6.2 Ströme

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Vorlesung Experimentalphysik II am 13.4.1999
6.2 Ströme
6.2.1 Energie und Leistung bewegter Ladungen, Stromstärke
Zwei Punkte P1 und P2 liegen in einem elektrischen Feld E, die Spannung zwischen ihnen sei
U. Um eine Ladung q von P1 nach P2 zu bewegen, muß die Arbeit
W  q U
aufgebracht werden. Ist die Ladung mit einer Masse m verknüpft und frei beweglich, dann
wird sie durch die Kraft


F  qE
beschleunigt und hat schließlich in P2 die Geschwindigkeit v. Ruhte die Ladung beim Start in
P1, dann beträgt ihre kinetische Energie in P2
m
W  q U  v 2
2
P1
m, q


F  qE
(P1)
P2

E
U=(P2)- (P1)
(P2)
Abbildung 1 Überführung der Ladung q mit Masse m von P1 nach P2
Wird die Ladung in P2 abgebremst, dann wird diese Energie in Form von Wärme frei.
Die Leistung P erhält man als Arbeit pro Zeit:
P
W q.U q

 U  I U
t
t
t
2
Der Quotient Ladung pro Zeit ist die Stromstärke I:
Q
I
Q
t
Die Einheit der Stromstärke ist:
Ampere (A)
1 Ampere:= 1 Coulomb/ 1 Sekunde


Ist der Ladungsfluß nicht konstant, also Q  Q(t ) , dann variiert die
Stromstärke. Der Quotient wird dann durch das Differential ersetzt:
I (t ) 
t
Q
dQ
dt
t
Das Produkt Spannung mal Stromstärke ist die Leistung P:
P  I U
Deren Einheit ist:
Watt (W)
1 Watt := 1 Volt  1 A = 1 J/C  1 C/s=1 J/s
Das Produkt Leistung mal Zeit ist, wie in der Mechanik, die Arbeit, Energie:
W=Pt
Deren ist:
Joule (J)
Neben der SI Einheit gibt es als weitere, in der Elektrotechnik gebräuchliche gesetzliche
Einheit:
Kilowattstunde (kWh)
1 Kilowattstunde = 3,6 106 J = 3,6 MJ
Anschaulich: Mit 1 kWh Strom können 10 l Wasser um 86 C erwärmt werden. 10 l Wasser
mit Anfangstemperatur von 14 C können also mit 1kWh Strom, Preis etwa 0,30 DM, zum
Kochen gebracht werden (1kcal entspricht 4,1868kJ, 1 kWh=3,6MJ entspricht
3600/4,1868=859,84 kcal860 kcal).
3
Versuch 1 5 l Wasser werden auf einem Kocher im Betrieb mit 230V, 0,4 A (U*I=920 W) in
30 Minuten von 15 auf ca. 90° erwärmt
6.2.2 Ohmsches Gesetz
Bewegen sich die Ladungsträger nicht im Vakuum, sondern in einem Leiter, dann werden sie
durch Stöße mit anderen Teilchen wie Atomrümpfen und andere Ladungsträger gebremst. Es
wirkt auf sie eine Reibungskraft. Analog zur Stokesschen Reibung in der Mechanik stellt sich
bei Kräftegleichheit
Reibungskraft=Beschleunigende Kraft
eine konstante Geschwindigkeit ein.
Mechanische Größe
Elektrische Größe
Druck p
Spannung U

Elektrischer Strom I
Volumenstrom V
Strömungswiderstand R 
8   l
r4
Elektrischer Widerstand R 
Viskosität 
 l
 r2
Spezifischer Widerstand 
Tabelle 1 Analoge mechanische und elektrische Größen zum Widerstand (Rohr Länge l mit
Radius r).
Man beachte aber die Unterschiede: Im Rohr führt die laminare Strömung bei Haftung der
Flüssigkeitsschicht an der Wand und maximaler Geschwindigkeit in der Rohrachse zum
Hagen-Poiseuille Gesetz, das die Zunahme des Widerstands mit 1 / r 4 erklärt. Die Elektronen
im Draht bewegen sich dagegen überall im Leiter mit konstanter Geschwindigkeit, deshalb ist
der Widerstand umgekehrt proportional zur Fläche des Querschnitts.

