Formelsammlung AET Magnetfeld - E-Feld

H ÖHERE T ECHNISCHE B UNDESLEHRANSTALT S AALFELDEN
Höhere Abteilung für Elektrotechnik und Informationstechnik
Angewandte Elektrotechnik
AET
Formelsammlung
Gleichstromtechnik- Gleichstromschaltungen
Elektrisches und Magnetisches Feld
Teil 1
Michael WALSER
1
Inhaltsverzeichnis
Gleichstromschaltungen ........................................................................................................... 5
1
Elektrischer Stromkreis ................................................................................. 5
1.1
1.2
1.2.1
1.3
1.4
1.4.1
1.5
1.6
2
Elementarladung (Transpositive Ladungsmenge)........................................... 5
Elektrische Energie W ................................................................. 6
Elektrisches Potential ϕ ............................................................... 6
Potentialdifferenz .............................................................................................. 6
Potential und Spannungsmessung ................................................ 6
Elektrische Stromdichte J............................................................. 7
Ohmsche Gesetz............................................................................................. 7
2.1
2.2
2.3
2.4
2.4.1
2.4.2
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
4
Elektrischer Widerstand R............................................................ 7
Spezifischer Widerstand ρ ........................................................... 7
Elektrischer Leitwert G................................................................. 8
Temperaturabhängigkeit des Widerstandes................................... 9
Ermittlung der Erwärmung aus Warm- und Kaltwiderstand ............................ 9
Spezifischer Widerstand ρ mit Temperaturbeiwert α und Leitfähigkeit κ bei
20°C................................................................................................................. 10
Schaltungen und Netzwerke – Netzwerkreduktion .................................. 11
Serienschaltung ......................................................................... 11
Parallelschaltung........................................................................ 11
Spezielle Stromteilerregel ........................................................... 12
Wirkungsgrad und Leistung ........................................................ 12
Vorwiderstand ............................................................................ 13
Fester Spannungsteiler (unbelasteter Fall) .................................. 13
Fester Spannungsteiler (belasteter Fall) ...................................... 13
Stern → Dreieck-Transformation ................................................ 14
Dreieck → Stern-Transformation................................................. 14
Arbeitsplan für Kirchhoff.............................................................. 15
Aktive Zweipole............................................................................................. 15
4.1
4.2
4.3
5
Spannungsquellenersatzschaltbild eines Aktiven Zweipols........... 15
Stromquellenersatzschaltbild eines Aktiven Zweipols................... 16
Regeln zur Vereinfachung von Schaltungen ................................ 16
Elektrische Leistung, Arbeit –Wirkungsgrad............................................ 17
5.1
5.2
5.3
Magnetfeld
1
1.1
2
Elektrische Leistung ................................................................... 17
Elektrische Arbeit (Energie) ........................................................ 17
Wirkungsgrad............................................................................. 17
18
Allgemeines ................................................................................................... 18
Feldlinienbilder ........................................................................... 18
Magnetische Feldstärke H ........................................................................... 19
2.1
2.2
2.3
2.4
3
Der Elektrische Strom I................................................................ 5
Die Elektrische Landung Q .......................................................... 5
Magnetische Feldstärke im Inneren eines Leiters ........................ 19
Magnetische Feldstärke in einer Leiterschleife............................. 21
Magnetische Feldstärke im inneren einer Zylinderspule ............... 21
Magnetische Feldstärke im inneren eines Ringsolenoid ............... 22
Magnetische Durchflutung Θ ...................................................................... 22
2
3.1
Magnetischer Durchflutungssatz ................................................. 23
Magnetischer Fluss Φ .................................................................................. 23
Magnetische Flussdichte B ......................................................................... 24
Permeabilität µ .............................................................................................. 24
4
5
6
6.1
7
Magnetische Feldkonstante ........................................................ 24
Induktivität L.................................................................................................. 25
7.1
Induktivität einer Spule ............................................................... 25
8
Hysterese und Magnetische Eigenschaften ............................................. 27
Elektrisches Feld – Elektrostatik............................................................................................ 29
1
Elektrostatische Kraftlinienbilder............................................................... 29
2
Elektrische Feldstärke ................................................................................. 29
2.1
Spitzenwirkung........................................................................... 29
Elektrischer Fluss Ψ ..................................................................................... 30
Verschiebungs- bzw. Flussdichte .............................................................. 30
