lückenlos

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Computergestützte Verifikation
23.4.2002
1
Inhalt
Kapitel 1: Systeme
Kapitel 2: Temporale Logik
Simulation
Fehlerbeseitigung
System
Abstraktion
Gegenbeispiel
Verfeinerung
Modell
Präzisierung
Spezifikation
Formalisierung
log. Formel
Model Checker
Überlauf
2
+
Temporale Logik
Eigenschaften von Zuständen und
deren Änderung in Systemabläufen
Erweiterung der Aussagenlogik
3
Zustandseigenschaften
“bin bei Anweisung k”
“Mailbox ist leer”
“nil dereferenziert”
“x[17] > 35”
q
q,n
k,q,n
x,k
Annahme: s(p) mit vernachlässigbarem Aufwand
berechenbar aus Repräsentation von s im Rechner
4
CTL*
CTL*
CTL
LTL
Nur Zust.formeln
nur Pfadformeln
X, F, G, U
X, F, G, U,
A, E
EX, AX,
EF, AF,
EG, AG,
E( . U . )
A( . U . )
5
Progress und Fairness
e
d
a
b
p
a
p
p
d
f
c
b
p
e
F p gilt nicht !!?!?!?!
6
Lösung: Fairnessannahmen
Eine Fairnessannahme ist eine Pfadeigenschaft und
Bestandteil der Systembeschreibung.
Gültigkeit unter Fairness:
A = für jeden Pfad, der alle Fairnessannahmen erfüllt, gilt....
E = es gibt einen Pfad, der alle Fairnessannahmen erfüllt und ...
Fairness
aktionsbasiert
zustandsbasiert
7
Progress (= schwache Fairness)
informal:
Komponenten bleiben nicht einfach so stehen
aktionsbasiert:
Ein Pfad p behandelt eine Aktion a schwach fair, wenn:
Wenn a in p von einem Zustand s an unendlich lange aktiviert
ist, wird a bei einem Nachfolger von s ausgeführt
zustandsbasiert:
Eigenschaften der Form G F f (f ist Zustandseigenschaft)
werden Progress-Annahmen genannt (oder schwache
Fairnessannahmen).
Beispiele: G F pc  k
GF input = 0  GF input = 1
8
Starke Fairness
informal:
Wenn sich mehrere Prozesse wiederholt um geteilte
Ressourcen bewerben, kommt jeder mal dran
aktionsbasiert:
Ein Pfad p behandelt eine Aktion a stark fair, wenn:
Wenn a in p unendlich oft enabled ist, wird a auch
unendlich oft ausgeführt
zustandsbasiert:
Eigenschaften der Form (G F f )  (G F y) werden
starke Fairnessannahmen genannt.
Beispiel: ( G F ressource beantragt )  ( G F ressource erhalten)
9
Fairness - Zusammenfassung
System = Transitionssystem
+ Fairnessannahmen
Spezifikation = Sicherheitseigenschaft
+ Lebendigkeitseigenschaft
Fairnessannahmen sind Lebendigkeitseigenschaften
Vorsicht!
G F pck
k: receive(m,Mailbox)
G F (pckMailbox=)
10
Beispiele
Wechselseitiger Ausschluss
S: G (pc1  “critical”  pc2  “critical” )
L:
G (pc = “request”  F pc = “critical”)
TS: Pr i (pc: lokale Variable, sem: globale Variable)
init(pc) = “idle” init(sem) = 1
g0: pc = “idle”  pc = “idle” /* do something else */
g1: pc = “idle”  pc = “request”
g2: pc = “request”  sem = 1  sem = 0, pc = “critical”
g3: pc = “critical”  pc = “idle”, sem = 1
F: schwach: g3
stark: g2
F’: G F pc  “critical” , (G F (pc = “request”  sem = 1))11
 (G F pc = “critical”)
Beispiele
F: schwach: g3
stark: g2
F’: G F pc  “critical” , (G F (pc = “request”  sem = 1))
 (G F pc = “critical”)
g0,g0’
(i,i,1)
g1’
g1
g3
g0’
g0’
(r,i,1)
g1’
g2
(c,i,0)
g1
(r,r,1)
g3
g1’
g2
(c,r,0)
g0
(i,r,1)
g3’
g2’
g3’
g2’
(r,c,0)
g0
(i,c,0)
g1
12
Beispiele
F: schwach: g3
stark: g2
F’: G F pc  “critical” , (G F (pc = “request”  sem = 1))
 (G F pc = “critical”)
schwach unfair
bzgl. g2
g3
g0’
g0,g0’
(i,i,1)
g1’
g1
g0’
(r,i,1)
g1’
g2
(c,i,0)
g1
(r,r,1)
g3
g1’
g2
(c,r,0)
g0
(i,r,1)
g3’
g2’
g3’
g2’
(r,c,0)
g0
(i,c,0)
g1
13
Beispiele
F: schwach: g3
stark: g2
F’: G F pc  “critical” , (G F (pc = “request”  sem = 1))
 (G F pc = “critical”)
schwach fair, aber
stark unfair bzgl.