Im Bild der Mechanik bewirkt der Druck die Beschleunigung und der Volumenstrom V mißt
den Massentransport. In der Elektrizitätslehre ist die beschleunigende Kraft q  E wegen
U=Ed
proportional zur Spannung, der Ladungstransport ist durch den Strom gegeben:
I
Q
t
4
Bei gegebener Spannung stellt sich ein konstanter Strom ein, der proportional zur Spannung
ist. Diese Beziehung heißt „Ohmsches Gesetz“:
U  R I
Die Proportionalitätskonstante R ist der elektrische Widerstand des Leiters:
U
R
I
Seine Einheit ist
1Volt
1Ohm 
 1
1Ampere
Bei Leitern mit konstantem Querschnitt A und der Länge l beschreibt man den Widerstand mit
dem spezifischen Widerstand :
l
R
A
Der spezifische Widerstand ist eine Materialkonstante, seine Einheit ist m
Der Kehrwert des Widerstands heiß Leitwert, seine Einheit ist
1
1Siemens 
 1S
1
Analog definiert man die Leitfähigkeit eines Materials als dessen spezifischen Leitwert:

Die Einheit dazu ist
1

1
.
m
Material
Silber
Kupfer
Aluminium
Eisen
Quecksilber
Konstantan
Porzellan
Hartgummi
Quarzglas
Bernstein
Spezifischer Widerstand in m
1,6 10-8
1,7 10-8
2,8 10-8
9,8 10-8
95,8 10-8
50 10-8
5 1012
2 1013
5 1016
>1016
Tabelle 2 Spezifische Widerstände einiger Metalle und Isolatoren bei 18C.
5
Die Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes setzt voraus:
 Homogene Feldstärke
 Konstante Ladungsträgerdichte
 Proportionalität von Reibungskraft und Geschwindigkeit
Es gibt auch Stromtransport, in denen nicht alle diese Bedingungen erfüllt sind, der also nicht
dem Ohmschen Gesetz genügt: In Gasentladungsröhren oder im Elektronen- oder Ionenstrahl
im Vakuum und bei Hochfrequenzströmen.
Art des
Ladungstransports
Feldverteilung
Leitung nach dem
Ohmschen Gesetz
Konstante Feldstärke
Gasentladung
Örtlich variable
Feldstärke
Vakuumröhren
Konstante Feldstärke
Hochfrequenzströme
Feldstärke im Innern
der Leiter = 0
Dichte der
Ladungsträger
Eigenschaft der
Bewegung
Konstante
Ladungsträgerdichte
Alle Elektronen
bewegen sich mit
gleicher, konstanter
Geschwindigkeit,
durch Reibung
gebremst
Örtlich variable
Dichte
Die Elektronen
Durch Glühemission bewegen sich
einstellbar
reibungsfrei, also
beschleunigt
Ladungsträger nur
außen (Skineffekt)
Tabelle 3 Bedingungen für den Ladungstransport nach dem Ohmschen Gesetz und mit
Abweichungen davon
6.2.3 Joulesche Wärme
Bei Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes wird im Material die Arbeit
P  I U  R  I 2 
U2
R
verrichtet. Dadurch erwärmt sich der Leiter. Diese Wärmeleistung nennt man „Joulesche
Wärme“.
Versuch 2 Modell eines Hitzdrahtamperemeters
Der Draht verlängert sich bei Erwärmung. Im Prinzip kann man durch Messen der
Verlängerung die Stromstärke bestimmen, denn es gilt P = R I2 .
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Hitzdraht
Das Absenken des
Gewichts zeigt die
Verlängerung des
Drahtes
Stromquelle
Abbildung 2 Prinzip des Hitzdrahtamperemeters
6.2.4 Spannungsabfall, Spannungsquellen, Innenwiderstände
6.2.4.1 Spannungsabfall und Spannungssteiler
Fließt ein Strom I durch einen Widerstand, so wird an den Enden des Widerstands die
Spannung
U  R I
gemessen, d. h., die Spannung U fällt über dem Widerstand ab.
U
R
I
Abbildung 3..Spannungsabfall U über dem Widerstand R
Wird die Spannung entlang eines Widerstandes mit konstantem Querschnitt A abgegriffen,
dann entspricht der Widerstand Rx über dem die Spannung Ux abfällt der Länge x über der
die Spannung abgegriffen wird. Man erhält so einen Spannungsteiler:
7
Ux
x
R
l
I
Abbildung 4.. Schema eines Spannungsteilers
Im Abstand x wird die Spannung
x
I
A
abgegriffen, über dem ganzen Widerstand liegt die Spannung
l
U  RI   I
A
Weil der Strom in allen Teilstücken derselbe ist ergibt die Division beider Gleichungen
Ux x

