Der Umkreis eines Dreiecks - Mathematik

Universität Paderborn
Fakultät für Mathematik
Seminar: Geometrie
Dozent: Martin Epkenhans
Semester: WS 2005/06
Der Umkreis
eines
Dreiecks
Nadine Pickert
6183259
[email protected]
Carina Schmidt
6183672
[email protected]
Christina Trilling
6183342
[email protected]
___________________________________________________________________
7. Semester LS I/II
Schein: Leistungsnachweis
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Inhaltsverzeichnis
1. Existenz des Umkreises
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2. Winkel im Umkreis
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3. Euler-Gerade
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4. Feuerbach-Kreis
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Literaturverzeichnis
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Kapitel 4 - § 2 Der Umkreis eines Dreiecks
Sei a,b,c stets ein beliebiges Dreieck in der euklidischen Ebene E.
1. Existenz des Umkreises
Existenzsatz:
Es gibt genau einen Kreis durch die Punkte a, b, c, den so genannten Umkreis K=
Kabc.
(1) K=Kabc: [a,b,c] IxI² = [x,b,c] IaI² + [a,x,c] IbI² + [a,b,x] IcI²
Es ist
(2) m = mabc:= 1/(2[a,b,c]) ((IbI² - IcI²) a┴+ (IcI² - IaI²) b┴+ (IaI² - IbI²) c┴)
der Umkreismittelpunkt, welcher der Schnittunkt der Mittelsenkrechten ist.
Weiter ist
(3) ρ = ρabc:= Ia-bI Ib-cI Ic-aI/ (2 I[a,b,c]I)
der Umkreisradius.
Beweis:
1) Eindeutigkeit: Klar, da sich zwei verschiedene Kreise in höchstens zwei Punkten
schneiden.
2) Existenz:
Variante a) Betrachte K= {x є E I (1)}. Nach dem Drei-Punkte-Kriterium gilt: a, b, c є
K. Nach Division durch [a,b,c] ergibt sich nach Ausrechnen:
IxI² = 2<x,m> + α mit m є E, α є R.
Mit K≠ Ø und α = ρ² -ImI²
(IxI² - 2<x,m> = ρ² -ImI²) ist (1) die
allgemeine Gleichung eines Kreises.
q.e.d.
Variante b) Es gibt einen Kreis durch a,b,c  Es gibt m є E und ρ > 0 mit
Ia-mI = Ib-mI = Ic-mI = ρ.
Falls dies gilt => m є Ma,b:= {x є E : <x - ½(a+b), a-b> = 0}, Mb,c und
Mc,a. Nach § 11 Satz (4.2) schneiden sich die drei Mittelsenkrechten
aber im Punkt (2).
Hiernach gilt also бabc:= Ia-mI = Ib-mI = Ic-mI. Dies ist der Radius des
Kreises durch a,b,c.
Z.z.: бabc = ρabc.
Œ sei c = 0. (da sich weder бabc noch ρabc nach (3) bei einer Translation
ändern)
Nach (2) ergibt sich mit der Regel der Orthogonalität:
б²ab0 = 1/(4[a,b]²) I IbI² a – IaI² b I² = ((IaI IbI Ia-bI)/(2 I[a,b]I))² = ρ²ab0.
q.e.d.
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Vergleicht man (3) mit dem Flächeninhalt des Dreiecks
Δ:= ½ I[a,b,c]I = ½ Ib-aI Ic-aI sinα *, so erhält man das
Korollar:
ρ = Ia-bI/ (2 sinγ) = Ib-cI/ (2 sinα) = Ic-aI/ (2 sinβ).
Beweis:
ρ = ((Ia-bI Ib-cI Ic-aI)/2)1/ (I[a,b,c]I) = ((Ia-bI Ib-cI Ic-aI)/2) 1/ (IIb-aI Ic-aI sinαI) * =
Ib-cI/ (2 sinα)
q.e.d.
Bemerkung:
(i)
(ii)
Entsteht das Dreieck a’, b’, c’ aus dem Dreieck a, b, c durch die Translation
x → x+q, so gilt auch ma’b’c’ = mabc + q (der Mittelpunkt um q verschoben)
und ρa’b’c’ = ρabc (der Radius bleibt gleich). (nachrechnen mit (2) und (3))
Für 0 ≠ α є R gilt darüber hinaus:
m αa,αb,αc = α mabc
ρ αa,αb,αc = IαI ρabc.
