Hannes5

Die Temperaturentwicklung
des Universums
Hauptseminar
„Der Urknall und seine Teilchen“
(WS 2007/2008)
30.11.2007
Johannes Schwarz
1
Motivation
30.11.2007
Fragen:
Wie schauen
T(S) und T(t)
aus?
Was geschah
mit T(t) in den
jeweiligen
Phasen?
Unterschiede
zwischen
strahlungs- &
materiedominierter Ära?
2
Gliederung
1.
2.
3.
4.
5.
30.11.2007
Kosmologische Grundlagen
Die strahlungsdominierte Ära
Die materiedominierte Ära
Vergleich der beiden Ären
Die Phasen des Universums
3
1. Kosmologische Grundlagen
Der kosmische Skalenfaktor S(t)
„Hubble-Expansion“: Universum dehnt sich aus.
 Abstände r(t) und Dichten ρ(t) sind zeitabhängig.
t=t1
HubbleExpansion
t=t2
Tatsächlicher Radius des Universums ist unbekannt.
 Keine Bezugsgröße bzgl. Längen vorhanden.
Einführung des kosmischen Skalenfaktors S(t):
r0, ρ0 und S0
bezogen auf
bzw.
t=t0 (heute!)4
30.11.2007
1. Kosmologische Grundlagen
S(t) = Relative Expansion des Universums.
Festgelegt: S(t0) = S0 = 1

bzw.
bzw.
Aus
folgt mit S(t):
 Hubble-Parameter H(t):
H(t) = Zeitliche Änderung des Skalenfaktors relativ
zum Skalenfaktor selbst („Expansionsrate“).
Aus
30.11.2007
folgt:
5
1. Kosmologische Grundlagen
Die Friedmann-Lemaître-Gleichungen
...beschreiben die Evolution und Dynamik des
Universums und machen Voraussagen möglich über
dessen Expansion oder Kontraktion.
 Bewegungsgleichungen
...folgen durch Anwendung des „Kosmologischen
Prinzips“ (Das Universum ist homogen und isotrop.)
aus den Feldgleichungen der ART.
ρ: Dichte
k: Krümmung
p: Druck
30.11.2007
6
Gliederung
1.
2.
3.
4.
5.
30.11.2007
Kosmologische Grundlagen
Die strahlungsdominierte Ära
Die materiedominierte Ära
Vergleich der beiden Ären
Die Phasen des Universums
7
2. „Strahlungsdominierte Ära“
„Hubble-Expansion“: Universum dehnt sich aus.
 Universum entstand in einer Singularität.
Zu Beginn:
– Zustand hoher Energiedichte, hoher Temperatur und
hohen Drucks in sehr kleinem Raumvolumen.
– „Strahlungsdominierte Ära“.
– Keine Bildung von Atomen und Atomkernen möglich.
– Freie e-, p, n und γ kollidieren ständig mit v ≈ c.
 Ständiger Austausch von Energie & Drehmoment.
 Gleichmäßige Energieverteilung.
 Thermisches Gleichgewicht zwischen Materie und γ.
 γ stellen schwarzen Körper/Strahler dar.
30.11.2007
8
2. „Strahlungsdominierte Ära“
Eigenschaften eines schwarzen Körpers
Absorbiert elektromagnetische Strahlung vollständig.
 Keine Transmission und keine Reflexion.
Ist ideale thermische Strahlungsquelle, die elektromagnetische Strahlung mit einem charakteristischen,
nur von der absoluten Temperatur T abhängigen
Spektrum aussendet („thermische Emission“).
Für diese emittierte sog. „Planck-Strahlung“ gilt:
– Das Plancksche Strahlungsgesetz
– Das Wiensche Verschiebungsgesetz
– Das Stefan-Boltzmann-Gesetz
30.11.2007
9
2. „Strahlungsdominierte Ära“
Das Plancksche Strahlungsgesetz
Im Einheitsvolumen (V=1) und dem Frequenzintervall
(ν, ν+dν) gilt für die Anzahl der Photonen nγ(ν)dν mit
der Energie hν:
Intensitätsverteilung:
30.11.2007
10
2. „Strahlungsdominierte Ära“
Das Wiensche Verschiebungsgesetz
Intensitätsmaximum Imax liegt bei νmax bzw. bei λmax:
Es gelten:
Das Stefan-Boltzmann-Gesetz
Für die Anzahldichte Nγ der Photonen gilt:

Für die Gesamtenergiedichte εγ der Strahlung gilt:

30.11.2007
11
2. „Strahlungsdominierte Ära“
Adiabatische Expansion
Universum während der strahlungsdominierten Ära
als ideale Flüssigkeit aus Photonen und freien
Elementarteilchen im thermischen Gleichgewicht
 Universum expandiert adiabatisch
Mitbewegtes Volumen:

Energie:
Erster Hauptsatz der Thermodynamik:

30.11.2007
12
2. „Strahlungsdominierte Ära“
Temperaturentwicklung bzgl. der räumlichen Expansion
Energiedichte eines Photons im Volumen V:
HubbleExpansion

Nach Stefan-Boltzmann-Gesetz:
Im Klartext: Bei einer Expansion einer Längeneinheit
des Universums um den Faktor n während der
strahlungsdominierten Ära fällt die Temperatur der
Strahlung auf 1/n ab.
30.11.2007
13
2. „Strahlungsdominierte Ära“
Zeitliche Temperaturentwicklung
aus
folgt das Differential:
 zeitliche Ableitung liefert:
(I)
erste Friedmann-Lemaître-Gleichung:
für die strahlungsdominierte Ära gilt:
 einsetzen ergibt:
30.11.2007
(II)
14
2. „Strahlungsdominierte Ära“
(I) in (II) ergibt lineare DGL 1. Ordnung bzgl. Tγ:

Lösung mittels Trennung der Veränderlichen:
Im Klartext:
– Eine Sekunde nach dem Urknall ist die Temperatur der
Strahlung von der Planck-Temperatur 1,417 · 1032 K auf
1,520 · 1010 K gefallen (bzw. von 1019 GeV auf 10-3 GeV) .
– Es gilt also:
30.11.2007
15
2. „Strahlungsdominierte Ära“
Weitere wichtige Proportionalitäten
Mit
und
folgt:
Mit
30.11.2007
und
folgt:
16
Gliederung
1.
2.
3.
4.
5.
30.11.2007
Kosmologische Grundlagen
Die strahlungsdominierte Ära
Die materiedominierte Ära
Vergleich der beiden Ären
Die Phasen des Universums
17
3. „Materiedominierte Ära“
Adiabatische Expansion
Für große Maßstäbe: homogenes Universum
 Universum expandiert nahezu adiabatisch
Mitbewegtes Volumen:

Energie:
Erster Hauptsatz der Thermodynamik:

Materie-Teilchen besitzen Ruhemasse, daher
Unterscheidung zwischen relativistischen und nichtrelativistischen Teilchen erforderlich
30.11.2007
18
3. „Materiedominierte Ära“
Relativistische Materie-Teilchen
Verhalten im Grunde analog zu masselosen Teilchen
(= Strahlung), da Ruhemasse vernachlässigbar klein
Energie:
Impuls gemäß Zustandsgleichung:
Eingesetzt in den ersten Hauptsatz der
Thermodynamik für eine adiabatische Expansion:


lineare DGL
Lösung mittels Trennung der Veränderlichen:

analog zur Strahlung!
30.11.2007
19
3. „Materiedominierte Ära“
Nicht-relativistische Materie-Teilchen
a) Temperaturentwicklung bzgl. räumlicher Expansion
Ruhemasse nicht mehr vernachlässigbar
Energie:
Impuls gemäß Zustandsgleichung:
Die Bewegung von N Teilchen im Volumen V bei der
Temperatur Tm verursacht folgenden Druck p (mit
der Teilchendichte n = N/V):
Also gilt für die Energiedichte εm = E/V:
30.11.2007
20
3. „Materiedominierte Ära“
Eingesetzt in den ersten Hauptsatz der
Thermodynamik für eine adiabatische Expansion:

Näherung: Die Zahl der Teilchen N = n·V im Volumen
V sei erhalten unabhängig von ihren verschiedenartigen Interaktionen.