Elektrische Spannung U .............................................................................. 30
Vergleich Magnetisches Feld – Elektrisches Feld ................................... 31
Permittivität ε................................................................................................. 31
3
4
5
6
7
7.1
8
9
Magnetische Feldkonstante ........................................................ 31
Elektrische Kapazität.................................................................................... 32
Der Kondensator als Bauelement............................................................... 32
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
10
Plattenkondensator..................................................................... 32
Wickelkondensator ..................................................................... 33
Schichtkondensator .................................................................... 33
Drehkondensator........................................................................ 33
Zylinderkondensator ................................................................... 34
Leiterkapazitäten........................................................................................... 34
10.1
11
Kapazitäten gegenüber dem Boden ............................................ 35
Schaltung von Kondensatoren ................................................................... 36
11.1
11.2
12
13
Parallelschaltung........................................................................ 36
Serienschaltung ......................................................................... 36
Kondensatoren mit verschiedenen Dielektrika ........................................ 37
Ausgleichsverhalten von RC- Gliedern ..................................................... 37
13.1
13.2
14
Einschaltvorgang bei DC an einem RC- Glied (const. U-Quelle)... 37
Ausschaltvorgang bei DC an einem RC- Glied............................. 38
Coulombsches Gesetz ................................................................................. 39
14.1
14.2
14.3
Energieinhalt .............................................................................. 39
Kraftwirkung zuwischen 2 kapazitiven Flächen ........................... 39
Geschwindigkeit des Elektrons im Elektrischen Feld.................... 40
15
Energiedichte des E-Feldes ω ..................................................................... 40
Magnetische Kreise.................................................................................................................. 41
1
Magnetische Spannung ............................................................................... 41
2
Magnetische Durchflutung Θ - Durchflutungssatz................................... 41
3
Magnetischer Widerstand Rm ...................................................................... 41
3.1
3.2
3.3
4
Ohmsches Gesetz Magn. - Kreise Serienschaltung .................... 41
Ohmsches Gesetz Magn. – Parallelschaltung............................. 41
Magnetischer Leitwert................................................................. 42
Verluste bei Spulen ...................................................................................... 43
4.1
4.2
5
Hystereseverluste....................................................................... 43
Wirbelstromverluste.................................................................... 44
Kraftwirkung im Magnetischen Feld .......................................................... 44
5.1
Lorentzkraft für Bewegte Ladungen............................................. 45
3
6
Elektromagnetische Induktion – Induktionsgesetz.................................. 45
6.1
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.2
6.2.1
6.3
6.4
7
Dynamische Induktion - Bewegungsspannung............................. 46
Leiterstab......................................................................................................... 46
Leiterschleife ................................................................................................... 46
Spule ............................................................................................................... 47
Transformatorspannung.............................................................. 48
Trafogesetz ..................................................................................................... 48
Kraftwirkung zweier Stromdurchflossener Leiter zueinander ........ 48
Tragkraft eines Elektromagneten ................................................ 49
Ausgleichsverhalten von R-L-Gliedern ..................................................... 49
4
Gleichstromschaltungen
1
Elektrischer Stromkreis
1.1
Der Elektrische Strom I
I
Die Technische Stromrichtung ist
von + nach - festgelegt.
Die Ursache für den Stromfluss ist die Spannung U:
[ U ] = 1V = 1
1.2
J
W
=1
As
A
Die Elektrische Landung Q
Ein Strom I bewegt über eine bestimmte Zeit t eine gewisse
Ladung Q die in Coulomb (C) angegeben wird.
Q = I⋅t ⇔ I=
Q
t
[Q]= 1C (Coulomb) = 1As
1A
1s
1.2.1
1C
Elementarladung (Transpositive Ladungsmenge)
1e = 1,602 ⋅ 10-19C
1Ce=6,2 ⋅ 1018
5
1.3
Elektrische Energie W
W = F⋅s
W=
Elektrische Energie, Arbeit ...............1 J = 1 Nm
F=
Kraft .................................................1Ws= 1 VAs
s=
Weg
[W] = J (Joule)
1.4
Elektrisches Potential ϕ
Das Potential ist die auf die Ladungsmenge bezogene Energie
eines Teilchens.
ϕ=
W
Q
V=
VAs
As
ϕ = Elektrisches Potential
Q= Summe der Ladungsträger
1.4.1
Potentialdifferenz
ϕ1 − ϕ 2 =
W1 W2
−
Q1 Q2
Die Potentialdifferenz ϕ1-ϕ2 bildet die Spannung U12
1.5
Potential und Spannungsmessung
Spannung =
Energie
Ladung
Einheit = V =
Ws
C
U=
ΔWpot
Q
6
1.6
Elektrische Stromdichte J
J=
2
2.1
I
A
[J]=1
A
mm 2
Ohmsche Gesetz
Elektrischer Widerstand R
U = I⋅R
U
R
U
R=
I
I=
Der Elektrische Widerstand R ist physikalische gesehen ein
Proportionalitätsfaktor zwischen Spannung und Strom
[ R ] = 1Ω = 1
2.2
V
A
Spezifischer Widerstand ρ
Bezeichnet den Spannungsabfall in den Leitern:
R
A in mm2
l in m
R=
l⋅ρ
A
7
Der Spezifische Widerstand ρ ist eine Materialkonstante.
