Die allgemeine Gasgleichung
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Temperatur, Druck im mikroskopischen Bild Grundgleichung der kinetischen Gastheorie Die allgemeine Gasgleichung Inhalt • Makro- und mikroskopisches Bild für Gase • Grundzüge der kinetischen Gastheorie – Maxwell-Verteilung der Geschwindigkeiten • Das „ideale Gas“ – – – – Teilchenzahl Temperatur Druck Volumen • Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie von Daniel Bernoulli (mikroskopisch) • Die Allgemeine Gasgleichung (makroskopisch) Versuch: Modell zur Bewegung im Gas (2-dimensional) • Mit einem bewegten Rahmen wird eine regellose Bewegung von Kugeln erzeugt – Keine Vorzugsrichtung – Bei Wandkontakt wird die Geschwindigkeit geändert – Orte und Geschwindigkeiten sind „verteilt“ Ideale Gase Reale Gase Anmerkung zur Animation „Reale Gase“ • Die Teilchen sind reale Körper mit eigenem Volumen – es gibt Stöße zwischen den Teilchen, bei denen Energie ausgetauscht wird – Die Stöße können elastisch oder inelastisch sein Inelastische Stöße bei „Realen Gasen“ • Es gibt bei realen Gasen -wie in dieser Animation- auch inelastische Stöße: – Die Summe der kinetischen Energien der Partner ist nach dem Stoß ungleich der vor dem Stoß Die „Innere Energie“ • Der Zuwachs an Energie kommt offenbar „aus dem Inneren“ der Teilchen – aus einer Schwingung eines Moleküls – Jede Eigenschwingung zählt als ein „Freiheitsgrad“ • Beispiel: Das gekoppelte Pendel zeigt zwei Freiheitsgrade • Die gesamte Energie – kinetische plus der Energie innerhalb der Teilchen - bezeichnet man deshalb als „Innere Energie“ • Im idealen Gas gibt es keine „inneren Freiheitsgrade“: – Die Innere Energie ist im idealen Gas gleich der kinetischen Energie Das „ideale Gas“, mikro- und makroskopisch F A N 1 Teilchenzahl T V 1 m3 Volumen p v Mittlere 1 m/s Geschwindigkeit V K Temperatur 1 N/m2 Druck, p=F/A 1 m3 Volumen Die Teilchenzahl Einheit 1 mol Avogadrokonstante, Einheit der Stoffmenge: Anzahl der Teilchen in einem Mol eines Stoffes V0 22,4 1l Volumen, das ein Mol eines Gases bei Normalbedingung beansprucht p 1013 1 mbar N A 6,022 10 23 T 273 Normalbedingungen 1K Zusammenhang zwischen den mikro- und makroskopischen Größen • Die Temperatur ist proportional zur mittleren kinetischen Energie der Teilchen • Der Druck ist ein Quotient: – Zähler: Kraft, die bei Änderung des Impulses der Teilchen beim Auftreffen auf eine Fläche entsteht – Nenner: Fläche Versuch: Modell zum Druck • Kugeln rieseln auf eine Platte – Die Impulsumkehr der Kugeln bewirkt eine Kraft auf der Platte – Eine Waage misst diese „Druck-Kraft“ Temperatur und kinetische Energie Einheit Ekin m 2 3 v k T 2 2 1J Mittlere kinetische Energie eines Teilchens im Gas v 1 m/s mittlere Geschwindigkeit m 1 kg Masse eines Teilchens T 1K Temperatur in Kelvin k 1,3807 10 23 1 J/K Bolzmannkonstante Zur Grundgleichung der kinetischen Gastheorie von Daniel Bernoulli Mikroskopisches Bild: • Teilchen fliegen mit einer mittleren Geschwindigkeit • Abzählung der Teilchen, die in eine der drei Raumrichtungen fliegen • Berechnung der Kraft auf die Wand durch Impulsumkehr pro Zeit – Druck ist der Quotient: Kraft durch Fläche Bewegung eines Teilchens Bewegung mehrerer Teilchen Koordinaten der Geschwindigkeit eines Teilchens Eine Komponente der Geschwindigkeit N n V 0 l Modell mit mehreren Teilchen: Alle fliegen mit der mittleren Geschwindigkeit, sortiert nach den drei Raumrichtungen V 1 m3 Volumen n n Z V 6 1/m3 Teilchendichte 1 Mittlere Teilchenzahl Flugrichtung rechts Volumen mit Teilchen, die in der Zeit Δt auf die Fläche A treffen A v t Vv v t A 1 m3 Volumen, das in der Zeit Δt durchflogen wird A v 1 m2 Fläche der Wand 1 m/s Mittlere Geschwindigkeit Anzahl der Teilchen, die in der Zeit Δt auf die Fläche A treffen A n n Z Vv v t A 6 6 1 Anzahl der Teilchen in dem in der Zeit Δt durchflogenen Volumen Impulsübertrag in der Zeit Δt auf die rechte Wand A p 2 m v Impulsübertrag eines Teilchens auf die Wand (Richtungsumkehr) 1 Ns n Impulsübertrag aller in der Zeit Δt p v t A 2m v die Wand erreichenden Teilchen 6 Druck auf die Wand A p F t F p p A t A 1 p n m v2 3 1N 1 N/m2 Kraft auf die Wand Druck auf die Wand, Grundgleichung der kinetischen Gastheorie von Daniel Bernoulli Das „ideale Gas“, mikroskopisch: Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie von Daniel Bernoulli 1 p n m v2 3 m 1 N/m2 Druck 1 kg Masse eines Teilchens v 1 m/s Mittlere Geschwindigkeit n 1/m3 Teilchendichte Das „ideale Gas“, makroskopisch: Die allgemeine Gasgleichung F A p V N k T 1J p 1 N/m2 V 1 m3 N 1 Anzahl der Teilchen T 1K Temperatur in Kelvin k 1 J/K Boltzmannkonstante Allgemeine Gasgleichung Druck Volumen Äquivalenz zwischen mikro- und makroskopischer Aussage F A p V N k T Ekin m 2 3 v k T 2 2 1J Allgemeine Gasgleichung 1J Substituiere kT durch die kinetische Energie n N /V 1/m3 p N / V m / 3 v2 1 Nm2 Setze für Teilchenzahl durch Volumen die Teilchendichte Grundgleichung der kinetischen Gastheorie Zusammenfassung • Makro- und mikroskopisches Bild für Gase • Ideales Gas: punktförmige Teilchen ohne Wechselwirkung untereinander, Energieaustausch nur bei Wandberührung • Die Temperatur (in Kelvin ) ist proportional zur mittleren kinetischen Energie der Gasteilchen • Mikroskopisches Bild für den Druck: Impulsübertrag auf die Wand – Grundgleichung der kinetischen Gastheorie • Die Allgemeine Gasgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen – – – – Teilchenzahl Temperatur Druck Volumen Finis
