Mechanik - Sporenberg
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Mechanik Bewegungen Mechanik Bewegungen Mechanik Bewegungen Mechanik Bewegungen Mechanik Bewegungen Mechanik Bewegungen Mechanik Bewegungen Mechanik Bewegungen Die gleichförmige Bewegung Mechanik Bewegungen Die gleichförmige Bewegung - Aufgaben Aufgabe 1: Einfache Rechnungen zur gleichförmigen geradlinigen Bewegung Ein PKW durchfährt eine 300 m lange Strecke mit der konstanten Geschwindigkeit vp = 54 km/h. a)Welche Zeit benötigt der PKW für diese Strecke? b)Welche Strecke legt der PKW in 8,0 s zurück? c)Mit welcher Geschwindigkeit vm fährt ein Motorrad, das die 300 m lange Strecke in 12 s zurücklegt? d)Zeichnen Sie die t-s- und t-v-Diagramme der beiden Bewegungen (Maßstab: 4 s entspricht 1 cm; 100 m entspricht 1 cm; 10 m/s entspricht 1 cm) Mechanik Bewegungen Die gleichförmige Bewegung - Aufgaben Aufgabe 2: Auf der ca. 500 km langen Strecke zwischen Würzburg und Hamburg-Altona verkehren Intercity-Züge im Stundentakt: Der erste Zug fährt morgens um 7.00 Uhr in Würzburg ab, der nächste um 8.00 Uhr usw., der letzte um 19.00 Uhr. Die Züge kommen um 11.00 Uhr, 12.00 Uhr usw. 23.00 Uhr in Hamburg an. In der Gegenrichtung von Hamburg-Altona nach Würzburg sind die Abfahrtszeiten 7.00 Uhr, 8.00 Uhr usw. bis 19.00 Uhr mit den Ankunftszeiten 11.00 Uhr, 12.00 Uhr usw. bis 23.00 Uhr (die tatsächlichen Abfahrt- und Ankunftszeiten wurden geringfügig verändert). a) Zeichnen Sie ein t-x-Diagramm des Intercity-Verkehrs zwischen Würzburg und Hamburg (Maßstab: 1h entspricht 1 cm; 50km entspricht 1 cm). b) Wann und wo begegnen sich im Laufe des Tages zwischen Würzburg und Hamburg zum ersten Mal zwei Intercity-Züge? In welchem zeitlichen Abstand beobachtet dann ein Reisender weitere Gegenzüge? c) Wie viele Örter an denen sich Intercity-Züge begegnen, gibt es zwischen Würzburg und Hamburg? In welchem gegenseitigen Abstand befinden sie sich? Mechanik Bewegungen Die gleichförmige Bewegung - Aufgaben Aufgabe 3: Olympiade der Tiere Der Gepard ist der schnellste Vierbeiner. Seine Höchstgeschwindigkeit beträgt 110 km/h. Da er keine Ausdauer besitzt, würde aber bei einer „Olympiade der Tiere“ das Pferd die Langstreckenwettbewerbe gewinnen. Dessen Höchstgeschwindigkeit beträgt nur 80 km/h. a)Zeichnen Sie für beide Tiere, die mit fliegendem Start vom gleichen Ort mit Höchstgeschwindigkeit weglaufen, ein t-s-Diagramm für das Intervall 0 s < t < 5 s. b)Lösen Sie graphisch: Wann hat der Gepard einen Vorsprung von 25 m? Welche Strecke haben beide zu diesem Zeitpunkt zurückgelegt? Mechanik Bewegungen Die gleichförmige Bewegung - Aufgaben Aufgabe 4: Umgang im Graphen 1 In der nebenstehenden Abbildung ist ein t-xDiagramm dargestellt. Beschreiben Sie den Bewegungsablauf in Worten. Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten der Teilbewegungen. Zeichnen Sie das t-v-Diagramm der Bewegung. Umgang mit Graphen 2 Gegeben ist das nebenstehende ZeitGeschwindigkeits-Diagramm. Berechnen Sie die insgesamt nach 70 s gefahrene Strecke. Berechnen Sie die Entfernung Start-Ziel. Zeichnen Sie das zur Bewegung gehörende ZeitOrts-Diagramm, wenn der Körper für t = 0 bereits am Ort x0 = 40 m ist. Mechanik Bewegungen Die gleichförmige Bewegung – Aufgaben - Überholvorgang Aufgabe 5: Ein PKW (vP= 108 km/h) überholt einen mit vL= 72 km/h fahrenden LKW. a)Wie lange dauert der Überholvorgang, wenn er beim Abstand s = 35 m zwischen PKW und LKW beginnt und bei eben diesem Abstand wieder beendet sein soll (vergleiche Skizze)? Die Länge des PKW sei L = 15 m, die des PKW l = 5,0 m. [9,0 s] b)Zeichnen Sie in ein t-x-Diagramm mit geeignetem Maßstab den Zeit-OrtsGraphen von LKW und PKW. Für t = 0 sei das LKW-Heck bei x = 0 und die PKW-Schnauze die Strecke s davon entfernt. Platzbedarf: eine DINA-4-Seite. c)Dem überholenden PKW kommt ein Auto mit vK= 120 km/h entgegen. Bei welchem Abstand w von diesem Auto darf der PKW nicht mehr überholen (Mindestsichtweite w)? [570 m] Mechanik Bewegungen Die gleichförmige Bewegung – Aufgaben - SIcherheitsabstand Aufgabe 6: Der Sicherheitsabstand xSA vom vorausfahrenden Fahrzeug auf Autobahnen beträgt normalerweise (d. h. ohne Glatteis o. ä. ) die Strecke, die man innerhalb der Zeit tSA= 1,5 s durchfährt. Eine konkrete Gefährdung des Vorausfahrenden ist in der Regel schon anzunehmen, wenn der tatsächliche Abstand geringer ist als die in der Zeit tmin= 0,8 s durchfahrene Strecke (Urteil vom Oberlandesgericht Karlsruhe). Im letzt genannten Fall erteilt die Polizei Anzeige. a)Der Tachometer eines PKW zeigt die Geschwindigkeit v1= 126 km/h. Berechnen Sie den Sicherheitsabstand xSA für diese Geschwindigkeit. [52,5 m] b)Häufig wird folgende Regel ausgesprochen: Ein Fahrer mit der Geschwindigkeit v = x km/h hält den Sicherheitsabstand ein, wenn er vom Vorausfahrenden den Abstand xHT= 0,5*x m hat. Dieser Abstand heißt „Halber Tachoabstand“. Zeigen Sie, dass die ausgesprochene Regel richtig ist. c)Der Tachometer eines PKW zeigt die Geschwindigkeit v2= 90 km/h. Auf welchen minimalen Abstand xmin könnte sich ein Fahrer dem Vorausfahrenden nähern, ohne eine Anzeige zu riskieren? [20 m] Mechanik Bewegungen Die gleichförmige Bewegung – Aufgaben Aufgabe 7: Zu einer geradlinigen, gleichförmigen Bewegung gehört das rechts abgebildete Zeit-WegDiagramm. a)Berechnen Sie die Geschwindigkeiten in den 5 Teilintervallen. b)Zeichnen Sie das ZeitGeschwindigkeits-Diagramm. Mechanik Bewegungen Die gleichförmige Bewegung – Überholvorgang Aufgabe 8: In A startet um 9.00 Uhr ein LKW und fährt mit der Geschwindigkeit v1 = 50 km/h zum 80 km entfernten B. 30 Minuten später startet ein zweiter LKW mit der Geschwindigkeit v2 = 78 km/h von B aus nach A. a)Wann und wo treffen sich die Fahrzeuge? b) Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm und lösen Sie die Aufgabe auch grafisch. Mechanik Bewegungen Die gleichförmige Bewegung – Überholvorgang - Lösung Lkw I ist nach einer halben Stunde s1 = v1 ·Δt1 weit von A entfernt, hat also bis B noch Δs´= Δs - v1 ·Δt1 zurückzulegen. Jetzt startet Lkw II. Von 9 Uhr 30 haben I und II bis zum Treffpunkt zusammen die Strecke Δs´ zurückzulegen, also: Sie treffen sich also 25,8 min nach 9 Uhr 30, also um 9 Uhr 55,8 an der Stelle von A nach B. Mechanik Bewegungen Die gleichförmige Bewegung – Überholvorgang - Lösung Graphische Lösung Mechanik Bewegungen Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung Mechanik Bewegungen Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung Mechanik Bewegungen Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung Aufbau des Versuch (Foto) s t 0 0 0,1 1,6087 0,2 2,3001 0,3 2,8012 0,4 3,2283 0,5 3,7063 0,6 3,9823 0,7 4,383 Ein Wagen wird über eine Rolle durch ein Gewicht beschleunigt. Gemessen werden die Zeiten, die der Wagen aus der Ruhe bis zu einer bestimmten Entfernung benötigt. Diese Abstände werden entsprechend der Tabelle verändert. Mechanik Bewegungen Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung Als erstes überprüft man, ob eine Proportionalität vorliegt. Die Quotienten aus s und t sind, wie man leicht sieht nicht annähernd konstant. s t 0 0 s/t 0,1 1,6087 0,0622 0,2 2,3001 0,0870 0,3 2,8012 0,1071 0,4 3,2283 0,1239 0,5 3,7063 0,1349 0,6 3,9823 0,1507 0,7 4,383 0,1597 Mechanik Bewegungen Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung Bevor man andere Quotienten bildet, empfiehlt es sich, die Werte graphisch darzustellen. Natürlich kann es keine Gerade ergeben. Die Vermutung legt eine quadratische Beziehung nahe (Parabel). s in m Gleichm. beschl. Bewe. 