04 Berührkreise und Eckkreise

4.
ECK-
BERÜHRKREISE
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Abb1a: Die Tangenten der drei Tangentialkreise schneiden sich in der
Mitte Mi des einbeschriebenen Kreises.
Der Feuerbachkreis schneidet sich mit ihm im Feuerbachpunkt.
Er ist kollinear zur Inkreismitte und dem Feuerbachkreiszentrum (=Mitte von HMu)
(liegen auf einer Geraden).
Der violette Seitenmittenkreis ist kaum vom Inkreis zu unterscheiden
Der In(nen)Kreis und die drei Ankreise (Ex- oder Außenkreise) tangieren
alle drei Dreiecksseiten in jeweils drei Berührungspunkten. Und alle vier
Kreise berühren den Feuerbachkreis, wobei der Berührpunkt mit dem
Inkreis Feuerbachpunkt1 genannt wird! Die Berührpunkte des NeunPunkte-Kreises mit den Ankreisen sind die äußeren Feuerbachpunkte, die
das Feuerbachdreieck bilden (grün in der Titel-Abbildung)!
Die Berührungspunkte mit dem Inkreis Ba, Bb und Bc bilden das InkreisBerührungsdreieck, auch KONTAKT-Dreieck genannt, das wir uns näher
anschauen wollen.
Der Mittelpunkt des INKREISES Mi liegt immer im Innern, aber nie auf der
Eulergeraden, es sei denn, dass es zwei gleiche Beine hat, sprich
gleichschenklig ist. Beim Rechtwinkligen ist sein Durchmesser 2r=a+b-c
die um die Hypotenuse verminderte Kathetensumme.
Beispiel: In der Abb.2 ist das 3+4-5 = 2 und somit r=1.
Die Entfernungssumme vom Feuerbachpunkt zu den zwei Mitten Ma und Mb ist gleich
der Entfernung zur dritten Seitenmitte Mc!
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Abb1b: Der Feuerbachkreis berüht alle Ankreise des Dreiecks in den drei
roten Punkten, deren Verbindungen mit den Ecken von ABC sich in einem
Punkt X12 schneiden, hier unweit vom Feuerbachzentrum MF liegend.
Die Inkreismitte Mi bildet mit den Kathetenberührungspunkten und der
rechtwinkligen Ecke ein r²-Quadrat (Abb. 2)! Die Kreise mit den Ecken als
Mitten, die durch die beiden naheliegenden Berührpunkte gehen, sind die
drei Tangentialkreise. Allgemein ergeben sich ihre Durchmesser 2x,
2y und 2z aus der um die dritte Seite verminderte Summe zweier Seiten.
Beispielsweise haben die Tangentialkreise des spitzwinkligen StandardDreiecks der Abb. 1a die Durchmesser
13+14-15=2x6,
13+15-13=2x7
15+14-13=2x8
xyz/(x+y+z) = r²
Beispiel Abb.3: 6x7x8/(6+7+8)=16=4² also ist der Inkreisradius r=4
noch einfacher: A = r (x+y+z) oder xyz=rA
Beispiel
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r=A/u=84/(6x7x8) =4
3
oder r=6x7x8/84=4
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Abb.2: Die Berühr- oder Kontaktpunkte des einbeschriebenen Kreises
seien Ba, Bb und Bc, wie sie auf den Seiten a, b und c liegen,
die wiederum den Ecken A, B und C gegenüber liegen.
Die Ecktranversalen durch Mi sind Symmetrieachsen (3 Thaleskreise)
Abb. 3: Die Innenwinkel des KONTAKT-Dreiecks
(Inkreis-Berührpunktdreieck) sind
das arithmetische Mittel der zwei benachbarten Dreieckswinkel!
Wir wollen nun die Fläche des Kontaktdreiecks BaBbBc berechnen.
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CBaMiBb bildet einen der drei rechtwinkligen Drachen des ∆ABC. Die
beiden Tangentenabschnitte CBa und CBb sind gleichlang (= x), denn die
Zentrale CMi ist eine der unendlich vielen Symmetrieachsen des Inkreises
(Thaleskreise der Abb.2).
