Grundlagen der Quanteninformatik

Grundlagen der Quanteninformatik
Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg
Grundlagen der Quanteninformatik
Vortrag vor dem
Arbeitskreis Informatik an Schulen
Prof. Dr. Thomas Canzler
HAW Hamburg
Information is physical
R. Landauer [Lan91]
Ist Information ein Baustein des Universums?
A. Zeilinger [Zei05]
22.5.2013
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Grundlagen der Quanteninformatik
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Die zentrale Rolle der Verschränkung in der Quanteninformatik [Bru03]
22.5.2013
Prof. Dr. Thomas Canzler
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Grundlagen der Quanteninformatik
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Gliederung
Einleitung und Motivation
Grundlagen der Quanteninformatik
 Superposition
 2-Zustandssysteme
 Verschränkung
 No-Cloning-Theorem
 Dekohärenz
Fazit
22.5.2013
Prof. Dr. Thomas Canzler
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Superposition
Eindimensionale Schrödinger-Gleichung:
0
(𝑓𝑓𝑓𝑓)
𝜕𝜓
ℏ² 𝜕²𝜓
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔, 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 (𝑧. 𝐵 𝐻 − 𝐴𝐴𝐴𝐴)
𝑖ℏ
+
= � 𝜓 𝐸𝑝𝑝𝑝 𝑥
𝜕𝑡
2𝑚 𝜕𝜕²
𝜓 𝐸𝑝𝑝𝑝 𝑥, 𝑡 (𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔, 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧)
(ℏ: 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 / 2𝜋)
•
•
•
•
•
Wellengleichung in ℂ
𝜓1 , 𝜓2 Lösung ⇒ 𝑐1𝜓1 + 𝑐2𝜓2 Lösung ⇒ Superposition
Interpretation 𝜓: „Wahrscheinlichkeitsamplitude“
𝜓 2 : Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen anzutreffen
∬ 𝜓 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1
(für 𝐸 < 𝑚𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑐𝑐: keine Teilchenerzeugung/-vernichtung, „ Normierung“)
Differentialgleichung in Raum und Zeit, dh:
- lokal
- deterministisch
Also: die Aufenthaltswahrscheinlichkeit entwickelt sich deterministisch
22.5.2013
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2-Zustands-Systeme
Systeme mit 2 Zuständen: zB
- Photonen, Polarisation: (↔ , ↕)
- Elektronen, „Spin“ = Eigendrehimpuls: (↓, ↑)
- Atome mit 2 [einer Messung gut zugänglichen] Energieniveaus: (L,H)
Dirac-Notation
- „ket“:
|𝜓⟩ (ϵ ℂ )
⟨𝜓| = |𝜓⟩∗ (konjugiert komplex)
- „bra“:
- „bracket“: 𝜓 𝜓 = 𝜓 ∗ 𝜓 = |𝜓|²
Überlagerung/Superposition
(𝛼, 𝛽 𝜖 ℂ)
|𝟏⟩
1
β
-1
Quantenbit, „Qbit“
zB Photon: | ↔⟩ = |0⟩, | ↕⟩ = |1⟩
Mehrere Bits, „Register“:
|0⟩|0⟩|0⟩ … |1⟩|1⟩|1⟩ =
|000⟩ …
|111⟩ =
|0𝑑𝑑𝑑⟩ …
|7𝑑𝑑𝑑⟩
22.5.2013
α
α|0⟩ + β|1⟩
1
|𝟎⟩
-1
klassische Zustände:
(𝛼, 𝛽) = (0,1) bzw = (1,0)
echte Superposition:
𝛼 ≠ 0, 𝛽 ≠ 0, |𝛼|2 + |𝛽|2 = 1
Messung: 𝑃 |0⟩ = |𝛼|2 usw
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Verschränkung (1)
Faktorisierbare Zustände
(hier immer polarisierte Photonen Ph1, Ph2 , 1⁄ 2 wegen Normierung)
1
1
1
1
|0⟩|0⟩ + |0⟩|1⟩ = |0⟩ ∗ ( |0⟩+ |1⟩ ) : Ph1, Ph2 einzeln messbar
zB |𝑃𝑃1⟩|𝑃𝑃2⟩ =
2
2
Nicht faktorisierbar:
zB |𝑃𝑃1⟩|𝑃𝑃2⟩ =
1
|0⟩|1⟩
2
+
1
|1⟩|0⟩:
2
2
Ph1, Ph2 nicht einzeln messbar
Experimentelle Erzeugung:
doppelbrechender Kristall:
Ph1 roter Kegel: ↕
Ph2 blauer Kegel: ↔
Schnittpunkte:
Ph1, Ph2 unbestimmt (Inf. Verlust!!!)