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2. Winkel im Umkreis
Definition:
Sei K = {x є E : ‫׀‬x-m‫=׀‬ρ }, wähle zwei verschiedene Punkte a,b. Man kann sie auf
zwei prinzipiell verschiedene Weisen, nämlich durch c und c’ auf verschiedene Seiten
zu einem Dreieck mit dem Umkreis K ergänzen.
Man nennt γ=θ(a-c,b-c) , γ’=θ(a-c’,b-c’) , Peripheriewinkel bzw. Umfangswinkel.
Bemerkung:
Nach Korollar 1 gilt für γ und γ’:
sin γ = |a-b| / 2ρ = sin γ’.
Satz (Umfangswinkelsatz):
γ bleibt konstant, solange c auf einer Seite von avb gewählt wird.
Beweis:
Die Abbildung K/{a,b} |R, x  θ(a-x,b-x) ist stetig.
Satz:
Die Summe von γ und γ’ ist π.
Beweis:
O.E. wähle c, c’ als Schnittpunkte der Mittelsenkrechten Mab mit K. Nach dem Satz
von Thales gilt θ‘= θ(c-b,c’-b) = π/2. Mit dem Winkelsummensatz (Kapitel 3 §1 5.10)
folgt:
γ + γ’= π. (vgl. Abb. 62)
6
Definition:
Zur Sehne durch a und b wird der Zentrumswinkel ω durch ω:= θ(a-m,b-m) definiert.
(vgl. Abb. 63)
Ta
Proposition:
Der Zentrumswinkel ω ist genau das Doppelte des kleineren der beiden
Peripheriewinkel.
Beweis:
Wähle c als zweiten Schnittpunkt von avm mit K. Die Dreiecke a,b,m und b,m,c sind
gleichschenklig (mit Schenkel ρ). Nach dem Winkelsummensatz gilt ω=2 γ, denn ω+
x = π, 2 γ+x= π. Es gilt ω<= π => 2 γ<= π => γ<= π/2 => (mit γ+ γ’= π) γ<= γ’.
Definition:
Sei a,b є K, a≠b, sei Ta die Tangente an K durch a. Man nennt δ := Winkel zwischen
avb und Ta den Sehnen-Tangenten-Winkel. (vgl.Abb.63)
Proposition:
i) Sei α:= θ(b-a,m-a), so gilt: α + δ= π/2.
ii) Für den Zentrumswinkel gilt : ω= π-2 α=2 δ
Beweis:
i) avm ist senkrecht zu Ta
ii) Wegen dem Winkelsummensatz gilt ω= π-2 α. Mit δ= π/2- α (vgl. i)) folgt ω=2 δ.
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Korollar:
Der Sehnen-Tangenten-Winkel stimmt mit dem
Peripherienwinkel über der Sehne überein, also gilt δ= γ.
kleineren
der
beiden
Beweis:
Es gilt α+ δ = π/2
(wegen dem Winkelsummensatz gilt)
 2 α+2 δ = π
2 α+ ω = π
Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen folgt:
ω=2δ
Nach 2.6 gilt: ω=2 γ und somit folgt:
2γ=2δ
γ=δ
Bemerkung:
Aus dem Beweis geht hervor, dass der kleinere der beiden Peripheriewinkel auf dem
Bogen des Kreises liegt, der auf derselben Seite der Sehne wie der Mittelpunkt des
Kreises liegt.
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3. Die Euler-Gerade
Satz (Euler-Gleichung):
Mit s = ⅓ (a+b+c) Schwerpunkt,
* h = 1/ [a,b,c] ∙ ( <a,b-c> a┴ + <b,c-a> b┴ + <c,a-b> c┴) Höhenschnittpunkt und m
wie in (1.1) (2) Umkreismittelpunkt des Dreiecks a,b,c gilt:
3s = h + 2m,
die so genannte Euler-Gleichung.
Beweis:
o.E.: Sei m = 0. (denn: s, h und m vermehren sich bei einer Translation x → x+q
jeweils um q. Beide Seiten der Behauptung vermehren sich also um 3q, d.h die
Euler-Gleichung ist invariant gegenüber Translationen.)
Also IaI = IbI = IcI. (denn: Es gilt: Ia-mI = Ib-mI = Ic-mI)
Die Höhe durch c hat die Geradengleichung <x-c,a-b> = 0. (denn: Die Höhe durch c
steht senkrecht auf avb.)
