Sortieren

ACM ICPC
Praktikum
Kapitel 4: Sortieren
Übersicht
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Problem und Anwendungen
Bubblesort
Bucketsort
Mergesort
Topologisches Sortieren
Problem
Sortierproblem:
• Gegeben: Folge x1,x2,…,xn
• Gesucht: Sortierung :{1,…,n} ! {1,…,n},
so dass x(1) <= x(2) <= … <= x(n)
2
5
1
7
8
4
5
7
8

1
2
4
Anwendungen
• Eindeutigkeitstest: Wie können wir testen, dass alle Werte in einer
Folge verschieden sind?
• Duplikatentfernung: Wie können wir alle bis auf ein Duplikat für
jedes Element entfernen?
• Scheduling: Eine optimale Regel zum Scheduling von uniformen
Jobs mit Deadlines ist “Earliest Deadline First (EDF)”, was eine
Sortierung benötigt.
• Median: Wir wollen das k-tgrößte Element einer Folge finden.
• Häufigkeitszählung: Was ist das am häufigsten vorkommende
Element in einer Folge?
• Vereinigung oder Schnitt: Ist einfach, wenn die beiden Teilmengen in
sortierte Folge gegeben sind.
• Gibt es x und y mit x+y=z? Sortiere die Folge S. Laufe mit i aufwärts
beginnend mit 1 und mit j abwärts beginnend mit n. Prüfe, ob
S[i]+S[j]=z. Falls <, dann erhöhe i, und sonst erniedrige j.
Bubblesort
• Idee: Vergleich benachbarter Einträge.
bubblesort(int s[1..n], int n)
{
for i=1 to n-1 do {
for j=1 to i do
if (s[j+1]<s[j]) then swap(s[j],s[j+1])
}
}
Bucketsort
• Idee: falls Werte in ganze Zahlen in [a,b],
allokiere Array dafür
bucketsort(int s[1..n], int n) {
// allocate array num[a..b]
for i=a to b do num[i]=0;
for i=1 to n do num[s[i]]++;
i=1; j=a;
while i<=n do {
while num[j]=0 do j=j+1;
for k=0 to num[j]-1 do s[i+k]=j;
i = i+num[j]; }
}
Mergesort
• Idee: verschmelze Teillisten in größer werdende Listen
mergesort(int s[1..n], int n) {
// n: power of 2, otherwise filled with (MAXINT-1)’s
for size=1 to n/2 do {
a[size+1] = MAXINT; // a[1..size+1] for one list
b[size+1] = MAXINT; // b[1..size+1] for other list
for i=1 to n/(2*size) do { // prepare for merging
for j=1 to size do a[j] = s[2*(i-1)*size+j];
for j=1 to size do b[j] = s[(2*i-1)*size+j];
k = 1; l=1;
// merge
for j=2*(i-1)*size+1 to 2*i*size do
if a[k]<b[l] then { s[j]=a[k]; k=k+1; }
else { s[j]=b[l]; l=l+1; }
} } }
Suchen in sortierter Folge
• Binäre Suche
O(log n) Zeit
Topologisches Sortieren
• Eingabe: azyklischer gerichteter Graph
G=(V,E), V={1,…,n}
• Ausgabe: Ordnung :{1,…,n} ! {1,…,n} auf
Knoten, so dass für alle Kanten (i,j) 2 E gilt
(i)<(j).
• Algorithmus:
Breitensuche, angefangen mit Knoten
ohne eingehende Kante.
Topologisches Sortieren
Datenstrukturen:
class edge {
node *dest;
edge *next;
};
class node {
int indeg; // # incoming edges
edge *out; // link to outg. edges
};
toposort(node v[1..n], int s[1..n], int n) {
i=1;
for j=1 to n do
if v[j].indeg=0 then
{ s[i]=j; i=i+1; }
b=1; e=i; // begin and end in s[]
while b<e do {
for j=b to e-1 do {
l = v[s[j]].out;
while l<>NULL do {
l->dest->indeg--;
if l->dest->indeg=0 then
{ s[i]=l->dest; i=i+1; }
l = l->next; } }
b = e; e=i; }
}}
2-dimensionales Sortieren
• Welche Struktur erlaubt schnelle Suche?
• Delaunay Triangulierung.
• Wird noch in Geometrie behandelt…
Problem I
Vito’s Familie:
• Eingabe: ganze Zahlen s1,…,sr,
0<r<500, 0<si<30000
• Ausgabe: Position p, die Summe der
paarweisen Distanzen zu allen si
minimiert.
Problem II
Stacks of Pancakes:
• Eingabe: Mehrere Stapel von Pfannkuchen,
jeder bestehend aus 1-30 Pfannkuchen. Jeder
Pfannkuchen hat ganzzahligen Durchmesser
zwischen 1 und 100.
• Ausgabe: Sortiere jeden Stapel durch FlipOperationen, wobei Flip(i) alle Pfannkuchen von
Position i aufwärts einmal umdreht.
Problem III
Bridge:
• Eingabe: n Personen mit ganzahligen
Geschwindigkeiten, um den Fluss zu
überqueren.
• Ausgabe: Plan mit minimaler Zeit, um alle
Personen über den Fluss zu bringen. Die
Beschränkung ist, dass es nur ein Boot gibt und
höchstens zwei darin sitzen können. Der
langsamste bestimmt die Geschwindigkeit des
Bootes.
Problem III
Longest Nap:
• Eingabe: Ein Tag mit Terminen, gegeben
durch „Zeit1 Zeit2 Termin“.
• Ausgabe: Finde längste Pause zwischen
den Terminen.
Problem IV
Shoemaker’s Problem:
• Eingabe: N Schuhaufträge, Schuhauftrag i
benötigt Ti Tage und für jede Verzögerung
um einen Tag muss eine Strafe von Si
Cents bezahlt werden. Der Schuhmacher
kann nur an einem Schuh pro Tag
arbeiten.
• Ausgabe: Reihenfolge der Schuhaufträge,
die die geringste Strafe verursacht.
Problem V
CDVII:
• Eingabe: Gebührentabelle mit einem Eintrag pro
Stunde des Tages und eine Reihe von Enter und
Exit Ereignissen, bestehend aus
„Nummernschild Monat:Tag:Stunde:Minute“ und
der Entfernung zum Ende der Autobahn. Die
Rechnung multipliziert die Gebühren mit den
gefahrenen Kilometern, enthält einen Dollar pro
Fahrt und zwei Dollar als Grundgebühr.
• Ausgabe: Gib die Rechungen für die
Nummernschilder aus.