ρ=
Ω mm 2
m
Ω mm 2
ρ Cu = 0,0179
m
Ein Cu-Draht von 1m Länge mit dem Querschnitt 1 mm2
besitzt einen Widerstand von 0,179 Ω.
l=
2.3
R ⋅ d 2π
4ρ
R=
4( ρ ⋅ l)
d2π
Elektrischer Leitwert G
Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes
G=
1
= R −1 = κ
R
[ G ] = 1Ω =
I=
U 1
= U = G⋅U
R R
1
A
= 1 = 1S
Ω
V
Ω-1 = S = Siemens
 m   Sm 
κ=
=
2 
2 
 Ω mm   Ω mm 
8
2.4
Temperaturabhängigkeit des Widerstandes
ϑ= Temperatur in °C
α=
Temperaturkoeffizient
R ϑ = R 20 ⋅ (1 + α 20 ⋅ Δϑ )
R ϑ = R 20 ⋅ [1 + α 20 ⋅ (ϑ − 20°)]
Der Temperaturkoeffizient α beträgt für alle gängigen
Materialien (Cu, Al, Ag,...) hinreichend genau 0,004 K-1.
Rθ
∆θ
2.4.1
θ
( 1 + α 20⋅ θ − 20⋅ α 20)
R 20
( R θ − R 20 + 20⋅ R 20⋅ α 20)
R 20⋅ α 20
( R θ − R 20)
R 20⋅ α 20
Ermittlung der Erwärmung aus Warm- und Kaltwiderstand
τ + θw
Rw
Rk
∆θ
( θ w − θ k)
θw
θk
Rk
τ + θk
Rw
(θ w + τ) (
)
⋅ τ + θk
τ
1
α
− 20
 Rw

− 1  ( τ + θ k)

 Rk

(
)
− −τ ⋅ R w − R w⋅ θ k + τ ⋅ R k
Rk
( θ w⋅ R k − τ ⋅R w + τ ⋅ R k)
Rw
9
2.4.2
Spezifischer Widerstand ρ mit Temperaturbeiwert α und Leitfähigkeit
κ bei 20°C
Stoff
ρ20
Ω mm2 / m
α20
K-1
κ20
S m / mm2
Aluminium
0,0287
3,8 ⋅ 10
-3
34,84
Blei
0,208
3,9 ⋅ 10
-3
4,81
Eisendraht
0,10 bis 0,15
4,5 ⋅ 10
-3
10 bis 6,7
Gold
0,023
3,8 ⋅ 10
-3
43,5
KONSTANTAN
0,50
- 3,0 ⋅ 10
-4
Kupfer
0,0175
3,9 ⋅ 10
-3
57,14
Magnesium
0,043
4,1 ⋅ 10
-3
23,26
Manganin
0,43
4,0 ⋅ 10
-6
2,33
≤ 0,067
2,0 ⋅ 10
-3
0,43
2,3 ⋅ 10
-4
2,33
4,00
2,5 ⋅ 10
-4
1,0
Quecksilber
0,941
9,2 ⋅ 10
-4
Silber
0,016
3,8 ⋅ 10
-3
62,5
Zink
0,06
4,2 ⋅ 10
-3
16,7
Messing (CuZn40)
Nickelin
Ni Cr 80 20
2
≥ 15
1,06
10
3
3.1
Schaltungen und Netzwerke – Netzwerkreduktion
Serienschaltung
I
R s = R1 + R 2
U1 = U q
R1
Rg
I1
U0 R s
=
U1 R 1
I=
U
Rs
I2
Bei einer Serienschaltung von Widerständen, wir der
Serienwiderstand vom Größten Teilwiderstand bestimmt.
(Bsp.: 1Ω und 1MΩ à 11,99999988V und 0,00001198V)
3.2
Parallelschaltung
I
I1
I2
I3
Rp =
I2 =
U
Ig
U
R2
I1 =
U
R1
I = I1 + I 2
1
1
1
=
+
+ ... = G p = G 2 : G 3 + ...
R p R1 R 2
In einer PARALLELSCHALTUNG liegt an jedem Widerstand
die selbe Spannung an, die Teilströme addieren sich zum
Gesamtstrom.
11
Die Teilströme verhalten sich indirekt proportional der
Widerstände
Die Teilströme verhalten sich wie die Leitwerte
3.3
Spezielle Stromteilerregel
Es Gilt: R p =
I1 = I ⋅
3.4
R1 ⋅ R 2
R1 + R 2
(max. 2R)
R2
R1 + R 2
I2 = I ⋅
R1
R1 + R 2
Wirkungsgrad und Leistung
P = U⋅I
η=
P=
U2
R
P = I2 ⋅ R
Pzu
PNutz
0≤ η ≤1
Allgemein Gilt:
η=
PVerbrauche r
I⋅Ra
=
PGesammt
I ⋅ (R a + Rv )
Ra…Lastwiderstand
Ra
η=
Ra + Rv
12
3.5
3.6
Vorwiderstand
Rv
Uv
Ra
Ua
Fester Spannungsteiler (unbelasteter Fall)
Ua
R2
=
U
R1 + R 2
Ua = U ⋅
3.7
R2
R1 + R 2
Fester Spannungsteiler (belasteter Fall)
Ux = I⋅
η=
R2 ⋅Ra
R2 + Ra
U x ⋅ Ia
Ug + Ig
Ein Spannungsteiler kann näherungsweise als unbelastet
angesehen werden, wenn der Querstrom durch den
Lastwiderstand mindestens 10-mal größer ist als der
Ausgangsstrom Ia .
