3. Sitzung: Güterangebot und Güternachfrage

3. Sitzung: Güterangebot und Güternachfrage
Teil A: Unternehmensentscheidung
Optimierende Unternehmen handeln nach dem ökonomischen Prinzip. Outputmaximierung und
Kostenminimierung sind zwei Seiten einer Medaille (Dualität). Die optimale Faktorkombination soll im folgenden
durch Kostenminimierung statt Outputmaximierung hergeleitet werden.
1. Minimieren Sie die Kostenfunktion C  apa  bpb bei exogen gegebenen Inputpreisen unter der
Nebenbedingung, daß der Output Q0  Q(a , b) durch die Konsumenten vorgegeben ist. Verwenden Sie den
Lagrange-Ansatz!
2. Zeichnen Sie die Isokostenlinie, und bestimmen Sie die Steigung!
3. Zeichnen Sie die Isoquante, und bestimmen Sie die Grenzrate der technischen Substitution!
4. Was bedeutet in diesem Zusammenhang die Substitutionselastizität, und wie wirken sich Veränderungen der
Substitutionselastizität auf den Kurvenverlauf der Isoquante aus?
Quelle: Chiang 1984, S. 418ff
Teil B: Haushaltsentscheidung
1. Maximieren Sie die Nutzenfunktion U  x 1 x 2  2 x 1 unter der Nebenbedingung 4 x 1  2 x 2  60 mit Hilfe
verschiedener Verfahren:
a) Einsetz- bzw. Eliminationsverfahren
b) Lagrange-Verfahren
2. Betrachten Sie die Nutzenfunktion und die Nebenbedingung der Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß beim
 als auch mit

Lagrangeansatz die Nebenbedingung grundsätzlich sowohl mit
„angehängt“werden darf.
B e a r b e i t u n g s z e i t :
1 5
M i n u t e n
3. Berechnen Sie die Punktelastizität der inversen Nachfragefunktion p=100-x für folgende Preise:
a) Preis 1= 50,
b) Preis 2= 75,
c) Preis 3= 25,
und zeichnen Sie die Nachfragefunktion in ein Preis-Mengen-Schema! In welchem Teil der
Nachfragekurve ist diese lineare Nachfragefunktion elastisch?
4. Zeigen Sie, daß die Güternachfrageelastizität bei einer Nachfragefunktion in Hyperbelform (p=a/x mit
a>0) konstant ist!
Tip: Machen Sie sich zunächst im Gütermarktmodell klar, daß das Produkt aus p und x dem Umsatz
entspricht (p ist der Gütermarktpreis gemessen in DM/ME und x ist die Gütermenge gemessen in ME,
a ist der Umsatz gemessen in DM)!
5. Spezielle Verbrauchssteuer und kompetitiver Gütermarkt
Gegeben sind die Nachfragefunktion D=a +b p und die Angebotsfunktion S=a +b p(t) mit p(t) = p - t.
Für die Parameter gilt: a >0, b <0, a <0, b >0, t>0
a) Handelt es sich bei t um eine Mengen- oder eine Wertsteuer?
b) Zeichnen Sie das Gütermarktgleichgewicht vor und nach Einführung der Steuer in einem MengenPreis-Schema (Ordinate: Menge; Abszisse: Preis)!
B e a r b e i t u n g s z e i t :
3 0
M i n u t e n
Musterlösung
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Teil A: Unternehmensentscheidung
1. Minimierung der Kostenfunktion mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes
2. / 3. Graphische Darstellung der Isokostenlinie und Isoquante
Z  aPa  bPb   [Q 0 - Q(a, b)]
Isokostenl inie : C0  aPa  bPb
(1) Z   Q 0 - Q(a, b)  0
(2) Z a  Pa  Q a  0
b
Isoquante (Q = Q0)
Q
GRTS   a (Verhältnis der Grenzprodukte
Qb beider Inputfaktoren)
(3) Z b  Pb  Q b  0
(2) und (3) nach  auflösen und gleichsetz en ergibt :

