Probetest März 2010 Kapitel 3 Stoffabgrenzung

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Probetest März 2010 Kapitel 3
Stoffabgrenzung: Kapitel 3, wobei 3.1 und 3.3.2 kaum Berücksichtigung
finden werden, sowie Fragen nach Idealen nicht gestellt werden. Man kann
die grünen Buchstaben anklicken (Acrobatreader), um “Richtig” bzw. “Falsch”
gemeldet zu bekommen. Den Test empfehle ich 2-3 mal (einschliesslich Kenntnisnahme der Erklärungen und der Begriffe laut Skriptum) durchzugehen.
Empfehlenswert ist es auch, ihn mit eingelegten Pausen von 1-2 Tagen anzusehen. Man braucht manchmal etwas Zeit, um Dinge zu verinnerlichen. Bringen
Sie Ihre Fragen zur Vorbesprechung am Di 20.4. und Mi 21.4.
Aufgabe
1. Welche der nachstehenden Aussagen sind korrekt?
(a) Eine Gruppe ist genau dann kommutativ, wenn sie abelsch ist.
(b) In einer Gruppe G läßt sich die Gleichung ax = b bei gegebenem a, b ∈ G
stets eindeutig lösen.
(c) Die natürlichen Zahlen bilden bezüglich der Addition eine Halbgruppe.
(d) Die ganzen Zahlen bilden bezüglich der Multiplikation eine Gruppe.
(e) Die auf dem Intervall [0, 1] definierten stetigen und monoton streng
steigenden Funktionen mit Werten in R+ bilden bezüglich punktweiser
Multiplikation ein Monoid.
(f) Die stetigen streng monoton steigenden Funktionen f : IR+ → IR+
bilden bezüglich Hintereinanderausführung ein Monoid.
(g) Die stetigen streng monoton steigenden Funktionen f : IR+ → IR+
bilden bezüglich Hintereinanderausführung eine Gruppe.
(h) Die 2 × 2-Matrizen mit positiven Einträgen bilden ein Monoid bezüglich
der Matrizenmultiplikation.
(i) Eine Teilmenge N der Gruppe G ist ein Normalteiler falls für alle g ∈ G
stets gN = N g gilt.
(j) Die Determinantenfunktion ist ein Halbgruppenhomomorphismus von
den n × n- Matrizen mit Werten im Skalarkörper.
(k) Die Ordnung eines Elements x in einer Gruppe G ist gleich der Ordnung
der kleinsten Untergruppe von G in der x enthalten ist.
(l) Die Gruppe aller Drehungen des Würfels, die den Würfel in sich überführen,
ist durch 24 teilbar.
(m) Die Symmetriegruppe des Quadrats ist zyklisch.
(n) Die geraden Zahlen bilden bezüglich der Addition eine zyklische Gruppe.
(o) Es ist IR3 mit dem Vektorprodukt ~a × ~b eine Halbgruppe.
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Lösung: a) J.: “Abelsch” bedeutet das Gleiche wie “kommutativ”.
b) J.: Angenommen ax = b und ay = b. Dann ist ax = ay und Multiplikation von links mit dem Inversen von a ergibt x = y. Die eindeutige Lösung
ist somit x =−1 ab.
c) J.:
d) N.: Die Zahl 2 hat kein Inverses (weil für jede natürliche Zahl x stets
2x 6= 1 ist).
e) N.: (Korr. 19.4.) Sind nämlich f und g streng monoton steigend, so
ist für alle x, y ∈ IR+ mit x < y stets g(x) < g(y) und g(x), g(y) ∈ IR+ .
Demnach ist f g(x) = f (g(x)) < f (g(y)) = f g(y) also auch f g streng monoton steigend mit Werten in R+ . Somit liegt eine Halbgruppe vor. Ein
Einselement kann nicht gefunden werden:
Wäre e(x)f (x) = f (x) für alle streng monotonen Funktionen f , so folgt
für f (x) := arctan x notwendigerweise e(x) = 1. Diese Funktion ist jedoch
nicht streng monoton.
f) J.: Als Einselement dient die Funktion e(x) := x.
g) N.: Die Funktion f (x) = arctan x ist auf IR+ streng monoton steigend.
Angenommen es gibt eine Funktion g(x) mit arctan(g(x)) = x für alle
x ∈ IR+ . Da arctan(IR+ ) = (0, π2 ) (Skizze!!) ergibt sich für x > π2 der
Widerspruch x > π2 > arctan(g(x)) = x.
h) N.: Wohl bilden diese Matrizeneine
Halbgruppe.
Jedoch
kann es kein
a b
x y
x y
Einselement geben: Aus
=
für alle posic d
u v
u v
tiven x, y, u, v würde ax + bu = x folgen. Nun wählt man (x, u) = (1, 1)
und bekommt die Bedingung a + b = 1. Man darf aber auch (x, u) = (2, 1)
wählen und bekommt nun die Bedingung 2a + b = 2 und findet b = 0, ein
Widerspruch.
i) N.: Es muß N auch Untergruppe sein.
j) J.: Es ist dies die Aussage des Determinantenmultiplikationssatzes.
k) J.:
l) J.: Zunächst gibt es eine 3-zählige Drehachse, also ein Element der Ordnung 3. Weiters gestattet der Würfel die gleichen Symmetrien wie ein
Quadrat (Bewegungen im Raum), das sind 8 an der Zahl. Somit ist wegen
des Satzes von Lagrange die Ordnung der Würfelgruppe durch 3 und 8, also
auch durch 24 teilbar.
