Rotationsbewegung

5. Rotationsbewegung
5.1 Translation - Rotation
Kapitel 5 Rotation
Kapitel 5 Rotation
5. Rotationsbewegung
5.1 Translation – Rotation
Eine Rotationsbewegung liegt vor, wenn sich ein starrer
Körper relativ zu einem Inertialsystem um einen festen
Punkt dreht.
Im Folgenden wollen wir eine feste Drehachse annehmen.
Beispiele: Schaukel, Karussell, Drehstuhl, ...
Kapitel 5 Rotation
Der Drehwinkel (Winkelweg)
Die Punkte des starren Körpers
umlaufen die Achse umso
schneller, je weiter sie von der
Achse entfernt sind.
b

Drehwinkel:

b
r
b  1m
 1  1 rad
Einheit:     
r
1
m
 
Radiant ist dimensionslos.
In der Physik wird fast ausschließlich mit dem Bogenmaß gearbeitet.
Kapitel 5 Rotation
Umrechnung Gradmaß Bogenmaß:
Eine volle Umdrehung (360°) entspricht 2 π.
r 
b
180
Wiederhole die Formel zur Berechnung der Bogenlänge!
Daraus folgt:


180
φ ... Winkel im Bogenmaß
α … Winkel im Gradmaß
Gradmaß
0
30°
45°
Bogenmaß
0

6

4
57°
1
Kapitel 5 Rotation
90°

2
180°
360°
π
2π
Führe Aufgabe A 2 S. 77 (Basiswissen 5RG) aus!
Sekundenzeiger: dreht sich in 1/2 h 30 mal. s = 30*15*2π = 900 π mm
Minutenzeiger: min = 14* π mm
Stundenzeiger: h = 12 * π /12 = mm
Kapitel 5 Rotation
5.2 Winkelgeschwindigkeit,
Winkelbeschleunigung, Bahngeschwindigkeit
5.2.1 Winkelgeschwindigkeit
durchlaufener Drehw inkel
Winkelgeschwindigkeit =
benötigte Zeit


t
Einheit:

rad
1
s
Die Winkelgeschwindigkeit ist ein
Vektor in Richtung der Drehachse.
Seine Richtung wird mit Hilfe der
Korkenzieherregel
(Rechtsschraubenregel) bestimmt.
Winkelgeschwindigkeitsvektor
Kapitel 5 Rotation
Für eine gleichförmige Drehung gilt: ω = const.
Für viele Anwendungen ist die Zeitdauer für eine Umdrehung
wichtig.
Periodendauer: T ( = Zeit für einen Umlauf)
Umdrehungszahl: f ( = Frequenz)
f
1
T

2
 2 f
T
Kapitel 5 Rotation
5.2.2 Winkelbeschleunigung – ungleichförmige Rotation
Wird eine Rotation schneller oder langsamer, ändert sich die
Winkelgeschwindigkeit.
Dies geben wir durch die Winkelbeschleunigung an.
Änderungder Winke lg eschw indigkeit
Zeit
rad
Einheit:   1 2
s
Winkelbeschleunigung =


t
Die Winkelbeschleunigung ist ebenso ein Vektor in Richtung der
Drehachse.
Kapitel 5 Rotation
5.2.3 Die Bahngeschwindigkeit

v
s 2r


t
T
 r
v  r
r
v
Die Geschwindigkeit ist
ein Vektor.
Vektorielles Produkt:
v= xr
Beispiel: Berechne die Bahngeschwindigkeit der Erde am Äquator!
2
m
km
6
v
 6,37  10  464  1672
86160
sKapitel 5 Rotation
h
Winkelgeschwindigkeitsvektor
Bahngeschwindigkeitsvektor


r
v= xr
Kapitel 5 Rotation
v
Kreuzprodukt
Kapitel 5 Rotation
Versuch:
Schlag
1
2
r/2
r
Mit der Faust wird auf das Brett geschlagen. Dadurch werden die
beiden Körper in die Höhe geschleudert.
Um wie viel springt K2 höher?
Vermutung: wegen v = r
→ doppelt so hoch.
Richtig: Wegen der kinetischen Energie 4 mal so hoch.
Kapitel 5 Rotation
5.3 Die Zentripetalkraft
Versuch: Eine Gruppe von SchülerInnen stellt sich im Kreis auf und
versucht ein Spielzeugauto auf einer Kreisbahn zu halten.
Was ist dazu notwendig?
Die Zentripetalkraft ist jene Kraft, die nötig ist, einen Körper
auf einer Kreisbahn zu halten.
Sie ist zum Zentrum hin gerichtet.
Kapitel 5 Rotation
Kapitel 5 Rotation
Kapitel 5 Rotation
Kapitel 5 Rotation
Kapitel 5 Rotation
Zentripetalbeschleunigung
v