Die Innenwinkel sind das arithmetische Mittel zweier Dreieckswinkel, also
½α+½β , ½α+½γ und ½γ+½β
Wir betrachten nun im (hellblauen) Dreieck ∆MiBaBb der Abb.1
(das ähnlich zum ∆CMiBa=∆CMiBb ist, d.h. der Winkel CBaMi bei Ba
ist ½γ) die halbe Strecke BaBb
Abb.4: Beispiel: r=2, Σ cos ½αi = 2,519738 BcBb=4xcos11,31 = 3.92
ergibt den Kontaktdreiecksumfang 10,07895
Σ sin αi = 2,30769 und wegen ½r²=2
ergibt sich das Doppelte für die Fläche: 4,61538
Die Entfernungssumme des Feuerbachpunktes
zu zwei Seitenmitten ist gleich der Entfernung zur dritten.
Es ist cos ½γ = ½BaBb : r
und
r sin ½γ ist die Höhe des ∆MiBaBb
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c
Berührpunkt∆
= BaBb= 2r cos ½γ
= 6,945945
BcBb = 2 r cos ½α
= 7,1554176
BaBc= 2 r cos ½β
= 6,65640
Der Umfang des Berührpunktedreiecks ist also ≈ 20,76
uKontakt∆ = 2r(cos ½α + cos ½β + cos ½γ) = 2r Σ cos ½ αi
2
Normalerweise ist ja u = 8R ∏ cos ½αi und r = 4R ∏ sin ½αi
Beispielsweise ist in der Abb. 4 das
Produkt der Kosinen halber Winkel ein Viertel der Sinensumme 0,5769225
mal 8R=52 wird etwa 14,99997 und u = 30.
Das Produkt der Sinen halber Winkel ist
sin 11,39 x sin 33,7 x sin45 ≈ 0,07748
multipliziert mit 2c = 26 liefert r ≈ 2,01 und 2r = 5+12-13=4 also r=2
Eine alternative Seitenberechnung wäre mit dem Tangentenabschnitt
x = CBb =½(a+b-c) und
sin ½γ = ½BaBb : x
möglich
∆BaBb= 2x sin ½γ = (a+b-c) sin ½γ
(13+15-14) sin ½γ = 14 x sin 29,745 = 6,9459
BcBb = (b+c-a)sin ½α = 16 sin 26,565=7,1554 ..,
BcBa = 12 sin 33,69 =6,6564
vgl. Abb.2
Σ≈20,75
Somit ergibt sich als Umfang des Kontaktdreiecks
2
Die Kosinen-Summe = 1+4∏ sin ½αi liegt immer zwischen 1 und 1,5 und
die Kosinensumme der halben Winkel zwischen 2 und 2,6
Die Sinen-Summe=4∏ cos ½αi liegt wie
die Sinensumme der doppelten Winkel =4∏ sin αi zwischen 0 und 2,6
und die Sinensumme der halben Winkel immer zwischen 0 und 1,5
Das Kosinenprodukt liegt zwischen -1 und 1/8
und das Sinenprodukt der halben Winkel zwischen 0 und 1/8
GeometrieFormelsammlung.pdf von Birgit Vera Schmidt vom 9. Juni 2009
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uKontakt∆ = 2(x sin ½α +y sin ½β +z sin½γ)
Flächeninhalt:
Nehmen wir den Sinus statt dem Cosinus, dann ist
r sin ½γ ist die Höhe des ∆MiBaBb
und somit wird die Fläche
½ 2r cos ½γ mal r sin ½γ
= ½ r² sinγ
(mit dem Additionstheorem sin 2α=2 sinα cosα)
Der Flächeninhalt des Berührpunktdreiecks ∆BaBbBc ist also
AKontakt = ½r² Σ sin αi
Beispiel: Σ sin αi = 2.5846 mit r=4 ergibt sich als das 8-fache 20,67682
Nun ist ja die Sinensumme Σ sin αi = u/ (2R). Daher wird
AKontakt = ½r² Σ sin αi = ½ur²/ (2R) = ur²/(4R) =
= A r/(2R) = 2A²r/(abc)
Weil aber Σ sin αi = 4∏ cos ½αi ist folgt
AKontakt = ½r² Σ sin αi = 2r²∏ cos ½αi
Mit
∏ cos ½αi
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= u/(8R)
(= ½uA/(abc) ) folgt weiter
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A
Kontakt
= Ar/(2R) = 2A r/(4R) = 2A
∏ sin ½αi
= ur xyz/(abc)
bzw.