Näherung und
eingesetzt:

30.11.2007

21
3. „Materiedominierte Ära“
Energiedichte der Materie:
HubbleExpansion

Bekannt:
b) Zeitliche Temperaturentwicklung
erste Friedmann-Lemaître-Gleichung:
materiedominierte Ära:
30.11.2007
22
3. „Materiedominierte Ära“
Einsetzen ergibt:
Umformung liefert lineare DLG 1. Ordnung bzgl. S(t):

Lösung mittels Trennung der Veränderlichen:


Mit
und
folgt:
Mit
und
folgt:
30.11.2007
23
Gliederung
1.
2.
3.
4.
5.
30.11.2007
Kosmologische Grundlagen
Die strahlungsdominierte Ära
Die materiedominierte Ära
Vergleich der beiden Ären
Die Phasen des Universums
24
4. Vergleich
Strahlung & relativist. Materie
V und λ vergrößern sich bei
Expansion um S3 und S!
30.11.2007
Nicht-relativistische Materie
Teilchenmasse ändert sich
bei Expansion nicht!
25
4. Vergleich
Strahlung & relativist. Materie
30.11.2007
Nicht-relativistische Materie
εγ fällt um Faktor S-1
schneller ab als εm
Mit zunehmender
Expansion des
Universums gilt nach
ca. 10000 y: εγ = εm
Davor: strahlungsdominierte Ära
Danach: materiedominierte Ära
Heute: εm unbekannt
26
4. Vergleich
Strahlung & relativist. Materie
Nicht-relativistische Materie
Tm und Tγ unterscheiden sich um S-1.
Bei der Expansion des Universums kühlt nichtrelativistische Materie schneller ab als Strahlung!!!
Kalte Materie und heiße Strahlung liegen bezüglich
kosmischer Zeiträume NIEMALS im thermischen
Gleichgewicht.
Daher: Herleitung von Tm und Tγ getrennt erlaubt.
Erinnerung: εγ aus Stefan-Boltzmann-Gesetz
30.11.2007
27
4. Vergleich
Strahlung & relativist. Materie
Nicht-relativistische Materie
Voraussetzung:
homogene Verteilung
und Dominanz der
jeweiligen Materieform und getrennte
Betrachtung
Strahlungsdom. Ära:
Expansion prop. t1/2
Materiedom. Ära:
Expansion prop. t2/3
Klar:
30.11.2007
28
4. Vergleich
Strahlung & relativist. Materie
Nicht-relativistische Materie
In beiden Fällen nehmen
die jeweiligen Energiedichten quadratisch mit
der Zeit ab trotz
verschieden schneller
Expansion.
Klar:
30.11.2007
29
Gliederung
1.
2.
3.
4.
5.
30.11.2007
Kosmologische Grundlagen
Die strahlungsdominierte Ära
Die materiedominierte Ära
Vergleich der beiden Ären
Die Phasen des Universums
30
5. Phasen des Universums
Planck-Ära
t=0
T=∞
E=∞
TOE bzw.
„Urkraft“
???
30.11.2007
Zustand der Singularität
Ausdehnung unendlich klein
Druck, Energiedichte und
Temperatur unendlich groß
„Urkraft“: Vier Naturkräfte
Raum und Zeit kein Kontinuum
Bekannte physikalische Gesetze
versagen  Quantengravitation
Materie und Energie bis zur
Unkenntlichkeit verzerrt
31
5. Phasen des Universums
GUT-Ära
t = 10-43s
(Planck-Zeit)
T = 1032K
(Planck-Temp.)
E = 1019GeV
(Planck-Energie)
GUT &
Gravitation
γ, X, X, Y, Y,
q, q, e, e, ν,
ν, ...
30.11.2007
Zu Beginn: Gravitation spaltet sich
von „Urkraft“ ab  Expansion
GUT: Starke und elektroschwache
Kraft ( SU(3) x SU(2) x U(1))
Superschwere X- und Y-Bosonen
übertragen GUT-Kraft (d.h.:
Leptoquarks existieren)
Asymmetrie wegen Leptoquarks