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 t in s Mechanik Bewegungen Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung Die allgemeine Gleichung einer Parabel durch den Nullpunkt lautet: y = c*x2. s t 0 0 s/t2 0,1 1,6087 0,03864 0,2 2,3001 0,03780 0,3 2,8012 0,03823 0.6 0,4 3,2283 0,03838 0.5 0,5 3,7063 0,03640 0,6 3,9823 0,03783 0,7 4,383 Rechnerisch bedeutet das: der Quotient c=y/t2 müsste konstant sein. s in m Gleichm. beschl. Bewe. 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 5 t in s 0,03644 Dieses wird sehr gut erfüllt. Der Mittelwert von c ist: c=0,0377 Mechanik Bewegungen Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung s t 0 0 s/t2 Damit hat die Parabel die folgende Gleichung: 0,1 1,6087 0,03864 y = 0,0377*t2 0,2 2,3001 0,03780 0,3 2,8012 0,03823 0,4 3,2283 0,03838 0,5 3,7063 0,03640 0,6 3,9823 0,03783 0,7 4,383 Aus Gründen, die den Zusammenhang zwischen zurückgelegter Strecke und Geschwindigkeit betreffen, geht man vom Ansatz y = ½ a t2 aus. Damit ergibt sich für a aus c = ½ a: a = 0,0754 Man erhält also: y(t) = ½ 0,0754 t2 oder allgemein: y (t ) 1 2 at 2 a heißt Beschleuni gung und hat die Einheit 1 m s2 0,03644 Mechanik Bewegungen Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung Diese Bewegung (a = konstant) heißt gleichmäßig beschleunigte Bewegung 1 2 y (t ) a t 2 Diese Beziehung heißt Weg-Zeit-Gesetz s in m 2 Gleichm. beschl. Bewegung 1.75 Die graphische Darstellung ergibt eine Parabel 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 t in s Mechanik Der schiefe Wurf Mechanik Der schiefe Wurf Mechanik Der schiefe Wurf Mechanik Der schiefe Wurf Mechanik Der schiefe Wurf Mechanik Der schiefe Wurf Mechanik Der schiefe Wurf Mechanik Der schiefe Wurf Mechanik Der schiefe Wurf Mechanik Der schiefe Wurf Mechanik Der schiefe Wurf Mechanik Der schiefe Wurf Mechanik Der schiefe Wurf Das Nördlinger Ries Mechanik Der schiefe Wurf Meteoriteneinschlag Mechanik Der schiefe Wurf g 2 y tan α x 2 x 2 2 v 0 cos α Wurfweite 2 0 v W sin 2α g Wurfhöhe v 02 H sin 2 α 2g Bahnkurve Mechanik Der Arbeitsbegriff Die Kraft ist konstant. Mechanik Der Arbeitsbegriff Die Kraft ist nicht konstant. Die Kraft ist proportional zur Auslenkung (Feder). F = D*x Die Arbeit ist die Fläche unter der Kurve. Diese Fläche ist ein Dreieck. 1 2 W D x 2 Mechanik Der Arbeitsbegriff Kraft 3 Wenn die Kraft nicht konstant ist, so erhält man die Arbeit als Fläche unter der Kurve, die durch den Graphen der Kraftfunktion dargestellt wird. 2 1 1 2 3 Weg Mechanik Der Arbeitsbegriff Kraft 3 Wenn die Kraft nicht konstant ist, so erhält man die Arbeit als Fläche unter der Kurve, die durch den Graphen der Kraftfunktion dargestellt wird. 2 Kraft 3 1 2 1 2 3 Weg 1 1 2 3 Weg Mechanik Der Arbeitsbegriff Die Kraft ist konstant. W = m*g*h2 – m*g*h1 Mechanik Der Arbeitsbegriff Die Kraft ist linear. 1 1 2 W D x2 D x12 2 2 Mechanik Der Energieerhaltungssatz Die Kraft ist linear. 1 1 2 W D x2 D x12 2 2 Mechanik Der Impulserhaltungssatz Die Kraft ist linear. 1 1 2 W D x2 D x12 2 2 Mechanik Die Newtonsche Wiege Mechanik Der elastische Stoß Beim elastischen Stoß gelten der Impuls- und der Energieerhaltungssatz (der Mechanik) 1 2 1 1 2 2 m1 v12 m2 v22 1 m1 u12 m2 u22 2 m1 v1 m2 v2 m1 u1 m2 u2 2 m2 v2 v1 (m1 m2 ) 2 m1 v1 v2 (m2 m1 ) u1 u2 m1 m2 m1 m2 Mechanik Der elastische Stoß Sonderfälle: 1. m1 = m2; die Geschwindigkeiten werden ausgetauscht 2. m1 = m2 ; v2 = 0 3. m1 << m2 ; der gestoßene Körper behält seine Geschwindigkeit bei, der stoßende Körper prallt zurück u1 v2 u2 v1 u1 0 u2 v1 u2 v2 u1 v1 u1 2 m2 v2 v1 (m1 m2 ) m1 m2 u2 2 m1 v1 v2 (m2 m1 ) m1 m2 Mechanik Der elastische Stoß Energieübertrag Unter dem Energieübertrag versteht man den Teil der Energie, den der zweite Körper vom ersten (stoßenden) Körper übernommen hat. Vorausgesetzt wird, dass der zweite Körper vor dem Stoß in Ruhe ist (v2 = 0). Damit vereinfachen sich die Gleichungen für u1 und u2. u1 v1 (m1 m2 ) 2 m1 v1 bzw. u2 m1 m2 m1 m2 Der Energieerhaltungssatz lautet für diesen Fall: 1 2 m1 v12 1 2 1 m1 u12 m2 u22 2 Nach dem Stoß ist die Energie des ersten Körpers 1 um den Betrag kleiner geworden. m2 u22 2 Mechanik Der elastische Stoß Energieübertrag Es muss also das folgende Verhältnis gebildet werden: 2 1 2 m1 v1 ΔW 2 m1 m2 4 m12 v12 4 m1 2 2 1 W m v (m m ) 2 m m 1 1 1 2 1 2 m1 v1 2 Bildet man jetzt noch das Verhältnis der beiden Massen und löst dieses nach m1 auf. Dieses setzt man dann in die obige Gleichung ein. n m1 m2 Mechanik Der elastische Stoß Energieübertrag ΔW 4 m1 m2 4 n m2 m2 W (m1 m2 )2 (n m2 m2 )2 4 n m22 4n (n 1)2 m22 (n 1)2 m wobei n 1 m2 das Verhältnis der Massen angibt. Energieü bertrag Elast . Stoß 1 0.8 0.6 0.4 0.2 2 4 6 8 10 Massenverhä ltnis Mechanik Der unelastische Stoß Der Crashtest Mechanik Der unelastische Stoß Der Crashtest Mechanik Der unelastische Stoß Der Crashtest Mechanik Der unelastische Stoß Der Crashtest Mechanik Der unelastische Stoß Der Crashtest Film ab Mechanik Der unelastische Stoß Beim (zentralen) unelastischen Stoß bewegen sich beide Körper mit derselben Geschwindigkeit weiter. Ein Teil der kinetischen Energie wird in Verformungsenergie umgewandelt. Der Impulserhaltungssatz: m1v1 m2v2 (m1 m2 )u Der Energieerhaltungssatz : 1 1 1 m1v12 m2v22 (m1 m2 )u2 Verformung senergie 2 2 2 Mechanik Der unelastische Stoß Damit ergibt sich für die Geschwindigkeit nach dem Stoß : u m1v1 m2v2 m1 m2 Ist der gestoßene Körper vor dem Stoß in Ruhe (v 2 0), so ergibt sich: u m1v1 m1 m2 Mechanik Der unelastische Stoß Die Energie, die in Verformungsenergie umgewandelt wird, kann berechnet werden (Sonderfall: v2 = 0) (bezogen auf die Gesamtenergie vor dem Stoß – wenn v2 = 0, dann hat nur der stoßende Körper kinetische Energie) Verformung senergie Wkin(vor dem Stoß) Wkin(nach dem Stoß) Gesamtenergie Wkin(vor dem Stoß) 1 1 m1 v12 (m1 m2 )u2 2 2 1 m1 v12 2 m1 m2 m1 m1 m2 m1 m2 1 1 m12 v12 2 m1 v1 (m1 m2 ) 2 2 (m1 m2 )2 1 m1 v12 2 Ersetzt man m1 n m2 , so erhält man für die Verformung senergie: n n 1 Mechanik Der unelastische Stoß Verformung senergie n Gesamtenergie n 1 Verformungsenergie Unelast . Stoß 1 0.8 0.6 0.4 0.2 2 4 6 8 10 Massenverhä ltnis Mechanik Das ballistische Pendel Mechanik Das ballistische Pendel Mechanik Das ballistische Pendel Mechanik Die Kreisbewegung Mechanik Die Kreisbewegung Mechanik Die Kreisbewegung Mechanik Die Kreisbewegung Mechanik Die Kreisbewegung