|𝑃𝑃𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙⟩|𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟⟩ =
1
|
2
↔ ⟩| ↕ ⟩ +
1
|
2
↕⟩| ↔⟩
Messung:
|𝑃𝑃𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙⟩ = | ↔⟩ ⇒ 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 : |𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟⟩ = | ↕⟩
|𝑃𝑃𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙⟩ = | ↕⟩ ⇒ 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 : |𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟⟩ = | ↔⟩
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|𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟⟩
[Zei10]
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Verschränkung (2): Spukhafte Fernwirkung
Einstein, Podolski, Rosen 1935 („EPR“):
„Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?” (Phys. Rev. 47, 777-80 (1935))
Verschränkte Paare: Messung des einen Teils legt den anderen (‚instantan‘) fest
- nicht-lokal
„Spukhafte
- Verletzung der speziellen Relativitätstheorie
Fernwirkung“
- Lösung(???): ‚verborgene Variablen‘
„Bell‘sche Ungleichung“: (J. Bell 1964) „Lackmus-Test“ auf verborgene Variablen
Experiment (A. Aspect et al 1981 ):
Es gibt keine verborgenen Variablen – die QM ist nicht-lokal!
Sichtweise heute: wird Information übertragen?
- Messung: Alice 0 1 0 0 1 1 1 0…
- perfekte Zufallsbits
Bob: 1 0 1 1 0 0 0 1…
- Informationsgehalt = 0
- Information übertragen, zB AFFEhex = 1010 1111 …bin ???
- Verfahren: Nr:
12345678
Alice 0 1 0 0 1 1 1 0…
Bob: 1 0 1 1 0 0 0 1…
Daten:1 0 1 0
1…
- Alice → Bob über klassischen Kanal: nimm Bits 1,2,3,5,8,…
- Grundlage (mit no cloning, s. nächste Folie) für Quantenkryptographie
22.5.2013
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No-Cloning-Theorem
|1⟩
Echte Superpositionen
(𝛼 ≠ 0, 𝛽 ≠ 0)
lassen sich nicht kopieren („klonen“)!
1
β
-1
Klassische Zustände
(𝛼 = 1, 𝛽 = 0 𝑏𝑏𝑏 𝛼 = 0, 𝛽 =1)
lassen sich (natürlich) kopieren.
α|0⟩ + β |1⟩
1
α
|0⟩
-1
(Eine Ableitung würde den Rahmen
dieses Vortrages sprengen.)
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Dekohärenz (1)
Welle-Teilchen-Dualismus:
- Licht → Photonen
- Teilchen
(Elektronen ... Moleküle) →
Streuversuche mit Interferenz
Grenze?
- Synonym:
Schrödingers Katze:
unmöglich!
- Schrödingers ‚Kätzchen‘???
- neuere Experimente:
erfolgreich mit Molekülen
bis zu ca 7000 mproton !!!
[Zur02]
Ursache
für Übergang QM →
klassische Physik („Dekohärenz“) ???