.
A
Kontakt∆
=2A xyz/abc
denn es ist ja
∏ sin ½αi
= xyz/(abc) = r/(4R)
Beispiel der Abb.4:
∏ sin ½αi
= 0,07692
∏ cos ½αi
= 0,5769
für
A
Kontakt
= ur²/(4R)
A
Kontakt∆
= 2x30x0,07692 = 4,6152
2x2²x 0,5769 = 4,615387
u=30, r=2 und
2R=c=13
120/26 = 60/13 = 4,6153846154
Beispiel für AKontakt∆ = A r/(2R) der Abb.3
A Kontakt∆= 84x4/(65/4)= 20,67692
Es gibt noch drei andere Kreise, die alle Seiten des Dreiecks berühren,
allerdings außerhalb, weshalb sie auch Ankreise (Exkreise) heißen.
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Abb.5a: Die Ankreiszentren bilden als Antifußdreieck das Ankreisdreieck,
dessen Höhenfußdreieck also das Ausgangsdreieck ABC ist:
Die Verbindung einer Ankreismitte mit der Gegenecke des
Ausgangsdreiecks ABC steht senkrecht
auf der Seite der beiden anderen Ankreiszentren.
Das Ankreisdreieck ist nicht ähnlich zum Ausgangsdreieck,
wie man es hier meinen könnte
(90° Winkel von PAn_B der Seite b und α>90° zu An_AAn_C)
Der Umkreis des Ankreisdreiecks (violett fett gepunktet)
nennt man auch den Bevankreis
und dessen Zentrum den Bevanpunkt B.
Wie die Inkreisberührpunkte ein Dreieck bilden, so hat auch jeder Ankreis
drei Ankreiskontaktdreiecke. Auch die auf den Seiten liegenden AnkreisBerührpunkte
bilden
ein
Ankreise-Berührungsdreieck.
Es
hat
denselben Flächeninhalt wie das Kontaktdreieck (Abb.6). Während
sich
die
Eckenverbindungen
des
Dreiecks
ABC
mit
den
Inkreisberührpunkten sich im Gergonnepunkt schneiden, treffen sich
die Gegeneckverbindungen mit den entsprechenden Ankreisberührpunkten
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im Nagel-Punkt. Diese Nagel-Ecklinien zu den Ankreisberührpunkten
halbieren als einzige Ecktransen den Dreiecks-Umfang3!
Abb.5b: Die Mitte des Ankreisdreiecksumkreises B (BEVAN) liegt auf der
Eulergeraden, mitten zwischen dem Nagelpunkt und dem an der
Umkreismitte gespiegelten Höhenschnittpunkt (Longchampspunkt)
Für die Entfernungen von B zu den Dreiecksecken bzw. zu den
Ankreisberührungspunkten gilt:
AB²+ BB_AnA² = BB ²+ BB_AnB² = CB²+ BB_AnC²
Beispiel der Abb.5b
7,35272²+5,57²=9.05884²+2,25² = 8,31039²+4,25²
≈ 87,125
Die Mittentransen mit derselben Eigenschaft der Umfangshalbierung sind Parallelen und
gehen durch den Spiekerpunkt = Inkreismitte des Mittendreiecks.-Peter Baptist, >>Die neuere Entwicklung der Dreiecksgeomatrie<<, BI 1992.