13
3.8
Stern → Dreieck-Transformation
R 1⋅ R 2 + R 2⋅ R 3 + R 3⋅ R 1
R 12
R3
R 23
R 1⋅ R 2 + R 2⋅ R 3 + R 3⋅ R 1
R1
R 1⋅ R 2 + R 2⋅ R 3 + R 3⋅ R 1
R 13
R2
Jeder Sternwiderstand ist gleich dem Produkt der beiden
Anliegenden Dreieckswiderstände, Dividiert durch die
Summe der Dreieckswiderstände.
3.9
Dreieck → Stern-Transformation
R1
R2
R12⋅ R13
R12 + R23 + R13
R2
R 12⋅ R 23
R 12 + R 23 + R 13
R 23⋅ R 13
R 12 + R 23 + R 13
Jeder Dreieckswiderstand ist gleich der Summe der
Produkte von je zwei Sternwiderständen dividiert durch
den gegenüberliegenden Sternwiderstand
14
3.10 Arbeitsplan für Kirchhoff
Œ
•
Ž
•
•
‘
’
“
4
4.1
Uq- Pfeile von + nach - einzeichnen
I-Pfeile einzeichnen (Willkürlich)
UR –Pfeile einzeinchen (Parallel zum jeweiligen I- Pfeil)
Knotengleichungen Ansetzten (Σ I = 0)
Maschengleichungen Ansetzen (Σ U = 0)
Für alle UR, I ⋅ Rx einsetzen
Zahl der Gleichungen Kontrollieren ( nx → n Unbekannte)
Gleichungssystem auflösen und berechnen
Aktive Zweipole
Spannungsquellenersatzschaltbild eines Aktiven Zweipols
I
I=
Uq
Ri + Ra
Ik =
U KL = I ⋅ Ra = U a =
Uq
Ri
U q ⋅ Ra
Ri + Ra
Im unbelasteten Fall ergibt sich die Klemmenspannug:
U KL = U q − I ⋅ Ri
15
4.2
Stromquellenersatzschaltbild eines Aktiven Zweipols
I
U KL = I K ( Ri || Ra )
4.3
Regeln zur Vereinfachung von Schaltungen
Wenn einwandfrei sichergestellt ist, dass ein Widerstand
ausschließlich Parallel zu einer Spannungsquelle liegt, ist
jener Widerstand ohne Bedeutung.
Wenn einwandfrei sichergestellt ist, dass ein Widerstand
in Serie zu einer Stromquelle geschaltet ist, so ist dieser
Widerstand ohne Bedeutung
16
5
5.1
Elektrische Leistung, Arbeit –Wirkungsgrad
Elektrische Leistung
P =U ⋅I = I2 ⋅R =
5.2
U2
R
Elektrische Arbeit (Energie)
U2
Wel = U ⋅ I ⋅ t = P ⋅ t = I ⋅ R ⋅ t =
⋅t
R
2
1 kWh = 1.000 Wh = 3.600.000 Ws (1h = 3600s)
1 kWh = 3,6 . 106 J (Joule)
5.3
Wirkungsgrad
Pzu
Pnutz
Maschine
η=
Pnutz
Pzu
0 ≤ η ≤1
0 % ≤ η ≤ 100 %
P1
Pzu
Maschine 1
Pnutz
P2
Maschine 2
Maschine 3
η ges = η1 ⋅ η 2 ⋅ η 3
17
Magnetfeld
1
Allgemeines
Ein stromdurchflossener Leiter erzeugt
in dem ihn Umgebenden Raum ein
Magnetfeld.
Die Richtung der Feldlinien können
nach dem Prinzip der Rechtsschraube
ermittelt werden...
1.1
Feldlinienbilder
Die Feldlinien bewegen sich vom Nord- zum Südpol.
S
N
18
2
Magnetische Feldstärke H
I
I
H= =
l 2⋅r ⋅π
Einheit:
2.1
für r ≥ ra
H =1
H............. magn. Feldstärke
I .............. Strom durch den Leiter in A
L ............. Länge der Feldlinie in m
ra ............. Radius des Leiters in Meter
r .............. abstand von der Leitermitte in m
A
= 1 Henry
m
Magnetische Feldstärke im Inneren eines Leiters
Unter der Annahme, dass die Stromdichte überall im Leiter
konstant ist ( J = AI = 2I ), gilt die folgende Formel (Linear):
ra ⋅π
H=
I
I
=
⋅r
l 2 ⋅ π ⋅ ra 2
für r ≤ ra
H..............magn. Feldstärke
I ...............Strom durch den Leiter in A
ra ..............Radius des Leiters in Meter
r ...............abstand von der Leitermitte in m
19
Magnetische Feldstärke im Inneren eines Koaxialleiters
20
2.2
Magnetische Feldstärke in einer Leiterschleife
H=
I
I
=
d 2⋅r
H .............magn. Feldstärke im Mittelpunkt
Gilt nur, wenn r >> ra
2.3
Magnetische Feldstärke im inneren einer Zylinderspule
H=
I⋅N
l
N............. Windungszahl
l............... Länge der Spule
Gilt nur, wenn l > 10d
21
2.4
Magnetische Feldstärke im inneren eines Ringsolenoid
H=
3
I⋅N I⋅N
=
l
d ⋅π
Magnetische Durchflutung Θ
Θ= N⋅I
22
3.1
Magnetischer Durchflutungssatz
Θ = ∑ H i ⋅ li
Θ = N ⋅ I = H ⋅l
4
i
Magnetischer Fluss Φ
Der Magnetische Fluss beschreibt die Zahl der Feldlinien.
