Beschleunigung  v s s  annimmt (Gl. (4.13)).
s 

Einführung in die Hydrodynamik
83
4.6 Zusammenfassung
1.
Bei der Untersuchung von Strömungen gibt es zwei Betrachtungsweisen: die LAGRANGEsche und die EULERsche Betrachtungsweise. Die EULERsche Betrachtungsweise,
die sich nicht um das "Einzelschicksal" der Wasserpartikel kümmert, hat eine viel breitere
Anwendung als die LAGRANGEsche Betrachtungsweise, die jedes Wasserpartikel identifiziert und verfolgt.
2.
Bei allen Strömungen gelten auch die Grundgesetze der Mechanik (Massenerhaltungsgesetz, die drei Bewegungsgesetze von NEWTON, die zwei Hauptsätze der Thermodynamik sowie das Postulat der Stoffeigenschaften). Alle anderen Gesetzmäßigkeiten, die nur
unter bestimmten Bedingungen und für bestimmte Fluide und Strömungen gelten, heißen
Stoffgesetze. Die drei wichtigsten Erhaltungsgesetze der Hydromechanik sind die Kontinuitätsgleichung, die BERNOULLI-Gleichung und der Impulssatz.
3.
Zur Unterscheidung zwischen stationärer und instationärer Strömung dient die Formel
für die totale Beschleunigung:
dv s v s
v

 vs s
dt
t
s
Stationäre Strömung liegt bei
v s
0
t
 vs
(t) = konst. und
instationäre Strömung bei
v s
0
t
 vs
(t) = variabel  vor.
Kontinuitätsgleichung
84
5 Kontinuitätsgleichung17
5.1 Eindimensionales Strömungsfeld
Es wird im Folgenden eine stationäre inkompressible Strömung in einer Stromröhre mit den
Fließquerschnitten A1 und A2 und den entsprechenden mittleren Fließgeschwindigkeiten v1 und
v2 betrachtet (Abb. 5.1). In einem Stromfaden wird ein infinitesimales Volumen dV betrachtet:
dV  dA ds
(5.1)
Die Differentialmasse des Volumens dV ist:
dm  w dV  w dA ds
A2
(5.2)
v2
Stromröhre
Detail A
dV
ds
v
Detail A
A1
v1
Abb. 5.1:
17
Stromfaden
dA
dV = dA ds
Prinzipienskizze zur Ableitung der Kontinuitätsgleichung (eindimensionaler Fall)
Leonardo da Vinci (1452–1519) hat als erster das Kontinuitätsprinzip beschrieben. Die mathematische Formulierung als Kontinuitätsgleichung konnte jedoch erst fast ein Jahrhundert später durch seinen Landsmann CASTELLI (1577–1644), Schüler von GALILEI (1564–1642), erbracht werden.
Kontinuitätsgleichung
85
Der Massenstrom im Stromfaden ist mit v = ds/dt:
dm
ds
 ρ w dA
  w dA v
dt
dt
Der Massenstrom in der Stromröhre folgt aus der Integration über den Fließquerschnitt A:

w
v dA  w v A
(5.3)
A
wobei w und v gemittelte Werte über die Fläche A darstellen. Im Folgenden wird auf die
Schreibweise für die gemittelten Werte verzichtet.
Da durch die Mantelfläche definitionsgemäß kein Ein- bzw. Ausstrom stattfinden kann, bleibt
der Massenstrom (w v A) in jedem Querschnitt der Stromröhre erhalten, d.h. für die Querschnitte Al und A2 in Abb. 5.1 gilt:
1 v1 A1  2 v2 A2  konst.
Mit w  1  2  konst. (inkompressible Flüssigkeit) folgt:
v1 A1  v2 A2  konst.
(5.4)
Mit dem Durchfluss Q = v A folgt schließlich die Kontinuitätsgleichung für eine stationäre
inkompressible Strömung:
Q  v A  konst.
(5.5)
In einer Stromröhre ist der Durchfluss konstant.
oder
Das Verhältnis zweier querschnittsgemittelter Geschwindigkeiten in dieser Stromröhre ist
gleich dem umgekehrten Verhältnis der zu ihnen gehörenden Fließquerschnitte.
Typisches Anwendungsbeispiel:
Gegeben:
Gesucht:
v1 = 1,0 m/s;
Al = 1,0 m2;
A2 = 0,1 m2
v2
Lösung:
v 2  v1
A1 1, 0

 10 m/s
A 2 0,1
A1
v1
v2
A2
Kontinuitätsgleichung
86
Anmerkung:
Aus Gl. (5.3) folgt die Definition der mittleren Geschwindigkeit v bei inkompressibler Strömung
(s. Gl. (4.2)):
v
1
v dA
A A
(5.6)
5.2 Zwei- und dreidimensionales Strömungsfeld
(a)
Ausgangssystem und Annahmen
In einem Strömungsfeld (inkompressible Flüssigkeit, ρ = konst.) wird ein finites Kontrollvolumen ABCD mit der Einheitsbreite 1 senkrecht zur x-y Ebene betrachtet
(Abb. 5.2).
(b)
Herleitung der Kontinuitätsgleichung
Nach dem Massenerhaltungsgesetz gilt (Abb. 5.2):
dQ x  dQ y  (dQ x  dQ x )  (dQ y  dQ y )
EINSTROM = AUSSTROM
  dQ x   dQ y  0
 v 
 v 
mit dQ x   x  dx dy und dQ y   y  dy dx
 x 
 y 

vy
vx
dx dy +
dy dx = 0
x
y

v x v y

0
x y
: (dx dy)
(5.7)
Dies ist die Kontinuitätsgleichung für eine zweidimensionale inkompressible Strömung (stationärer und instationärer Fall).
Entsprechend gilt für eine dreidimensionale Strömung:
v x v y vz


0
x
y
z
(5.8)
Kontinuitätsgleichung
y
87
v y 

dy  dx 1
 vy 
y 

s
s
AUSSTROM (dQy+dQy)
A
D
dQx= vx dx 1
dy
s
v x 

dx  dy 1
 vx 
x


EINSTROM dQx
C
B
AUSSTROM (dQx+ dQx)
EINSTROM dQy
dQy= vy dx 1
dx
Abb. 5.2:
x
Ableitung der Kontinuitätsgleichung für den zweidimensionalen Fall
Anmerkungen:
(i)
Bei einer kompressiblen Flüssigkeit ( = variabel) gilt anstelle von Gl. (5.8) für
den stationären Fall Gl. (5.9):
  (v x )  (v y )  (v z ) 



0



x
y
z


(5.9)
bzw. Gl. (5.10) für den instationären Fall:
  (v x ) (v y ) (vz ) 



0
t  x
y
z 
(ii)
(5.10)
Oft werden die Gleichungen (5.8), (5.9) und (5.10) in Vektorschreibweise formuliert:

(5.11)
 v0

 ( v)  0
(5.12)


  ( v)  0
t
(5.13)
Kontinuitätsgleichung
88
   
wobei    , ,  der Nabla-Vektor ist.
 x y z 
5.3 Zusammenfassung
1.
Die Kontinuitätsgleichung bei einer eindimensionalen stationären inkompressiblen Strömung lautet:
Q  v  A  konst. 18
und bei einer inkompressiblen 2D-Strömung:
v x v y

0
x
y
5.4 Aufgaben
Aufgabe 5.1:
"Kontinuitätsgleichung"
Lautet die Kontinuitätsgleichung Q = A v? Wenn nicht, wie lautet sie dann?
Aufgabe 5.2:
"Wasserhahn"
Erklären Sie anhand der Kontinuitätsgleichung, wieso sich der aus einem Wasserhahn austretende Strahl nach unten verjüngt.
Aufgabe 5.3:
"Rohrerweiterung"
Für die dargestellte Rohrleitung sind die Querschnitte (A1, A2) sowie der Durchfluss Q gegeben. Ermitteln Sie die Geschwindigkeiten v1 und v2!
Gegeben:
Gesucht:
Q = 0,1 m3/s
A1 = 0,1 m2
A2 = 0,5 m2
v1, v2
Lösung:
Anwendung der Kontinuitätsgleichung Q = A v = konst.
18
Q = v A ist die Formel für den Durchfluss, keine Kontinuitätsgleichung. v ist dabei die über den Fließquerschnitt
gemittelte Fließgeschwindigkeit.
Kontinuitätsgleichung
89
Q  Q1  Q2  0,1 m³/s
Q1  A1 v1  v1 
Q1 0,1

 1,0 m/s
A1 0,1
Q2  A 2 v2  v2 
Q 2 0,1

 0, 2 m/s
A 2 0,5
Q
Q
Bezugshorizont z = 0
A1, v1
A2, v2
Abb. 5.3:
Rohrerweiterung
Aufgabe 5.4:
"Rohrverzweigung"
Eine Wasseruhr zeigt während des Betriebs von 2 Wasserhähnen einen Durchfluss von Q = 1 l/s
an. Gesucht werden die Wassermengen, die unter der Voraussetzung gleicher Ausflussgeschwindigkeiten aus den beiden Wasserhähnen in einer Stunde fließen.
Gegeben:
Q = 1,0 l/s
d1 = 2,0 cm
d2 = 1,0 cm
d = 4,0 cm
Lösung:
Für die Berechnung der Einzelabflüsse muss die Kontinuitätsgleichung gelten:
Q  Q1  Q2
Q1  A1 v1 
(1)
 d12
v1
4
Q2  A 2 v2 
 d 22
v2
4
(2)
(3)
Kontinuitätsgleichung
90
Q1
d 1 = 2 cm
Q1 , v1
Q, v
Q2 , v2
d = 4cm
Q
Abb. 5.4:
Q2
d 2 = 1 cm
Rohrverzweigung
Gl. (3) und Gl. (2) werden in Gl. (1) eingesetzt:
 d12
 d 22
Q
v1 
v2
4
4
Da gleiche Ausflussgeschwindigkeiten für die Querschnitte 1 und 2 vorausgesetzt wurden,
gilt: v  v1  v2
  d12  d 22 
0, 001
Q

 v  v=
4 
  0,022  0,012 
 4



4 
 4
mit Q  1 l/s
Q1 
0, 001 m³ / s
 v = 2,55 m/s
 0,022
 2,55  0,0008 m³/s
4
Q 2  Q  Q1  0, 2 l/s
720 l/h
0,8 l/s
2.880 l/h
Einführung in die Potentialströmung
91
6 Einführung in die Potentialströmung
6.1 Definition und Begriffe
(a)
Definition und Modellkonzept
Potentialströmungen sind reibungsfreie und drehungsfreie Strömungen. Sie werden wegen ihrer Analogie zu den Strom- und Potentiallinien und der Elektrizitätslehre als solche
bezeichnet (Abb. 6.1):
Äquipotentiallinien
(Linien gleicher Spannung)
Stromlinien
Senke
Metallplatte
Quelle
+
Batterie
Abb. 6.1:
Analogie zu den Strom- und Potentiallinien in der Elektrizitätslehre
Nachdem die Metallplatte an einer Stromquelle angeschlossen ist, wird die Spannung an
verschiedenen Punkten gemessen und die Punkte gleicher Spannungen (Potentiallinien)
werden verbunden. Die Stromlinien sind dann stets senkrecht zu den Potentiallinien ausgerichtet.
Das Konzept der "Potentialströmung" ist ein sehr einfaches theoretisches Modellkonzept
für die Simulation von Strömungen, die ganz bzw. näherungsweise ohne Reibungsverluste ablaufen.
Das Modellkonzept geht davon aus, dass das zu untersuchende Strömungsfeld mit einer
skalaren Potentialfunktion (Geschwindigkeitspotential) beschrieben werden kann. Dies
setzt jedoch Wirbelfreiheit und Reibungsfreiheit der Strömung voraus.
Einführung in die Potentialströmung
92
Die Anwendung des Modellkonzeptes "Potentialströmung" erfolgt stets in Verbindung
mit anderen Bewegungsgleichungen der Hydromechanik, wie z.B. der Kontinuitätsgleichung oder dem Filtergesetz von DARCY (vgl. Abschnitt 13). Dass die Potentialströmung gerade auf Sickerströmungen in porösen Medien, d.h. hochgradig mit Reibung behaftete Strömungen, anwendbar ist, erscheint zunächst paradox. Dies ist jedoch mit der
formalen Analogie zwischen der DARCYschen Filterströmung (v  h/s) und der Potentialströmung (v  /s) zu erklären.
(b)
Begriff der "Rotationsfreiheit"

Um diesen Begriff physikalisch zu deuten, wird ein mit einem Pfeil (Einheitsvektor e )
markierter Schwimmer (verhält sich wie ein Wasserpartikel!) in einer Strömung zu verschiedenen Zeiten entlang einer Stromlinie betrachtet. Behält der Schwimmer seine Rich

tung (d.h. keine Drehung um die eigene Achse: de / dt  0  e  konst. ), so ist die Strömung rotationsfrei (Abb. 6.2). Dies ist nur möglich, wenn keine Schubspannungen wirksam werden, d.h. wenn die Strömung reibungsfrei ist (Viskosität = 0).
y
vs
vx
s
vy
s

e
vs
s

e

e
x
Abb. 6.2:
Definition der Rotationsfreiheit
Die mathematische Formulierung für die Rotationsfreiheit einer ebenen Strömung lautet:
vy
x
(c)

vx
0
y
(6.1)
Potentialströmungsarten
Grundsätzlich werden drei Arten von Potentialströmungen unterschieden, die in Abb. 6.3
dargestellt sind.
Abb. 6.3:
y
vy
M
y
x
x
Korkscheibchen mit
markiertem Pfeil
vx
vs
 = konst.
(Keine Drehung um eigene Achse)
Drehungsfreie Kreisströmung
Wirbelkern
Potentialströmungsarten
Quellenströmung
 = konst.
M
y
Senkenströmung
vs
x
x
 = konst.
vy
(Drehung um eigene Achse; keine Potentialströmung)
Drehungsbehaftete Kreisströmung
 = konst.
y
vx
Einführung in die Potentialströmung
93
Einführung in die Potentialströmung
94
6.2 Strom- und Potentiallinien bei stationärer Strömung
(a)
Stromfaden
Zwei benachbarte Stromlinien S1 und S2 begrenzen einen Stromfaden der Dicke dn.
Durch den Stromfaden wird ein spezifischer Teildurchfluss dq [m3/s m] mit der mittleren
Geschwindigkeit vs stationär abgeführt (Abb. 6.4):
dq = vs dn = konst.  stationär 

vs 
konst.
,
dn
d.h. je dichter die Stromlinien liegen, umso größer wird die Fließgeschwindigkeit vs.
dq
Stromlinien
s1
vs
s2
dn
Abb. 6.4:
Strom- und Potentiallinien bei einem Stromfaden
Die Potentiallinien lassen sich dadurch konstruieren, dass Linien senkrecht zu den Stromlinien gezogen werden, die jeweils einen Abstand ds zueinander besitzen.
(b)
Zweidimensionales Strömungsfeld: LAPLACE-Gleichungen
Wird dieselbe Prozedur an einem ebenen, d.h. zweidimensionalen Strömungsfeld wiederholt, so entsteht eine Schar sich senkrecht kreuzender Potential- und Stromlinien, das Potentialnetz genannt wird (Abb. 6.5).
Einführung in die Potentialströmung
95
Strömungslinie
y
(s) = konst.
.
ds
.
.
n
.
.
dn
.
.
.
.
.
.
.
.
s
.
Potentiallinie
.
vs
vx
vy
 (n) = konst.
.
vs
x
Abb. 6.5:
Ebenes Potentialnetz
Dabei werden die Stromfunktion  und die Potentialfunktion  so definiert, dass sie in
folgender Beziehung zu den Komponenten des Geschwindigkeitsvektors stehen:
in x-y Ebene
vx 
in s-n Ebene


und v y  
y
x
vs 
(6.2)


und v n 
0
n
s
(6.4)
(n)  var iabel (s) = konst.
vx 


und v y 
x
y
vs 
(6.3)


und v n 
0
s
n
(6.5)
(s)  var iabel (n) = konst.
Aus Gl. (6.2) und Gl. (6.3) bzw. Gl. (6.4) und Gl. (6.5) folgt:
 

x y


vy 

y
x
vx 
(6.6)
bzw.
vs 
 

s n
(6.7)
Einführung in die Potentialströmung
96
Das sind die CAUCHY-RIEMANNschen Gleichungen, die zusammen mit der Kontinuitätsgleichung (siehe Abschnitt 5.2)
v x v y

0
x
y
die Bausteine zur Herleitung der LAPLACE19-Gleichung für die Potentialfunktion  bilden, denn aus Gl. (6.6) folgt das Differential von vx und vy:
v x  2   2 


x x 2 yx
v x v y  2   2 



0
x
y x 2  y 2

v y
y

 2
 2


y 2
xy
Damit lautet die LAPLACE-Gleichung zur Beschreibung der Potentiallinien:
 2   2

0
x 2 y2
(6.8)
Für die Ableitung der LAPLACE-Gleichung für die Stromlinienfunktion  werden nur
die CAUCHY-RIEMANNschen Gleichungen (und nicht die Kontinuitätsgleichung) benötigt, d.h. aus Gl. (6.6) folgt:
 

y x
 


x y
 /y
 2  2

y2 xy
 /x
 2  2
- 2 
x
yx

 2  2

0
x 2 y2
Dies ist die LAPLACE-Gleichung zur Beschreibung der Stromlinien.
19
LAPLACE, Pierre Simon (1749–1827): Französischer Mathematiker.
(6.9)
Einführung in die Potentialströmung
97
Für den dreidimensionalen Fall gilt analog zu Gl. (6.8) und Gl. (6.9):
 2  2  2


0
x 2 y 2 z 2
(6.10)
 2  2  2


0
x 2 y 2 z 2
 2
2
2 
Mit der Einführung des LAPLACE Operators:    2   2  2  2  ,
 x y z 
der einen Diffentiator 2.Ordnung darstellt, lässt sich Gl. (6.10) wie folgt umschreiben:
  0
  0
(6.11)
Alle Strömungen, die die LAPLACEschen Gleichungen (6.10) bzw. (6.11) erfüllen, sind
Potentialströmungen.
6.3 Praktische Hinweise für die Untersuchung von Potentialströmungen
6.3.1
Untersuchungsmethoden – Übersicht
Zur Untersuchung von Potentialströmungen (Lösung der LAPLACE-Gleichungen) gibt es analytische, numerische, Elektroanalog- und grafische Verfahren.
(a)
Analytische Verfahren: Diese sind nur begrenzt einsetzbar, d.h. nur in einem Teil des
Strömungsfeldes wie z.B. bei Strömungen in einem Umlenkbereich (Heberleitung) bzw.
bei Kreisströmungen (Abb. 6.3) (SCHRÖDER (1994)).
(b)
Elektroanalogverfahren: Bei diesem Verfahren (Abb. 6.1) wird die Analogie zwischen
dem Durchfluss Q [m3/s]:
QA vA
und der Stromstärke I [Ampere]:
mit:
genutzt.
U
A
ds
cL
=
=
=
=
d
ds
d 

 mit v =

ds 

I  cL A
dU
,
ds
Spannung [Volt]
Querschnittsfläche des Leiters
Längenelement
Leitfähigkeitskonstante
Einführung in die Potentialströmung
98
Als flächenhafter Leiter wird metallbeschichtetes Widerstandspapier verwendet, das eine
geometrische Nachbildung des zu untersuchenden Strömungsfeldes ermöglicht. Die Potentiallinien werden durch Ertasten der Linien gleicher Spannung auf dem Widerstandspapier identifiziert und die Stromlinien werden rechtwinklig zu den Potentiallinien gezogen (Abb. 6.1). Wegen der benötigten Versuchseinrichtungen und der wachsenden Bedeutung numerischer Verfahren sind Elektroanalogverfahren wenig aussichtsreich. Als
weiterführendes Schrifttum kann u.a. BUSCH/LUCKNER (1972) empfohlen werden.
(c)
Numerische Verfahren: Zur Lösung der LAPLACE-Gleichungen unter bestimmten
Rand- und Anfangsbedingungen werden heute fast ausschließlich numerische Verfahren
in Form von FD-Modellen (Finite-Differenzen), FE-Modellen (Finite-Elemente) und REModellen (Randelemente) herangezogen. Dabei ist jedoch die Konstruktion von Strömungsnetzen nicht erforderlich. Den geringsten Rechenaufwand haben FD-Verfahren.
Bei größeren Modellen und komplizierten Randbedingungen haben sich die FE-Modelle
durchgesetzt (BOLLRICH et al. (1989)).
(d)
Grafische Verfahren: Die manuelle Konstruktion eines Potentialnetzes ist mühsam und
heutzutage kaum machbar. Manuelle grafische Verfahren können jedoch bei einer stichprobenartigen Verifikation von Ergebnissen aus numerischen Modellen (größenordnungsmäßig) nützlich sein. Deshalb werden im Folgenden einige Hinweise für die manuelle Erstellung und Auswertung von Potentialnetzen gegeben.
6.3.2
(a)
Hinweise zur Erstellung von Potentialnetzen
Abgrenzung des Strömungsfeldes
Als erster Schritt muss das Strömungsfeld, in dem das Potentialnetz konstruiert werden
soll (Abb. 6.6), genau abgegrenzt werden.
(b)
Bestimmung der Randstromlinien und Randpotentiallinien (Abb. 6.6)

Als Randstromlinien gelten i.d.R. Berandungen, durch die kein Ein- und Ausstrom
erfolgen kann. Das können z.B. folgende Berandungen sein:
- freie Ränder wie Wasseroberfläche und Strahlränder, die dem Atmosphärendruck ausgesetzt sind (p = p0 = 0) oder
- feste undurchlässige Ränder wie Wände und Sohlen

Randpotentiallinien sind i.d.R. feste durchlässige Berandungen und jede weitere
Berandung durch die ein Ein- bzw. Ausstrom erfolgen kann.
Dabei müssen die Potentiallinien stets rechtwinklig auf die Randstromlinien stoßen
– und umgekehrt!
Einführung in die Potentialströmung
99
freie Wasseroberfläche (Randstromlinie)
abgegrenztes
Strömungsfeld
Potentiallinie
feste undurchlässige
Berandung (Randstromlinie)

4
3
2
1 
2 
3
n
.
4
freie Wasseroberfläche
s
vs
q
1
feste undurchlässige
Berandung
Abb. 6.6:

Konstruktion eines Potentialnetzes
(c)
Da die Potentialtheorie versagt, wenn sich Strömungsablösungen bilden, muss das Ablösungsgebiet durch eine Diskontinuitätslinie getrennt werden, die dann eine Randstromlinie bildet (Abb. 6.7)
(d)
Die Netzmaschen sind quadratisch zu wählen (n = s).
(e)
Zur Überprüfung des Potentialnetzes ist Folgendes zu beachten:

Strom- und Potentiallinien schneiden sich stets rechtwinklig: Die Orthogonalität
des quadratischen Netzes kann dadurch verifiziert werden, dass sich die Diagonalen
der Netzmaschen rechtwinklig schneiden und eingeschriebene Kreise von allen vier
Maschenseiten tangiert werden (Abb. 6.6).

Stromlinien dürfen nicht knicken und dürfen sich nicht schneiden. Dasselbe gilt für
die Potentiallinien.
Einführung in die Potentialströmung
100
Randstromlinie
Diskontinuitätslinie
(= Randstromlinie)
Randstromlinie
(undurchlässige Berandung)
Strömungsablösung
Wirbelgebiet
Abb. 6.7:
6.3.3
Randstromlinie
Randstromlinie bei Strömungsablösung
Hinweise zur Auswertung des Potentialnetzes
Für die Auswertung des Potentialnetzes sind die (s-n)-Koordinaten zweckmäßiger als die
(x-y)-Koordinaten.
Die Schreibweise in partiellen Differentialen (Gl. (6.10)) verliert ihren Sinn, weil sich die Potentialfunktion  nur in s-Richtung ändert (siehe Gl. (6.5)) und die Stromfunktion nur in nRichtung (siehe Gl. (6.4)). Daraus folgt:
vs 
d d

,
ds dn
vs 
 

s n
bzw. in Differenzen-Schreibweise:
(6.12)
Wird Gl. (6.12) für zwei benachbarte Stromlinien eines äquidistanten Potentialnetzes, die eine
Stromröhre mit dem Querschnitt (n) bilden, angewandt, so können Geschwindigkeit, Durchfluss und Druck bestimmt werden (Abb. 6.8).
Einführung in die Potentialströmung
101
1 = 
2 =  +  
q
2 =  +  
s
 q  


vs 

n
s
1 = 
vs
n
Abb. 6.8:
(a)
Prinzipienskizze zur Auswertung des Potentialnetzes
Bestimmung der Geschwindigkeit und des Durchflusses
Der spezifische Teildurchfluss q [m3/s m] in einer Stromröhre zwischen zwei Stromlinien s1 und s2 mit dem Abstand n nach Abb. 6.8 ist:
q  v s n  v s 
Aus Gl. (6.12) folgt:
vs 
q
n

mit  = 1 -  2
n
  = vs n =
q
n
n
q  
(6.13)
Die Änderung der -Werte von einer Stromlinie s1 zu einer Stromlinie s2 ist gleich dem
Durchfluss in der Stromröhre, die von diesen Stromlinien gebildet wird. Zur Bestimmung
der örtlichen Geschwindigkeit vs werden jedoch sowohl die Potential- bzw. Stromlinienwerte (, ) als auch die Netzabmessungen (n, s) benötigt. Bei einem äquidistanten
Netz (Quadratnetz) folgt aus n = s und Gl. (6.12):
   .
(6.14)
Der Gesamtdurchfluss q [m3/s m] zwischen den Randstromlinien folgt bei m Stromröhren:
q  m q  m  .
(6.15)
Einführung in die Potentialströmung
(b)
102
Bestimmung des Druckes
Ist die örtliche Geschwindigkeit vi in einem Punkt i aus dem Potentialnetz bekannt
(Gl. (6.12)), so folgt der Druck pi direkt aus der BERNOULLI-Gleichung für ideale Flüssigkeiten (vgl. Abschnitt 7):
vi2 pi

 zi  h E  konst.
2g w g
Einführung in die Potentialströmung
103
6.4 Zusammenfassung
1.
Potentialströmungen sind reibungs- und drehungsfreie Strömungen. Die CAUCHY-RIEMANNschen Gleichungen:
vx 



x
y
und v y 
 

y x
bilden zusammen mit der o.a. Kontinuitätsgleichung die Bausteine der Potentialtheorie.
2.
Alle Strömungen, die die LAPLACEschen Gleichungen
 2  2

 0 und
 x 2 y 2
 2  2

0
x 2 y 2
erfüllen, sind Potentialströmungen.
3.
Aus dem Potentialnetz können

Durchfluss:
q  

Geschwindigkeit:
vs 



s
n
 vi2

pi   w g   z i 

Druck:
 2g

bestimmt werden. Zweckmäßigerweise sind die Potentialnetze quadratisch ( n  s ) zu
konstruieren.
Einführung in die Potentialströmung
104
6.5 Aufgaben
Aufgabe 6.1:
"Potentialtheorie"
Welche Voraussetzungen müssen gelten, damit eine Strömung als Potentialströmung beschrieben werden kann?
Aufgabe 6.2:
"Stromlinie, Potentiallinie"
Erläutern Sie die Begriffe Stromlinie und Potentiallinie.
Aufgabe 6.3:
"Potentialnetz"
Erstellen Sie ein Potentialnetz für die Überfallströmung über ein Wehr. Erläutern Sie die gezeichneten Linien. Geben Sie mindestens fünf Strömungs- und Potentiallinien an. Wie können
Sie überprüfen, ob Ihr Potentialnetz richtig gezeichnet ist?
Abb. 6.9:
Wehr
Einführung in den Energiesatz
105
7 Einführung in den Energiesatz
7.1 Allgemeines zur Energie-Gleichung
Grundsätzlich kommt die Energie in zwei Formen vor:
(i)
(ii)
Mechanische Energie:

kinetische Energie EK = 1/2 m v2

Arbeit (EW = F s)

Potentielle Energie Epot. = Ep + EL
wobei: Ep = Druckenergie
EL = Lageenergie
Thermische Energie:

Wärmeenergie Eq,

interne Energie infolge Molekularstruktur und -bewegung Ei.
Der allgemeine Energieerhaltungssatz für ein System lautet:
 E    E  E  E   konst.
 E  E
 
q
i
Thermische Energie
w
pot.
K
(7.1)
Mechanische Energie
Die BERNOULLI20-Gleichung, die im Folgenden für reibungsfreie und inkompressible Flüssigkeiten hergeleitet wird, ist eine Sonderform des allgemeinen Energieerhaltungssatzes in
Gl. (7.1) und berücksichtigt nur die mechanische Energie. Thermische Energie in Form von
Reibungsverlusten wird später durch die sog. Erweiterte BERNOULLI-Gleichung berücksichtigt (vgl. Abschnitt 14.1.1).
20
BERNOULLI, Daniel (1700–1782): Schweizer Mathematiker, Physiker, Mediziner und Botaniker. Mit der Veröffentlichung seines Buches "Hydrodynamica" im Jahr 1738 zusammen mit den Arbeiten von D'ALEMBERT, LAGRANGE und EULER wurde die moderne (mathematische) Hydrodynamik gegründet.
Einführung in den Energiesatz
106
7.2 Herleitung der BERNOULLI-Gleichung
7.2.1
(i)
Annahmen und Ausgangsgleichung
Reibungsfreie Strömung, d.h. es treten keine Energieverluste infolge Reibung auf. Daher
werden in der Energiebilanz nur:

kinetische Energie (EK )

Druckenergie (ED)

Lageenergie (EL)
Potentielle
Energie (Epot)
berücksichtigt.
(ii)
Stationäre Strömung, d.h. an einem festen Punkt bleibt die Strömungsgeschwindigkeit
konstant (v(t) = konst.).
(iii) Inkompressible Flüssigkeit, d.h. die Dichte der strömenden Flüssigkeit bleibt zeitlich und
räumlich unveränderlich (w = konst.).
(iv) Eindimensionale Strömung, d.h. es wird die Strömung entlang einer Stromlinie, eines
Stromfadens bzw. einer Stromröhre betrachtet.
Die Ausgangsgrundlage für die Ableitung der BERNOULLI-Gleichung bildet das zweite Bewegungsgesetz von NEWTON:
Fmb
mit:
(7.2)
F = Kraft
m = Masse
b = Beschleunigung
7.2.2
Ausgangssystem
Es wird aus einer Stromröhre ein Kontrollvolumen mit der Länge ds und dem mittleren Querschnitt A herausgeschnitten. Die beiden Enden 1-1 und 2-2 liegen in den Höhen z1 und z2 über
dem Bezugshorizont z = 0.
An den beiden Enden 1-1 und 2-2 herrschen jeweils die Strömungsgeschwindigkeiten v1 und v2
sowie die Drücke p1 und p2 (Abb. 7.1).
Einführung in den Energiesatz
107
ds
v  v2
v 1
dt
2
2
m  w ds A
b
v2
v1  v 2
dt
ds
v
A2 , p2
2
z2
A
1
z1 v
1
Abb. 7.1:
1
A1 , p1
A1  A 2
2
z = 0 (Bezugshorizont)
Stromröhrenquerschnitt für die Ableitung des Energiesatzes
Die mittlere Geschwindigkeit zwischen Querschnitt 1-1 und 2-2 ist:
v
v1  v2
2
(7.3)
d.h. in einem Zeitintervall dt wird die Strecke ds mit der mittleren Geschwindigkeit v durchflossen:
ds  v dt
ds 
v1  v 2
dt
2
(7.4)
Die Masse der Flüssigkeit mit der Dichte w im Stromröhrenabschnitt ds mit dem Querschnitt A ist:
m   w ds A
(A = mittlerer Querschnitt =
A1  A2
)
2
(7.5)
Einführung in den Energiesatz
7.2.3
(a)
108
Herleitung der BERNOULLI-Gleichung
Änderung der kinetischen Energie
Die mittlere Beschleunigung zwischen Kontrollschnitt 1-1 und Kontrollschnitt 2-2 ist:
b
v 2  v1
dt
(7.6)
Das heißt, über die Strecke ds wirkt die Kraft:
Fm bm
v 2  v1
dt
oder mit m = w A ds (siehe Gl. (7.5)):
F  w A
Da
ds
(v 2  v1 )
dt
v  v1
ds
v 2
(siehe Gl. (7.3) und Gl. (7.4))
dt
2
F  w A
v 2  v1
v 2  v12
(v 2  v1 )   w A 2
2
2
Die Arbeit, die verrichtet werden muss, um die Flüssigkeitsmasse m = w ds A von Kontrollschnitt 1-1 zu Kontrollschnitt 2-2 zu transportieren, ist:

v 22  v12 
F ds   w A
 ds
2 

Damit ist die Änderung der kinetischen Energie EK:
E K  F ds   w ds A
(b)
v 22  v12
2
(7.7)
Änderung der potentielle Energie
Durch die Änderung der kinetischen Energie in Gl. (7.7) müssen zwei Kräfte überwunden
werden:

Schwerkraft: G  m g  (w ds A) g ,

Druckkraft:
Fp  (p 2  p1 ) A
(p2 – p1 = dp ist negativ, da ein positiver Druckanstieg der Strömungsrichtung entgegenwirkt).
Die erforderliche Arbeit, um die Schwerkraft G zwischen der Höhe z1 und der Höhe z2
zu überwinden, ergibt sich aus der Änderung der Lageenergie EL:
Einführung in den Energiesatz
 E L  G (z 2  z1 )   w ds A g (z 2  z1 )
109
(7.8)
Die erforderliche Arbeit, um die Druckkraft Fp auf der Strecke ds zu überwinden, entstammt der Änderung der Druckenergie Ep:
E p  Fp ds  (p 2  p1 ) A ds
(c)
(7.9)
Energiebilanz
Das Energieerhaltungsgesetz in Gl. (7.1) fordert im betrachteten System, dass:
E  konst.
Das heißt, die Summe der Energieänderungen zwischen Kontrollschnitt 1-1 und Kontrollschnitt 2-2 muss gleich Null sein: E K  ( E p  E L )  0 oder nach Gl.(7.7)–(7.9):
 w ds A
v 22  v12
 (p 2  p1 ) ds A   w ds A g (z 2  z1 )  0
2
w
v 22  v12
 (p 2  p1 )   w g (z 2  z1 )  0
2
:  ds A 
(7.10)
Um die Energie in einem Längenmaß (Energiehöhen!) darstellen zu können, wird
Gl. (7.10) durch w g dividiert:
v22  v12 p2  p1

 z2  z1  0
2g
w g
Die Größen im Kontrollschnitt 1-1 werden auf die andere Seite der Gleichung gebracht:
v12
p1
v22
p

 z1 
 2  z2
2g w g
2g w g
Das heißt, an jedem Schnitt der Stromröhre bleibt die Summe der Skalargrößen v2/2g,
p/(w g) und z erhalten:
v12
p
v2
p
 1  z1  2  2  z 2  h E  konst.
2g w g
2g w g
(7.11)
Das ist die BERNOULLI-Gleichung für stationäre, reibungsfreie und inkompressible
Strömungen.
Einführung in den Energiesatz
7.2.4
110
Diskussion und Anmerkungen
v12
p1
v22
p

 z1 
 2  z2  h E  konst.
2g w g
2g w g
Die einzelnen Skalargrößen sind wie folgt definiert:
z
=
geodätische Höhe = Höhenanteil aus Lageenergie [m]
=
Druckhöhe = Höhenanteil aus Druckenergie [m]
 p

 z

 w g

=
Piezometer = Höhenanteil aus potentieller Energie [m]
v2
2g
=
Geschwindigkeitshöhe (Staudruckhöhe) = Höhenanteil aus kineti-
p
w g
scher Energie [m]
hE
=
Gesamtenergiehöhe = Höhenanteil aus kinetischer und potentieller
Energie
Die BERNOULLI-Gleichung besagt, dass:
Entlang einer Stromlinie die Summe aus Geschwindigkeitshöhe, Druckhöhe und geodätischer Höhe konstant bleibt.
oder
Entlang einer Stromlinie wird der Druck höher, wenn die Geschwindigkeit kleiner wird,
oder umgekehrt, der Druck wird kleiner, wenn die Geschwindigkeit größer wird.
Anmerkungen
(i)
Der Bezugshorizont wird oft so gewählt, dass die geodätische Höhe z = 0 ist. Bei einer
Druckrohrströmung (Abb. 7.2) mit Bezugshorizont in der Rohrachse (z = 0) vereinfacht
sich die BERNOULLI-Gleichung zu:
v2
p

 h E  konst.
2g w g
(7.12)
Bei einem Freispiegelgerinne (Abb. 7.3) entspricht der Wasserspiegel gleichzeitig der
Druck- bzw. Piezometerlinie. Deshalb vereinfacht sich die BERNOULLI-Gleichung zu:
v2
 h  h E  konst.
2g
(7.13)
Einführung in den Energiesatz
(ii)
111
Werden Reibungsverluste und andere Energieanteile (wie z.B. mechanische Energie aus
Pumpen) in dem Energiesatz berücksichtigt, so ergibt sich die sog. "Erweiterte
BERNOULLI-Gleichung" (vgl. Abschnitt 14.1.1).
EL (Energielinie)
gedachtes
Standröhrchen
v2
2g
(Standrohrspiegelhöhe =
Piezometerhöhe)
p
Drucklinie (Piezometerlinie)
hE
w g
z=0
v = konst.
(Bezugshorizont)
Abb. 7.2:
BERNOULLI-Gleichung bei Druckrohrströmung
EL (Energielinie)
RWS
v2
2g
Drucklinie (Piezometerlinie)
hE
p
w g
h
v = konst.
Bezugshorizont z = 0
p = w g h
Abb. 7.3:
BERNOULLI-Gleichung bei Gerinneströmung
(Sohle)
Einführung in den Energiesatz
112
7.3 Anwendungsbeispiele
7.3.1
Ausfluss aus Öffnungen

Es wird ein Becken mit einer Anströmgeschwindigkeit v1 an einem Querschnitt A1 betrachtet (Abb. 7.4).

