Fünfecke und Siebenecke - Falten regelmäßiger Figuren Robert Geretschläger BRG Kepler, Graz 5-eck Der Goldene Schnitt a : 1 = 1 : (a-1) a² - a = 1 a² - a – 1 = 0 1 1 1 1 a-1 a a= f=a:1 5-eck Winkel im regelmäßigen 5-eck 36° 36° 108° d d 1 36° 72° 72° 1 5-eck Das Goldene Dreieck 36° d : 1 = 1 : (d-1) 1 d 1 36° 36° 72° 72° 1 d= d-1 =f 5-eck Platzierung des Pentagons auf dem a d=1 Papier 1 1 5-eck Schritt 1 D A 1 C B 5-eck Schritt 2 1 5-eck Schritt 3 1 5-eck Schritt 4 1 2 I 5-eck Schritt 5 1 5 2 5-eck Schritt 6 1 5 2 5-eck Schritt 7 5-eck Schritt 8 5-eck weitere Herausforderungen für fortgeschrittene Pentagonisten: +++ Kann ein regelmäßiges 5-eck mit Seitenlänge a größer als 1/f im Inneren eines Einheitsquadrats platziert werden? +++ Bestimme eine Faltsequenz für ein größeres regelmäßiges Fünfeck. +++ Bestimme den größtmöglichen Wert von a. Beweise, dass dieser Wert tatsächlich maximal ist. Gleichung 1. Grades lineare Gleichung ax = b Lösung: x = b a y 5 x -5 Steigung der Faltkante ist 5 b a a -5 b Gleichung 2. Gradesten Quadratische Gleichung x²+px+q = 0 Parabel: x² = 2uy Tangente: y = s(x - v) + w x² - 2usx + 2uvs – 2uw = 0 u²s² - 2uvs + 2uw = 0 s 2uv s 2uw = 0 2 y p :x²=2uy o u = 2, v = -p, w = q Parabel: x² = 4y O x P (v,w) o (Brennpunkt F(0/1), Leitlinie y = -1) P0(-p,q) Gleichung 3. Gradesten t: y = cx + d y p :x²=2by 2 p :y²=2ax 1 p1: yy1 = ax + ax1 p2: xx2 = by + by2 P (x ,y ) 2 2 2 x P (x ,y ) 1 1 1 t:y=cx+d a c= b 3 Gleichung 3. Grades l1 y 1 3 a b F 2 F 1 x l t 2 Gleichung 3. Grades t: y = cx + d p1: (y-n)(y1–n) = a(x-m) + a(x1–m) p2: xx2 = by + by2 c3 2bm c2 2bn c ba = 0 y p :x²= 2by 2 p :(y-n)²=2a(x-m) 1 x³ + px² + qx + r = 0 p = -2m, q = 2n, r = a, b = 1 A1(m ,n) P (x ,y ) 2 2 2 P (x ,y ) 1 1 1 x F1 , ; l : x = 2r t: y=cx+d p 2 r 2 q 2 p 2 7-eck y z 3 z 2 z7 − 1 = 0 z4 c O b a z =1 1 z 5 z z 6 7 x 7-eck 7-eck B A A 7-eck B C A D 7-eck E 7-eck M 7 2 1 7-eck M 2 7-eck 5 4 [email protected] http://geretschlaeger.brgkepler.at