Der Unendlichkeitsbegriff in Mathematik, Naturwissenschaft und
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Der Unendlichkeitsbegriff in Naturwissenschaft, Mathematik und Technik Von der Entdeckung der irrationalen Zahlen über den Infinitesimalbegriff bis zu den modernen Hypothesen der „Ohne-Grenzen“-Raumzeit mit Franz Wosnitza 1. 2. 3. 4. 5. 6. Inhalt des Vortrages Einführung in das heutige mathematischnaturwissenschaftliche Weltbild Geschichtliche Entwicklungen Ursprung und Schicksal des Universums in nicht endender Raumzeit Die Wissenschaft vom Unendlichen - Mathematische Begriffe des potenziell und aktual Unendlichen Unendlichkeiten im täglichen Leben Vorläufige Zusammenfassung 1. Einführung in das heutige mathematischnaturwissenschaftliche Weltbild Wir leben in einer befremdlichen Welt! Das gesamte Universum ist aus einem Zustand entstanden, den es unserem Verständnis nach überhaupt nicht geben kann! (Gerhard Börner, MPI für Astrophysik, München) • • • • Welchen Platz nehmen wir im Universum ein? Wie ist das Universum beschaffen? Warum ist es so und nicht anders? Braucht das Universum noch einen Schöpfer, und wenn ja, wirkt er noch bis heute ein? • Wer hat den Schöpfer erschaffen? Hypothesen zum Unendlich Großen und Kleinen Die Erschaffung Adams (Michelangelo) Gott hat entschieden, wie das Universum beginnen und welchen Gesetzen es gehorchen soll! (Determinist. Deutung, Laplace, 19. Jh.) Deterministische Hoffnungen des ontologisch-mechanistischen Weltbildes 1. Es gibt ein System physikalischer Gesetze, aus dem sich die Entwicklung des Universums ableiten lässt! 2. Die Bestimmung des Anfangszustandes des Universums bleibt Gott überlassen! Die deterministischen Hoffnungen ließen sich nicht einlösen! 1. Unschärferelation der Quantenmechanik h Mikrokosmologisches Verhalten: x p 1,055 10 Js 2 2. Entropiebegriff der Thermodynamik Viele-Teilchen Verhalten: S (Q) S (Q Q) S (Q) k ln p(Q Q) p(Q) 3. Relativitätsprinzip zwischen Raum und Zeit Makrokosmologisches Verhalten: R 0,5 R g T 34 Quantenmechanik und Allgemeine Relativität • Raum und Zeit bilden ein vierdimensionales System ohne Grenzen und ohne Singularitäten • Erklärung folgender beobachtbarer Eigenschaften: 1. Großräumige Gleichförmigkeit des Universums 2. Nach allen Seiten hin sieht das Universum gleich aus! 3. Nur kleinräumige Verstöße der Einheitlichkeit infolge Galaxien, Sterne und Menschen 4. Erklärung des Zeitpfeils in thermodynamischer, psychologischer und kosmologischer Hinsicht • Einsteins Frage: Wieviel Entscheidungsfreiheit hatte Gott bei der Erschaffung des Universums? Naturwissenschaft, Philosophie und Theologie • Physik: fragt danach, was das Universum ist und sucht, Gottes Plan zu erkennen! • Philosophie: fragt danach, warum das Universum so ist und sucht immanente Antworten! • Theologie: fragt auch danach, warum das Universum so ist, sucht aber jenseits der immanenten Antworten die transzendente Ursache! Die Naturwissenschaft ist zu mathematisch für Philosophen geworden. Sie verhaften noch in den Theorien des letzten Jahrhunderts! Stephen Hawking, Naturforscher und Mathematiker, Cambridge, 1994 2. Geschichtliche Entwicklungen • Geozentrisches Weltbild des Ptolemäus Erde ist Mittelpunkt des Universums • Heliozentrisches Weltbild des Kopernikus Sonne ist Mittelpunkt des Universums • Galaktisches MilchstraßenWeltbild des 19. Jahrhunderts Sonnensystem kreist in einem Spiralarm • Kosmologisches Weltbild des 20. Jahrhunderts Milchstraße ist eine von 1 Billion Galaxien