Rotationsbewegung
Werbung
5. Rotationsbewegung 5.1 Translation - Rotation Kapitel 5 Rotation Kapitel 5 Rotation 5. Rotationsbewegung 5.1 Translation – Rotation Eine Rotationsbewegung liegt vor, wenn sich ein starrer Körper relativ zu einem Inertialsystem um einen festen Punkt dreht. Im Folgenden wollen wir eine feste Drehachse annehmen. Beispiele: Schaukel, Karussell, Drehstuhl, ... Kapitel 5 Rotation Der Drehwinkel (Winkelweg) Die Punkte des starren Körpers umlaufen die Achse umso schneller, je weiter sie von der Achse entfernt sind. b Drehwinkel: b r b 1m 1 1 rad Einheit: r 1 m Radiant ist dimensionslos. In der Physik wird fast ausschließlich mit dem Bogenmaß gearbeitet. Kapitel 5 Rotation Umrechnung Gradmaß Bogenmaß: Eine volle Umdrehung (360°) entspricht 2 π. r b 180 Wiederhole die Formel zur Berechnung der Bogenlänge! Daraus folgt: 180 φ ... Winkel im Bogenmaß α … Winkel im Gradmaß Gradmaß 0 30° 45° Bogenmaß 0 6 4 57° 1 Kapitel 5 Rotation 90° 2 180° 360° π 2π Führe Aufgabe A 2 S. 77 (Basiswissen 5RG) aus! Sekundenzeiger: dreht sich in 1/2 h 30 mal. s = 30*15*2π = 900 π mm Minutenzeiger: min = 14* π mm Stundenzeiger: h = 12 * π /12 = mm Kapitel 5 Rotation 5.2 Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Bahngeschwindigkeit 5.2.1 Winkelgeschwindigkeit durchlaufener Drehw inkel Winkelgeschwindigkeit = benötigte Zeit t Einheit: rad 1 s Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor in Richtung der Drehachse. Seine Richtung wird mit Hilfe der Korkenzieherregel (Rechtsschraubenregel) bestimmt. Winkelgeschwindigkeitsvektor Kapitel 5 Rotation Für eine gleichförmige Drehung gilt: ω = const. Für viele Anwendungen ist die Zeitdauer für eine Umdrehung wichtig. Periodendauer: T ( = Zeit für einen Umlauf) Umdrehungszahl: f ( = Frequenz) f 1 T 2 2 f T Kapitel 5 Rotation 5.2.2 Winkelbeschleunigung – ungleichförmige Rotation Wird eine Rotation schneller oder langsamer, ändert sich die Winkelgeschwindigkeit. Dies geben wir durch die Winkelbeschleunigung an. Änderungder Winke lg eschw indigkeit Zeit rad Einheit: 1 2 s Winkelbeschleunigung = t Die Winkelbeschleunigung ist ebenso ein Vektor in Richtung der Drehachse. Kapitel 5 Rotation 5.2.3 Die Bahngeschwindigkeit v s 2r t T r v r r v Die Geschwindigkeit ist ein Vektor. Vektorielles Produkt: v= xr Beispiel: Berechne die Bahngeschwindigkeit der Erde am Äquator! 2 m km 6 v 6,37 10 464 1672 86160 sKapitel 5 Rotation h Winkelgeschwindigkeitsvektor Bahngeschwindigkeitsvektor r v= xr Kapitel 5 Rotation v Kreuzprodukt Kapitel 5 Rotation Versuch: Schlag 1 2 r/2 r Mit der Faust wird auf das Brett geschlagen. Dadurch werden die beiden Körper in die Höhe geschleudert. Um wie viel springt K2 höher? Vermutung: wegen v = r → doppelt so hoch. Richtig: Wegen der kinetischen Energie 4 mal so hoch. Kapitel 5 Rotation 5.3 Die Zentripetalkraft Versuch: Eine Gruppe von SchülerInnen stellt sich im Kreis auf und versucht