(Anm.: man kann zeigen, daß die gesuchte Ordnung tatsächlich 24 ist).
m) N.: Die Symmetriegruppe des Quadrats besitzt eine Drehungen der Ordnungen 4 und 2, sowie 4 Drehspiegelungen der Ordnung 2. Um zyklisch zu
sein, müsste es ein Element der Ordnung 8 geben.
n) J.: Es ist 2 ein Element, dessen “positive und negative Potenzen” zusammen mit dem neutralen Element “0” die Untergruppe H bilden.
o) N.: Das Vektorprodukt ist nicht assoziativ. Es ist (~e1 × ~e2 ) × ~e2 =
~e3 × ~e2 = −~e1 , jedoch ~e1 × (~e2 × ~e2 ) = ~e1 × ~0 = ~0.
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2. Welche der nachstehenden Behauptungen ist richtig?
(a) Auf der Menge M := {0, 1} sollen durch 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 = 1 + 1,
0.1 = 1.0 = 0.0 = 0 und 1.1 = 1 eine Addition und eine Multiplikation
definiert sein. Es liegt ein Ring (M, +, .) vor.
(b) Die Menge der n × n-Matrizen mit ganzzahligen Einträgen bilden einen
Ring bezüglich Matrizenaddition und -multiplikation.
(c) Der Ring der ganzzahligen n × n-Matrizen enthält stets Nullteiler.
(d) Die oberen n×n-Dreiecksmatrizen (unterhalb der Hauptdiagonale Nullen)
bilden einen Ring bezüglich Matrizenaddition und -multiplikation.
(e) Die stetigen Funktionen f : [−1, 1] → IR bilden bezüglich punktweiser
Addition und Multiplikation einen Integritätsbereich.
(f) (Rechnen in ZZ m ). In ZZ 7 ist die Restklasse von x = 2.(5 − 3.6).5 −
3.4.(6 − 5.3) gleich 1.
(g) Der Ring ZZ 1093 ist ein Integritätsbereich.
(h) Der Ring ZZ 1093 ist ein Körper.
(i) Das Polynom x2 + 2x + 3 ist im Ring IR[x] irreduzibel.
(j) Das Polynom x2 + 2x + 3 ist im Ring ZZ 11 [x] irreduzibel.
(k) Das Polynom x2 + 2x + 3 ist prim im Ring ZZ 11 [x].
(l) (Rechnen im Restklassenring k[x]/(p(x))) Der Polynomausdruck (x4 −
2x+3)(x3 +x)−4x+5 entspricht der Restklasse 4 in ZZ 11 [x]/(x2 +2x+3).
(m) Der Restklassenring ZZ 11 [x]/(x2 + 2x + 3) ist ein endlicher Körper.
(n) Es gibt einen Körper mit 24 Elementen.
(o) Es gibt einen Körper mit 9 Elementen.
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Lösung: a) N.: (korr. 19.4.) Angenommen, es liegt ein Ring vor. Dann
ergibt sich aus 0 + 1 = 1 + 1 der Widerspruch 0 = 1.
b) J.: Übliche Rechenregeln über Matrizen. Man beachtet noch, dass die
gegebenen Matrizen einen Teilring des Rings aller n×n-Matrizen mit reellen
Einträgen bilden.
c) N.: Wenn nämlich n = 1 ist, so ist dieser Matrizenring der Ring der
ganzen Zahlen.
d) J.: Man muß sich lediglich überlegen, daß die Summe und das Produkt
solcher Matrizen eine obere Dreiecksmatrix ist. Beides folgt unmittelbar
aus den Rechenregeln für Matrizen.
e) N.: Wohl bilden diese Funktionen einen Ring, jedoch gibt es Nullteiler. So etwa ist die Funktion f (x) := max 0, x ein Nullteiler, weil für
g(x) := min x, 0 stets f (x)g(x) = 0 gilt.
f) N.: Der korrekte Wert ist 6.
g) J.: Es√ist 1093 eine Primzahl. Testen von möglichen Primteilern bis
maximal 1093, also bis 31.
h) J.: Jeder endliche Integritätsbereich ist automatisch ein Körper. Wegen
der Antwort zur vorigen Frage ist somit ZZ 1093 ein endlicher Körper.
i) J.: Wäre es reduzibel, so gäbe es einen Linearfaktor, somit eine reelle
Wurzel, ein Widerspruch.
j) N.: Man muß modulo 11 testen und findet −4 als Wurzel, weil (−4)2 +
2 × (−4) + 3 = 16 − 8 + 3 = 11 ≡ 0 (mod 11). Somit zerfällt das Polynom
x2 + 2x + 3 = (x + 4)(x + 9).
k) N.: Um prim zu sein, muß es irreduzibel sein. Das ist nicht der Fall.
l) J.: Korrekt.
m) N.: Unter k) haben sich Nullteiler ergeben, weil (x + 4)(x + 9) = 0 im
Restklassenring gilt. Nullteiler darf es in einem Körper nicht geben.
n) N.: Jeder endliche Körper hat pn Elemente, wobei p eine Primzahl ist –
seine Anzahl ist eine Primzahlpotenz. Es ist 24 = 3×8 keine Primzahlpotenz.
o) J.: Es bedarf eines modulo 3 irreduziblen quadratischen Polynoms. Man
findet x2 +x+2 als Kandidaten. Demnach ist ZZ 3 [x]/(x2 +x+2) ein Körper
mit 9 Elementen.
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