Mechanik Die Kreisbewegung Unter der Bahngeschwindigkeit versteht man die Geschwindigkeit v, die ein Körper auf der Bahn um den Kreismittelpunkt hat. Die Kreisbewegung einer Masse m heißt gleichförmig, wenn der Betrag der Bahngeschwindigkeit v konstant ist. Die Zeit, die die Masse für einen Umlauf auf der Kreisbahn benötigt, nennt man Umlaufdauer T. Hat der Kreis den Radius r, so gilt: 2 r v T Die Drehfrequenz f = n/t ist der Quotient aus der Zahl n der Umläufe und der dazu benötigten Zeit t. Es gilt: 1 f T Für die gleichförmige Kreisbewegung ist: v=2rf Mechanik Die Kreisbewegung Die Winkelgeschwindigkeit Betrachtet man eine gleichförmige Kreisbewegung, so hängt die Bahngeschwindigkeit vom Radius ab 2 r v T Um nun eine konstante Größe zu erhalten, die nicht davon abhängt, wie weit man vom Zentrum entfernt ist, vereinbart man eine sog. Winkelgeschwindigkeit . Diese ist als Quotient von überstrichenem Winkel und der dazugehörigen Zeit t definiert. ω t bzw. 2π ω 2πf T Mechanik Die Kreisbewegung Winkel in Bogenmaß Ein Winkel kann auch als Verhältnis zweier Strecken angegeben werden. Man definiert den Winkel als Quotient des Bogens b und dem Radius r. Ist der Radius r = 1 (Einheitskreis), so ist die Länge des Bogens praktisch ein Maß für den Winkel. b α bzw. am Einheitskr eis (r 1) α b α r Für die Umrechnung von Grad in Bogenmaß gilt (am Einheitskreis): b α 2 π 360 0 Mechanik Die Kreisbewegung Verschiedene Bahn- und Winkelgeschwindigkeiten Am Äquator: v = 2 6370.000/(24*60*60) = 463,239 m/s = 1667,66 km/h = 0.0000727221 1/s v 2 r T ω 2π T Mechanik Die Kreisbewegung Verschiedene Bahn- und Winkelgeschwindigkeiten Erde auf der Bahn um die Sonne: v = 2 150.000.000.000/(365*24*60*60) = 29885.8 m/s = 107589.00 km/h = 1,9910-7 1/s v 2 r T ω 2π T Mechanik Die Kreisbewegung Verschiedene Bahn- und Winkelgeschwindigkeiten Mond auf der Bahn um die Erde: v = 2 360.000.000/(28*24*60*60) = 934,9978 m/s = 3365,99 km/h = 2.597*10-6 1/s v 2 r T ω 2π T Mechanik Die Kreisbewegung Mit Hilfe eines Motors variabler Drehzahl wird die Fahrbahn, auf der sich der Wagen der Masse m befindet, in Rotation versetzt. Mit Hilfe der mitrotierenden Federwaage kann die Kraft gemessen werden, die man braucht, um den Wagen auf einer Kreisbahn vom Radius r bei einer bestimmten Umlaufdauer T halten zu können: Mit einer Stoppuhr wird die Umlaufdauer T des Wagens bestimmt. Aufgabe: Welche Versuchsreihen müssen durchgeführt werden, damit man auf induktivem Wege die Formel für die Zentripetalkraft gewinnt? Mechanik Die Kreisbewegung 1.Versuch: Messung von Fz in Abhängigkeit von r (m und T werden konstant gehalten) 2.Versuch: Messung von Fz in Abhängigkeit von T (m und r werden konstant gehalten) 3.Versuch: Messung von Fz in Abhängigkeit von m (T und r werden konstant gehalten) Mechanik Die Kreisbewegung 1.Versuch: Messung von Fz in Abhängigkeit von r (m und T werden konstant gehalten) r in cm 10 20 30 Fz in N 0,21 0,42 0,63 2.Versuch: Messung von Fz in Abhängigkeit von T (m und r werden konstant gehalten) T in s Fz in N 2 1,5 1,4 1,1 1,0 0,26 0,47 0,57 0,94 1,10 Mechanik Die Kreisbewegung 3.Versuch: Messung von Fz in Abhängigkeit von m (r und T werden konstant gehalten) m in g 100 200 300 Fz in N 0,20 0,42 0,63 Aufgabe: Versuchen Sie aus den einzelnen Tabellen Gesetzmäßigkeiten abzuleiten. Mechanik Die Kreisbewegung Ergebnis 1.Versuch: Fz r 2.Versuch Fz 3.Versuch: Fz m Aufgabe: Fassen Sie die drei Ergebnisse zusammen und führen Sie die Winkelgeschwindigkeit ein. 1 T2 Mechanik Die Kreisbewegung Zusammenfassung der Ergebnisse mr Fz 2 T Führt man die Winkelgeschwindigkeit ein, so erhält man: m r (2 ) 2 2 Fz Fz m r 2 T Mechanik Die Kreisbewegung Mit Einführung einer Proportionalitätskonstanten C folgt: Fz Fz T 2 C oder C 2 m r m r 4 2 Aufgabe: Berechnen Sie mit Hilfe der folgenden Tabelle Betrag und Einheit der Konstanten C. Verwenden Sie das Meter-Kilogramm-Sekunden-System (MKS): T in s Fz in N 2 1,5 1,4 1,1 1,0 0,26 0,47 0,57 0,94 1,10 Bei diesem Versuch wurden m = 0,100 kg und r = 0,27 m konstant gehalten. Mechanik Die Kreisbewegung Fz T 2 C 2 m r 4 T in s Fz in N C 2 1,5 1,4 1,1 1,0 0,26 0,47 0,57 0,94 1,10 1.0 1,0 1,0 1,0 1,0 Für die Einheit von C gilt: Da für 1 Newton gilt: Ergibt sich für C: N s2 [C ] kg m kg m 1N 1 2 s [C] = 1 Mechanik Die Kreisbewegung Für die Zentripetalkraft gilt somit: Fz = m r 2 Mechanik Die Kreisbewegung Fz T 2 C 2 m r 4 T in s Fz in N C 2 1,5 1,4 1,1 1,0 0,26 0,47 0,57 0,94 1,10 1.0 1,0 1,0 1,0 1,0 Für die Einheit von C gilt: Da für 1 Newton gilt: Ergibt sich für C: N s2 [C ] kg m kg m 1N 1 2 s [C] = 1 Mechanik Die Kreisbewegung Die Kreisbewegung einer Masse m heißt gleichförmig, falls in gleichen Zeitabschnitten gleiche Winkel überstrichen werden. Die Winkelgeschwindigkeit ist das Verhältnis des überstrichenen Winkels zur dabei verflossenen Zeit t: Die Winkelgeschwindigkeit nennt man auch Kreisfrequenz. t Mechanik Die Kreisbewegung Aufgaben zur Winkelgeschwindigkeit 1. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit , wenn man für einen Umlauf auf einer Kreisbahn 2 s braucht? 2. Die Winkelgeschwindigkeit beträgt /4 (rad/s). a) Welcher Winkel wird in 6 s überstrichen? b) Wie groß ist dieser Winkel in Grad ausgedrückt? 3. Die Erde dreht sich in 24 Stunden einmal um die eigene Achse. Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation 4. Ein Autofahrer fährt auf einer kreisförmigen Teststrecke mit 100 km/h. Der Kreisradius beträgt 160 m. a) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit . b) Wie lange braucht der Autofahrer, um ein Viertel der Runde zu fahren? c) Sind die 100 km/h eine große Geschwindigkeit für die Kurve auf der Kreisbahn? Was denken Sie? Mechanik Die Kreisbewegung Aufgaben zur Kreisbewegung 1.Ein Stein der Masse m = 0,5 kg wird an einer Schnur auf einer horizontalen Kreisbahn mit dem Radius r = 1 m herumgeschleudert. Dabei beträgt die Kraft in der horizontalen Schnur 200 N. a)Wie groß ist die Umlaufgeschwindigkeit des Steins? b)Wie groß ist die benötigte Kraft in der Schnur, wenn bei festem Radius die Umlaufgeschwindigkeit des Steines verdoppelt wird? 2. Ein Körper von 150 g bewegt sich auf einem Kreis von 50 cm oder auf einem solchen von 100 cm Radius. a) Welche Zentripetalkraft muss wirken, damit die Bewegung in beiden Fällen mit einer Bahngeschwindigkeit von 2 m/s erfolgt? b) Wie groß ist die benötigte Zentripetalkraft, wenn die Umlaufszeit auf beiden Kreisen 1,5 s beträgt? Mechanik Die Kreisbewegung Der Hubschrauber Der Rotor eines Hubschraubers hat den Radius r = 7,00 m. Er rotiert mit einer Frequenz von f = 1,00 1/s. a) Welchen Weg legt die Rotorspitze in einer Minute zurück? b) Welche Umlaufgeschwindigkeit besitzt die Rotorspitze? c) Welche Zentripetalbeschleunigung erfährt die Rotorspitze? Drücken Sie die Zentripetalbeschleunigung als Vielfaches der Erdbeschleunigung aus. Mechanik Die Kreisbewegung Das Kettenkarussell Bei einem Kettenkarussell ist ro = 6,0 m und l = 5,0 m. Es dreht sich gleichförmig. Der Winkel zwischen der Vertikalen und der Sitzaufhängung beträgt 55o a) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Fahrgastes? b) Wie groß sind Umlaufdauer T und Drehfrequenz f? c) Die Masse des Gastes und der Sitzanordnung beträgt 85 kg. Welche Kraft greift im Aufhängepunkt der Kette an? Mechanik Die Kreisbewegung Das Kettenkarussell Mechanik Die Kreisbewegung Der Drehzahlregler An einer mit der Frequenz f rotierenden Drehachse sind zwei Hebel der Länge L beweglich befestigt, an deren Enden sich zwei Kugeln der Masse M befinden. Im Abstand a vom Drehpunkt sind an den Hebeln zwei weitere kurze Stangen der Länge a befestigt, die einen auf der Achse gleitenden Ring der Masse m heben oder senken. Je größer der Winkel a zwischen Achse und Hebel, desto höher steigt der Ring, der bei der Dampfmaschine die Dampfzufuhr regelt. Mechanik Die Kreisbewegung Die Glasrinne Zwei Kugeln befinden sich in einer halbkreisförmig ausgebauten Glasrinne. Lässt man die Glasrinne rotieren, so wandern die Kugeln nach außen. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von der Drehfrequenz und vom Radius die Höhe, in die die Kugeln steigen. Mechanik Die Kreisbewegung Die Glasrinne Auf die Kugel wirken die Gewichtskraft FG und die Bodendruckkraft FB, die senkrecht zur Unterlage gerichtet ist. Wird die Glasrinne in Rotation versetzt, so bewirkt die Trägheit der Kugelmasse, dass die Kugel sich nach außen bewegt, bis Bodendruckkraft und Gewichtskraft zusammen eine resultierende Zentripetalkraft FZ bewirken, die senkrecht zur Achse auf die Achse zu gerichtet (also waagerecht) ist. Diese Zentripetalkraft hat keine nach oben oder unten gerichtete Komponente mehr und hält nur die Kugel auf der Kreisbahn. Mechanik Die Kreisbewegung Die Glasrinne Es gelten die Beziehungen FG m g g tan 2 2 FZ m r r Rh tan r Daraus ergibt sich: hR g 2 Mechanik Die Kreisbewegung Aufgabe zur Glasrinne - Metallschale Eine halbkugelförmige Metallschale mit dem inneren Radius R = 8,5 cm rotiert um ihre vertikal stehende Symmetrieachse; die Öffnung der Schale befindet sich oben. In der Schale befindet sich eine Stahlkugel mit dem Radius r1 = 0,3 cm. Während der Rotation der Schale befindet sich die Stahlkugel relativ zur Schale in Ruhe; ein außen stehender Beobachter stell fest, das der Kugelmit-telpunkt der Stahlkugel sich in der Höhe h = 5,2 cm über dem tiefsten Punkt der Schale befindet. a) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Schale! b) Der Mittelpunkt der Stahlkugel beschreibt einen Kreis mit dem Radius r3. Berechnen Sie diesen Radius. c) Nehmen Sie jetzt an, dass die Schale zunächst nicht rotiert. Die Stahlkugel befindet sich in ihrer tiefsten Lage. Nun beginnt die Rotation mit wachsender Winkelgeschwindigkeit. Welche Winkelgeschwindigkeit muss überschritten werden, damit die Stahlkugel nach einem geringfügigen Anstoß in der Schale aufsteigen kann? d) Kann der Mittelpunkt der Stahlkugel bis zur Höhe hmax=r1 aufsteigen? Mechanik Die Kreisbewegung Aufgabe zur Glasrinne - Metallschale Lösung: g a)Es gilt h R 2 Durch Umformen erhält man: g Rh Setzt man die entsprechenden Werte ein, so erhält man: = 17,2 1/s. b)Nach dem Satz des Pythagoras gilt: r23 + (R – h)2 = (R – r2)2 mit r2 = Kugelradius Damit ergibt sich: 2 2 r3 ( R r2 ) ( R h) r3 = 7,51 cm. g c) Der Zusammenhang zwischen h und ist: h R 2 Wenn die Stahlkugel sich in ihrer tiefsten Lage befindet, ist h = r2. Damit h > r2 g werden kann, muss > min erfüllt sein. R r2 Setzt man die entsprechenden Werte ein, so erhält man min = 10,9 1/s. Mechanik Die Kreisbewegung Die Steilwandfahrer Mechanik Die Kreisbewegung Die Steilwandfahrer Ein Steilwandfahrer fährt mit dem Motorrad an der Innenseite einer vertikalen zylindrischen Wand in einer Kreisbahn herum. Der Kreis liegt in einer horizontalen Ebene. Der Zylinderradius beträgt r = 4 m. Die Steilwand übt auf Motorrad und Fahrer die Kraft Fs aus. Wegen der begrenzten Reibung zwischen Steilwand und Reifen kann die Kraft Fs mit der Horizontalen nur einen kleinen Winkel bilden, er beträgt maximal = 20o. Welche Bahngeschwindigkeit vo muss der Motorradfahrer mindestens haben, um an der Steilwand nicht abzugleiten? Hinweis: Die Kraft Fs und die Gewichtskraft FG von Motorrad und Fahrer sind die einzigen auf Motorrad und Fahrer ausgeübten Kräfte. Sie bilden zusammen die Radialkraft (=Zentripetalkraft) FZ. Mechanik Die Kreisbewegung Die Steilwandfahrer Hinweis: Die Kraft Fs und die Gewichtskraft FG von Motorrad und Fahrer sind die einzigen auf Motorrad und Fahrer ausgeübten Kräfte. Sie bilden zusammen die Radialkraft (=Zentripetalkraft) FZ. Mechanik Die Kreisbewegung Die Steilwandfahrer Aus der Abbildung entnimmt man: F tan G FZ und v02 Fz m r Daraus folgt dann: vo gr m km 10,5 37,7 tan s h Mechanik Die Kreisbewegung Die Steilwandfahrer Die skizzierte Steilwandarena hat die Form mit dem Mittelpunkt O und dem Radius (r = 5,0 cm) mit aufgesetztem Zylinder. Der Steilwandfahrer und das Motorrad haben zusammen die Masse m = 200 kg. Der Steilwandfahrer bewegt sich im unteren Teil der Arena mit seinem Motorrad auf einer horizontalen Kreisbahn. Motorrad und Fahrer befinden sich dabei in jedem Augenblick im Lot zur Wand. Der Schwerpunkt S hat von O die Entfernung r = 5,0 m. Der Winkel beträgt 60o. a) Fertigen Sie eine maßstäbliche Skizze mit den im Schwerpunkt angreifenden Kräften aus der Sicht des Steilwandfahrers an. b) Berechnen Sie den Betrag der Zentripetalkraft sowie den Betrag der Normalkraft, mit der die Arenawand am Ort des Motorradfahrers beansprucht wird. c) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit des Fahrers in km/h. d) Welche Bahngeschwindigkeit hat der Fahrer, wenn er fast senkrecht zur Steilwand steht (=88o) und wie groß ist die Zentralbeschleunigung, die er dabei erfährt? Mechanik Die Kreisbewegung Der Looping Bedingung Mechanik Die Kreisbewegung Der Looping Bedingung Mechanik Die Kreisbewegung Aufgabe 1 - Looping Eine Looping-Bahn auf der Regensburger Mai-Dult enthält eine Schleife, die als Kreis mit Radius r = 6,4 m geformt ist. Ein Wagen (m = 500 kg) startet aus der Ruhe heraus in einer solchen Anfangshöhe, dass er die Bahn während der Fahrt gerade noch nicht verlässt. a)Welche Bahngeschwindigkeit v0 hat der Wagen im höchsten Punkt der Schleife? b)Berechne die erforderliche Starthöhe h. c)Welche Geschwindigkeit vu besitzt der Wagen im tiefsten Punkt der Bahn? d)Wie groß ist im tiefsten Punkt die Kraft F von der Schiene auf den Wagen? Nach dem Looping durchläuft der Wagen eine horizontale Kreisbahn mit dem Radius 5,0 m, die so geneigt ist, dass keine seitlichen Haltekräfte auftreten. e)Berechne den Neigungswinkel a der Kurvenbahn? Mechanik Die Kreisbewegung Aufgabe 1 – Looping - Lösung Eine Looping-Bahn auf der Mechanik Die Kreisbewegung Aufgabe 2 - Looping Auf die ruhende Kugel 2 stößt (vollkommen) elastisch eine Kugel dreifacher Masse mit der Geschwindigkeit v1 = 4,0 m/s. Dadurch wird die zweite Kugel in Bewegung