Lösungen zur 4. ¨Ubung zur Algebra für Informatiker

Lösungen zur 4. Übung zur Algebra für Informatiker
(SS 14)
Aufgabe 1.
Sei n ∈ N und Zn = {0, . . . , n − 1}. Für x, y ∈ Zn sei
x ⊕ y := (x + y) mod n
und
x ⊙ y := (x · y) mod n.
Zeigen Sie, daß Zn mit den Verknüpfungen ⊕ und ⊙ ein Ring ist.
Lösung: Sicherlich ist Z mit der üblichen Addition und Multiplikation ein
Ring. Nach Aufgabe 4 der 3. Übung ist daher ⊕ und ⊙ jeweils assoziativ,
kommutativ und distributiv. Weiter ist 0 ein neutrales Element bezüglich ⊕.
Ist n = 1, so gilt Zn = {0} und ist damit trivialerweise ein Ring. Ist n > 1,
so ist 1 ∈ Zn und 1 ist dann ein neutrales Element bezüglich ⊙. Zu x ∈ Zn
ist n − x ein Inverses bezüglich ⊕. Damit sind alle Ringgesetze erfüllt und
Zn ist ein Ring.
Aufgabe 2.
Stellen Sie die Additions- und Multiplikationstafeln von Z8 auf und bestimmen Sie damit die Einheiten und die Nullteiler von Z8 . Welche Ideale hat
Z8 ? Ist Z8 ein Körper?
Lösung:
(1) Additionstabelle:
+
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
3
4
5
6
7
0
2
2
3
4
5
6
7
0
1
3
3
4
5
6
7
0
1
2
4
4
5
6
7
0
1
2
3
5
5
6
7
0
1
2
3
4
6
6
7
0
1
2
3
4
5
7
7
0
1
2
3
4
5
6
(2) Multiplikationstabelle:
·
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0
2
4
6
0
2
4
6
3
0
3
6
1
4
7
2
5
4
0
4
0
4
0
4
0
4
5
0
5
2
7
4
1
6
3
6
0
6
4
2
0
6
4
2
7
0
7
6
5
4
3
2
1
(3) Einheiten E(Z8 ) = {1, 3, 5, 7}.
(4) Nullteiler {2, 4, 6}.
(5) Ideale: Sei I ein Ideal von Z8 . Dann ist I eine additive Untergruppe von
Z8 . Daher gilt nach dem Satz von Lagange |I| | 8, also |I| ∈ {1, 2, 4, 8}.
(a) |I| = 1: dann gilt I = {0}.
(b) |I| = 8: dann gilt I = Z8 .
(c) |I| = 2: dann gilt I = {0, a} für a ∈ Z8 \ {0}. Wäre a ∈ E(Z8 ), so
wäre I = Z8 . Also ist a ∈ {2, 4, 6}. Ist a = 2, so ist 2Z8 ⊂ I und damit
{0, 2, 4, 6} ⊂ I. Ist a = 6, so ist 6Z8 ⊂ I und damit {0, 2, 4, 6} ⊂ I.
Also bleibt nur I = {0, 4} also einzige Möglichkeit hier.
(d) |I| = 4. Sei a ∈ I \ {0}. Dann ist wie in (c) a keine Einheit, also
a ∈ {2, 4, 6}. Damit folgt auch schon I = {0, 2, 4, 6}.
Insgesamt hat I also 4 Ideale, nämlich {0}, Z8 , 4Z8 und 2Z8 = 6Z8 .
(6) Z8 ist kein Körper, da es Nullteiler gibt.
Aufgabe
√ 3.
Sei i = −1 und R = {a + bi | a, b ∈ Z}.
(1) Zeigen Sie, daß R ein Ring ist.
(2) Zeigen Sie, daß E(R) = {1, −1, i, −i} gilt.
(3) Hat R Nullteiler?