ein Spielzeugauto auf einer Kreisbahn zu halten. Was ist dazu notwendig? Die Zentripetalkraft ist jene Kraft, die nötig ist, einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten. Sie ist zum Zentrum hin gerichtet. Kapitel 5 Rotation Kapitel 5 Rotation Kapitel 5 Rotation Kapitel 5 Rotation Kapitel 5 Rotation Zentripetalbeschleunigung v s v s v t v r r v v v 2 az t r r v2 az 2 r r Kapitel 5 Rotation Die Zentripetalkraft ergibt sich somit zu: FZp m v2 m az m 2 r r Führe Rechenbeispiel A1 S. 81 (Basiswissen 5RG) aus! Ein Auto fährt durch eine Kurve, deren kleinster Krümmungsradius r = 15 m beträgt. Welche Zentripetalbeschleunigung muss auf das Auto wirken, wenn die Kurve mit 30, 60 und 120 km/h durchfahren werden soll? Welche Werte sind realistisch? Wird die Zentripetalbeschleunigung doppelt so groß, wenn die Geschwindigkeit auf das Doppelte erhöht wird? 1) 30 km/h v2 302 m az 2 4,63 2 r 3,6 15 s 2) 60 km/h 602 m az 2 18,52 2 3,6 15 s 3) 120 km/h 1202 m az 2 74,07 2 3,6 15 s Kapitel 5 Rotation Nicht realistisch Straßenverkehr Ob eine Kurve noch durchfahren werden kann, kommt auf die Straßenverhältnisse, auf die Enge der Kurve (Kurvenradius) und auf die Geschwindigkeit des Fahrzeuges an. Dabei ist zu beachten, dass die Zentripetalkraft mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wächst („Fahre v-denke v2")! Kapitel 5 Rotation Indirekt proportional zu r mv 2 F r v=const. Kapitel 5 Rotation Direkt proportional zu r F=m2r =const. Kapitel 5 Rotation Auto in der Kurve 2 mv F r F=m2r Kapitel 5 Rotation 5.4 Die Zentrifugalkraft Ein Körper wird auf einer sich gleichmäßig rotierenden Scheibe von einer Federwaage festgehalten. Die Federwaage zeigt eine Kraft an. Kapitel 5 Rotation Erklärung: 1. Beobachter im Inertialsystem (außerhalb der Scheibe): Der Körper ist relativ zur Scheibe in Ruhe, relativ zum Inertialsystem auf einer Kreisbahn mit der Geschwindigkeit v = ωr. Dazu ist die Zentripetalkraft FZp m 2 r notwendig. Sie wird von der Feder aufgebracht. 2. Beobachter auf der rotierenden Scheibe (kein Inertialsystem): Die Kugel ist trotz der wirkenden Federkraft in Ruhe. Es muss eine Kraft angreifen, die der Federkraft das Gleichgewicht hält. Sie ist nach außen gerichtet. m v2 FZ m 2 r r Kapitel 5 Rotation Die Zentripetalkraf t bewirkt die Kurvenfahrt. Zentripetalkraft ruhend Zentrifugalkraft Kapitel 5 Rotation Die Zentrifugalkraf t drängt mich nach außen. rotierend Die Zentrifugalkraft ist eine Trägheitskraft, die nur in rotierenden Systemen auftritt. Trägheitskräfte werden eingeführt, um die Newtonsche Mechanik auch auf Nicht-Inertialsysteme anwenden zu können. Beachte: Die Zentrifugalkraft ist nicht die Gegenkraft zur Zentripetralkraft. Beispiele zur Zentrifugalkraft: Zentrifuge, Wäscheschleuder Fliehkraftregeler (z. B. in Dampfmaschinen, Kupplungen, ...) Abplattung der Erde (Modell zeigen) Versuch: Prinzip der Flex (Winkelschleifer) Pappscheibe