gesetzt. Sie durchläuft zunächst eine horizontale Bahn, ehe sie auf einem halbkreisförmigen Bogen (Radius r = 0,50 m) geführt wird, an dessen Ende die Kugel ohne Führung einen waagrechten Wurf ausführt. Berechne die Geschwindigkeit u2 der Kugel 2 nach dem Zusammenstoss mit der Kugel 1. Welche Weite x erreicht die Kugel, nachdem sie die Bahn verlassen hat? Mechanik Die Kreisbewegung Aufgabe 2 – Looping - Lösung Auf die ruhende Kugel 2 Mechanik Die Kreisbewegung Aufgabe 3 – Looping Wir betrachten eine Landstraße mit einer Kurvenradius von 45m. Ein Pkw der Masse 1,1 t durchfährt diese Kurve mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h. Berechne die erforderliche Zentripetalkraft. Ein Sportauto passiert die Kurve mit der höheren Geschwindigkeit 30 m/s. Wie groß muss die Reibungszahl zwischen Reifen und Fahrbahn mindestens sein, damit es die Kurve ordnungsgemäß durchfahren kann? Aufgrund regennasser Fahrbahn ist die tatsächliche Reibungszahl nur halb so groß wie der in b) errechnete Wert. Wie hoch darf die Geschwindigkeit nun maximal sein? Mechanik Die Kreisbewegung Aufgabe 3 – Looping - Lösung Wir betrachten eine Landstraße mit einer Kurvenradius von 45m. Mechanik Die Kreisbewegung Aufgabe 4 – Looping Auf einer Scheibe liegen in einem ersten Experiment zwei Einmarkstücke in verschiedenen Abständen zum Drehpunkt. Die Scheibe wird vorsichtig in Rotation versetzt. Ihre Drehfrequenz wird dabei langsam solange erhöht, bis alle Geldstücke heruntergefallen sind. a)Begründe kurz, in welcher Reihenfolge die Markstücke herunterfallen werden. In einem weiteren Experiment werden auf die Scheibe ein Einmark- und ein Fünfmarkstück mit gleichem Abstand (der Schwerpunkte) zum Drehpunkt aufgelegt und die Scheibe erneut vorsichtig mit wachsender Frequenz in Rotation versetzt. b)Was wird man diesmal beobachten? Kurze Begründung! Mechanik Die Kreisbewegung Aufgabe 4 – Looping - Lösung Auf einer Scheibe liegen in einem ersten Mechanik Die Kreisbewegung Überhöhte Kurve ohne Reibung Mechanik Die Kreisbewegung Überhöhte Kurve ohne Reibung Eine überhöhte Kurve vermindert das Gefühl im Fahrzeug nach außen gedrückt zu werden. Eine ideal überhöhte Kurve ist eine, bei der keine äußere Kraft notwendig ist, damit das Fahrzeug auf seiner Spur bleibt. Ist die überhöhte Kurve mit Eis bedeckt, d.h. keine Reibung und hätte der Achterbahnzug keine Lenkvorrichtung, würde er trotzdem auf den Schienen bleiben. Es gilt: FZ m v2 tanα und FZ damit ergibt sich: FG r F tanα Z FG ( mv 2 r mg ) v2 rg Das ist der Winkel für die Überhöhung der Kurve, die es einem Fahrzeug erlaubt eine Kurve mit dem Radius r mit einer konstanten Geschwindigkeit v (ohne Reibung) zu durchfahren. Mechanik Die Kreisbewegung Überhöhte Kurve ohne Reibung In der Realität hat man natürlich Reibung. Eine überhöhte Kurve ist für eine bestimmte konstante Geschwindigkeit konstruiert. Ist die überhöhte Kurve eisig, sind die Reibungkräfte minimal und der Wagen fährt mit einer größeren Geschwindigkeit als geplant und wird nach oben ausbrechen; ist er zu langsam, rutscht der Wagen nach innen und fällt so aus der Spur. Mechanik Die Kreisbewegung Überhöhte Kurve ohne Reibung Problem: Auf der Ladefläche eines LKW befindet sich eine Kiste. Zwischen Kiste und Ladefläche gibt es keine Reibung. Der LKW fährt in eine überhöhte Kurve mit dem Neigungswinkel ß. Bei welcher Geschwindigkeit bleibt die Kiste in Ruhe? Mechanik Die Kreisbewegung Überhöhte Kurve ohne Reibung Vorüberlegungen: Durch die überhöhte Kurve bildet die Ladefläche eine schiefe Ebene. Da keine Reibung herrscht, würde die Kiste sofort anfangen zu rutschen (Fres = Fh), wenn der LKW in Ruhe wäre. Da der LKW aber eine Kreisbahn fährt, gibt es eine bestimmte Geschwindigkeit, bei der die Fliehkraft durch die Kurvenfahrt der Hangabtriebskraft entgegen wirkt. Dann bleibt die Kiste liegen. Dieser Sonderfall soll berechnet werden. Mechanik Die Kreisbewegung Überhöhte Kurve ohne Reibung Mechanik Die Kreisbewegung Überhöhte Kurve ohne Reibung Da der LKW eine Kurve fährt ist die Kraft Fs, welche von der Unterlage auf die Kiste ausgeübt wird, höher als die Normalkraft Fn. Dadurch ergibt sich eine Resultierende Fy, welche zusammen mit der Hangabtriebskraft Fh die Zentripetalkraft bildet. Für die Berechnung ist nur der Zusammenhang zwischen Gewichtskraft Fg und resultierender Kraft Fz notwendig, welcher über den Winkel ß hergestellt wird. Dabei gibt es mehrere Ansätze. Neben der obigen Variante kann auch mit tan ß = Fz/Fg gerechnet werden. Mechanik Die Kreisbewegung Die Zentrifuge Die Wäscheschleuder Die nasse Wäsche befindet sich in einer Trommel, deren Wandung Löcher besitzt. Bei schneller Drehung der Trommel wird das Wasser an die Trommelwand getrieben und fliegt durch die Löcher heraus. Typische Drehfrequenz: 800 – 1000 Umdrehungen/Minute. Mechanik Die Kreisbewegung Die Zentrifuge Die Milchzentrifuge Die Vollmilch fließt längs der gestrichelten Pfeile in die Zentrifuge und wird in schnelle Rotation versetzt. Die spezifisch schwerere Magermilch wird durch die trichterförmigen Bleche nach unten in Richtung Gefäßwand getrieben. Der spezifisch leichtere Rahm bleibt in der Nähe der Drehachse. Typische Drehfrequenz: 9000 Umdrehungen/Minute. Mechanik Die Kreisbewegung Die Ultrazentrifuge Zentrifugen mit Drehzahlen bis zu 1000000 Umdrehungen/Minute. In diesen Zentrifugen kann die Zentrifugalkraft das Millionenfache der Schwerkraft erreichen. Damit gelingt es z.B. in einer Flüssigkeit enthaltene kleinste Bakterien, ja sogar schon Makromoleküle am Rande der Trommel anzureichern. Aus der Absetzgeschwindigkeit (Sedimentationsgeschwindigkeit) kann man auf die Größe der Teilchen schließen bzw. ihr Molekülgewicht berechnen. Für die Spaltreaktionen in Kernreaktoren benötigt man das nur zu 0,3% in der Natur vorkommende 235U Uranisotop. Mechanik Die Kreisbewegung Die Ultrazentrifuge Weit häufiger kommt das geringfügig schwerere Uranisotop 238U im natürlichen Isotopengemisch vor. Um die beiden Uranisotope zu trennen, führt man sie in die gasförmige Verbindung UF6 über (Uranhexafluorid) und beschickt eine Ultrazentrifuge mit dem Gas. Durch die höhere Zentrifugalkraft die auf die 238UF6-Moleküle wirkt, werden diese außen angereichert, während die 235UF6-Moleküle in Achsennähe bleiben. Bei diesen Ultrazentrifugen werden Umlaufgeschwindigkeiten in der Größenordnung von 500 m/s erreicht. Mechanik Die Kreisbewegung Motorradfahrer in der Kurvenfahrt Die Motorradfahrerin auf dem Bild will mit möglichst großer Geschwindigkeit die 400m Bahn eines Leichtathletikstadions durchfahren. Welche beiden vom Bahnradius unabhängigen Größen begrenzen ihre maximale Geschwindigkeit? Wie groß muss der Haftreibungszahl sein, damit die Fahrerin ohne Verwendung der Antriebskraft der Räder und ohne Rutschen mit maximal möglicher Geschwindigkeit durch die Kurve kommt? Durch welche Maßnahmen erreichen Sandbahnfahrer eine noch größere Kurvengeschwindigkeit? Mechanik Die Kreisbewegung