s

v s v  t


v
r
r
v
v v 2

 az
t
r
r
v2
az 
 2  r
r
Kapitel 5 Rotation
Die Zentripetalkraft ergibt sich somit zu:
FZp
m  v2
 m  az 
 m  2  r
r
Führe Rechenbeispiel A1 S. 81 (Basiswissen 5RG) aus!
Ein Auto fährt durch eine Kurve, deren kleinster Krümmungsradius r = 15 m beträgt.
Welche Zentripetalbeschleunigung muss auf das Auto wirken, wenn die Kurve mit 30,
60 und 120 km/h durchfahren werden soll? Welche Werte sind realistisch? Wird die
Zentripetalbeschleunigung doppelt so groß, wenn die Geschwindigkeit auf das
Doppelte erhöht wird?
1) 30 km/h
v2
302
m
az   2
 4,63 2
r 3,6  15
s
2) 60 km/h
602
m
az  2
 18,52 2
3,6  15
s
3) 120 km/h
1202
m
az  2
 74,07 2
3,6  15
s
Kapitel 5 Rotation
Nicht realistisch
Straßenverkehr
Ob eine Kurve noch durchfahren werden kann, kommt
auf die Straßenverhältnisse, auf die Enge der Kurve
(Kurvenradius) und auf die Geschwindigkeit des
Fahrzeuges an. Dabei ist zu beachten, dass die
Zentripetalkraft mit dem Quadrat der Geschwindigkeit
wächst („Fahre v-denke v2")!
Kapitel 5 Rotation
Indirekt proportional zu r
mv 2
F
r
v=const.
Kapitel 5 Rotation
Direkt proportional zu r
F=m2r
=const.
Kapitel 5 Rotation
Auto in der Kurve
2
mv
F
r
F=m2r
Kapitel 5 Rotation
5.4 Die Zentrifugalkraft
Ein Körper wird auf
einer sich gleichmäßig
rotierenden Scheibe von
einer Federwaage
festgehalten. Die
Federwaage zeigt eine
Kraft an.
Kapitel 5 Rotation
Erklärung:
1. Beobachter im Inertialsystem (außerhalb der Scheibe):
Der Körper ist relativ zur Scheibe in Ruhe, relativ zum Inertialsystem
auf einer Kreisbahn mit der Geschwindigkeit v = ωr. Dazu ist die
Zentripetalkraft FZp m  2  r notwendig. Sie wird von der Feder
aufgebracht.
2. Beobachter auf der rotierenden Scheibe (kein Inertialsystem):
Die Kugel ist trotz der wirkenden Federkraft in Ruhe. Es muss eine
Kraft angreifen, die der Federkraft das Gleichgewicht hält. Sie ist nach
außen gerichtet.
m  v2
FZ 
 m  2  r
r
Kapitel 5 Rotation
Die
Zentripetalkraf
t bewirkt die
Kurvenfahrt.
Zentripetalkraft
ruhend
Zentrifugalkraft
Kapitel 5 Rotation
Die
Zentrifugalkraf
t drängt mich
nach außen.
rotierend
Die Zentrifugalkraft ist eine Trägheitskraft, die nur in rotierenden
Systemen auftritt.
Trägheitskräfte werden eingeführt, um die Newtonsche Mechanik
auch auf Nicht-Inertialsysteme anwenden zu können.
Beachte: Die Zentrifugalkraft ist nicht die Gegenkraft zur
Zentripetralkraft.
Beispiele zur Zentrifugalkraft:
Zentrifuge, Wäscheschleuder
Fliehkraftregeler (z. B. in Dampfmaschinen, Kupplungen, ...)
Abplattung der Erde (Modell zeigen)
Versuch: Prinzip der Flex (Winkelschleifer)
Pappscheibe in Bohrmaschine einspannen und in schnelle Rotation
versetzen. → Sie ist in der Lage Holz zu durchtrennen
Erklärung: Durch die Zentrifugalkraft streben alle Teilchen nach außen.
Dadurch erfährt die Scheibe eine große Verbiegungsfestigkeit.
Kapitel 5 Rotation
Fliehkraftregler
Fliehkraftregler
Kapitel 5 Rotation
Geoid
Geoid
a=6378km, b=6357km
Geoid mit überhöhten Abweichungen.
Schwarze Linie = Greenwich-Meridian
Kapitel 5 Rotation
Fliehkraftversuche
m12r1 = m22r2
m1r1 = m2r2
m1 : m2 = r2 : r1
Kapitel 5 Rotation
Kugelschwebe
Kapitel 5 Rotation
Ende
Übungsaufgaben zu Rotation
Rotation: Zentrifugalkraft
1. In zukünftigen Weltraumstationen will man das irdische Schwerefeld
simulieren. Aus diesem Grund plant man, den Stationen die Form von
riesigen, hohlen Rädern zu geben. Die Wohnräume sollen sich am
Außenrand des Rades (Radius r=100m ) befinden.
a) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit muss das Rad umlaufen, um außen
das irdische Schwerefeld (g=10ms-2) vorzutäuschen? /(0,3s-1)
b) Wie lange benötigt die Station für eine Drehung? (21s)
c) Welche Geschwindigkeit (aufgrund der Rotation) hat jeder Körper in den
Wohnräumen? (32ms-1)
2. Beim Schispringen wird der Athlet (m=80kg) durch die Krümmung vor dem
Schanzentisch in die Anlaufspur gedrückt.
a) Berechne diese zusätzliche Kraft: Die Krümmung ist kreisförmig mit einem
Krümmungsradius von 70m, die Geschwindigkeit des Springers ist 90km/h.
(710N)
b) Laut internationaler Regel darf die zusätzliche Beschleunigung durch
Krümmungen die Erdbeschleunigung g nicht überschreiten. Wie groß muß
der Krümmungsradius zwischen Aufsprung und Auslauf mindestens sein, um
diese Forderung zu erfüllen, wenn
der
Springer eine Maximalgeschwindigkeit
Kapitel
5 Rotation
von 105km/h erreichen kann? (87m)
5.5 Rotationsenergie - Trägheitsmoment
2
mv
EK 
2
Die Translationsenergie beträgt:
m3
Die Massenpunkte m1,m2,m3 ,m4
haben jeweils andere v1,v 2 ,v 3 , v 4 , ...
m4 r4 r3
m1v1 m1r1 2
EK1 