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Abb.6: Berührpunkte der Ankreise liegen
bezüglich der Seitenmitten symmetrisch zu denen der Inkreise:
Spiegelt man Ba, Bb und Bc, an den Seitenmitten, dann hat man
die am Dreiecksrand liegenden Berührpunkte der Ankreise (violett)
Die beiden Dreiecke der Berührpunkte haben dieselbe Fläche
Die Umkreismitte Mu ist die Mitte der
Strecke Bevanpunkt und Inkreiszentrum Mi
Die Ankreisradien sind ganz einfach zu berechnen, indem man den
Flächeninhalt A durch den entsprechenden Tangentenabschnitt teilt:
r i = A / xi
wobei die Tangentenabschnitte xi = ½(ak + al -ai) die halbe Differenzen
der Seitensummen und der dritten Seiten sind.
Beispiel Abb.6: Die Tangentenabschnitte sind 6, 7 und 8
A=84
rc= 84/6 = 14
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ra= 84/7= 12 und
11
ra= 84/8 = 10,5
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Der Kehrwert der Ankreisradien ist der Kehrwert des Inkreisradius r
1/ra + 1/rb+ 1/rb = Σ 1/ri = 1/r
Beispiel Abb.6:
1/14 +1/12+1/10,5 = ¼
Die Summe der Ankreisradien ist
ra + rb+ rb = Σ ri = 4R+r
Beispiel Abb.6:
( oder r+Σ ri =R )
Summe der Ankreisradien ist 36,5 = 4x 65/8 + 4
(Für rechtwinklige ist Σr + r =u
i
zB. 3, 4 und 5 Dreieck:
ra rb rb = ∏ ri = A³/(xyz)= A²/r
6+3+2 +1 = 12)
( oder r∏ ri= ra rb rcr = A²)
14x12x10,5 = 1764 = 84²/4
Σ r ir k = r a r b
+
ra rc
+
rb rc = (½u)²=
= ¼u² = ¼(a+b+c)² = (A/r)²
Beispiel Abb.6:
Σ ri rk = 14x12 + 14x10,5 + 12x10,5 = 441= (84/4)² =21²
Ferner ist (bekanntlich)
A= √ (ra rb rcr )= ∏ ri /√(ra rb + ra rc + rb rc)
ra + rb + rc+ 3r = 4R(cos α + cos β +cos γ)= 4(R+r)
ra + rb + rc = 4R(1+ ∏sin½αi) = 2R(cos² ½α + cos² ½β +cos² ½γ)
woraus sich ergibt
r = 4R(sin ½α+ sin ½β +sin ½γ) = ½u ∏tan½αi
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Die
Verbindungen
der
INKREISBERÜHRPUNKTE
mit
den
gegenüberliegenden Dreiecksecken schneiden sich im Gergonne-Punkt
und diejenigen der Ankreisberührpunkte begegnen sich im Nagelpunkt,
die isogonal Konjugierte (Transformierte) des Gergonnepunktes.
Gergonne-Punkt, Schwerpunkt und Mittenpunkt sind kollinear.
Und auf der Nagelgeraden liegen die Inkreismitte Mi sowie die Mitte des
Inkreises des Mittendreiecks (=Spieker).
Beide Geraden treffen sich im Schwerpunkt S.
Abb.7: Gergonne und Nagelpunkt sind isogonal konjugiert
!
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Abb.8: Der Symmedianpunkt
als isogonal Konjugierte des Schwerpunkts S
Die Symmediane entstehen durch Spiegelung der
seitenhalbierenden Mediane an den Winkelhalbierenden.
Abb.9:
´Umkehrung von Ceva´ Spiegelt man die Ecktransversalen durch P
an den jeweiligen (gepunkteten) Winkelhalbierenden,
so schneiden sich diese im isogonal Konjugierten P
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Abb.10a: Verallgemeinerte Euler-Geraden
Abb.10b: Die 1 zu 2 Verhältnisse auf den drei EULER-Geraden vergrößert
HS = 2SMu
1. EULER-Gerade
SN= 2SMi und MiS = 2SSpieker
GS = 2SM
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2.EULER
3.Euler
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Die Gerade durch das Inkreiszentrum Mi und den Schwerpunkt S wir
auch als zweite Eulergerade bezeichnet. Sie geht auch durch den
Nagelpunkt (wird daher auch Nagelgerade genannt) und das Zentrum
des
Inkreises
Nagelpunkt
ist
des
Mittendreiecks,
genau
so
weit
genannt
vom
Spiekerpunkt.