Am anderen Ende (2-2) ist eine Ausflussöffnung in der Tiefe h mit dem Ausflussquerschnitt A2 und der Ausflussgeschwindigkeit v2 vorhanden.

Der Bezugshorizont wird in die Achse der Öffnung gelegt und die BERNOULLI-Gleichung für die Stromlinie entlang des Bezugshorizontes an den Kontrollschnitten 1-1 und
2-2 betrachtet:
v12
v 22
h
0
2g
2g
1
2
Energielinie
v12
2g
h
RWS = Drucklinie
p1
w g
v 22
2g
h
p = p0 = 0
(Atm. Druck)
Bezugshorizont z = 0
p1 = w g h
v1, A1
Betrachtete Stromlinie für
BERNOULLI-Gleichung
v2, A2
p = p0 = 0
(Atm. Druck)
1
Abb. 7.4:
2
Stromlinie
Ausfluss aus einer Öffnung

v 22 v12

h
2g 2g
v 22  v12  2 g h
Aus der Kontinuitätsgleichung für die Kontrollschnitte 1-1 und 2-2:
(7.14)
Einführung in den Energiesatz
113
v1 A1  v 2 A 2
ergibt sich eingesetzt in Gl. (7.14):
2
A 
v  v  2   2g h
 A1 
2
2
2
2
  A 2 
v 1   2    2g h
  A1  
2
2
v2 
2gh
A 
1  2 
 A1 
(7.14)a
2
2
A 
1, also das Querschnittsverhältnis vernachlässigbar im VerDa oft A1 A 2 ist   2 
 A1 
gleich zu 1 ist, folgt aus Gl. (7.14)a:
v2  2g h
(7.15)
Gleichung (7.15) wird als die Ausflussformel von TORRICELLI21 bezeichnet.
7.3.2
Rohrerweiterung und -verengung
Wird das Druckrohr in Abb. 7.5 betrachtet und die Kontinuitätsgleichung für die Kontrollschnitte 1-1 und 2-2 aufgestellt, so folgt:
v1 A1  v 2 A 2  v 2  v1
Aus
Damit ist:
21
A1
A2
A1
 1 folgt v2  v1
A2
v 22 v12

2g 2g
TORRICELLI, Evangelista (1608–1647): Physiker aus der sog. italienischen Schule (Nachfolger von GALLILEI).
Einführung in den Energiesatz
114
Aus der BERNOULLI-Gleichung für die Kontrollschnitte 1-1 und 2-2 folgt:
p1
v12
p2
v22



 h E  konst.
w g 2 g w g 2 g
p2
p1
v12  v22


w g w g
2g
Da
v12  v 22
 0 , folgt:
2g

p 2  p1
Eine Geschwindigkeitserhöhung entlang der Rohrleitung führt zu Druckabfall, analog führt eine Geschwindigkeitsminderung zu Druckanstieg.
1
1
2
EL (Energielinie)
v12
2g
hE
p1
w g
p2
w g
D1
7.3.3
v
2g
DL (Drucklinie)
p1
w g
Abb. 7.5:
v12
2g
2
2
z=0
Bezugshorizont
D2
D1
1
2
1
v1 , A1 , p1
v2 , A2 , p2
v1, A1 , p1
BERNOULLI-Gleichung bei Rohrverengung und -erweiterung
Staudruck
Ein stationärer kreisförmiger Wasserstrahl prallt auf eine feste Wandung mit einer Anströmgeschwindigkeit v0 (Abb. 7.6) auf. Es gibt nur eine Stromlinie, die genau senkrecht auf die Wand
trifft und sich nach beiden Seiten teilt: Dies ist die zentrale Stromlinie. Der Auftreffpunkt S
heißt Staupunkt. An diesem Staupunkt tritt der maximale Druck auf die Wand auf, da der zentrale Stromfaden seine gesamte kinetische Energie dort in Druckenergie umwandelt  vs  0 . Die
BERNOULLI-Gleichung entlang der zentralen Stromlinie für die Kontrollschnitte 1-1 und 2-2
lautet:
v12
p
v2
p
 1  2  2
2g w g 2g w g
Einführung in den Energiesatz
mit:
115
v1  v 0
p1  p0  0 (Atmosphärendruck)
v2  0 (Wandundurchlässigkeit)
v 02
folgt der Druck p 2   w
, der dem maximalen Staudruck entspricht:
2
v 02
pStau   w
2
(7.16)
Bei jedem angeströmten Körper gibt es einen Staupunkt, wo sich die Strömung verzweigt und
der Druck maximal ist (Staudruck).
1
2
EL (Energielinie)
v12
2g
zentrale
Stromlinie
p2
w g
p 1 = p atm = 0
v2 = 0
z=0
Anströmgeschwindigkeit
v0 = v1
Bezugshorizont
Staupunkt
pstau
stationärer
Wasserstrahl
1
Abb. 7.6:
v12
 p 2  w
2
2
Staudruck bei stationärer Anströmung einer Wandung
Wird z.B. ein Körper in einer Rohrleitung (Druck p1) mit der Geschwindigkeit v1 angeströmt,
so entsteht ein Staudruck
pStau   w
v12
,
2
der zusätzlich zum Druck p1 im Staupunkt S wirkt (Abb. 7.7).
Einführung in den Energiesatz
1
116
2
EL
v 12
2g
DL
p2
w g
p1
w g
z=0
S
v = v1
1
Abb. 7.7:
v2 = 0
angeströmter Körper
2
v1, p1
v2 = 0, p2
Angeströmter Körper im Druckrohr
Der Gesamtdruck im Staupunkt S lässt sich durch die BERNOULLI- Gleichung an den Konv 22
 0:
trollschnitten 1-1 und 2-2 wie folgt errechnen, wobei
2g
v12
p
p
 1  2
2g w g w g
p2
Gesamtdruck

p1

Piezometrischer
Druck
v12
w
2
.
Staudruck
Wird das Hindernis durch ein Hakenrohr mit der Öffnung senkrecht zur Strömungsrichtung im
Kontrollabschnitt 2-2 ersetzt, so zeigt das Rohr (auch PITOT22-Rohr genannt) folgende gesamte
Druckhöhe an (Abb. 7.8):
p2
p
v2
 1  1
w g w g 2g
22
PITOT, Henri (1695–1771): Französischer Physiker und Ingenieur.
Einführung in den Energiesatz
117
Piezometer-Rohr
1
v2
h  1
2g
EL
DL
p2
w g
p1
w g
z=0
v
1
Abb. 7.8:
PITOT-Rohr
2
Lage des angeströmten
Körpers in Abb. 7.7
2
Prinzip des PITOT-Rohres und des PRANDTLschen Staugerätes
Die gesamte Vorrichtung, bestehend aus einem Piezometer-Rohr und einem PITOT-Rohr
(Staurohr), bildet das sog. PRANDTLsche Staugerät, das die Messung der Fließgeschwindigkeit in einer Druckrohrströmung ermöglicht:
h 

p2
p
v2
 1 
w g w g 2g
v  2 g h
(vgl. mit TORRICELLI-Formel in Gl. (7.15))
Da bei einer Gerinneströmung der Freispiegel gleichzeitig die Drucklinie darstellt, genügt für
die Geschwindigkeitsmessung das PITOT-Rohr (Abb. 7.9).
v2
h 
2g

v
2 g h
Einführung in den Energiesatz
118
Energielinie
p = 0 (atm. Druck)
h 
v2
2g
Drucklinie
v
PITOT-Rohr
z=0
Abb. 7.9:
7.3.4
Geschwindigkeitsmessung mit dem PITOT-Rohr bei Gerinneströmung
Dynamischer Auftrieb und MAGNUS23-Effekt
Auf einen im ruhenden Fluid eingetauchten Körper wirkt ein statischer Auftrieb, der sich nach
dem Prinzip des ARCHIMEDES berechnen lässt (vgl. Abschnitt 3.5). Auch bei Luftschiffen
bzw. Heißluftballons wird das Fliegen hauptsächlich durch den statischen Auftrieb erzielt, d.h.
dadurch, dass dieser größer als das Gewicht des fliegenden Körpers ist.
Anders sieht dies bei einem Flugzeug aus: Das Fliegen wird vorwiegend durch den sog. dynamischen Auftrieb ermöglicht. Um den dynamischen Auftrieb anhand zweier verschiedener
Körper, die von einem reibungsfreien Fluid umströmt sind, zu veranschaulichen, zeigt
Abb. 7.10 einen symmetrischen Körper (z.B. Kugel bzw. Zylinder) und einen asymmetrischen
Körper mit besonderer Formgebung (z.B. Tragflügel).
23
MAGNUS, H. G. (1802–1870): Deutscher Physiker.
Einführung in den Energiesatz
v1  v 2  p 2  p1
119
v1  v 2  p 2  p1
 p  p 2  p1  0
 p  p 2  p1  0
p1
p1 v1
1
1
4
3
v1
va
2
3
2
4
v2
p2 v2
p2
a) Kugel bzw. Zylinder
Abb. 7.10:
b) Tragflügel
Dynamischer Auftrieb
Aufgrund der Symmetrie ist in Abb. 7.10a die obere Geschwindigkeit stets gleich der unteren
Geschwindigkeit: v1 = v2; d.h. der Druck auf die Unterseite p2 ist stets gleich dem Druck auf
die Oberseite p1. In Abb. 7.10b ist dagegen aufgrund der Formgebung die obere Geschwindigkeit stets größer als die untere (da ein Wasserpartikel die obere längere Strecke in der gleichen
Zeit wie die untere kürzere Strecke zurücklegen muss):
v1  v 2  p 2  p1  p  p2  p1  0 :
p1
v2
p
v2
 1  2  2
w g 2g w g 2g
 p  p 2  p1   w
v12
v2
 w 2
2
2
(7.17)
Die Druckdifferenz, die infolge der unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten an der
Ober- und Unterseite entsteht, bewirkt eine resultierende "dynamische Auftriebskraft". Diese
kann auch allgemein als dynamische Querdruckkraft zur Strömungsrichtung aufgefasst werden.
Anders als bei reibungsfreien Strömungen kann bei realen Strömungen (reibungsbehaftet!)
auch eine dynamische Querdruckkraft nach dem Prinzip von Gl. (7.17) nicht nur durch spezielle
Formgebung wie in Abb. 7.10b, sondern auch durch weitere Möglichkeiten erzielt werden. Eine
dieser Möglichkeiten ist in Abb. 7.11 dargestellt. Ein aufrechtstehender, rotierender Zylinder
wird mit einer Geschwindigkeit v angeströmt. Durch die Fluidreibung an der Grenzschicht
Fluid/Zylinder wird (infolge der Rotationsgeschwindigkeit vR des Zylinders) die Strömungsgeschwindigkeit an der Stelle 2 kleiner und an der Stelle 1 größer:
Einführung in den Energiesatz
120
v ges,1  v  v R 
  v ges,2  v ges,1  2v R
v ges,2  v  v R 
 p  p 2  p1  0
Durch die Rotation des Zylinders wird an diesem eine senkrecht zur Strömung gerichtete Querdruckkraft Fg,dyn erzeugt, die von der Rotationsgeschwindigkeit des Zylinders bestimmt wird
(MAGNUS-Effekt).
Eine wichtige technische Anwendung des MAGNUS-Effektes ist z.B. der FLETTNER24-Rotor
für den Schiffsantrieb (Abb. 7.12).
p1

vges,1
vR
R
vR
Anströmung
1
v
v
v
R

v
2
R
vR
vges,2
p2
rotierender
Zylinder
a) Ansicht
Abb. 7.11:
24
b) Draufsicht
MAGNUS-Effekt
FLETTNER, A. (1895–1961): Deutscher Ingenieur. Das Rotorschiff nach FLETTNER erlebt nach anfänglichen
Schwierigkeiten ein "Comeback" (Forschungsschiff in Frankreich, Tanker in Japan etc.)
Einführung in den Energiesatz
Windrichtung
A
v1
v2
bewegung
v1
v2
v1
B
FLETTNER-Rotor
Abb. 7.12:
Druck p2
v2
SchiffsA
121
Druck p1
B
Schubrichtung
FLETTNER-Rotor
Der MAGNUS-Effekt spielt auch bei "angeschnittenen Bällen" sowie beim Drall von Geschossen eine Rolle. Durch das „Anschneiden“ wird eine Ballrotation erzeugt, die durch den MAGNUS-Effekt zu einer Querkraft am Ball führt. Das Ergebnis ist eine gekrümmte Ballflugbahn
in horizontaler Richtung, die für den Gegner unberechenbar ist.
7.3.5
Hydrodynamisches Paradoxon
Wenn Pressluft durch die Bohrung der Garnrolle in Abb. 7.13 geblasen wird, so wird das Stück
dünne Pappe an den Boden der Garnrolle herangezogen und nicht fortbewegt. Dies ist das hydrodynamische Paradoxon.
Die Erklärung für diesen Effekt liefert die BERNOULLI-Gleichung:
Die zwischen dem Boden der Garnrolle und der Pappe ausströmende Luft  v innen  0  hat einen
geringeren Druck  p innen  als der Druck  paußen  der ruhenden Luft  vaußen  0  unter der Pappe
 vinnen  vaußen  0 :
2
v innen
p
p
 innen  0  außen 
g
g
2g
 p außen  pinnen ,
d.h. der resultierende Druck  paußen  pinnen  ist nach innen gerichtet. Deshalb wird die Pappe
angezogen statt fortbewegt25.
25
Derselbe Effekt kann an einem Duschvorhang beobachtet werden, innen wird durch das fließende Wasser die
Luft bewegt. Außerhalb, d.h. auf der anderen Seite des Vorhangs, ist die Luft ruhiger: vinnen > vaußen. Dadurch
wird der Außendruck paußen größer als der Innendruck pinnen:
paußen > pinnen
Daher ist der BERNOULLI-Effekt dafür verantwortlich, dass der Duschvorhang stets zu uns gezogen wird,
wenn wir in der Dusche das Wasser aufdrehen.
Einführung in den Energiesatz
122
Pressluft
ausströmende
Luft
Garnrolle
dünne Pappe
Pressluft
pinnen, vinnen
paußen
(ruhende Luft)
Abb. 7.13:
7.3.6
Hydrodynamisches Paradoxon
Schiffskollision
Am 20.09.1911 kollidierte die "Olympic", ein Schwesterschiff der am 15.04.1912 versunkenen
Titanic, mit dem Kreuzer "H.M.S. Hawke", als dieser mit einem seitlichen Abstand von
ca. 100 m den Ozeanriesen überholte.26 Auch hier ist der BERNOULLI-Effekt für die Kollision
verantwortlich.
Nehmen wir zunächst an, dass beide Schiffe in Ruhe sind und im ruhigen Wasser schwimmen.
Sobald sich die Schiffe gegenseitig bewegen (Abb. 7.14) entsteht zwischen ihnen eine Wasserströmung  v innen  0  . Dabei strömt das Wasser zwischen den Schiffen schneller als außen:
vinnen  vaußen,1 und v innen  v außen ,2 :
pinnen,1
w g

26

2
vinnen,1
2g

p außen,1  pinnen,1
w g
p außen,1
w g


2
v außen,2
2g
2
2
vinnen,1
 v außen,2
2g
Die Seegerichte beschäftigten sich lange mit dem Fall. Die Gerichte veranlassten Experimente zur Sogwirkung
an fahrenden Schiffen. Dabei wurde nachgewiesen, dass zwei nebeneinanderlaufende Schiffe angezogen werden, wenn der seitliche Abstand kleiner als die 3,5-fache Länge des kleineren Schiffes ist.
Einführung in den Energiesatz
123
2
2
 vinnen,1

 v außen,2
p außen,1  pinnen,1   w 

2


Da v innen  v außen 
p außen ,1  p innen ,1
Dasselbe gilt für das Schiff 2:
p außen ,2  p innen ,2
Die beiden Schiffe werden also zwangsläufig gegeneinander gedrückt. Die Anziehungskraft ist
umso stärker, je geringer der Abstand und je kleiner die relative Geschwindigkeit der beiden
Schiffe ist27.
vaußen,1
vinnen
paußen,1
pinnen,1
vaußen,2
pinnen,2
Schiff 1
Abb. 7.14:
27
paußen,2
Schiff 2
Kollision von Schiffen infolge des BERNOULLI-Effektes
Derselbe Effekt wird erzielt, indem zwei Papierblätter in einem kleinen Abstand parallel zueinander gehalten
werden und dazwischen Luft geblasen wird: Die Blätter ziehen sich gegenseitig an.
Einführung in den Energiesatz
124
7.4 Zusammenfassung
1.
Die BERNOULLI-Gleichung für stationäre inkompressible reibungsfreie Strömungen ist
eine Sonderform des allgemeinen Energieerhaltungssatzes:
v2

 z  h E  konst.
w g 2g
p
und wird aus dem zweiten Bewegungsgesetz von NEWTON (F = m b) abgeleitet.
2.
Die BERNOULLI-Gleichung besagt, dass entlang einer Stromlinie der Druck stets groß
ist, wo die Geschwindigkeit klein ist, bzw. die Geschwindigkeit stets groß ist, wo der
Druck klein ist.
3.
Bei Freispiegelabfluss (Gerinneströmung) mit der Wassertiefe h und der Geschwindigkeit
v lautet die BERNOULLI-Gleichung aufgrund von h  p / w g :
h
4.
v2
 hE  konst.
2g
Die Ausflussgeschwindigkeit bei einer Öffnung in einer Wassertiefe h ergibt sich aus der
TORRICELLI-Ausflussformel:
v  2g h ,
die aus der BERNOULLI-Gleichung resultiert.
5.
Bei der Anströmung eines Körpers mit der Geschwindigkeit v0 entsteht an dem Schnittpunkt S zwischen der zentralen Stromlinie und dem Körper der sog. Staupunkt mit der
Geschwindigkeit vs = 0 und mit dem Staudruck
pStau  w
6.
v02
2
Ein dynamischer Antrieb bzw. eine dynamische Druckkraft quer zur Strömungsrichtung
auf einen durch ein reibungsfreies Fluid umströmten Körper wird durch die Formgebung
des Körpers (z.B. Tragflügel) erzielt, bei der die Umströmungsgeschwindigkeit v1 auf der
einen Seite größer als die Geschwindigkeit v2 auf der anderen Seite ist:
v12
v22
p  p2  p1  w  w
2
2
7.
Bei reibungsbehafteten Strömungen kann eine dynamische Druckkraft quer zur Strömungsrichtung auf einen umströmten Körper auch durch Rotation des Körpers erzielt
werden (MAGNUS-Effekt). Eine technische Anwendung des MAGNUS-Effektes stellt
das FLETTNER-Rotor-Schiff dar.
Einführung in den Energiesatz
8.
125
Das hydrodynamische Paradoxon kann durch die BERNOULLI-Gleichung vollständig
erklärt werden.
7.5 Aufgaben
Aufgabe 7.1:
"Lastwagen"
Zwei Lastwagen begegnen sich auf einer Landstraße. Bei beiden ist der Laderaum durch eine
Plane geschützt. Wird sich die Plane nach außen ausbeulen oder wird sie in den Laderaum
gedrückt? Erklären Sie das zu erwartende Phänomen anhand der BERNOULLI-Gleichung!
Aufgabe 7.2:
"Papier"
Nehmen Sie zwei Blatt Papier und halten diese parallel zueinander. Pusten Sie dann zwischen
den Blättern hindurch. Was passiert und wie können Sie das Phänomen anhand der
BERNOULLI-Gleichung erklären?
Aufgabe 7.3:
"Ausfluss aus einem Behälter"
Aus dem unten dargestellten Behälter fließt eine noch zu bestimmende Wassermenge über ein
kurzes Rohrstück verlustfrei aus. Ermitteln Sie Ausflussgeschwindigkeit und Ausflussmenge
für den Schnitt 1-1.
Gegeben:
h = 5,0 m
w = 1,0 t/m3
RWS
0
0
g = 9,81 m/s2
d1 = 0,1 m
h
Gesucht: v1, Q
1
d1
1
Bezugshorizont
Abb. 7.15:
Ausflussbehälter
Lösung:
Die Lösung ergibt sich aus der Anwendung der BERNOULLI-Energiegleichung an den
Schnittstellen 0-0 und 1-1:
v02
p0
v12
p

 z0 
 1  z1
2g w g
2g w g
Einführung in den Energiesatz
mit:
126
v 0  0 m/s
v1  ? m/s
p 0  0 kN/m 2
p1  0 kN/m 2
z 0  h  5,0 m
z1  0,0 m (Bezugshorizont)
v12
5, 0 
 v1  2  9,81  5, 0  9,9 m s
2g

Q1  A1 v1 
Aufgabe 7.4:
 d12
  0,12
v1 
 9,9  0,078 m 3 s
4
4
"Druck- und Energielinienermittlung"
Für das dargestellte verlustfreie System sind die Energieanteile sowie die Geschwindigkeiten
in den einzelnen Querschnitten zu ermitteln.
Gegeben:
h 0  1, 0 m
w  1, 0 t/m3
g  9,81 m/s2
A1  0,1 m 2
A 2  0,5 m 2
A 3  0, 2 m 2
Gesucht: h1 , h2 , v1 , v2 , v3 , Q
p = 0 kN/m2
v = 0 m/s
h1 = ?
h0 =1,0 m
A2 = 0,5 m2
Bezugshorizont
A1 = 0,1 m2
Abb. 7.16:
h2 = ?
Druck- und Energielinienermittlung
freier
Ausfluss
A3 = 0,2 m2
Einführung in den Energiesatz
127
"Rohrerweiterung"
Aufgabe 7.5:
Vor einer Rohrerweiterung wird mit einem Manometer der Druck in einer Rohrleitung gemessen. Die Geschwindigkeiten für die Querschnitte 1 und 2 liegen bereits vor. Ermitteln Sie die
Energieanteile für die Querschnitte 1 und 2 und zeichnen Sie die Energie- und die Drucklinie!
Reibungsverluste sind zu vernachlässigen.
Gegeben:
v1 = 2,0 m/s
v2 = 0,72 m/s
p1,gem. = 9,81 kN/m2
w = 1,0 t/m3
g = 9,81 m/s2
Gesucht: p2
Q
Q
Bezugshorizont z = 0
A1, v1
Abb. 7.17:
A2, v2
Rohrerweiterung
Lösung:
v12
p1
v22
p

 z1 
 2  z2
2g w g
2g w g
mit:
v1 = 2 m/s
v2 = 0,72 m/s
p1 = 9,81 kN/m2
p2 = ? kN/m2
z1 = 0,0 m
z2 = 0,0 m
Ermittlung der einzelnen Energieanteile:
p1
9,81

 1,0 mWS
 w g 1,0  9,81
Einführung in den Energiesatz
v12
2,02

 0, 20 mWS
2g 2  9,81
 0, 2  1, 0  0, 026 

;
128
v22
0,722

 0,026 mWS
2g 2  9,81
p2
w g
p2
 1,174 mWS  p 2  11,5 kN / m 2
w g
Energielinie
1
2
0,03 mWS
Geschwindigkeitshöhe
0,2 mWS
Drucklinie
1,17 mWS
Druckhöhe
1,0 mWS
Bezugshorizont
z=0
1
2
Abb. 7.18:
Schematische Darstellung der Energie- und Drucklinie
Einführung in den Impulssatz
129
8 Einführung in den Impulssatz
8.1 Allgemeines
Die Anwendung des Energiesatzes (vgl. Abschnitt 7) basiert auf der Bilanzierung der Energie
entlang einer Stromlinie und setzt somit die Kenntnis der einzelnen Energieanteile voraus.
Bei idealen Strömungen bereitet dies i.d.R. keine besonderen Schwierigkeiten. Probleme treten
erst bei realen Flüssigkeiten auf, da die Energieanteile infolge von Reibungsverlusten sehr
schwer zu bestimmen sind – insbesondere bei turbulenten Strömungen (vgl. Abschnitt 11).
Um diese Schwierigkeit zu umgehen, wird eine globale Betrachtungsweise herangezogen, bei
der die einzelnen Strömungsprozesse und die damit verbundenen Reibungsverluste nicht berücksichtigt werden. Diese liefert der Impulssatz, der lediglich die Kenntnis eines Anfangs- und
Endzustandes erfordert. Das heißt, die dynamischen Prozesse zwischen Anfangs- und Endzustand sind nicht mehr maßgebend, weil sich alle inneren Kräfte zwischen Anfangs- und Endzustand nach dem 3. Bewegungsgesetz von NEWTON (Actio = Reactio) aufheben.
8.2 Besonderheiten des Impulsbegriffes in der Hydromechanik
Das
2. Bewegungsgesetz
von NEWTON kann
nicht
nur in Bezug auf die Beschleunigung
 



b (F  m b) , sondern auch auf den Impuls I  m v formuliert werden:


 d m v dI
F

(8.1)
dt
dt
 
Da bei Festkörpern m = konst. ist, folgt aus Gl. (8.1):


F dt  m dv
(8.2)
Die Integration von einem Anfangszustand 1 zu einem Endzustand 2 liefert:
v2
 t2 

I   F dt  m  dv
t1
(8.3)
v1

Der Verlauf der Kraft F zwischen der Anfangszeit t1 und der Endzeit t2 ist unwichtig für den
 t 2 
Impuls I   F dt (vgl. Abb. 8.1), der die Fläche unter der Kraft-Zeit-Kurve darstellt.
t1
Einführung in den Impulssatz
130
Dasselbe gilt für den Wegverlauf der Masse m zwischen der Anfangsgeschwindigkeit v1 und
der Endgeschwindigkeit v2:

 
(8.4)
I  m v 2  v1 .


Kraft F
Impuls
t2


F dt
t1
t1
Abb. 8.1:

I
t2
Zeit t
Kraft-Zeit-Verlauf und Impuls
Gl. (8.4) stellt eine Bewegungsgröße (engl.: "momentum") mit der Einheit Kraft·Zeit  N  s
dar, während der Impuls
 t 2 
I   F dt
(8.5)
t1
einen Kraftstoß beschreibt – ebenfalls mit der Einheit [N·s].
Bei Festkörpern ist eine diskrete Einzelmasse m Träger des Impulses. Dieser Impuls ist daher
von kurzer Dauer.
Bei Flüssigkeiten liegt i.d.R. keine diskrete Einzelmasse vor, sondern eine kontinuierlich fließende Menge Q (Durchfluss). Das heißt, die Masse ist variabel, sodass aus Gl. (8.1) folgt:


 d(mv) dm  dv
F

v
m
dt
dt
dt
Einführung in den Impulssatz
131

 v

Bei der Annahme einer stationären Strömung 
 0  und bei einer abschnittsweise konstant
 t

gehaltenen Geschwindigkeit v(s) = konst.  v / s  0 gilt:
dv  v
v

v
 0 und somit:
dt
t
s

dv
m0
dt
  dm
Fv
mit dm  (w dV)
dt
mit: V
w
= Volumen
= konst. (inkompressibles Fluid, (hier Wasser))

 dV
 F  w v
dt
und mit dV/dt = Q = Volumenstrom bzw. Durchfluss [m3/s] folgt schließlich:


F  w Q v
(8.6)
Im Gegensatz zu Gl. (8.3) stellt Gl. (8.6) eigentlich keinen Impuls dar, sondern den Impuls
dI
strom
(siehe auch Gl. (8.1)) mit der Einheit einer Kraft [N]. Trotzdem wird diese Größe in
dt
der Hydromechanik einfachheitshalber als Impuls bezeichnet. Im Gegensatz zur Energie, die
eine skalare Größe darstellt, ist der "Impuls" nach Gl. (8.6) eine Vektorgröße.
8.3 Herleitung des Impulssatzes in der Hydromechanik
8.3.1
Ausgangssystem und Annahmen
Annahmen:
Ausgangssystem:

Stationäre Strömung

Inkompressible Flüssigkeit (w = konst.)
Es wird ein beliebig geformtes zweidimensionales Strömungsfeld betrachtet (Abb. 8.2).
Das Strömungsfeld ist begrenzt durch die Berandungen und zwei Kontrollschnitte bei xl und x2
jeweils am Anfang und Ende des betrachteten Strömungsfeldes.
Einführung in den Impulssatz
132
Einfachheitshalber werden nur die waagerechten Komponenten der Strömungsgrößen berücksichtigt, d.h. bei xl herrscht die horizontale Geschwindigkeit vx,1 und bei x2 die horizontale
Komponente vx,2.
An einer beliebigen Stelle x des Strömungsfeldes wird ein Kontrollvolumen dV mit der Dicke dx und dem Fließquerschnitt Ax betrachtet. An dieser Stelle herrscht eine mittlere Geschwindigkeit vx = dx/dt über dem Fließquerschnitt Ax, sodass:
dx  vx dt
(8.7)
y
Berandung
Kontrollvolumen
dV = Ax dx
vx,2
vx = dx/dt
vx,1
Fließquerschnitt Ax
Kontrollschnitt
dx = vx dt
x1
Abb. 8.2:
x
x2
Ausgangssystem für die Herleitung des Impulssatzes
Die Masse dm des Kontrollvolumens dV beträgt somit dm  w dV  w A x dx und mit dx aus
Gl. (8.7) folgt:
dm  w A x v x dt
8.3.2
(8.8)
Herleitung des Impulssatzes
Eine Geschwindigkeitsänderung dvx entlang der Strecke dx, d.h. in der Zeit dt, ist nur möglich,
wenn die Summe aller Kräfte auf die Masse dm die resultierende Kraft dFx ergibt, wobei:
dv
dFx  dm x
dt
Einführung in den Impulssatz
133
Und mit Gl. (8.8):
dFx =  w A x v x dt
dv x
 w A x v x dv x
dt
Mit Qx = Ax vx = konst. (Kontinuitätsgleichung) folgt:
dFx  w Q x dv x
v x ,2
2
 dF
x
 w Q x
1

dv x   w Q x  v x v x ,2
v
x ,1
v x ,1
F
  w Q x (v x ,2  v x ,1 )
x
Ähnlich lassen sich für die y- und z-Richtung folgende Gleichungen herleiten:
F
  w Q y (v y ,2  v y ,1 )
y
F
z
  w Q z (v z ,2  v z ,1 )
Allgemein lässt sich der Impulssatz in der Hydromechanik dann wie folgt schreiben:

F  
w
 
Q (v 2  v1 )
(8.9)
Die vektorielle Summe aller an einer Fluidmasse angreifenden
Kräfte ist gleich der Änderung des Impulsstromes dieser Masse.
Anmerkungen zu den Maßeinheiten:
Wie bereits bei Gl. (8.6) angedeutet, ist die Größe
F
 kg m3 m 
dI
m
 w Q v   3
 kg 2  N

dt
s
m s s 
ein Impulsstrom und hat die Einheit einer Kraft [N]. In der Hydromechanik ist es jedoch üblich,
dI
F  als Impuls und mit I anstatt mit F zu bezeichnen.
dt
8.3.3
Stützkraftsatz
Die Anwendung des Impulssatzes in der Hydromechanik erfolgt vorwiegend in Form des Stützkraftsatzes. Um das Prinzip des Stützkraftsatzes aufzuzeigen, wird der Stromröhrenabschnitt
mit dem konstanten Durchfluss Q in Abb. 8.3 betrachtet, der durch die
Fließquerschnitte Al und A2 begrenzt wird.
Einführung in den Impulssatz
134
2
-FP2 = p 2 A2 (Reaktion)
Fluidaustritt
R
A 2 , v 2, p 2
Q = konst.
2
G
A 1 , v 1, p 1
1
Fluideintritt
Abb. 8.3:
1
FP1 = p 1 A1 (Aktion)
Prinzip des Stützkraftsatzes
Auf den Stromröhrenabschnitt wirken folgende Kräfte:

Eigengewicht der Fluidmasse G in diesem Abschnitt

Resultierende aller äußeren Kräfte auf den Stromröhrenmantel R (z.B. Kräfte aus
benachbarten Fluidteilchen, Reibungskräfte, etc.)

Druckkräfte in den Kontrollschnitten 1-1 und 2-2:
Fp1  p1 A1  Aktionskraft 
 Fp2  p2 A2  Reaktionskraft 
Die vektorielle Summe aller dieser Kräfte auf den Stromröhrenabschnitt in Abb. 8.3 ist:


F  F
p1

 
 Fp2  R  G
(8.10)
Definitionsgemäß erfolgt kein Fluidaustausch durch den Stromröhrenmantel und somit auch
kein Impulsstromaustausch, d.h. für die Kontrollschnitte 1-1 und 2-2 gilt der Impulssatz nach
Gl. (8.9):

 
 F   w Q v 2  v1 bzw.





F


Q
v


Q
v
2
1
 w
w
(8.11)
Einführung in den Impulssatz
135
Aus Gl. (8.10) und Gl. (8.11) folgt:
 




R  G  Fp2   w Q v 2  Fp1   w Q v1



 

 
Stützkraft S2

(8.12)
Stützkraft S1
Definition:
Die Stützkraft ist die Summe aus Druckkraft und Impulsstrom am jeweiligen Fließquerschnitt.
Ähnlich wie in der Stabstatik kann sie als Schnittkraft betrachtet werden (Abb. 8.4).
Der Stützkraftsatz lautet somit:
wobei:
 


R  G  S2  S1  0
 
(8.13)



S2  Fp 2   w Q v 2
(8.14)



S1  F p1   w Q v1
(8.15)

S2
2

S2
2

S1
1
1

S1
Abb. 8.4:
Stützkräfte als Schnittkräfte (Analogie zur Stabstatik)
Einführung in den Impulssatz
136
8.4 Anwendung des Impulssatzes
8.4.1
Allgemeine Vorgehensweise
Bei der Anwendung des Impulssatzes wird i.d.R. in drei Schritten vorgegangen:
(i)
Begrenzung des Strömungsraumes, einschließlich der Einzeichnung der Geschwindigkeiten an den Kontrollschnitten.
(ii)
Einzeichnung aller Kräfte, die auf den abgegrenzten Strömungsraum einwirken.
Das sind:



Impulsströme (w Q vi ) und Druckkräfte Fpi , die dann die Stützkräfte

Si an den Kontrollschnitten ergeben:



Si  F pi   w Q v i
Dabei ist bei der Festlegung der Kraftrichtungen zu beachten, dass die

Stützkraft Si
-
am Fluideintritt eine Aktionskraft und
-
am Fluidaustritt eine Reaktionskraft
darstellt.

