0 - EvIM - ETH Zürich

Agenda für heute, 20. November 2009
• Daten verwalten (2)
• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die
Informationsgewinnung
• Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
• Boolesche Algebra
Daten verwalten (2): Drei Stufen der Datenverwaltung
Anwendung
Informatik
• Daten organisieren
• Entity-Relationship-Modell
• Daten speichern
• Datenbanken
• Daten wieder gewinnen
• Abfragen (z.B. mit SQL)
• Daten reorganisieren
• Logische Verknüpfungen
• Daten austauschen
• Datenformate
• Daten umformen
• Standards
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© Departement Informatik, ETH Zürich
Daten organisieren, Daten speichern: Relationale Datenbank
Ursprüngliche
Information
Normalisieren
Relationen
Relationale Operatoren (Select, Project, Join)
Umstrukturierte Information
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• Daten verwalten (2)
• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die
Informationsgewinnung
• Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
• Boolesche Algebra
Wiedergewinnen von Information: Aussagenlogik
Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen?
Datenbankabfrage
Name in Nahrungsmittel mit Nährstoff = Eisen und Menge < 2
Aussage
ausgewertet mit Tupel einer Datenbank
wahr
falsch
(z.B. 1.7mg Eisen)
(z.B. 3.4mg Eisen)
(z.B. 1.7mg Kalzium)
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Elemente der Aussagenlogik
• Eine Aussage hat einen Wahrheitswert ("wahr", "falsch")
• Aussagen können aus Teilaussagen zusammengesetzt sein
Nährstoff = Eisen
und
Menge < 2
• Diese Teilaussagen sind durch logische Operatoren verknüpft
Nährstoff = Eisen
and
Menge < 2
Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist
vollständig durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen und die
Art der Verknüpfung gegeben.
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Logische Operatoren
p und q sind Teilaussagen (logische Operanden)
z.B.
p steht für: Nährstoff = Eisen
q steht für: Menge < 2
• UND
Konjunktion: "sowohl p als auch q"
p and q
• ODER
Disjunktion: "entweder p oder q"
p or q
• NICHT
Negation: "nicht p"
not p
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• Daten verwalten (2)
• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung
• Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
• Boolesche Algebra
Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Logische Verknüpfungen anschaulich spezifizieren
• Für jede mögliche Kombination von Wahrheitswerten wird
das Resultat der Verküpfung aufgelistet
p
q
Verknüpfung von p mit q
w
w
x
w
f
x
f
w
x
f
f
x
w = wahr, f = falsch
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Wahrheitstabelle für die Konjunktion
Symbole: und, and, •, 
p
q
p and q
w
w
w
w
f
f
f
w
f
f
f
f
Die erste Zeile ist eine Kurzform für:
"Falls p wahr ist und q wahr ist, dann
ist p and q wahr
Für alle Zeilen:
wenn p dann q sonst falsch
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Wahrheitstabelle für die Disjunktion
Symbole: oder, or, +, 
p
q
p or q
w
w
w
w
f
w
f
w
w
f
f
f
Beachte: p or q ist nur dann falsch
wenn beide Teilaussagen falsch sind
Für alle: wenn p dann wahr sonst q
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Beispiele
Eisen ist magnetisch and Gold ist gelb
ist wahr
wahr and wahr
Eisen ist magnetisch and Gold ist magnetisch
ist falsch
wahr and falsch
Eisen ist magnetisch or Gold ist gelb
ist wahr
wahr or wahr
Eisen ist magnetisch or Gold ist magnetisch
wahr or falsch
ist wahr
Eisen ist gelb or Gold ist magnetisch
ist falsch
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falsch or falsch
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Wahrheitstabelle für die Negation
Symbole: nicht, not, ¬
p
not p
w
f
f
w
Vorrangregelung der logischen Operatoren :
1. not
2. and
p or q and r
3. or
4. Vergleiche
Kann durch Setzen
von Klammern
aufgehoben werden
≠ (p or q) and r
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Bemerkungen zur Disjunktion
Umgangssprachlich bedeutet "oder" meistens:
p oder q oder beide
(sie ist intelligent oder sie studiert jede Nacht)
p or q
bedeutet immer "p oder q oder beide" (siehe Wahrheitstabelle)
manchmal bedeutet "oder" jedoch:
p oder q aber nicht beide
(sie telefoniert aus Basel oder aus Genf)
für diese Bedeutung wird die exklusive Disjunktion (xor) angewandt
p
q
p xor q
w
w
f
w
f
w
f
w
w
f
f
f
Beachte: p xor q ist dann falsch wenn
beide Teilaussagen entweder falsch
oder richtig sind.
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Disjunktion oder exklusive Disjunktion?
Genauer: drink xor drive
Aber stimmt das?
Genauer: drink and < 1 Glas xor drive
Stimmts jetzt?