Der
Mitttendreiecksinkreiszentrum
(Spiekerpunkt) entfernt wie auf der anderen Seite das Inkreiszentrum Mi.
Der
Schwerpunkt
(das
Ähnlichkeitszentrum
von
Dreieck
und
Mittendreieck) teilt die Strecke vom Nagelpunkt N zum Inkreiszentrum Mi
im Verhältnis
2:1:
SN= 2SMi
Und auch die Stecke Mi zum Spiekerpunkt Sp wird durch den Schwerpunkt
im Verhältnis 2:1 geteilt:
MiS = 2SSp
Die Gerade durch den Gergonnepunkt G und Schwerpunkt S wird auch
die dritte Eulergerade genannt (Abb.7). Auf ihr liegt der Mittenpunkt,
dem Schnitt der Verbindungen der Ankreiszentren mit den Seitenmitten.
Gergonne- und Mittenpunkt werden durch S im Verhältnis 2:1 geteilt!
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Abb10c: Man könnte auch die Gerade durch den Feuerbachpunkt und S
wegen SQ = 2FS
als eine weitere verallgemeinerte Eulergerade,
(als die 4. Eulergerade) bezeichnen
Der Schnittpunkt des Inkreises mit dem Feuerbachkreis ist F. Verbindet
man F mit S und verlängert diametral gelangt man zum Punkt Anti_F auf
dem Feuerbachkreis. Eine weitere Verlängerung bis zum Schnitt mit dem
Umkreis liefert den Punkt Q. Er ist zugleich Schnitt der Geraden durch den
Nagelpunkt und das Umkreiszentrum Mu mit dem Umkreis. FS : SQ = 1:2
(Abb. 10c)
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Es lassen sich noch mehr verallgemeinerte Eulergeraden bilden. Man
braucht
nur
ein
(sog.
Nagelsches)
Punktepaar, das durch den
Schwerpunkt S im Verhältnis 2:1 geteilt wird.
Abb.11: Die 1 zu 2 Verhältnisse auf den drei EULER-Geraden
kann man mit dem 2. Strahlensatz anhand von Parallelen verdeutlichen.
Da der Schwerpunt S die Strecke vom INKREISMITTE Mi und dem
Spiekerpunkt Sp im Verhältnis 2 : 1 teilt, ebenso wie sich die Strecke
HMu von der Ecke C=H bis zur Hypotenusenmitte Mc = Mu durch S zwei zu
eins teilt, kann man HG durch eine Strecke verbinden und hat dann eine
parallele Strecke MuSp parallel zu MittenpunktSp
Durch GergonneMi ,
MittenpunktSp.
und Nagelpunkt Am_Mittenpunkt_gespiegelterGergonne,
lassen sich sogar drei Parallelen ziehen (Abb.11 gestrichelt)!
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Abb.12a: Der Punkt des Apollonius als Schnitt der drei Verbindungen
der Berührpunkte mit dem Hüllkreis = Kreis des Apollonius und den
gegenüberliegenden Ausgangsdreiecksecken. Sein Radius r = ¼r+u²/(16r)
Abb12b: BaBbBc ist das Dreieck des Apollonius
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Zum Schluss wollen wir uns noch drei Eckkreisen befassen, die durch
jeweils zwei von drei willkürlich auf den Seiten liegenden Punkte gehen
und durch die einschließende Ecken. Sie heißen Miquelsche Kreise und
schneiden sich immer in genau einem Punkt, dem Miquelpunkt.
Die Strecken vom Miquelpunkt zu den drei Seiten bilden denselben Winkel
(in der Abb.13 ≈56,31º)!
Abb.13: Drei beliebige Punkte auf den Seiten D, E und F
haben hier die Entfernungen 1, 2 und 3 von den Ecken C bzw. B.