Andere Kräfte wie z.B. Gewichtskräfte, Widerlagerkräfte und weitere
angreifende Kräfte auf die Berandungen des Strömungsraumes.
(iii) Aufstellung der Gleichung(en) für das Gleichgewicht der Kräfte (wie in der Statik):


 F  0 und falls erforderlich auch  M  0
(M = Moment)
8.4.2
Anwendungsbeispiele
8.4.2.1 Widerlagerkraft bei horizontal liegendem Rohrkrümmer
Aus Abb. 8.5 ist ersichtlich, dass die Änderung der Strömungsrichtung in einer Rohrleitung

eine Abtriebskraft  K erzeugt, die vom Widerlager aufgenommen werden muss (Widerlager
kraft K ).

Die Abtriebskraft  K besteht aus folgenden Kraftkomponenten:
 






Stützkraft S1  F p1   w Q v1 am Kontrollschnitt 1-1 mit Fp1  p1 A 1

Stützkraft S 2  F p 2   w Q v 2 am Kontrollschnitt 2-2 mit Fp 2  p 2 A 2

Einführung in den Impulssatz
137

K (Widerlagerkraft)
1

w  Q  v1

v1

Fp1

S1
(Aktion)
Widerlager
(Betonblock)

S1

2

S2
1 v1, A1 , p1

K (Widerlagerkraft)

S2 (Reaktionskraft)
2

Fp2

v2, A2 , p2

w  Q  v2

v2

S2
(Reaktion)

S1 (Aktionskraft)
Abb. 8.5:
Widerlagerkraft bei Rohrkrümmern

Die resultierende Abtriebskraft  K ist somit:
 



 K   S  S
1
2

Der Betrag K kann direkt aus dem Kosinussatz bestimmt werden (Abb. 8.5):

K  S12  S22  2S1 S2 cos 
(8.16)
Anmerkung:


Es ist zu beachten, dass  den Winkel zwischen den Stützkräften S1 und S2 am Fluideintritt
bzw. -austritt darstellt, unabhängig davon, wie die Rohrleitung zwischen Kontrollschnitt 1-1
und 2-2 geformt ist (s. Abb. 8.6a, b). Ist z.B.  = 90°, dann folgt aus Gl. (8.16) mit cos  = 0:

K  S12  S22
(8.17)
Einführung in den Impulssatz
a)
138
b)

K  S12  S22

K  S12  S22
1


S1
2
1
2
Abb. 8.6:

S2
.

2
1

S1
1

S2
2
Widerlagerkraft bei einem Winkel  = 90°
8.4.2.2 Aufprall eines freien stationären Strahles auf eine feste Wand
(a)
Schräg auftreffender Strahl
Ein freier stationärer Wasserstrahl (Q = konst.) trifft schräg mit dem Winkel  auf einer
festen, ebenen Wand auf (Abb. 8.7). Es entstehen entlang der Wand zwei ablaufende
Strahlenden mit den Abflüssen Q1 = v1 A1 und Q2 = v2 A2, wobei Q = v A = Q1 + Q2. Es
soll die Normalkomponente FN der Aufprallkraft auf die Wand bestimmt werden.
Da der einlaufende Strahl und die beiden ablaufenden Strahlen eine freie Oberfläche haben, ist der Druck an den Kontrollschnitten 0-0, 1-1 und 2-2 gleich dem Atmosphärendruck, d.h. p  p1  p2  0 . Damit entfallen die Druckkräfte an den drei Kontrollschnitten
0-0, 1-1 und 2-2 (Fp = Fp1 = Fp2 = 0).
Einführung in den Impulssatz
139
1
einlaufender
Strahl 0
p = 0 (Atmosphärendruck)
stationärer Strahl
Q = konst.

S
1
FN
Q1 + Q2 = Q
Q1 - Q2 = Q cos 

v, A, Q

S
0 2


S2
ablaufender
Strahl
Abb. 8.7:
ablaufender
 Strahl
S1
v1, A1, Q1
 
FN  S sin
v2, A2, Q2
 
FT  S cos
2
Schräg auftreffender Strahl
Da die Kräfte entlang der Wand keine Komponente normal zur Wand haben, beträgt die
Normalkraft FN:
FN  S sin 
(b)
mit S   w Q v folgt:
FN  w Q v sin 
mit Q  A v folgt:
FN   w A v 2 sin 
(8.18)
Normal auftreffender Strahl
Für  = 90° ist sin  = 1. Daraus folgt aus Gl. (8.18):
FN   w A v 2
(8.18)a
v2
(Staudruck, siehe auch Kapitel 7.3.3) führt Gleichung (8.18)a zu der
Mit pStau   w
2
Gesamtdruckkraft:
FN  2pStau A
(8.19)
Dabei ist A der Fließquerschnitt des einlaufenden Strahls. Gl. (8.19) besagt, dass die Aufschlagfläche an der Wand nicht bekannt zu sein braucht, um die gesamte Druckkraft FN
auf die Wand zu bestimmen (Abb. 8.8).
Einführung in den Impulssatz
140
Stationärer
Strahl
Staudruck pStau  W
v
A
v²
2
FN
 = 90°
Gesamtdruckkraft
FN = 2 pStau A
Abb. 8.8:
Normal auftreffender Strahl und Gesamtdruckkraft
Anmerkung:
Wird der Strahl in Abb. 8.8 als Ausflussstrahl (Ausflussquerschnitt A) mit der Ausflussgeschwindigkeit nach TORICELLI (siehe Kapitel 7.3.1) angenommen:
v
2 g h (mit h = Wassertiefe über der Öffnung),
so folgt aus Gl. (8.18a) für die Druckkraft FN:
FN   w A  2 g h 
FN  2   w g h  A
(8.20)
Der Vergleich zwischen Gl. (8.19) und Gl. (8.20) zeigt, dass die maximale Druckspannung auf die Aufprallfläche (Staudruck pStau) gleich der hydrostatischen Druckhöhe
  w g h  ist:
pStau  w g h
(8.21)
8.4.2.3 Propellerstrahl
Es wird in Abb. 8.9 der Strahl eines Schiffspropellers betrachtet. Bei vorgegebenem Druckverlauf (Abb. 8.9b) soll der Geschwindigkeitsverlauf (Abb. 8.9c) unter Anwendung des Impulsund Energiesatzes bestimmt werden. Der Impulsstrom an den Kontrollschnitten 1-1 und 2-2
beträgt jeweils:
I1  w Q v1 und I2  w Q v2
Daraus folgt die Impulsstromdifferenz I zwischen den Kontrollschnitten 2-2 und 1-1:
I  I 2  I1  w Q(v 2  v1 )
Einführung in den Impulssatz
mit Q  v p A p und A p 
 D 2p
141
folgt:
4
I  I 2  I1   w
 D 2p
v p (v 2  v1 )
4
(8.22)
Diese Impulsstromdifferenz ist gleich dem Propellerschub Fp, der sich aus der Druckdifferenz p unmittelbar vor und hinter dem Propeller ergibt:
Fp  p A p  p
 D 2p
4
a) Propellerstrahl
A1 , p1 , v1
A2 , p2 , v2
1
w Q v1
3
v1
Q
Propeller
4
vp
vp
Dp
2
W Q v2
Q
v2
Propellerstrahl
1
3
4
2
b) Druckverlauf
p1
p
̶
p
2
+
p2
p
2
c) Strahlgeschwindigkeitsverlauf
v
2
v
2
v1
Abb. 8.9:
vp
Propellerstrahl, Druck- und Geschwindigkeitsverlauf
v2
Einführung in den Impulssatz
142
Aus Fp  I folgt:
p
 D 2p
4
 w
 D 2p
v p  v 2  v1 
4
 p   w v p  v 2  v1 
(8.23)
Um vp = f (vl, v2) zu bestimmen, muss die BERNOULLI-Gleichung zweimal angewendet werden, wobei der Kontrollschnitt 3-3 unmittelbar vor dem Propeller und der Kontrollschnitt 4-4
unmittelbar hinter dem Propeller herangezogen werden:

BERNOULLI-Gleichung für die Kontrollschnitte 1-1 und 3-3:
p1
v12  p1   p / 2   v32



w g 2g 
w g
 2g
Druckhöhe um Kontrollschnitt 3-3
 p / 2  v32
v12

2g
w g
2g

(8.24)
BERNOULLI-Gleichung für die Kontrollschnitte 4-4 und 2-2:
 p2   p / 2   v24
p2
v22




w g

 2g w g 2g
Druckhöhe am Kontrollschnitt 4-4
 p / 2  v24
w g
2g

v22
2g
(8.25)
Die Addition von Gl. (8.24) und Gl. (8.25) führt zu:
p
v2 v2 v2 v2
 3  2  1  4
w g 2g 2g 2g 2g
und mit der Annahme, dass v3  v4 ist, folgt:
 v22  v12 
p  w 
 oder
 2 
p  w
 v2  v1  v2  v1 
2
(8.26)
Einführung in den Impulssatz
143
Aus Gl. (8.23) und Gl. (8.26) folgt:
 v  v1 
 w v p  v 2  v1    w  2
  v 2  v1 
 2 
 vp 
v 2  v1
bzw. v 2  v1  2 v p oder v 2  v1  v p  v p
2
 v 2  v p  v p  v1
(8.27)
Gl. (8.27) besagt, dass die Zunahme der Geschwindigkeit bis zum Propeller (vp – v1) nur halb
so groß ist wie die gesamte Geschwindigkeitszunahme v vom Schnitt 1-1 bis zum Schnitt 22.
8.4.2.4 Schnelligkeit von Schwall- und Sunkwellen
Schwall- und Sunkwellen entstehen bei plötzlicher Änderung des Durchflusses Q (z.B. Schleusungsvorgänge). Die vier Grundformen des Schwalls sind in Abb. 8.10 dargestellt.
Zur Berechnung der Wellenschnelligkeit c wird der Impulssatz herangezogen. Am Beispiel des
Füllschwalls in Abb. 8.11 soll gezeigt werden, dass c  g h .
Stauschwall
c
h
Entnahmesunk
Absperrsunk
h
c
v, Q
Abb. 8.10:

c
c
v, Q
h
Füllschwall
Absperrorgan
Absperrorgan
h
Die vier Grundformen des Schwalls
Kräfte im Kontrollschnitt 1-1:
Fp1 
1
w g (h  h)2
2
I1  w Q v1
 S1  Fp1  I1 
1
 w g (h  h) 2   w Q v1
2
(8.28)
Einführung in den Impulssatz

144
Kräfte im Kontrollschnitt 2-2:
1
Fp2  w g h 2
2
I 2  w Q c
(da v2  0)
1
 S2  FP2  I 2  w g h 2  w Q c
2
(8.29)
2
1
dL = c dt
c
h
c
c
dV
1
FP1   w g (h  h) 2
2
v2 = 0
v 1, Q
1
FP2  w g h 2
2
w g h
w g (h+h)
1
Abb. 8.11:
2
Schwall und Definitionsskizze
Zunächst muss v = f (c) bestimmt werden. In der Zeit dt legt der Schwall die Strecke dL zurück:
dL  c dt
Das in der Zeit dt hinzukommende Volumen ist:
dV    h b  c dt
mit:
b = Schwallbreite.
Somit ist der Volumenstrom:
dV
 (h b)c  Q
dt
Aus der Kontinuitätsgleichung für die Kontrollschnitte 1-1 und 2-2 folgt:
 h  h  b  v1   h b  c
Einführung in den Impulssatz
 h 
v1  
c
 h  h 
145
(8.30)
v1 nach Gl. (8.30) in Gl. (8.28) eingesetzt, ergibt:
S1 
1
 h 
 w g (h  h) 2   w Q 
c
2
 h  h 
(8.31)
Damit folgt aus der Impulsgleichung und mit S2 = S1 und Q  c  h 1 m aus Gl. (8.31) und
Gl. (8.29):
1
1
 h 
2
 w g (h  h) 2   w c h 
 c   w g h   w c h c
2
2
 h  h 
 h 2  1
1
2
2
 w g (h 2  h 2  2h h) +  w c 2 
   w g h   w c h
2
 h  h  2
 h 2 
1
2
w g (h 2  2h h) +  w c 2 
   w c h
2
h


h


1
h 

g ( h 2  2h h) = c 2 h 1 

2
 h  h 
Aufgelöst nach c ergibt sich:
 3 h 1  h 2 
c  g h 1 

.
 2 h 2  h  


Da in der Regel ∆h << h ist, folgt
(8.32)
h
 0 . Damit vereinfacht sich Gl. (8.32) zu:
h
c gh
(8.33)
Das ist die LAGRANGEsche Gleichung, die für alle langwelligen Störungen gültig ist,
z.B. für:

Wellen im Flachwasser,

Seiches, Tsunamis und Tideboren.
Gl. (8.33) gilt für jeden beliebigen Gerinnequerschnitt A, wobei die mittlere Wassertiefe h wie
folgt anzusetzen ist:
A
h
(8.34)
b
Einführung in den Impulssatz
146
Wasserspiegelbreite b
Schwallhöhe h
Fließquerschnitt A
mittlere Wassertiefe h 
Abb. 8.12:
A
b
Definitionsskizze für die mittlere Wassertiefe bei Gerinnen mit beliebigem Fließquerschnitt A
Einführung in den Impulssatz
147
8.5 Zusammenfassung
1.
Die Größe I = ρw Q v hat die Einheit einer Kraft [N] und stellt einen Impulsstrom dar. Sie
wird jedoch in der Hydromechanik als Impuls bezeichnet.
2.
Der Impulssatz in der Hydromechanik lautet:

 
 F  w Q v2  v1


d.h die vektorielle Summe aller in einer Fluidmasse angreifenden Kräfte ist gleich der
Änderung des Impulsstromes dieser Masse.
3.
Die Anwendung des Impulssatzes erfolgt vorwiegend in Form des sog. Stützkraftsatzes.



Die Stützkraft S ist die Summe aus Druckkraft Fp und Impulsstrom I :
 

S  Fp  w Q v
4.
Die Anwendung des Impulssatzes erfolgt in der Regel in drei Schritten:

Begrenzung des Strömungsraumes durch sog. Kontrollschnitte,

Einzeichnung aller Kräfte auf die abgegrenzte Fluidmasse,

Aufstellung der Gleichung(en) für das Kräftegleichgewicht (dabei sind die Kräfte
vektoriell aufzusummieren).
Einführung in den Impulssatz
148
8.6 Aufgaben
Aufgabe 8.1:
"Impulssatz"
Formulieren Sie den Impulssatz. Welcher Unterschied besteht zwischen Impuls- und Stützkraftsatz?
Aufgabe 8.2:
"Gartenschlauch"
Legen Sie einen Gartenschlauch auf den Boden und drehen Sie den Wasserhahn auf. Was passiert und wie kann das Phänomen mit dem Impulssatz erklärt werden?
Aufgabe 8.3:
"Rasensprenger"
Erläutern Sie das hydromechanische Prinzip eines Rasensprengers.
Einführung in den Impulssatz
149
"Impuls auf eine Platte"
Aufgabe 8.4:
Die Öffnung mit der Fläche A eines Behälters ist mit einer Platte verschlossen. Die Anpresskraft hat die Größe W. Wird die Platte etwas abgehoben, so strömt das Wasser aus der Öffnung
aus und der Wasserstrahl trifft auf die Platte. Dabei übt er eine Kraft W' auf die Platte aus. Wie
groß sind W und W', wenn die Querschnittsfläche des Strahles gleich A ist, d.h. es zu keinen
Reibungsverlusten kommt?
Gegeben:
h = 3,0 m
A = 0,07 m2
w = 1,0 t/m3
g = 9,81 m/s2
Gesucht:
W, W'
v=0
v=0
h
h
Klappe
W
W'
A
Abb. 8.13:
Impuls auf eine Platte
Lösung:
Die Kraft W ergibt sich als die resultierende hydrostatische Druckkraft auf die Klappe.
W = w g h A  W = 1,0 ∙ 9,81 ∙ 3,0 ∙ 0,07 = 2,06 kN
Die Kraft W' entspricht dem Impuls, der durch das ausfließende Wasser auf die Klappe ausgeübt wird.
W' = I = ρw Q v
v
2 g h und Q  A v
 I = ρw A 2 g h = 1,0 ∙ 0,07 ∙ 2 ∙ 9,81 ∙ 3 = 4,12 kN
 W' = 2W
Einführung in den Impulssatz
150
"Düse"
Aufgabe 8.5:
Wie groß ist die Kraft F, die von der Verbindung zwischen dem Rohr und der aufgesetzten
Düse aufgenommen werden muss? Das Eigengewicht des Wassers und der Düse kann vernachlässigt werden.
Gegeben:
d1 = 0,2 m
d2 = 0,15 m
p1 = 2,0 bar
p2 = 1,0 bar
Q = 0,2 m3/s
ρw = 1,0 t/m3
Gesucht:
Verbindungskraft F
d1
v1
Q
Rohr
D üse
v2
d2
Abb. 8.14:
Düse
Lösung:
Berechnung der Geschwindigkeiten:
 d12
Q
0, 2
 0,0314 m2  v1 

 6,37 m / s
A1 
4
A1 0,0314
A2 
 d22
Q
0, 2
 0,0177 m2  v2 

 11,32 m / s
4
A2 0,0177
Berechnung der Druck- und Impulskräfte für die Schnitte 1-1 und 2-2:
Einführung in den Impulssatz


151
p1  2, 0 bar
200 kN / m 2
p 2  1, 0 bar
100 kN / m 2
F1  p1 A1  200  0,0314 
6, 28 kN
I1  w Q v1  1,0  0, 2  6,37 
1, 27 kN
R1  F1  I1 =
7,55 kN
F2  p2 A 2  100  0,0177 
1,77 kN
I2  w Q v2  1,0  0,2  11,32 
2,66 kN
R 2  F2  I2 =
4,03 kN
F  R1  R 2  7,55  4, 03  3,52 kN
Die Verbindung muss eine Gesamtkraft von F = 3,52 kN aufnehmen.
Aufgabe 8.6:
"Wal"
Der unten dargestellte Wal schleudert das Floß durch einen Wasserstrahl in die Höhe. Das Blasloch des Wales hat einen Durchmesser von D = 15 cm. Die Ausströmgeschwindigkeit des Wassers aus dem Blasloch beträgt vNase = 20 m/s. Das Floß hat inklusive Mannschaft eine Masse
von 300 kg.
Wie hoch wird das Floß geschleudert? Es wird eine stationäre und verlustfreie Strömung vorausgesetzt!
Gegeben:
DNase = 15 cm
vNase = 20 m/s
mSchiff = 300 kg
ρw = 1,0 t/m3
g = 9,81 m/s2
Einführung in den Impulssatz
152
Lösung:
Die Lösung der Aufgabe folgt aus der Kombination von Impuls- und Energiesatz.
Berechnung der ausströmenden Wassermenge:
Q  A Nase v Nase
Abb. 8.15:
 D2Nase
 0,152

v Nase 
 20  0,35 m3 / s
4
4
Wal
Gewichtskraft des Floßes:
G = m g = 300 · 9,81 = 2.943 N
Anwendung des Impulssatzes:
I = ρw Q v = 1,0 · 0,35 · v
Es muss folgende Gleichgewichtsbedingung gelten, damit das Floß durch den Impuls auf einer
konstanten Höhe gehalten wird:
I = G  2,943 kN = 1,0 · 0,35 · v  v = 8,41 m/s
Einführung in den Impulssatz
153
Berechnung der Höhe des Floßes nach dem BERNOULLI- Energiesatz:
v2Nase pNase
v2
p

 z Nase  Floß  Floß  zFloß
2g w g
2g w g
mit:
vNase = 20 m/s
vFloß = 8,41 m/s
pNase = 0,0 kN/m2 (Atm. Druck)
pFloß = 0,0 kN/m2 (Atm. Druck)
zNase = 0,0 m (Bezugshorizont)
zFloß = ? m
20 2
8, 412
00 
 0  z Floß  z Floß  16,8 m
2  9,81
2  9,81
Das Floß wird 16,8 m hoch geschleudert.
Aufgabe 8.7:
"Impulssatz (Einheiten)"
Beschreiben Sie anhand Ihnen bekannter Formeln den physikalischen Unterschied zwischen
dem Impulssatz in der Festkörpermechanik und dem Impulsstrom in der Hydromechanik. Beachten Sie insbesondere die Einheiten.
Aufgabe 8.8:
"Schwall und Sunk"
In einem Rechteckgerinne sind jeweils in 120 m Entfernung flussauf- und flussabwärts eines
Schützes Pegel zur Wasserstandsmessung eingesetzt. Die vorhandene Fließgeschwindigkeit beträgt v0 = 2,6 m/s. Durch das plötzliche Öffnen des Schützes entsteht eine Schwallwelle, die am
Pegel 2 nach t = 15 Sekunden gemessen wird.
a)
Wie groß ist näherungsweise die Wassertiefe h2 unterhalb des Schützes?
b)
Wie groß ist näherungsweise die Wassertiefe h1 oberhalb des Schützes, wenn am oberen
Pegel die Wasserspiegelauslenkung gleichzeitig aufgetreten ist?
Einführung in den Impulssatz
154
c
Pegel 1
Schwall c
Pegel 2
v0 = 2,6 m/s
h1
h2
s = 120,0
Abb. 8.16:
v0 = 2,6 m/s
s = 120,0
Schwallwelle
Lösung:
zu a) Die Schwallwelle bewegt sich mit einer Geschwindigkeit u fort, die sich aus der Grundströmung v0 und der Wellenschnelligkeit c zusammensetzt:
u2  c  v0  g h2  v0
s 120
mit : u 2  
 8, 0 m / s
t 15
 h2 
(u  v 0 ) 2 (8, 0  2, 6) 2

 2, 97 m
g
9,81
zu b)
u1  c  v 0 
g h 1  2, 6
mit : u1  8,0 m / s
 h1 
(u  v 0 ) 2 (8, 0  2, 6) 2

 11, 4 m
g
9,81
Die Kontinuitätsgleichung wird durch eine variable Gewässerbreite erfüllt.
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
155
9 Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
9.1 Ausgangssystem und Annahmen
Es wird eine ideale Flüssigkeit in einem rechteckigen Freispiegelgerinne mit der Breite b, der
variablen Wassertiefe h und dem variablen Fließquerschnitt A(h) = b h betrachtet.
Energielinie EL
v2
2g
Energielinie EL
v2
2g
Drucklinie
DL
hE
h
hE
hvariabel
A
9.2
h
Q, v
b
Abb. 9.1:
Drucklinie
DL
Fließquerschnitt
A(h) = b h
Ausgangssystem
Ableitung der Zustandsgleichung eines Fließquerschnittes
Der Abfluss ist:
QA vbh v
Der spezifische Abfluss q (d.h. der Abfluss pro lfd.m) ist:
q
Q bhv

h v
b
b
Daraus folgt für die mittlere Geschwindigkeit v:
v
q
h
(9.1)
Die sohlbezogene BERNOULLI-Gleichung an einem bestimmten Ort entlang des Gerinnes
lautet:
v2
hE  h 
2g
und mit v = (q/h) aus Gl. (9.1) ergibt sich die Zustandsgleichung des Fließquerschnitts zu:
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
hE  h

f1 (h)
q 2 2
h
2g
156
(9.2)
f 2 (h)
Die Größen hE, h und q (bzw. v) werden als Zustandsgrößen zur Beschreibung des Fließzustandes bezeichnet.
Um die Aussagen der Zustandsgleichung (9.2) deutlich zu machen, wird diese für folgende
Fälle untersucht:
9.3
(a)

konstanter Abfluss (q = konst.)  Ableitung der Grenztiefe hgr

Durchfluss q(h) bei konstanter Energiehöhe (hE = konst.)  Ableitung des maximalen spezifischen Abflusses qmax
Untersuchung der Zustandsgleichung bei konstantem Abfluss
Ableitung der Grenztiefe
Für q = konst. und mit k 
h E (h)

q2
 konst. folgt aus Gl. (9.2) (s. Abb. 9.2):
2g

h

h 2
k

f1 (h)
Gesamtenergiehöhe
f 2 (h)
Winkelhalbierende
Energiehöhe hE (h)
quadratische Hyperbel
Summenkurve
hE (h) = f1(h) + f2(h)
Winkelhalbierende
Schießen Strömen
min hE
f1(h) = h
2
v gr
2g
1,5 hgr
h < hgr Schießen
v > vgr (überkritisch)
Abb. 9.2:
 0, 5  h gr
h gr  2
hgr
q = konst.
2
v gr
quadr. Hyperbel
2g
f2(h)= k ∙ h-2
Strömen
Wassertiefe h
h > hgr
(unterkritisch) v < vgr
Wassertiefen bei konstantem Durchfluss (q = konst.)
(9.2)a
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
157
Die Grenztiefe hgr tritt bei der Mindestenergiehöhe min hE ein. Die Bedingung für
min hE lautet:
dh E
0
dh h hgr
mit hE(h) aus Gl. (9.2) folgt:
dh E
dh
h  h gr
1
q2
3
0
( 2)h gr
2g
q2 1
q2
3



1
h
gr
g h 3gr
g

h gr  3
q2
g
(9.3)
Zur Grenztiefe hgr gehört eine Grenzgeschwindigkeit vgr. Aus Gl. (9.1) folgt:
v gr = q / h gr  q  h gr v gr
Der spezifische Abfluss q in Gl. (9.1) eingesetzt ergibt die Grenztiefe hgr:
h gr 
3
h gr2 vgr2
g
(9.3)a
Gl. (9.3a) nach vgr aufgelöst führt zu:
vgr  g h gr ,
(9.4)
dh.:
vgr2
g
 h gr
(9.4)a
Gl. (9.4a) besagt, dass die Grenztiefe doppelt so groß ist wie die Geschwindigkeitshöhe
vgr2 / 2g :
 v2 
h gr  2  gr 
 2g 
 
(b)
Bedeutung der Grenztiefe

Bei der Grenztiefe wird eine Mindestenergiehöhe min hE benötigt, um den Durchfluss q = konst. zu fördern (Abb. 9.2):
min h E  h gr 
vgr2
2g
 1,5h gr ,
(9.5)
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
158
d.h. diese Mindestenergiehöhe beträgt das 1,5-fache der Grenztiefe.

Bei der Grenztiefe hgr muss sich auch ein Stützkraftminimum ergeben. Aus dem
Stützkraftsatz folgt:
1
q
S  FP  I  w g h 2  w q v und mit v = folgt:

2 
h

 Im puls
Druckkraft
S
1
 w g h 2   w q 2 h 1 .
2
Mit q = konst. ergibt sich für das Stützkraftminimum:
Stützkraft S (h)
dS
h 0
dh gr
 w g h gr   w q 2 (1) h gr2  0
min S 
g h gr 
S (h)
q2
q2
3
h


gr
h gr2
g
q2
 h gr 
.
g
3
(9.6)
min S
hgr
Abb. 9.3:

h
Stützkraftminimum
Bei der Grenztiefe hgr hat die Strömungsgeschwindigkeit vgr gerade den Wert der
Wellenschnelligkeit c (vgl. Kapitel 8) denn aus Gl. (9.4a) folgt:
vgr  c  g h gr .

(9.7)
Der Abfluss mit der Grenzgeschwindigkeit vgr, der kritischen Tiefe hgr und der Mindestenergiehöhe min hE wird als
Grenzzustand bzw. kritischer Zustand
bezeichnet.
Die Grenztiefe stellt somit einen Grenzwert zwischen zwei Fließzuständen dar:
h < hgr: SCHIESSEN (überkritisch)
h > hgr: STRÖMEN (unterkritisch),
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
159
d.h. für jede Energiehöhe hE > min hE sind für denselben Abfluss q zwei Wassertiefen möglich
(Abb. 9.2), die als konjugierte Wassertiefen bezeichnet werden:
(c)

eine gehört zum schießenden Abfluss,

eine gehört zum strömenden Abfluss.
Beschreibung der Fließzustände
Ableitung der FROUDE28-Zahl

Die FROUDE-Zahl dient zur Beurteilung der Fließart (Schießen oder Strömen).

Sie ist auch eine wichtige Kennzahl in der Ähnlichkeitsmechanik, d.h. bei der Nachbildung von Gerinneströmungen im verkleinerten Modell.

Sie beschreibt gleichzeitig:
-
Das Verhältnis der Trägheitskräfte FT zu den Schwerekräften Fs:
Fr 
-
FT
FS
(9.8)
Das Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeit v zur Wellenschnelligkeit c:
Fr 
v
c
(9.9)
Beweis: Mit L = Längendimension und T = Zeitdimension folgt:
Trägheitskräfte:
FT  m b  ( V) b =  L3 L/T 2
Schwerekräfte:
FS  m g  ( V)g   L3 g
Das Verhältnis der Trägheitskräfte zu den Schwerekräften ist somit:
L
 L3 2
FT
T  L

3
FS
 L g g T2
FT
L2

FS L g T 2
und mit
L2
 v2
T2
FT
v2

 Fr 2  Fr =
FS L g
28
FROUDE, William (1810–1879): Englischer Ingenieur.
x
folgt:
v
.
gL
L
L
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
160
Wird für die charakteristische Länge L = h (Wassertiefe) und für v die mittlere Geschwindigkeit eingesetzt, so folgt:
v
v
(9.9)a
Fr 
 .
gh c
Für die meisten Gerinneströmungen in der Natur gilt:
Fr  10 .
Beschreibung der Fließarten
Grenzzustand (kritischer Abfluss): Für den Grenzzustand gilt:
h  h gr  v  v gr  c  Fr 
v
1
c
Schießen (überkritischer Abfluss): Für den überkritischen Abfluss gilt:
h  h gr  v  v gr  c  Fr 
v
1
c
Daraus ergeben sich folgende wichtige Schlussfolgerungen für die Praxis:

Schießender Abfluss liegt in der Praxis meist bei künstlichen Gerinnen (z.B.
Schussrinne) sowie bei Wasserfällen (zum Teil auch bei Wildbächen) vor.

Da v < c ist, breiten sich Störungen mit c nur in Strömungsrichtung aus (stromab!!),
d.h. die Berechnungen von Wasserspiegellagen (sog. Stau- und Senkungskurven)
sind in Fließrichtung durchzuführen.
Strömen (unterkritischer Abfluss): Für den unterkritischen Abfluss gilt:
h  h gr  v  v gr  c  Fr 
v
1
c
Daraus ergeben sich folgende wichtige Schlussfolgerungen für die Praxis:

Strömender Abfluss stellt in der Praxis den Normalfall bei den meisten natürlichen
Flussläufen dar.

Da v > c ist, wandern Störungen in der Strömung auch stromauf, die Berechnungen
der Wasserspiegellage werden auch stromauf durchgeführt.
Anwendungsbeispiel:
Sie befinden sich an einem Fluss mit nahezu konstanter Wassertiefe. Die FROUDE-Zahl
der Strömung ist nicht bekannt und Sie wollen trotzdem feststellen, ob schießender oder
strömender Abfluss vorliegt.
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
161
Lösung:
Sie werfen einen Stein ins Wasser, um festzustellen, ob in dem Gerinne mit nahezu konstanter Wassertiefe der Abfluss strömend oder schießend abgeführt wird (Abb. 9.4):
(c – v)
a) Strömen (v < c)
c
(c + v)
c
v
v<c
v<c
Stein
(c – v)
b) Schießen (v > c)
c
v>c
Abb. 9.4:
v
v
(c + v)
c
Stein
v
v>c
Praktisches Feststellen der Fließart (Strömen oder Schießen?)

Wandern die induzierten Oberflächenwellen nur in Fließrichtung (stromab!), so
liegt Schießen vor (v > c).

Wandern die Oberflächenwellen auch stromauf, so liegt Strömen vor (v < c).
9.4 Durchfluss bei konstanter Energiehöhe
Aus der Zustandsgleichung des Fließquerschnittes (Gl. (9.2)):
q2 1
hE  h 
2g h 2
folgt bei konstanter Energiehöhe hE = konst:
q2
(h E  h) 
2g h 2
q 2  2 g (h E h 2  h 3 )
(9.2)b
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
162
mit q = q(h) folgt:
q(h)  2 g  h E h 2  h 3 
1/ 2
(9.10)
Gl. (9.10) ist in Abb. 9.5 prinzipiell dargestellt.
Wassertiefe h
h E = konst.
Strömen
h 2 > h gr
(h > h gr)
h = h gr
Schießen
(h < h gr)
h 1 < h gr
h= 0
q max
Durchfluss q
q < q max
Abb. 9.5:
Durchfluss bei konstanter Energiehöhe
Der Abfluss q(h) hat ein Maximum bei der Grenztiefe hgr, d.h.:
dq
dh
h  h gr

2 
1 2 h E h gr  3 h gr 

 2g
0
2 h h 2  h 3 1/2 


E gr
gr



2 hE hgr  3 hgr2  0
h gr  2 h E  3 h gr   0
2 h E  3 h gr  0  h gr 
2
hE
3
(9.11)
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
vgr  g h gr 
vgr2
g
 h gr
163
:2
mit hgr aus Gl. (9.11) folgt:
2
hE
h

3
 E
2g 2
2
3
vgr2
h gr
Aus dem Ergebnis in Abb. 9.5 lässt sich folgendes ableiten:

Für jeden Durchfluss q < qmax sind bei vorgegebener Energiehöhe hE = konst. zwei
Wassertiefen möglich, von denen
-
eine dem schießenden Abfluss (h1 < hgr),
eine dem strömenden Abfluss (h2 > hgr)
angehört (s. Abb. 9.6). Wie bereits unter Abschnitt 9.3 erwähnt, werden h1 und h2
als konjugierte Wassertiefen bezeichnet.