2
2
2
2
m2 v 2 m2r2 2
EK2 

2
2
……….
2
2
mn v n mnrn 2
EK n 

2
2
2
r1
m1
Weil
m2
1 2 ...n  
m1r1 2 m2r2 2
mnrn 2


...
2
2
2 5
Kapitel
2
Erot
r2
2
2
Rotation
2
Erot
m1r1 2 m2r2 2
mnrn 2


...
2
2
2
Erot
1
2
2
2
 (m1r1 m2r2 ...mnrn )  2


2 
I...Trägheitsmoment
2
Erot
I2

2
2
2
m3
m4 r4 r3
r1
m1
r2
m2
Rotationsenergie
Das Trägheitsmoment hängt von der Masse des Körpers und vom
Abstand der Masse vom Drehzentrum ab.
Das Trägheitsmoment spielt bei der Rotationsbewegung dieselbe Rolle
wie die Masse bei der Translationsbewegung.
Das Trägheitsmoment ist für unregelmäßige Körper schwierig zu
bestimmen.
Für regelmäßige Körper gibt es Berechnungsformeln (mit
Integralrechnung 8. Klasse)
Kapitel 5 Rotation
Vollzylinder (mit Drehachse = Körperachse):
Kugel:
2mr 2
I
5
mr 2
I
2
Versuch:
Ein Hohl- und ein Vollzylinder mit gleicher Masse rollen eine schiefe
Ebene hinunter. Welcher der beiden ist zuerst unten?
Ergebnis: Der Vollzylinder.
mv 2 I2