U ind =
∆Φ
⇒U ~
∆t
Einheit: 1 Wb (Weber) oder
Φ = B⋅ A
Φ=µ⋅
Φ = U i ⋅ Δt
V
s
N ⋅I
⋅A
l
23
5
Magnetische Flussdichte B
Die Magnetische Flussdichte ist die Zahl der Feldlinien pro m²
B=
Φ
A
B =1
H → B über Tabelle
Einheit 1 Tesla (Vsm-2)
6
Vs
m2
Permeabilität µ
µ=
B = µ ⋅H
µ=
Einheit
6.1
B
H
B=
µ ⋅N ⋅I
l
Henry Vs
=
m
Am
Magnetische Feldkonstante
µ 0 = 4 ⋅ π ⋅10 −7
Vs
Am
µ = µ0 ⋅ µr
µr =
µ
µ0
µ r ............relative Permeabilität
µ0 ............Permeabilität des Vakuums (H/m)
µ .............Permeablilität des Materials (H/m)
24
7
Induktivität L
ψ = L⋅I
L=
7.1
Φ
I
L=
[Φ ]
Vs
=1
= 1 Henry (H)
[I]
A
Induktivität einer Spule
Für eine Spule mit N windungen gilt: Anstatt von Φ gleich NΦ!
L=
ψ = N ⋅Φ = N ⋅ µ ⋅
ψ = N2 ⋅
ΦV
N ⋅Φ
N2
=
=
l
I
l
µ⋅A
N⋅I
⋅A
l
µ⋅A
⋅I
l
Ψ............. Gesamtfluss durch Leiteranordnung
L = N2 ⋅
L=
µ⋅A
⋅I
l
N ⋅Φ
I
25
26
8
Hysterese und Magnetische Eigenschaften
DynamoSiFe Blech SiFe Blech
Dynamoblech I Dynamoblech II Dynamoblech IV
grauguss
konvent
modern
H in A/m
B in T
B in T
B in T
B in T
B in T
B in T
50
0,0045
0,0800
0,0800
0,1400
1,0000
1,6600
100
0,0100
0,2600
0,2500
0,3000
1,3800
1,7900
150
0,0150
0,4000
0,3800
0,4300
1,5000
1,8300
200
0,0220
0,5500
0,6200
0,5400
1,5600
1,8500
250
0,0300
0,6800
0,6150
0,6300
1,6100
1,8600
300
0,0400
0,7800
0,7000
0,7100
1,6600
1,8800
400
0,0620
0,9700
0,8660
0,8500
1,7180
1,9000
500
0,0880
1,1200
1,0000
0,9700
1,7600
1,9100
600
0,1080
1,2300
1,1050
1,0700
1,8000
1,9200
700
0,1380
1,3060
1,2000
1,1500
1,8300
1,9250
800
0,1730
1,3560
1,2660
1,2250
1,8650
1,9300
900
0,2110
1,3960
1,3260
1,2750
1,8760
1,9350
1000
0,2860
1,4300
1,3600
1,3200
1,8920
1,9400
1100
0,3000
1,4600
1,3900
1,3450
1,9030
1,9425
27
DynamoSiFe Blech SiFe Blech
Dynamoblech I Dynamoblech II Dynamoblech IV
grauguss
konvent
modern
H in A/m
B in T
B in T
B in T
B in T
B in T
B in T
1200
0,3400
1,4850
1,4030
1,3660
1,9130
1,9450
1300
0,3800
1,5020
1,4160
1,3850
1,9220
1,9475
1400
0,4160
1,5150
1,4260
1,3920
1,9310
1,9500
1500
0,4500
1,5250
1,4390
1,4000
1,9390
1,9525
2000
0,5800
1,5700
1,4820
1,4400
1,9700
1,9650
2500
0,6500
1,6100
1,5150
1,4650
1,9950
1,9665
3000
0,6780
1,6450
1,5480
1,4800
2,0150
1,9800
3500
0,7040
1,6720
1,5720
1,4950
2,0330
1,9815
4000
0,7280
1,6870
1,5900
1,5100
2,0480
1,9850
4500
0,7500
1,7000
1,6070
1,5250
2,0620
1,9865
5000
0,7700
1,7120
1,6230
1,5400
2,0760
1,9900
6000
0,8140
1,7420
1,6490
1,5650
2,0950
1,9915
7000
0,8540
1,7710
1,6750
1,5860
2,1130
2,0100
8000
0,8920
1,7800
1,7000
1,6040
2,1280
2,0300
9000
0,9280
1,8080
1,7240
1,6230
2,1420
2,0500
10000
0,9800
1,8360
1,7460
1,6420
2,1640
2,0700
11000
0,9880
1,8570
1,7660
1,6600
2,1650
12000
1,0100
1,8780
1,7860
1,6780
2,1750
13000
1,0300
1,8940
1,8030