Pa
P
 b bzw.
Qa Qb

Pa Qa

Pb Qb
C0 Pa
- a
Pb Pb
P
db

 a
da
Pb
bzw. b 

b
Isokostenlinie
Preisverhältnis entspricht
im Optimum dem Verhältnis
der Grenzprodukte der beiden
Inputfaktoren
a
Steigung 
db
P
 a
da
Pb
a
Steigung der Isoquante:
Herleitung der GRTS über das totale Differential:
dQ  Qa da  Qb db  0

db
Q
 a
da
Qb
4. Substitutionselastizität

relative Veränderun g in ( b a )
relative Veränderun g in ( Pa Pb)
d ( ba )

b
d(
a
Pa
Pa
Pb
)
Pb

d ( ba )
d ( Pa Pb)
b
a
Pa
Pb
Interpretation: Sollte sich das Preisverhältnis Pa/Pb erhöhen, wird sich auch das
Faktoreinsatzverhältnis b/a erhöhen, da der Inputfaktor b nun relativ billiger wird und somit
den Inputfaktor a substituiert. Die Substitutionselastizität gibt dabei das Ausmaß der
Substitution an. Die Substitutionselastizität kann Werte zwischen 0 und  annehmen; je
größer der Wert der Substitutionselastizität desto größer die Substituierbarkeit der beiden
Inputfaktoren; m.a.W. je niedriger die Substitutionselastizität desto "durchgebogener" ist die
Isoquante.
Musterlösung
3. Sitzung: Güterangebot und Güternachfrage
Teil B: Haushaltsentscheidung
1. a) Einsetz - bzw. Eliminatio nsverfahre n
1.b) Lagrange - Verfahren
U  x1 x2  2 x1
Z  x1 x2  2 x2   (60  4 x1  2 x2 )
s.t. 4 x1  2 x2  60
Nebenbedin gung auflösen nach x 2 ergibt :
(1) Z1 
Z
 x 2  2  4  0
x1
 U  x1 (30  2 x1 )  2 x1  32 x1  2 x12
( 2) Z 2 
U
 32  4 x1  0
x1
Z
 x1  2  0
x2
(3) Z 3 
Z
 60  4 x1  2 x2  0

 x2  30  2 x1
einsetzen in Zielfun ktion ergibt :
 x1  8
einsetzen in Nebenbedin gung ergibt :
x 2  30  2  8  14
 U  8 14  2  8  128
( zweite Ableitung von U nach x 1 ist negativ,
d.h. Nutzenmaxi mierung)
(1) x2  4    2
(2) x1  2  
(1) und (2) in (3) einsetzen ergibt :
 60  4  2  2(4  2)  0

60  8  8  4  0

 16  64

4
in (1) : x2  16  2  14
in (2) : x1  8
in Z : Z  128
2. Lagrange - Multiplika tor
Z  Zielfunktion  f ( x1 , x2 )
c  Nebenbedingung  g ( x1 , x2 ), wobei c  const .

dZ
 ,
dc
d.h.  identifizi ert die Sensitivit ät der Zielfu nktion
bei Veränderun gen der Nebenbedin gung
Beispiel :
1) Haushaltst heorie
L  U ( x1 , x2 )  [c  g ( x1 , x2 )]  max!

dU
(ökonomisc he Interpreta tion von  : Grenznutze n des Einkommens )
dc
2) Produktion stheorie
L   ( x1 , x2 )  [c  g ( x1 , x2 )]  max!
d
(ökonomisc he Interpreta tion von  : Grenzgewin n)
dc
Vorsicht : L  f ( x1 , x2 )  [c  g ( x1 , x2 )]

Nicht umordnen wegen Vorzeichen bei Ableitung nach c
alternativ : [ g ( x1 , x2 )  c]
3. Punktelast izität bei inverser Nachfragek urve
p
p  a  bq
p  100  q  q  100 - p
100
Vorsicht : die Formel für die Elastizitä t bleibt unveränder t
50
dq
d 
dp
q
p

1
p

100  p 100  p
p
d  1
d  1
d  1
100
 50
 1   d  1
50
 75
Fall 2 : p  75   d 
 3   d  1
25
 25
1
Fall 3 : p  25   d 
   d  1
75
3
Fall 1 : p  50   d 
q
4. Nachfragee lastizität bei einer Nachfragef unktion in Hyperbelfo rm
a
p   a  x 1
x
dp
 d  dx
p
x
dp
 a  x 2
dx
p a  x 1 a

 2
x
x
x
 d 
2
ax
 1
a  x2
p
D
x
Fläche unter der Nachfragefunktion = Umsatz
Bei isoelastischen NE-Funktionen sind alle
Preis-Mengen-Kombinationen mit dem gleichen
Umsatz verbunden
4. Spezielle Verbrauchs teuer und kompetitiv er Gütermarkt
Fall 2 : Wertsteue r pt  p(1  t )
Fall 1 : Mengensteu er pt  p  t
Qs=a2+b2p
Qd, Qs
Qs=a2+b2p
Qd, Qs
Qs=a2-b2t+b2p
Qs=a2+b2p(1-t)
Q1
Q2
Q1
Q2
Wertsteuer
Qd=f(p)
a2
a2-b2t
p1 p2
Mengensteuer
Qd=f(p)
p
a2
p1 p2
p