Serie 9

© Peter Buob
Geometrie-Lehrgang Oberstufe
Geometrie 2 - Serie 9
Serie 9
1
Kreis: Bezeichnungen, Winkel, Sehnen
Benenne die folgenden Kreiswinkel.
a)
b)
d)
© Peter Buob
2.09.081
c)
e)
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Geometrie 2 - Serie 9
2
Lösung
2.09.081
a) Peripheriewinkel
b) Zentriwinkel
c) Sehnenwinkel
d) Sehnentangentenwinkel
e) Tangentenwinkel
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3
Kreis: Bezeichnungen, Winkel, Sehnen
2.09.082
1. Benenne die folgenden schraffierten Flächen.
2. Benenne die Begrenzungslinien dieser Flächen.
a)
b)
c)
© Peter Buob
d)
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4
Lösung
2.09.082
a) Kreisfläche
begrenzt durch Kreislinie/Kreisperipherie
b) Kreissektor
begrenzt durch 2 Kreisradien und 1 Kreisbogen
c) Kreissegment
begrenzt durch 1 Kreissehne und 1 Kreisbogen
d) Kreisring
begrenzt durch 2 konzentrische Kreislinien
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5
Kreis: Bezeichnungen, Winkel, Sehnen
2.09.083
Benenne die Geraden a bis c, die Strecken d bis g und
den Punkt T.
e
a
b
d
T
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f
g
c
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6
Lösung
2.09.083
a Sekante
b Zentrale
c Tangente
d Berührungsradius
e Sehne
f
Durchmesser
g Radius
T (Tangenten-) Berührungspunkt
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7
Kreis: Bezeichnungen, Winkel, Sehnen
2.09.084
Wie heissen die Winkelsätze zu den folgenden Schaufiguren?
b)
a)
c)
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d)
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Geometrie 2 - Serie 9
e)
8
Lösung
2.09.084
a) Sehnen-Tangentenwinkelsatz: Der Sehnentangentenwinkel ist gleich gross wie die Peripheriewinkel über der Sehne.
b) Zentriwinkelsatz: Zentriwinkel über gleich langen Bogen
(oder Sehnen) sind im gleichen Kreis gleich gross.
c) Peripheriewinkelsatz: Peripheriewinkel über gleich langen
Bogen (oder Sehnen) sind im gleichen Kreis gleich gross.
d) Peripherie - Zentriwinkelsatz: In einem Kreis ist der
Zentriwinkel doppelt so gross wie der Peripheriewinkel über
gleichem Bogen.
e) Innenwinkelsatz im Sehnenviereck: Im Sehnenviereck
messen zwei gegenüberliegende Innenwinkel zusammen
180°.
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9
Kreis: Bezeichnungen, Winkel, Sehnen
2.09.085
1. Zeichne im Kreis k mit r = 20 mm fünf Sehnen mit
der Länge 25 mm.
2. Was lässt sich über die Grösse von gleich langen
Sehnen vom Kreiszentrum Z aussagen?
3. Beschreibe den geometrischen Ort der Seitenmitten gleich langer Sehnen.
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10
Lösung
2.09.085
1.
2. Gleich lange Sehnen im
gleichen Kreis haben
gleich lange Abstände
vom Kreiszentrum.
M4
M3
Z
g.O.
M5
M2
M1
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k
3. Der geom. Ort aller
Mittelpunkte M von
gleich langen Sehnen
im gleichen Kreis k mit
dem Zentrum Z liegen
auf einem konz. Kreis
zu k mit r = ZM .
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11
Kreis: Bezeichnungen, Winkel, Sehnen
Gegeben sind Kreis k
und Sekante g. Konstruiere alle Sekanten s,
welche g unter einem
Winkel von 60° schneiden, und aus denen der
Kreis k Sehnen von 30
mm Länge herausschneidet.
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2.09.086
k
g
Z
12
Lösung
s4
2.09.086
k
g
s3
M2
s2
M'
s'
M4
Z
60°
M3
s1
M1
h
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1. Sehne s’ mit Länge
30 mm konstruieren.
2. Rechtwinklige zu s’
durch Z  M’
3. Kreis um Z mit
r = ZM'
4. 60° Winkel an g
antragen  h
5. Rechtwinklige zu h
durch Z  M1, M2
6. Parallele zu h durch
Z  M3, M4
7. Sekanten durch M1
bis M4 zeichnen
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13
Kreis: Bezeichnungen, Winkel, Sehnen
Aufgabe 1:
t1 und t2 sind Tangenten
an Kreis k. Berechne die
Winkel w, x, y und z.
M
66°
y
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17°
B
z
w
x
w
k
Aufgabe 2:
Das Dreieck MAB ist
gleichseitig. Berechne die
Winkel w, x, y und z.
t1
z
2.09.087
M
Z
x
t2
k
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y
A
14
Lösung
2.09.087
Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
w =
81°
w =
30°
x =
24°
x =
13°
y =
57°
y =
45°
z =
33°
z =
75°
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15
Kreis: Bezeichnungen, Winkel, Sehnen
Aufgabe 1:
w ist Winkelhalbierende.
Berechne die Winkel x, y
und z.
2.09.088
Aufgabe 2:
Berechne die Winkel x, y
und z.
x
y
w
z
81°
65°
z
y
x
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16
Lösung
2.09.088
Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
x =
22.5°
x =
15.5°
y =
97.5°
y =
40.5°
z =
60°
z =
25°
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17
Kreis: Bezeichnungen, Winkel, Sehnen
Aufgabe 1:
Berechne die Winkel w, x,
y und z.
z
y
32°
2.09.089
Aufgabe 2:
t ist Tangente. Berechne
die Winkel v, w, x, y und z.
t
58°
y
z
x
w
x
v
w
65°
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18
Lösung
2.09.089
Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
w =
97°
v =
32°
x =
58°
w =
128°
y =
25°
x =
96°
z =
33°
y =
26°
z =
58°
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19
Kreis: Bezeichnungen, Winkel, Sehnen
Aufgabe 1:
Berechne die Winkel x, y
und z.
2.09.090
Aufgabe 2:
Berechne die Winkel x, y
und z.
33°
y
z
x
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62°
y
x
z
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20
Lösung
2.09.090
Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
x =
24°
x =
34°
y =
33°
y =
124°
z =
57°
z =
62°
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21