Größe: 10-35m (Planck-Länge)
Dichte: 1094g/cm³ (Planck-Dichte)
32
5. Phasen des Universums
Inflation & Baryogenese
Zu Beginn: Spontane Symmetriet = 10-36s
brechung  Starke Wechselwirkung spaltet sich von GUT ab
T = 1027K
Überlichtschnelle Expansion um
das 1020- bis 1050-fache
E = 1014GeV Materie und Strahlung wandeln
sich ständig gegenseitig um
Gravitation,
starke und
Thermisches Gleichgewicht
elektroschwache Kraft
zwischen Materie und Photonen
γ, X, X, Y, Y,
Inflation löst einige Probleme
q, q, e, e, ν,
ν, g, ...
30.11.2007
33
5. Phasen des Universums
Inflation & Baryogenese
Superschwere X- und Y-Bosonen
t = 10-36s
und deren Antiteilchen zerfallen
in Leptonen und Quarks
T = 1027K
EXY ≈ 1015GeV/c²
E = 1014GeV
Gravitation,
starke und
elektroschwache Kraft
γ, X, X, Y, Y,
q, q, e, e, ν,
ν, g, ...
30.11.2007
Asymmetrie bei diesen Bosonenzerfällen, da Symmetriebrechung
Asymmetrie zwischen Materie
und Antimaterie (Baryogenese)
34
5. Phasen des Universums
Quarks-Ära
t = 10-33s
T = 1025K
E = 1012GeV
Gravitation,
starke und
elektroschwache Kraft
γ, q, q, e, e,
ν, ν, g, ...
30.11.2007
X- und Y-Bosonen sterben jetzt
endgültig aus (EXY ≈ 1015GeV/c²)
Leptonen, Quarks und deren
Antiteilchen bilden sich
Quark-Antiquark-Gluonen-Plasma
aus freien Teilchen
Keine stabilen Hadronen
Nach t = 10-12s und bei T = 1016K:
elektroschwache Kraft spaltet sich
auf in elektromagnetische und
schwache Kraft  4 Naturkräfte
35
5. Phasen des Universums
Hadronen-Ära
t = 10-6s
T = 1013K
E = 1GeV
4 Naturkräfte
γ, q, q, e, e,
ν, ν, Hadr.,
p, p, n, n
30.11.2007
Quarks vereinigen sich zu
schweren Hadronen
Quark-Antiquark-Gluonen-Plasma
verschwindet
Schwere Hadronen zerfallen bei
fallender Temperatur/Energie in
Neutronen und Protonen (1:5)
und deren Antiteilchen
Viele Neutrinos entstehen
Zerfalls-Asymmetrie  Bruchteil
(10-9) an Materie bleibt übrig
36
5. Phasen des Universums
Leptonen-Ära: Beginn
13g/cm³
Dichte:
10
-4
t = 10 s
Viele Neutrinos, Elektronen und
Positronen aus p-n-Reaktionen:
12
T = 10 K
E = 0,1GeV
4 Naturkräfte
γ, ν, ν, e, e,
p, p, n, n, Z,
W
30.11.2007
Leptogenese
Paarvernichtung der p und n
Dichte zu gering  Neutrinos
beginnen zu entkoppeln, d.h.
wechselwirken kaum noch mit
Materie
37
5. Phasen des Universums
Leptonen-Ära: Ende
t = 1s
T = 1010K
E = 1MeV
4 Naturkräfte
γ, ν, ν, e, e,
p, n, Z, W
30.11.2007
Paarvernichtung der p und n
abgeschlossen, Paarvernichtung
der e- mit den e+ beginnt
p-n-Reaktionen „frieren aus“
 n:p = 1:6
Neutrinos entkoppeln jetzt
vollständig (νμ und ντ bei 3,5MeV
und νe bei 2,3MeV)  Freeze-Out
Strahlungsdominanz um 1010
größer gegenüber Materie
Bausteine der Welt
38
5. Phasen des Universums
Leptonen-Ära: Ende
t = 1s
T = 1010K
Freeze-Out mathematisch:
– Mittlere Reaktionsrate:
N: Anzahldichte
σ(E): Wirkungsquerschnitt
– Expansionsrate (siehe Folie 14):
E = 1MeV
4 Naturkräfte
γ, ν, ν, e, e,
p, n, Z, W
30.11.2007
– Falls
:
Thermisches Gleichgewicht!!!
– Bsp.: Neutrinos (schwache Ww.)
und