in Bohrmaschine einspannen und in schnelle Rotation versetzen. → Sie ist in der Lage Holz zu durchtrennen Erklärung: Durch die Zentrifugalkraft streben alle Teilchen nach außen. Dadurch erfährt die Scheibe eine große Verbiegungsfestigkeit. Kapitel 5 Rotation Fliehkraftregler Fliehkraftregler Kapitel 5 Rotation Geoid Geoid a=6378km, b=6357km Geoid mit überhöhten Abweichungen. Schwarze Linie = Greenwich-Meridian Kapitel 5 Rotation Fliehkraftversuche m12r1 = m22r2 m1r1 = m2r2 m1 : m2 = r2 : r1 Kapitel 5 Rotation Kugelschwebe Kapitel 5 Rotation Ende Übungsaufgaben zu Rotation Rotation: Zentrifugalkraft 1. In zukünftigen Weltraumstationen will man das irdische Schwerefeld simulieren. Aus diesem Grund plant man, den Stationen die Form von riesigen, hohlen Rädern zu geben. Die Wohnräume sollen sich am Außenrand des Rades (Radius r=100m ) befinden. a) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit muss das Rad umlaufen, um außen das irdische Schwerefeld (g=10ms-2) vorzutäuschen? /(0,3s-1) b) Wie lange benötigt die Station für eine Drehung? (21s) c) Welche Geschwindigkeit (aufgrund der Rotation) hat jeder Körper in den Wohnräumen? (32ms-1) 2. Beim Schispringen wird der Athlet (m=80kg) durch die Krümmung vor dem Schanzentisch in die Anlaufspur gedrückt. a) Berechne diese zusätzliche Kraft: Die Krümmung ist kreisförmig mit einem Krümmungsradius von 70m, die Geschwindigkeit des Springers ist 90km/h. (710N) b) Laut internationaler Regel darf die zusätzliche Beschleunigung durch Krümmungen die Erdbeschleunigung g nicht überschreiten. Wie groß muß der Krümmungsradius zwischen Aufsprung und Auslauf mindestens sein, um diese Forderung zu erfüllen, wenn der Springer eine Maximalgeschwindigkeit Kapitel 5 Rotation von 105km/h erreichen kann? (87m) 5.5 Rotationsenergie - Trägheitsmoment 2 mv EK 2 Die Translationsenergie beträgt: m3 Die Massenpunkte m1,m2,m3 ,m4 haben jeweils andere v1,v 2 ,v 3 , v 4 , ... m4 r4 r3 m1v1 m1r1 2 EK1 2 2 2 2 m2 v 2 m2r2 2 EK2 2 2 ………. 2 2 mn v n mnrn 2 EK n 2 2 2 r1 m1 Weil m2 1 2 ...n m1r1 2 m2r2 2 mnrn 2 ... 2 2 2 5 Kapitel 2 Erot r2 2 2 Rotation 2 Erot m1r1 2 m2r2 2 mnrn 2 ... 2 2 2 Erot 1 2 2 2 (m1r1 m2r2 ...mnrn ) 2 2 I...Trägheitsmoment 2 Erot I2 2 2 2 m3 m4 r4 r3 r1 m1 r2 m2 Rotationsenergie Das Trägheitsmoment hängt von der Masse des Körpers und vom Abstand der Masse vom Drehzentrum ab. Das Trägheitsmoment spielt bei der Rotationsbewegung dieselbe Rolle wie die Masse bei der Translationsbewegung. Das Trägheitsmoment ist für unregelmäßige Körper schwierig zu bestimmen. Für regelmäßige Körper gibt es Berechnungsformeln (mit Integralrechnung 8. Klasse) Kapitel 5 Rotation Vollzylinder (mit Drehachse = Körperachse): Kugel: 2mr 2 I 5 mr 2 I 2 Versuch: Ein Hohl- und ein Vollzylinder mit gleicher Masse rollen eine schiefe Ebene hinunter. Welcher der beiden ist zuerst unten? Ergebnis: Der Vollzylinder. mv 2 I2 Ansatz: mgh 2 2 mv 2 I2 mv 2 mr 22 2 mv Hohlzylinder: mgh 2 2 2 2 v r v gh mv 2 I2 mv 2 mr 22 3 2 Vollzylinder: mgh mv 2 2 2 2 2 v r 4 4gh v Im Hohlzylinder steckt Kapitel 5 Rotation 3 mehr Rotationsenergie. Beispiele, wo sich das Trägheitsmoment auswirkt: Schwungräder (bei Dampfmaschine, Automotoren, ...) Autoreifen auswuchten (Schwerpunkt muss in der Drehachse liegen, sonst Kapitel 5 Rotation unruhiger Lauf). 