U
l
daraus folgt
x
Ux  U
l
Durch Wahl des Abgriffs x kann man im Spannungsteiler die Spannung von 0 bis U variieren.
U x  Rx  I  
Versuch 3 Linearer Spannungsabfall an einem Draht
Am Aufbau von 6.2.4.1 wird bei einer Versorgungsspannung von 2 V der lineare
Spannungsabfall gezeigt.
6.2.4.2 Spannungsquellen, Innenwiderstände
Eine Spannungsquelle zeigt zwischen den Polen Plus und Minus bei stetigem Stromfluß eine
Potentialdifferenz, im Unterschied zu statisch aufgeladenen Materialien, bei denen der
Stromfluß zur sofortigen Entladung führt. Um den stetigen Strom zu liefern, muß in der
Quelle ein Ladungstransport stattfinden. Solche Quellen und ihre Transportmechanismen
sind:
8
Spannungsquelle
Transportmechanismus
Van de Graaff-Generator
Mechanisch
Dynamo, Wechselstromgenerator
Elektromagnetisch
Batterie
Chemisch
Zellpotentiale
Biochemisch
Photovoltaisch
Lichtabsorption erzeugt
Raumladungen im Halbleiter
Tabelle 4 Spannungsquellen und Transportmechanismen
Ist die Quelle unbelastet, dann nennt man die an den Polen ("Klemmen") liegende Spannung
aus historischen Gründen "elektromotorische Kraft" (EMK) oder eingeprägte Spannung
UEMK. Wird ein Strom entnommen, dann sinkt die Klemmenspannung UK, weil die Quelle
Selbst einen inneren Widerstand Ri zeigt, d.h. der Stromtransport in der Quelle ist nicht
verlustfrei:
U K  U EMK  Ri  I
Als "Ersatzschaltung" kann man sich eine ideale Spannungsquelle denken, deren Spannung
vom Strom unabhängig ist, aber mit nachgeschaltetem Widerstand Ri.. Der Innenwiderstand
ist nicht direkt zugänglich oder beeinflußbar.
Ra
I
Ri
UEMK
UK
Abbildung 5 Klemmenspannung UK und Leerlaufspannung UEMK einer Spannungsquelle
9
Charakteristisch für eine Spannungsquelle ist ihre Leerlaufspannung UEMK und ihr Verhalten
bei maximalem Strom, dem Kurzschlußstrom.
Messung der Leerlaufspannung
Damit der innere Widerstand ohne Einfluß bleibt, muß die Messung von UEMK, stromlos
erfolgen. Man benützt dazu eine Kompensationsschaltung mit Hilfe des Spannungsteilers.
UEMK
Ri
I=0
x
R
l
I
U
Abbildung 6 Kompensationsschaltung zur Messung der Leerlaufspannung UEMK
Man schiebt den Abgriff auf R bis zur Stelle x, wo I=0 erreicht ist. Dann ist die zu messende
Spannungsquelle stromlos und es gilt
U EMK 
x
U
l
Versuch 4 Messung der Leerlaufspannung an einer 1,5 V Batterie
Mit Hilfe der Kompensationsschaltung (Abbildung oben) wird die Leerlaufspannung einer 1,5
V Batterie gemessen.
Messung des Innenwiderstands
Zur der Messung des Innenwiderstands wird der äußere Widerstand Ra so klein wie möglich
gewählt: Man mißt im „Kurzschluß“ den maximal möglichen Strom IKurz. Es gilt dann, weil
die Klemmenspannung Null ist:
U EMK  I Kurz  Ri
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Versuch 5 Messung des Innenwiderstands Ri einer Batterie und eines Akkumulator
Ri
4,5 V
Ri
12 V
U
I
Ra
Abbildung 7 Schaltbild zur Messung des Spannungsabfalls über einer Batterie und einem
Akkumulator.
Batterie 4,5 V
Akkumulator 12 V
Strom I [A]
0
1
U EMK =4,5 V
U K =3 V
U EMK =12 V
U K =11,5 V
Innenwiderstand R i
Tabelle 5 Spannungsabfall über einer Batterie und einem Akkumulator
1,5 
0,5 
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Der Innnenwiderstand ergibt sich aus der Messung von Leerlauf- und Klemmenspannung als
Funktion des Stroms oder des Außenwiderstands:
Formel
Anmerkung
Die Klemmenspannung UK fällt über dem
U k  Ra  I
Außenwiderstand Ra ab
Die Leerlaufspannung UEMK fällt über der
U EMK  ( Ra  Ri )  I
Summe von Innen- und Außenwiderstand ab.
Der Innenwiderstand ergibt sich nach
U
U K
Ri  EMK
Subtraktion beider Gleichungen als Funktion
I
des Stroms
Bei Elimination des Stroms folgt der
U