Kreise durch je zwei von ihnen und die einschließende Ecke
schneiden sich im Miquelpunkt. Er bildet mit D, E und F zu den
Dreieckseiten immer denselben Winkel, hier etwa 56,3°
Die
Mittelpunkte
dieser
drei
Miquelkreise
bilden
ein
zum
Ausgangsdreieck ∆ABC ähnliches Dreieck.
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Abb.14: Der Miquelpunkt kann auch außerhalb liegen!
Das Dreieck der Kreiszentren ist aber stets
ähnlich zum stumpfwinkligen Ausgangsdreieck!
Verwenden wir als die willkürlichen Punkte die Fußpunkte bezüglich P,
dann ist P der Miquelpunkt. Für die drei Miquelkreise der Seitenmitten ist
der Miquelpunkt das Umkreiszentrum Mu. Sind die drei willkürlichen
Punkte die Höhenfußpunkte, dann ist H der Miquelpunkt. Das Dreieck
den Kreiszentren ist stets zum Ausgangsdreieck ABC ähnlich !
( Abb.15 mit dem Streckungsfaktor k= ½,
also kongruent zum Mittendreieck).
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Abb.15: Die Zentren der drei Miquelkreise durch die Seitenmitten
bilden ein zum Mittendreieck kongruentes (deckungsgleiches) Dreieck
(rot). Es ist auch kongruent (und von Hypotenuse weg verschoben) zu
dem Dreieck der Mitten der Verbindungen des Inkreiszentrums Mi
mit den Dreiecksecken. Mi ist übrigens der Nagelpunkt des pinken
Mittendreiecks
(auch
Spiekerdreieck
genannt;),
dessen
pink
gestrichelter Inkreis als Spiekerkreis bezeichnet wird.
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Abb.16: Die Miquelkreise durch die 3 Höhenfußpunkte
schneiden sich im Höhenschnitt H, durch die Seitenmitten in Mu.
Die Zentren dieser Miquelkreise liefern kongruente Dreiecke
zum Mittendreieck bzw. Höhenfußpunktdreieck
Der Streckungsfaktor ist in hier genau k = ½
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Abb.17a: All diese Dreiecke haben
genau ein Viertel der Fläche des Ausgangsdreiecks ABC!
Interessanterweise kann man die Mitte der Stecken von H oder Mu zu den
drei
Dreiecksecken
verwenden,
um
ein
zu
den
Miquelkreiszentren
kongruentes Dreieck zu erhalten (pink und violett gestrichelt)! Übrigens
haben alle Dreiecke mit zwei Seitenmitten und einem Höhenfußpunkt auch
genau diesen Flächeninhalt (hellblauen Dreiecke in Abb.17),
sind aber
nicht kongruent zu den Zentrendreiecken, sondern gehen durch Scherung
aus dem Mittendreieck hervor.
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Abb.17b: 10 Stellen Genauigkeit
Abb.17c: Alle diese inneren Dreiecke haben genau die gleiche Fläche
wie das Mittendreieck (¼ A
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∆ABC)
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Abb.18a: Der Streckungsfaktor k ist genau ½
Abb.18b: Wir lassen einen Teilpunkt (hier E)
gegen eine Ecke wandern (diese ist hier A).
Der Streckungsfaktor k ist nicht mehr ½,
und die Fläche nicht länger ¼
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Abb.19a: Der Teilpunkt F wird zur Ecke B und verschwindet
Abb.19b: Es gibt nur noch einen Teilpunkt auf einer Seite (E auf c)
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Abb.20a: Mit den Zentren zweier Zweieckkreise kann man
(zusammen mit der Ecke, durch die die beiden 2-Eckkreise gehen)
auch ein ähnliches Dreieck erzeugen.
Abb.20b: Drei ähnliche Eckdreiecke mit durch zwei Ecken gehenden
Kreisen beim kleinsten Standarddreieck
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Abb.20c: Stumpfwinkliges Ausgangsdreieck
Zwei der ähnlichen Dreiecke liegen völlig außerhalb
des blauen Ausgangsdreiecks
Die drei Szenarien sind olivgrün durchgezogen
dunkelgrün punktgestrichelt
und giftgrün (oder hellgrün) gestrichelt.