im beobachtbaren Universum Griechische Wissenschaft und Philosophie • Die Erde kann keine Scheibe sein! • Eingehende Beschäftigung mit dem Begriff des Unendlichen in der Geometrie, Physik und Metaphysik. Zenon von Elea: Achill und die Schildkröte! • Die Erde ist eine Kugel in der Mitte der Welt. Um sie kreisen die sieben Planeten. • Die Bahnen sind aus Kreisbewegungen zusammengesetzt und werden auf Kristallkugeln konzentrisch bewegt. • Um die Erde dreht sich als äußerste Kugel die Sphäre der Fixsterne. Bekenntnisse des hl. Augustinus (398) Augustinus beantwortet die Frage, was Gott getan, bevor er das Universum erschaffen habe, mit folgendem Zitat: „Die Zeit sei eine Eigenschaft des von Gott geschaffenen Universums und habe vor dessen Beginn nicht existiert!“ Ergebnisse der relativistischen Quantengravitation des 20. Jahrhunderts: Die Frage nach dem Begriff von Raum und Zeit vor dem Urknall ist sinnlos! Die Kopernikanische Wende im Jahre 1514 • Die Sonne ruht nach dem Kopernikanischen Modell im Mittelpunkt des grenzenlosen Universums! • 1609 beobachtet Galileo Galilei mit einem Fernrohr den Himmel und entdeckt die Jupitermonde. • Johannes Kepler entdeckt 1618 die Ellipsenbahnen der Planeten und stellt die weltbildverändernden drei Kepler´schen Gesetze auf! • Isaac Newton verfasst 1687 das bis heute wichtigste Werk über die Bewegung von Körpern in Raum und Zeit: m1 m2 F1 (r2 ) (e12 ) 2 r12 Es enthält die Grundlagen der Infinitesimalrechnung zur Analyse der Gravitations- und Bewegungsgesetze! Kritik an der Newton´schen Himmelsmechanik - ODER Warum stürzt das Universum nicht in sich zusammen? 1. Das Universum kann nicht unendlich groß und zeitlich statisch sein. 2. Es kann nicht unendlich viele Sterne enthalten. 3. Das Weltall kann nicht vor unendlicher Zeit entstanden bzw. seit jeher in unveränderter Form bestehen. 4. Die Vorstellung einer abstoßenden Wirkung der Gravitationskraft unendlich weit entfernter Sterne ist nicht haltbar. 5. Ein unendliches Universum müsste auch nachts taghell sein. Immanuel Kant (1781): Kritik der reinen Vernunft Die Frage, ob das Universum einen Anfang hat und ob es räumlich unendlich ist, bezeichnet Kant als Widerspruch gegen die Vernunft. Er hat stillschweigend vorausgesetzt, dass die Zeit gleichmäßig von einer Ewigkeit zur anderen verstreicht! These: Hat das Universum keinen Anfang, dann liegt ein unendlicher Zeitraum vor jedem Ereignis, dies ist absurd! Antithese: Hat das Universum einen Anfang, dann liegt ein unendlicher Zeitraum vor diesem Anfang. Warum sollte es dann zu einer bestimmten Zeit angefangen haben? Bahnbrechende Entdeckung durch den Astronom Edwin Hubble (1929) • Alle Galaxien bewegen sich von uns fort, das Universum dehnt sich aus • Vor 10-20 Milliarden Jahren haben sich alle Objekte an einem einzigen Ort befunden (Urknall) • Ereignisse vor dieser Singularität können keinen Einfluss auf das jetzige Universum haben • Raum und Zeit beginnen mit dem Urknall Beschreibendes Weltbild des Universums in der 2. Hälfte des 20. Jahrhundert • Zwei grundlegende unvereinbare Teiltheorien, die ausreichen, um genaue Vorhersagen zu machen: 1. Allgemeine Relativitätstheorie Beschreibung des Universums im Großen: (1 - 1027) Meter 2. Quantenmechanik Beschreibung der materiellen Erscheinungen im Kleinen: (1 - 10-15) Meter Suche nach einer Großen Vereinheitlichen Theorie der Quantengravitation (GUT) 3. Ursprung und Schicksal des Universums in nicht endender Raumzeit • Modell des heißen Urknalls vor 13-15 Milliarden