g2
g0,g0’
(i,i,1)
g1’
g1
g3
g0’
g0’
(r,i,1)
g1’
g2
(c,i,0)
g1
(r,r,1)
g3
g1’
g2
(c,r,0)
g0
(i,r,1)
g3’
g2’
g3’
g2’
(r,c,0)
g0
(i,c,0)
g1
14
Beispiele
F: schwach: g3
stark: g2
F’: G F pc  “critical” , (G F (pc = “request”  sem = 1))
 (G F pc = “critical”)
fair, gewollter Ablauf
wäre schwach unfair
bzgl. g1
g3
g0’
g0,g0’
(i,i,1)
g1’
g1
g0’
(r,i,1)
g1’
g2
(c,i,0)
g1
(r,r,1)
g3
g1’
g2
(c,r,0)
g0
(i,r,1)
g3’
g2’
g3’
g2’
(r,c,0)
g0
(i,c,0)
g1
15
Beispiele
“Echo”: propagation of information with feedback
Prozess initiator (1)
Prozesse other (n)
Kommunikationsrelation N (bidirektional, zusammenh.)
Nachricht: [Empfänger, Absender, Inhalt]
initiator:
g1: pc = idle  c = choose, pc = active
g2: pc = active  send(N(myself) x {myself} x {c}),pc = waiting
g3: pc = waiting  received({myself} x N(myself} x {c})  pc = ready
other:
g4: pc = idle  received([myself,f,c]) 
send(N(myself) \ {f} x {myself} x {c}), pc = pending
g5: pc = pending  received(N(myself) \ {f} x {myself} x {c})
send([f,myself,c]), pc = terminated
F: schwach: g2-g5
L: G (initiator.pc = active  F initiator.pc = ready)
S: G (initiator.pc = ready   o.c = initiator.c)
o in other
16
Wie geht es weiter?
Simulation
Fehlerbeseitigung
System
Abstraktion
Gegenbeispiel
Verfeinerung
Modell
-
Präzisierung
Spezifikation
Formalisierung
A) Finite state systems
log. Formel
Model Checker
Überlauf
B) Infinite state systems
17
+
Model Checking für finite state systems
explizit:
explizite Konstruktion eines
Transitionssystems,
das sich in bezug auf die
untersuchte Eigenschaft
äquivalent zum gegebenen
verhält, aber in der Regel
wesentlich kleiner ist.
Eigenschaft wird durch
Graphsuche nach Zeugen/
Gegenbeispielen
verifiziert
symbolisch:
Datenstruktur, die Mengen von
Zuständen bzw. Pfaden
beschreibt,
Operationen, die simultan die
Nachfolger aller Zustände
berechnet
Eigenschaft wird durch
Fixpunktoperationen auf der
symbolischen Datenstruktur
berechnet
18
Model Checking für finite state systems
explizit:
Kapitel 3
3.1: Tiefensuche
3.2: LTL-Model Checking
3.3: CTL-Model Checking
3.4: Fairness
3.5: Reduktion durch
Symmetrie
3.6: Partial Order Reduction
3.7: Tools
symbolisch:
Kapitel 4
4.1: BDD-basiertes
CTL-Model Checking
4.2: SAT-basiertes
Model Checking
4.3: Tools
19
Kapitel 3
Explizites Model Checking
3.1. Tiefensuche
20
Setting
Geg.: Gerichteter Graph [V,E]
Ges.: stark zusammenhängende Komponenten
v ~ v’ gdw. Es gibt einen Weg von v nach v’ und
einen Weg von v’ nach v in G
~ ist Äquivalenzrelation; Klassen heißen SZK.
SZK können durch Tiefensuche ermittelt werden (Tarjan21’72)
Einfache Tiefensuche
Annahme: Graph [V,E] zusammenhängend von v0
VAR schwarz, grau, weiss: Knotenmengen,
dfs: Nat
schwarz := grau := , weiss := V, maxdfs := 0
dfs(v0);
dfs(v)
v.dfs = maxdfs; maxdfs += 1;
weiss := weiss \ {v}, grau := grau  {v};
FOR ALL v’ ([v,v’]  E) DO
IF v’  weiss THEN
dfs(v’)
END
END
grau := grau \ {v}; schwarz := schwarz  {v};
Invariant: weissgrau schwarz = V, schwarz  reach(grau) = V
Ende: grau = 
22
Tiefensuchbaum
Tiefensuche definiert Numerierung der Knoten (dfs)
und Tiefensuchbaum [V,T]:
[v,v’]  T gdw. dfs(v’) wird von dfs(v) aus aufgerufen
Beispiel:
6
2
2
5
1
4
3
v0
5
3
1
0
6
4
0
23
SZK und Tiefensuchbaum
6
2
5
4
3
Jede SZK bildet einen
zusammenängenden Bereich
im Tiefensuchbaum
1
0
Wurzel des Teilbaums ist
Knoten mit kleinster dfs.
