Magnetfelder und Teilchenfokussierung

Kapitel 7
Magnetfelder und
Teilchenfokussierung
Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2009, version 2.2
Übersicht
Magnete
•
•
•
•
•
•
Warum Fokussierung?
Geometrische (schwache) Fokussierung
Dispersionsbahn im homogenen Magnetfeld
Magnettypen
Maxwellgleichungen für Magnetostatik
Fokussierung mit Quadrupolen
Vom Quadrupole zur Stahloptik
• Fokussierung mit einem Linsensystem in einer Ebene
• Transformationsmatrizen
• Fokussierung mit einem Linsensystem in beiden Ebenen
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Warum Strahloptik und Fokussierung?
Teilchen haben unterschiedliche Anfangsparameter (Position, Winkel) und
laufen mit der Zeit auseinander
• Mit der Annahme, dass zwei Teilchen eine Winkeldifferenz von 10-6 rad haben,
würden die Teilchen nach einer Strecke von 106 m um 1 m auseinanderlaufen.
Bei LHC, mit einer Länge von 26860 m, wäre das nach 50 Umläufen (5 ms !)
Teilchen würden durch die Gravitation „herunterfallen“
An verschiedenen Stellen des Beschleunigers soll der Strahl eine
definierte Dimension haben
• am Kollisionspunkt im Speicherring sollen die Strahlen klein sein
Teilchen mit unterschiedlicher Energie sollen nicht auseinanderlaufen
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Geometrische „Fokussierung“ im homogenen Dipolfeld
z
s
B
v
B
Teilchen
B
Teilchen
A
Sollbahn
F
x
Zwei Teilchen, die mit gleicher Energie von der gleichen
Position mit leicht unterschiedlichem Anfangswinkel
starten, treffen sich nach jedem halben Umlauf.
4
Geometrische - Schwache - Fokussierung
Annahme: der Winkel zwischen beiden Teilchen
beträgt  = 1 mrad.
Der maximale Abstand zur Sollbahn ist:
xmax =   R
Bei einem Radius von 1 m wäre dieser Abstand
xmax = 1 mm
xmax
Bei einem Radius von 1000 m wäre dieser Abstand
xmax = 1 m
Die schwache Fokussierung gilt nur in der Ebene senkrecht zum Magnetfeld.
In der anderen Ebene laufen zwei Teilchen mit unterschiedlichen Anfangswinkel
kontinuierlich auseinander.
Es wird eine fokussierende Kraft benötigt.
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Dispersionsbahn im homogenen Dipolfeld
x D (s)
Sollbahn
Teilchen rot
mit Impuls p0
Zwei Teilchen, die mit unterschiedlicher
Energie und gleichen Winkel von der
gleichen Position starten, kommen nach
jedem Umlauf zur gleichen Position
zurück.
R 0 ( x, s, z) 
p0
1

q B z ( x, s, z)
B
p1  p0   p
R1 ( x, s, z ) 
p1
1

q B z ( x, s, z )
x D ( s)  D x   p
Teilchen blau mit Impuls p1
auf Dispersionsbahn
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Magnettypen
z
z
x
Feldlinien für Dipolmagnetfeld
x
Feldlinien für Quadrupolmagnetfeld
Dipolmagnet – konstantes Feld in Apertur
Quadrupolmagnet – Feld im Zentrum Null, linear ansteigend (entspricht einer
Linse in Lichtoptik)
Sextupolmagnet - Feld im Zentrum Null, quadratisch ansteigend
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Eisenjoch
Spule
N
Dipolmagnet
N
Parallele
Eisenpole
Bz
S
S
Vakuumkammer
z
Quadrupolmagnet
S
N
x
N
Vakuumkammer
Spulen
Eisenjoch
z
S
Hyperbolische
Polflächen
S
N
N
S
x
Quadrupolmagnet
Magnetfeld
Hyperbolische Fläche
x · y = constant
Rende Steerenberg (CERN)9
Dipolmagnet
10
Dipolmagnet und Quadrupolmagnet: Realisierung
11
Magnet für SNS
Beam’s eye view of an SNS
half cell. From front to back:
corrector, quad polefaces,
sextupole faces, and last the
dipole
Magnetostatik
Magnetfeld gemessen in A/m

H [ A / m]
Magnetische Induktion oder Magnetische Flussdichte - gemessen in Tesla
– vielfach auch mit Magnetfeld bezeichnet

 V s
B [Tesla ] oder B [ 2 ]
m
Im Vakuum sind magnetische Induktion und Magnetfeld gleichwertig:


B  0  H
mit  0  4  10
7
Vs
Am
In einem isotropen Material mit der Permeabilität  gilt :


B  0    H
Im allgemeinen ist  etwa 1, doch für ferromagnetische Materialien ist  in
der Grössenordung von einigen tausend.
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Magnetfeld in den Koordinaten des Beschleunigers
z
Im x, y, z - Koordinatensystem gilt :
 