5.6 Der Drehimpuls Analog zum Impuls bei der Translation wollen wir den Drehimpuls festlegen. L Translation: Impuls p = mv Rotation: Drehimpuls: L I 5.6.1 Der Drehimpulssatz im abgeschlossenen System Translation: P m1v1 m2v2 ... mnvn = konstant Rotation: Gesamtdrehimpuls: L I11 I22 ... Inn kons tan t Im abgeschlossenen System bleibt der Drehimpuls erhalten. Anhand von Versuchen soll der Drehimpulssatz überprüft werden. Kapitel 5 Rotation Drehimpulsvektor L L = I · Kapitel 5 Rotation Drehschemelversuch Kapitel 5 Rotation Versuch 1: Versuchsperson sitzt auf Drehschemel und bekommt in beide Hände ein Gewicht. Die Versuchsperson wird bei gestreckten Armen (Gewichte außen) in Rotation versetzt. Nun zieht die VP die Gewichte ganz nahe an sich. → VP rotiert schneller. Mit gestreckten Armen: L I11 kons tan t Mit angezogenen Armen: L I22 kons tan t aus I2 I1 2 1 Man könnte auch mit Kräften argumentieren: Durch das Hereinziehen tritt eine zusätzliche Kraft auf (Kräftezerlegung), die eine Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit bewirkt. Kapitel 5 Rotation Versuch 2: Die Versuchsperson sitzt auf dem Drehschemel und hält ein Rad mit Drehachse parallel zur Schemelachse. Beide sind in Ruhe. Gesamtdrehimpuls: L0 Die VP beginnt das Rad von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn zu drehen. Die VP mit dem Schemel dreht sich im Uhrzeigersinn. L L1 L2 0 L1 L2 Bremst die VP das Rad wieder ab, kommen VP und Rad zur Ruhe. Kapitel 5 Rotation Versuch 3 Die Versuchsperson sitzt auf dem Drehschemel in Ruhe. Sie bekommt ein rotierendes Rad mit Drehachse parallel zur Schemelachse. Gesamtdrehimpuls: L LR Die VP mit dem Schemel dreht sich nicht. Nun bremst die Versuchsperson ab. L L1 0 L1 LR Rad abgebremst Kapitel 5 Rotation Zusatzversuch: VP bekommt wieder das rotierende Rad. Gesamtdrehimpuls: L LR Nun dreht die VP die Achse des rotierenden Rades um 180°. Kapitel 5 Rotation Gesamtdrehimpuls am Beginn: L LR Gesamtdrehimpuls nach Drehen der Radachse um 180°: L L1 LR gedreht L1 LR LR L1 2LR Kapitel 5 Rotation Die Versuchsperson dreht sich in die ursprüngliche Richtung des Rades (vor Drehen) aber mit höherer Geschwindigkeit als im Abbremsversuch. In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtdrehimpuls nach Betrag und Richtung konstant. Kapitel 5 Rotation Kapitel 5 Rotation 5.6.2 Das Drehmoment 5.6.2.1 Gleichgewichtsbedingung Der Hebel b1 r2 r1 b2 F 2 F 1 Arbeit: W1 = W2 r ┴ F Wir heben die Last F1. Dazu üben wir eine Kraft F2 längs b2 aus. F1 r1 