Ri  Ra   EMK  1
Innenwiderstand als Funktion des
 UK

Außenwiderstands
Tabelle 6 Berechnung des Innenwiderstands aus Messung der Leerlauf- und der
Klemmenspannung
Versuch 6 Messung von Spannung und Strom an einem Bleiakkumulator bei Änderung des
Plattenabstands.
I
a
R
i
Ri(a)
Abbildung 8 Bleiakkumulator mit variablem Plattenabstand
Bei Änderung des Plattenabstands a ändert sich der innere Widerstand Ri, was an der
Abnahme des Kurzschlußstromes erkenntlich ist. Die anliegende Spannung bleibt aber
unverändert. Man erkennt auch den Unterschied zwischen der Ladungsspeicherung in der
Batterie und im Plattenkondensator: Bei letzterem würde bei Verkleinerung des
A 0
Q
Plattenabstands die Spannung steigen: Wegen U 
und C 
gilt im
C
d
Qd
Plattenkondensator U 
.
A 0
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Anmerkung: Bei Batterien und Akkumulatoren erhöht sich der Innenwiderstand mit
abnehmendem Ladezustand und mit der Alterung. Ist der Innenwiderstand hoch, dann kann
zwar ohne Belastung die Nennspannung (UEMK) an den Klemmen anliegen, bei Belastung
bleibt aber nur die viel geringere Klemmenspannung (U K ) . Deshalb kann der Zustand einer
Batterie nur durch Messung der Spannung unter Last beurteilt werden!
6.2.5 Kirchhoffsche Regeln
Die Kirchhoffsche Regeln dienen zur Berechnung von Strömen und Spannungen in
Schaltungen, die aus mehreren miteinander verknüpften Widerständen und Spannungsquellen
bestehen. Man bezeichnet solche Schaltungen auch als Netzwerke, die aus Knoten, den
Verzweigungspunkten, und Maschen, den geschlossenen Schleifen, bestehen. Sie liefern, als
wichtige Anwendung, die Vorschrift zur Berechnung des Gesamtwiderstands von
hintereinander oder parallel geschalteter Widerstände
1. Kirchhoffsche Regel (Knotenregel)
Diese Regel formuliert die Kontinuitätsgleichung für Ströme. Es gilt analog zu Flüssigkeiten:
In Verzweigungspunkten (Knoten) ist die Summe aller ankommenden Ströme (Vorzeichen +)
gleich der Summe der abfließenden (Vorzeichen -):
I
i
0
i
2. Kirchhoffsche Regel (Maschenregel)
Diese Regel formuliert die Wegunabhängigkeit der Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten.
Sie besagt, daß in einer Schleife eines Netzwerks der Spannungsabfall über den beiden
möglichen Verbindungswegen zwischen zwei Punkten gleich ist und der Spannung zwischen
diesen Punkten entspricht. Wählt man in der Schleife positives Vorzeichen für Stromfluß in
Richtung Uhrzeigersinn (clockwise, cw) und negatives für die Gegenrichtung
(counterclockwise, ccw), dann gilt:
U i  0
j
In dieser allgemeinen Formulierung können auch Spannungsquellen in der Schleife liegen,
auch ihr Vorzeichen richtet sich nach Lage der Polung zum Umlaufsinn (Stromfluß technisch
von + nach -).
Gesamtwiderstand hintereinander-(in Reihe) geschalteter Widerstände
R
R1
I
R2
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U
U
Abbildung 9 Reihenschaltung von Widerständen
Im Stromkreis fließt der Strom I, nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz gilt:
R1 I  R2 I  U  0
Definiert man einen Gesamtwiderstand R (gestrichelt), über dem U abfällt,
U=RI
Dann folgt
R=R1+R2
Allgemein für hintereinander geschaltete Widerstände:
R   Ri
i
Gesamtwiderstand parallel geschalteter Widerstände
R
I1
A
R1
R2
I
I2
U
Abbildung 10 Parallel geschaltete Widerstände
Die Knotenregel liefert, Punkt A angewandt
I1+I2-I=0
B
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Nach der Maschenregel sind die Spannungen zwischen den Punkten A und B gleich, nämlich
U. Ersetzt man die Ströme nach dem Ohmschen Gesetz
I
U
R
So erhält man
U U U

