Der Unendlichkeitsbegriff in Mathematik, Naturwissenschaft und

Der Unendlichkeitsbegriff
in Naturwissenschaft,
Mathematik und Technik
Von der Entdeckung der irrationalen
Zahlen über den Infinitesimalbegriff
bis zu den modernen Hypothesen
der „Ohne-Grenzen“-Raumzeit
mit Franz Wosnitza
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Inhalt des Vortrages
Einführung in das heutige mathematischnaturwissenschaftliche Weltbild
Geschichtliche Entwicklungen
Ursprung und Schicksal des Universums
in nicht endender Raumzeit
Die Wissenschaft vom Unendlichen - Mathematische
Begriffe des potenziell und aktual Unendlichen
Unendlichkeiten im täglichen Leben
Vorläufige Zusammenfassung
1. Einführung in das heutige mathematischnaturwissenschaftliche Weltbild
Wir leben in einer befremdlichen Welt!
 Das gesamte Universum ist aus einem Zustand entstanden,
den es unserem Verständnis nach überhaupt nicht geben kann!
(Gerhard Börner, MPI für Astrophysik, München)
•
•
•
•
Welchen Platz nehmen wir im Universum ein?
Wie ist das Universum beschaffen?
Warum ist es so und nicht anders?
Braucht das Universum noch einen Schöpfer,
und wenn ja, wirkt er noch bis heute ein?
• Wer hat den Schöpfer erschaffen?
Hypothesen zum Unendlich Großen und Kleinen
Die Erschaffung Adams (Michelangelo)
Gott hat entschieden, wie das Universum beginnen und welchen
Gesetzen es gehorchen soll! (Determinist. Deutung, Laplace, 19. Jh.)
Deterministische Hoffnungen des
ontologisch-mechanistischen Weltbildes
1. Es gibt ein System physikalischer Gesetze, aus dem sich die
Entwicklung des Universums ableiten lässt!
2. Die Bestimmung des Anfangszustandes des Universums bleibt Gott
überlassen!
Die deterministischen Hoffnungen ließen sich nicht einlösen!
1. Unschärferelation der Quantenmechanik
h
Mikrokosmologisches Verhalten:
x  p 
 1,055 10 Js
2
2. Entropiebegriff der Thermodynamik
Viele-Teilchen Verhalten: S (Q)  S (Q  Q)  S (Q)  k  ln p(Q  Q)
p(Q)
3. Relativitätsprinzip zwischen Raum und Zeit
Makrokosmologisches Verhalten: R  0,5  R  g    T
34
Quantenmechanik und Allgemeine Relativität
• Raum und Zeit bilden ein vierdimensionales
System ohne Grenzen und ohne Singularitäten
• Erklärung folgender beobachtbarer Eigenschaften:
1. Großräumige Gleichförmigkeit des Universums
2. Nach allen Seiten hin sieht das Universum gleich aus!
3. Nur kleinräumige Verstöße der Einheitlichkeit
infolge Galaxien, Sterne und Menschen
4. Erklärung des Zeitpfeils in thermodynamischer,
psychologischer und kosmologischer Hinsicht
• Einsteins Frage: Wieviel Entscheidungsfreiheit hatte
Gott bei der Erschaffung des Universums?
Naturwissenschaft, Philosophie und Theologie
• Physik:
fragt danach, was das Universum ist
und sucht, Gottes Plan zu erkennen!
• Philosophie: fragt danach, warum das Universum
so ist und sucht immanente Antworten!
• Theologie: fragt auch danach, warum das Universum
so ist, sucht aber jenseits der immanenten
Antworten die transzendente Ursache!
 Die Naturwissenschaft ist zu mathematisch für
Philosophen geworden. Sie verhaften noch
in den Theorien des letzten Jahrhunderts!
Stephen Hawking, Naturforscher und Mathematiker, Cambridge, 1994
2. Geschichtliche Entwicklungen
• Geozentrisches Weltbild des
Ptolemäus
Erde ist Mittelpunkt des Universums
• Heliozentrisches Weltbild des
Kopernikus
Sonne ist Mittelpunkt des Universums
• Galaktisches MilchstraßenWeltbild des 19. Jahrhunderts
Sonnensystem kreist in einem Spiralarm
• Kosmologisches Weltbild des 20.
Jahrhunderts
Milchstraße ist eine von 1 Billion Galaxien im
beobachtbaren Universum
Griechische Wissenschaft und Philosophie
• Die Erde kann keine Scheibe sein!
• Eingehende Beschäftigung mit dem Begriff des
Unendlichen in der Geometrie, Physik und
Metaphysik.
Zenon von Elea: Achill und die Schildkröte!
• Die Erde ist eine Kugel in der Mitte der Welt.
Um sie kreisen die sieben Planeten.
• Die Bahnen sind aus Kreisbewegungen
zusammengesetzt und werden auf Kristallkugeln
konzentrisch bewegt.
• Um die Erde dreht sich als äußerste Kugel
die Sphäre der Fixsterne.
Bekenntnisse des hl. Augustinus (398)
Augustinus beantwortet die Frage, was Gott
getan, bevor er das Universum erschaffen habe,
mit folgendem Zitat:
„Die Zeit sei eine Eigenschaft des von Gott
geschaffenen Universums und habe vor dessen
Beginn nicht existiert!“
Ergebnisse der relativistischen Quantengravitation
des 20. Jahrhunderts:
Die Frage nach dem Begriff von Raum und Zeit
vor dem Urknall ist sinnlos!
Die Kopernikanische Wende im Jahre 1514
• Die Sonne ruht nach dem Kopernikanischen Modell im
Mittelpunkt des grenzenlosen Universums!
• 1609 beobachtet Galileo Galilei mit einem Fernrohr den
Himmel und entdeckt die Jupitermonde.
• Johannes Kepler entdeckt 1618 die Ellipsenbahnen der
Planeten und stellt die weltbildverändernden
drei Kepler´schen Gesetze auf!
• Isaac Newton verfasst 1687 das bis heute wichtigste
Werk über die Bewegung von Körpern in Raum und Zeit:
 

