Beispiel für kollektive Effekte: Raumladung

Kapitel 12
Beispiel für kollektive Effekte:
Raumladung
Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - Februar 2008, version 2.1
Übersicht
Gleichmässige Teilchenverteilung im Zylinder
Kraft auf ein geladenes Teilchen
Energieabhängigkeit der Raumladungseffekte
Fokussierung durch Raumladung
Q-Verschiebung
Details in A.Hofmann, Tune Shifts from
Self Fields and Images,
CAS CERN Accelerator School, 1992,
CERN Yellow Report 94-01, Vol.I, p.329
2
Bei sehr vielen Teilchen – Wechselwirkung der Teilchen

E( x, y, z, t )  0 und

B( x, y, z, t )  0

  
F  q  (E  v  B)
Die Bahn eines einzelnen Teilchen wird durch die Gesamtheit der
Teilchen beinflusst.
3
Raumladung für einen kontinuierlichen Strahl
Um den Effekt der Raumladung zu berechnen, werden einige Annahmen
gemacht:
• Es wird angenommen, dass die Teilchen in einem Kreisbeschleuniger
gespeichert sind
• Der Stahl ist kontinuierlich, das, heisst, er hat keinen Bunchstruktur (…man
könnte die Teilchen nicht beschleunigen)
• Die Teilchen sind gleichmässig in einem Zylinder mit den Radius r verteilt
Die Raumladung lässt sich mit den gleichen Methoden für veränderte Annahmen
berechnen…. hier geht es darum, das Prinzip zu verdeutlichen
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Gleichmässig geladener Zylinder mit Ladungen, die sich
mit der Geschwindigkeit v bewegen
v

B(t )

E(t )
r
L
r
a
a
Zylinderradius a
Zylinderlänge L
Ladungsdichte r
Teilchengeschwindigkeit v
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Kraft auf ein geladenes Teilchen (hier: Elektronen)

  
F  q  (E  v  B)

B(t )
Annahme: die Elektronen laufen
in die Tafel hinein
Der elektrische Strom läuft aus
der Tafel heraus

E(t )
Magnetfeld dreht sich gegen den
Uhrzeigersinn
Kraft auf Elektronen nach innen
Elektrisches Feld von Plus nach
Minus – nach innen
r
Kraft auf die Elektronen nach
aussen
a
d.h. die Lorenzkraft kompensiert
sich teilweise
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Elektromagnetisches Feld eines Teilchenstrahls
1. Maxwellsches Gesetz :
   
 
  H  rot H  j  D
t

j [ A / m 2 ] Stromdichte

D [C / m 2 ] dielektrische Verschiebung

 
3.Maxwellsches Gesetz  D  div D  r el (Grundgesetz der Elektrostatik)
 
 
Stokes'scher Satz :  B  ds   rot B  dS

 
Gauss'scher Satz :  div E  dV   E  dS
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Elektromagnetisches Feld innerhalb und ausserhalb des
Strahls
Elektrisches Feld :
Innerhalb des Strahls gilt (r  a) : Er (r ) 
r
I
r 
r
2  0
2   0    c
Ausserhalb des Strahls gilt (r  a) : Er (r ) 
Beachte :
r a
I
a
 

2   0 r 2   0    c r
2
2
r      c  a2  I
Magnetisches Feld :
Innerhalb des Strahls gilt (r  a) : B  (r ) 
r
I
r 
r
2
2
2  0  c
2   0  c  a
  r a2
I
1
Ausserhalb des Strahls gilt (r  a) : B  (r ) 
 

2   0  c r 2   0  c 2 r
ρ  Raumladung, ε 0  Dielektrizitätskonstante,   v / c , mit v  Geschwindigkeit
c  Lichtgeschwindigkeit, a  Strahlgrösse, I  Strahlstrom
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Lorenzkraft auf ein Probeteilchen
Innerhalb des Strahls (r  a) ergibt sich für das elektrische und magnetische Feld :
Er (r ) 
r
I
r 
r
2  0
2   0    c
r
I
B  (r ) 
r 
r
2  0  c
2   0  c 2  a 2

  
mit der Lorenzkraft F  q  (E  v  B) ergibt sich für die Kraft auf ein Teilchen :
 r

r
rr
1  2 
Fr (r )  q  
r  c 
 r  q 
2  0  c 
2  0
 2  0
mit den Komponenten : Fx ( x )  q 
r
r

x
und
F
(
y
)

q

y
y
2
2
2  0  
2  0  
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Verschiebung des Arbeitspunks
Die Kraft auf das Teilchen hat die gleiche Form wie die Kraft eines Quadrupoles,
der über den ganzen Ring verteilt ist
Daher bewirkt die Raumladung eine zusätzliche Defokussierung in beiden
Ebenen (horizontal und vertikal), die zu einer Verschiebung des Arbeitspunkts
(der Q-Werte) führt.
Q  
r0  c
r0  R  I
I
 2


e 0  0  Q  a 2     3
e0  c    3   3
0 - Umlauffrequenz
Q - Arbeitpunkt für einzelnes Teilchen (ohne Raumladung)
r0 - klassischer Elektronen(Protonen) radius
ε - Strahlemittanz
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Beispiel: Raumladung
Eacc : 0.50GeV
kin. Energie der Protronen
 :
Geschwindigkeit der Teilchen:
Eacc  mp  c
mp  c
Strahlstrom:
Ib : 1A
Länge des Beschleunigers:
Lacc : 24m
Durchmesser des Strahls:
a : 1mm
 :
1
1

0 : 2     
2
Ladungsdichte: r :
Ib
  0.758
2
c
Lacc
r  1.401  10
2
a  c
2
3 C
3
m
7
0  5.948  10 Hz
Beispiel: Raumladung – Kraft auf ein Teilchen
Kraft auf ein Teilchen das am Rande des geladenen Zylinders umläuft (bei r : a) :
Ib
1
Er :

2  0    c r
Er  7.911  10
B :
4 V
Ib
1
2
2    0  c r
B  2  10
m

4
T
Lorenzkraft auf ein Teilchen innerhalb des Strahls:
FL :
e0  r
2  0  
2
r
Für ein Teilchen am Rande des Strahls:
FL  5.394  10
 15
N
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Beispiel: Raumladung – Verschiebung des Arbeitspukts
Zum Vergleich für einen Quadrupolmagneten mit dem Innenradius dr : 0.1m, und
einem Magnetfeld im Eisen von Bx : 0.1T
r
Die Kraft des Quadrupolmagneten auf das Teilchen ist: Fq : e0    c  Bx 
dr
Fq  3.64  10
 14
N
In einem Beschleuniger mit einem Q-Wert von Q : 2.7 ergibt sich:
Verschiebung des Q-Wertes: Q : 
e0  c
4  0  mp  c
2

Ib
2
2
Q  0  a    
3
Q  0.11
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Verschiebung des Arbeitspunks für realistische
Strahlparameter
Im folgenden (siehe A.Hofmann) werden die Ergebnisse für andere Parameter
diskutiert
• Gaussförmige Ladungsverteilung
• Elliptische Strahlform
• Bunche
Beispiel: Strahlen mit Bunch-Struktur I(s)
•
Die Kraft in Bewegungsrichtung kann im relativistischen Fall vernachlässigt
werden
•
Es wird angenommen, dass die Bunchlänge gross gegenüber der Breite und
Höhe ist
r0  R  I (s  s 0 )
Q  
e0  c    3   3
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