Modul - Individuell fördern
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Teiler und Vielfache Lehrplanbezug HS, 5.1 HS, 5.2 RS, 5.7 GYM, 5.3.1 Natürliche Zahlen Grundrechenarten Teilbarkeit natürlicher Zahlen Multiplikation und Division natürlicher Zahlen/ Faktorisieren von Zahlen/ Primfaktoren Lernziele Die Schüler sollen Teilermengen und Vielfachenmengen kennenlernen. Die Schüler lernen Teilbarkeitsregeln kennen. Die Schüler ermitteln größte gemeinsame Teiler (ggT) und kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) mit Hilfe von Teilermengen und Vielfachenmengen. Die Schüler sollen den Begriff der Primzahl kennenlernen. Durchführung / zusätzliche Übungsformen Unterrichtseinheit 1: Teiler - Kopfrechenaufgaben - Impuls: Unter den Geschwistern Anna, Maxi und Sophie gibt es immer wieder Streit beim Aufteilen einer Tafel Schokolade. Stummer Impuls, vgl. Tafelbild 1 Bild von einer Tafel Schokolade, bestehend aus 6x4 Rippen 1 Bild von einer Tafel Schokolade, bestehend aus 4x4 Rippen Bild von einer Tafel Schokolade, bestehend aus 5x3 Rippen © ISB-Projekt „Individuell fördern“ Die Schüler verteilen die 3 Tafeln Schokolade an die drei Kinder. Die 1. und die 3. Tafel Schokolade lassen sich ohne Rest aufteilen (Begründung: 24 und 15 sind ohne Rest durch 3 teilbar.) Impulsfrage: Könnte die Schokolade auch gerecht aufgeteilt werden, wenn die Mutter mit isst. Die Schüler antworten und begründen ihre Antwort. - Zielangabe: Wir wollen heute Zahlen finden, durch die man eine andere Zahl ohne Rest teilen kann. Die Lehrerin deutet auf die erste Tafel Schokolade (6x4 Rippen), vgl. Tafelbild 1. Wie viele Personen könnten sich diese Tafel teilen, ohne dass ein Rest bleibt? Die Schüler suchen alle Teiler von 24. Dabei gehen sie alle Zahlen der Reihe nach durch und probieren aus. Die Schüler verfahren analog mit der 2. und 3. Tafel Schokolade (4x4 Rippen bzw. 5x3 Rippen), vgl. Tafelbild 1. Die Lehrerin hält die Ergebnisse an der Tafel fest, vgl. Tafelbild 1. Die Lehrerin führt den Begriff des „Teilers“ ein. Die Lehrerin stellt die mathematische Schreibweisen vor: Teiler von …/ … ist Teiler von …/ … ist nicht Teiler von …, vgl. Tafelbild 1 - Übung / Anwendung: mündlich: Die Lehrerin nennt eine Zahl im Zahlenraum bis 20. Die Schüler nennen die Teiler zu dieser Zahl. 2 © ISB-Projekt „Individuell fördern“ Arbeitsblatt 1 (mit Erklärung zum Begriff Primzahlen) Unterrichtseinheit 2: Vielfache - Anknüpfung / Wiederholung: Zahlen an der Tafel, vgl. Tafelbild 2: Die Schüler ergänzen: „… ist Teiler von …“ bzw. „… ist nicht Teiler von …“ - Die Lehrerin veranschaulicht eine Beispielaufgabe mit Pfeilen und bildet auch die Umkehrung, vgl. Tafelbild 2: 3 ist Teiler von 12. 12 ist Vielfaches von 3. 3 12 12 : 3 = 4 12 = 4 · 3 Die Schüler bilden Umkehrung zu den weiteren Aufgaben an der Tafel: „… ist ein Vielfaches von …“ „… ist kein Vielfaches von …“ - Impuls: Zur Zahl 3 gibt es außer 12 noch weitere Vielfache. Die Schüler nennen die Vielfachen von 3. Die Lehrerin notiert die Ergebnisse an der Tafel und führt die Schreibweise der Vielfachenmenge ein, vgl. Tafelbild 2. 3 © ISB-Projekt „Individuell fördern“ - Übung / Anwendung: mündlich: Die Lehrerin nennt Zahlen, die Schüler nennen Vielfache dazu. Arbeitsblatt 2 Unterrichtseinheit 3: Teilbarkeitsregeln - Anknüpfung / Wiederholung: Die Lehrerin nennt Zahlen, die Schüler nennen Vielfache und bzw. oder Teiler. - Impulsaufgabe, vgl. Tafelbild 3: Ist 3 ein Teiler von 3429? Die Schüler dividieren schriftlich und stellen fest: 3 ist ein Teiler von 3429. Impuls: Ich kenne eine Möglichkeit, wie wir noch schneller herausfinden, ob 3 ein Teiler von 3429 ist. Anheften der Sprechblase, vgl. Tafelbild 3 3 +4 +2 +9 = 18 18 : 3 = 6 3 ist Teiler von 3429. Die Schüler lesen und versuchen zu erläutern: Ich bilde die Quersumme der gegebenen Zahl. Ich überprüfe, ob die Quersumme ohne Rest durch 3 teilbar ist. Wenn ja, dann ist auch die Zahl durch 3 teilbar. 