Aufgaben zum freien Fall 10. Von der Spitze eines

Aufgaben zum freien Fall
10. Von der Spitze eines Turmes lässt man einen Stein fallen. Nach 4 Sekunden sieht man
ihn auf dem Boden aufschlagen.
a) Wie hoch ist der Turm?
b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Stein auf den Erdboden auf?
c) Nach welcher Zeit hat der Stein die Hälfte seines Fallweges zurückgelegt?
d) Welche Zeit braucht der Stein zum Durchfallen der letzten 20 m?
e) Nach welcher Zeit (vom Loslassen aus gerechnet) hört man den Stein aufschlagen? Die
-1
Schallgeschwindigkeit sei 320 ms .
16. Zum Feststellen der Tiefe eines
Brunnens wird etwas Wasser hinein
geschüttet. Nach 3 s hört man das Wasser
unten auftreffen.
a) Wie tief ist der Brunnen, wenn die
Schallgeschwindigkeit 330 m/s beträgt?
b) Beurteilen Sie, ob es eventuell
ausreicht, die Zeit, die der Schall nach
oben benötigt, zu vernachlässigen.
165. An einer 4 m langen Schnur sind vier Schrauben befestigt. Lässt man sie
auf den Boden fallen, hört man in gleichen Zeitabständen 4 Geräusche.
Welchen Abstand hat die 3. Schraube vom unteren Ende der Fallschnur?
213. Ein frei fallender Körper passiert zwei 12 m untereinander liegende
Messpunkte im zeitlichen Abstand von 1,0 s. Aus welcher Höhe über dem
oberen Messpunkt fällt der Körper und welche Geschwindigkeit hat er in den
beiden Punkten?
Lösungen
10.
geg.:
t =4s
ges.:
m
s2
g = 9,81
a)s
b) v
c) t 1
2
Lösung:
a)
g 2
⋅t
2
9,81m / s 2 2 2
s=
⋅4 s
2
s = 78,5 m
s=
b)
v =g⋅ t
v = 9,81m / s 2 ⋅ 4 s
v = 39,2 m / s
v = 141,3 km / h
c) Der halbe Fallweg = 39,3 m
g
s = ⋅ t2
2
t1 =
2
t1 =
2
2s
g
2 ⋅ 39,3 m
9,81m / s 2
t 1 = 2,83 s
2
d) Zeit für die ersten 58 m
2s
t 58 =
g
t 58 =
2 ⋅ 58 m
9,81m / s 2
t 58 = 3,44 s
diese Zeit wird von der Gesamtzeit abgezogen:
t 20 = t − t 58
t 20 = 4 s − 3,44 s
t 20 = 0,56 s
e) zur Fallzeit kommt die Zeit dazu, die der Schall benötigt, um wieder nach
oben zu kommen.
s
tg = t +
vs
tg = 4s +
78,5 m
320 m / s
t g =4,25 s
Antwort:
Der Turm ist 78,5 m hoch. Der Stein trifft mit einer Geschwindigkeit von 141,3
km/h auf dem Erdboden auf. Der Stein hat nach 2,4 s die Hälfte der
Fallstrecke zurück gelegt. Für die letzten 20 m benötigt der Stein 0,56 s. Man
hört den Stein nach 4,25 s aufschlagen.
16.
geg.:
v s = 330 ms
ges.:
s
t =3s
Lösung: In der gemessenen Zeit fällt der Stein im
freien Fall nach unten und der Schall
kommt in einer gleichförmigen Bewegung
nach unten. Damit ist die Gesamtzeit:
t ges = t 1 + t 2
Die Wege für beide Bewegungen sind
jeweils gleich und die gesuchte
Brunnentiefe:
s = s1 = s 2
Die einzelnen Wege berechnen sich nach
den entsprechenden Weg-Zeit-Gesetzen:
Für den freien Fall:
g
s1 = ⋅ t 12
2
und für den Schall nach oben:
s2 = v s ⋅ t 2
Da beide Weg gleich sind, kann man
beide Gleichungen gleich setzen:
g 2
⋅ t1 = v s ⋅ t 2
2
1: freier Fall des Steines nach unten
2: gleichförmige Bewegung des Schalls
nach oben
Diese Gleichung ist so nicht lösbar, da sie zwei Unbekannte Zeiten hat. Man kann
aber eine Zeit ersetzen:
t 2 = t ges − t 1
Damit wird:
g 2
⋅ t 1 = v s ⋅ (t ges − t 1 )
2
g 2
⋅ t 1 = v s ⋅ t ges − v s ⋅ t 1
2
Als einzige Unbekannte taucht nun nur noch die Zeit des freien Falls auf. Über die