1,6960
2,1850
14000
1,0460
1,9090
1,8200
1,7130
2,1940
15000
1,0600
1,9230
1,8360
1,7300
2,2120
20000
1,1250
1,9830
1,8980
1,7960
2,2300
25000
1,1700
2,0330
1,9600
1,8600
2,2520
30000
1,2100
2,0740
1,9950
1,8850
2,2720
28
Elektrisches Feld – Elektrostatik
1
Elektrostatische Kraftlinienbilder
→
→
E ............elektrische Feldstärke
F.............Kraft auf Probeladung
Qp ...........Probeladung (immer Positiv)
F
E=
Qp
2
Elektrische Feldstärke
[E] = 1
→
N
J
VAs
V
=1
=1
=1
C
As ⋅ m
Asm
m
→
F
E=
Qp
W12 = F ⋅ s12
E=
2.1
U = E ⋅ s12
D
Q
=
ε
A⋅ε
Spitzenwirkung
Je gekrümmter die Oberfläche desto größer die Ladungsdichte
ϕ=
1
κ
29
3
Elektrischer Fluss Ψ
Ψ~Q
Ψ = Q perdefinition
Einheit: 1As = 1C
4
Verschiebungs- bzw. Flussdichte
D=
D=ε ⋅E
Ψ
A
D=
Einheit: 1 As/m²
5
ε
.......... permittivität
Q
A
Elektrische Spannung U
U = E ⋅ ∆s
r
1r
U=∫ E d l
2
U = Q⋅
l
ε⋅A
Das Potentioal ist unabhängig! Ein bestimmter Punkt bestitzt
ein bestimmtes Potential!
30
6
7
Vergleich Magnetisches Feld – Elektrisches Feld
Φ
Vs
Ψ
As
Β
Vs
m2
D
As
m2
H
A
m
E
V
m
µ
H
Vs
=1
m
A
ε
F
As
=1
m
V
Permittivität ε
ε=
D =ε ⋅E
Einheit
7.1
ε=
D
E
F Vs
=
m Vm
Magnetische Feldkonstante
ε 0 = 8,8542 ⋅ 10 −12
Maxwell- Beziehung:
Vs
Am
1
=c
ε0 ⋅ µ0
ε = ε0 ⋅εr
ε
εr =
ε0
ε
ε
ε
r ..........relative
Permittivität
.........Permittivität des Vakuums (F/m)
...........Permittivität des Materials (F/m)
0
31
8
Elektrische Kapazität
C=
Q
U
[C ] =
[Q ] As
=
= 1F
[U ] V
Einheit: 1 Farrad
C=
9
ε⋅A
A
= ε0 ⋅ εr ⋅
d
d
Der Kondensator als Bauelement
9.1
Plattenkondensator
C=
Q ε⋅A
=
U
d
32
9.2
Wickelkondensator
C = 2⋅
9.3
Schichtkondensator
C = n⋅
9.4
ε⋅A
d
ε⋅A
d
n .............Anzahl der Dielektrikumsschichten
Drehkondensator
 R2 ⋅π r 2 ⋅π  α
π
 ⋅
A = 
−
= (R2 − r 2 ) ⋅α ⋅
2  180
360
 2
C = n⋅
ε⋅A
π ε
= n ⋅ (R 2 − r 2 ) ⋅ α ⋅
⋅
d
360 d
33
9.5
Zylinderkondensator
C=
2⋅π ⋅l ⋅ε
 R
ln  
r
E=
U
 R
x ⋅ ln  
r
x .............Abstand des Punktes x von der
Zylinderachse in m
Ex ............Feldstärke im Punkt x in V/m
10 Leiterkapazitäten
C=
π ⋅l ⋅ε
2
a

a

ln  +   − 1 
 2r

 2r 


34
Ist der Leiterabstand a gegenüber dem Radius sehr groß (Wie
zum Baispiel bei Freileitungen gegeneinander, ergibt sich
folgende Nähehrung:
C=
π ⋅l ⋅ε
 a
ln  
r
10.1 Kapazitäten gegenüber dem Boden
C=
2 ⋅π ⋅ l ⋅ ε
2⋅h
ln 

 r 
35
11 Schaltung von Kondensatoren
11.1 Parallelschaltung
Q
1
+ Q
2
= Q
C1 + C 2 = C p
Q1 : Q2 = C1 : C2
Cp =
Q1 + Q2
U
Q1 C1
=
Q2 C 2
11.2 Serienschaltung
U1 + U 2 = U = U s
U1 =
Q1
C1
U2 =
Q1 = Q2 = Qs
Q2
C2
1
1
1
=
+
C s C1 C 2
U1 C2
=
U 2 C1
36
p
12 Kondensatoren mit verschiedenen Dielektrika
Q1 = Q2 = Q → D1 = D2 = D
E1 ⋅ ε1 = E2 ⋅ ε 2 ⇒
E1 ε r2
=
E2 ε r2
Der Werkstoff mit dem kleineren εr wird also stärker beansprucht.