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Dekohärenz (2)
Streuversuch mit Fulleren-Molekülen (C60)
- Moleküle werden auf ca 300 C erhitzt, Apparatur im Vakuum
- Vergleichbar mit Doppelspalt-Versuch:
G1 ↔ Spaltblende, G2 ↔ Doppelspalt, G3 + D2 ↔ Schirm
- Moleküle können zusätzlich weiter aufgeheizt werden (Heating)
[Zei04]
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Dekohärenz (3)
Ergebnisse:
- 0 W Zusatz-Aufheizung: Interferenz
- 3 und 6 W: Interferenz nimmt ab
- 10.5 W: keine Interferenz mehr
Interpretation:
- 0 W:
Moleküle strahlen Wärmephotonen ab,
aber keine Lokalisierung, da
• Wellenlänge zu groß
• Anzahl zu gering für Mittelung
- 10.5 W: Lokalisierung der Moleküle möglich
[Zei04]
Fazit:
- Dekohärenz, wenn Lokalisierungsinformation im System verfügbar
- Unabhängig davon, ob tatsächlich gemessen
- Kein Einfluss des Experimentators mehr!!!
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Grundlagen der Quanteninformatik: Fazit
 Technologischer Fortschritt (bes. Lasertechnik) →
Viele Gedankenexperimente heute durchführbar
 Die Quantenmechanik ist eine nicht-lokale Theorie
Philosophische Konsequenzen: Debatte noch ganz am Anfang
 Rolle der Information
- Kohärenz: nur unter Informationsverlust zu erzeugen
- Dekohärenz: schon durch kleinste Informationsgewinne
- Verschränkte Paare: keine Informationsübertragung möglich
 Anwendungen, zB
- Quantenrechner (hochgradige Parallelverarbeitung)
→
- Quantenkryptographie (Sicherheit)
Vortrag 2
beruhen auf
- Superposition
- Verschränkung
nicht-klassische
- No Cloning
Phänomene der QM
 Realisierung
z.T. große Probleme (bes. Quantenrechner)
wg. Dekohärenz durch kleinste Störungen
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Literatur (1)
Allgemeinverständliche Literatur
Bru03:
Dagmar Bruß: Quanteninformation; Fischer: Frankfurt a.M. 2003
Cam10:
Silvia Arroyo Camejo: Skurrile Quantenwelt; Piper: München 2010(2)
Fey02:
Richard P. Feynman: QED - die seltsame Theorie des Lichts und der Materie;
Piper: München 2002(8)
SdW10:
Quanteninformation; Spektrum der Wissenschaft Dossier 4/2010
Zei05:
Anton Zeilinger: Einsteins Schleier; Goldmann: München 2005(4)
Zei07:
Anton Zeilinger: Einsteins Spuk; Goldmann: München 2007(3)
Zei10:
Anton Zeilinger: Quanten-Teleportation;
Spektrum der Wissenschaft Dossier 4/2010, S 14-23
Bücher
Hom13:
Schm12:
Schm13:
22.5.2013
Matthias Homeister: Quantum Computing verstehen; Vieweg: Wiesbaden 2013(3)
Peter Schmüser: Theoretische Physik für Studierende des Lehramts 1:
Quantenmechanik; Springer: Berlin Heidelberg 2012
Peter Schmüser: Theoretische Physik für Studierende des Lehramts 2:
Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie; Springer: Berlin Heidelberg 2013
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Literatur (2)
Artikel
AGR81:
Bel64:
EPR35:
Lan91:
Zei04:
Zur02:
22.5.2013
A. Aspect, P. Grangier, G. Roger: Experimental tests of realistic local
theories via Bell's theorem; Phys. Rev. Lett, 47, 460-463, (1981)
J. Bell: On the Einstein-Podolski-Rosen paradox; Physics 195-200 (1964)
A. Einstein, B. Podolski, N. Rosen: Can quantum-mechanical description
of physical reality be considered complete?; Phys. Rev. 47, 777-80 (1935)
Rolf Landauer: Information is physical; Physics Today 44, 23-29 (1991)
L. Hackermüller, K. Hornberger, B. Brezger, A. Zeilinger, M. Arndt:
Decoherence of matter waves by thermal emission of radiation;
Nature 427, 711-714 (2004)
Wojciech H. Zurek: Decoherence and the Transition from Quantum
to Classical – Revisited;
Los Alamos Science 27(2002) und eprint arXiv:quant-ph/0306072
Prof. Dr. Thomas Canzler
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