B  B( x, y, z)  (B x ( x, y, z),B y ( x, y, z), B z ( x, y, z))
 
dB d B y dB x d B z d B y dB x
 B  ( z 
,

,

)
dy
dz dz
dx dx
dy
s
B
v
F
x
Im x, z, s - Koordinatensystem für den Beschleuniger gilt :
 
B  B( x, s, z)  (B x ( x, s, z),B z ( x, s, z), B s ( x, s, z))
 
dB dB s dB x dB z dB s d B x
 B  ( z 
,

,

)
ds
dz dz
dx dx
ds
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Maxwellgleichungen für Magnetostatik im Vakuum

 
Aus dem vierten Maxwellschen Gesetz :   B  div B  0

 
Aus dem ersten Maxwellschen Gesetz :   H  rot H  0


und B   0  H
 
folgt :   B  0
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Quadrupol: Fokussierung in einer Ebene, Defokussierung
in der anderen Ebene

 
  B  rot B  0
Annahme im 2-dimensionalem Fall (keine Feldkomponente
in Richtung der Teilchenbewegung) :

B  (Bx ,0,B z ) da angenommen wird : Bs  0
z
 
dB z dB x
  B  (0,

,0)  0
dx
dz
und daher:
dB z dB x

dx
dz
x
z-Komponente des Quadrupolmagnetfeld
auf der x-Achse
Typischer Wert:
dB z
 20 T / m
dx
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Teilchenablenkung in einem Quadrupolmagnet
B z ( x )  const  x
Annahme: Teilchen mit positiver Ladung läuft in s-Richtung in
die Tafelebene hinein
B x ( z)  const  z
z
z
Sicht entlang
der Teilchenbahn
x
x
Sicht von oben
defokussierend
s
x
z
Sicht von der
Seite
fokussierend
s
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Strahloptik
Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2009, version 2.2
Fokussierung eines Linsensystems in einer Ebene
d
f1
f2
F
The focal length of a two lense system is:
1
1
1
d
=


F
f1
f2 f1  f2
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Fokussierung eines Linsensystems in beiden Ebenen
Horizontale Ebene
f1  100m
f2  100m
d  50m
d = 50 m
1  1  d 
F  

 f1 f2 f1  f2 
1
F  200 m
Vertikale Ebene
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Transformationsmatrizen
L
f
s0
s1
s2
s
s0 … beim Eintritt in die dünne Linse
s1 … beim Austritt aus der dünnen Linse
s2 … nach einer Strecke L
Annahme: Ein Teilchen hat die Koordinaten: Position x0 und Winkel x0’
Wie in der Lichtoptik lässt sich die Teilchenbahn mit Transformationsmatrizen
berechnen
 x0 
 x1 

   M  
 x '1 
 x '0 
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Transformationsmatrix für eine dünne Linse
f
s0
s1
s
x 1  a  x 0  b  x '0
 x1 
 a b   x0 
   
   
x
'
c
d

  x '0 
 1
 x0 
 x1 
    x 0 
 
 x '1 
 f 
x '1  c  x 0  d  x '0
x1  x 0
1
x '1    x 0  x '0
f
 1
M  
  1/ f
0

1
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Transformationsmatrix für eine feldfreie Strecke:
„Driftstrecke“
L
f
s1
s
s2
 x2 
 a b   x1 
   
   
x
'
c
d

  x '1 
 2
 x2 
 x  L  x '1 
    1

x '1
 x '2 


x 2  x1  L  x '1
1 L
M  

 0 1
x '2  x '1
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Anhang
Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - Februar 2007, version 2.0
Anhang: Maxwellgleichungen
   
 
  H  rot H  j  D
t
1. Maxwellsches Gesetz :

j [ A / m 2 ]  Stromdichte

D [C / m 2 ]  dielektrische Verschiebung
2.Maxwellsches Gesetz

 
 
  E  rot E   B
t
(Induktionsgesetz)

 
3.Maxwellsches Gesetz  D  div D   el (Grundgesetz der Elektrostatik)
 el [C / m3 ]  Ladungsdichte

 
4.Maxwellsches Gesetz  B  div B  0 (Grundgesetz der Magnetostatik)
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Maxwellgleichungen: Zeitlich konstant, im Vakuum
kein elektrischer Strom (keine Leiter für Elektronen) :

j 0
keine Magnetisierung (kein magnetisches Material) :

M0
keine dielektrische Verschiebung :


D  0  E


daher gilt : B  0  H
1. Maxwellsches Gesetz

 
  H  rot H  0
2.Maxwellsches Gesetz

 
  E  rot E  0
3.Maxwellsches Gesetz

 
 D  div D  0
4.Maxwellsches Gesetz

 
 B  div B  0
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