Der maximale Abfluss qmax bei vorgegebener Energiehöhe (hE = konst.) tritt im
Grenzzustand ein, daher führt eine Verringerung des Abflusses (q < qmax) (s.
Abb. 9.6) zu einer:
-
Abnahme der Wassertiefe im schießenden Bereich,
Zunahme der Wassertiefe im strömenden Bereich.
Wassertiefe h
h E = konst.
h = hE
h = h gr
2
v gr
1
hE 
3
2g
Strömen
(h > h gr)
Schießen
(h < h gr)
2
hE
3
h =0
Abb. 9.6:
q max
Konjugierte Wassertiefen h1 und h2
Durchfluss q
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
164
Berechnung des Maximalabflusses qmax (Grenzzustand)
2
Mit h gr  h E eingesetzt in Gl. (9.10) für den Grenzzustand (h = hgr und q (hgr) = qmax) folgt:
3
q max  q(h gr )  2g  h E h gr2  h 3gr 
1/ 2
(9.10)a
1/ 2
q max
  2  2  2 3 
 2g  h E  h E    h E  
  3   3  
1/ 2
8
4

q max  2g  h 3E  h 3E 
27 
9
1/ 2
q max
 4

 2g  h 3E 
 27 
q max 
8
g h 3E
27
(9.12)
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
165
9.5 Zusammenfassung
1.
Zur Kennzeichnung des Fließzustandes bei Gerinneströmungen dient die FROUDEZahl Fr:
v 
FT v 
Fr 
 
 
FS c 
gh 
Sie beschreibt das Verhältnis zwischen Strömungsgeschwindigkeit v und Wellenschnelligkeit c  gh , aber auch das Verhältnis
FT / FS zwischen Trägheitskräften FT und
Schwerekräften Fs.
2.
3.
4.
Bei Gerinneströmungen werden folgende Fließzustände unterschieden:

Strömen (bzw. unterkritischer Abfluss): Fr < 1

Grenzzustand (bzw. kritischer Abfluss): Fr = 1

Schießen (bzw. überkritischer Abfluss): Fr > 1
Beim Grenzzustand (Fr = 1) liegen folgende Größen vor:

 v2 
Wassertiefe: h  h gr  2  gr 
 2g 



Strömungsgeschwindigkeit: v  vgr  g h gr  c

Stützkraft ist Minimum bei vorgegebenem Abfluss q

Mindestenergiehöhe min hE bei vorgegebenem Abfluss q:
3
min h E  h gr
2

maximaler Abfluss: q max 
8
g h 3E  g h 3gr .
27
Bei jeder Energiehöhe hE > min hE ist ein und derselbe Abfluss q mit zwei verschiedenen
Wassertiefen h1 und h2 möglich. Die Wassertiefe h1 > hgr gehört dem strömenden und die
Wassertiefe h2 < hgr dem schießenden Abfluss an. h1 und h2 werden als konjugierte Wassertiefen bezeichnet.
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
166
9.6 Aufgaben
Aufgabe 9.1:
"Grundschwelle"
Gegeben ist ein Rechteckgerinne mit den Abmessungen b = 30,0 m und h0 = 2,5 m. In diesem
Gerinne wurde ein Abfluss Q = 150 m3/s gemessen.
0
1
2
0
v
2g
EL
v 12
2g
DL
h1
h0
dmax
0
1
Abb. 9.7:
a)
b)
Bezugshorizont (z = 0)
Grundschwelle
Ermitteln Sie die größtmögliche Höhe einer Grundschwelle ohne Aufstau im Oberwasser.
Ermitteln Sie die Wasserspiegellage über der Grundschwelle.
Lösung:
zu a)
Anwendung der Energiegleichung für den Schnitt 0-0 und den Schnitt 1-1:
v 02
v2
 h 0  z 0  1  h 1  d max
2g
2g
h gr 
3
q2
g
mit q 
Q 150

 5 m3 / s  m
b 30
52
 h gr 
 1,37 m
9,81
3
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
v0 
167
Q
150

 2,0 m / s
b h 0 30  2,5
Der maximale Abfluss kann nur im Grenzzustand abgeführt werden. Außerdem ist im Grenzzustand die Energiehöhe minimal, sodass die Energiedifferenz zwischen Schnitt 0-0 und
Schnitt 1-1 ein Maximum wird. Diese Energiedifferenz entspricht der Höhe der Grundschwelle dmax.
Mit v1 = vgr und h1 = hgr folgt:
 hE 
v2
v02
22
 h0 
 2,5  dmax  gr  h gr
2g
2  9,81
2g
v gr  g h gr  9,81  1,37  3,67 m/s
 d max 
v 02 vgr
2, 02
3, 67 2

 h 0  h gr 

 2,5  1,37  0, 65 m
2g 2g
2  9,81 2  9,81
zu b) Wasserspiegellage:
Aufgabe 9.2:
dmax + hgr = 0,65 + 1,37 = 2,02 m
"Strömen und Schießen"
Beim Werfen eines Steines zeigt sich das folgende Wellenbild. Die Wassertiefe im Gerinne
beträgt 1,7 m und die Breite des Rechteckgerinnes 4,5 m. Folgende Fragen sind zu beantworten:
v
Abb. 9.8:
Wellenbild beim Werfen des Steines
a)
Wie ist das Wellenbild zu interpretieren?
b)
Wie groß ist der Abfluss?
c)
Wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit?
d)
Wäre in einem flächengleichen Dreiecksgerinne die Abflussmenge bei gleicher Grenzwassertiefe größer oder kleiner als im Rechteckgerinne?
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
168
Lösung:
zu a) Es handelt sich um den Grenzzustand, d.h. die Wassertiefe entspricht der Grenzwassertiefe hgr!
zu b)
h gr 
3
q2
 q  g h 3gr
g
 q  9,811,73  6,94 m3 /s  m
zu c)
v  h gr g  1,7  9,81  4,08 m/s
oder
v
q 6,94

 4,08 m/s
h 1, 7
zu d)
Die Grenzwassertiefe im Dreiecksgerinne berechnet sich zu:
 h gr 
2Q2
5
 m  m2 
g 1

2


mit m1 , m 2 : Steigung der Gerinneböschung
2
Die Grenzgeschwindigkeit im Dreiecksgerinne berechnet sich zu:
v gr 
1
h gr g
2
Es wurde die Annahme getroffen, dass: ADreieck = ARechteck

1
 m1  m2  h gr2  b h gr
2
m1  m2  m
h gr 
 m h gr  b
2 Q2
5
 m  m2 
g 1

2


2
 m
4,5
 2,65
1,7
Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne
2
 QDreieck
Q Dreieck 
 m1  m2  5

 h gr g
2 


2
m 2 h 5gr g
2
 Q Dreieck 
QRe chteck  q b  6,94  4,5  31,23
2, 652 1, 755  9,81
m3
 23, 75
2
s
m3
s
 Q Rechteck  Q Dreieck
Aufgabe 9.3:
"Grenzwassertiefe im Dreiecksgerinne"
Ermitteln Sie theoretisch die Grenzwassertiefe in einem Dreiecksgerinne.
Aufgabe 9.4:
"Grenzwassertiefe im Parabelgerinne"
Ermitteln Sie theoretisch die Grenzwassertiefe in einem Parabelgerinne (y = x2).
169
Berechnung von lokalen Energieverlusten
170
10 Berechnung von lokalen Energieverlusten
10.1 Beispiel aus der Gerinneströmung: Ebener freier Wechselsprung
10.1.1 Problemstellung
Im Wasserbau stellt der Wechselsprung (= sprungartiger Übergang vom Schießen zum Strömen) eine wichtige Möglichkeit der Energiedissipation dar. Deshalb werden hinter Wehr- und
Hochwasserentlastungsanlagen Tosbecken gebaut. Das Tosbecken hat die Aufgabe, den Wechselsprung herbeizuführen und zugleich zu kontrollieren. Würde der Wechselsprung aus dem
Tosbecken austreten, würde er Erosionsschäden an der Gerinnesohle verursachen.
Eine der wichtigsten Aufgaben bei der Berechnung des Wechselsprungs ist die Bestimmung
der Unterwassertiefe h2 in Abhängigkeit der Zuflusswassertiefe h1 und -geschwindigkeit v1:
h 2  f  v1 , h 1  ,
h1 und h2 sind konjugierte Tiefen (siehe Definition in Abschnitt 9).
10.1.2 Ausgangssystem und Annahmen
Es wird der ebene freie Wechselsprung in Abb. 10.1 betrachtet, wobei nachstehende Annahmen
getroffen werden:
(i)
Reale Flüssigkeit im Deckwalzenbereich (Reibungsverluste!) und ideale Flüssigkeit (keine Reibungsverluste!) außerhalb des Deckwalzenbereichs.
(ii)
Im Deckwalzenbereich ist nur Flüssigkeitsreibung (keine Sohlreibung!) zu berücksichtigen.
(iii) q = konst. (stationärer Abfluss)
(iv)
(v)
h1  h gr
v1  v gr
h 2  h gr
v 2  v gr
 schießende Zuflussbedingungen
 strömender Abfluss im Unterwasser
(vi) horizontale Gerinnesohle im Tosbecken
Berechnung von lokalen Energieverlusten
171
2
1
EL
hi
EL
LD  6   h 2  h1 
2
1
v
2g
2
v2
2g
(empirisch)
DL
Deckwalze
2
h
w g 1
2
h1
q  konst
v2
v1
w g
2
h2
2
2 w g h 2
1
Abb. 10.1:
h2
Ebener freier stationärer Wechselsprung - Definitionsskizze
10.1.3 Berechnung der Unterwassertiefe
Im Gegensatz zur Druckrohrströmung wird bei einer Gerinneströmung nicht die lokale Verlusthöhe hi gesucht, sondern die mit dieser Verlusthöhe hi verbundene örtliche Änderung der
Wasserspiegellage. Dies wird durch die Anwendung des Impulssatzes an den Kontrollschnitten 1-1 und 2-2 wie folgt erreicht:
w g


h12
h2
 w q v1  w g 2  w q v2
2
2
: w g
h 12
v
h2
v
q 1  2 q 2
2
g
2
g
h
2
1
 h 22 
2
q
 v2  v1 
g
(10.1)
Aus der Kontinuitätsgleichung
Q  v1 h1  v2 h 2  konst.
folgt:
(10.2)
Berechnung von lokalen Energieverlusten
v 2  v1
172
h1
h2
(10.3)
v2 aus Gl. (10.3) eingesetzt in Gl. (10.1) führt zu:
 q h
 q  h  h2 
h12  h 22 q  h1
  v1
 v1   v1  1  1   1
 v1
2
g  h2
 g  h2  g  h2 
1
q h  h 
 h1  h2   h1  h2   v1 1 2
2
g
h2
:
q
  h1  h 2  h 2  2 v1
g
1  h1  h 2 
2 h2
(10.4)
Mit q = v1 h1 folgt aus Gl. (10.4):
v12 h1
h1 h 2  h  2
g
2
2
: h12
h22 h2
v12
 2
h12 h1
gh1
Mit Fr1 
(10.5)
v1
(zuflussbezogene FROUDE- Zahl) eingesetzt in Gl. (10.5) folgt:
g h1
2
 h2  h2
2
    2 Fr1  0
h
h
1
 1
(10.6)29
Aufgelöst nach dem Verhältnis der konjugierten Wassertiefen folgt aus Gl. (10.6):
2
h 2 1  1  8 Fr1

h1
2
Da die negative Lösung physikalisch sinnleer ist, folgt:
h2 1

h1 2


1  8 Fr12  1
(10.7)
Das heißt, die Unterwassertiefe h2 ist eine Funktion der zuflussbezogenen FROUDE- Zahl Fr1.
29
Quadratische Gleichung der Form ax2 + bx + c = 0 mit der Lösung
x
h2
b  b2  4 a c
, a = b = 1 und c = -2 Fr12
mit x 
2a
h1
Berechnung von lokalen Energieverlusten
173
Anmerkungen
(i)
Die Anwendung der BERNOULLI-Gleichung zusammen mit dem Ergebnis aus Gl. (10.7)
würde folgende örtliche Verlusthöhe hi = f (h1, h2) ergeben:
hi
(ii)
h  h 
 2 1
Die zulaufseitige FROUDE-Zahl Fr1 
3
4 h1 h 2
v1
entscheidet auch über die Art des Wechg h1
selsprunges:

Fr1 > 1,7:
freier Wechselsprung mit ausgeprägter Deckwalze, wobei h2/h1 > 2,0 (günstig!)

Fr1 < 1,6:
gewellter Wechselsprung mit Oberflächenwellen, wobei
h2/h1 < 1,8 (ungünstig!)

Fr1 = 1,6  1,7:
keine voll ausgebildete Deckwalze (Mischformen!)
Bei Ausfluss unter Schützen gibt es den rückgestauten Wechselsprung.
Näheres über den Wechselsprung ist u.a. bei CHOW (1959), PREISSLER und BOLLRICH
(1980) und NAUDASCHER (1992) zu finden.
10.2 Beispiel aus der Rohrströmung: BORDA30scher-Stoßverlust
10.2.1 Problemstellung
Bei einer plötzlichen Erweiterung eines Rohrquerschnittes von Al auf A2 löst sich an der Austrittskante die Strömung ab und es kommt zu einer Wirbel- und Walzenbildung, bei der Energie
durch Flüssigkeitsreibung dissipiert wird (Abb. 10.2). Dadurch entstehen lokale hydraulische
Verluste, die sich mit dem Impulssatz und der BERNOULLI-Gleichung relativ einfach bestimmen lassen.
10.2.2 Ausgangssystem und Annahmen
Es wird die Druckrohrströmung in einer Rohrerweiterung (vom Querschnitt Al zum Querschnitt
A2) nach Abb. 10.2 betrachtet.
Dabei werden folgende Annahmen getroffen:
30
BORDA, Jean Charles (1733–1794): Französischer Ingenieur und Wissenschaftler.
Berechnung von lokalen Energieverlusten
174
(i)
Reale Flüssigkeit im Wirbelgebiet (Durchmischungsverluste!)
(ii)
Ideale Flüssigkeit in allen übrigen Gebieten (keine Reibungsverluste!)
(iii) Wandreibung vernachlässigbar, d.h. nur Flüssigkeitsreibung im Wirbelbereich
Wirbel- und Walzenbildung
A1
v1
Strömungsablösungen
v2
A2
Bereich
hydraulischer
Verluste
Abb. 10.2:
Prinzipienskizze – plötzliche lokale Rohrerweiterung
10.2.3 Berechnung des BORDAschen Stoßverlustes
Nach Abb. 10.3 muss zusätzlich die lokale Energieverlusthöhe hi (Reibungsverlust im Wirbelgebiet) in der BERNOULLI-Gleichung berücksichtigt werden:
BERNOULLI-Gleichung für die Kontrollschnitte 1-1 und 2-2:
v12
p1
v22
p


 2  hi
2g w g 2g w g
Daraus folgt die lokale Verlusthöhe:
 v 2  v 22   p1  p 2 
hi   1


2g

  w g 
(10.8)
Berechnung von lokalen Energieverlusten
Abb. 10.3:
175
Ausgangssystem bei der Anwendung der BERNOULLI-Gleichung und des Impulssatzes
Impulssatz für die Kontrollschnitte 1'-1' und 2-2:
Bei der Anwendung des Impulssatzes wird statt des Kontrollschnitts 1-1, der Kontrollschnitt 1'1' so gewählt, dass

er unmittelbar hinter der Erweiterung liegt, wobei der Fließquerschnitt nicht mehr
A1, sondern A2 ist,

im Schnitt 1'-1' immer noch die Größen v1 und p1 statt v2, p2 herrschen.
Stützkraftsatz im Kontrollschnitt 1'-1' und 2-2:
p1 A 2  w Q v1  p2 A 2  w Q v2
p1 A 2  p2 A 2  w Q v2  w Q v1
(p1  p 2 ) A 2  w Q (v 2  v1 )
(p1  p 2 )
(v  v )
A2  Q 2 1
w g
g
: w g
Berechnung von lokalen Energieverlusten
176
mit Q = v2 A2 folgt:
p1  p 2
(v  v1 )
A 2  v2 A 2 2
g
w g
p1  p2 v22  v2 v1

w g
g
p1  p2 2v22  2v2 v1

w g
2g
(10.9)
Gl. (10.9) und Gl. (10.8) führen zu:
v12  v22 2 v22  2 v2 v1
hi 

2g
2g
hi 
1 2
1
(v1  v 22  2 v 2 v1 ) 
(v1  v 2 ) 2
2g
2g
Das ist die BORDA- Formel für die lokalen Verlusthöhen hi:
(v1  v 2 ) 2
hi 
2g
(10.10)
oder mit der Kontinuitätsgleichung:
v1 A1  v2 A2
 v 2  v1
A1
eingesetzt in Gl. (10.10) führt zu:
A2
1 
A1 
hi 
 v1  v1

2g 
A2 
v2  A 
h i  1 1  1 
2g  A2 
2
2
(10.11)
Nach Einsetzen des lokalen Widerstandsbeiwerts ξ in Gl. (10.11) ergibt sich:
 A 
  1  1 
 A2 
2
und es folgt die übliche Form für die lokale Verlusthöhe (vgl. Abschnitt 15, "Turbulente Strömungen im Kreisrohr"):
v12
hi  
2g
Berechnung von lokalen Energieverlusten
177
10.3 Zusammenfassung
1.
Bei einem sprungartigen Übergang vom Schießen zum Strömen (Wechselsprung) ist das
Verhältnis der konjugierten Wassertiefe eine Funktion der zulaufbezogenen FROUDEv1
Fr1 
:
Zahl
g h1
h2 1

h1 2


1  8 Fr12  1
2.
Die Größe der zulaufbezogenen FROUDE-Zahl Fr1 entscheidet über die Art des Wechselsprungs: Fr1 < 1,6 gewellter Wechselsprung, Fr1 > 1,7 ausgeprägte Deckwalze und Fr1
= 1,6 bis 1,7 Mischform.
3.
Bei einer plötzlichen Rohrerweiterung vom Querschnitt A1 auf den Querschnitt A2 führt
die kombinierte Anwendung des Impuls- und Energiesatzes zu dem lokalen Energieverlust (BORDAscher Stoßverlust):
2
v12  A1 
hi 
1 
 .
2g  A2 
Berechnung von lokalen Energieverlusten
178
10.4 Aufgaben
"Wechselsprung"
Aufgabe 10.1:
Im Wasserbau ist der Wechselsprung ein wichtiges Phänomen bei der Energiedissipation. Hierbei kommt es zum sprunghaften Übergang vom Schießen zum Strömen unter Ausbildung einer
Deckwalze. Für das gegebene Rechteckgerinne sind die Wassertiefe hinter dem Wechselsprung
h2 sowie die Verlusthöhe hi zu bestimmen.
Gegeben:
b  15 m
Q  36 m 3 s
g  9,81 m s 2
h1  0, 4 m
Lösung:
v
Q
36

 6, 0 m s
A 15  0, 4
Fr1 
v1
6,0

 3,03
g h1
9,81 0,4
h2 1

h1 2


hi

1  8 Fr12  1
h 2  1,53 m
 h  h1 
 2
4 h1 h 2
3
1,53  0, 4 

3
4  0, 4  1,53
 0,59 mWS
Berechnung von lokalen Energieverlusten
Aufgabe 10.2:
179
"BORDAscher Stoßverlust"
Ermitteln Sie für das dargestellte System die einzelnen Energiehöhenanteile und geben Sie den
Energiehöhenverlust infolge der Rohrerweiterung an.
p1 = 100 kN/m²
v2 = 1,5 m/s
v1
A1 = 0,5 m²
A2 = 1,0 m²
Abb. 10.4:
Gegeben:
Lösung:
BORDAscher Stoßverlust
w  1,0 t m3
g  9,81 m s 2
Q 2  A 2 v 2  1,5 m 3 s
Q1  Q2
v1 
 v1 A1  Q2
Q 2 1, 5

 3, 0 m s
A1 0,5
Ermittlung der Energiehöhe über die BERNOULLI-Energiegleichung am Schnitt 1-1:
h E1 
p1
v2
100
3,02
 1  z1 

 0  10,652 mWS
w g 2g
1,0  9,81 2  9,81
Die Energiehöhe hE2 ist um den Betrag ∆hi (Bordaverlust) kleiner als hE1:
2
h E2
v12  A1 
 h E1  h i  h E1  1 
  10,537 mWS
2g  A 2 
Damit kann die Druckhöhe im Schnitt 2-2 bestimmt werden:
p2
v22
 h E2 

 z2  10,537 mWS
w g 2g

p2
v 22 
  hE 
  10,422 mWS
w g  2 2g 
mit z2  0
Laminare und turbulente Strömung
180
11 Laminare und turbulente Strömung
11.1 Definition - Auswirkung der Viskosität
Bislang wurden nur ideale Flüssigkeiten behandelt. Gegenstand der folgenden Abschnitte ist
die Strömung realer Flüssigkeiten.
Eine reale Flüssigkeit unterscheidet sich von einer idealen Flüssigkeit durch die Viskosität31:
Ideale Flüssigkeit  Viskosität  Reale Flüssigkeit
Die Auswirkung der Viskosität auf den Energiehaushalt und den Fließvorgang kommt wie folgt
zum Ausdruck:

Kein Gleiten der realen Flüssigkeit relativ zur Wandung (Haftbedingung). Das hat
zur Folge, dass keine gleichmäßige Geschwindigkeitsverteilung mehr vorliegt
(Abb. 11.1).

Strömungswiderstand durch innere und äußere Reibung. Das hat zur Folge, dass
das Energieniveau entlang der Stromlinien in Strömungsrichtung abnimmt, d.h. es
treten Energieverluste auf.

Laminare und turbulente Strömung. Die Einführung der Viskosität führt zur Entstehung dieser zwei Grundströmungsarten, die bei idealen Flüssigkeiten unbekannt
sind.
11.2 Unterschied zwischen idealen und realen Strömungen –
Das D'ALEMBERT32sche Paradoxon
Zunächst wird gezeigt, warum die Vorstellung der idealen Flüssigkeit nicht ausreicht, um Strömungsprobleme und ihre Auswirkungen in der realen Welt behandeln zu können. Zu diesem
Zweck ist der Vergleich zwischen idealer und realer Strömung in Abb. 11.1 dargestellt.
31
siehe Definition in Abschnitt 11.6.
32
D'ALEMBERT, Jean Le Rond (1717–1783): Französischer Mathematiker und Schriftsteller. Er war einer der
Verfasser der franz. Enzyklopädie und einer der franz. Aufklärer des 18. Jahrhunderts. In der D'ALEMBERTschen Zeit war dieser Unterschied zwischen Theorie und Realität ein Widerspruch (Paradoxon). Siehe hierzu
Abschnitt 11.6.
Laminare und turbulente Strömung
Anströmgeschwindigkeit
v0
v0
181
Stromlinien
v0
stationäre Anströmung
ideale
Flüssigkeit
Platte
Haftbedingung v = 0
v=0
reale
Flüssigkeit
v0
v0
v0
Abb. 11.1:
Vergleich zwischen idealer und realer Strömung
Bei der stationären Anströmung der Platte durch eine ideale Flüssigkeit (Abb. 11.1 oben) lässt
sich Folgendes feststellen:

-
Geschwindigkeit unmittelbar an der Wandung behält den Wert v0 (Gleitbedingung),
-
Geschwindigkeit bleibt gleichmäßig verteilt,
-
Stromlinien verlaufen geradlinig.
Bei der stationären Anströmung der Platte durch eine reale Flüssigkeit (Abb. 11.1 unten)
lässt sich Folgendes feststellen:
-
Geschwindigkeit an der Wandung ist gleich Null (Haftbedingung),
-
Geschwindigkeit bleibt nicht gleichmäßig verteilt,
-
Stromlinien werden nach außen verschoben.
Am besten geeignet für den Nachweis der Unzulässigkeit der Vorstellung der idealen Flüssigkeiten zur Beschreibung realer Strömungen und ihrer Auswirkungen ist jedoch das sogenannte
D'ALEMBERTsche Paradoxon.
In Abb. 11.2 ist ein ruhender, symmetrischer, schwebender Festkörper in einer idealen Flüssigkeit dargestellt, der mit der Geschwindigkeit v0 stationär an- und umströmt wird (keine Trägheitskräfte!).
Da in einer idealen Strömung keine Reibungsverluste auftreten, ergibt sich das gleiche symmetrische Druckbild33 an der Vorder- und Rückseite des Körpers: Die resultierende Druckkraft
33
Es werden lediglich die Drücke in horizontaler Richtung berücksichtigt.
Laminare und turbulente Strömung
182
auf den Körper ist gleich Null (FV – FH = 0). Also bleibt der Körper in Ruhe und wird von der
Strömung nicht beeinflusst. Dies entspricht jedoch nicht der Beobachtung in der realen Welt,
da sich bei realen Flüssigkeiten der Körper in Strömungsrichtung bewegt (FV – FH > 0). Das ist
das D'ALEMBERTsche Paradoxon.
Stationäre Anströmung
v0
ideale Flüssigkeit
Druck
v0
FV
v0
Anströmgeschw.
SCHWEBENDER
FESTKÖRPER
Druck
FH
ideale Flüssigkeit
Stromlinien
Abb. 11.2:
Das D'ALEMBERTsche Paradoxon
11.3 Laminare und turbulente Strömung - Das REYNOLDS-Experiment
REYNOLDS34 hat 1883 als Erster die laminare und turbulente Strömung sichtbar gemacht und
den Übergang zwischen diesen zwei Grundströmungsarten bestimmt. Sein berühmtes Experiment ist in Abb. 11.3 dargestellt.
34
REYNOLDS, Osborne (1842–1912): Englischer Physiker. Das Experiment ist beschrieben im Beitrag „An experimental investigation of the circumstances which determines whether the motion of water shall be direct
or sinous and of the Law of resistance in parallel channels". Phil.. Trans. Roy. Soc. Part III, p. 935, 1883.
Laminare und turbulente Strömung
183
Farbstoff
a.) laminare Strömung
Stromfaden
Farbinjektion
b.) turbulente Strömung
RWS
Farbinjektion
Wasser
Glasrohr
Farbinjektion
Q, v
Abb. 11.3:
REYNOLDS-Experiment für laminare und turbulente Strömung
Aus einem Behälter fließt über einen gut ausgerundeten Einlauf die Flüssigkeit durch eine Glasrohrleitung aus. Die Strömung wird durch Farbstoffinjektion sichtbar gemacht. Die Versuche
zeigen folgende Ergebnisse hinsichtlich der Fließarten:
(a)
Laminarströmung: Sie tritt bei kleinen Geschwindigkeiten v bzw. Durchflüssen Q ein
(Abb. 11.4). Sie wird charakterisiert durch:

geradlinige Stromfäden: Bewegung auf wohlgeordneten parallelen Bahnen in Strömungsrichtung

parabelförmige Verteilung der Geschwindigkeit über dem Rohrquerschnitt
 v = 0,5 v 
max

linearer Zusammenhang zwischen Strömungswiderstand c1 und mittlerer Strö-

mungsgeschwindigkeit v c l = k1 v

Laminare und turbulente Strömung
Farbstoff
184
v m ax
v
Glasrohr
D
Stromfaden
Abb. 11.4:
(b)
Larninarströmung
Turbulente Strömung: Sie tritt bei großen Geschwindigkeiten v bzw. Durchflüssen Q
ein. Sie wird charakterisiert durch folgende Merkmale:

keine eindeutigen Stromfäden: Bewegung auf völlig regellosen Bahnen

Geschwindigkeitsverteilung:
 v = 0,8 ÷ 0,87 v 
gleichmäßiger
als
bei
Laminarströmung
max

quadratischer Zusammenhang zwischen Strömungswiderstand ct und mittlerer Ge2
schwindigkeit v (ct = k t v )
Farbstoff
v
v max
Abb. 11.5:
Turbulente Strömung
Der Umschlag der laminaren zur turbulenten Strömung erfolgt plötzlich beim Überschreiten
einer bestimmten Strömungsgeschwindigkeit. Die Lichtweite des Rohres sowie die Viskosität
der Flüssigkeit sind ebenfalls für den Umschlag laminar-turbulent entscheidend (siehe Abschnitt 11.5: kritische REYNOLDS-Zahl).
Laminare und turbulente Strömung
185
11.4 Viskosität und Reibungsgesetz von NEWTON35
11.4.1 Definition und Fluidreibungsgesetz
Die Viskosität ist die Eigenschaft eines Fluids, beim Verformen eine Spannung aufzunehmen,
die von der Verformungsgeschwindigkeit abhängt. Sie wird auch als innere Reibung bezeichnet
– im Gegensatz zur äußeren Reibung (Wandreibung!).
Zur Erläuterung des Fluidreibungsgesetzes von NEWTON wird die reale Flüssigkeit der Dicke
dz zwischen einer festen unbeweglichen Wand und einer beweglichen Platte betrachtet
(Abb. 11.6).
Kontaktfläche A
2
RWS
Bewegliche
Platte
FR
x
x
dz
Reale Flüssigkeit
Schubspannung x
vx
vx,1= 0
z
1
Abb. 11.6:
2
vx,2
1
feste Wand
Prinzipienskizze zur Erläuterung des Reibungsgesetzes nach NEWTON
Um die Platte mit der Kontaktfläche A mit konstanter Geschwindigkeit vx,2 parallel zur Wand
zu bewegen, wird eine Kraft FR benötigt, die:
35

der Fläche A proportional ist  FR  A  ,

der Geschwindigkeitsdifferenz dvx = vx,2  vx, 1 proportional ist (FR  dvx ) ,

dem Abstand dz umgekehrt proportional ist  FR  l / dz  .
NEWTON, Isaac (1642–1727): Englischer Physiker, Mathematiker und Astronom.
Laminare und turbulente Strömung
 FR   A
186
dv x
F
und mit der Schubspannung  x  R :
dz
A
x  
dv x
dz
NEWTONsches Fluidreibungsgesetz
(11.1)
Gl. (11.1) gilt auch für zwei beliebige Stromschichten mit dem Abstand dz, die mit dem Geschwindigkeitsunterschied dvx übereinander gleiten, d.h. sie gilt auch für den Einfluss der Reibung im Inneren eines Strömungsfeldes. Dabei ist der Proportionalitätsfaktor η:
 kg 
N 
  dynamische Viskosität  Pa s bzw.  2 s  bzw.  
m 
 ms 
(frühere Maßeinheit : Zentipoise :1 cp  103 Pa s)
Am häufigsten wird jedoch die kinematische Viskosität verwendet:
  m2 
  mit: w  Fluiddichte
W  s 
(frühere Maßeinheit: Zentistokes: 1 c ST = 106 m 2 s)

Die kinematische Viskosität ist von der Temperatur T abhängig. Für Wasser gilt nach POISEUILLE36 folgende Formel, wobei ν in [m2/s] und T in [°C] eingesetzt werden:

1, 78 106
1  0, 0337 T  0, 000221 T 2
(11.2)
Bei den meisten ingenieurpraktischen Berechnungen genügt es, für normale Temperaturbereiche (um 20 °C) mit einer mittleren kinematischen Viskosität von ν = 10-6 m2/s zu rechnen.
Mit steigender Temperatur nimmt die Viskosität bei Flüssigkeiten ab und bei Gasen zu
(Tab. 11.1).
36
POISEUILLE, Jean Louis (1799–1869): Französischer Mediziner. Forschung über Blutströmung in den Adern.
Laminare und turbulente Strömung
Tab. 11.1:
187
Abhängigkeit der kinematischen Viskosität von der Temperatur
Kinematische Viskosität 
[10-6 m²/s]
Temperatur
[°C]
Wasser
Luft
0
1,79
13
10
1,31
14
20
1,00
15
30
0,80
16
100
0,29
24,5
Dies kann durch das Molekularverhalten der Fluide bei steigender Temperatur erklärt werden:

Bei Flüssigkeiten: Infolge der Ausdehnung der Flüssigkeit nimmt auch der Abstand
zwischen den Molekülen zu. Die Anziehungskräfte zwischen diesen – und somit
auch die Viskosität – nehmen entsprechend ab.

Bei Gasen: Durch Querdiffusion gelangen die Gasmoleküle in die Nachbarschichten. Dort werden sie gebremst bzw. beschleunigt. Dieser Impulsaustausch wirkt
sich als Schubspannung aus und ist somit für den Scherwiderstand der Gase verantwortlich. Mit steigender Temperatur nimmt die Querdiffusion – und somit auch
die Viskosität – zu.
11.4.2 Implikationen und Gültigkeit des NEWTONschen Reibungsansatzes
Aus dem Fluidreibungsgesetz folgen eine Reihe von Implikationen, die wie folgt formuliert
werden können:

Weder Schubspannung noch Viskosität sind vom Druck abhängig. Hier liegt der
grundsätzliche Unterschied zur Reibung zwischen Festkörpern, bei denen die Reibung von der Normalkraft abhängig und der Verformung proportional ist (Proportionalitätsfaktor ist der Schubmodul).