Setze q := a+b+c = 3s.
Dann gilt: <q-c,a-b> = <a+b,a-b> = IaI² – IbI² = 0. (1. Bilde das Skalarprodukt von q-c
und a-b. 2. q = a+b+c 3. ausrechnen 4. IaI = IbI )
=> q = 3s liegt auf der Höhe durch c. (denn: <x-c,a-b> = <q-c,a-b> = 0; gleiche
Geradengleichung)
Analog liegt q dann auch auf den Höhen durch a und b.
=> h = q = 3s.
q.e.d.
Korollar:
Folgende Aussagen sind äquivalent:
(i)
Zwei der drei Punkte h,s,m sind gleich.
(ii)
Alle drei Punkte h,s,m sind gleich.
(iii)
Das Dreieck a,b,c ist gleichseitig.
Beweis:
(i) => (ii): Verwende die Euler Gleichung => Behauptung.
(z.B. h = s => 3s = s + 2m <=> 2s = 2m <=> s =m)
q.e.d.
(ii) => (iii): o.E.: Sei m = 0 = s, (denn: Begründung siehe Beweis 3.1)
also IaI = IbI = IcI und a+b+c = 3s = 0.
1. Bilde das Skalarprodukt mit a und b, also
IaI² + <a,b> + <a,c> = 0 und
<b,a> + IbI² + <b,c> = 0.
2. Subtrahiere die beiden Gleichungen voneinander.
IaI² + <a,b> + <a,c> – (<b,a> + IbI² + <b,c>) = 0
<a,c> – <b,c> = 0
(denn: IaI = IbI und <a,b> = <b,a>)
=>
<a,c> = <b,c>
Analog:<a,c> = <a,b>. (Bilde das Skalarprodukt mit b und c.)
=> <a,b> = <b,c> = <a,c>
Damit ergibt sich:
Ia-bI = Ib-cI = Ic-aI.
q.e.d.
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(denn: Skalarprodukte sind gleich => Winkel im Dreieck sind = 60°
=> Gleichseitigkeit)
(iii) => (i): o.E.: Sei m = 0, also IaI = IbI = IcI.
Aus der Gleichseitigkeit folgt wieder: <a,b> = <a,c> = <b,c>.
Mit * (siehe Satz 3.1) folgt: h = 0. (ausrechnen)
(z.B. <a,b-c> = <a,b> - <a,c> = 0)
q.e.d.
Satz von Euler:
In einem nicht-gleichseitigen Dreieck liegen Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt und
Umkreismittelpunkt auf einer Geraden, der so genannten Euler-Geraden.
Beweis:
Nach der Euler-Gleichung in 3.1 gilt: h = 3s – 2m = s + 2(s-m) є G(s, s – m) = svm.
q.e.d.
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4. Der Feuerbach-Kreis
Definition:
In einem Dreieck a, b, c є E sind die Seitenmitten durch ½ (a+b), ½ (b+c) und ½
(c+a) gegeben. Den Kreis durch diese Seitenmitten nennt man den Feuerbach-Kreis
des Dreiecks a, b, c.
Satz (Feuerbach-Gleichung):
Sei f der Mittelpunkt des Feuerbach-Kreises, dann gilt
3s = m + 2f,
die so genannte Feuerbach-Gleichung.
Beweis:
Œ sei s = 0. (wegen Translation x → x + q Vermehrung beider Seiten um 3q =>
Gleichung invariant gegenüber Translation)
Für die Seitenmitten gilt dann - ½ c (Seitenmitte von a, b), - ½ a, - ½ b. *
(a+b+c = 3s = 0  a+b = -c  ½ (a+b) = - ½ c, für die anderen Seitenmitten analog)
Da der Mittelpunkt eines Kreises durch drei Punkte a, b, c nach Kapitel 1, Bemerkung
(ii) homogen vom Grad 1 von diesen Punkten * abhängt, folgt f = - ½ m.
q.e.d.
Korollar:
Es sind äquivalent:
(i)
Zwei der Punkte s, m, f sind gleich.
(ii)
Alle drei Punkte s, m, f sind gleich.
(iii)
Das Dreieck a, b, c ist gleichseitig.
Beweis:
Folgt aus dem Vergleich mit Korollar (3.2).