Motorradfahrer bei der Geradeausfahrt Geradeausfahrt Bei der Geradeausfahrt eines Motorrads herrscht Kräfte- und Drehmomentgleichgewicht. Die resultierende Kraft ist Null. Kräftegleichgewicht: Die im Schwerpunkt des Gefährts ansetzende Gewichtskraft FG ist betrags- und richtungsgleich der an der Kontaktstelle des Reifens ansetzenden Bodendruckkraft FB. Drehmomentengleichgewicht: Die Wirkungslinie von Gewichtskraft FG und Bodendruckkraft FB sind gleich. Mechanik Die Kreisbewegung Motorradfahrer in der Kurvenfahrt Bei der Kurvenfahrt eines Motorrads benötigt das Motorrad eine zur Innenseite der Kurve hin gerichtete Zentripetalkraft. Dies erreicht man durch eine zusätzliche seitliche Komponente der Bodendruckkraft FB seitliche Haftung hat. Die Bodendruckkraft ist nicht mehr senkrecht, muss aber nach wie vor durch den Schwerpunkt des Gefährts verlaufen, damit das Motorrad nicht umfällt. Deshalb ist die Neigung des Motorrads notwendig. Mechanik Die Kreisbewegung Motorradfahrer in der Kurvenfahrt Verschiebt man die Bodendruckkraft FB längs ihrer Wirkungslinie in den Schwerpunkt des Gefährts, so erkennt man: Die Zentripetalkraft FZ ist die vektorielle Summe aus Gewichtskraft FG und schräger Bodendruckkraft FB. Mechanik Die Kreisbewegung Motorradfahrer in der Kurvenfahrt Zur Berechnung von Winkeln und Kraftbeträgen tut man sich oft leichter, wenn man die der Zentripetalkraft FZ entgegengesetzt gerichtete Trägheitskraft FZF betrachtet. Diese Trägheitskraft F = m·a scheint der beschleunigte Motorradfahrer zu spüren. Man nennt diese Scheinkraft Zentrifugalkraft FZF. Der Bodendruckkraft FB, die man in eine zum Boden senkrechte und eine zum Boden parallele Komponente zerlegen kann, wirkt die Kräftesumme aus Zentrifugalkraft FZF und Gewichtskraft FG entgegen. Diese Kräftesumme ist gegengleich der Bodendruckkraft und hat dieselbe Wirkungslinie wie diese. Mechanik Die Kreisbewegung Künstliche Gravitation Lange Aufenthalte in der Schwerelosigkeit bedingen gesundheitliche Probleme. So nimmt z.B. die Knochendichte stark ab, die Muskelmasse schwindet und Herz-Kreislauf-Probleme können auftreten, wenn nicht ständig Trainingsmaßnahmen durchgeführt werden. Ein Vorschlag auf künstliche Weise Gravitation herzustellen ist die Rotation einer Raumstation. Aufgrund der Fliehkraft werden die Astronauten an die Außenwand der Raumstation gedrückt. Mechanik Die Kreisbewegung Künstliche Gravitation Aus der Formel für die Zentrifugalbeschleunigung ersieht man, dass diese mit der Rotationsfrequenz ω und dem Radius r wächst. az = 2 r Um am Rand des Torus der nebenstehend dargestellten Raumstation die Erdbeschleunigung g zu erzeugen, muss man nur eine geeignete Kombination von ω und r wählen. Aus Gründen der Materialersparnis sollte r nicht zu groß gewählt werden. Dies bedingt jedoch dann eine höhere Rotationsfrequenz. Mechanik Die Kreisbewegung Künstliche Gravitation a)Welchen Durchmesser müsste dann eine torusförmige Raumstation besitzen, damit an ihrem Rand die Zentrifugalbeschleunigung gleich der Erdbeschleunigung ist? b)Welcher prozentuale Unterschied in der Zentrifugalbeschleunigung bestünde bei einem 1,80 m großen Astronauten zwischen Kopf und Fuß, wenn dieser Astronaut in der Station "stehen" würde? Mechanik Aufgaben – Bewegungen 1.Aufgabe: Zwei Autos fahren auf der Autobahn. Für sie gilt das nebenstehend skizzierte t-x-Diagramm. a) Markieren Sie die Treffpunkte der Autos, sofern es welche gibt. b) Wer überholt wen? c) Wann sind die Autos gleich schnell? d) Welche Aussagen sind richtig? 1.B wird die ganze Zeit schneller 2.B verzögert die ganze Zeit 3.B wird schneller und verzögert 4.B wird gar nicht schneller e) Welches Auto legt von Überholmanöver zu Überholmanöver eine größere Strecke zurück? Mechanik Aufgaben – Bewegungen Lösung a ) Die beiden Autos treffen sich zu den Zeitpunkten t1 und t2 (gleicher Ort gleiche Zeit). b) Im Punkt 1 überholt B den A, im Punkt 2 überholt A den B. c) Gleiche Geschwindigkeit heißt gleiche Steigung des t-x-Graphen. Dies ist etwa bei tg der Fall. d) 2 ist richtig. B beginnt im Diagramm mit höherer Geschwindigkeit als A. Zunächst bleibt B´s Geschwindigkeit annähernd konstant, dann nimmt sie ab, bis der Wagen am Treffpunkt 2 steht. e) Die beiden Autos legen zwischen 1 und 2 die gleiche Strecke zurück. Mechanik Aufgaben – Bewegungen 2.Aufgabe: Vollbremsung oder Kurvenfahrt? Ein Autofahrer sieht plötzlich eine sehr breite Mauer vor sich auftauchen. Bei welcher der folgenden beiden Möglichkeiten hat er die größere Chance nicht mit der Mauer in Konflikt zu kommen? a) Er tritt mit voller Kraft auf die Bremse, jedoch so, dass die Räder nicht blockieren und bremst so den Wagen mit konstanter Verzögerung bei gleichbleibender Fahrtrichtung. b) Er weicht der Mauer auf einem kreisförmigen Bogen mit konstanter Geschwindigkeit aus, ohne zu schleudern. 1.Es darf angenommen werden, dass die maximal möglichen Beschleunigungen bei der Kurvenfahrt und beim Abbremsen gleich groß sind. 2.Es trete keine Schrecksekunde auf! Mechanik Aufgaben – Bewegungen Lösung a) Berechnung der Bremsstrecke, wenn die Verzögerung a ist (a < 0) und die Anfangsgeschwindigkeit den Wert v0 hat: b) Berechnung des Radius der Kreisbahn, wenn die Kreisbeschleunigung den Betrag a und die Bahngeschwindigkeit den Wert v0 hat: Ein Vergleich der Ergebnisse zeigt, dass der Radius der Kreisbahn den doppelten Betrag der Bremsstrecke hat. Es ist also unter den Vorgaben günstiger zu Bremsen als eine Kurvenfahrt einzuleiten. Mechanik Aufgaben – Bewegungen 3.Aufgabe: Auf einer Straßenkreuzung in der Stadt wurde zur Verkehrsregelung eine Ampelanlage eingebaut und auf einer Seite eine Rotlichtkamera angebracht. Zwei Monate später zeigte die Bilanz viele Rotlichtübertretungen. Dabei fiel auf, dass es nicht die schnellen und auch nicht die langsamen Autos gewesen sind, die mit der Kamera registriert wurden. Vielmehr blieben Autofahrer hängen, die ihre Geschwindigkeit von den erlaubten 50 km/h etwas mäßigten und mit ca. 40 km/h auf die Kreuzung fuhren. Die Stadtverwaltung will nun Aufschluss über die Hintergründe und Vorschläge für Maßnahmen. Ein Auftrag wird an ein Ingenieurbüro erteilt. Sie haben nun folgende Aufgabe: Ein Auto fährt mit 40 km/h auf die Kreuzung zu. Wenn sich das Auto 22 m vor der Ampel (Haltelinie) befindet, schaltet die Ampel auf gelb, 3 Sekunden später erscheint rot. Der Weg über die Kreuzung beträgt 13 m. Der Autofahrer hat beim Erscheinen von Gelb zwei Möglichkeiten 1. Er kann mit konstanter Geschwindigkeit weiter über die Kreuzung fahren 2. Er kann nach einer Reaktionszeit von 1,0 Sekunden mit 5,0 m/s2 abbremsen. Überprüfen Sie mit Rechnung, dass sich das Auto während der Rotphase in beiden Fällen im verbotenen Kreuzungsbereichs befindet Machen Sie einen Vorschlag für die Entschärfung des Problems und belegen Sie ihren Vorschlag mit Berechnungen. Bei allen Berechnungen kann das Auto als Massepunkt betrachtet werden. Mechanik Aufgaben – Bewegungen Lösung a)1. Möglichkeit: Weiterfahrt mit 40 km/h (ca. 11 m/s) Seit dem Umschalten auf Gelb hat das Auto 33 m zurückgelegt. Es hat also die Haltelinie um 33 m - 22 m = 11 m überschritten, befindet sich also noch im Kreuzungsbereich. 