Jede beliebige kleine Schubspannung τx induziert eine Strömung, d.h. einen Geschwindigkeitsgradienten dvx/dz:
x 

dv x
dz
(Äquivalenz!) .
Ist dvx/dz = 0, so ist τx = 0, unabhängig davon, wie hoch die Viskosität ist, d.h. bei
ruhenden Flüssigkeiten gilt τx = 0.
Laminare und turbulente Strömung
188
Bei der Anwendung des Reibungsgesetzes von NEWTON müssen folgende Restriktionen berücksichtigt werden:

Gl. (11.1) gilt nur für laminare, jedoch nicht für turbulente Strömung. Bei turbulenter Strömung gilt:
dv
 x  (   ) x ,
(11.1)a
dz
wobei ε =

Scheinviskosität, d.h. sie ist keine Stoffkonstante wie η,
sondern vom Turbulenzgrad abhängig (i.d.R. gilt   ).
Gl. (11.1) gilt für die meisten Fluide (Flüssigkeiten und Gase). Solche Fluide werden NEWTONsche Fluide genannt und sind Gegenstand der Fluidmechanik. Fluide, deren Reibungsverhalten vom NEWTONschen Ansatz abweicht, werden als
nicht-NEWTONsche Fluide bezeichnet und sind Gegenstand der Rheologie
(Abb. 11.7).
11.5 Umschlag laminar/turbulent – REYNOLDS-Zahl
11.5.1 Umschlag laminar/turbulent
Im Abschnitt 11.3 wurde gezeigt, dass die Viskosität zur Entstehung von zwei Grundströmungsarten führt – laminare und turbulente Strömung. Weiterhin betrachten wir den Versuch
in Abb. 11.8a, bei dem der Druckabfall ∆h zwischen zwei Messpunkten 1 und 2 für verschiedene mittlere Strömungsgeschwindigkeiten v gemessen wird. Das Ergebnis ist in Abb. 11.8b
aufgetragen.
Laminare und turbulente Strömung
189
Schubspannung x
plastisches Fluid
(f = Fließgrenze )
z.B. Schmierfett
pseudoplastisches Fluid
z.B. Harze, Emulsionen
f
x  
dv x
dz
newtonsches Fluid
z.B. Wasser, Öl, Gase
dilatantes Fluid
z.B. Farben
ideales Fluid (x = 0)
Geschwindigkeitsgradient
Abb. 11.7:
dv x
dz
Reibungsverhalten NEWTONscher und nicht-NEWTONscher Fluide
Die erhaltene Kurve besteht aus zwei verschiedenen Ästen und einem Übergangsbereich:

bei kleineren Geschwindigkeiten ist ∆h proportional v (laminare Strömung),

bei größeren Geschwindigkeiten ist ∆h nahezu proportional v (turbulente Strömung),

im Übergangsbereich, der schwer zu definieren ist, ist sowohl turbulente als auch
laminare Strömung möglich.
2
Um diesen Übergangsbereich zu definieren und somit den Umschlag laminar/turbulent besser
zu charakterisieren, wird die sog. REYNOLDS-Zahl benötigt.
Laminare und turbulente Strömung
190
Rohrleitung
h
v
1
2
h ~ v
2
turbulent
Druckabfall
h
h ~ v
U-Rohr
Manometer
Übergangsbereich
laminar
v
0
Abb. 11.8:
(b) Ergebnis
(a) Versuch
Umschlag laminare/turbulente Strömung
11.5.2 Herleitung der REYNOLDS-Zahl
REYNOLDS wies 1883 nach, dass die Grenze zwischen laminarer und turbulenter Strömung
vom Verhältnis der Trägheitskräfte zu den Reibungskräften (FT/FR) abhängt. Dieses Verhältnis
(FT/FR) wird durch die REYNOLDS-Zahl beschrieben:
Re 
mit:
vL

(11.3)
v = mittlere Geschwindigkeit über dem Fließquerschnitt [m/s]
L = kennzeichnende Länge [m]
 = kinematische Viskosität [m2/s]
Beweis:
Es wird eine eindimensionale Strömung in x-Richtung mit der mittleren Geschwindigkeit vx
betrachtet.
Trägheitskräfte : FT  m b = m
dv x
dv
   w L3  x
dt
dt
dv

Reibungskräfte : FR  x A   w  x
dz

dv x


 A   w 
dz


 2
L

wobei: L = Längenmaß, L² = Flächenmaß und L³ = Volumenmaß
Laminare und turbulente Strömung
191
dv x
FT
dt  L dz

dv x  2  dt
FR 
 w 
L
dz 


mit
w
L3 
dz dz dx dz dx dz



v x ergibt sich:
dt dt dx dx dt dx
FT L
dz
 vx
FR 
dx
dz
dz L
nur ein Längenverhältnis darstellt, gilt mit
  1 bei geometrisch ähnlichen Strödx
dx L
mungen:
FT vx L

 Re
(11.3)a
FR

da
Für eine Druckrohrströmung stellen der lichte Durchmesser D die kennzeichnende Länge und
die mittlere Geschwindigkeit v die maßgebende Geschwindigkeit dar, die für die Berechnung
der REYNOLDS-Zahl anzusetzen sind:
Re 
vD

(11.3)b
Die Größenordnung von Re für Druckrohrströmungen bei Wassertemperaturen um 20 °C liegt
bei:
Re  10 4  10 8
11.5.3 Bedeutung der REYNOLDS-Zahl
Die REYNOLDS-Zahl entscheidet über:

das Fließverhalten (laminar/turbulent),

das Widerstandsverhalten.
Die REYNOLDS-Zahl ist auch von großer Bedeutung in der Ähnlichkeitsmechanik:

Die REYNOLDS-Zahl Re ermöglicht als Maßstab des Verhältnisses der Trägheitsund Reibungskräfte (FT/FR) den Vergleich zwischen einer Strömung im verkleinerten Modell und einer geometrisch ähnlichen Strömung im Naturmaßstab.
Laminare und turbulente Strömung
192
11.5.4 Kritische REYNOLDS-Zahl
11.5.4.1 Definition
Experimente mit verschiedenen Fluiden haben gezeigt, dass der Umschlag laminar/turbulent
bei der Druckrohrströmung mit:

zunehmender mittlerer Strömungsgeschwindigkeit v,

zunehmender Rohrlichtweite D und

abnehmender Viskosität 
eintritt. Da alle Größen v, D und  in der REYNOLDS-Zahl enthalten sind (siehe Gl. (11.3b)),
bestimmt die Größe der REYNOLDS-Zahl auch den Umschlag laminar/turbulent.
Die REYNOLDS-Zahl, bei der dieser Umschlag erfolgt, heißt kritische REYNOLDS-Zahl Rekrit:
v L
Rekrit  krit
(11.4)

Bei Re < Rekrit:
Stabile Laminarströmung: Wird die Strömung gestört, so klingt diese Störung mit zunehmender Entfernung ab und die Strömung wird wieder laminar.
Bei Re ≥ Rekrit:
Labile Laminarströmung: Kann bis Re  10000 aufrechterhalten werden.
Bei der geringsten Störung schlägt jedoch die Laminarströmung in turbulente Strömung um und wird nicht wieder laminar.
11.5.4.2 Entstehung der Turbulenz
Beobachtungen und Geschwindigkeitsmessungen haben gezeigt, dass an einzelnen Punkten einer festen Wandung Instabilitäten der Laminarströmung eintreten, die in Strömungsrichtung
wandern. Diese werden als Turbulenzflecken bezeichnet (Abb. 11.9). Diese Turbulenzflecken
sind besonders durch Geschwindigkeitsmessungen nahe der Wandung nachweisbar. Dazwischen liegt praktisch laminare Strömung vor (Abb. 11.9). Die Turbulenzflecken nehmen in
Strömungsrichtung an Umfang zu, sodass sich nach einer bestimmten Strecke die Turbulenz
voll ausbildet (Abb. 11.9).
Ein Maß der Turbulenzentwicklung im Übergangsbereich hat ROTTA (1972) entwickelt: Das
ist der Intermittenzfaktor γ. Dieser Faktor wird als Verhältnis der Zeiten tti, in denen turbulente
Schwankungen registriert werden, zu der Gesamtzeit tG definiert. Bei laminarer Strömung ist
daher  = 0, bei voll ausgebildeter Turbulenz  = 1,0 und im Übergangsbereich  = 0  1.
Der Umschlag laminar/turbulent stellt somit ein Stabilitätsproblem dar (siehe auch Abschnitt 11.6.2) und ist daher abhängig von:
Laminare und turbulente Strömung

der Art des Strömungsvorgangs,

der Vorturbulenz und

den örtlichen Störungen.
193
Deshalb kann die Größe der kritischen REYNOLDS-Zahl lediglich auf experimentellem Weg
bestimmt werden. Angaben über kritische REYNOLDS-Zahlen liegen bereits für folgende
Strömungsvorgänge vor:

Druckrohrströmungen,

Gerinneströmungen,

Umströmung von Körpern und

Filterströmungen.
v
v
v
laminar: v  konst.
v = konst.
Geschw.-messung
in Wandnähe
turbulent: v  v   v
tti
tt(i+1)
t
t
1
rein laminar
( = 0)
v  v  v
2 laminar-turbulent
(0 <  < 1)
t
3 voll ausgebildete
Turbulenz
( = 1)
Stromlinien
Messpunkt
Wand
Abb. 11.9:
Turbulenzflecken
voll ausgebildete
Turbulenz
Zur Entstehung der Turbulenz
Anmerkung zum Begriff PRANDTLscher "Mischungsweg":
Die Gesamtschubspannung τges setzt sich in der Regel aus einem laminaren Anteil τl (nach
Gl ((11.1) zu bestimmen) und aus einem turbulenten Anteil τt zusammen:
ges  l  t
NEWTON
(11.5)
REYNOLDS
Laminare und turbulente Strömung
194
Für den turbulenten Anteil τt gilt nach REYNOLDS:
(11.6)
 t   w v x v z
v x v z  v x vz :
Mittlere Absolutwerte der Geschwindigkeitsschwankungen in Strö-
mungsrichtung x und Querrichtung z. Da Gl. (11.5) unpraktisch ist, hat PRANDTL in Anlehnung an die molekulare Bewegung von Gasen das Konzept des "Mischungsweges" eingeführt.
Demnach werden die Turbulenzflecken (Abb. 11.9) von einem Ort bestimmter Geschwindigkeitsschwankungen zu einem neuen Ort mit anderen Geschwindigkeitsschwankungen im Abstand Lm transportiert, wobei PRANDTL folgende Annahme trifft:
v x   v z  L m
dv x
dz
(11.7)
Der PRANDTLsche "Mischungsweg" Lm stellt somit den Proportionalitätsfaktor zwischen den
mittleren Geschwindigkeitsschwankungen und dem Geschwindigkeitsgradienten dvx/dy dar.
Die Bestimmung der Unbekannten Lm in Gl. (11.7) gelang erst VON KARMAN:
Lm   z
(11.8)
Mit κ = 0,4 : KARMAN-Konstante (Neuere Untersuchungen zeigen, dass κ keine Konstante
ist und von verschiedenen Faktoren wie z.B. Sedimentkonzentration etc. abhängt.)
Aus Gl. (11.8), Gl. (11.7) und Gl. (11.6) folgt:
2
 dv 
t  w  2 z 2  x  .
 dz 
(11.9)
11.5.4.3 Kritische REYNOLDS-Zahlen bei Druckrohrströmungen
Für gerade Rohrstrecken ohne Störungen gilt:
Re krit 
v krit D
 2.320 .

(11.10)
Jede Strömung bzw. jedes Hindernis in der Rohrleitung bewirkt ein früheres Eintreten des Umschlags, d.h. Rekrit wird geringer. Zum Beispiel ist bei einem Rohrkrümmer
Rekrit  500  1000 und bei einem Hahn bzw. Drehschieber Re krit  500  800.
11.5.4.4 Kritische REYNOLDS-Zahl bei Gerinneströmungen
Die kennzeichnende Geschwindigkeit ist die mittlere Geschwindigkeit über dem Fließquerschnitt A. Als kennzeichnende Länge L wird der hydraulische Radius R angenommen:
R
A
U
Laminare und turbulente Strömung
mit:
195
A = Fließfläche
U = benetzter Umfang
 Rekrit 
vkrit R

Für ein Kreisrohr mit dem lichten Durchmesser D ist A 
R
A D

U 4

(11.11)
 D2
und U   D :
4
D = 4R
eingesetzt in Gleichung (11.10):
Re krit 
v krit (4 R)
 2.320

(11.12)
Der Vergleich von Gl. (11.12) und Gl. (11.11) führt zu:
Rekrit 
2.320
 580
4
(11.13)
für Gerinneströmungen.
11.5.4.5 Kritische REYNOLDS-Zahl bei Umströmung von Körpern
Die mittlere Umströmungsgeschwindigkeit und die Tiefe tK des umströmten Körpers in Strömungsrichtung stellen die kennzeichnenden Größen der REYNOLDS-Zahl dar.
Re krit 
v krit t K
 3  105  5  105

(11.14)
Bei störungsfreier Umströmung sind Rekrit-Werte bis 3∙106 möglich. Bei Umströmungen von
Körpern sind die Grenzen des Umschlags nicht eindeutig. In der Regel tritt der Umschlag an
der Stelle des Druckminimums ein.
11.5.4.6 Kritische REYNOLDS-Zahl für Filterströmungen
Die kennzeichnende Geschwindigkeit ist die Filtergeschwindigkeit (vgl. Abschnitt 13):
vf =
Q Durchfluss
=
A f Filterfläche
Die kennzeichnende Länge ist der mittlere Korndurchmesser dK
Rekrit 
vfkrit d K

 5
(11.15)
Laminare und turbulente Strömung
196
11.6 Grenzschicht-Konzept nach PRANDTL37
In Abschnitt 11.2 wurde gezeigt, dass bei idealen Flüssigkeiten:


keine Wandhaftung wie bei realen Flüssigkeiten (Gleitbedingung) und
kein Strömungswiderstand
eintritt.
Dieses Ergebnis steht im Widerspruch zu den Beobachtungen (D'ALEMBERTsches Paradoxon). Die restlose Lösung dieses Widerspruchs erfolgte erst 1904 durch die Einführung des
Grenzschicht-Konzeptes von PRANDTL. Das Grenzschicht-Konzept stellt somit eine Art Brücke zwischen der Theorie der idealen Flüssigkeiten und der Welt der realen Flüssigkeiten dar.
11.6.1.1 Grenzschicht- und Außenströmungsbereich
Das Besondere am Grenzschicht-Konzept besteht darin, dass durch den Reibungseinfluss (Viskosität) zwei Strömungsbereiche entstehen (Abb. 11.10):
37

Grenzschichtströmung,

Außenströmung.
PRANDTL, Ludwig (1875–1953): Deutscher Ingenieur. Das revolutionäre Grenzschicht-Konzept trug
PRANDTL 1904 auf dem 3. Mathematiker Kongress in Heidelberg vor ("Über Flüssigkeitsbewegungen bei
sehr kleiner Reibung", Verhandlungen des III. Intern. Mathematiker Kongresses Heidelberg, 1904 (S. 484–
491)).
Laminare und turbulente Strömung
197
v0
v0
Stromlinien
Außenströmung (ideal)
z

v(z)
dz
Grenzschichtströmung (real)
dvx
x
v=0
Abb. 11.10:
Grenzschicht- und Außenströmungsbereich
Im Grenzschichtbereich, d.h. in unmittelbarer Wandnähe, wird die Strömung durch folgende
Merkmale charakterisiert:

Haftung der Wasserteilchen an der Wandung (vx = 0),

rasches Ansteigen der Geschwindigkeit von vx = 0 an der Wandung auf vx = v0
(v0 = Anströmgeschwindigkeit) im Außenströmungsbereich. Diese hohen Geschwindigkeitsgradienten dvx /dz führen entsprechend zu hohen Schubspannungen
x,

große Verschiebungen der Stromlinien nach außen.

Es gelten die Gesetze der viskosen Strömungen (NAVIER38, STOKES39, REYNOLDS).
Im Außenströmungsbereich weist die Strömung annähernd die Merkmale einer idealen Strömung auf:

konstante Geschwindigkeitsverteilung (vx = v0 = konst.),

nur sehr leichte Verschiebung der Stromlinien nach außen, d.h. bei den üblichen
NEWTONschen Fluiden wie Wasser und Luft ist die Auswirkung der Viskosität
fast ausschließlich auf den Grenzschichtbereich begrenzt.

Es gelten die Gesetze der Potentialströmung.
38
NAVIER, Claude-Louis-Marie-Henri (1785–1836): Französischer Ingenieur.
39
STOKES, George Gabriel (1819–1903): Irischer Mathematiker.
Laminare und turbulente Strömung
198
11.6.2 Grenzschichtentwicklung
Die Entwicklung der Grenzschicht im Zusammenhang mit der Turbulenzentstehung wird beispielhaft an einer längsangeströmten ebenen Platte demonstriert (Abb. 11.1).
v0
v0
 v0
v0
v0
T
 v0
L
Platte
x=0
T
L
UL
xkrit
x
viskose (laminare)
Unterschicht
Grenzschicht
laminar L
Grenzschicht
turbulent T
Übergangsbereich
Abb. 11.11:
Grenzschichtentwicklung an einer längsangeströmten ebenen Platte
Für die Verhältnisse in Abb. 11.11 kann Folgendes festgestellt werden:
(i)
Gleich bei x = 0 beginnt die Ausbildung einer laminaren Grenzschicht. Dabei wächst

die Grenzgeschwindigkeit von vx = 0 an der Wandung (Haftbedingung) auf nahezu
den Wert der Anströmgeschwindigkeit v0 an,

die Grenzschichtdicke L in Strömungsrichtung x an:
1
  x 2
L  5 

 v0 
(ii)
Bei einer kritischen REYNOLDS-Zahl von:
Re krit 
v0 x krit
 3 106

tritt an der Stelle xkrit ein Übergangsbereich ein:
Laminare und turbulente Strömung
xkrit
199
3 106 

v0
(iii) Nach dem Übergangsbereich tritt:

eine turbulente Oberschicht ein, deren Dicke T in Strömungsrichtung x schneller
als im laminaren Bereich anwächst:
 x
T  0,37 

 v0 

0,8
eine viskose bzw. laminare Unterschicht ein, deren Dicke UL nahezu konstant
bleibt und in der ähnliche Strömungsverhältnisse wie in der vorderen laminaren
Grenzschicht vorherrschen (d. h. überwiegend viskose Strömung!). Die Dicke der
viskosen Unterschicht ist eine Funktion der Viskosität ν und der Schubspannungsgeschwindigkeit40 v*   / w ( = Schubspannung):
UL  5

v*
Anmerkung zum Geschwindigkeitsprofil bei turbulenter Strömung
t
folgt aus Gl. (11.9):
w
Mit der Schubspannungsgeschwindigkeit v* 
v*   z
dv x
.
dz
(11.16)
Da  = konst. und v* über einen vorgegebenen Turbulenzbereich auch konstant bleibt, folgt
aus der Integration von Gl. (11.16):
1
v*
1 dz
 dvx    z
(11.17)
vx 1
 ln z  C0 .
v* 
(11.17)a
vx
z
Die Integrationskonstante C0 folgt aus der Randbedingung vx = 0 bei z = z0:
C0  
40
Näheres über v siehe Abschnitt 14.2.2.
1
ln z 0 ,

(11.18)
Laminare und turbulente Strömung
200
Gl. (11.18) in Gl. (11.17a) eingesetzt, führt zu:
vx 1 z
 ln
v*  z 0
(11.19)
bzw. mit  = 0,4 und log = 2,3 ln zu:
vx
z
 5, 75 log
.
v*
z0
(11.20)
Das ist das sogenannte logarithmische Geschwindigkeitsprofil. Zur Bestimmung der Höhenlage z0 bei vx = 0 müssen die unterschiedlichen Turbulenzbereiche berücksichtigt werden (siehe
Abschnitt 14.3.2).
Eine ähnliche Entwicklung der Grenzschicht und der Turbulenz wie bei der Plattenströmung in
Abb. 11.11 tritt auch bei einer Rohrströmung ein (Abb. 11.12). Wichtig für die Unterscheidung
der verschiedenen turbulenten Strömungsbereiche ist die Dicke der laminaren Unterschicht UL
im Vergleich zur Wandrauheit (vgl. Abschnitt 14.3.2).
laminare Unterschicht
laminare
Grenzschicht
Endzustand der
Geschw.-verteilung
turbulente Grenzschicht
v
Q
D
Kernströmung
UL
Anlaufstrecke
( 50D)
Abb. 11.12:
voll
ausgebildete
turbulente
Strömung
Grenzschichtentwicklung bei einer Rohrströmung
Zusätzlich ist aus Abb. 11.12 Folgendes ersichtlich:
(i)
Die turbulente Grenzschicht breitet sich von allen Seiten über den gesamten Rohrquerschnitt aus. Nach einer Anlaufstrecke von ca. x  50 D (D = Rohrdurchmesser) ist diese
Ausbreitung der Grenzschicht abgeschlossen, d.h. der Endzustand der Geschwindigkeitsverteilung über dem Rohrquerschnitt ist erreicht.
(ii)
Unmittelbar an der Rohrwandung bleibt eine dünne laminare Unterschicht vorhanden,
die den Strömungswiderstand entscheidend beeinflussen kann.
Laminare und turbulente Strömung
201
11.7 Zusammenfassung
1.
Reale Fluide unterscheiden sich von idealen Fluiden durch die Viskosität, eine Stoffeigenschaft, die die innere Fluidreibung charakterisiert.
2.
Zwischen dynamischer Viskosität  [kg/(ms)], kinematischer Viskosität  [m2/s] und
Dichte W [kg/m3] eines Fluides besteht der Zusammenhang:


w
3.
Die Viskosität steht mit der Aktivität der Gasmoleküle bzw. mit der Kohäsion der Flüssigkeitsmoleküle in Zusammenhang. Deshalb nimmt mit steigender Temperatur die Viskosität von Gasen zu, während die Viskosität von Flüssigkeiten abnimmt.
4.
Viskosität bewirkt (i) eine Haftung des Fluides an der Wandung (v = 0), (ii) einen Strömungswiderstand und (iii) die Entstehung von zwei Grundströmungsarten: laminare und
turbulente Strömung.
5.
Das Fluidreibungsgesetz von NEWTON:
x  
dv x
dz
bringt die Äquivalenz zwischen Schubspannung x und Geschwindigkeitsgefälle dvx/dz
(Strömung) zum Ausdruck, d.h. Schubspannungen treten nur bei relativen Bewegungen
der Wasserteilchen auf und sind der Verformungsgeschwindigkeit proportional. Folglich
ist bei ruhenden Fluiden x = 0.
6.
Das NEWTONsche Fluidreibungsgesetz ist nur für laminare Strömungen gültig. Bei turbulenter Strömung ist eine scheinbare Viskosität  anzusetzen, die keine Stoffgröße wie
die dynamische Viskosität  ist, sondern eine Impulsaustauschgröße, die von der Turbulenz abhängt.
7.
NEWTONsche Fluide sind Fluide, die durch den Schubspannungsansatz von NEWTON
beschrieben werden.
8.
Die REYNOLDS-Zahl
vL

beschreibt das Verhältnis der Trägheitskräfte zu den Reibungskräften.
Re 
9.
Die REYNOLDS-Zahl stellt ein Maß für die Auswirkung der Viskosität auf die Strömung
dar. Sie beschreibt somit die Fließform und den Umschlag laminar/turbulent (kritische
Laminare und turbulente Strömung
202
REYNOLDS-Zahl). Sie ist auch eine der wichtigsten Verhältnisgrößen der Ähnlichkeitsmechanik, da sie die maßstabsgetreue Nachbildung von Strömungen unter viskosem Einfluss (z.B. Druckrohrströmungen) ermöglicht.
10.
Das Grenzschicht-Konzept von PRANDTL bildet die Hauptgrundlage für die Behandlung reibungsbehafteter (realer) Strömungen. Demnach wird das Strömungsfeld in zwei
Bereiche aufgeteilt:

Außenströmungsbereich: hier wird die Strömung als reibungsfrei (ideal) betrachtet und als Potentialströmung behandelt.

Grenzschichtbereich: hier wird die Strömung als reibungsbehaftet (real) betrachtet und mit den Bewegungsgleichungen für die laminaren und turbulenten Strömungen (REYNOLDS, NAVIER-STOKES) behandelt.
Laminare und turbulente Strömung
203
11.8 Aufgaben
Aufgabe 11.1:
"Fahne im Wind"
Warum flattert eine Fahne im Wind, auch wenn diese eine konstante Geschwindigkeit hat?
Erläutern Sie das Phänomen!
Aufgabe 11.2:
"Grenzschichtkonzept"
Wetterstationen messen neben Temperatur und Niederschlag meistens auch die Windgeschwindigkeit in einer Höhe von 10 m. Geben Sie unter Berücksichtigung des Grenzschichtkonzeptes
nach PRANDTL den Grund dafür an, warum die Windgeschwindigkeit nicht in geringerer
Höhe gemessen wird.
Aufgabe 11.3:
"REYNOLDS-Zahl"
Für zwei Rohrleitungen mit den Durchmessern Di und den Geschwindigkeiten vi soll für verschiedene Temperaturen Ti festgestellt werden, ob laminare oder turbulente Strömung herrscht.
Wie kann dies festgestellt werden?
Gegeben:
Wasser:
T1 = 10 °C
T2 = 30 °C
1)
Transportleitung:
D1 = 0,4 m
v1 = 1,5 m/s
2)
Laborleitung:
D2 = 0,004 m
v2 = 0,5 m/s
Lösung:
Der Strömungszustand kann mit Hilfe der REYNOLDS-Zahl bestimmt werden:
Re 
vD

mit Re krit = 2.320 für Druckrohrströmungen
Die kinematische Viskosität von Wasser beträgt:
ν (10 °C) = 1,31·10-6 m2/s
ν (30 °C) = 0,80·10-6 m2/s
Laminare und turbulente Strömung
v1 D1
1,5  0, 4

 458.015
 (10 C) 1,31  10 6
v2 D2
0,5  0,004

 1.527
Re 2 
 (10 C) 1,31  106
v1 D1
1,5  0, 4

 750.000
Re3 
 (30 C) 0,8  106
v2 D2
0,5  0,004

 2.500
Re 4 
 (30 C)
0,8  10 6
Re1 
Aufgabe 11.4:
204
 turbulent
 laminar
 turbulent
 turbulent
"Blutkreislauf"
Wie groß sind die REYNOLDS-Zahlen im Blutkreislauf des menschlichen Körpers?
a)
In einer Kapillare (d = 8 m; vm = 5 mm/s )
b)
In der Aorta
(d = 20 mm; vrn = 0,3 m/s)
Gegeben:
Dynamische Viskosität von Blut:
(bei normaler Körpertemperatur)
 = 4·10-3 kg/m
Dichte von Blut:
Blut = 1000 kg/m3
Lösung:
Ermittlung der kinematischen Viskosität:


4  103
m2

 4  106
Blut 1.000
s
Ermittlung der REYNOLDS-Zahl in einer Kapillare:
ReK 
v D 0,005  8  106

 0,01

4  106
Ermittlung der REYNOLDS-Zahl in einer Aorta:
Re A 
v D 0,3  0,02

 1.500

4  106
 laminare Strömungen!
Laminare und turbulente Strömung
Aufgabe 11.5:
205
"Logarithmisches Fließgesetz"
Berechnen Sie die Schubspannungsgeschwindigkeit sowie die dazugehörige Schubspannung
für eine gemessene Geschwindigkeit von v = 1,0 m/s in z = 1,0 m Höhe über der Sohle bei einer
Sandkornrauheit ks = 0,3 mm.
Gegeben:
vx = v = 1,0 m/s
z = 1,0 m
ks
0, 0003

 0, 00001 m
30
30
(Annahme: hydraulisch rauer Bereich)
z0 
w = 1.000 kg/m3
Lösung:

 z 
vx
 5, 75 log  
v*
 z0 

vx
 1,0 
 5,75 log 

v*
 0,00001 
 v*  0,0348 m/s
v* 

w
   v*2 w
   1,21 N / m2
Überprüfung der Annahme:
UL  5

1  106
 5
 0,000144 m = 0,144 mm < kS  0,3 mm
v*
0,0348
 Annahme war zutreffend.
Laminare Strömung im Kreisrohr
206
12 Laminare Strömung im Kreisrohr
12.1 Allgemeines und Annahmen
Beim Durchströmen von geraden Kreisrohren mit REYNOLDS-Zahlen kleiner als 2.320 stellt
sich im Rohr laminare Strömung ein. Diese ist technisch weniger bedeutsam als turbulente
Rohrströmung, mit Ausnahme:

der Strömung sehr zäher Flüssigkeiten, wie z.B. Öle oder

der Strömung in sehr kleinen Rohrlichtweiten, wie z.B. in den Porenkanälen eines
Bodens.
Im Gegensatz zur turbulenten Rohrströmung lassen sich die Rohrströmung, die Geschwindigkeitsverteilung über dem Rohrquerschnitt und die Druckverluste infolge Reibung längs der
Rohrachse theoretisch berechnen.
Der Ausgangspunkt für die theoretische Lösung bildet das NEWTONsche Reibungsgesetz (vgl.
Abschnitt 11). Dabei werden folgende Annahmen zugrunde gelegt:

stationäre Rohrströmung: sie besteht aus konzentrischen Schichten (Laminae), die
die Form von Hohlzylindern mit der Stärke dr und dem Innenradius r haben
(Abb. 12.1),

die Laminarströmung ist voll ausgebildet und der Stromquerschnitt ist voll ausgefüllt,

gerades Rohr mit konstantem Lichtdurchmesser, d.h. ohne Störungen und ohne
Richtungsänderungen.
12.2 Schubspannungsverteilung
Mit dz = dr ergibt sich der NEWTONsche Reibungsansatz zu:

dv x
.
dr
(12.1)
Laminare Strömung im Kreisrohr
207
1
dr
dA  (2  r dr)
Strömungsschicht
(laminar)
r

r


dr
2
R
r R
x
Strömungsschicht (laminar)
Q, v  konst.
D
dA x  2 r dx


dx
2
1
Abb. 12.1:
Schubspannung bei laminarer Rohrströmung
Jede hohlzylindrische Strömungsschicht wird von der langsamer gleitenden Nachbarschicht gebremst. Die Bremskraft (bzw. Reibungskraft) auf die Strömungsschicht mit dem Radius r, der
Dicke dr und der Länge dx ist:
dFR  d   2  r  dx
mit:
(12.2)
dAx = 2 r dx
Die treibende Kraft auf die Strömungsschicht entsteht aus dem Druckunterschied dp zwischen
Schnitt 1-1 und Schnitt 2-2, der auf die Radialfläche dAr = (2r dr) wirkt:
dFP  dp(2 r dr)
(12.3)
Da die Gewichtskräfte in Strömungsrichtung gleich Null sind (horizontales Rohr) und da die
Trägheitskräfte ebenfalls gleich Null sind (stationäre Strömung und konstanter Rohrquerschnitt), ist:
dFR  dFP  0
d(  2  r) dx + dp (2  r dr) = 0
d(  r) dx + dp r dr = 0
d( r) = - dp/dx r dr
: 2
: dx
Laminare Strömung im Kreisrohr
208
Die Integration über den Rohrquerschnitt ergibt:
r
r
0
0
dp
  dr   dx r dr
Die Strömung ist stationär und der Rohrquerschnitt bleibt über die Strecke dx konstant. Somit
ist dp/dx = konst.:
r
dp  1 2 
 r C
dx  2 
Da in Rohrmitte (r = 0)  = 0 (aus Symmetriegründen) ist, wird die Integrationskonstante C = 0.
Damit ist:
r

dp r 2
dx 2
:r
dp r
.
dx 2
(12.4)
Das Minuszeichen weist darauf hin, dass die Schubspannung  dem Druckgradienten dp/dx
(d.h. der Bewegung) entgegen gerichtet ist.
Die Schubspannungsverteilung nach Gl. (12.4) ist ein Hohlkegel (Abb. 12.2).
Die maximale Schubspannung tritt an der Wandung, d.h. bei r = R, ein:
 max  
max  
dp R
dx 2
(12.5)
dp R
dx 2
r
R
=0
x
R
Hohlkegel
Abb. 12.2:
Schubspannungsverteilung bei laminarer Rohrströmung
Laminare Strömung im Kreisrohr
209
12.3 Geschwindigkeitsverteilung
Aus Gl. (12.1) und Gl. (12.4) folgt mit vx = vx(r):

dv x (r)
dp r

dr
dx 2
Daraus folgt die Geschwindigkeitsverteilung vx(r) über dem Rohrquerschnitt:
r
1 dp r
v x (r)  
dr
 dx 0 2
1 dp r 2
v x (r)  
 C1
 dx 4
(12.6)
Aufgrund der Haftbedingung an der Rohrwand vx (r = R) = 0 ist die Integrationskonstante Cl:
C1 
1 dp R 2
.
 dx 4
(12.7)
Gl. (12.7) in Gl. (12.6) eingesetzt, führt zu:
1 dp (R 2  r 2 )
v x (r) 
.
 dx
4
(12.8)
Das heißt, die Geschwindigkeitsverteilung über dem Rohrquerschnitt entspricht einem Rotationsparaboloid (Abb. 12.4) mit vx = 0 an der Rohrwand (r = R) und mit der maximalen Geschwindigkeit in der Rohrachse (r = 0):
vx,max 
1 dp R 2
 dx 4
(12.9)
Für die Herleitung der mittleren Strömungsgeschwindigkeit vm (= Q/AR) wird zunächst der Gesamtdurchfluss Q über den Rohrquerschnitt AR bestimmt:
Der Teildurchfluss dQ in einer hohlzylindrischen Strömungsschicht ist:
Laminare Strömung im Kreisrohr
210
dr
dA  (2 r dr)
r
R
Strömungsschicht (laminar)
Abb. 12.3:
Definitionsskizze
dQ  v x (r) dA T
(12.10)
Mit der Radialfläche dAr = 2  r dr folgt:
dQ  v x (r) 2 π r dr
Der Gesamtdurchfluss Q berechnet sich aus der Integration von Gl. (12.10) über den Radius r,
wobei vx(r) nach Gl. (12.8) eingesetzt wird:
dQ 
1 dp (R 2  r 2 )
2  r dr
4
 dx
dQ 
1 dp  2
(R r  r 3 ) dr
 dx 2
Die Integration über r führt zu:
 1 dp   r  R 2
3
Q
  (R r  r ) dr
  dx 2  0
R
 1 dp    R 2 r 2 r 4 
 
Q

4 0
  dx 2   2
 1 dp    R 4 R 4 
Q



4 
  dx 2  2
Laminare Strömung im Kreisrohr
211
Schließlich folgt das Gesetz von HAGEN41/POISEUILLE42:
Q
 dp R 4
.
 dx 8
(12.11)
Der Durchfluss Q ist nach Gl. (12.11) direkt proportional dem Druckliniengefälle dp/dx und
der vierten Potenz des Rohrradius R, jedoch umgekehrt proportional zur dynamischen Viskosität . Die mittlere Geschwindigkeit ist:
 dp R 4
Q  dx 8

vm 
R 2
AR
vm 
1 dp R 2
 dx 8
(12.12)
Der Vergleich von Gl. (12.9) und Gl. (12.12) führt zu:
vm 
v x,max
2
(12.13)
Bei laminarer Strömung beträgt die mittlere Geschwindigkeit die Hälfte der maximalen Geschwindigkeit.
Zusammenfassend lässt sich das Ergebnis für die Geschwindigkeitsverteilung bei laminarer
Rohrströmung in Abb. 12.4 darstellen. Die Entfernung rm von der Rohrachse, in der die mittlere
vx,max
vorliegt, folgt, wenn vx,max nach Gl. (12.9) in Gl. (12.8) eingesetzt
Geschwindigkeit vm 
2
wird:
rm 
R
 0, 707 R
2
Laminare Rohrströmungen dieser Art können nicht als Potentialströmung behandelt werden.
41
HAGEN, Gothilf (1797–1884): Deutscher Wasserbaumeister, Mitglied der Akademie der Wissenschaften
42
POISEUILLE, Jean Louis-Marle (1799–1869): Französischer Mediziner. Forschung über Blutströmung in den
Adern. Beide haben das Gesetz der laminaren Strömung unabhängig voneinander entwickelt.
Laminare Strömung im Kreisrohr
212
vx  0
v x (r)
R
Vx ,max
1 dp R

 dx 4
R
Abb. 12.4:
x
rm 
Vm 
r
2
2
2
R
Vx ,max
2
Geschwindigkeitsverteilung bei laminarer Rohrströmung
Anmerkung: Für das allgemeine Widerstandsgesetz für laminare und turbulente Strömung
siehe Abschnitt 14.
Laminare Strömung im Kreisrohr
213
12.4 Zusammenfassung
1.
Die radiale Schubspannungsverteilung (r) im Kreisrohr entspricht einem Hohlkegel:
(r)  
2.
dp r
.
dx 2
Die radiale Geschwindigkeitsverteilung vx(r) im Kreisrohr mit dem Lichtradius R entspricht einem quadratischen Rotationsparaboloid:
v x (r) 
1 dp  R 2  r 2 


 dx  4 
mit der Scheitelgeschwindigkeit vx,max in der Rohrachse (r = 0):
v x ,max 
3.
Die mittlere Geschwindigkeit vm ist halb so groß wie die Scheitelgeschwindigkeit vx,max:
vm 
4.
1 dp R 2
.
 dx 4
vx,max
2
.
Die dargelegten Gesetzmäßigkeiten (nach POISEUILLE und HAGEN) besagen, dass:

zwischen Strömungsgeschwindigkeit und Druckgefälle ein linearer Zusammenhang besteht,

die Geschwindigkeit (bzw. der Durchfluss) der Viskosität umgekehrt proportional
ist. Sie ist jedoch von der Wandrauheit unabhängig.
Die Gesetzmäßigkeiten gelten auch entsprechend für nichtkreisförmige Rohrquerschnitte.
5.
Laminare Rohrströmungen, wie sie hier beschrieben wurden, können nicht als Potentialströmungen behandelt werden.
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
214
13 Laminare Strömung im Boden (DARCY43)
Die Strömung des Wassers im Boden hat sich zu einem eigenen umfangreichen Wissenszweig
der Hydromechanik entwickelt. Deshalb gelten die folgenden Ausführungen lediglich als kurze
Einführung in dieses Gebiet. Es soll gezeigt werden, wie aus der laminaren Rohrströmung die
Gesetze und Zusammenhänge der Filterströmung abgeleitet werden können. Als Filterströmung
wird die Durchströmung von durchlässigem Material mit engen Porenkanälen, wie z.B. Sand,
bezeichnet. In diesen engen Durchflussquerschnitten herrscht, mit Ausnahme von groben Kiesen und Schottern, Laminarströmung vor.
13.1 Herleitung des DARCYschen Filtergesetzes
Ausgangspunkt ist Gl. (12.11) für den Durchfluss im Kreisrohr, wobei  = w , c = 1/(8) und
A =  R2 angesetzt werden:
Q
1 dp
c A2 .
 w  dx
(13.1)
Gl. (13.1) gilt auch für jeden beliebigen nichtkreisförmigen Durchflussquerschnitt A, wobei
sich die Konstante c entsprechend aus der Integration über den Fließquerschnitt ergibt.
Für den in Abb. 13.1 dargestellten DARCY-Versuch, bei dem eine Sandprobe mit:

dem Gesamtquerschnitt A =  D2/4,

der Länge L,

dem Druckhöhenunterschied h
durchströmt wird, liegt ein konstantes Druckliniengefälle (stationäre Strömung) vor, das gleichzeitig das Energieliniengefälle darstellt:
I
h dh

 konst.
L dL
Wird der Druck dp durch den Druckhöhenunterschied dh ausgedrückt und dx = dL in Gl. (13.1)
eingesetzt:
dp  w g d h,
43
DARCY, Henry (1803–1858); Französischer Ingenieur. Sein Hauptwerk ist in seinem berühmten Buch: "Les
fontaines publiques da la ville da Dijon" (Paris, 1856) dargestellt.
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
215
so folgt:
Q
dh g
c A2 .
dL 
(13.2)
Porenkanalquerschnitt Ai
h
Gesamtquerschnitt
Ages =  D2/4
D
Q  konst.
Bodenprobe
v, Q
Sand
L
Abb. 13.1:
Der DARCY-Versuch zur Herleitung des Filtergesetzes
Wird Gl. (13.2) für jeden Porenkanal Ai, in dem ein Teildurchfluss dQi vorliegt, angesetzt, so
folgt:
dh g
dQi 
ci A i2 .
dL 
Der Gesamtdurchfluss Q durch alle n-Porenkanäle folgt aus der Summe aller Teildurchflüsse
dQj zu:
dh g n
Q
ci A i2

dL  i 1
Da die Fließquerschnitte Ai der einzelnen Porenkanäle schwer zu bestimmen sind, wird eine
fiktive Strömungsgeschwindigkeit vf eingeführt, die nicht auf den Fließquerschnitt der Porenkanäle, sondern auf den gesamten Querschnitt A der Bodenprobe bezogen wird. Sie wird als
DARCYsche Filter- bzw. Sickergeschwindigkeit bezeichnet:
dh g n
ci Ai2
Q dL  
i 1
vf  
A
A
n
g
vf  

c A
i 1
i
A
2
i
dh
dL
(13.3)
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
216
mit:
n
c A
i
i 1
2
i
A
 Bodenkonstante
dh
 hydr.Gradient
dL
Hier wird:
n
kf 
n
ci Ai2
g
k f  i 1
 A
cA
g

i 1
i
2
i
A
(13.4)
als Durchlässigkeitsbeiwert kf mit der Dimension einer Geschwindigkeit [m/s] bezeichnet. Da
kf umgekehrt proportional zur kinematischen Viskosität  des Fluides ist, hängt der kf-Wert
nicht nur von der Beschaffenheit des Bodenmaterials ab, sondern auch von der Fluidtemperatur
im Boden.
Damit ergibt sich aus Gl. (13.3) und Gl. (13.4) mit I = dh/dL das DARCYsche Filtergesetz zu:
vf  k f I
(13.5)
Die Filtergeschwindigkeit ist dem Druckgefälle direkt proportional. Der Proportionalitätsfaktor
wird als Durchlässigkeitsbeiwert bezeichnet und gibt die Filtergeschwindigkeit für das Gefälle
I = 1 an.
Einige Richtwerte für den Durchlässigkeitsbeiwert kf sind in Tab. 13.1 angegeben:
Tab. 13.1:
Durchlässigkeitsbeiwert für die DARCYsche Filterströmung
Bodenart
Durchlässigkeitsbeiwert
kf [m/s]
Ton (fett bis schluffig)
10-10  10-8
Lehm, sandiger Ton
10-7  10-6
Sandiger Schluff
10-6  10-4
Sehr feiner Sand
10-4  2·10-4
Fein- bis Mittelsand
10-3  3·10-3
Grobsand
5·10-3  10-2
Kies
>10-2 m/s
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
217
Für Sande und Kiese kann auch folgende Näherungsformel zur Abschätzung des Durchlässigkeitsbeiwertes verwendet werden:
2
100  d10
kf 
cm / s
U
mit:
U = d60/d10 = Ungleichförmigkeitszahl
d10, d60 = Korndurchmesser mit 10 % und mit 60 % Siebdurchgang (cm)
Eine genauere Bestimmung von kf erfolgt i.d.R. durch Feldversuche (z.B. Pumpversuche) und
Laborversuche an Bodenproben. Zu beachten ist, dass der kf-Wert von zahlreichen Einflussfaktoren wie z.B. Korngröße, Kornform, Lagerungsdichte bzw. Porengehalt bestimmt wird. Bei
natürlich gelagerten Böden können außerdem die kf-Werte in horizontaler Richtung 210-mal
größer als in vertikaler Richtung sein. Deshalb wird im Allgemeinen kf experimentell bestimmt
(Durchlässigkeitsversuche an Bodenproben im Labor, Pumpversuch in der Natur).
Anwendungsbeispiel: Sickerverluste durch einen Damm
Zwei Becken werden durch einen Damm aus Feinsand (kf = 10-4 m/s) von 1.000 m Länge getrennt. Die Sohle ist undurchlässig. Der Wasserstand im ersten Becken beträgt 3,0 m und im
zweiten Becken 2,0 m. Als mittlere Höhe des Durchflussquerschnittes kann 2,5 m und als mittlerer Sickerweg L = 20 m zwischen den halben benetzten Böschungshöhen angesetzt werden
(Abb. 13.2). Es sollen die Sickerverluste des höher eingestauten Beckens überschläglich berechnet werden.
linearer Verlauf der
Sickerlinie (vereinfacht!)
h  1m
3m
vf
2,5m
vf
 L = 20m
Abb. 13.2:
Sickerverluste durch einen Damm
Hydraulischer Gradient
:
I
h 1