Lösung einer quadratischen Gleichung kann diese Zeit bestimmt werden:
g 2
⋅ t 1 = v s ⋅ t ges − v s ⋅ t 1
2
g
0 = − ⋅ t 12 + v s ⋅ t ges − v s ⋅ t 1
2
2 ⋅ v s ⋅ t ges
2⋅ v s
0 = t 12 +
⋅ t1 −
g
g
Diese Normalform einer quadratischen Gleichung wird nun nach der bekannten
Lösungsvorschrift gelöst:
2
 v  2 ⋅ v s ⋅ t ges
v
t 1 = − s ±  s  +
g
g
 g
330 2
330 ms
±
t1 = −
9,81 sm2
9,812
m2
s2
m2
s4
+
2 ⋅ 330 ms ⋅ 3 s
9,81 sm2
t 1 = − 33,639 s ± 1131,59 s 2 + 201,835 s 2
t 1 = − 33,639 s ± 36,516 s
t 11 = 2,877 s
t 12 = − 70,155 s
Der zweite, negative Wert ist sinnlos und wird weggelassen. Der Stein fällt also 2,877
s nach unten. Damit bleiben für den Weg nach oben noch 0,123 s übrig. Wenn alles
richtig ist, müssen die beiden damit berechneten Wege gleich sein:
g
s1 = ⋅ t 12
2
9,81 sm2
s1 =
⋅ 2,877 2 s 2
2
s1 = 40,6 m
s2 = v s ⋅ t 2
s s 2 = 330 ms ⋅ 0,123 s
s 2 = 40,6 m
b) Vernachlässigt man den Schallweg, reicht es aus, das Weg-Zeit-Gesetz des freien
Falls anzuwenden:
g
s = ⋅t2
2
9,81 sm2 2 2
s =
⋅3 s
2
s = 44,1m
Wenn man bei der Zeitmessung einen persönlichen Fehler von 0,3 s ansetzt, ist der
große Rechenaufwand über die quadratische Gleichung sicher nicht notwendig. Die
Zeit, die der Schall nach oben benötigt, liegt noch innerhalb dieses Fehlerbereiches.
Antwort: Der Brunnen ist 40,6 m tief.
165.
1. Frage: Wie lange fällt die letzte Schraube? s=g/2*t², nach t umgestellt:
t4=Wurzel(2s/g). Dabei ist s die Gesamtlänge, also 4m. Wenn man einsetzt, kommt man auf
etwa 0,9 s
2. Frage: wie lange brauchen dann die anderen Schrauben? ¼, 2/4 und ¾ dieser Zeit, denn
sie sollen ja in gleichen zeitlichen Abständen auftreffen.
3. Frage: in welchen Abständen hängen dann die Schrauben? Die vierte Schraube in 4 m
Höhe, die dritte Schraube in s=g/2*t3² = g/2 * 3/4Wurzel(2s/g) =2,25 m Höhe. Für die
anderen Schrauben erhält man 1 m und 0,25 m.
Probe: Zeit für die erste Schraube in 0,25 m Höhe: t=Wurzel(2s1/g)= 0,226 s =0,9/4
Zeit für die zweite Schraube: 0,45 s = 0,9/2
Zeit für die dritte Schraube : 0,677 s = ¾ von 0,9s
Zeit für die letzte Schraube: 0,9 s
213:
geg.:
∆s = 12 m
∆t = 1s
ges.:
s0
v1
v2
Lösung:
Der Körper startet im Punkt s0 und erreicht den Punkt s1. Nach 1 s erreicht
er den 12 m darunter liegenden Punkt s2. Wie lange braucht er bis zum
Punkt s1?
Die bekannten Tatsachen werden in Formal gefasst:
g
s1 = ⋅ t 2
2
g
2
s 2 = ⋅ (t + ∆t )
2
∆s = s 2 − s1
In die letzte Gleichung werden die beiden ersten eingesetzt:
g
g
2
∆s = ⋅ ( t + ∆t ) − ⋅ t 2
2
2
Darin ist nun nur noch die Zeit eine unbekannte Größe, also die Zeit, die
der Körper bis zum Punkt s1 braucht. Nun muss nur noch umgestellt
werden und fertig:
g
g
2
∆s = ⋅ (t + ∆t ) − ⋅ t 2
2
2
g
g
∆s = ⋅ t 2 + 2t∆t + ∆t 2 − ⋅ t 2
2
2
g
g
g
g
∆s = ⋅ t 2 + 2t∆t + ∆t 2 − ⋅ t 2
2
2
2
2
g
∆s = g t∆t + ∆t 2
2
(
)
g
∆s − ∆t 2 = g t∆t
2
g
∆s − ∆t 2
2
=t
g⋅ ∆ t
t = 0,72 s
Der Körper erreicht nach 0,72 s die erste Marke. Wie weit ist er dabei
gefallen?
g
s1 = ⋅ t 2
2
s1 = 2,56 m
Die Geschwindigkeit berechnen sich nun einfach mit:
v1 = g⋅ t
v 1 = 7,09 ms
v 2 = g ⋅ (t + ∆t )
v 2 = 16,9 ms
Antwort:
Der Körper ist 2,56 m über dem ersten Punkt gestartet. Die beiden Punkte
werden mit 7 m/s und 17 m/s passiert.