Im Folgenden sei das Dreieck a, b, c nicht gleichseitig.
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Lemma:
Der Mittelpunkt f des Feuerbach-Kreises des Dreiecks a,b,c, liegt auf der EulerGeraden in der Mitte zwischen Umkreismittelpunkt m und Höhenschnittpunkt h, also:
f = ½ (m + h).
Beweis:
Die Behauptung folgt aus Gleichsetzen der Feuerbach- und Euler-Gleichung.
(3s = m + 2f = h + 2m = 3s
<=>
2f = h + m
<=>
f = ½ (h + m) )
Korollar:
Die Abstände der Punkte h,f,s,m verhalten sich wie 3:1:2.
Beweis:
Eliminiert man m aus der Feuerbach- und der Euler-Gleichung und schreibt die
Feuerbach-Gleichung um, so folgt:
f – h = 3 (s – f) und m – s = 2 (s – f).
(Feuerbach:
m = 3s – 2f
<=> m – s = 2s – 2f
<=> m – s = 2 (s – f)
Euler: m = ½ (3s – h)
Gleichsetzen: 3s – 2f = ½ (3s – h)
<=> 6s – 4f = 3s – h
<=> 3 (s – f) = f – h
)
Der Übergang zur Betragsschreibweise liefert die Behauptung.
q.e.d
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Lemma:
Der Radius ρ(f) des Feuerbach-Kreises ist gleich der Hälfte des Umkreisradius ρ.
Beweis:
Umschreiben der Feuerbach-Gleichung ergibt:
m – a = 2 ( ½ (b+c) – f), also
ρ =2∙
ρ(f).
(
m = 3s – 2f
<=>
m = a+b+c – 2f
<=> m – a = b+c – 2f
<=> m – a = 2 (½ (b+c) – f) )
q.e.d.
Lemma:
Die Mitten der Höhenabschnitte zwischen Höhenschnittpunkt h und zugehörigem
Eckpunkt (in Abb. 66 gekennzeichnet mit ●) liegen auf dem Feuerbach-Kreis.
Beweis:
Eliminiere m aus der Feuerbach- und Euler-Gleichung.
=> 4f = 3s + h.
(m = 3s – 2f
und
m = ½ (3s – h)
=> 3s – 2f = ½ (3s – h)
<=> 3s + h = 4f
)
Hieraus ergibt sich:
f – ½ (a+b) = ½ (h+c) – f.
(
4f = 3s + h
=>
4f = a+b+c + h
<=>
2f = ½ (a+b+c + h)
<=> f – ½ (a+b) = ½ (h+c) – f )
q.e.d.
Lemma:
Die Fußpunkte der drei Höhen (in Abb. 66 gekennzeichnet mit x) liegen auf dem
Feuerbach-Kreis.
Beweis:
Ziehe durch f und m je eine Parallele F bzw. M zur Höhe H (siehe Abb. 66). Der
Schnittpunkt p ist Mitte der Seite avb. Nach Lemma 4.4 und dem Strahlensatz gilt:
Ip – qI = Iq – rI.
Für die Dreiecke p,q,f und r,q,f folgt mit dem Satz von Pythagaros: If – pI = If – rI.
Mit p liegt dann auch r auf dem Feuerbach-Kreis. (mit r Höhenfußpunkt von der Höhe
durch c)
(Analog wird gezeigt, dass die anderen beiden Fußpunkte der Höhen auf dem
Feuerbach-Kreis liegen.)
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Satz von Feuerbach:
In einem Dreieck liegen
die Seitenmitten,
die Mitten der Höhenabschnitte (●) und
die Fußpunkte der Höhen (x)
auf einem Kreis ( 9-Punkte-Kreis).
Korollar:
Die Dreiecke a,b,c und a,b,h haben den gleichen Feuerbach-Kreis.
Beweis:
Beide Kreise haben den Punkt p = ½ (a+b) und die Mitten der beiden
Verbindungsgeraden von h nach a und nach b gemeinsam.
(denn: Zwei verschiedene Kreise schneiden sich in höchstens zwei Punkten. Aber:
drei gemeinsame Punkte => Eindeutigkeit.)
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Literaturverzeichnis
Koecher, M., Krieg, A. (2000). Ebene Geometrie. 2.Auflage. Springer-Verlag. Berlin,
Heidelberg, New York.