Algebraische Zahlen

Algebraische Zahlen
Mathematische Grundlagen und
Rechnen mit algebraischen Zahlen
von Simon Schmidt
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Inhaltliche Übersicht des Vortrags
1. Was sind algebraische Zahlen?
1. Wie kann ich sie unterteilen??
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Definitionen: reelle und ganzalgebraische Zahlen
2. Eigenschaften von algebraischen Zahlen
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Minimalpolynom
Konjugierte
Norm
Grad
2. Beispiele für algebraischer Zahlen
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Quadratwurzel
k-te Wurzel
3. Sätze über algebraische Zahlen
4. Rechnen mit algebraischen Zahlen
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
Darstellung: als Polynom oder isolierendes Intervall
Vergleichen von zwei algebraischen Zahlen
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Algebraische Zahlen
Eine algebraische Zahl ist eine komplexe Zahl x, die Nullstelle
eines Polynoms
a n x n  a n 1 x n 1  a n  2 x n  2  ...  a1 x  a0
mit rationalen oder ganzzahligen Koeffizienten ist.
Eine algebraische Zahl heißt ganzalgebraisch, wenn:
• ihr Minimalpolynom normiert ist, d.h.an  1
• alle Koeffizienten ganzzahlig sind: ai  
Wenn eine algebraische Zahl reell ist, dann spricht man von reellen
algebraischen Zahlen.
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Algebraische Zahlen
zur Erinnerung:
letzter Vortrag am 06.05.04:
Polynom kann auf zwei weitere Arten dargestellt werden:
n
a x
i 0
i
i
 a n ( x   1 )( x   2 )...( x   n )
Diese komplexen Zahlen αi`s, die Lösungen dieser
Gleichung sind, stellen unsere algebraischen Zahlen
dar.
Aber nicht alle komplexen Zahlen sind algebraisch. Pi
zum Beispiel ist nicht algebraisch. Man nennt solche
Zahlen transzendent.
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Minimalpolynom
Sei  algebraisc he Zahl mit P( )  0 und P( x)  x.
P(x) heißt genau dann Minimalpolynom von α, falls
P irreduzibel ist bzw. minimalen Grad hat und die
Koeffizienten von P als größten gemeinsamen Teiler
die 1 besitzen.
Bsp.: Minimalpolynom von
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• i ist das Polynom mit x  1  0
•
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7 ist das Polynom mit x 3  7  0
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Konjugierte
Die Konjugierten einer algebraischen Zahl α
sind die Zahlen, die auch Nullstelle des
Minimalpolynoms von α sind, d.h. bei einem
Polynom vom Grad n kann α maximal n-1
Konjugierte haben.
In unserem Beispiel:
i hat eine Konjugierte, nämlich -i.
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1
3 

7 hat die Konjugiert en - 7 *  
i 
2 2 
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Norm und der Grad von α
• Norm:
Die Norm von α ist das Produkt ihrer Konjugierten.
• Grad:
Der Grad von α ist der Grad des Minimalpolynoms
von α.
In unserem Beispiel:
für i und sqrt(2)
• Norm:
• i * (-i) = 1
• sqrt(2) * (-sqrt(2)) = -2
• Grad:
• x2+ 1 = 0
=> Grad 2
• x 2 – 2 = 0 => Grad 2
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Beispiel für algebraische Zahlen
• Quadratwurzel:
• Minimalpolynom hat die Form: x 2 – a = 0, wobei die
algebraische Zahl α = a
ist.
• Grad ist immer 2
• Norm ist – a, Konjugierte ist – a
• α ganzalgebraisch, wenn a ganzzahlig, sonst reelle
algebraische Zahl (z.B. sqrt(0.5))
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Beispiel für algebraische Zahlen
• k-te Wurzel:
• Minimalpolynom hat die Form: x k – a = 0, wobei die
algebraische Zahl α = k a ist.
• Grad ist immer k
k
• Norm ist  a *  1
• α ganzalgebraisch, wenn a ganzzahlig, sonst reelle
algebraische Zahl (z.B.k 0,5 )
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Beispiel für algebraische Zahlen
• Andere algebraische Zahlen:
– i bzw. – i
–
k
a l b
j
c
, wobei a, b und c rational sein können und k, l und j in Z
Für die letzte Zahl kann man aber nicht mehr so
einfach ein Polynom finden dessen Nullstelle unsere
Zahl ist.