D1 = ε1 ⋅ E1
U 1 = E1 ⋅ A1
D2 = ε 2 ⋅ E2
U 2 = E2 ⋅ A2
E1 =
D
Q
=
ε r1 ⋅ ε 0 ε r1 ⋅ ε 0 ⋅ A
E1 ⋅ d1 + E2 ⋅ d 2 = U g
E2 =
D
Q
=
ε r2 ⋅ ε 0 ε r2 ⋅ ε 0 ⋅ A
D=
Q
A
13 Ausgleichsverhalten von RC- Gliedern
13.1 Einschaltvorgang bei DC an einem RC- Glied (const. U-Quelle)
Einschaltvorgang àLADEN des Kondensators
−t
i(t ) = I 0 ⋅ e R⋅C
t→∞
i→0
t
0τ
1τ
2τ
3τ
4τ
4,6τ
5τ
6τ
i(t)
5 (=I0)
1,839
0,677
0,249
0,092
0,05
0,034
0,012
in %
100
37
14
5,0
1,8
1,0
0,7
0,2
τ = R ⋅C =
i0 =
V As
⋅
→s
A V
U0 0
⋅e
R
37
−t
u r (t ) = U 0 ⋅ e RC = i (t ) ⋅ R
t
0τ
1τ
2τ
3τ
4,6τ
i(t)
0
0,63
0,86
0,95
0,99
in %
0
63
86
95
99
u r = u C = u0
−t
uC = U − U R = U ⋅ (1 − e R ⋅C )
13.2 Ausschaltvorgang bei DC an einem RC- Glied
i (t ) : I 0 ⋅ e
−t
RC
u R (t ) : u ⋅ e
−t
uC (t ) = U 0 ⋅ e RC
−t
RC
ur + uc = 0
38
14 Coulombsches Gesetz
F = E1 ⋅ Q2 =
Q1 ⋅ Q2
ε ⋅ 4 ⋅ a2 ⋅π
Kraft F zuwischen zwei Punktförmigen Ladungen:
FC =
1
Q ⋅Q
⋅ 1 2 2
4 ⋅π ⋅ε
a
E=
D1
Q
Q1
= 1 =
ε
ε ⋅ A 4 ⋅π ⋅ ε ⋅ a2
E=
U0
s
F ⋅ s = e− ⋅ {
E⋅s
F = e− ⋅ E
U0
14.1 Energieinhalt
W=
CU 02 Q 2
=
2
2C
Q2
∆W =
⋅ ∆d
2 ⋅ A ⋅ε
d in m!
14.2 Kraftwirkung zuwischen 2 kapazitiven Flächen
∆W
Q2
F=
⇒
∆d
2 ⋅ A ⋅ε
F=
(CU )2
2 ⋅ ε 0 (⋅ε r ) ⋅ A
ε0…nur beim Luftkondensator
39
∆W = A ⋅ ε ⋅
2
U0
s1
=
2
s ( s + s1 )
14.3 Geschwindigkeit des Elektrons im Elektrischen Feld
v = 2⋅a ⋅s
e ⋅U =
F = m⋅a ⇔ a =
F
m
v=
m ⋅ v2
2
2 ⋅ e− ⋅ U
=
m
2 ⋅ e−
⋅ U
m
Nach dem Energiesatz
W = F ⋅s =
m ⋅ v2
2
v = 2⋅
W = e− ⋅ U 0 ⇒ [eV ]
F
⋅s
m
15 Energiedichte des E-Feldes ω
+
+
+
+
+
+
-
W =
ε ⋅ E2 D ⋅ E
ω=
=
2
2
CU 02
2
Vgl.: Magnetfeld:
ω=
µ⋅
2
2
=
B⋅H
2
40
Magnetische Kreise
1
Magnetische Spannung
Um = H ⋅l
2
Magnetische Durchflutung Θ - Durchflutungssatz
Θ = ∑ H ⋅l = I ⋅ N
Θ =Φ⋅
3
l
µ⋅A
Θ = ∑U m
Θ = Φ ⋅ Rm
B Θ
B ⋅l
= ⇒Θ=
µ
l
µ
Magnetischer Widerstand Rm
Rm =
3.1
l
µ⋅A
Θ
Φ
Ohmsches Gesetz Magn. - Kreise Serienschaltung
Φ=
3.2
Rm =
Um
=
∑ Rm
Θ
=
∑ Rm
Θ
l
∑µ⋅A
Ohmsches Gesetz Magn. – Parallelschaltung
Φ = Θ⋅∑Λ = Θ⋅∑
µ⋅A
l
41
3.3
Magnetischer Leitwert
Λ=
1
µ⋅A
=
Rm
l
42
4
Verluste bei Spulen
RCu =
4.1
ρ ⋅l
A
Wärmeverluste im Kupfer:
PCu = I 2 ⋅ RCu
Hystereseverluste
PH ~ f
43
4.2
Wirbelstromverluste
PFe = PH + PW
PFe = c1 f + c2 f
5
Kraftwirkung im Magnetischen Feld
→
F
r r
= l ⋅ (I/ × B)
Betragsgleichung:
F = l ⋅ I ⋅ B ⋅ sin( ∠[ I , B])
F ⊥ I;F ⊥ B
l beschreibt die Länge des Leiters im Magnetfeld
44
5.1
Lorentzkraft für Bewegte Ladungen
F = Q ⋅ (v × B )
F ⊥ v; F ⊥ B
Bei einem Magnetfeld entsteht durch die Lortentzkraft eine
Kreisbahn.