39
5. Phasen des Universums
Primordiale Nukleosynthese
Neutronenzerfall (τ ≈ 886s):
t = 10-100s
T = 109K
E = 0,1MeV
4 Naturkräfte
γ, ν, ν, e, p,
n, d
30.11.2007
 n:p = 1:7 (Ausgangsverhältnis)
p und n fusionieren zu ersten
Atomkernen:
KernFusion
Photodesintegration
Coulombwall
γ zertrümmern zunächst die dKerne
40
5. Phasen des Universums
Primordiale Nukleosynthese
Nach 1min: d wird nicht
t = 100s
mehr von γ zertrümmert
4He entsteht
Nach
100s:
T < 109K
E < 0,1MeV
4 Naturkräfte
γ, ν, ν, e, p,
n, d, t, He
30.11.2007
Praktisch alle
n werden in
4He
41
eingebaut!
5. Phasen des Universums
Primordiale Nukleosynthese
Teil des Heliums kann zu Lithium
t = 100s
und Beryllium reagieren:
T < 109K
E < 0,1MeV
4 Naturkräfte
γ, ν, ν, e, p,
n, d, t, He,
Li, Be
30.11.2007
Schwerere Elemente als 7Li und
7Be werden nicht erzeugt, da:
– Coulomb-Barrieren anwachsen
– Elemente mit 5 und 8 Nukleonen im
Kern instabil sind
– Dichte zu gering ist
42
5. Phasen des Universums
Primordiale Nukleosynthese: Ende
Alle n wurden „verbaut“.
t = 30min
Coulombwall zu groß.
Es entstanden die ersten AtomT = 108K
kerne, davon waren:
E = 10keV
4 Naturkräfte
γ, ν, ν, e, p,
d, t, He-, LiBe-Kerne
30.11.2007
–
–
–
–
75 % Protonen (H-Kerne)
25 % Helium (4He-Kerne)
0,001 % Deuterium
Spuren von Lithium und Beryllium
Wichtig: Die komplette Materie
liegt immer noch als Plasma vor!!!
43
5. Phasen des Universums
Ende der strahlungsdominierten Ära
Da
und
endet
t = 10000y
nach ca. 10000 Jahren die
strahlungsdominierte Ära, d.h. die
T = 30000K
Ruheenergie der Materie übersteigt jetzt die Energie der
Strahlung.
E = 3eV
Energiedichte im Universum ver4 Naturdünnt sich aufgrund Expansion.
kräfte
Photonen- und Teilchendichte
γ, ν, ν, e, p,
nehmen ebenfalls ab.
d, t, He-, LiBe-Kerne
Beginn: materiedominierte Ära
30.11.2007
44
5. Phasen des Universums
Entkopplung der Strahlung
t = 300000y Temperatur reicht nicht mehr zur
Ionisation der Atome aus.
Kerne fangen freie Elektronen ein.
T = 3000K
Rekombination: Neutrale Atome
entstehen!!!
jetzt:
E = 0,3eV
4 Naturkräfte
bisher:
γ, ν, ν, e, p,
d, t, He-, LiBe-Kerne
30.11.2007
45
5. Phasen des Universums
Entkopplung der Strahlung
t = 300000y Aufgrund der Rekombination:
Entkopplung der Strahlung
 Licht
T = 3000K
Bisher: Universum undurchsichtig
Jetzt: Universum durchsichtig
E = 0,3eV
bisher:
jetzt:
4 Naturkräfte
γ, ν, ν, H,
He, Li, Be
30.11.2007
46
5. Phasen des Universums
Heute
t = 13,6
Mrd.y
T = 2,7K
E = 230μeV
4 Naturkräfte
Entkopplung der Strahlung als
sog. „Hintergrundstrahlung“ auch
heute noch beobachtbar : - )
Photonen haben durch Expansion
Energie verloren, Zunahme der
Wellenlänge  Rotverschiebung
λmax=1,8mm
 T=2,7K
bekannte
Elemente &
Teilchen
30.11.2007
47
Dankeschön & Literatur
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!!!
de Boer: Einführung in die Kosmologie (Skript + Folien)
Dagobert Duck „Sein Leben seine Milliarden“
Matts Roos: Introduction to Cosmology
Dr. Matthew J. Mallen: „Big Chill or Big Crunch“
de.wikipedia.org
www.cern.ch
www.parallax.at
http://joergresag.privat.t-online.de/mybk4htm/chap25.htm
30.11.2007
48