Lösung:
(1) Es gilt (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i und (a + bi)(c + di) =
ac+bdi2 +adi+bci = (ac−bd)+(ad+bc)i. Damit ist + und · abgeschlossen
in R. Es sind 0 = 0+0i und 1 = 1+0i Elemente von R, also gibt es neutrale
Elemente bezüglich + und ·. Weiter gilt −(a+bi) = −a+(−b)i und damit
gibt es auch inverse Elemente bezüglich +. Schlı̈eslich ist R ⊂ C, also ist +
und · beides assoziativ und kommutativ und es gilt das Distributivgesetzt,
da diese Gesetze auch alle in C gelten. Insgesamt ist R ein Ring.
(2) Sei a+bi eine Einheit in R. Dann gibt es c+di ∈ R mit (a+bi)(c+di) = 1.
Also 1 = (ac − bd) + (ad + bc)i. Damit folgt ac − bd = 1 und ad + bc = 0.
(a) 1. Fall: b = 0. Dann gilt ad = 0 und damit entweder a = 0 oder d = 0.
Da a = 0 nicht geht, denn sonst wäre a + bi = 0, folgt d = 0. Also
ist dann ac = 1 und a und c sind Einheiten in Z. Damit ist dann
a + bi = ±1.
(b) 2. Fall: a = 0. Dann gilt bc = 0 und damit c = 0. Also folgt bd = −1
und damit b = ±1. Damit ist a + bi = ±i.
(c) 3. Fall: a 6= 0 und b 6= 0. Dann gilt ad = −bc und damit c = −ad/b.
Einsetzen liefert 1 = ac − bd = −a2 d/b − bd = −d(a2 /b + b). Multiplikation mit b liefert dann b = −d(a2 + b2 ) und damit |b| = |d|(a2 + b2 ).
Diese Gleichung ist in den ganzen Zahlen mit a ≥ 1 und b ≥ 1 nicht
lösbar.
Insgesamt sind daher die Einheiten {±1, ±i}.
(3) Nein, denn R ⊂ C und C hat als Körper keine Nullteiler.
Aufgabe 4.
Sei K = Z2 und sei V = K × K = {(a, b) | a, b ∈ K}. Dann definiert
(a, b) ⊕ (c, d) = (a ⊕ c, b ⊕ d)
eine Addition auf V . Es gibt Multiplikation ⊙ auf V , so daß V mit ⊕ und
⊙ zu einem Körper wird, wobei (1, 0) das neutrale Element bezüglich ⊙ ist.
Bestimmen Sie diese Multiplikation.
Lösung: Schreibe zur Abkürzung 0 = (0, 0) und 1 = (1, 0) sowie a = (0, 1)
und b = (1, 1). Dann sieht die Additionstabelle von V so aus:
⊕
0
1
a
b
0
0
1
a
b
1
1
0
b
a
a
a
b
0
1
b
b
a
1
0
Insbesondere ist 0 das neutrale Element bezüglich ⊕. Mache einen Ansatz
für eine Multiplikationstabelle, wobei 1 das neutrale bezüglich dieser Multiplikation werden soll. Dann gilt 0 ⊙ x = 0 = x ⊙ 0 und 1 ⊙ x = x = x ⊙ 1 für
alle x ∈ V . Damit folgt
⊙ 0 1 a b
0 0 0 0 0
1 0 1 a b
a 0 a ? ?
b 0 b ? ?
Jetzt finde Lösungen für die ?. Da V \{0} eine Gruppe ist bezüglich ⊙ kommt
in jeder Zeile und Spalte der Multiplikationstabelle auf V \{0} jedes Elements
aus {1, a, b} genau einmal vor. Damit gibt es nur eine Option:
⊙
0
1
a
b
0
0
0
0
0
1
0
1
a
b
a
0
a
b
1
b
0
b
1
a
Aufgabe 5.
Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen:
(a) (7 + 3i)(1 − i).
(b) (1 − 3i)/(2 − i).
(c) (1 + 7i) − (2 − 2i).
(d) (3 + 5i) + (2 − i).
Lösung:
(a) (7 + 3i)(1 − i) = 10 − 4i.
(b) (1 − 3i)/(2 − i) = 1 − i.
(c) (1 + 7i) − (2 − 2i) = −1 + 9i.
(d) (3 + 5i) + (2 − i) = 5 + 4i.
Abgabe: Dienstag,den 17. Juni 2014, vor der Vorlesung.