Jahren: Das Universum hat die Größe Null, ist unendlich heiß und dehnt sich mit Lichtgeschwindigkeit aus! • Photonen, Elektronen und Neutrinos: Sog. Dunkle Materie, deren Gravitationskräfte die Expansion des Universums zum Stoppen und Rekollabieren bringt • Protonen, Neutronen und Heliumkerne: Gravitation, Elektromagnetismus, Starke/Schwache Wechselwirkung Nach wenigen Stunden war der Spuk vorbei - ODER Ausdehnung und Abkühlung schreiten fort • Gravitation verlangsamt die Expansion • Geburt scheibenartiger rotierender Galaxien • Kollabierende Galaxien erzeugen Kernfusionen • Bildung schwererer Elemente wie Kohlen- und Wasserstoff • Erde entsteht vor 5 Milliarden Jahren aus einer SupernovaeExplosion • Alle höheren Elemente entstehen in diesem Augenblick Welche Grenzbedingungen lagen am Anfang der Zeit vor - UND - Wie geht es weiter? Warum: 1. war das frühe Universum so heiß? 2. ist das Universum, großräumig gesehen, so gleichförmig? 3. dehnt es sich in allen Richtungen so gleich aus? 4. ist die Temperatur der Hintergrundstrahlung so konstant? Das Licht hatte keine Zeit, den Informationsaustausch zwischen den Welten zu bewerkstelligen! Die Keine-Grenzen-Hypothese des Universums Die Geschichte des Universums wäre wie die Erdoberfläche von endlicher Größe, aber ohne Grenze in Raum und Zeit Die reale und die imaginäre Zeit in der Keine-Grenzen-Hypothese des Universums • Es gäbe keine Singularitäten (Begrenzungen) in Raum und Zeit! • Das Universum würde einfach sein, es wurde nicht erschaffen und es wird nicht vergehen! Welche Rolle spielt dann noch der Schöpfer? 4. Die Wissenschaft vom Unendlichen - Mathematische Begriffe des potenziell und aktual Unendlichen Das Unendliche in der Mathematik ist allgegenwärtig, da sie ohne es nicht sein kann! Potenziell Unendlich = „beliebig viel“: Es gibt immer einen möglichen nächsten Schritt, z.B. hat jede natürliche Zahl per Definition einen Nachfolger! Aktual Unendlich = „unendlich viel“: Es gibt im Endlichen real existierende Grenzwerte, die nur durch potenziell Unendliches dargestellt werden können! Beweis durch Widerspruch - ODER Die rationale Erfassung des Irrationalen Beispielsweise gibt Aristoteles in seinem Werk „Metaphysik“ einen Widerspruchsbeweis für die Irrationalität der Wurzelzahl 2! a 2 ; a und b seien teilerfremd! b b 2 a 2 b2 a2 a 2 und somit a ist gerade! a 2 p a 2 p 2 2 b2 4 p2 2 b2 2 p2 b 2 und somit b ist gerade! a und b könnennicht teilerfremdsein! Vollständige Induktion - ODER Rastlos wandern, Schritt für Schritt • Induktion heißt: Der Schluss vom Speziellen auf´s Allgemeine! Die mathematische Induktion ist fehlerfrei, weil sie vollständig ist! • Beweis der berühmten Bernoulli´schen Ungleichung: 1 x n 1 nx für alle n 2 und x 1 Induktionsverankerung : n 2 : 1 x 2 1 2 x x 2 1 2 x da x 2 0 Induktionsschritt: n : n 1 : 1 x n1 1 x n 1 x 1 nx 1 x 1 x nx nx2 1 1 n x nx2 1 1 n x Induktionsschluss : da n N , ist die Aussage für alle natürlichen Zahlenbewiesen! Der Begriff der mathematischen Stetigkeit - ODER - Kurven mit Knicken und Löchern Eine Funktion y=f(x) nennt man im Punkt x=a ihres Definitionsbereiches stetig, wenn zu einer beliebig kleinen Zahl >0 eine Zahl () existiert, so dass der Grenzwert gilt: lim f ( x) f (a) mit : lim x a ( ) 0 0 Ist diese Bedingung nicht erfüllt, nennt man die Kurve an der Stelle x=a unstetig! Fraktale Kurven: • Koch´sche Schneeflockenkurve: Eine unendlich lange Kurve schließt einen endlichen Flächeninhalt ein! • Mandelbrot-Menge: Unendliche Anwendung der