Ansatz: mgh 
2
2
mv 2 I2 mv 2 mr 22
2




mv
Hohlzylinder: mgh 

2
2
2
2 v r
v  gh
mv 2 I2 mv 2 mr 22
3
2
Vollzylinder: mgh 




mv

2
2
2
2  2 v r 4
4gh
v
Im Hohlzylinder steckt
Kapitel 5 Rotation
3
mehr Rotationsenergie.
Beispiele, wo sich das Trägheitsmoment auswirkt:
Schwungräder (bei Dampfmaschine,
Automotoren, ...)
Autoreifen auswuchten (Schwerpunkt muss in der Drehachse liegen, sonst
Kapitel 5 Rotation
unruhiger Lauf).
5.6 Der Drehimpuls
Analog zum Impuls bei der Translation wollen wir den
Drehimpuls festlegen.
L

Translation: Impuls p = mv
Rotation: Drehimpuls:


L  I 
5.6.1 Der Drehimpulssatz im abgeschlossenen System
Translation:




P  m1v1  m2v2  ...  mnvn = konstant




Rotation: Gesamtdrehimpuls: L  I11  I22  ...  Inn kons tan t
Im abgeschlossenen System bleibt der Drehimpuls erhalten.
Anhand von Versuchen soll der Drehimpulssatz überprüft werden.
Kapitel 5 Rotation
Drehimpulsvektor
L

L = I ·
Kapitel 5 Rotation
Drehschemelversuch
Kapitel 5 Rotation
Versuch 1:
Versuchsperson sitzt auf Drehschemel und bekommt in
beide Hände ein Gewicht. Die Versuchsperson wird bei
gestreckten Armen (Gewichte außen) in Rotation versetzt.
Nun zieht die VP die Gewichte ganz nahe an sich.
→ VP rotiert schneller.


Mit gestreckten Armen: L  I11 kons tan t


Mit angezogenen Armen: L  I22 kons tan t
aus


I2  I1  2  1
Man könnte auch mit Kräften argumentieren: Durch das Hereinziehen tritt
eine zusätzliche Kraft auf (Kräftezerlegung), die eine Erhöhung der
Winkelgeschwindigkeit bewirkt.
Kapitel 5 Rotation
Versuch 2:
Die Versuchsperson sitzt auf dem
Drehschemel und hält ein Rad mit
Drehachse parallel zur Schemelachse.
Beide sind in Ruhe.
Gesamtdrehimpuls:

L0
Die VP beginnt das Rad von oben gesehen
gegen den Uhrzeigersinn zu drehen.
 Die VP mit dem Schemel dreht sich im
Uhrzeigersinn.
  
L  L1  L2  0



L1  L2
Bremst die VP das Rad wieder ab, kommen VP
und Rad zur Ruhe.
Kapitel 5 Rotation
Versuch 3
Die Versuchsperson sitzt auf dem
Drehschemel in Ruhe. Sie bekommt ein
rotierendes Rad mit Drehachse parallel
zur Schemelachse.
Gesamtdrehimpuls:
 
L  LR
 Die VP mit dem Schemel dreht sich nicht.
Nun bremst die Versuchsperson ab.
 
L  L1 


0
L1  LR

Rad abgebremst
Kapitel 5 Rotation
Zusatzversuch: VP bekommt
  wieder das rotierende Rad.
Gesamtdrehimpuls: L  LR
Nun dreht die VP die Achse des rotierenden Rades um 180°.
Kapitel 5 Rotation
 
Gesamtdrehimpuls am Beginn: L  LR
Gesamtdrehimpuls nach
Drehen der Radachse
um 180°:
 

L  L1  LR

gedreht
 

L1  LR  LR


L1  2LR
Kapitel 5 Rotation
Die Versuchsperson dreht
sich in die ursprüngliche
Richtung des Rades (vor
Drehen) aber mit höherer
Geschwindigkeit als im
Abbremsversuch.
In einem abgeschlossenen System bleibt der
Gesamtdrehimpuls nach Betrag und Richtung konstant.
Kapitel 5 Rotation
Kapitel 5 Rotation
5.6.2 Das Drehmoment
5.6.2.1 Gleichgewichtsbedingung
Der Hebel
b1
r2
r1
b2
F
2
F
1
Arbeit: W1 = W2

r

┴ F
Wir heben die Last F1.
Dazu üben wir eine Kraft
F2 längs b2 aus.
F1  r1  F2  r2
F1 b1 = F2 b2
Hebelgesetz:
F1  r1F2  r2
Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm
Das Produkt r·F wird als Drehmoment bezeichnet.
Gleichgewichtsbedingung am Hebel: Wenn die Summe der
Drehmomente 0 ist.
Kapitel 5 Rotation