m1  m2
F1 (r2 )   
 (e12 )
2
r12
Es enthält die Grundlagen der Infinitesimalrechnung zur
Analyse der Gravitations- und Bewegungsgesetze!
Kritik an der Newton´schen Himmelsmechanik
- ODER Warum stürzt das Universum nicht in sich zusammen?
1. Das Universum kann nicht unendlich groß
und zeitlich statisch sein.
2. Es kann nicht unendlich viele Sterne enthalten.
3. Das Weltall kann nicht vor unendlicher Zeit
entstanden bzw. seit jeher in unveränderter Form
bestehen.
4. Die Vorstellung einer abstoßenden Wirkung
der Gravitationskraft unendlich weit entfernter
Sterne ist nicht haltbar.
5. Ein unendliches Universum müsste auch nachts
taghell sein.
Immanuel Kant (1781): Kritik der reinen Vernunft
Die Frage, ob das Universum einen Anfang hat und ob es räumlich
unendlich ist, bezeichnet Kant als Widerspruch gegen die Vernunft.
Er hat stillschweigend vorausgesetzt, dass die Zeit gleichmäßig
von einer Ewigkeit zur anderen verstreicht!
These:
Hat das Universum keinen Anfang, dann
liegt ein unendlicher Zeitraum vor jedem
Ereignis, dies ist absurd!
Antithese: Hat das Universum einen Anfang, dann
liegt ein unendlicher Zeitraum vor diesem
Anfang. Warum sollte es dann zu einer
bestimmten Zeit angefangen haben?
Bahnbrechende Entdeckung durch den
Astronom Edwin Hubble (1929)
• Alle Galaxien bewegen
sich von uns fort, das
Universum dehnt sich aus
• Vor 10-20 Milliarden
Jahren haben sich alle
Objekte an einem einzigen
Ort befunden (Urknall)
• Ereignisse vor dieser
Singularität können keinen
Einfluss auf das jetzige
Universum haben
• Raum und Zeit beginnen
mit dem Urknall
Beschreibendes Weltbild des Universums
in der 2. Hälfte des 20. Jahrhundert
• Zwei grundlegende unvereinbare
Teiltheorien, die ausreichen, um
genaue Vorhersagen zu machen:
1. Allgemeine Relativitätstheorie
Beschreibung des Universums im
Großen: (1 - 1027) Meter
2. Quantenmechanik
Beschreibung der materiellen
Erscheinungen im Kleinen:
(1 - 10-15) Meter