Genauer: (drink and ≤ 1 Glas and drive) or (drink and > 1 Glas and not drive)
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Das neue Plakat
© Raphael Theiler
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Ein paar Spezialfälle
Logische Äquivalenzen
not p or not q  not ( p and q )
not p and not q  not ( p or q )
(de Morgan)
Tautologie
Widerspruch
p or not p
p and not p
p
not p
p or not p
p
not p
p and not p
w
f
w
w
f
f
f
w
w
f
w
f
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• Daten verwalten (2)
• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung
• Werete von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
• Boolesche Algebra
Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen
Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg
Eisen oder Zink?
Mengendiagramme
Alle Nahrungsmittel
mit Zink
Alle Nahrungsmittel
mit Eisen
Alle Nahrungsmittel
mit Menge < 2 mg
Logischer Ausdruck
(Menge < 2 mg) and (Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink)
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Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen
(Menge < 2 mg) and (Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink)
Menge and Eisen
Eisen
Zink
Menge
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Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen
Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg
Eisen oder weniger als 2 mg Zink?
Logischer Ausdruck
(Nährstoff = Eisen) and (Menge < 2 mg) or
(Nährstoff = Zink) and (Menge < 2 mg)
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Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke
(Menge < 2 mg) and (( Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink))
< 2 mg
Eisen
Zink
Eisen or Zink
(Eisen or Zink)
and < 2 mg
W
W
W
W
W
W
W
F
W
W
W
F
W
W
W
W
F
F
F
F
F
W
W
W
F
F
W
F
W
F
F
F
W
W
F
F
F
F
F
F
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Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke
(Menge < 2 mg) and ( Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink)
< 2 mg
Eisen
Zink
< 2 mg and Eisen
< 2 mg and Eisen
or Zink
W
W
W
W
W
W
W
F
W
W
W
F
W
F
W
W
F
F
F
F
F
W
W
F
W
F
W
F
F
F
F
F
W
F
W
F
F
F
F
F
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•
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•
•
Daten verwalten (2)
Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung
Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
• Boolesche Algebra
Boolesche Algebra
Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen "•" und "+" heisst Boolesche*
Algebra, wenn für alle x, y, z  M gilt:
(1) x • (y • z) = (x • y) • z;
Assoziativ
(2) x + (y + z) = (x + y) + z;
Assoziativ
(3) x • y = y • x;
Kommutativ
(4) x + y = y + x;
Kommutativ
(5) x • (x + y) = x;
Absorption
(6) x + (x • y) = x;
Absorption
(8) x • (y + z) = (x • y) + (x • z);
Distributiv
(8) x + (y • z) = (x + y) • (x + z);
Distributiv
* nach George Boole, englischer Mathematiker, 1815 – 1864
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Boolesche Algebra
(9) es gibt ein Element 0  M mit 0 • x = 0 und 0 + x = x für alle x  M ;
Neutrales Element
(10) es gibt ein Element 1  M mit 1 • x = x und 1 + x = x für alle x  M ;
Neutrales Element
(11) zu jedem x  M existiert genau ein y  M mit x • y = 0 und x + y = 1;
Komplementäres Element
Wir ersetzen "wahr" mit "1" und "falsch" mit "0" und wenden die
Boolesche Algebra auf logische Ausdrücke an.
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Vereinfachung logischer Ausdrücke
Wir möchten einen Fruchtsalat mit Ananas und Bananen oder mit
Ananas und keinen Bananen oder mit keinen Ananas und keinen
Bananen.
Können wir das einfacher sagen?
Was sagen wir überhaupt?
Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane
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Vereinfachung logischer Ausdrücke
Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(A • B) + (A • ¬B) + (¬A • ¬B)
[A • (B + ¬B)] + (¬A • ¬B)
(A • 1) + (¬A • ¬B)
A + (¬A • ¬B)
(A + ¬A) • (A + ¬B)
1 • (A + ¬B)
A + ¬B
Distributivgesetz
komplementäres Element bez. +
neutrales Element bez. •
Distributivgesetz
komplementäres Element bez. +
neutrales Element bez. •
Ananas oder keine Banane
Aber . . . sind der 1. und der 7. Ausdruck auch äquivalent?
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Verifizierung logischer Ausdrücke
1. Ausdruck:
A
B
((A
•
B)
+
(A
•
¬B))
+
(¬A
•
¬B)
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
Schritt:
1
2
1
5
1
3
1
6
1
4
1
7. Ausdruck:
Reihenfolge:
1. Aussage
2. Logischer Ausdruck (Symbole)
3. Boolesche Algebra
4. Ausdruck evaluieren
25/25
A
B
A
+
¬B
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
Schritt:
1
2
1
© Departement Informatik, ETH Zürich
Wir wünschen Ihnen ein schönes Wochenende