Wir haben r ┴ F vorausgesetzt.
Es kommt aber auch auf den Winkel zwischen r und F an.
Die Einheit des Drehmoments ist 1 Nm.
M
. r0
r
F
Definition des Drehmoments
als Vektor:
   vektorielles
M  r  F Produkt





M  r  F sin( (r ,F))
M ist ein Vektor in Richtung der
Drehachse (Rechtsschraubenregel)
M = 0 wenn r║ F
M = max wenn r ┴ F
Ein Drehmoment bewirkt eine Beschleunigung oder Verzögerung einer
Drehbewegung.
Kapitel 5 Rotation
5.6.3 Bewegungsgleichung für die Rotation
Analog zu F = m·a
setzen wir:
M = I·α
wobei: M .... Drehmoment;
I ... Trägheitsmoment;
α... Winkelbeschleunigung
Ursache für eine beschleunigte Rotationsbewegung ist ein Drehmoment.
Kapitel 5 Rotation
5.6.4 Drehimpulssatz im nicht abgeschlossenen System
Versuch: Rad einseitig aufhängen und in Rotation versetzen.
Lneu
M
L
L
F
Ergebnis: Durch das zusätzliche Drehmoment wird der Drehimpuls
verändert.

 L
M
t
 
L  M  t
Kapitel 5 Rotation

L 
M
t
Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem gesamten
von außen angreifenden Drehmoment.
Der Drehimpulsvektor sucht sich zum angreifenden Drehmoment
gleichsinnig parallel einzustellen.
Regel vom gleichsinnigen Parallelismus.
Die Achse kippt also nicht, sondern weicht senkrecht dazu aus.
Kapitel 5 Rotation
Beispiel: Kurve mit dem Fahrrad fahren.
M
F
M
L1
r
L
L
F
L1
ΔL
L
Kippt man das Fahrrad nach links,
entsteht ein Drehmoment, welches
eine Richtungsänderung der
Radachse nach links hervorruft.
Kapitel 5 Rotation
Präzession der Erde
L
FR
Sonne
FG
M
FZ
Auf der sonnenzugewandten Seite ist die
Gravitationskraft größer, auf
der abgewandten Seite die
Zentrifugalkraft.
Die resultierenden Kräfte
rufen ein Drehmoment
hervor. Erde kippt nicht,
sondern weicht senkrecht
dazu aus.
Präzessionskegel.
Diese Präzession dauert 26000 Jahre und hat zur Folge, dass in 13000
Jahren die Wega im Norden steht und nicht mehr der Polarstern.
Kapitel 5 Rotation
5.7 Analogien Translation-Rotation
Erstelle eine Tabelle ähnlich wie im Buch auf Seite 93!
Füge zusätzlich noch die Einheiten dazu!
Translation
Größe
Formel
Weg
Rotation
Einheit
Größe
m
Winkelweg
s
v
t
Einheit
rad

s
Geschwin
digkeit
Formel
m
s
Winkelgeschwindigkeit
Kapitel 5 Rotation


t
rad
s
Translation
Rotation
Zeit
t
Zeit
t
Weg

s
Drehwinkel


Geschwindigkeit
Beschleunigung

 s
v
t

 v
a
t
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Masse
m
Impuls


p  mv
Drehimpuls
Impulssatz n.abg.S.
 
p  F  t
Drehimpulss.n.abg.S.
Kinetische Energie
Ekin  21 m  v 2
Bewegungsgleichung
Trägheitsmoment
Rotationsenergie


Kapitel
Bewegungsgleichung
F  m  a 5 Rotation

 

t

 

t
I=m·r2


L  I 
 
L  M  t
Erot  21 I  2


M  I 
Ende
Frisbee
Kapitel 5 Rotation
Kreiselachse
einseitig aufgehängt
L
M
schräggestellter Kreisel
F=m·g
Kapitel 5 Rotation