 0,05
 L 20
2m
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
218
Filtergeschwindigkeit
:
v f = k f I = 10 -4  0,05 = 5  10 -6 m/s
Durchflussquerschnitt über
1.000 m Dammlänge
:
A = 2,5∙1.000 = 2.500 m2
Sickerverlust
:
Q = vf A = 5∙10-6∙2.500 = 0,0125 m3/s
Bestünde der Damm aus Grobsand (kf = 10-2 m/s), so würde der Sickerverlust das Hundertfache
betragen (Q = 1,25 m3/s).
Da kf umgekehrt proportional der kinematischen Viskosität  ist (vgl. Gl. (13.4)) und da diese
mit steigender Temperatur zunimmt (vgl. Tab. 11.1), würde eine Temperaturänderung von 0 °C
(v1 = 1,78∙10-6 m2/s) auf 20 °C (v2 = 1,0∙10-6 m2/s) eine Zunahme der Sickerverluste von Q1 auf
Q2 um:
Q2 v1 1,78 106
 
 1,78
Q1 v2 1,0 106
bewirken. D.h. es tritt ein Anstieg der Sickerverluste um +78 % auf.
Es muss daher bei der Bestimmung des Durchlässigkeitsbeiwertes kf die Temperatur berücksichtigt werden. Daher sind im Sommer entsprechend größere Sickerverluste als im Winter zu
erwarten.
13.2 Wichtige Anmerkungen
(a)
Filtergeschwindigkeit vf und mittlere Porengeschwindigkeit vm
Wie bereits erwähnt, stellt die Filtergeschwindigkeit vf eine ideelle Strömungsgeschwindigkeit dar, die auf den gesamten Bodenquerschnitt A bezogen ist:
vf 
Q
A
 Q  vf A
(13.6)
Sie unterscheidet sich von der tatsächlich auftretenden mittleren Geschwindigkeit, die auf
den Fließquerschnitt der Porenkanäle
vm 
Q
i 1
i
 Q  vm
n
A
 A bezogen ist:
n
A
i 1
i
(13.7)
i
Aus Gl. (13.6) und Gl. (13.7) folgt die mittlere Geschwindigkeit vm, die wichtig für die
Ausbreitung von Schadstoffen und anderen Transportvorgängen im Grundwasser ist:
A
(13.8)
vm  n
vf
 Ai
i 1
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
219
n
Da A   A i ist, muss vf < vm sein, d.h. die DARCYsche Filtergeschwindigkeit vf ist
i 1
kleiner als die mittlere Geschwindigkeit vm.
(b)
Gültigkeit des DARCYschen Filtergesetzes
Das Filtergesetz von DARCY vf = kf I gilt nur für laminare Strömungen und daher für
relativ kleine Filtergeschwindigkeiten. Die kritische REYNOLDS-Zahl beträgt:
Re krit 
vf d k
1 5

mit: dk = mittlerer Korndurchmesser des Korngemisches.
Bei Wasser von 10 °C mit ν = 1,31·10-6 m2/s ist die zulässige Geschwindigkeit, bei der
merklichen Abweichungen vom DARCYschen Filtergesetz eintreten:
vf ,zul 
5  6,55  106

(m s)
dk
dk
(13.9)
Das bedeutet, für dk = 1 mm = 10-3 m ist vf,zul = 6,55·10-3 m/s = 6,5 mm/s, während sich
für dk = 1 cm = 10-2 m ein zulässiger Wert von vf,zul = 0,65 mm/s ergibt. Die Ungültigkeit
des DARCYschen Filtergesetzes tritt also eher ein, je größer der Korndurchmesser ist.
Streng genommen müssen bereits bei REYNOLDS-Zahlen Re > 5 nichtlineare Widerstandsgesetze herangezogen werden. Eines der wichtigsten dieser nichtlinearen Gesetze
stellt z.B. die FORCHHEIMER44-Gleichung dar:
I  a v f  b v f2 .
(13.10)
mit: a, b = FORCHHEIMER-Konstanten. Sie sind abhängig von der REYNOLDSZahl, von der Porosität, der Kornform und der Kornrauheit. Für weitere Einzelheiten siehe ENGELUND (1953) und FORCHHEIMER (1930).
Der Polynomansatz in Gl. (13.10) besteht aus dem linearen Term (a vf) und dem nichtlinearen Term (b vf2).
44
FORCHHEIMER, Philipp (1852–1933): Deutscher Professor für Hydraulik.
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
220
13.3 Behandlung als Potentialströmung
Im Gegensatz zur laminaren Rohrströmung kann die DARCYsche Filterströmung im Boden als
Potentialströmung behandelt werden. Dabei wird von den mikroskopisch kleinen Strömungsumlenkungen in den sehr unregelmäßigen Porenkanälen abgesehen. Als Beispiel einer Grundwasserströmung kann die Unterströmung einer Talsperre bei homogenem durchlässigem Untergrund in Abb. 13.3 betrachtet werden.
RWS
h
DRUCKSPANNUNG
UNTER DER GRÜNDUNG
p  w g h
ÄQUIPOTENTIALLINIEN
= LINIEN GLEICHER
DRUCKSPANNUNG
p  w g h
Abb. 13.3:
Unterströmung einer Talsperre
An einem beliebigen Punkt des Sickerströmungsfeldes besitzt die Filtergeschwindigkeit:
vf  k f I
ein Potential φ (vgl. Abb. 13.4), das wegen:
I
dh
ds
(s = Sickerweg)
durch die Druckhöhe h ausgedrückt werden kann (vgl. Abschnitt 6):
vf  k f
dh d

ds ds
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
221
I = dh/ds
EL & DL
dh
dh
d
p(s)
w g
1
vf (s)
vf (s)
dn
s
2
ds
Abb. 13.4:
v f2
0
2g
2
1
dn
ds
Sickerströmung als Potentialströmung – Definitionsskizze
Daraus folgt:
  k f dh  d
und schließlich nach Integration:
  kf h
bzw. h 
1
.
kf
Die Druckhöhe h ist somit proportional dem Geschwindigkeitspotential φ. Das bedeutet:
Bei DARCYscher Sickerströmung sind die
Linien gleichen Potentials  Potentiallinien  auch
Linien gleichen Druckes  Isobaren  .
Dieser wichtige Schluss gilt jedoch nur für den Fall der DARCYschen Sickerströmung und
kann nicht für weitere Potentialströmungen verallgemeinert werden.
Am Beispiel der Unterströmung in Abb. 13.3 stellt die Sohle vor der Sperre eine Potentiallinie
mit der Druckhöhe h dar. Die Sohle hinter der Sperre ist eine Potentiallinie mit der Druckhöhe 0. Dazwischen verteilt sich der Druck linear auf die einzelnen Potentiallinien entsprechend ihrer Potentialdifferenz zu den Ausgangspotentialen. Die Druckverteilung unter der
Gründungsfuge ergibt sich hier als Dreieck. Sie ist vom kf-Wert des homogenen Untergrundes
unabhängig.
Die Gesamtsickerwassermengen können durch numerische Integration über die einzelnen
Stromfäden (vgl. Abschnitt 4) ermittelt werden.
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
222
13.4 Hydraulischer Grundbruch
Unter bestimmten Bedingungen können Sickerströmungen ein Ausmaß annehmen, bei dem die
Porengeschwindigkeit so groß wird, dass die Strömungskräfte die einzelnen Bodenkörner aus
ihrem Verband reißen und in Bewegung versetzen. Diese Bodenauflockerung wird als hydraulischer Grundbruch bezeichnet.
Um die kritischen Bedingungen für das Auftreten eines hydraulischen Grundbruches zu bestimmen, wird das Beispiel der Unterströmung einer Spundwand in Abb. 13.5 betrachtet. Der kürzeste Sickerweg (bzw. die kürzeste Stromlinie) liegt unmittelbar an der Spundwand (L) und
kann direkt aus der Geometrie bestimmt werden. Da der Druckhöhenunterschied h bekannt
ist, ergibt sich auch hier das größte Druckgefälle.
Am Spundwandfuß, wo die Sickerströmung nahezu senkrecht nach oben gerichtet ist, wird ein
Bodenelement mit der Höhe L und der Querschnittsfläche A herausgeschnitten (Abb. 13.5).
Auf das Bodenelement wirken folgende Kräfte in vertikaler Richtung:

Gewicht des Bodenelements unter Auftrieb:
dG
B
w

= (B – w) A L g
= Dichte des Bodenelements (Schüttdichte, keine Dichte der Feststoffpartikel)
= Dichte des Wassers
Aufwärtsgerichtete Strömungsdruckkraft:
dFA = p A = (w g h) A
kürzeste Stromlinie
(mit der Länge L)
p
Fläche A
OW
Detail
L
(B - W )
h
L
v
UW
G
Fläche A
p + p
Abb. 13.5:
Prinzipienskizze zur Herleitung der Bedingung für den hydraulischen Grundbruch
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
223
Mit den Gleichgewichtsbedingungen der vertikalen Kräfte:
dFA  dG  0
w g h A  (B  w ) A Lg

 
h   B  w  L
 w w 
und mit I =
: w g A
h
L
folgt das kritische Gefälle, bei dem hydraulischer Grundbruch eintritt:
I krit 
B
1 .
w
(13.11)
Da in der Regel die Schüttdichte natürlicher Böden B = 1,8  2,2 t/m3 und w = 1 t/m3 beträgt,
liegen die kritischen Gradienten in der Größenordnung von 1:
0,8  Ikrit  1, 2
(13.12)
Anmerkungen zum hydraulischen Grundbruch
(i)
Gl. (13.11) gilt nur für DARCYsche Sickerströmungen. Sickerströmungen in der Nähe
vom kritischen Gefälle Ikrit können jedoch merkliche Abweichungen vom linearen Filtergesetz aufweisen. In diesem Fall muss die vorstehende Betrachtung unter Verwendung
nichtlinearer Widerstandsgesetze wiederholt werden.
(ii)
Gl. (13.11) gilt für das kritische Gefälle Ikrit einer aufwärtsgerichteten Sickerströmung.
Für den allgemeinen Fall einer beliebig gerichteten Sickerströmung muss die Gleichung
der effektiven Spannung im Boden
´    u
mit:
 = Gesamtspannung
u = Porenwasserdruck
herangezogen werden (siehe Vorlesung "Bodenmechanik").
(iii) Das kritische Gefälle Ikrit nach Gl. (13.11) ist vom Durchlässigkeitsbeiwert kf unabhängig. Beim Hinzuziehen der kritischen Filtergeschwindigkeit
vf,krit = kf Ikrit
tritt der Einfluss der Durchlässigkeit wieder in Erscheinung.
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
224
13.5 Zusammenfassung
1.
Die DARCYsche Filtergeschwindigkeit vf ist eine fiktive Geschwindigkeit, die auf den
gesamten Bodenquerschnitt bezogen ist. Sie beschreibt somit nicht die tatsächliche Porenströmung und ist kleiner als die wirkliche mittlere Geschwindigkeit, die nur auf den
Fließquerschnitt der Porenkanäle bezogen wird.
2.
Die Filtergeschwindigkeit vf ist dem Druckgefälle I direkt proportional:
vf = kf I (DARCYsches Filtergesetz)
Der Proportionalitätsfaktor kf wird als Durchlässigkeitsbeiwert bezeichnet und hat die
Maßeinheit einer Geschwindigkeit.
3.
Der Durchlässigkeitsbeiwert kf hängt von der Beschaffenheit des Bodenmaterials ab, ist
aber umgekehrt proportional der kinematischen Viskosität des Porenfluides. Deshalb
muss bei der Bestimmung des kf-Wertes auch die Temperatur des Porenfluides berücksichtigt werden. Filtergeschwindigkeit und Durchfluss nehmen mit steigender Temperatur zu.
4.
Das Filtergesetz von DARCY gilt nur für laminare Strömungen. Bei kritischen REYNOLDS-Zahlen Re > 5 sind nichtlineare Widerstandsgesetze heranzuziehen.
5.
Im Gegensatz zu laminaren Rohrströmungen kann die Filterströmung nach DARCY als
Potentialströmung behandelt werden. Dabei stellen die Potentiallinien auch die Linien
gleichen Druckes dar.
6.
Bei aufwärts gerichteter Filterströmung nach DARCY ist das kritische Gefälle Ikrit, bei
dem hydraulischer Grundbruch eintritt, nur vom Verhältnis der Schüttdichte B des Bodenmaterials und der Dichte w des Porenfluides abhängig:
I krit 
B
1
w
Für natürliche Böden gilt näherungsweise Ikrit  1,0.
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
225
13.6 Aufgaben
Aufgabe 13.1:
"Laminare Rohrströmung"
Laminare Rohrströmung liegt bekanntlich für Re < Rekrit vor. Wie muss der Rohrdurchmesser D
geändert werden, damit die zunächst turbulente Rohrströmung bei gleichem Abfluss
(Q = konst.) laminar wird? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 13.2:
"Laminare Strömung im Boden"
Ermitteln Sie für das dargestellte System den Durchlässigkeitskoeffizienten kf und den Durchfluss Q.
Gegeben:
10 % Porenanteil
vm = 0,05 cm/s = Geschwindigkeit in den Poren = mittlere Geschwindigkeit
Lösung:
Die Filtergeschwindigkeit kann wie folgt aus den mittleren Geschwindigkeiten berechnet werden:
vf  v m
A
 0,05  0,1  0,005 cm/s
i
A ges
0,2 m
Bodenprobe A = 1 cm²
Q
0,1 m
ΔL = 0,2 m
Abb. 13.6:
Laminare Strömung im Boden
Durch Umstellung des DARCYschen Filtergesetzes nach dem Durchlässigkeitskoeffizienten kf
folgt:
vf  k f I  k f
h
v L
 kf  f
L
h
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
 kf 
226
0, 005  0, 2
 0, 01 cm / s
0,1
Dieser Wert entspricht dem kf-Wert eines sehr feinen Sandes bzw. sandigen Schluffes.
Durchfluss : Q = v f A  0,005  1  0,005 cm 3 / s
Aufgabe 13.3:
"Durchströmung von Böden - Reihenschaltung"
Für das dargestellte System ist der Durchfluss Q zu bestimmen.
Δ h1
Δh
Δh2
2m
A = 0,2 m²
Q
L1 = 0,5
Abb. 13.7:
Gegeben:
L2 = 1,0
Durchströmung von Böden – "Reihenschaltung"
L1  0,5 m
L2  1, 0 m
k f ,1  3 105 m / s
k f ,2  3 106 m / s
Gesucht:
Q
Lösung:
Es gilt die Kontinuitätsgleichung:
Da A = A1 = A2 ist, folgt:
Q = Q1 = Q2.
vf = vf,1 = vf,2.
Werden vf,l und vf,2 durch das DARCYsche-Filtergesetz ersetzt, ergibt sich:
1m
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
v f ,1  k f ,1
h 1
L1
vf ,2  k f ,2
h 2
.
L 2
Die Druckhöhe h wird sowohl im Boden 1 (h1) als auch im Boden 2 (h2) abgebaut:
h  h1  h 2
 k f ,1
 h1  h  h 2
h 1
h 2
 k f ,2
L1
L 2
k f ,1
h  h 2
h 2
 k f ,2
L1
L 2
k f ,1
h
h
h 2
 k f ,1 2  k f ,2
L1
L1
L 2

k f ,1
h
h 2
h
 k f ,2
 k f ,1 2
L1
L 2
L1

k f ,1
k 
k
h
 h 2  f ,2  f ,1 
L1
 L 2 L1 

h
1
3  105 
L1
0,5
h 2 

 0,952 m
6
 k f ,2 k f ,1   3  10
3  105 



 

1,0
0,5 
L
L



1
 2

h1  h  h 2  1,0  0,952  0, 048 m

v f ,1  v f ,2  k f ,1

v f ,1  v f ,2  2, 86  10 -6 m s

Q  A v f  0, 2  2,86 10 6  5, 71 10 7 m 3 s
k f ,1
h 1
0,048
 3  10 5 
L1
0,5
227
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
Aufgabe 13.4:
228
"Durchströmung von Böden – "Parallelschaltung"
Ermitteln Sie den Durchfluss im dargestellten System.
Δh
2m
Boden 2
A2 = 0,1m²
Boden 1
A1 = 0,1m²
1m
ΔL = 1,5m
Abb. 13.8:
Böden in "Parallelschaltung"
Gegeben:
k f,1 = 3 10-5 m /s
sandiger Schluff
k f,2 = 3 10 6 m /s Lehm, sandiger Schluff
Gesucht:
Qges
Lösung:
Die Gesamtdurchflussmenge ergibt sich aus den Teildurchflüssen durch die Böden 1 und 2:
Qges = Q1 + Q2
vf,l = k f,l
h
1,0
= 3  10-5 
= 2  10-5 m /s
L
1,5
vf ,2  k f ,2
h
1,0
 3  106 
 2  106 m / s
L
1,5
 Q1 = v f ,1 A 1 = 2  10 5  0,1 = 2  10 6 m 3 /s
 Q 2 = v f , 2 A 2 = 2  10 6  0,1 = 2  10 7 m 3 /s
 Q ges = Q1  Q 2  2, 2  10 6 m 3 / s
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
Aufgabe 13.5:
229
"Kanalhaltung"
Berechnen Sie den Sickerwasserverlust pro Jahr und Kanalkilometer im dargestellten System.
Gegeben:
k f = 1 10 6 m / s
Gesucht:
Sickerwasserverlust / Jahr / Kanalkilometer
Δh = 6,0 m
Kanaldichtung
mit kf = 10-6 m/s
ΔL = 0,5m
15 m
Abb. 13.9:
Kanalhaltung
Lösung:
Q  A kf
h
L
A  15  1.000  15.000 m2
h  6,0 m
L  0,5 m
 Q  15.000  1  106 
6,0
 0,18 m3 s
0,5
 Q Jahr  Q  3.600  24  365  5.676.480 m 3
b)
Auf der Kanaldichtung lagert sich eine Sedimentationsschicht mit der Mächtigkeit
L  0,15 m mit k f  1  10 9 m s ab. Wie verändert sich der Sickerwasserverlust?
Lösung:
Mit der Annahme, dass der Druckunterschied nur in der Sedimentationsschicht abgebaut wird,
folgt:
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
Q  A kf
230
h
6
 15.000  109 
 6  104 m3 s
L
0,15
Der Sickerwasserverlust hat sich damit um ca. das 300-fache verringert.
Q Jahr = 6  10 -4  365  24  3600 = 18.922 m 3
"Hydraulischer Grundbruch"
Aufgabe 13.6:
Ermitteln Sie, ob es im dargestellten System zum hydraulischen Grundbruch kommt.
Wie groß ist die Sickerwassermenge / lfd. m?
Lösung:
a) Ermittlung der Sickerwasssermenge
Q = A vf = A k f
I
h
5
= 0,5  1  10-4
= 2,4  10-5 m3 s
L
10,5
h
5

 0, 48  I krit  0,8
L 10,5
1,0 m
8,0 m
Sickerweg L = 10,5 m
Δh
0,5 m
kf = 110-4 m/s
0,5 m
undurchlässig
Abb. 13.10:
Hydraulischer Grundbruch
Sicherheit:  =
0,8
= 1,67
0,48
3,5 m
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
231
"Durchsickerung eines Dammes"
Aufgabe 13.7:
Bei dem abgebildeten Damm mit dem mittleren Sickerweg L  2,0 m und dem Höhenunterschied h  0,5m tritt auf der Außenseite eine Sickerwassermenge von Q = 50 l/s auf einer
Länge von 200 m auf.
a)
Um welches Material (homogen) muss es sich handeln?
b)
Wie ändert sich die Sickerwassermenge, wenn es sich statt des Wassers
c)
   110
6
m 2 / s  um Öl    1105 m2 / s  handelt?
Wie ändert sich die Sickerwassermenge, wenn die Temperatur von 20 °C
   1,0 10
6
m2 / s  auf l °C    1,79 106 m2 / s  sinkt?
mittlerer Sickerweg
homogener Damm
idealisierte Sickerlinie
Δh = 0,5 m
A
undurchlässige Sohle
ΔL = 2,0 m
Abb. 13.11:
Durchsickerung eines Dammes
Lösung:
zu a) Die Filtergeschwindigkeit lässt sich aus Durchfluss Q und mittlerer Querschnittsfläche A
bestimmen.
Q
0, 05
 1103 m / s
vf  
A 0, 25  200
vf  k f I  k f
h
L
Daraus folgt:
 k f  vf
L
2,0
 1  103 
 4  103 m s  Grobsand
h
0,5
Laminare Strömung im Boden (DARCY)
zu b) Aus dem DARCYschen Filtergesetz folgt:
 Q
kf
 Q
1

n
da k f 
cA
g
i 1
i
 Ages
i
, dh.
kf
1

Öl
QWasser
5 105



 50
 Wasser 1106
QÖl
 Q Öl 
Q Wasser 50

 1 l/s
50
50
zu c) Bei Temperaturänderung folgt aus:
Q
1

Q20 1 1,79 106


 1,79
Q1  20 1,0 106
Q1 
Q20
50

 27,9 l/s
1,79 1, 79
 Die Sickerwasserverluste sind im Sommer größer als im Winter!
232
Turbulente Strömung im Kreisrohr
233
14 Turbulente Strömung im Kreisrohr
14.1 Einleitung
14.1.1 Erweiterte BERNOULLI-Gleichung
Im Gegensatz zur Strömung idealer Flüssigkeiten treten bei Strömungen realer Flüssigkeiten
reibungsbedingte Widerstände auf, die einen zusätzlichen Aufwand an mechanischer Energie
zu ihrer Überwindung erfordern. Da dieser Energiebetrag in Wärme umgesetzt wird – und daher
nicht wieder in mechanische Energie zurückgewandelt werden kann – entspricht er einem tatsächlichen Verlust an hydraulischer Energie. In Energiehöhe ausgedrückt stellt er somit eine
Verlusthöhe bzw. Widerstandshöhe hv dar. Daraus ergibt sich eine wichtige Konsequenz für
die BERNOULLI-Gleichung, die bei realen Flüssigkeiten um den Term hv erweitert werden
muss. Ein Vergleich der BERNOULLI-Gleichung idealer und realer Flüssigkeiten für zwei in
Strömungsrichtung aufeinander folgende Kontrollschnitte 1-1 und 2-2 ist in Abb. 14.1 dargestellt, wobei hv die Verlusthöhe zwischen beiden Querschnitten darstellt. Damit kann die erweiterte BERNOULLI-Gleichung wie folgt geschrieben werden:
p
w g

v2
 z  h v  konst.
2g
(14.1)
14.1.2 Zentrales Problem der Berechnung von Druckrohrleitungen
In der Bauingenieurpraxis verlaufen die meisten Strömungsvorgänge in Druckrohrleitungen
turbulent. Daher kommt der turbulenten Rohrströmung eine größere Bedeutung als der laminaren Strömung zu. Im Gegensatz zur laminaren Strömung ist die theoretische Erfassung der turbulenten Strömungsvorgänge mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden, sodass hier besonders experimentelle Ergebnisse heranzuziehen sind. Da eine eingehende Darstellung der vorliegenden Ergebnisse und der Turbulenzfrage im Rahmen dieser Vorlesung zu weit führen
würde, sollen im Folgenden nur die wesentlichen Gesetzmäßigkeiten und Ergebnisse dargelegt
werden, die zur Lösung ingenieurpraktischer Aufgaben ausreichen.
Turbulente Strömung im Kreisrohr
1
Energielinie (EL)
2
v12
2g
p1
w g
234
2
1
v 22
2g
v12
2g
p2
w g
hv
Drucklinie (DL)
p1
w g
p2
w g
Q, v
z1
v 22
2g
Q, v
z1
z2
L
L
z2
Bezugshorizont z = 0
z1 
v12
p
v2
p
 1  z2  2  2
2g w g
2g w g
Abb. 14.1:
z1 
v12
p
v2
p
 1  z2  2  2  h v
2g w g
2g w g
BERNOULLI-Gleichung (links) und erweiterte BERNOULLI-Gleichung (rechts)
In der Praxis des Bauingenieurs besteht das zentrale Problem vor allem darin, den gesamten
Energiehöhenverlust hv zu bestimmen:
h v   h r   hi
mit:
(14.2)
hr =
Reibungsverluste in geraden Rohrstrecken
hi =
lokale Verluste. Sie treten an örtlichen Störstellen wie z.B. Einläufen,
Regelorganen, Querschnittserweiterungen und -verengungen, Rohrverzweigungen, Krümmern und Ausläufen auf (Abb. 14.2).
Die Kenntnis von hv ermöglicht die Bestimmung der Nettohöhe HN (Abb. 14.2):
HN  H  hv ,
die der Förderhöhe entspricht, die zusätzlich erforderlich ist, um die Reduzierung der Fallhöhe
H auf HN zu kompensieren (z. B. Pumpenleistung!) bzw. um jede gewünschte Rohrleistung zu
gewährleisten.
Für die Berechnung der Reibungsverlusthöhe hr dient das allgemeine Widerstandsgesetz und
für die Bestimmung der lokalen Verluste stehen meist empirische Ansätze zur Verfügung (Ausnahme: siehe BORDAscher Stoßverlust in Abschnitt 14.4).
Turbulente Strömung im Kreisrohr
235
H
hv
hN
i
RWS
= Fallhöhe
= ges. Energieverlusthöhe
= Nettohöhe
= lokale Widerstandsbeiwerte
EL (ohne Verluste)
hv
RWS
ζB
ζS
ζS
ζV
ζE
Abb. 14.2:
ζK
H
HN
ζA
ζK
Energiehöhenverlust bei Druckrohrströmung
14.2 Allgemeines Widerstandsgesetz der stationären Druckrohrströmung
14.2.1 Herleitung des Widerstandsgesetzes
Für die Herleitung des Widerstandsgesetzes, das die Berechnung der Reibungsverlusthöhe hr
ermöglicht, wird ein gerader zylindrischer Rohrabschnitt (Stromröhre!) mit dem konstanten
lichten Durchmesser D und der Länge L betrachtet (Abb. 14.3).
Turbulente Strömung im Kreisrohr
1
236
2
IE
ID
hr
p
w g
innere
Rohroberfläche
τ0
Q, v = konst.
AL = ( D)L
D
τ0
L
Abb. 14.3:
Prinzipienskizze zur Herleitung des Widerstandsgesetzes
Im Rohr herrscht stationärer Abfluss (Q = konst) bei gefülltem, konstantem Rohrquerschnitt
vor, d.h. auf der Strecke L ist:
v  konst.
bzw.
v2
 konst.
2g
Damit ist das Energieliniengefälle gleich dem Gefälle der Drucklinie (IE = ID), d.h. mit IE = hr/L
und
ID 
p / ( w g)
L
h r p / ( w g)
p

 hr 
L
L
w g
 p = w g h r
(14.3)
Umfangreiche Experimente haben gezeigt, dass der Widerstand bzw. die Reibungskraft FW entlang der Strecke L proportional

der benetzten Fläche der Rohrwand  D L:
FW   D L ,

dem Staudruck w v2 2 :
FW   w v 2 / 2
ist.
Turbulente Strömung im Kreisrohr
237
Damit ist die Reibungskraft:
FW   (  D L)( w v 2 2)
(14.4)
Der Proportionalitätsfaktor ψ ist ein experimentell zu bestimmender Widerstands- bzw. Reibungsbeiwert, der von der Beschaffenheit der Rohrwand (relative Rauheit!) und der REYNOLDS-Zahl abhängt.
Zur Überwindung des Widerstandes Fw ist eine Druckkraft Fp erforderlich, die sich nach
Abb. 14.3 und Gl. (14.3) wie folgt ergibt:
FP  p
 D2
 D2
 ρw g h r
4
4
(14.5)
Aus der Gleichgewichtsbedingung Fw = Fp folgt:
ψ π D L ρw
 h r  4
v2
 D2
 ρw g h r
2
4
L v2
und mit dem Rohrreibungsbeiwert λ = 4ψ:
D 2g
hr  
L v2
D 2g
(14.6)
Das ist das allgemeine Widerstandsgesetz von DARCY-WEISBACH45, das sowohl für laminare als auch für turbulente stationäre Druckrohrströmungen gilt.
Der Unterschied zwischen laminarer und turbulenter Strömung wird durch den λ-Wert berücksichtigt.
Der Widerstandsbeiwert λ, wie auch ψ, ist ein Maß für die Wandreibung (ausgedrückt durch
die relative Rauheit k/D) und für die innere viskose Reibung (ausgedrückt durch die REYNOLDS-Zahl Re = v D/ν).
Das Energielinien- bzw. Druckliniengefälle ist dann:
IE  ID 
45
hr
1 v2

L
D 2g
(14.6)a
WEISBACH, Julius (1806–1871): Deutscher Lehrer und Wissenschaftler, bekannt durch sein dreibändiges
Hauptwerk: "Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinenmechanik".
Turbulente Strömung im Kreisrohr
238
14.2.2 Wichtige Anmerkungen
(1)
(2)
Energieverluste bei laminarer und turbulenter Strömung:

Laminare Strömung: Hier entstehen ausschließlich Reibungsverluste (Viskosität!)
im Sinne des HAGEN-POISEUILLEschen Gesetzes (vgl. Abschnitt 13). Dies gilt
sowohl im Grenzschichtbereich als auch in anderen Strömungsbereichen.