Suche nach einer
Großen Vereinheitlichen Theorie
der Quantengravitation (GUT)
3. Ursprung und Schicksal des
Universums in nicht endender Raumzeit
• Modell des heißen Urknalls vor
13-15 Milliarden Jahren:
Das Universum hat die Größe
Null, ist unendlich heiß und dehnt
sich mit Lichtgeschwindigkeit aus!
• Photonen, Elektronen und
Neutrinos:
Sog. Dunkle Materie, deren Gravitationskräfte die Expansion des
Universums zum Stoppen und
Rekollabieren bringt
• Protonen, Neutronen und
Heliumkerne:
Gravitation, Elektromagnetismus,
Starke/Schwache Wechselwirkung
Nach wenigen Stunden war der Spuk vorbei
- ODER Ausdehnung und Abkühlung schreiten fort
• Gravitation verlangsamt die
Expansion
• Geburt scheibenartiger
rotierender Galaxien
• Kollabierende Galaxien
erzeugen Kernfusionen
• Bildung schwererer Elemente
wie Kohlen- und Wasserstoff
• Erde entsteht vor 5 Milliarden
Jahren aus einer SupernovaeExplosion
• Alle höheren Elemente entstehen in diesem Augenblick
Welche Grenzbedingungen lagen am Anfang
der Zeit vor - UND - Wie geht es weiter?
Warum:
1. war das frühe Universum so
heiß?
2. ist das Universum, großräumig
gesehen, so gleichförmig?
3. dehnt es sich in allen
Richtungen so gleich aus?
4. ist die Temperatur der Hintergrundstrahlung so konstant?
Das Licht hatte keine Zeit, den
Informationsaustausch zwischen
den Welten zu bewerkstelligen!
Die Keine-Grenzen-Hypothese des Universums
Die Geschichte des Universums wäre wie die Erdoberfläche von
endlicher Größe, aber ohne Grenze in Raum und Zeit
Die reale und die imaginäre Zeit in der
Keine-Grenzen-Hypothese des Universums
• Es gäbe keine Singularitäten (Begrenzungen)
in Raum und Zeit!
• Das Universum würde einfach sein, es wurde
nicht erschaffen und es wird nicht vergehen!
 Welche Rolle spielt dann noch der Schöpfer?
4. Die Wissenschaft vom Unendlichen
- Mathematische Begriffe des
potenziell und aktual Unendlichen
Das Unendliche in der Mathematik ist
allgegenwärtig, da sie ohne es nicht sein kann!
Potenziell Unendlich = „beliebig viel“:
Es gibt immer einen möglichen nächsten
Schritt, z.B. hat jede natürliche Zahl per
Definition einen Nachfolger!
Aktual Unendlich = „unendlich viel“:
Es gibt im Endlichen real existierende
Grenzwerte, die nur durch potenziell
Unendliches dargestellt werden können!
Beweis durch Widerspruch - ODER Die rationale Erfassung des Irrationalen
 Beispielsweise gibt Aristoteles in seinem Werk „Metaphysik“
einen Widerspruchsbeweis für die Irrationalität der Wurzelzahl 2!
a
2
; a und b seien teilerfremd!
b
b  2  a  2  b2  a2
 a 2 und somit a ist gerade!
a  2  p  a  2  p 
2
2  b2  4 p2
2
b2  2  p2
 b 2 und somit b ist gerade!
 a und b könnennicht teilerfremdsein!
Vollständige Induktion - ODER Rastlos wandern, Schritt für Schritt
• Induktion heißt: Der Schluss vom Speziellen auf´s Allgemeine!
 Die mathematische Induktion ist fehlerfrei, weil sie vollständig ist!
• Beweis der berühmten Bernoulli´schen Ungleichung:
1  x n  1  nx für alle n  2 und x  1
Induktionsverankerung : n  2 :
1  x 2  1  2 x  x 2  1  2 x da x 2  0
Induktionsschritt: n : n  1 :
1  x n1  1  x n  1  x   1  nx  1  x 
1  x  nx  nx2  1  1  n   x  nx2  1  1  n x
Induktionsschluss : da n  N , ist die Aussage
für alle natürlichen Zahlenbewiesen!
Der Begriff der mathematischen Stetigkeit
- ODER - Kurven mit Knicken und Löchern
Eine Funktion y=f(x) nennt man im Punkt
x=a ihres Definitionsbereiches stetig, wenn
zu einer beliebig kleinen Zahl >0 eine Zahl
() existiert, so dass der Grenzwert gilt:
lim f ( x)  f (a)   mit : lim x  a   ( )
 0
 0
Ist diese Bedingung nicht erfüllt, nennt man
die Kurve an der Stelle x=a unstetig!
Fraktale Kurven:
• Koch´sche Schneeflockenkurve:
Eine unendlich lange Kurve schließt einen
endlichen Flächeninhalt ein!
• Mandelbrot-Menge: Unendliche Anwendung der komplexen Rekursion: pc(z)=z2+c
Detail-Fraktale aus Mandelbrot-Sets
(Bernoit Mandelbrot, Institut für Praktische Mathematik,
Harward University, 1984)
Die unmögliche Geometrie der Bewegung - ODER Das Unendliche in der Analyse der Kinematik
• G. W. Leibniz und I. Newton begründen um das
Jahr 1685 die Infinitesimalrechnung und mit der
ANALYSIS somit die mathematische Physik!
df ( x)
f ( x  x)  f ( x)
f ( x) 
 lim
x  dx
dx
x
Das Leibnitz´sche Problem der Struktur des
Kontinuums und das Unteilbare der Bewegung
• Die partielle Ableitung einer Größe c(r,t) nach der Zeit:

c(r , t )
t

fester Beobachtun gspunkt r  f(t)
• Die totale Ableitung einer Größe c(r,t) nach der Zeit:




dc (r , t ) c(r , t ) r (t )


 grad c(r , t )
dt
t
t
• Die substanzielle Ableitung einer Größe c(r,t) nach der Zeit:




c(r , t ) c(r , t ) 

 v fließ(r , t )  grad c(r , t ) 
t
t
Die Homogenität der Dimension - ODER Wie wird aus lauter dünnen Stäben eine Fläche?
S  A, B  
B
 f ( x)dx
x A
• Einschachtelung für den Flächeninhalt S:
n 1
 x
i 0
i 1
n 1
 xi   f ( xi )  S xo , xn    xi 1  xi  f ( xi 1 )
i 0
• Einschnürung der Intervallbreite x zu einem dünnen Stab:
lim x  dx  lim ( xi 1  xi ) ;
x  dx
x  dx
f  xi   f  xi 1  ;
n 1
xn
i 0
x0
 
5. Unendlichkeiten im täglichen Leben
B. Brecht: „Wo es kein Geheimnis gibt, gibt es keine Wahrheit“
• Im täglichen Leben gibt es weder unendlich kleine
noch unendlich große Ereignisse oder Vorkommnisse!
• Mikro- und optoelektronische Bauelemente:
10-9 m
•  der elementarsten Materieteilchen (Quarks): 10-18 m
• Blick an den Rand des Universums (Quasare): 1026 m
• Alter des reellen Universums:
1017 s
• Sparguthaben der Deutschen:
1010 EUR
• Gleitkomma-Rechenoperationen eines
Rechnerclusters (Wettervorhersage):
1015 FLOP/s
• Kindersterblichkeit auf der Welt:
 5.107 1/a
Aktual-Unendliches im täglichen Leben - ODER Die Zahl der Zahlen: die Euler´sche Zahl e
Wie vermehrt sich unser Geld nach n Jahren?
Einfach durch Liegenlassen!
Arten der Verzinsung
1. Einfache Zinsrechnung
Arithmetische Verzinsung
2. Zinseszins-Rechnung
Geometrische Verzinsung
p T 

K n  K 0  1  n 
 K n  K0  1  p  T 
100% 

 100% 
3. Stetige Zinsrechnung
Exponentielle Verzinsung
n

K n  K 0   e

p = Prozentsatz
K0=Anfangskapital
T=1Jahr
Kn=Kapital nach n Jahren
n=Anzahl der Jahre
pT
100%




n
Methode des unendlich feinen Grenzüberganges
1. Jährliche Verzinsung :
p  Zinssatz/Jahr ; K 0  Kapital ; T  1Jahr

p T 

K 1  K 0  1 

100
%



p T 

K 1  K 0  1 

 2  100% 
2. Halbjährli che Verzinsung :
 1 p T 
 1 p T 
K 1 2  K 0  1  
 ; K 1  K 1 2  1  

 2 100% 
 2 100% 
3. m - tel jährliche Verzinsung :
1 p T 
1 p T 


K 1 m  K 0  1  
;
K

K

1



 
2m
1m 
 m 100% 
 m 100% 
4. Substitution :
1
p T
p T
:
; m  n
n m  100%
100%
5. Grenzübergang zur stetigen Verzinsung :

p T 

K 1  K 0  1 

m

100
%


 1
K 1  K 0  1  
 n
n
 1
lim1    e  2,718281828
...
n 
 n

2
K1  K 0  e
pT
100%
pT
n
100%
m
Die kontinuierliche Verzinsung –
Im Schlaf reich werden
Kapital K(t) nach der beliebigen Zeitdauer t,
w ennzum Zeitpunkt t  0 das Kapital K 0
eingezahlt w urde!
K (t )  K 0  e
p
t
100%
100%
K (t )
 t
 ln
p
K0
6. Vorläufige Zusammenfassung
(Die Symphonie des Themas Unendlichkeit)
1.In der Natur gibt es weder potenziell noch aktual
beobachtbares unendlich Großes und unendlich Kleines!
2.Ohne den Unendlichkeitsbegriff in der Mathematik
wäre diese schlechterdings nicht vorstellbar!
3.Unser bekanntes Universum stellt nur eine Möglichkeit
aus 1010 möglichen Anfangsbedingungen dar!
35
10
m wird infolge der
4.Bei Durchmessern kleiner als
Unschärferelation die Raum-Zeit-Struktur zerstört!
5.Punktförmige Elementarteilchen (z.B. Elektronen)
werden letztlich aufgeweicht!
120