komplexen Rekursion: pc(z)=z2+c Detail-Fraktale aus Mandelbrot-Sets (Bernoit Mandelbrot, Institut für Praktische Mathematik, Harward University, 1984) Die unmögliche Geometrie der Bewegung - ODER Das Unendliche in der Analyse der Kinematik • G. W. Leibniz und I. Newton begründen um das Jahr 1685 die Infinitesimalrechnung und mit der ANALYSIS somit die mathematische Physik! df ( x) f ( x x) f ( x) f ( x) lim x dx dx x Das Leibnitz´sche Problem der Struktur des Kontinuums und das Unteilbare der Bewegung • Die partielle Ableitung einer Größe c(r,t) nach der Zeit: c(r , t ) t fester Beobachtun gspunkt r f(t) • Die totale Ableitung einer Größe c(r,t) nach der Zeit: dc (r , t ) c(r , t ) r (t ) grad c(r , t ) dt t t • Die substanzielle Ableitung einer Größe c(r,t) nach der Zeit: c(r , t ) c(r , t ) v fließ(r , t ) grad c(r , t ) t t Die Homogenität der Dimension - ODER Wie wird aus lauter dünnen Stäben eine Fläche? S A, B B f ( x)dx x A • Einschachtelung für den Flächeninhalt S: n 1 x i 0 i 1 n 1 xi f ( xi ) S xo , xn xi 1 xi f ( xi 1 ) i 0 • Einschnürung der Intervallbreite x zu einem dünnen Stab: lim x dx lim ( xi 1 xi ) ; x dx x dx f xi f xi 1 ; n 1 xn i 0 x0 5. Unendlichkeiten im täglichen Leben B. Brecht: „Wo es kein Geheimnis gibt, gibt es keine Wahrheit“ • Im täglichen Leben gibt es weder unendlich kleine noch unendlich große Ereignisse oder Vorkommnisse! • Mikro- und optoelektronische Bauelemente: 10-9 m • der elementarsten Materieteilchen (Quarks): 10-18 m • Blick an den Rand des Universums (Quasare): 1026 m • Alter des reellen Universums: 1017 s • Sparguthaben der Deutschen: 1010 EUR • Gleitkomma-Rechenoperationen eines Rechnerclusters (Wettervorhersage): 1015 FLOP/s • Kindersterblichkeit auf der Welt: 5.107 1/a Aktual-Unendliches im täglichen Leben - ODER Die Zahl der Zahlen: die Euler´sche Zahl e Wie vermehrt sich unser Geld nach n Jahren? Einfach durch Liegenlassen! Arten der Verzinsung 1. Einfache Zinsrechnung Arithmetische Verzinsung 2. Zinseszins-Rechnung Geometrische Verzinsung p T K n K 0 1 n K n K0 1 p T 100% 100% 3. Stetige Zinsrechnung Exponentielle Verzinsung n K n K 0 e p = Prozentsatz K0=Anfangskapital T=1Jahr Kn=Kapital nach n Jahren n=Anzahl der Jahre pT 100% n Methode des unendlich feinen Grenzüberganges 1. Jährliche Verzinsung : p Zinssatz/Jahr ; K 0 Kapital ; T 1Jahr p T K 1 K 0 1 100 % p T K 1 K 0 1 2 100% 2. Halbjährli che Verzinsung : 1 p T 1 p T K 1 2 K 0 1 ; K 1 K 1 2 1 2 100% 2 100% 3. m - tel jährliche Verzinsung : 1 p T 1 p T K 1 m K 0 1 ; K K 1 2m 1m m 100% m 100% 4. Substitution : 1 p T p T : ; m n n m 100% 100% 5. Grenzübergang zur stetigen Verzinsung : p T K 1 K 0 1 m 100 % 1 K 1 K 0 1 n n 1 lim1 e 2,718281828 ... n n 2 K1 K 0 e pT 100% pT n 100% m Die kontinuierliche Verzinsung – Im Schlaf reich werden Kapital K(t) nach der beliebigen Zeitdauer t, w ennzum Zeitpunkt t 0 das Kapital K 0 eingezahlt w urde! K (t ) K 0 e p t 100% 100% K (t ) t ln p K0 6. Vorläufige Zusammenfassung (Die Symphonie des Themas Unendlichkeit) 1.In der Natur gibt es weder potenziell noch aktual beobachtbares unendlich Großes und unendlich Kleines! 2.Ohne den Unendlichkeitsbegriff in der Mathematik wäre diese schlechterdings nicht vorstellbar! 3.Unser bekanntes Universum stellt nur eine Möglichkeit aus 1010 möglichen Anfangsbedingungen dar! 35 10 m wird infolge der 4.Bei Durchmessern kleiner als Unschärferelation die Raum-Zeit-Struktur zerstört! 5.Punktförmige Elementarteilchen (z.B. Elektronen) werden letztlich aufgeweicht! 120