(Der typische allen drei Standard Dreiecken gemeinsamer Winkel
ist übrigens 53,13°!
An der Ecke B wurde hier durch Geogebra auseinander gezogen.)
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:
Abb.20d: Wie müssen die drei Teilpunkte D, E und f auf den drei Seiten
liegen, dass sie ein viertes einschließen?
Und bei welchen Dreiecken könnte dieses 4.
auch noch rechtwinklig oder gleichseitig
oder vielleicht sogar auch noch ähnlich sein?
(hier liegt F leider nicht mehr auf einer Seite
und das grüne Dreieck ist nicht mehr rechtwinklig!)
Es gibt noch andere namentliche Kreise, die durch zwei Ecken
gehen, etwa die drei noch durch die Umkreismitte Mu gehenden drei
Kosnitakreise (Abb.23).
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Oder
die
drei
an
den
Seiten
gespiegelten
Umkreise,
die
als
Johnsonkreise bekannt sind. Sie schneiden sich in H und haben
denselben Radius R wie der Umkreis des Dreiecks ABC. Die Zentren der
drei Johnsonkreise bilden ein kongruentes Dreieck (Abb.22 pink
gestrichelt), das auch nach Roger Arthur Johnson (1890-1954) benannt
wird.
Abb.22: Die Mitten der drei durch H und je zwei Dreiecksecken gehenden
Kreise bilden das sog. Johnson-Dreieck., dessen Höhen die
Mittelsenkrechten des Ausgangsdreiecks sind u. u.
Beide
Dreiecke
haben
denselben
Feuerbachkreis,
denn
das
Feuerbachkreiszentrum auf der Eulergeraden in der Mitte von HMu ist auch
das Zentrum des punktgespiegelten Johnsondreiecks.
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Auch der Umkreis des Johnsondreiecks hat den Radius R mit dem
Zentrum in H und der dazu konzentrische Hüllkreis der drei Johnsonkreise
hat gerade den doppelten Radius 2R (Abb.24) .
Abb.23: Der Kosnitapunkt ist der Schnitt der Verbindungen der
Kreismitten der drei Kreise, die durch Mu und zwei Ecken gehen,
mit der Gegenecke des Dreiecks.
Er liegt hier unweit vom Feuerbachzentrum = Johnsonpunkt.
Dieser JOHNSONPUNKT ist die Mitte von HMu
also eben der Feuerbachkreis-Mittelpunkt.
Die Verbindungen Dreieck-Ecke mit
entsprechender Johnsondreiecks-Ecke
werden durch ihn halbiert
(hier pink gezeichnet).
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Abb.24a: Johnsonkreise beim stumpfwinkligen Standard-Dreieck mit zum Umkreis
des Johnsondreiecks konzentrischen Hüllkreis mit doppeltem Radius 2R und als
Zentrum den außerhalb liegenden Höhenschnittpunkt H von ABC
Alle Kreise bis (auf den die pinken einhüllenden Kreis) haben denselben Radius wie der
violette Umkreis des Ausgangsdreiecks ABC
Auch der Umkreis des Johnsondreiecks hat den Radius R mit dem Zentrum
in H und der dazu konzentrische Hüllkreis der drei Johnsonkreise hat
gerade den doppelten Radius 2R
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Sind die Kreise nicht gleich groß, sind die ähnlichen Dreiecke auch nicht
gleich bzw. können nicht zum Ausgangsdreieck kongruent sein, wie die
nachfolgende Abbildung nochmals verdeutlichen soll, die - jeweils mit
einer Dreiecksecke zusammenhängend drei zum Ausgangsdreieck ähnliche
stumpfwinklige Dreiecke bietet,.
Abb.24b: Die jeweils durch zwei Dreieckecken gehenden beiden Kreise,
die beide noch durch einen gemeinsamen Punkt auf einer Seite gehen
(hier jeweils noch durch eine der Seitenmitten),
haben zwei Zentren,
die zusammen mit den beiden Zweieckkreisen gemeinen Ecke
ein zum Ausgangs-Standard-Dreieck 4, 13 und 15
ähnliches stumpfes Dreieck bilden
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