2
5
1
[v,v’] in T  v.dfs < v’.dfs
3
6
4
0
In jedem Teilbaum ist die
Menge der Tiefensuchnummern
lückenlos
24
Klassifikation von E
6
2
[v,v’] ist Baumkante, falls [v,v’] in T
5
4
3
[v,v’] ist Vorwärtskante, falls [v,v’] in T*\T
1
[v,v’] ist Rückwärtskante, falls [v’,v] in T*
[v,v’] ist Querkante, sonst
0
2
5
1
[v,v’] in Vorwärts v.dfs v’.dfs
3
6
4
0
[v,v’] in Quer  v.dfs > v’.dfs
[v,v’] in Rückwärts  v.dfs > v’.dfs
[v,v’] in Rückwärts  v ~ v’
25
Kriterium für Startknoten von SZK
4
4
5
21
6
44
3 3
11
v.lowlink = MIN(v’.dfs |
v’ von v erreichbar über beliebig viele
Baumkanten, gefolgt von max. einer
anderen Kante [v,v’] mit v ~ v’)
00
4
5
21
1
1
3
Satz: v ist genau dann Startknoten einer
SZK wenn v.lowlink = v.dfs
1
6
6
4
4
00
26
Tarjans Algorithmus
VAR Tarj: Stack von Knoten, maxdfs: Nat, weiss: Knotenmenge
weiss := V, maxdfs = 0; Tarj := empty stack
dfs(v0);
dfs(v):
v.dfs = v.lowlink = maxdfs; maxdfs += 1;
push(v,Tarj);weiss := weiss \ {v}
FOR ALL v’ ([v,v’] in E) DO
IF v’ in weiss THEN
dfs(v’)
Baumkante
v.lowlink = MIN(v.lowlink,v’.lowlink)
ELSE
IF v’ on Tarj THEN
v.lowlink = MIN(v.lowlink,v’.dfs)
andere Kante
END
END
END
IF v.lowlink = v.dfs THEN
REPEAT
eine SZK
v* = pop(Tarj)
27
UNTIL v = v*
END
lowlink wird korrekt berechnet
... gefolgt von einer anderen Kante [v,v’] mit v ~ v’
....
ELSE
IF v’ on Tarj THEN
v.lowlink = MIN(v.lowlink,v’.dfs)
END
END
....
Fall 1: [v,v’] Vorwärtskante: also v.dfs < v’.dfs, also trägt v’ nicht
zum Minimum bei
Fall 2: [v,v’] Rückwärtskante: also v ~ v’, v’ vor v im Stack, also v’
noch auf Tarjanstack
Fall 3: [v,v’] Querkante: ok, siehe Tafelskizze
28
Fazit Kapitel 3.1
Wir haben einen Algorithmus, der in O(|V| + |E|) die
SZK eines gerichteten Graphen [V,E] bestimmt.
Dieser Algorithmus kann mit der Konstruktion
des Transitionssystems verbunden werden:
FOR ALL [v,v’] in E DO
....

FOR ALL commands g : g enabled in s DO
s’ := execute g in s
....
weiss  noch nicht gesehen
29
Übung 1
Die Speisenden Philosophen.
5 Philosophen sitzen im Kreis am Tisch. Zwischen je
zwei Philosophen liegt eine Gabel. Philosophen denken oder
essen. Um essen zu können, benötigen sie die beiden
Gabeln unmittelbar links und rechts von ihnen. Nach dem
Essen legen sie die Gabeln wieder ab (zwei benachbarte
Philosphen können also nie gleichzeitig essen, weil sie eine
Gabel teilen).
1. Gib ein Transitionssystem an, das dieser Beschreibung
entspricht und formuliere angemessene Fairnessannahmen!
2. Spezifiziere wünschenswerte Sicherheits- und
Lebendigkeitseigenschaften!
30
Übung 2
Für ein von Dir gewähltes
Tiefensuchszenario,
1. Ordne den Knoten die
passenden dfs-Nummern zu
2. Klassifiziere die Kanten
3. Bestimme die lowlinkWerte
4. Kennzeichne die SZK
31
Übung 3
Gib einen möglichst kleinen gerichteten Graphen an,
der bei geeigneter Tiefensuchreihenfolge
alle Kantentypen enthält (und bei Vorwärts- und Querkanten
jeweils sowohl eine innerhalb einer SZK als auch eine
zwischen verschiedenen SZK).
32
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