F2 r2 F1 b1 = F2 b2 Hebelgesetz: F1 r1F2 r2 Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm Das Produkt r·F wird als Drehmoment bezeichnet. Gleichgewichtsbedingung am Hebel: Wenn die Summe der Drehmomente 0 ist. Kapitel 5 Rotation Wir haben r ┴ F vorausgesetzt. Es kommt aber auch auf den Winkel zwischen r und F an. Die Einheit des Drehmoments ist 1 Nm. M . r0 r F Definition des Drehmoments als Vektor: vektorielles M r F Produkt M r F sin( (r ,F)) M ist ein Vektor in Richtung der Drehachse (Rechtsschraubenregel) M = 0 wenn r║ F M = max wenn r ┴ F Ein Drehmoment bewirkt eine Beschleunigung oder Verzögerung einer Drehbewegung. Kapitel 5 Rotation 5.6.3 Bewegungsgleichung für die Rotation Analog zu F = m·a setzen wir: M = I·α wobei: M .... Drehmoment; I ... Trägheitsmoment; α... Winkelbeschleunigung Ursache für eine beschleunigte Rotationsbewegung ist ein Drehmoment. Kapitel 5 Rotation 5.6.4 Drehimpulssatz im nicht abgeschlossenen System Versuch: Rad einseitig aufhängen und in Rotation versetzen. Lneu M L L F Ergebnis: Durch das zusätzliche Drehmoment wird der Drehimpuls verändert. L M t L M t Kapitel 5 Rotation L M t Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem gesamten von außen angreifenden Drehmoment. Der Drehimpulsvektor sucht sich zum angreifenden Drehmoment gleichsinnig parallel einzustellen. Regel vom gleichsinnigen Parallelismus. Die Achse kippt also nicht, sondern weicht senkrecht dazu aus. Kapitel 5 Rotation Beispiel: Kurve mit dem Fahrrad fahren. M F M L1 r L L F L1 ΔL L Kippt man das Fahrrad nach links, entsteht ein Drehmoment, welches eine Richtungsänderung der Radachse nach links hervorruft. Kapitel 5 Rotation Präzession der Erde L FR Sonne FG M FZ Auf der sonnenzugewandten Seite ist die Gravitationskraft größer, auf der abgewandten Seite die Zentrifugalkraft. Die resultierenden Kräfte rufen ein Drehmoment hervor. Erde kippt nicht, sondern weicht senkrecht dazu aus. Präzessionskegel. Diese Präzession dauert 26000 Jahre und hat zur Folge, dass in 13000 Jahren die Wega im Norden steht und nicht mehr der Polarstern. Kapitel 5 Rotation 5.7 Analogien Translation-Rotation Erstelle eine Tabelle ähnlich wie im Buch auf Seite 93! Füge zusätzlich noch die Einheiten dazu! Translation Größe Formel Weg Rotation Einheit Größe m Winkelweg s v t Einheit rad s Geschwin digkeit Formel m s Winkelgeschwindigkeit Kapitel 5 Rotation t rad s Translation Rotation Zeit t Zeit t Weg s Drehwinkel Geschwindigkeit Beschleunigung s v t v a t Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Masse m Impuls p mv Drehimpuls Impulssatz n.abg.S. p F t Drehimpulss.n.abg.S. Kinetische Energie Ekin 21 m v 2 Bewegungsgleichung Trägheitsmoment Rotationsenergie Kapitel Bewegungsgleichung F m a 5 Rotation t t I=m·r2 L I L M t Erot 21 I 2 M I Ende Frisbee Kapitel 5 Rotation Kreiselachse einseitig aufgehängt L M schräggestellter Kreisel F=m·g Kapitel 5 Rotation