2. Möglichkeit: Abbremsung nach Schrecksekunde Zurückgelegter Weg in der Schrecksekunde: Zurückgelegter Weg in den verbleibenden 2,0s: Auch beim Abbremsen befindet sich das Auto um 1,0 m im verbotenen Bereich (11m + 12m -22m). Mechanik Aufgaben – Bewegungen Lösung b) Um beim Weiterfahren mit der Geschwindigkeit 40 km/h noch aus der Kreuzungszone kommen zu können, wäre eine Verlängerung der Gelb-Phase sinnvoll. Schon bei einer Dauer der Gelb-Phase von t' = 3,2 s könnte das Auto den Kreuzungsbereich verlassen: Eine Verlängerung der Gelb-Phase bringt für die 2. Möglichkeit keinen Gewinn. Hier könnte man mit einer Geschwindigkeitsbeschränkung z.B. auf 30 km/h zum Ziel kommen. Eine analoge Rechnung wie bei Teilaufgabe a) führt zu einem Gesamtbremsweg von ca. 15 m. Mechanik Aufgaben – Bewegungen 4.Aufgabe: Als die Ampel auf Gelb schaltet, befindet sich ein Auto mit der Geschwindigkeit vo = 54 km/h in einer Entfernung x1 = 25 m vor der Haltelinie. Der Fahrer beschleunigt und passiert die Linie mit v1 = 72 km/h. Wie lange müsste die Gelbphase dauern, damit das Auto, das weiter beschleunigt, am Ende der Gelbphase die Straße der Breite x = 12 m überquert hat? Mechanik Aufgaben – Bewegungen Lösung gegeben: v0 = 15 m/s; v1 = 20 m/s; x1 = 25 m; x2 = x1 + Δx = 37 m; gesucht: Dauer der Gelbphase Mechanik Aufgaben – Bewegungen Lösung Berechnung der Beschleunigung des Autos: Berechnung der Zeitdauer t2 der konstant beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit: Da das Minuszeichen vor der Wurzel eine negative Zeit t2 ergeben würde: Die Dauer der Gelbphase muss also 2,0 s sein. Mechanik Aufgaben – Bewegungen 5.Aufgaber: In der Fahrschule lernt man folgende Faustregel: Man erhält den Bremsweg eines Autos in m, wenn man die Geschwindigkeit in km/h durch 10 teilt und das Ergebnis mit sich selbst multipliziert. a)Bei welcher Bremsverzögerung gilt diese Regel? [-3,9m/s2] b)Wie lange dauert der Bremsvorgang bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 50 km/h? [3,6 s] c)Tatsächlich ist bei gutem Straßenbelag und guten Bremsen bei einer Vollbremsung der Bremsweg nur etwa halb so lang. Berechnen Sie für diese Annahme die Bremsverzögerung und die Bremszeit. [-7,7 m/s2; 1,8 s] Mechanik Aufgaben – Bewegungen 6.Aufgaber: Vor einem Schnellzug, der mit der Geschwindigkeit v1 = 120 km/h dahinfährt, taucht plötzlich aus dem Nebel in 1 km Entfernung ein Güterzug auf, der in derselben Richtung mit v2 = 40 km/h fährt. Der Schnellzug bremst (mit konstanter Beschleunigung) und würde so ohne Hindernis nach 4 km zum Stehen kommen. a)Wie lange dauert der Bremsvorgang des Zuges? b)Wie lässt sich mit der Antwort von Aufgabe a) entscheiden, ob die beiden Züge zusammenstoßen? c)Berechne Zeit und Ort eines möglichen Zusammenstosses mit Hilfe der Bewegungsgleichungen! Mechanik Aufgaben – Bewegungen Lösung a) Die Bremszeit des Schnellzugs sei tB: b) In der in a) berechneten Bremszeit tB fährt der Güterzug die Strecke: Es kommt also zum Zusammenstoß. Mechanik Aufgaben – Bewegungen Lösung c) Die Zeit des Zusammenstoßes sei ts: Nach ca. 54,3s kommt es zum Zusammenstoß. Mechanik Aufgaben - Stöße 1.Aufgabe: Eine Stahlkugel mit der Masse m1 = 150 g und der Geschwindigkeit v1 stößt zentral und elastisch gegen eine in Ruhe befindliche Glaskugel mit der Masse m2 = 50 g. Nach dem Stoß bewegt sich die Glaskugel mit der Geschwindigkeit u2 = 9 . Wie groß sind die Geschwindigkeiten der Stahlkugel v1 und u1 vor und nach dem Stoß? Lösung u1 = 3 m/s und v1 = 6 m/s Mechanik Aufgaben 5.Aufgabe: Ein leerer Güterwagen A mit mA = 2,5 104 kg rollt auf einer horizontalen Strecke mit vA = 2,0 gegen einen stehenden Wagen B mit mB = 5,0 104 kg. Beide Wagen sind sogleich gekoppelt. a) Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die beiden zusammengekoppelten Wagen? b) Welches ist die gesamte kinetische Energie vor und nach dem Stoß? Liegt ein elastischer Stoß vor? - Die Reibung bleibe unberücksichtigt. Lösung a) u = 0,666667 m/s b) Wkin(Vor dem Stoß) = 50000 J Wkin(nach dem Stoß) =16666,7 J Mechanik Klausur 1. Klausur Grundkurs Jahrgst. 11/2 - Sporenberg Thema: Energie- und Impulserhaltungssatz Marl, 27. Februar 2008 1.Aufgabe: Fünf gleiche und völlig elastische Kugeln der Masse m sind an Fäden so aufgehängt, dass sie eine gerade Reihe bilden und sich in Ruhelage ohne Druck berühren. Man hebt nun rechts zwei Kugeln hoch und lässt sie los, so dass sie mit der Geschwindigkeit v auf die restliche Reihe der Kugeln aufprallen. a)Zeigen Sie, dass der Energie- und Impulserhaltungssatz erfüllt sind, wenn zwei Kugeln links abgestoßen werden und dabei die Geschwindigkeit v erhalten. b)Zeigen Sie, dass das nicht der Fall wäre, wenn links nur eine Kugel mit doppelter Geschwindigkeit abgestoßen würde! Mechanik Klausur 2.Aufgabe: Ein Ball mit der sehr kleinen Masse m stößt mit der Geschwindigkeit u senkrecht gegen eine in derselben Richtung mit der Geschwindigkeit u/2 bewegte Wand sehr großer Masse M in völlig elastischem Stoß. a) Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Balles nach dem Stoß! b) Beweisen Sie daraus: Eine Turbine kann dann die meiste Energie aufnehmen (d.h. ihr Wirkungsgrad ist dann am größten), wenn die Geschwindigkeit der Schaufeln halb so groß ist wie die des einströmenden Wassers. (Betrachten Sie dazu den Energieerhaltungssatz.) 3.Aufgabe: Herr Schlaumeier möchte ballistische Messungen machen. Dazu benutzt er ein quaderförmiges Brett der Masse m1 = 2,0 kg, das an einem Faden aufgehängt ist. Das Pendel habe die Länge l = 1,0 m. In einem ersten Versuch durchdringt das Geschoss (m2 = 10 g) mit der Geschwindigkeit v2 = 400 m/s leider das Brett. Dabei wird das Brett um α = 12° ausgelenkt. (Ausführliche und ordentliche Skizze) a)Bestimmen Sie die Geschwindigkeit u1 des Bretts unmittelbar nach dem Durchschuss. b)Berechnen Sie die Geschwindigkeit u2 des Geschosses nach dem Durchschuss. c)Wie viel mechanische Energie wird bei dem Vorgang in Verformungsenergie umgewandelt? d)Welchen Winkelausschlag α' hätte das Pendel erreicht, wenn das Geschoss im Brett steckengeblieben wäre? Mechanik Klausur 4.Aufgabe: Der vor dem Stoß ruhende Körper 2 mit m2 ist als Pendel aufgehängt, auf das der Körper 1 (m1= 200 g) mit der Geschwindigkeit v1 = 5 m/s stößt. a) Wie groß sind unmittelbar nach einem elastischen Stoß die Geschwindigkeiten von 1 und 2. Welche Höhe erreicht 2, wenn 1 die halbe (gleiche, doppelte) Masse hat wie 2? b) Wie hoch kommen 1 und 2 nach einem unelastischen Stoß unter sonst gleichen Bedingungen? Vergleichen Sie mit den Höhen aus a)! 