Turbulente Strömung: Hier entstehen die meisten Verluste durch Verwirbelungen,
die auf einer zusätzlichen "scheinbaren" Viskosität beruhen (vgl. Gl. (11.1a)). Dabei wird die eigentliche Hauptströmung von Querströmungen überlagert, wodurch
die Flüssigkeitsteilchen höherer Geschwindigkeit dauernd auf solche mit geringer
Geschwindigkeit stoßen und so an kinetischer Energie einbüßen (Stoßverluste der
nahezu unelastischen Flüssigkeit!). Diese Verluste und die Reibungsverluste in der
laminaren Grenzschicht machen den gesamten Energieverlust bei turbulenter Strömung aus.
Wandschubspannung 0:
Um eine Beziehung zwischen Wandschubspannung 0 und Rohrreibungsbeiwert λ herzustellen, wird ψ = λ/4 in Gl. (14.4) eingesetzt:
FW 

v2
w
4
2



(π D L)



.
Reibungsfläche A L
Wandschubspannung 0 (benetzte Rohrwand)
Damit ist die Wandschubspannung 0:
 v2
0   w
4
2
(14.7)
Die Wandschubspannung ist proportional dem Staudruck w v2/2, und der Proportionalitätsfaktor entspricht einem Viertel des Rohrreibungsbeiwertes λ.
(3)
Schubspannungsgeschwindigkeit v*
Es ist oft üblich, die Schubspannung in der Dimension einer Geschwindigkeit wie folgt
zu formulieren:
v* 
0
w
(14.8)
Die Schubspannungsgeschwindigkeit ist mit 0 aus Gl. (14.7):
v* 

v
8
(14.9)
Turbulente Strömung im Kreisrohr
239
und drückt damit den Anteil aus, der von der mittleren Geschwindigkeit v für die Überwindung der Reibung (Strömungswiderstand) aufzubringen ist (i.d.R.  3 bis 5 % von v).
14.3 Widerstandsbeiwert λ
Das Hauptproblem bei der Druckrohrberechnung besteht in der Bestimmung des Widerstandsbeiwertes λ. Dabei werden ausschließlich Erfahrungswerte verwendet, die durch zahlreiche Experimente gewonnen und in möglichst zweckmäßige Formeln gefasst wurden. Wie bereits erwähnt, stellt λ keine Konstante dar, die allein von der relativen Rauheit k/D der Rohrwandung
bestimmt wird; λ hängt auch in hohem Maße von der REYNOLDS-Zahl und somit von der
Strömungsform – laminar/turbulent – ab.
14.3.1 Widerstandsbeiwert bei laminarer Strömung
Aus dem Gesetz von HAGEN-POISEUILLE (vgl. Gl. (12.1) und Gl.(12.2) aus Abschnitt 12)
folgt für die mittlere Geschwindigkeit:
1 dp R 2
1 dp D2
v

 dx 8 w  dx 32
Mit dx = L und dp = ρw g hr (vgl. Gl. (14.3)) folgt:
v
1 w g h r D2
w  L 32
 32  L 
 hr  
v.
2 
 gD 
(14.10)
Gl. (14.10) bringt den linearen Zusammenhang zwischen der Reibungsverlusthöhe hr und der
mittleren Geschwindigkeit v bei laminarer Strömung zum Ausdruck. Die rechte Seite von
Gl. (14.10) mit 2v/2v multipliziert ergibt:
64 L v2
hr 
(v D/ ) D 2g
und mit Re = v D/ν:
hr 
64 L v 2
.
Re D 2g
(14.11)
Der Vergleich mit Gl. (14.6) ergibt für laminare Strömungen den Widerstandsbeiwert

64
.
Re
(14.12)
Turbulente Strömung im Kreisrohr
240
Das heißt, für laminare Strömungen ist λ von der relativen Rauheit k/D unabhängig. Dies ist
durch das Verhalten der laminaren Grenzschicht (vgl. Abschnitt 11) begründet, da bei laminarer
Strömung die Grenzschicht dick genug ist (vgl. Abb. 11.1), um alle Rauheitselemente einzuhüllen. Damit verhält sich das Rohr wie ein hydraulisch glattes Rohr (vgl. auch Abb. 14.4a).
14.3.2 Widerstandsbeiwert bei turbulenter Strömung
14.3.2.1 Bereiche der turbulenten Strömung
Mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit bzw. REYNOLDS-Zahl (d.h. mit abnehmender
Dicke der laminaren Unterschicht) werden für den Widerstandsbeiwert bei turbulenter Strömung drei Bereiche unterschieden:
a)
hydraulisch glatter Bereich:
k
(Re  65)
D
λ = λ (Re)
b)
Übergangsbereich:
k
(65  Re  1300)
D
λ = λ (k/D, Re)
c)
hydraulisch rauer Bereich:
k
(Re  1300)
D
λ = λ (k/D)
Turbulente Strömung im Kreisrohr
Abb. 14.4:
Einfluss der laminaren Unterschicht und der Wandreibung auf das Widerstandsverhalten
241
Turbulente Strömung im Kreisrohr
242
Die Erklärung für die Entstehung dieser drei Bereiche liefert die Dicke der laminaren Unterschicht δUL im Vergleich zu der Rauheitserhebung k in Abb. 14.4:
UL  5


5
v

v
8
(a)
Bei kleiner Geschwindigkeit ist die Dicke der laminaren Unterschicht δUL >> k, d.h. alle
Rauheitselemente sind in der laminaren Unterschicht eingehüllt und die Wandrauheit
wird gar nicht aktiviert. Es herrscht der hydraulisch glatte Bereich mit λ = λ(Re) vor.
(b)
Bei größer werdender Geschwindigkeit wird die laminare Unterschicht dünner: δUL  k.
Nur Einzelspitzen treten heraus, sodass sowohl k als auch v das Widerstandsverhalten
beeinflussen. Dies ist der Übergangsbereich mit λ = λ (k/D, Re).
(c)
Bei weiterer Zunahme der Geschwindigkeit wird die Dicke der laminaren Unterschicht
vernachlässigbar klein: δUL << k. Es treten praktisch alle Spitzen heraus, d.h. die Wandrauheit wird voll aktiviert; das Widerstandsverhalten wird praktisch nur von k bestimmt. Es liegt der hydraulisch raue Bereich mit λ = λ (k/D) vor.
Bei turbulenter Strömung kann der Widerstandsbeiwert λ nur auf experimentellem Weg für
jeden der o.g. drei Bereiche bestimmt werden. Hierfür liegen empirische Ansätze und Diagramme vor, von denen die wichtigsten nachfolgend dargestellt werden.
Anmerkung zur Bestimmung des Geschwindigkeitsprofils
Zur Bestimmung des Geschwindigkeitsprofils auf der Grundlage von Gl. (11.20) kann die
Größe z0 nur experimentell für jeden Bereich der turbulenten Strömung festgestellt werden.
Hierfür liegen verschiedene empirische Ansätze im Schrifttum vor. Zum Beispiel ist im turbulent
rauen Bereich mit z0 = ks/30 (ks = Sandkornrauheit) zu rechnen:
vx
30 z
 5, 75 log
v
ks
(14.13)
14.3.2.2 Empirische Formel für den Widerstandsbeiwert λ
(a)
Für den hydraulisch glatten Bereich (λ = λ (Re))
Formel von BLASIUS: Gültigkeitsbereich Rekrit = 2320 ≤ Re ≤105

0, 316
4
Re
(14.14)
Formel von NIKURADSE: Gültigkeitsbereich 105 ≤ Re ≤ 108
  0, 0032 
0, 221
Re0,227
(14.15)
Turbulente Strömung im Kreisrohr
243
Statt der Formel von BLASIUS und NIKURADSE für unterschiedliche Re-Bereiche
kann auch die allgemeine Formel von PRANDTL/VON KARMAN verwendet werden:
 Re 
 2, 0 lg 

 2,51
1
(b)

0,309
 bzw.  
(lg Re  0,845) 2

(14.16)
Für den Übergangsbereich (λ = λ (k/D, Re))
In der Regel liegt λ zwischen 0,02 und 0,04. λ kann auch mit der Interpolationsformel
von COLEBROOK/WHITE berechnet werden:
1
 2,51 k D 
 2,0 lg 



 Re  3,71 
(c)
(14.17)
Für den hydraulisch rauen Bereich (λ = λ (k/D))
Der Term mit Re in Gl. (14.17) entfällt und es folgt die Formel von KARMAN/NIKURADSE:




 3.71 
1
1


 2,0 lg 
  

k
D


3,71



 2 lg 

 k D 

2
(14.18)
Anmerkung:
Gl. (14.18) besagt, dass λ unabhängig von Re und daher auch unabhängig von der Geschwindigkeit v ist. Damit folgt aus dem allgemeinen Widerstandsgesetz (vgl. Gl. (14.16)), dass das
quadratische Widerstandsgesetz
h r  v2
streng genommen nur im hydraulisch rauen Bereich Gültigkeit hat.
14.3.2.3 Empirische Diagramme für den Widerstandsbeiwert λ
Zur Bestimmung des Widerstandsbeiwertes λ liegen drei Arten von empirischen Diagrammen
vor, die jeweils nach MOODY, NIKURADSE und MOCK benannt wurden.
(a)
Grundsätzlicher Unterschied zwischen MOODY und NIKURADSE-Diagramm:
Das MOODY-Diagramm (Abb. 14.5) gilt für technisch raue Rohre. Die technischen Rauheiten k sind wegen der Mannigfaltigkeit der geometrischen Formen und Abmessungen
nur statistisch bestimmbar (Abb. 14.6a). Deshalb hat NIKURADSE eine äquivalente Ersatzgröße eingeführt: die Sandkornrauheit ks (Abb. 14.6b).
Turbulente Strömung im Kreisrohr
244
Ein Rohr mit technischer Rauheit k hat den gleichen Widerstandsbeiwert λ wie ein Rohr
mit der Sandkornrauheit ks, wenn es bei gleichen Abmessungen und Abfluss die gleiche
Reibungsverlusthöhe hr aufweist.
In der Regel gilt für technisch hergestellte Rohre:
ks = (1 bis 1,6) k.
Der grundsätzliche Unterschied zwischen dem MOODY- und dem NIKURADSE-Diagramm liegt vor allem im Übergangsbereich:
(b)

MOODY-Diagramm: Wegen der Unregelmäßigkeit ihrer Höhen ragen die Rauheitselemente nicht gleichzeitig, sondern nach und nach aus der laminaren Unterschicht
heraus. Dadurch entsteht ein Übergangsbereich, wo λ monoton mit Re abnimmt,
um anschließend im rauen Bereich einem Grenzwert asymptotisch zuzustreben.

NIKURADSE-Diagramm: Da ein Einkornsand mit Korndurchmesser ks = konst.
verwendet wird, gibt die laminare Unterschicht alle Rauheitselemente gleichzeitig
frei und der Übergangsbereich entfällt (Abb. 14.7).
MOCK-Nomogramme (Leiternomogramme)
Die MOCK-Diagramme (Abb. 14.8) sind nicht so übersichtlich wie das MOODY-Diagramm, aber sie sind genauer und bequemer in der Handhabung.
Mit bekannter REYNOLDS-Zahl und relativer Rauheit k/D kann der zugehörige -Wert
aus den Diagrammen bestimmt werden. Einige Richtwerte für die Rauheiten k sind in
Tab. 14.1 gegeben. Für bestimmte Rohrfabrikate liegen fertige Tafelwerte vor. Falls Unsicherheiten in der Wahl von k bestehen, empfiehlt es sich, den Einfluss dieser Unsicherheiten auf die λ-Werte festzustellen (Sensitivitätsanalyse).
Turbulente Strömung im Kreisrohr
Abb. 14.5:
Das MOODY-Diagramm für technisch raue Rohre
245
Turbulente Strömung im Kreisrohr
246
b.)
a.)
Einkornsand
ks
k
Technische Rauheit
(nur statistisch bestimmbar)
Abb. 14.6:
Technische Rauheit und Sandkornrauheit
Tab. 14.1:
Richtwerte für die technische Rauheit k
Material
k (mm)
glatter Beton
≈
2
Stahlrohre (genietet)
≈
1
Gusseisen
≈
0,3
Stahl
≈
0,1
Plexiglas
≈
0,003
Turbulente Strömung im Kreisrohr
Abb. 14.7:
Das NIKURADSE-Diagramm für Rohre mit künstlicher Sandkornrauheit
247
Turbulente Strömung im Kreisrohr
Abb. 14.8:
MOCK-Nomogramme zur Bestimmung des Widerstandsbeiwertes λ
248
Turbulente Strömung im Kreisrohr
249
14.4 Lokale Verluste
14.4.1 Entstehung
Die lokalen Verluste bzw. Widerstände treten an Unstetigkeitsstellen wie Querschnitts- und
Richtungsänderungen auf. Sie werden durch Formstücke, Regelungsorgane sowie andere Einbauten verursacht. Diese Widerstände entstehen hauptsächlich durch die Ablösung der Strömung von der Rohrwand und der Bildung von Toträumen (unbeteiligt am Fließgeschehen!), in
denen sich Wirbel bilden (Abb. 14.9). Dadurch wird der Hauptstrom eingeengt und beschleunigt. Er stößt dann hinter der Störstelle auf eine Wassermasse mit kleinerer Geschwindigkeit.
Deshalb sind die lokalen Verluste dem Wesen nach Stoßverluste (z.B. BORDA-Verlust!).
Da bei Störstellen turbulente Strömung und meist hydraulisch raues Verhalten vorliegt, sind die
lokalen Verluste von der REYNOLDS-Zahl unabhängig. Deshalb nehmen sie mit dem Quadrat
der Strömungsgeschwindigkeit zu.
Um möglichst vorteilhaft rechnen zu können, werden die einzelnen Verlusthöhen hi proportional der Geschwindigkeitshöhe v2/2g gesetzt:
hi  i
v2
2g
(14.19)
mit: i
=
Widerstandsbeiwert an der Störstelle i
v
=
Strömungsgeschwindigkeit unmittelbar hinter der Störstelle (Einbau).
Bei Rohrerweiterungen muss ausnahmsweise die Geschwindigkeit
unmittelbar vor der Störstelle angesetzt werden.
Wirbel
Q, v
D1
D2 ve
Q, v
De
Ablösung
Totraum
Abb. 14.9:
Entstehung der lokalen Verluste
Turbulente Strömung im Kreisrohr
250
Obwohl in vielen Fällen die Rohrreibungsverluste hr die lokalen Verluste hi überwiegen, können sie in einigen besonderen Fällen (kurze Rohrstrecken!) von Bedeutung sein. Deshalb werden im Folgenden einige Berechnungsansätze für lokale Verluste angegeben.
14.4.2 Berechnungsansätze
14.4.2.1 Einlaufverluste
Einige Beispiele sind in Abb. 14.10 dargestellt. In der Regel gilt: Je besser die Einlaufkante den
Strombahnen angepasst ist, desto geringer sind die Einlaufverluste.
14.4.2.2 Auslaufverluste
Am Auslauf (Tauchstrahl) wird die kinetische Energiehöhe va2/2g infolge Wirbel und Walzenbildung umgewandelt. Entsprechende Beispiele sind in Abb. 14.11 angegeben. Ausnahmsweise
werden bei Diffusoren die Widerstandsbeiwerte a auf die Geschwindigkeit vor dem Diffusor
bezogen.
14.4.2.3 Verluste bei Querschnittserweiterungen
Hier erfolgt die Umwandlung der kinetischen Energie in Druck- und Lageenergie. Auch hier
werden die Widerstandsbeiwerte E ausnahmsweise auf die Geschwindigkeit vor der Erweiterung bezogen. Beispiele sind in Abb. 14.12 dargestellt.
14.4.2.4 Verluste bei Querschnittsverengungen
Beispiele sind in Abb. 14.13 angegeben. Hier erfolgt eine Umwandlung der Druckenergie in
kinetische Energie.
14.4.2.5 Umlenkverluste
Die Strömungsvorgänge im Krümmer sind komplizierter als bei anderen lokalen Strömungen.
Zusätzlich zum Reibungsverlust entstehen die lokalen Verluste im Krümmer infolge der Bildung von (vgl. Abb. 14.14):

Totraum und Querwirbel auf der Krümmeraußenseite,

Totraum auf der Krümmerinnenseite
Turbulente Strömung im Kreisrohr
a)
251
Totraum
b)
v
v
Einlaufkante A
SCHARFKANTIGER EINLAUF  e = 0,5
GEFRÄSTE KANTE
e = 0,25
ABGERUNDETE KANTE
 e = 0,15  0,2
TROMPETEN-EINLAUF
 e = 0,04  0,1
c)
d)
e = f ()
e  f (
s b
, )
D D
b
s
v

SCHIEFWINKLIGER EINLAUF
 e = 0,5 + 0,3 cos  + 0,2 cos2 
Abb. 14.10:
Einlaufverluste
D
BORDA-MÜNDUNG
 e = 0,5  1,0
Turbulente Strömung im Kreisrohr
v0
D0
v0
252

Da
va < v0
ENDDIFFUSOR
D
 a  f (, 0 , Re)
Da
Wasserstrahl
va > v0
v0
va
D0
v0
DStr
ZYLINDRISCHER AUSLAUF
D 
a   0  1
 DStr 
A
Auslaufverluste
Unstetige Erweiterung
Totraum
v1
Da
DÜSENAUSLAUF
4
 D0 
a  

 Da 
2
Abb. 14.11:
D0
B Stetige Erweiterung
Lab
D1
D2
v2
D1
v1
v2
D2

Lab  10 (D2 – D1)
BORDA - VERLUST
  D 2 
 B  1   1  
  D2  
Abb. 14.12:
2
Lokale Verluste bei Querschnittserweiterung
DIFFUSOR
2
4
   D1  

 D  3, 2 tan
tan
1 
 
2
2   D2  


2
Turbulente Strömung im Kreisrohr
B Stetige Verengung
Unstetige Verengung
A
253
Totraum
v1
De
D1
D2
v2
D1
v1
v2

D2
Nach WEISBACH:
1 
 V    1
 
2
KONFUSOR
mit
2
D 
   e   Kontraktionsfaktor
 D2 
D 
  0,63  0,37  2 
 D1 
Abb. 14.13:
4
 D  0,09
für   15
 D  0,04
für   15  40
 D  0,06
für   40  60
Verluste bei Querschnittsverengung
Totraum
v
3
6
5
2
Schnitt A-A
Totraum
rK
1
Totraum
D
4

v
Abb. 14.14:
Umlenkverluste
Querwirbel
Turbulente Strömung im Kreisrohr
254
Der Gesamtwiderstand im Krümmer (k) besteht aus dem Umlenkwiderstand (u) und dem Reibungswiderstand (r):
k  u  r
wobei:
 r  0,0175 
rk

D
und bei  = 90°:
 u  0,21
rk D für glatte Krümmer mit  = 90°,
 u  0,42
rk D für raue Krümmer mit  = 90°.
14.5 Druckströmung in Rohren mit nichtkreisförmigem Querschnitt
Um das Widerstandsgesetz:
hr  
L v2
D 2g
auch für Rohre mit nichtkreisförmigem Querschnitt anwenden zu können, muss anstelle des
Rohrdurchmessers D ein hydraulisch äquivalenter Rohrdurchmesser Däq eingesetzt werden:
D äq  4
mit:
A
 4R
U
R
=
A/U hydraulischer Radius,
A
=
Rohrquerschnitt,
U
=
benetzter Rohrumfang.
Zum Beispiel hat ein Rohr mit einem Rechteckquerschnitt und den Innenabmessungen a b
einen äquivalenten Rohrdurchmesser Däq:
Däq  4
A
ab
ab
4
2
U
2(a  b)
ab
Das heißt, Däq muss entsprechend auch zur Bestimmung der REYNOLDS-Zahl und der relativen Rauheit verwendet werden:
Re 
v Däq

und
k
Däq
Turbulente Strömung im Kreisrohr
255
Damit können die Berechnungsansätze für kreisförmige Rohre sowie die MOODY-Diagramme
und MOCK-Nomogramme zur Bestimmung der λ-Werte auch für jeden beliebigen nichtkreisförmigen Rohrquerschnitt verwendet werden. Die Zulässigkeit dieses Vorgehens wurde bereits
durch umfangreiche experimentelle Untersuchungen belegt.
14.6 Praktische Hinweise zur Bemessung und Optimierung von Rohrleitungen
Mit:
v
Q
Q

A  (D 2 / 4)
folgt aus Gl. ((14.6)):
hr  
16L Q2
.
2 2g D5
(14.20)
Da die Betriebskosten KBe mit der Verlusthöhe hr proportional ansteigen, gilt für eine vorgegebene Rohrlänge L:
K Be  C1
mit:
Q2
D5
(14.21)
C1 = Konstante.
Für eine vorgegebene Rohrlänge L steigen die Baukosten KBa proportional mit dem Durchmesser D und der Wandstärke s an:
K Ba  D s .
(14.22)
Nach der Kesselformel ist:
s
mit:
w g H p D
2 zul
(14.23)
Hp = Betriebsdruckhöhe,
zul = zul. Spannung des Rohrmaterials.
Aus Gl. (14.22) und Gl. (14.23) folgt für die Baukosten:
K BA  C 2 H p D 2
(14.24)
Turbulente Strömung im Kreisrohr
256
Kosten K
Nach Gl. (14.21) verringern sich die Betriebskosten mit der 5. Potenz des Rohrdurchmessers
und nach Gl. (14.24) steigen die Baukosten mit dem Quadrat des Rohrdurchmessers an. Diese
gegenläufige Tendenz erfordert eine Optimierung des Rohrdurchmessers. Der optimale Durchmesser ergibt sich als Minimum der Summe aus Bau- und Betriebskosten (Abb. 14.15).
Gesamtkosten K
K = KBa + KBe
min K
Baukosten KBa
KBa
D2
Betriebskosten KBe
KBe ≈ D-5
Dopt
Abb. 14.15:
Optimierung des Rohrdurchmessers D
Rohrdurchmesser D
Turbulente Strömung im Kreisrohr
257
14.7 Zusammenfassung
1.
Das zentrale Problem der Druckrohrberechnung ist die Bestimmung des gesamten Energieverlustes hv, der sich aus den Reibungsverlusten hr und den lokalen Verlusten hi zusammensetzt:
h v   h r   hi
2.
Die Berücksichtigung der Verlusthöhe hv in der BERNOULLI-Gleichung führt zu der
erweiterten BERNOULLI-Gleichung:
p
W g
3.

v2
 z  h v  konst.
2g
Die Reibungsverluste hr werden unter Verwendung des allgemeinen Widerstandsgesetzes
für laminare und turbulente Strömungen bestimmt:
hr  
L v2
,
D 2g
wobei der Widerstandsbeiwert λ ein Maß für die Wandreibung (k/D) und die viskose
Reibung (Re) darstellt (λ = λ (k/D, Re)).
4.
Der Widerstandsbeiwert λ lässt sich nur bei laminarer Strömung theoretisch erfassen:

5.
Bei turbulenter Strömung liegen empirische Ansätze und Diagramme für die Bestimmung
der λ-Werte vor. Dabei werden drei Bereiche unterschieden, die sich durch die Dicke der
laminaren Unterschicht im Vergleich zu den Rauheitserhebungen k erklären lassen:



6.
64
Re
hydraulisch glattes Verhalten
Übergangsbereich
hydraulisch raues Verhalten
:
:
:
λ = λ (Re)
λ = λ (k/D, Re)
λ = λ (k/D)
Streng genommen gilt das quadratische Widerstandsgesetz
h r  v2
nur im hydraulisch rauen Bereich.
7.
Die Leiternomogramme (MOCK) sind genauer und bequemer als andere Diagramme für
die Bestimmung der Widerstandsbeiwerte λ. Das MOODY-Diagramm ist jedoch übersichtlicher.
Turbulente Strömung im Kreisrohr
8.
258
Die lokalen Verluste sind ihrem Wesen nach Stoßverluste. Sie werden durch Unstetigkeiten in der Rohrleitung verursacht und lassen sich durch folgende Widerstandsgleichung
berechnen:
h i  i
v2
,
2g
wobei i.d.R. der Widerstandsbeiwert i empirisch zu bestimmen (Ausnahme: BORDAVerlust) und für v die Geschwindigkeit unmittelbar hinter der Störstelle anzusetzen (Ausnahme: Querschnittserweiterungen) ist.
9.
Das allgemeine Widerstandsgesetz sowie die entsprechenden Ansätze und Diagramme
zur Bestimmung des Widerstandsbeiwertes λ können auch für nichtkreisförmige Druckrohre verwendet werden. Dabei muss anstelle des Rohrdurchmessers D der hydraulisch
äquivalente Durchmesser Däq = 4R (R = hydraulischer Radius) in die entsprechende REYNOLDS-Zahl (Re = v Däq/ν) und in die relative Rauheit (k/Däq) eingesetzt werden, um
den Widerstandsbeiwert λ zu bestimmen.
10.
Bau- und Betriebskosten von Druckrohrleitungen haben eine gegenläufige Tendenz hinsichtlich ihrer Abhängigkeit vom Rohrdurchmesser. Der optimale Durchmesser stellt das
Minimum der Summe aus Bau- und Betriebskosten dar.
Turbulente Strömung im Kreisrohr
259
14.8 Aufgaben
Aufgabe 14.1:
"Energiegleichung mit Energieverlust"
Aus einem stehenden Gewässer werden zur Deckung des Wasserbedarfs einer Stadt
Q = 0,1 m3/s abgepumpt. Bestimmen Sie die Leistung der Pumpe, die Wasser vom See zur
Trinkwasseraufbereitungsanlage fördern soll. Ermitteln Sie in diesem Zusammenhang auch die
maximale Höhenlage der Pumpe.
Rohr 4
L4 = 10 m
D4 = 0,15 m
Rohr 2
Q = 0,1
D1 = 0,2 m
L2 = 50 m
L3 = 3,0 m
D3 = 0,15 m
15 m
D2 = 0,15 m
Pumpe
0
4
m3 /s
L1 = 10 m
0
2,0 m
Rohr 3
stehendes Gewässer
v0 = 0
1,0 m
Rohr 1
Abb. 14.16:
Darstellung des Systems
Gegeben:
K = 0,3
e = 0,5
k = 0,1 mm
ν = 10-6 m2/s
Lösung:
a)
Berechnung der Geschwindigkeiten in den Rohrleitungen:
Q  A1 v1 
Rohr 1:
 v1 
Rohr 2:
v2 
4
 D12
v1
4
Q4
0,1  4

 3,18 m / s
2
 D1
  0, 22
Q4
0,1  4

 5,66m / s
2
 D2
  0,152
Bezugshorizont z = 0
Turbulente Strömung im Kreisrohr
Da der Querschnitt der Rohre 3 und 4 dem Querschnitt des Rohres 2 entspricht, folgt:
v 2  v3  v 4  5,66 m s
b)
Aufstellen der BERNOULLI-Gleichung für die Schnitte 0-0 und 4-4:
v0 2
p
v2
p
 0  z 0  h man  4  4  z 4   h i   h r
2g w g
2g w g
Daraus folgt die manometrische Druckhöhe:
h man
5,66 2

 0  15,0   h i   h r
2  9,81
Ermittlung der lokalen Verluste
 h i  e
da
h
i
:
v12
v2
v2
v2
 K 2  K 3  K 4
2g
2g
2g
2g
v2 = v3 = v4
  h i  0,5 

h
i
 e
v12
v2
 3 K 4
2g
2g
3,182
5, 66 2
 3  0,3 
2  9,81
2  9,81
  h i  1,73 mWS
Ermittlung der Reibungsverluste
 h r  1
h
r
:
 L  L3  L 4  v 4 2
L1 v12
 4  2

D1 2g
D4

 2g
Bestimmung der λ-Werte:
λ1 = f (k/D1, Re1)
k
0,1
v  D 3,18  0, 20

 5 104 , Re1  1 1 
 636.000
D1 200

1  106
 Moody-Diagramm  λ1 = 0,017
λ4 = f (k/D4, Re4)
k / D4 
v D
5,66  0,15
0,1
 849.000
 6, 7 104 , Re4  4 4 
1  106

150
 Moody-Diagramm  λ4 = 0,018
260
Turbulente Strömung im Kreisrohr
13,0 3,182
63,0 5,662
hr  0,017  0,2  2  9,81  0,018  0,15  2  9,81
h

r
 0, 57  12, 34  12, 91 mWS
Ermittlung der manometrischen Druckhöhe:

c)
h man
5,662

15,0 1,73  12,91  31, 27 mWS
2  9,81
Ermittlung der maximalen Höhenlage der Pumpe:
hD,min = -7 mWS (Grenzwert für das Abreißen der Strömung)
Aufstellen der BERNOULLI- Gleichung:
v2p
p
v02
p0

 z0 
 p  zp   hi   h r
2g w g
2g w g
mit:
zp = Höhe der Pumpe
vp = Geschwindigkeit in der Rohrleitung direkt unterhalb der Pumpe
pp = Druck in der Rohrleitung
v2p
v02
3,182
p0

0

 0,515 mWS ;
 0 ; z0 = 0;
mit:
;
2g
2g 2  9,81
w g
pp
w g
 h D,min  7,0 mWS ; zp = ?
Einzelverluste bis zur Pumpe:
 hi  
v12
3,182
 0,5 
 0,26 mWS
2g
2  9,81
261
Turbulente Strömung im Kreisrohr
262
Reibungsverluste bis zur Pumpe:
(1,0  z) 3,182
hr  0,017  0,2  2  9,81  0,044  0,044  zp
3,182
 0
 (7,0)  zp  0,26  0,044  0,044  zp
2  9,81
 z p  5,92m
"Ermittlung einer Pumpleistung"
Aufgabe 14.2:
Gegeben ist eine Pumpe, die die Wassermenge Q fördert. Die Austrittsgeschwindigkeit im
Querschnitt A beträgt vA = 6,37 m/s. Die Energieverluste zwischen A und B sind vernachlässigbar. Wie hoch ist die Leistung der Pumpe?
Pumpe
A
vA = 6,37 m/s
D = 0,2 m
D = 0,5 m
B
1,2 m
z = 0 Bezugshorizont
vB
Abb. 14.17:
Pumpsystem
Gegeben:
pA = 0,17 bar = 17 kN/m2
pB = -0,03 bar = -3 kN/m2
η = 0,9 (Wirkungsgrad der Pumpe)
Lösung:
Ermittlung der kennzeichnenden Größen für die Schnitte A und B:
vA  6,37 m/s
Es gilt die Kontinuitätsgleichung:
D2B 
D2A 
vB A B  vA A A  vB
 vA
4
4
Turbulente Strömung im Kreisrohr
263
D2A
0,22
 vB  vA 2  6,37  2  1,02 m/s
DB
0,5
Ermittlung des Durchflusses Q:
0,22  
 Q  vA AA  6,37 
 0,20 m3 s
4
Anwendung der BERNOULLI-Gleichung zur Ermittlung der manometrischen Druckhöhe hman:
v2B pB
v2A pA

 zB  h man 

 zA
2g Wg
2g Wg
1,022
3
6,372
17

 0  hman 

1,2
2  9,81 1,0  9,81
2  9,81 1,0  9,81
h man  5, 25 mWS
Die Pumpleistung kann anhand folgender Gleichung ermittelt werden:
1
P  w g Q h man

Nettoleistung:
 PN  w g Q h man  1,0  9,81  0,2  5,25  10,3 kW
Bruttoleistung:
P
PN 10,3

 11,445 kW

0,9
Turbulente Strömung im Kreisrohr
264
"Pumpenkennlinie und Rohrleitungskennlinie"
Aufgabe 14.3:
In einem Bewässerungssystem soll Wasser aus einem See (stehendes Gewässer) in die Bewässerungsgräben gepumpt werden. Für die bereits bekannte Pumpenkennlinie sind die Rohrleitungslinie sowie der Arbeitspunkt zu bestimmen.
2
K
75 mNN
2
z2 = 5m
70 mNN
0
0
z=0
D = 0,2 m
(v0 = 0)
Pumpe
Abb. 14.18:
K
Bewässerungssystem
Gegeben:
Länge der Rohrleitung: L = 50 m
Innendurchmesser: D = 0,2 m
Rauheit: k = 0,5 mm
Krümmungsverlustbeiwert: ξk = 0,5
Kinematische Viskosität: ν = 1∙10-6 m2/s
Pumpenkennlinie:
Q [l/s]
0
50
100
150
200
hman [m]
15,0
14,5
13,5
12,0
10,0
Lösung:
Arbeitspunkt: Q ≈ 0,14 m3/s
hman = 12,5 m
Turbulente Strömung im Kreisrohr
Aufgabe 14.4:
265
"Entwässerungsleitung"
Die Entwässerungsleitung einer Braunkohletagebaugrube hat eine Länge von 1.800 m bei einem Durchmesser von 300 mm (neue, verzinkte Stahlrohrleitung, nahtlos). Dabei wird das
Wasser um 40 m angehoben. Die Fördermenge betrug bei Inbetriebnahme der Grubenentwässerung rd. 120 l/s. Während des Betriebes der Grubenentwässerung werden ganz erhebliche
Verkrustungen an der Rohrinnenwandung erwartet.
Um wieviel Prozent müsste die Pumpenleistung gesteigert werden, um die erhöhten Reibungsverluste (Verkrustungen) aufzufangen?
Gegeben:
g = 9,81 m/s2
w = 1,0 t/m3
ν = 1,0∙10-6 m2/s
Anmerkung: Die Fördermenge soll also konstant gehalten werden! Örtliche Verluste bleiben unberücksichtigt.
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
266
15 Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
15.1 Grundlegende Unterschiede zwischen Strömung im Druckrohr und
im Freispiegelgerinne
Gerinne sind einseitig offene Strömungskanäle. Dabei werden unterschieden:

künstliche Gerinne mit meist regelmäßigem konstantem Querschnitt,

natürliche Gerinne mit oft unregelmäßigem veränderlichem Querschnitt.
Zwischen einer Strömung im Freispiegelgerinne und einer Druckrohrströmung bestehen einige
grundlegende Unterschiede hinsichtlich folgender Aspekte, die auch in Abb. 15.1 dargestellt
sind:

Fließquerschnitt A und benetzter Umfang U
Bei Druckrohrströmungen ist die Flüssigkeit allseitig von der festen Rohrwandung
umgeben. Der benetzte Umfang entspricht dem Rohrumfang, d.h. der Fließquerschnitt A bleibt konstant. Bei Freispiegelgerinnen besteht eine freie Oberfläche, die
nur dem Atmosphärendruck ausgesetzt ist. Durch die freie Oberfläche ergibt sich
ein zusätzlicher Freiheitsgrad: die variable Spiegelhöhe h, d.h. A = f(h) = f(Q).
Deshalb ist die Berechnung von Strömungen im Freispiegelgerinne komplexer als
bei Druckrohrströmungen. Dies erklärt auch, warum bei Freispiegelströmungen
mehr auf empirische Lösungen verwiesen wird.

Treibende Kräfte
Bei Druckrohrströmungen sind es vorwiegend die Druckkräfte und bei Gerinneströmungen vor allem die Schwerkräfte, die die treibenden Kräfte darstellen.

Geschwindigkeitsverteilung
Bei Druckrohrströmungen ist die Geschwindigkeitsverteilung rotationssymmetrisch, bei Gerinneströmungen ist sie asymmetrisch.
Abb. 15.1:
Strömung im Druckrohr und im Freispiegelgerinne
Hauptproblem der
Berechnung
Kritische
Reynoldszahl
Geschwindigkeitsverteilung
Treibende
Kräfte
Fließquerschnitt A
und benetzter
Umfang U
v
∆p
vmax
Isotachen
 Q, Doptimal
Gesamte Energieverlusthöhe: hv = hr + hi
Rekrit = 2320
symmetrisch
Druckkräfte
Rekrit =
vmax
G
p = patm.

 Q, Aoptimal
2320
= 580
4
G sin
Wasserspiegellage: h
asymmetrisch
I So
Schwerkräfte
DL
= variabel
= variabel
= f(h) = f(Q)
= f(h) = F(Q)
A
Isotachen
h
A
A
U
U
FREISPIEGELGERINNE
* freie Wasseroberfläche
* Flüssigkeit allseitig voll von fester Rohrwandung
U umgeben
A A = Rohrquerschnitt
 zusätzlicher Freiheitsgrad:
variable Spiegelhöhe h
= konst.
(festgelegt durch Rohrwandung)  Berechnung komplexer als bei
Druckrohrströmung
U = Rohrumfang = konst.
DRUCKROHRSTRÖMUNG
h
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
267
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
268
Es bestehen auch weitere Unterschiede wie z.B. hinsichtlich der kritischen REYNOLDS-Zahl:

Rekrit = 2320 bei Druckrohrströmungen,

Rekrit = 580 bei Freispiegelgerinnen.
15.2 Strömungsfälle - Gleichförmiger und ungleichförmiger Abfluss
Gleichförmige Strömung liegt vor, wenn Wassertiefe, Strömungsgeschwindigkeit und weitere
Einflussgrößen, wie Sohlgefälle und Fließquerschnitt, entlang des Gerinnes konstant bleiben.
Die Strömung ist ungleichförmig, wenn diese Strömungsgrößen von einem Gerinnequerschnitt
zum anderen variieren.
Gleichförmige Strömung darf nicht mit stationärer Strömung und ungleichförmige Strömung
nicht mit instationärer Strömung verwechselt werden. Die grundsätzlichen Unterschiede sind
in Abb. 15.2 dargestellt.
Welcher Strömungsfall vorliegt, hängt von den beteiligten Trägheitskräften, d.h. von der Beschleunigung der Strömung, ab. Deshalb stellt die in Abb. 15.2 angegebene Beschleunigungsgleichung die Grundlage für die Charakterisierung der Strömungsfälle dar.
Während für die Unterscheidung stationär/instationär die lokale Beschleunigung V/t maßgebend ist, entscheidet die konvektive Beschleunigung v V/S bei der Unterscheidung zwischen
gleichförmiger und ungleichförmiger Strömung.
Da hier keine instationären Strömungen behandelt werden, wird im Folgenden näher auf die
gleichförmige/ungleichförmige Strömung bei stationärem Abfluss eingegangen. Dabei werden
folgende Fälle unterschieden, die in Abb. 15.3 dargestellt sind:
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
Abb. 15.2:
Strömungsfälle bei stationärem und instationärem Abfluss
269
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
270
h
IE
IW
v (x)
x
I SO
a
v
v
0
x
IW
Gleichförmiger Abfluss
ISO = IW = IE
IE
v (x)
v
I SO
IW
IE
c
v (x)
I SO
b
v
v
0
x
v
0
x
Beschleunigter Abfluss
(Senkungskurve)
ISO < IW und IE < IW
Verzögerter Abfluss (Staukurve)
ISO > IW und IE > IW
Abb. 15.3:
Strömungsfälle bei stationärem Abfluss

Gleichförmige Strömung (Abb. 15.3a)
Die konvektive Beschleunigung v V/x ist Null, d.h. die Geschwindigkeit v(x) ist
konstant in Fließrichtung x. Das hat zur Folge, dass der Fließquerschnitt bzw. die
Wassertiefe h in Fließrichtung konstant bleibt. Das Energiegefälle IE ist gleich dem
Wasserspiegelgefälle IW und gleich dem Sohlgefälle ISO. Dieser Strömungsfall wird
als Normalabfluss bezeichnet.