 0
R1 R 2 R
Nach Division durch U folgt schließlich:
1
1
1


R R1 R 2
allgemein:
1
1

R
i Ri
Schaltung
Hintereinander (in Reihe)
Parallel
R  R1  R 2
1
1
1


R R1 R 2
Schema
Gesamtwiderstand
Tabelle 7 Zusammenfassung der Kirchoffschen Regeln für hintereinander- und
parallelgeschaltete Widerstände
Messung von Widerständen mit der Wheatstone-Brücke
In der Wheatstone-Brücke wird ein bekannter Widerstand solange variiert, bis ein
empfindliches Strommeßgerät anzeigt, daß zwischen den Punkten C und S der Brücke kein
Strom fließt: Der durch AC fließende Strom I 0 fließt also auch durch CB, ebenso fließt der
Strom I u durch AS auch durch SB.
Es ist das Besondere an Brückenschaltungen, daß das Meßinstrument lediglich auf „Null“
abgeglichen werden muß, es also keine hohe absolute Genauigkeit aufweisen muß. Zur
Messung eines unbekannten Widerstandes muß auch die Versorgungsspannung der Brücke
nicht bekannt sein.
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Versuch 7 Messung eines unbekannten Widerstands mit der Wheatstone-Brücke. Mit R=100
 wird durch Abgleich ein unbekannter Widerstand bestimmt.
I0
C
R
Rx
I
S
A
l1
l2
R1
R2
Iu
B
U
Abbildung 11 Wheatstone-Brücke
Formel
R  I 0  R1  I u
Anmerkung
Nach der Maschenregel sind die Spannungen
über zwei Maschen zu den gleichen Punkten
gleich:
Spannungen über den Punkten AC
R x  I 0  R2  I u
Spannungen über den Punkten BC.
R
R
 1
R x R2
l
R 
A
R l1

Rx l 2
l
Rx  2  R
l1
Folgt nach Division beider Gleichungen.
Der Widerstand eines Drahtes ist zu dessen
Länge proportional. (Spezifischer Widerstand
 , Querschnitt A)
Der unbekannte Widerstand R x ist eine
Funktion der Längen l1 , l 2 und des bekannten
Widerstands R
Tabelle 8 Berechnung eines unbekannten Widerstandes mit der Wheatestoneschen Brücke.