Bei einem E-Feld entsteht durch die Lortentzkraft eine
Parabelbahn.
6
Elektromagnetische Induktion – Induktionsgesetz
U = E ⋅ l = B ⋅ l ⋅ v = U ind
E ind = v × B
U ind = −
∆Φ
∆t
U ind = Eind ⋅ l = ∫ Edl
Das Minus beschreibt die Polarität der
Induktionsspannung
dΦ
∫ Edl = − dt
45
6.1
Dynamische Induktion - Bewegungsspannung
U ind =
dΦ
d
= − [B ⋅ A0 ⋅ cos(ω ⋅ t )]
dt
dt
v⊥ = v ⋅ sin(α )
v⊥ = v ⋅ cos(90 − α )
U ind = B ⋅ A0 ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t )
1
424
3
Uˆ
u (t ) = Uˆ ⋅ sin(ω ⋅ t )
Uˆ = N ⋅ A0 ⋅ B ⋅ ω
U = B ⋅ l ⋅ v ⋅ sin( ∠B, v)
Aproj. = A0 ⋅ cos(α ) = A0 ⋅ sin(ω ⋅ t )
6.1.1
Φ = B ⋅ Aproj.
Leiterstab
U ind = B ⋅ l ⋅ v⊥ = B ⋅ l ⋅ v ⋅ sin(α )
6.1.2
Leiterschleife
U ind = 2 ⋅ B ⋅ l ⋅ v⊥ = 2 ⋅ B ⋅ l ⋅ v ⋅ sin(ω ⋅ t )
U ind = B ⋅ (l ⋅ 2 r ) ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t )
U ind = B ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t )
Uˆ = N ⋅ 2{
r ⋅ l ⋅ B ⋅ω
u (t ) = Uˆ ⋅ sin(ω ⋅ t )
A0
46
v = r ⋅ω
ω..............Winkelgeschwindigkeit
v ..............Bahngeschwindigkeit
ω = 2 ⋅π ⋅ f =
v = 2π ⋅ f ⋅ r
6.1.3
2π
T
[ω ] =
rad
= s −1
s
v = ω ⋅r
Spule
Uˆ = N ⋅ B ⋅ l ⋅ v
U ind = N ⋅ B ⋅ l ⋅ v ⋅ sin(α )
 

  α ⋅ T 
u (α ) = N ⋅ 2{
r ⋅ l ⋅ B ⋅ ω ⋅ sin ω ⋅ 

360 
A0
{

  t 
 

  α 

u (α ) = N ⋅ 2{
r ⋅ l ⋅ B ⋅ ω ⋅ sin ω ⋅ 
360 ⋅ f  
A0
  1
23 
  t  
ACHTUNG: SI-Einheiten beachten!
47
6.2
Transformatorspannung
ˆ ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t )
U ind = 1
N4⋅2
Φ
4
3
U ind = 1
N4
⋅ B2
⋅A
⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t )
43
Uˆ
Uˆ1 = N 1 ⋅ Bˆ ⋅ A ⋅ ω
Primärseitig
Sekundärseitig
6.2.1
Uˆ 1
ˆ
U 1eff
U 1 N1
=
= 2 =
Uˆ 2 N 2 Uˆ 2 U 2 eff
2
Trafogesetz
U 1 N1
=
U2 N2
U eff =
6.3
Uˆ 2 = N 2 ⋅ Bˆ ⋅ A ⋅ ω
Uˆ
U 1 I 2 N1
~
=
U 2 I1 N 2
N ⋅ Bˆ ⋅ A ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f
2
Kraftwirkung zweier Stromdurchflossener Leiter zueinander
F = µ0 ⋅ l ⋅
I1 ⋅ I 2
2 ⋅ a ⋅π
48
6.4
Tragkraft eines Elektromagneten
F=
7
A ⋅ B2
2 ⋅ µ0
Ausgleichsverhalten von R-L-Gliedern
−t
i(t ) = I 0 ⋅ (1 − e τ )
−t
U L (t ) = I 0 ⋅ e τ
U R + U L = U0
I0 =
U0
R
−t
u (t ) = U 0 ⋅ (1 − e τ )
τ [ s] =
L
R
49