4 © ISB-Projekt „Individuell fördern“ Die Schüler probieren an weiteren Zahlen die Vorgehensweise aus und überprüfen durch schriftliche Division. - Impuls: Es gibt nicht nur für die 3 eine Teilbarkeitsregel, sondern auch für andere Teiler. Die Schüler finden eventuell selbst die Teilbarkeitsregeln für die Teiler 2 und 5 (möglicher Hilfsimpuls der Lehrerin: Die letzte Ziffer der Zahl ist wichtig). Die Teilbarkeitsregeln für die Teiler 9 und 4 werden gemeinsam erarbeitet (Teiler 9: Denk an die Teilbarkeitsregel für den Teiler 3/ Teiler 4: Hinweis auf die letzten beiden Ziffern). Zusammenfassung der Teilbarkeitsregeln: Die Schüler erhalten das Arbeitsblatt 3 und wiederholen die Regeln nochmals anhand des Arbeitsblattes. - Übung / Anwendung: mündlich: Die Lehrerin oder ein Schüler nennt eine Zahl, die Schüler äußern sich zur Teilbarkeit dieser Zahl. Arbeitsblatt 3, Aufgaben 1 – 5 Abschlussaufgabe: Ein Händler verkauft auf dem Markt jeden Artikel für 3 €. Als er am Schluss seine Einnahmen zählt und feststellt, dass es 466 € sind, ist er überrascht. Warum kontrolliert er die Kasse noch einmal? Übernommen aus: Realschule Bayern „Mathematik 5“, ISBN. 978-3-14-121755-1,Westermann Verlag 2010, Braunschweig, S.151 5 © ISB-Projekt „Individuell fördern“ Unterrichtseinheit 4: Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) - Impuls: Sachsituation Schiffe, vgl. Tafelbild 4 Zwei Schiffe liegen im Hafen. Vom ersten Schiff ist bekannt, dass es alle 6 Wochen den Hafen anläuft. Das zweite Schiff kommt alle 8 Wochen in den Hafen zurück. Sie verlassen am gleichen Tag den Hafen. Nach wie vielen Wochen treffen sie sich wieder? Die Schüler tragen ein, wann die Schiffe jeweils wieder zurück in den Hafen kommen, vgl. Tafelbild 3. Die Schüler stellen fest, dass sich die Schiffe erst nach 24 Wochen zum ersten Mal im Hafen treffen. Begründung: 24 ist die kleinste Zahl, die beide Schiffe gemeinsam haben 24 wird farblich markiert. - stummer Impuls: Die Lehrerin deutet auf die Zahlen des ersten bzw. zweiten Schiffes: 6, 12, 18, 24 8, 16, 24, 32 Die Schüler erkennen, dass es sich hier jeweils um die entsprechenden Vielfachenmengen handelt. Die Lehrerin notiert die Vielfachenmengen von 6 und 8. Die Schüler ergänzen die Vielfachenmengen um weitere Zahlen, vgl. Tafelbild 4. Impuls: Die Vielfachenmengen haben gemeinsame Faktoren. Die gemeinsamen Faktoren werden farblich gekennzeichnet. Einführung des Begriffs: kleinstes gemeinsames Vielfaches sowie der mathematischen Schreibweise kgV 6 © ISB-Projekt „Individuell fördern“ - Übung / Anwendung: Arbeitsblatt 4 Unterrichtseinheit 5: Der größte gemeinsame Teiler (ggT) - Anknüpfung / Wiederholung: Rechne im Kopf. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von: 2 und 5 2 und 6 3 und 5 4 und 5 - Impuls: zwei unvollständige Teilermengen T16 und T24 Die Schüler ergänzen, vgl. Tafelbild 5. - Impuls: Auch diese beiden Mengen haben gemeinsame Elemente. Die Schüler kennzeichnen die gemeinsamen Elemente farbig, vgl. Tafelbild 5. Frage: Wie heißt der größte gemeinsame Teiler? Der größte gemeinsame Teiler wird unterstrichen. Einführung der Schreibweise ggT = größter gemeinsamer Teiler, vgl. Tafelbild 5 7 © ISB-Projekt „Individuell fördern“ Gemeinsame Erarbeitung weiterer Beispiele, vgl. Tafelbild 5 - Übung / Anwendung: Arbeitsblatt 5 Voraussetzung für diese Lerneinheit ist, dass die Schüler das kleine Einmaleins relativ sicher beherrschen. Dabei sollten auch die Einmaleinsreihen von 11 bis 20 immer wieder geübt und wiederholt werden. Es hat sich in der Praxis gezeigt, dass es sinnvoll ist Teiler und Vielfache nacheinander und nicht miteinander einzuführen, da es sonst immer wieder zu Verwechslungen kommen kann. Auf die Unterscheidung „echter und unechter Teiler“ wird verzichtet. Der Begriff der Primzahlen kann angesprochen werden. Das Zerlegen von Zahlen in Primfaktoren ist allerdings komplex und bedarf intensiver Übung, so dass es sich im Allgemeinen sehr schwierig gestaltet, diesen Lerninhalt in den Mathematikunterricht der 5. Jahrgangsstufe Mittelschule aufzunehmen. Materialien /Medien Tafelbilder: TA 1, TA 2, TA 3, TA 4, TA 5 Bilder für die Tafel (3 Tafeln Schokolade, Sprechblase) Arbeitsblätter: AB 1, AB2, AB3, AB4, AB5 Masteraufgaben Lehrbuch Realschule Bayern „Mathematik 5“, ISBN. 978-3-14-121755-1, Westermann Verlag 2010, Braunschweig, S. 147 -154 Schule: Ansprechpartner: 8 Mittelschule Kemnath Sigrid Reger-Scharf, [email protected] © ISB-Projekt „Individuell fördern“
