Zahlentheorie

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ACM ICPC
Praktikum
Kapitel 7: Zahlentheorie
Übersicht
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Primzahlen
Größter gemeinsamer Teiler
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Modulo Arithmetik
Primzahlen
Test, ob x eine Primzahl ist:
• Teste alle Zahlen von 1 bis x
• x ausreichend, da für jeden Teiler y von x
gilt, dass y ¢ z = x für ein z, und entweder
y oder z höchstens x sein kann
Primfaktorisierung
1.
2.
3.
4.
prime_factorization(long x)
{
long i;
long c;
5.
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20. }
/* counter */
/* remaining product to factor */
c = x;
while ((c % 2) == 0) {
printf("%ld\n",2);
c = c / 2;
}
i = 3;
while (i <= (sqrt(c)+1)) {
if ((c % i) == 0) {
printf("%ld\n",i);
c = c / i;
}
else
i = i + 2;
}
if (c > 1) printf("%ld\n",c);
Größter gemeinsamer Teiler
• Problem: gegeben Zahlen a und b, finde
größte Zahl c, so dass c|a und c|b.
• c: ggT(a,b)
• ggT(a,a) = ggT(a,0) = ggT(0,a) = a
• a<b: ggT(a,b) = ggT(a, b mod a)
(b=k ¢ a + r, dann ggT(a,b) | r)
• a>b: ggT(a,b) = ggT(a mod b, b)
Größter gemeinsamer Teiler
1. long gcd(long p, long q) /* compute gcd(p,q) */
2. {
3.
if (q == 0) return(p);
4.
if (p == 0) return(q);
5.
if (q > p) return(gcd(q % p,p));
6.
if (p > q) return(gcd(q, p % q));
7.
return(q); /* p=q */
8. }
Größter gemeinsamer Teiler
1. /*
Find the gcd(p,q) and x,y such that p*x + q*y = gcd(p,q)
2. long gcd(long p, long q, long *x, long *y)
3. {
4.
long x1,y1;
/* previous coefficients */
5.
long g;
/* value of gcd(p,q) */
6.
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17. }
if (q > p) return(gcd(q,p, &y, &x));
if (q == 0) {
*x = 1;
*y = 0;
return(p);
}
g = gcd(q, p%q, &x1, &y1);
*x = y1;
*y = (x1 - floor(p/q)*y1);
return(g);
*/
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
• Kleinstes gemeinsames Vielfaches von a
und b: kgV(a,b) (englisch: lcm(a,b))
• Regel: a ¢ b = ggT(a,b) ¢ kgV(a,b)
Modulo Arithmetik
• Negative Zahlen:
-x mod n = n-(x mod n)
• Addition:
(x+y) mod n = ((x mod n) + (y mod n)) mod n
• Multiplikation:
x ¢ y mod n = ((x mod n) ¢ (y mod n)) mod n
xy mod n = (x mod n)y mod n
= [((x mod n)y1) mod n) ¢ ((x mod n)y2) mod n)]
mod n mit y = y1 + y2
Anwendungen
• Finde letzte Ziffer einer großen Zahl
(z.B. 2100)
• RSA Verschlüsselung
• Kalenderberechnungen
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