Nicht alle algebraischen Zahlen können durch
Wurzelausdrücke dargestellt werden.
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Sätze über (ganz)algebraische
Zahlen
Die Norm einer ganzalgebraischen Zahl ist eine ganze Zahl.
Beweis: Eine Zahl ist ganzalgebraisch, wenn das Minimalpolynom
normiert ist (an = 1) und nur ganzzahlige Koeffizienten auftauchen
(ai Element Z).
Jetzt wissen wir aus der linearen Algebra, dass a0 definiert ist als:
n
a 0  a n *  ( i )
i 1
Außerdem wissen wi r, dass die Norm von  definiert ist als :
n
N( )   ( i ) (2)
i 1
 (1) in (2) eingesetzt :
N( ) 
a0
* (-1) n , da normiert a n  1 ist die Norm ganzzahlig
an
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Sätze über (ganz)algebraische
Zahlen
Wenn α,β (ganz)algebraische Zahlen sind, dann sind auch:
– α+β
– α*β
– α–β
– α/β
gilt nur für algebraische Zahlen
– k a
(ganz)algebraische Zahlen.
Beweis dazu unter http://www.mpi-sb.mpg.de/~nicola/Vorlesung/proof.ps
Aber nicht jede algebraische Zahl kann in zwei andere „zerlegt“
werden. Dies sind dann Nullstellen von Polynomen des Grades ≥ 5 .
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Darstellung algebraischer Zahlen
Wir können algebraische Zahlen als
Nullstelle eines Polynoms (z.B.
Minimalpolynom) in einem isolierenden
Intervall darstellen. (vgl. isolierte Intervalle:
Vortrag von M. Arnold)
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Vergleichen algebraischer Zahlen
Eine algebraische Zahl wird dargestellt
durch das Paar (P,[l,r]), wobei f ein
zugehöriges quadratfreies Polynom und
[l,r] das isolierte Intervall unserer Zahl ist.
Quadratfrei deshalb, da somit klar ist, dass
die Funktion f an der Stelle α keine
mehrfache Nullstelle hat.
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Vergleichen algebraischer Zahlen
Nun zum eigentlichen Gleichheitstest:
Wir nehmen uns 2 algebraische Zahlen a und b, mit
a = (P,[l1,r1]) und b = (Q,[l2,r2]), die wir miteinander
vergleichen wollen. Bei Nichtüberlappung der
Intervalle vergleichen wir die rechte und linke Seite
von jeweils einem Intervall mit dem anderen und
können ablesen, welche Zahl größer ist. Wenn sich
ihre Intervalle überlappen, dann konstruieren wir
ein neues Intervall aus den Grenzen der
Überlappungen.
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Vergleichen algebraischer Zahlen
Nun müssen wir testen, ob wir auch unsere
Zahl noch in diesem Intervall haben, oder ob
vielleicht keine mehr im Intervall ist. Dies
testen wir, indem wir unsere beiden neuen
Grenzen e und f jeweils in die Polynome P
und Q einsetzen: Liefern uns beide
Polynome einen Vorzeichenwechsel
zwischen P(e) und P(f) bzw. Q(e) und Q(f),
so wissen wir, da unsere Polynome
quadratfrei sind, dass die Nullstelle in
unserem neuen Intervall liegen muss.
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Vergleichen algebraischer Zahlen
Danach ermitteln wir den ggT der beiden
Polynome, der uns den Faktor bzw. Anteil
zurückliefert, der beiden gemeinsam ist. Dieses
Polynom, das wir dadurch erhalten testen wir jetzt
auf einen Vorzeichenwechsel zwischen e und f.
Da das Polynom quadratfrei sein muss, bekommen
wir entweder kein Vorzeichenwechsel und damit
sind die beiden Zahlen nicht gleich gewesen, oder
ein Vorzeichenwechsel und unsere Zahl ist jeweils
eine Lösung beider Polynome P und Q. Wenn
unsere Zahlen nicht gleich waren, dann können wir
durch Einsetzen der Grenzen leicht herausfinden,
welche größer oder kleiner ist.
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