2 m 2 v 2 ( m1 m 2 ) v1 u1 m1 m 2 2 m1 v1 ( m 2 m1 ) v 2 u2 m1 m 2 Der elastische Stoß: Mit v werden die Geschwindigkeiten vor dem Stoß, mit u die Geschwindigkeiten nach dem Stoß bezeichnet. Falls m2 vor dem Stoß in Ruhe ist, gilt v2 = 0. Mechanik Klausur - Lösung 1.Aufgabe: Energieerhaltungssatz Vor dem Stoß a) 1 1 m v2 m v2 2 2 1 1 2 2 2 b) 2 m v 2 m v m v Nach dem Stoß 1 1 m v2 m v2 2 2 1 1 m ( 2v ) 2 m 4v 2 2 m v 2 2 2 Impulserhaltungssatz Vor dem Stoß Nach dem Stoß a) m v m v 2 m v mv mv 2mv b) m ( 2v ) 2 m v mv mv 2mv Für den Fall b) wäre der Energieerhaltungssatz nicht erfüllt. Mechanik Klausur - Lösung 2.Aufgabe: u1 2 m 2 v 2 ( m1 m 2 ) v1 m1 m 2 u2 2 m1 v1 ( m 2 m1 ) v 2 m1 m 2 In der obigen Gleichung ist m1 = m, m2 = M. u1 = u und u2 = u/2. Mit der Bedingung m<<M, ergibt sich: u1 2 M v 2 ( m M ) v1 u 2 v 2 v1 2 ( ) u 0 mM 2 u2 2 m v1 ( M m ) v 2 u v2 mM 2 Die Geschwindigkeit der Wasserteilchen ist nach dem Stoß 0, die Turbine hat weiterhin die Geschwindigkeit u/2. Die Wasserteilchen haben ihre gesamte kinetische Energie abgegeben, mehr geht nicht. Also ist in diesem Fall der Wirkungsgrad am größten. Mechanik Klausur - Lösung 3.Aufgabe: a) Die Geschwindigkeit u1 des Brettes nach der Wechselwirkung mit dem Geschoss kann aus der Steighöhe des Brettes und unter Anwendung des Energiesatzes ermittelt werden. Berechnung von h: Berechnung von u1 aus dem Energiesatz: Mechanik Klausur - Lösung 3.Aufgabe: b)Die Berechnung von u2 erfolgt mit dem Impulserhaltungssatz: c) Mechanik Klausur - Lösung 3.Aufgabe: d)Mit dem Impulserhaltungssatz lässt sich die Geschwindigkeit u des Brettes samt Geschoss nach der Wechselwirkung bestimmen: Aus der Steighöhe lässt sich nun der Auslenkwinkel α' berechnen: Mit dem Energiesatz lässt sich nun die Steighöhe des ballistischen Pendels bestimmen: Mechanik Klausur - Lösung 4.Aufgabe: a) Mit den angegebenen Formeln für die Geschwindigkeiten beim elastischen Stoß können die jeweiligen Geschwindigkeiten berechnet werden (außerdem ist v2 = 0). Mit Hilfe der Gleichung ½ m v2 = m g h lässt sich daraus die entsprechende Höhe berechnen. m1 m2 u1 u2 h 0.2 kg 0.4 kg - 1,67 m/s 3,33 m/s 0,57 m 0.2 kg 0.2 kg 0 m/s 5 m/s 1,27 m 0.2 kg 0.1 kg 1,67 m/s 6,67 m/s 2,26 m Mechanik Klausur - Lösung 4.Aufgabe: b) Beim unelastischen Stoß gilt nur der Impulserhaltungssatz: m1 v1 = (m1 +m2 ). Mit Hilfe der Gleichung ½ m v2 = m g h lässt sich daraus dann wieder die entsprechende Höhe berechnen. Hier ist aber m die Masse der beiden Kugeln (m = m1 + m2) m1 m2 u h 0.2 kg 0.4 kg 1,67 m/s 0,142 m 0.2 kg 0.2 kg 2,5 m/s 0,319 m 0.2 kg 0.1 kg 3,33 m/s 0,566 m Die erreichte Höhe beträgt ¼ von der beim elastischen Stoß. Mechanik Kreisbewegung Bremsen in der Kurve Ein PKW der Masse 1,5 t fährt auf ebener, feuchter Straße (μhaft = 0,30) in eine Kurve mit dem Radius 50 m. Bei welcher Geschwindigkeit beginnt der Reifen wegzurutschen? Mechanik Kreisbewegung Rotor Der Rotor auf einem Jahrmarkt dreht sich mit seinen Besuchern um eine vertikale Achse. Die Mitfahrer stehen an der Wand. Während der Fahrt wird der Boden unter den Mitfahrern abgesenkt, wobei deren Abrutschen sicher verhindert werden muss. Der Innendurchmesser des Rotors beträgt d = 6,8 m. Der Schwerpunkt der Mitfahrer liegt 0,10 m vor der Wand. Die Reibungszahlen zwischen Körper und Wand liegen erfahrungsgemäß zwischen 0,20 und 0,60. a)Bei welcher Drehfrequenz ist gewährleistet, dass kein Mitfahrer abrutscht? Welche Rolle spielt dabei die Masse m der Mitfahrer? Mit welcher Kraft drückt eine Person der Masse m = 60 kg bei einer Drehfrequenz von 0,30 Hz gegen die Wand? b)Könnte man die Rotorachse unter diesen Bedingungen auch horizontal legen, ohne dass diese Person im höchsten Bahnpunkt herunterfällt? Mechanik Kreisbewegung Rotor - Lösung gegeben: Rotordurchmesser d = 6,8 m; Bahnradius für den Personenschwerpunkt: r = d/2 - 0,1 m = 3,3 m; Reibungszahl: 0,20 ≤ μ ≤ 0,60; Fallbeschleunigung: g = 9,8 m/s2 Vorbemerkungen: Jede Person wird durch die Wand auf die Kreisbahn gezwungen. Die Wand bringt die nötige Zentripetalkraft FZ auf. Die Person drückt mit einer gleichgroßen, entgegengesetzt gerichteten Kraft auf die Wand. Diese Kraft wirkt senkrecht zur Wand und kann daher als Normalkraft FN bezeichnet werden (Gegenkraft zu FZ): FN = FZ Aufgrund der lotrecht gerichteten Gewichtskraft FG würde die Person an der Wand abrutschen. Dies muss verhindert werden durch eine entgegengesetzt gerichtete und gleichgroße Reibungskraft. Im Grenzfall ist diese Kraft die maximal mögliche Haftreibungskraft FH und es gilt: FH = FG Für diese Reibungskraft gilt: Mechanik Kreisbewegung Rotor - Lösung Für diese Reibungskraft gilt: Die Person wird in der Abbildung durch den Schwerpunkt S ersetzt. a) Je kleiner die Reibungszahl ist, desto größer muss die zum Vermeiden des Abrutschens erforderliche Drehfrequenz sein. Daher wird die Mindestfrequenz für die kleinste angenommene Reibungszahl, also für 0,20 bestimmt. Der Rotor muss sich also mindestens mit der Frequenz 0,61 Hz drehen. Die Masse der Mitfahrer spielt keine Rolle. Mechanik Kreisbewegung Rotor - Lösung b) Gegeben: Masse der Person: m = 60 kg; Drehfrequenz: f = 0,30 s-1; Fallbeschleunigung: g = 9,8 m/s2 Die Person drückt mit 0,7 kN gegen die Wand. Bei horizontal liegender Drehachse fällt die Person nicht herunter, wenn die erforderliche Zentripetalkraft FZ dort mindestens so groß ist wie die Gewichtskraft FG dieser Person: FZ FG Die Person der Masse m = 60 kg erfährt eine Gewichtskraft vom Betrag: Deshalb fällt die Person bei horizontaler Drehachse nicht vom höchsten Bahnpunkt herunter. Mechanik Schwingungen 1.Aufgabe: Ein Körper mit der Masse m = 300 g hängt an einer Schraubenfeder. Er führt Schwingungen aus, die Schwingungsdauer beträgt T = /2 s, die Amplitude smax = 12 cm. a) Wie groß ist die Federkonstante? b) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Körpers beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage? c) Wie groß ist die Beschleunigung beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage und zur Zeit der größten Elongation? 2.Aufgabe: An einer Schraubenfeder mit der Federkonstanten D = 6 N/m hängt ein Körper mit der Masse m = 50 g. Durch eine vertikal nach unten wirkende Kraft wird der Körper zunächst um die Strecke smax = 10 cm aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt. Der Körper wird dann freigegeben und führt eine freie Schwingung aus. a) Berechnen Sie die Kraft F, die den Körper um die Strecke smax auslenkt. b) Berechnen Sie die Schwingungsdauer T der freien Schwingung. c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v, mit der der Körper durch die Gleichgewichtslage schwingt. Mechanik Schwingungen Lösung 1.Aufgabe: Ein Körper mit der Masse m = 300 g hängt an einer Schrau-benfeder. Er führt Schwingungen aus, die Schwingungsdauer beträgt T = /2 s, die Amplitude smax = 12 cm. a) Wie groß ist die Federkonstante? b) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Körpers beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage? c) Wie groß ist die Beschleunigung beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage und zur Zeit der größten Elongation?
