A.2 Basiszahlensysteme - Diuf

3. Oktober 2007
Anhang A: Binährzahlen
A.1 Zahlen mit endlicher Genauigkeit
A.2 Basiszahlensysteme
A.3 Umwandlung von einer Basis in eine andere
A.4 Negative Binärzahlen
In dieser Vorlesung nur angedeutet:
A.5 Binärarithmetik
Anhang B: Gleitkommazahlen
B.1 Grundlagen der Gleitkommaarithmetik
B.2 IEEE-Standard 754 für Gleitkommaarithmetik
1
A.1 Zahlen mit endlicher Genauigkeit
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Computer benutzen andere Arithmetik als Menschen
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Die Physiker sagen: Es gibt 10 hoch 78 Elektronen im Universum…
Die Chemiker sagen: …
Die Philosophen sagen: …
Die Mathematiker sagen: …
Die Sportreporter sagen: …
Die Computer sagen (mindestens die heutige hardware…): ich benötige Zahlen
mit endlicher Genauigkeit (32 bit, 64 bit oder was auch immer)
Beispiel: Menge der positiven drei Dezimalziffern
Die Menge hat genau 100 Mitgliedern: 000, 001, …, 999
• Bestimmte Zahlenarten können nicht ausgedrückt werden:
•
 Zahlen, die grösser sind als 999
 Negative Zahlen
 …
•
Die Arithmetik ist nicht geschlossen:
 600 + 600 = 1200 (zu gross)
 003 - 005 = -2 (negativ)
 …
•
Auch die Algebra ist anders:
 a + (b - c) = (a + b) - c (mit a=700, b=400, c=300 ist a+b zu gross, nicht aber a+(b-c))
2
A.2 Basiszahlensysteme (1/3)
• Natürliche Basiszahl führ viele Menschen: 10
• Natürliche Basiszahl führ heutige Computer: 2, 8, 16, …:
01
01234567
0123456789ABCDEF
…
3
A.2 Basiszahlensysteme (2/3)
4
A.2 Basiszahlensysteme (3/3)
5
A.3 Umwandlung von einer Basis
in eine andere (1/2)
6
A.3 Umwandlung von einer Basis
in eine andere (2/2)
7
A.4 Negative Binährzahlen (1/5)
1.
Grössendarstellung mit Vorzeichen (Signed Magnitude)
•
2.
Einerkomplement (one’s complement)
•
•
3.
Das 1. Bit ist das Vorzeichen (0=positiv, 1=negativ)
Alle 1 werden durch 0 ersetzt und alle 0 durch 1 »
Zweierkomplement (two’s complement)
•
•
•
4.
Das 1. Bit ist das Vorzeichen (0=positiv, 1=negativ)
Das 1. Bit ist das Vorzeichen (0=positiv, 1=negativ)
Alle 1 werden durch 0 ersetzt und alle 0 durch 1
Anschliessend wird 1 zum Ergebniss addiert
2m-1 Ueberschuss (excess 2m-1)
•
Die Zahl wird als « sich selbst + 2m-1 » gespeichert
Bemerkungen
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•
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•
(1) und (2) haben zwei Darstellungen für das 0 !
(3) und (4) haben nicht gleichviele positive wie negative Zahlen !
(3) und (4) sind identisch, bis zum Vorzeichenbit das umgedreht ist !
Bei allen Darstellungen ist das 1. Bit das Vorzeichen
8
A.4 Negative Binährzahlen (2/5)
0
1
2
3
-0
-1
-2
-3
000
001
010
011
100
101
110
111
Grössendarstellung mit Vorzeichen
0
1
2
3
-3
-2
-1
-0
000
001
010
011
100
101
110
111
Einerkomplement
9
A.4 Negative Binährzahlen (3/5)
000
111
-1
110
001
0
1
-2
2
-3
101
010
3
-4
011
100
Zweierkomplement
10
A.4 Negative Binährzahlen (4/5)
000
111
-3
3
110
001
-4
2
-2
1
101
010
-1
0
011
100
2m-1 Ueberschuss
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A.4 Negative Binährzahlen (5/5)
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B.1 Grundlagen der Gleitkommaarithmetik (1/3)
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B.2 IEEE-Standard 754 für Gleitkommaarithmetik (1/3)
n = f * 10e
mit 0.1 ≤ |f| < 1
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