Bei der ungleichförmigen Strömung sind 2 Fälle möglich:
-
Verzögerter Abfluss (Abb. 15.3b): Die konvektive Beschleunigung v v/x ist
kleiner als Null. Die Geschwindigkeit v(x) wird daher in Fließrichtung x kleiner. Aus Kontinuitätsgründen wird die Wassertiefe h in Fließrichtung x größer. Es entsteht eine Staukurve. In diesem Fall sind Energiegefälle IE und
Sohlgefälle ISO größer als das Wasserspiegelgefälle IW.
-
Beschleunigter Abfluss (Abb. 15.3c): Die konvektive Beschleunigung v v/s
ist größer als Null und die Geschwindigkeit v(x) wird somit in Fließrichtung
größer. Dadurch werden der Fließquerschnitt A bzw. die Wassertiefe h in
Fließrichtung kleiner. Es entsteht eine Senkungskurve. Energiegefälle IE und
Sohlgefälle ISO sind beide kleiner als das Wasserspiegelgefälle IW.
Verzögerter Abfluss – und somit eine Staukurve! – entsteht immer dann, wenn durch Einbauten
bzw. Störungen (Wehre, Brückenpfeiler, Querschittseinengungen durch Buhnen, etc.) ein örtlicher Energieverlust eintritt. Die Staukurven können beachtliche Längen im Oberwasser aufweisen.
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
271
Beschleunigter Abfluss – und somit eine Senkungskurve! – tritt dagegen in unmittelbarer Nähe
von Wehren oder Abstürzen auf. Die Senkungskurven sind in der Länge beschränkt und oft mit
einem Fließwechsel verbunden.
Zur Berechnung der Stau- und Senkungskurven werden in der Praxis oft iterative Näherungsverfahren herangezogen. Dabei muss bei schießendem Abfluss (wo keine Störung stromauf
gelangen kann) immer stromab gerechnet werden. Bei strömendem Abfluss muss dagegen immer stromauf gerechnet werden, sonst konvergiert die Lösung nicht (vgl. Abschnitt 9).
15.3 Widerstandsgesetz und empirische Fließformeln für den gleichförmigen stationären Abfluss
15.3.1 Herleitung des Widerstandsgesetzes
(a)
Annahmen und Ausgangsbedingungen

Es wird eine stationäre und gleichförmige Strömung (Normalabfluss) angenommen:
Fließgeschwindigkeit
v(x, t) = konst.
Fließquerschnitt
A(x, t) = konst.

Das Sohlgefälle ISO muss so klein sein, dass ISO  sin   tan  gilt. Diese Annahme
ist berechtigt, da das Sohlgefälle natürlicher Gerinne meistens sehr klein ist (z.B.
Elbe/Weser im Unterlauf: ISO = 10-4 bis 10-3).

Es wird ein Kontrollvolumen mit der Länge L, dem Fließquerschnitt A, der Wassertiefe h und dem Sohlgefälle ISO betrachtet (Abb. 15.4). Der benetzte Umfang ist
U und aufgrund des Normalabflusses gilt:
ISO = IE = IW.
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
272
2
1

EL
DL
I1
hr
IE
IW
F1
I2
I SO

EL
v2 /2g
h cos 
DL
A
F2
U
s
G = mg

benetzter
Umfang
L
1
2
Abb. 15.4:
(b)
Prinzipienskizze zur Herleitung des Widerstandsgesetzes
Herleitung
Es wird die Gleichgewichtsbedingung der Kräfte in Fließrichtung x betrachtet:
F
xi
0


 
 I1  F1  G sin     I2  F2  0 U L   0

  

 S1
  S2





1
2
2
 w Q v  w g h cos   G sin  
2 
 

S1






1
  w Q v  w g h 2 cos 2   0 U L   0
2 
 

S2


Da S1 = S2

G sin   0 U L
Gewichtskraft FG

Reibungskraft FR
Reibungskraft FR: Mit 0 = (/4) w v2/2 (siehe Abschnitt 14) folgt:
(15.1)
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne

v2
FR  w U L
4
2

273
(15.2)
Gewichtskraft FG: Mit G = m g = w V G = w A L g
und hr/L = sin  (Da ISO = tan  = IE = hr/L = sin ) wird:
FG   w A L g
hr
L
 FR  w A g h r
(15.3)
Gl (15.2) und Gl. (15.3) in Gl (15.1) eingesetzt ergibt:

v2
w g A h r  w U L
4
2
 v2
g A hr  U L
4 2
 L v2
hr 
4 A U 2g
Mit A/U = R (hydraulischer Radius) folgt:
hr  
L v2
4R 2g
(15.4)
Daraus wird das gleiche Widerstandsgesetz wie für Druckrohrströmungen bei nicht kreisförmigen Querschnitten gebildet:
L v2
hr  
,
Däq 2g
mit Däq = 4R jedoch mit dem Unterschied, dass der Freispiegel nicht im Umfang U berücksichtigt wird.
15.3.2 Empirische Fließformeln
(a)
Fließformel von CHEZY46
Die Grundlage für die Entwicklung der meisten empirischen Fließformeln für Freispiegelgerinne bildet die Fließformel von CHEZY, die wie folgt abgeleitet werden kann:
46
CHEZY, Antoine (1718–1798): Französischer Ingenieur.
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
Aus dem Widerstandsgesetz:
hr  
v2 
L v2
4 R 2g
274
folgt:
8g h r
R
 L
Und mit:

hr
 I (I = Sohlgefälle, das gleich dem Wasserspiegelgefälle ist)
L

C
8g

wird:
vC R I
(15.5)
Q  CA R I
(15.5)a
Oder mit v = Q/A:
In der CHEZY-Formel Gl. (15.5) bzw. (15.5)a ist der Geschwindigkeitsbeiwert C dimensionsbehaftet [m1/2/s] und vom Reibungsbeiwert  (vgl. Abschnitt 14), der Querschnittsform und der Rauheitsstruktur abhängig:

C = C (, Querschnittsform, Rauheitsstruktur) und

 =  (Re, k/R).
Der grundsätzliche Unterschied zwischen dem Widerstandsbeiwert  bei Druckrohrströmungen und dem Beiwert C bei Strömungen im Freispiegelgerinne wird durch den nachstehenden Versuch von BAZIN47 verdeutlicht:
(b)
Versuch von BAZIN
Es wird vergleichsweise ein stationäres gleichförmiges Fließen in einem vollgefüllten
Kreisrohr mit dem Durchmesser D und in einem Halbrohr (Freispiegelgerinne) mit der
Wassertiefe h = D/2 betrachtet (Abb. 15.5). Beide haben das gleiche Sohlgefälle ISO.
47
BAZIN, Henry Emile (1829–1917): Französischer Ingenieur.
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
275
Da in beiden Fällen gleiches Sohlgefälle und stationärer Abfluss vorhanden sind, sollte
aus Kontinuitätsgründen der Durchfluss Qb im Halbrohr halb so groß wie der Durchfluss Qa im vollgefüllten Rohr sein:
Q b,halb 
Q a ,voll
2
Genauere Messungen zeigen jedoch, dass:
Q b,halb 
Q a ,voll
2
a) vollgefülltes Rohr mit Durchmesser D
D
b) Halbrohr mit Freispiegelgerinne und Wassertiefe D/2
b
D/2
U
Abb. 15.5:
Versuch von BAZIN – Prinzipdarstellung
Die Erklärung hierfür liefert der Vergleich der Isotachen (= Linien gleicher Geschwindigkeit) für beide Fälle (Abb. 15.6):

Bei vollgefülltem Rohr herrscht volle Symmetrie (Rotationssymmetrie) hinsichtlich
der Geschwindigkeitsverteilung mit vmax in der Rohrachse.

Beim Halbrohr mit Freispiegel ist keine volle Symmetrie gegeben und vmax liegt
etwas unter der freien Oberfläche. Dies ist dadurch zu erklären, dass die freie Wasseroberfläche im Gegensatz zu einer festen Wandung einen turbulenten Austausch
mit der Atmosphärenluft zulässt. Dadurch entstehen Störungen des Wasserspiegels
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
276
(Wirbel, Wellen), die der Hauptströmung Energie entziehen und somit zur Abflussminderung führen. Dieser Effekt ist umso ausgeprägter, je größer das Verhältnis
der Wasserspiegelbreite b zum benetzten Umfang U ist (Abb. 15.5). Das bedeutet,
dass die Strömung im Freispiegelgerinne umso stärker von der Strömung in einem
vollgefüllten Rohr abweicht, je flacher das Gerinne ist. Deshalb ist bei Gerinneströmungen die Form des Fließquerschnittes auch für den Widerstandsbeiwert C von
Bedeutung.
a) vollgefülltes Rohr
vmax
D
Isotachen
b) Halbrohr mit Freispiegel
vmax
D/2
Isotachen
Abb. 15.6:
(c)
Isotachen bei Voll- und Halbrohr
GMS-Formel (GAUCKLER/MANNING/STRICKLER)
Die meisten Fließformeln sind auf der Grundlage der CHEZY-Formel entstanden und
unterscheiden sich daher im Wesentlichen durch den Ausdruck für den Beiwert C in
Gl. (15.5) bzw. (15.5)a. Die im deutschen Sprachraum und international gebräuchlichste
Abflussformel ist die GAUCKLER/MANNING/STRICKLER-Formel, kurz GMS-Formel oder auch MANNING/STRICKLER-Formel genannt:
Q  A k st R 2 / 3 I1/ 2
(15.6)
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
277
Mit dem STRICKLER- Beiwert:
8g
C
k st  1/ 6  1/6
R
R
k st 
8g
 R1/3
(15.7)
Der Beiwert kst ist dimensionsbehaftet [ml/3/s] und darf auch nicht mit der Rauheitserhebung k, die beim allgemeinen Widerstandsgesetz zur Bestimmung des Widerstandsbeiwertes  herangezogen wird, verwechselt werden. Im Gegenteil, der Strömungswiderstand nimmt bei zunehmenden kst-Werten nach der GMS-Formel ab (vgl. Gl. (15.7)). Einige Richtwerte für den STRICKLER-Beiwert kst sind in Tab. 15.1 angegeben.
Tab. 15.1:
STRICKLER-Beiwert kst in der GMS-Formel48
Material und Art der
kst
Oberfläche
[m1/3/s]
Glattes Stahlrohr
100  120
Glatter Beton
75  95
Glatte Holzrinne
85  90
Asphaltauskleidung
70  75
Bruchstein Mauerwerk
45  50
Regelmäßiges Kiesbett aus gröberem Material
35  40
Natürliche Flüsse mit mäßigem Geschiebebetrieb
30  35
Gebirgsflüsse
 20
Der reziproke Wert n = 1/kst wird als MANNING-Beiwert bezeichnet und hat die Dimension [s/m1/3].
15.3.3 Einschränkungen bei der Anwendung der Fließformeln
Die empirischen Fließformeln, von denen die GMS-Formel hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit
hier stellvertretend diskutiert wird, sind nur eine grobe Näherung der Wirklichkeit. Die wichtigsten Einschränkungen können wie folgt zusammengefasst werden:
48
Für weitere kst-Werte siehe z.B. PRESS/SCHRÖDER (1966).
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
278

Da der kst-Beiwert dimensionsbehaftet ist, müssten eigentlich die kst-Werte nur für
die Gerinnegrößen gelten, für die sie bestimmt wurden.

Die Querschnittsform wird in den Formeln nicht explizit berücksichtigt. Streng genommen müssten diese Formeln nur für Querschnittsformen gelten, für die die entsprechenden kst-Werte bestimmt worden sind.

Da nirgends in den Formeln bzw. entsprechenden Beiwerten die Viskosität explizit
berücksichtigt wird, gelten sie nur für große REYNOLDS-Zahlen, also nur für turbulente Strömungen im hydraulisch rauen Bereich.

Außerdem sind folgende weitere Einflussfaktoren unberücksichtigt geblieben:
-
unterschiedliche Rauheiten und zusammengesetzte Querschnitte,
-
Geschiebetrieb und veränderliche Sohlform (Rippel, wandernde
Bänke),
-
Störungen und Strömungsinstabilitäten, die zur Wellenbildung führen,
-
Luftaufnahme durch die freie Wasseroberfläche bei hohen Strömungsgeschwindigkeiten.
Weitere Details hinsichtlich dieser Einflussfaktoren können z.B. bei NAUDASCHER (1992)
entnommen werden.
Zum Schluss ist zu unterstreichen, dass die Fließformeln für den stationär gleichförmigen Abfluss gelten. Werden sie näherungsweise zur Berechnung eines leicht ungleichförmigen Abflusses verwendet, so ist für I das Energiegefälle IE anstatt des Sohlgefälles ISO anzusetzen.
15.3.4 Grundaufgaben der Gerinnehydraulik
Die meisten Bemessungsaufgaben in der Praxis der Gerinnehydraulik können im Wesentlichen
auf die drei folgenden Grundaufgaben zurückgeführt werden:
1. Grundaufgabe

Gegeben:
h, I
A, U und R = A/U
Gesucht:
v, Q
Lösung:
v  k st R 2 / 3 I1/ 2 und Q = v A
Solche Aufgaben treten z.B. bei der Nachrechnung der Leistungsfähigkeit eines Querschnitts für die gefahrlose Abführung eines Hochwasserabflusses Qmax auf.
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
279
2. Grundaufgabe

Gegeben:
h, Q
Gesucht:
I
Lösung:
v = Q/A und I 
A, U und R = A/U
v2
k st2 R 4/3
Solche Aufgaben kommen z.B. bei der Planung von Bewässerungskanälen vor.
3. Grundaufgabe
Gegeben:
Q, I und A
Gesucht:
h
Lösung:
Q = v A = A k st R 2 / 3 I1/ 2
Q  k st I1/ 2 A R 2/3
konst. f(h)
Daraus ist dann h zu ermitteln. Ist eine geschlossene Lösung nicht möglich, muss die
Bestimmung von h iterativ bzw. graphisch erfolgen. Solche Aufgaben kommen z.B. bei
der Ermittlung des Wasserstandes bei gegebenem Abfluss vor.
Eine Berechnungshilfe bei der Lösung solcher Bemessungsaufgaben stellt das Nomogramm
nach der GMS-Formel dar (Abb. 15.8).
15.4 Hydraulischer Radius und hydraulisch günstige Querschnitte
– Sonderfälle –
Es wird bereits aus dem Widerstandsgesetz (Gl. (15.4)) und den weiteren Fließformeln
(CHEZY- und GMS-Formel) deutlich, wie bedeutend der Einfluss des hydraulischen Radius R
für den Abfluss bzw. die Energieverluste ist. Deshalb ist eine nähere Betrachtung von R und
des entsprechenden Gerinnequerschnitts erforderlich.
15.4.1 Hydraulischer Radius
(a)
Einfluss der Wassertiefe
Der hydraulische Radius R eines Rechteckgerinnes mit der Spiegelbreite B (= konstant)
und der Wassertiefe h (= variabel) ist:
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
R(h) 
Bh
B  2h
a  0  R(h) 
Abb. 15.7:
Nomogram nach der GMS-Formel
0
0
B
280
(15.8)
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
281
Das Umschreiben von Gl. (15.8) in folgende Form:
R(h) 
B
B
2
h
führt für h   zu:
R
B
2
Für Fließquerschnitte mit relativ großer Wassertiefe kann der hydraulische Radius R gleich
der Hälfte der Speigelbreite B angenommen werden (Abb. 15.8).
B (konst.)
h
A
h (variabel)
0
Abb. 15.8:
(b)
B/2
R
Einfluss der Wassertiefe auf den hydraulischen Radius
Einfluss der Spiegelbreite
Mit h = konst. und B = variabel folgt aus Gl. (15.8):
R(B) 
Bh
B  2h
B0R 
0
0
2h
(15.8)a
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
282
Das Umschreiben von Gl. (15.8a) in folgende Form:
R(B) 
h
2h
1
B
führt für B   zu:
Rh
Für Fließquerschnitte mit relativ großer Spiegelbreite B kann der hydraulische Radius gleich
der Wassertiefe h gesetzt werden (Abb. 15.9).
B (variabel)
A
B
h (konst.)
0
Abb. 15.9:
h
R
Einfluss der Spiegelbreite auf den hydraulischen Radius
15.4.2 Gerinne mit gegliedertem Querschnitt
Die Strömungsgeschwindigkeit v in den Abflussformeln bezieht sich auf die mittlere Geschwindigkeit über den gesamten Fließquerschnitt. Bei gegliedertem Querschnitt ist die Annahme einer gleich großen mittleren Geschwindigkeit über den gesamten Fließquerschnitt jedoch nicht vertretbar.
Die Lösung besteht darin, die Berechnung des Durchflusses gesondert für jeden Teilquerschnitt
durchzuführen (Abb. 15.10):
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
Vorland
283
Vorland
A
(HW)
(HW)
Strombett (MW)
Trennflächen
A1
h1
A2
A3
h2
h3
U1
U3
U2
Abb. 15.10:
Zerlegung eines gegliederten Querschnittes mit "Vorländern"
Die Höhe der Schnittflächen wird im benetzten Umfang nur beim tiefsten Teilquerschnitt
(Strombett), jedoch nicht bei den flacheren Teilquerschnitten ("Vorländern") berücksichtigt.
Das Sohlgefälle I ist für alle Teilquerschnitte gleich.
Die hydraulischen Radien für die drei Teilabschnitte in Abb. 15.10 sind:
R1 =
A1
A
, R2 = 2
U1
U2
und R 3 =
A3
U3
und die entsprechenden Teilabflüsse nach der GMS-Formel sind:
Q1 = k st,1 A1 R 12/3 I1/2
1/2
Q 2 = k st,2 A 2 R 2/3
2 I
Q3 = k st,3 A 3 R 32/3 I1/2
Der Gesamtdurchfluss Q ergibt sich durch Aufsummieren der Teilabflüsse:
Q  Q1  Q2  Q3
In Abb. 15.10 wurde angenommen, dass die zwei Trennflächen für die beiden Vorländer
schubspannungsfrei sind. In Wirklichkeit trifft diese Annahme nicht zu, da der starke Geschwindigkeitsunterschied zwischen "Vorländern" und Strombett zu großen Schubspannungen
und daher zu Wirbeln an den Trennflächen führen kann. Die Annahme, dass die Schnittfläche
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
284
zwischen Vorland und Strombett nicht in die Berechnung des benetzten Umfanges für die Vorländer eingeht (Abb. 15.10), ergibt also zu große Durchflüsse Q1 und Q3 auf den Vorländern
im Vergleich zu den tatsächlichen. Außerdem muss an dieser Stelle auf die mögliche Erosionsgefährdung infolge Wirbelbildung in diesen kritischen Bereichen hingewiesen werden.
15.4.3 Gerinne mit inhomogener Rauheit
Unterschiede in der Rauheit des benetzten Umfanges U kommen in der Praxis häufig vor (besonders bei naturnah ausgebauten Flussläufen). Zum Beispiel können die Sohle aus alluvialem
Material und die Böschung aus einer Steinschüttung bzw. Rasen bestehen.
Wird ein "kompakter" trapezförmiger Fließquerschnitt wie z.B. in Abb. 15.11 betrachtet, so
kann ein äquivalenter Abflussbeiwert für die entsprechende Fließformel bestimmt werden. Dabei wird am Beispiel der GMS-Formel wie folgt verfahren:
Isotachen
A1
A3
kst3
L1
kst1
A2
L3
kst2
L2
Abb. 15.11:
Kompakter Gerinnequerschnitt mit inhomogener Rauheit
Annahmen und Bezeichnungen:
(i)
(ii)
(iii)
Mittlere Geschwindigkeit v = Q/A liegt in allen fiktiven Teilquerschnitten Ai
vor: v = vi; Sohlgefälle: I = Ii
Der benetzte Umfang U besteht nur aus den Linien Li, die Wandschubspanungen
aufweisen: U   L i
Hydraulischer Radius der fiktiven Teilquerschnitte: Ri = Ai/Li
Hydraulischer Radius des Gesamtquerschnittes:
R = A/U
mit: A   A i
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
(iv)
285
kst,i stellt den Abflussbeiwert nach der GMS-Formel für den jeweiligen fiktiven
Teilquerschnitt Ai und kst den äquivalenten Abflussbeiwert für den gesamten
Fließquerschnitt A dar.
Bestimmung des äquivalenten Abflussbeiwertes kst
Die GMS-Formel für den gesamten Fließquerschnitt A ist:
v  k st R 2/3 I1/ 2
mit: R =
A
U
und für die fiktiven Teilquerschnitte Ai:
vi  kst,i R i 2/3 I1/ 2
Da v = vi:
mit: R =
Ai
Li
A
k st  
U

2/ 3
A 
 k st,i  i 
 Li 
 k
A i  A  st
k
 st ,i

 Ai  A



3/ 2
2/3
Li
U
k 3/st 2
Li

U
k 3/st,i2
Da A   A i folgt für den äquivalenten Abflussbeiwert kst:




U

k st   n
3/ 2 

Li / (k st ,i )  
 
i 1

2/3
(15.9)
oder z.B. für die drei Rauheiten in Abb. 15.11:
k st 
U 2/3
 L1 / (k st,1 )3/ 2  L2 / (k st,2 )3/ 2  L3 / (k st,3 )3/ 2 
2/3
Auf ähnliche Weise können auch äquivalente Abflussbeiwerte für andere Fließformeln bestimmt werden. Für Gerinne mit gegliedertem Querschnitt und Vegetation sei auf das weiterführende Schrifttum hingewiesen (z.B. NAUDASCHER, 1992).
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
286
15.4.4 Hydraulisch günstige Querschnitte
Besteht die Möglichkeit für eine freie Auswahl der Form des Fließquerschnittes bei vorgegebenem Durchfluss Q, so ist es naheliegend, dass sie so festgelegt werden muss, dass möglichst
ein hydraulisch günstiger und wirtschaftlich optimaler Querschnitt entsteht.
Wird für diese Optimierungsaufgabe die GMS-Formel zugrunde gelegt, so folgt bei vorgegebenem kst-Wert, Sohlgefälle I und konstant gehaltenem Fließquerschnitt A:
Q = k st A I1/2 R 2/3 = konst.



konstant
Da R = A/U und A = konst., ergibt sich der maximale Durchfluss Qmax, wenn der benetzte
Umfang U minimal wird.
h
h
B = 2h
h
A
U
B = 2h
Abb. 15.12:
Definitionsskizze eines hydraulisch günstigen Rechteckprofils
Beispiele: Rechteckgerinne, Trapezgerinne (s. Abb. 15.12 und Abb. 15.13)
U = B + 2 h und mit
B=
A
A
 U=
+2h
h
h
U wird minimal, wenn:
dU
A
 2 20
dh
h

Bh
20
h2
B
2
h
(15.10)
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
287
Auf ähnliche Weise resultiert für ein Trapezprofil mit Sohlbreite Bs und Böschungsneigung
1:m:
BS
2
h

1  m2  m

(15.11)
B
h
h
h
h
BS
Abb. 15.13:
U
Definitionsskizze eines hydraulisch günstigen Trapezprofils
Gl. (15.10) und Gl. (15.11) zeigen, dass es sich um Querschnitte handelt, deren Seiten von
einem eingeschriebenen Halbkreis tangential berührt werden.

Der hydraulisch günstigste Querschnitt kommt einem
Halbkreis möglichst nahe.
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
288
15.5 Zusammenfassung
1.
Grundlegende Unterschiede zwischen einer Strömung im Druckrohr und einer Strömung
im Freispiegelgerinne bestehen hinsichtlich des Fließquerschnittes, des benetzten Umfanges, der treibenden Kräfte und der Geschwindigkeitsverteilung.
Außerdem ist:
Rekrit  580 bei Freispiegelgerinnen
Rekrit  2.320 bei Druckrohrströmungen
2.
3.
Je nach Größe der konvektiven Beschleunigung v v/x verläuft die Strömung entweder
gleichförmig oder ungleichförmig:
v v/x  0
:
gleichförmig  konst. Wassertiefe 
v v/x  0
:
ungleichförmig, verzögert  Staulinie 
v v/x  0
:
ungleichfönnig, beschleunigt  Senkungslinie 
Das Widerstandsgesetz für stationäre Gerinneströmungen:
L v2
A
hr  
mit R =
(hydr. Radius)
4R 2g
U
gilt für gleichförmigen Abfluss (Normalabfluss) und relativ kleines Sohlgefälle I. Es kann
jedoch auch für leicht ungleichförmige Strömungen verwendet werden. Dabei ist jedoch
statt des Sohlgefälles das Energiegefälle anzusetzen.
4.
Das Widerstandsgesetz und die daraus abgeleitete Formel von CHEZY:
QAC R I
bilden die Grundlage für die meisten empirischen Fließformeln für Freispiegelgerinne.
Für den dimensionsbehafteten Beiwert C [m1/2/s] gilt:
C = C (λ, Querschnittsform, Rauheitsstruktur)
5.
Die GMS-Formel (GAUCKLER/MANNING/STRICKLER) stellt die gebräuchlichste
empirische Formel für Freispiegelgerinne (Normalabfluss) dar:
Q = A k st R 2/3 I1/2
Für den dimensionsbehafteten STRICKLER-Abflussbeiwert kst [m1/3/s] gilt:
kst 
C
8g

1/6
R
 R1/3
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
289
6.
Bei der Anwendung der empirischen Fließformeln sind außer den Einschränkungen des
Widerstandsgesetzes auch noch die spezifischen Einschränkungen, die mit der Definition
des Abflussbeiwertes zusammenhängen, zu beachten.
7.
Bei Gerinnen mit relativ großer Wassertiefe h im Vergleich zur Spiegelbreite B kann der
hydraulische Radius R wie folgt angesetzt werden:
h groß  R = B/2
und bei flachen Gerinnen mit relativ großer Spiegelbreite B:
B groß  R = h
8.
Bei der Berechnung von Strömungen in Freispiegelgerinnen mit gegliedertem Querschnitt ist eine Zerlegung in Teilquerschnitte mit nahezu konstanten Wassertiefen erforderlich. Die Trennflächen sind dabei schubspannungsfrei anzusetzen. Der Gesamtabfluss
berechnet sich dann als Summe der Teilabflüsse.
9.
Bei Gerinnen mit inhomogener Rauheit muss vorher ein äquivalenter Abflussbeiwert bestimmt werden.
10.
Hydraulisch günstige Querschnitte kommen einer Halbkreisform sehr nahe.
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
290
15.6 Aufgaben
Aufgabe 15.1:
"MANNING-STRICKLER-Gleichung"
Geben Sie die MANNING-STRICKLER-Gleichung für gegliederte Querschnitte mit Einheiten
an!
Aufgabe 15.2:
"Sohlgefälle"
Was für eine Art Abfluss muss herrschen, damit ISO = IE (Sohlgefälle = Energieliniengefälle)
gesetzt werden kann?
Aufgabe 15.3:
"Rauigkeit"
Was beschreibt die absolute Rauheit k im Gegensatz zu dem Rauigkeitsbeiwert kst in der MANNING-STRICKLER Gleichung und welche Einheit besitzen die beiden Werte?
Aufgabe 15.4:
"Rauigkeitsbeiwerte"
Ordnen Sie die folgenden Werkstoffe größenmäßig nach ihrem kst- und k-Wert ein:



Grobkies,
Stahl: Rohre sehr glatt, neu,
Beton: mit Holzschalung.
Aufgabe 15.5:
"Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne 1"
Für einen trapezförmigen Erdkanal, dessen Wandung aus mittlerem Kies besteht und der ein
Sohlgefälle von I = 0,9 ‰ hat, ist der stationär gleichförmige Abfluss Q in Abhängigkeit von
der Wassertiefe zu ermitteln.
Gegeben:
kst = 40 m1/3/s
Sohlbreite B = 5 m
m=3
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
h
1
B = 5,0 m
Kanalquerschnitt
Lösung:
Fließquerschnitt:
A  B h  m h 2  B h  3h 2  5h  3h 2
Benetzter Umfang:
U  B  2 h 2  (3h)2
U  B  2 h 10  B  6, 32 h  5  6, 32 h
Hydraulischer Radius:
A 5h  3h 2
R 
U 5  6,32h
Es kann die MANNING/STRICKLER-Formel angewandt werden:
Q = k st I1/2 R 2/3 A
Q = 40  0,0009
1/ 2
 Q  1, 2 
1
m
m
Abb. 15.14:
291
 5 h  3h 2 


 5  6,32 h 
2/3
 (5 h  3h 2 )
(5h  3h 2 )5/3
(5h  6,32 h)2/3
h = 1 m  1, 2 
32
 7, 62 m3 s
5, 04
h = 2 m  1, 2 
172, 7
 30, 6 m3 s
6, 78
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
292
h = 3 m  1, 2 
507,5
 73, 28 m3 s
8,31
Aufgabe 15.6:
"Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne 2"
Für ein Gerinne mit einem dreieckigen, symmetrischen Querschnitt und einem vorgegebenen
Durchfluss Q = 10 m3/s soll das Gefälle I ermittelt werden:
Gegeben:
 = 90°
h=2m
Q = 10 m3/s
Beton: kst = 80 m1/3/s
Gesucht: Gefälle I
Lösung:
Bestimmung des hydraulischen Radius:
A  h2; U  2 h2  h2  2 2 h2
R
A
Fließfläche
h2


U benetzter Umfang 2 2 h 2
h
h
h = 2,0 m

Abb. 15.15:
R 
Gerinnequerschnitt
h2
h
2
1



 0,707m
2h 2 2 2 2 2
2
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
293
Die Ermittlung des hydraulischen Gefälles folgt durch Umstellen der MANNING-STRICKLER-Gleichung:
v  k st I1/ 2 R 2 / 3
 v 
 I
2/3 
 kst R 
wobei: v 
2
Q 10 10


 2,5 m s
A h2 4
2
2,5


 I
 0, 0015 1,5 ‰
2/3 
 80  0, 707 
Aufgabe 15.7:
"Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne 3"
Für einen Kanal (Trapezquerschnitt) mit der Sohlbreite b, einer Böschungsneigung von 1:m,
einem mittleren Abfluss Q, einem Strickler-Beiwert kst und einem Sohlgefälle I soll die Wassertiefe h bei stationär gleichförmiger Bewegung berechnet werden.
1
m
1
h=?
m
10,0 m
Abb. 15.16:
Gegeben:
Trapezquerschnitt
B = 10 m
Böschungsneigung 1:2
Q = 22 m3/s
kst = 50 m1/3/s
I = 0,1 ‰
Gesucht:
Wassertiefe h
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
294
Lösung:
Bestimmung des hydraulischen Radius R:
Fließfläche:
 m h2 
2
A  Bh  
 2  10h  2h
 2 
Benetzter Umfang:
U  B  2 h 2  (m h) 2  10  2 5 h
Hydraulischer Radius:
A
10h  2h 2
 R 
U 10,0  2 5 h
Die Lösung erfolgt iterativ aus der MANNING-STRICKLER Gleichung:
Q  A v  A k st I1/ 2 R 2 / 3

 10h  2h 2 
Q  (10h  2h )kst I 

 10,0  2 5 h 
2
1/ 2
1. Wahl:
h = 2,0 m
 Q1 = 18,16 m3/s
2. Wahl:
h = 2,5 m
 Q2 = 27,44 m3/s
3. Wahl:
h = 2,22 m
 Q3 = 22,00 m3/s
Q 3  Q vorh  22, 0 m 3 / s
2/3
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
Aufgabe 15.8:
295
"Gerinne mit gegliedertem Querschnitt"
In einem gegliederten Flussquerschnitt soll der Abfluss Q bei den folgenden Verhältnissen bestimmt werden:
h3 = 1,0 m
h1 = 1,0 m
h2 = 4,0 m
B1 = 60,0 m
Abb. 15.17:
B2 = 100,0 m
B3 = 60,0 m
Gegliederter Querschnitt
Gegeben: I = 0,3 ‰
kst,2 = 37 m1/3/s
kst,1 = kst,3 = 26 m1/3/s
h1 = h3 = 1,0 m
h2 = 4,0 m
B2 = 100 m
B1 = B3 = 60,0 m
Lösung:
Ermittlung des hydraulischen Radius:
Für die Vorländer gilt:
h << B  R1 = h1; R3 = h3
Für das Mittelwasser gilt:
R
A
B2 h2
100  4,0


 3,70 m
U B2  2h 2 100  2  4,0
Die Abflussmenge Qges setzt sich aus den Teilabflüssen Q1, Q2 und Q3 zusammen:
Q ges  Q1  Q 2  Q 3
Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne
Jeder Teilabfluss kann getrennt nach MANNING-STRICKLER ermittelt werden:
Q1  Q3  kst,1 I1/ 2 R12/3 A1  26  0,0003 1,02/3  60  27 m3 s
Q2  kst,2 I1/ 2 R 22/3 A2  37  0,0003  3,72/3  400  613,2 m3 s
 Qges  Q1  Q2  Q3  613,2  2  27  667 m3 s
296
Weiterführendes Schrifttum
297
16 Weiterführendes Schrifttum
BEAR, J. (1972): Dynamics of fluids in porous media. American Elsevier. New York, London, Amsterdam.
BOLLRICH, G. et al. (1989): Technische Hydromechanik 2. VEB Verlag für Bauwesen, Berlin.
BUSCH, K.F.; LUCKNER, L. (1972): Geohydraulik. VEB Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie.
Leipzig.
CHOW, V.T. (1959): Open Channel Hydraulics. Mc Graw Hill. New York.
EINSTEIN, A. (1955): The FLETTNER ship. Essays in Science, Philosophical Library, New York,
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ENGELUND, F. (1953): On the laminar and turbulent flow of groundwater through homogeneous sand.
Transactions Danish Academy of Technical Sciences, No.3.
FORCHHEIMER, Ph. (1930): Hydraulik. Teubner Verlag, Berlin/Leipzig.
HAGEN, G (1839): Über die Bewegung des Wassers in engen zylindrischen Rohren. Annalen der Physik, Bd. 16.
NAUDASCHER, E. (1992): Hydraulik der Gerinne und Gerinnebauwerke. Springer Verlag, Wien/New
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PRANDTL, L. (1956): Strömungslehre. Verlag Vieweg & Sohn, Braunschweig.
PRANDTL, L. (1969): Führer durch die Strömungslehre. 7. Auflage. Verlag Vieweg & Sohn, Braunschweig
PREISSLER, G.; BOLLRICH, G. (1992): Technische Hydromechanik 1. VEB Verlag für Bauwesen,
Berlin.
PRESS, H.; SCHRÖDER, R. (1966): Hydromechanik im Wasserbau. Verlag Wilhelm Ernst & Sohn,
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RICHTER, H. (1971): Rohrhydraulik - Ein Handbuch zur praktischen Strömungsberechnung. 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg.
ROTTA, J. (1972): Turbulente Strömungen - Eine Einführung in die Theorie und ihre Anwendung.
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SCHRÖDER, R. (1994): Technische Hydraulik. Springer Verlag. Berlin.
VENNARD, J.K.; STREET, R.L. (1976): Elementary fluid mechanics. 5th Edition. John Wiley & Sons,
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WHITE, F.M. (1979): Fluid Mechanics. Mc Graw Hill. New York.