Station 1, Aufgabe 1

Station 1, Aufgabe 1
a) Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
b) Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern eine durch 4
teilbare Zahl bilden.
c) Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.
d) Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar
ist.
Station 1, Aufgabe 2
a)
7500
b)
2345
c)
2224
d) 31 860
2
X
X
X
3
X
4
X
X
X
X
5
X
X
6
X
9
10
X
X
X
X
X
100
X
Station 1, Aufgabe 3
Unter Anderem sind folgende Zahlen möglich:
40 005, 22 005, 11 115, 99 945, 94 005, 76 365, ...
Hauptsache, die Quersumme ist eine 9er-Zahl und die letzte Stelle ist eine 5.
Station 1, Aufgabe 4
7 235, denn 7 (210 + 25)
8 3 340, denn 8 (3200 + 140)
12 3510, denn 12 (3600 – 90)
Station 1, Aufgabe 5
Eine Zahl ist durch 200 teilbar, wenn ihre letzten 3 Stellen 000, 200,
400, 600 oder 800 lauten.
Station 1, Aufgabe 6
2  9  11 = 198. Auch richtig wären alle Vielfachen von 198, also z.B.
396, 594, 792, ..., 1 980 usw.
Station 1, Aufgabe 7
Die Quersumme von 1 465 832 ist 29. Demzufolge ist diese Zahl nicht
durch 3 teilbar. Eine Zahl, die durch 21 teilbar ist, müsste jedoch
durch 3 teilbar sein, denn wenn die der Division durch 21 kein Rest
bleibt, dann darf auch kein Rest bleiben, wenn man diese Zahl erst
durch 3 und dann durch 7 teilt.
Station 2, Aufgabe 1
V6 = {6, 12, 18, 24, ... }
V45 = {45, 90, 135, 180, ... }
V33 = {33, 66, 99, 132, ... }
Station 2, Aufgabe 2
Es fehlt ...
 bei Aufgabe e) die 7
 bei Aufgabe g) die 4
 bei Aufgabe j) die 8
Falsche Zahlen sind ...
 bei Aufgabe d) die 12
 bei Aufgabe j) die 3
 bei Aufgabe l) die 66
Station 2, Aufgabe 3
a)
T18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
T48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
T18 ∩ T48 = {1, 2, 3, 6}
 ggT(18, 48) = 6
b)
c)
T30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
T45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
T30 ∩ T45 = {1, 3, 5, 15}
 ggT(30, 45) = 15
T84 = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84}
T60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
T84 ∩ T60 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
 ggT(84, 60) = 12
Station 2, Aufgabe 4
a)
V6 = {6, 12, 18, 24, ... }
b)
V8 = {8, 16, 24, 32, ... }
V33 = {33, 66, 99, 132, ... }
V12 = {12, 24, 36, 48, ...}
 V6∩V33 = {66, 132, 198, 264, ...}
 V8∩V12 = {24, 48, 72, 96, ...}
c) V25 = {25, 50, 75, 100, ... }
d)
V60 = {60, 120, 180, 240, 300, ... }
 V25∩V60 = {300, 600, 900, 1200, ...}
V7 = {7, 14, 21, 28, ... }
V11 = {11, 22, 33, 44, ...}
 V7∩V11 = {77, 154, 231, 308, ...}
Station 2, Aufgabe 5
a) T25 = { 1, 5, 25 }
b) T21 = { 1, 3, 7, 21 }
c) T72 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
Station 2, Aufgabe 6
a) Wenn 65 an fünfter Stelle steht, muss es V65:5 , also V13 sein.
b) Wenn 112 an siebenter Stelle steht muss es V112:7 , also V16 sein.
Station 2, Aufgabe 7
a) (a=6 und b=8) oder (a=3 und b=8) oder (a=24 und b=2) oder ...
b) Das kgV muss 14 sein. Möglich wäre z.B. a=7 und b=2.
c) Da das kgV eine Primzahl ist, bleibt nur die Möglichkeit: a=23, b=1
(oder andersrum: a=1, b=23)
Station 3, Aufgabe 1
T32 = { 1, 2, 4, 8, 16, 32}
Da das Wort „Gruppen“ im Plural steht, kommt der Teiler 1 als
Gruppen-anzahl nicht in Frage. Weil ein Einzelschaf nicht als Gruppe
bezeichnet werden kann, scheidet die 1 auch nicht als Gruppengröße
aus.
(Wenn Du dies in der Arbeit nicht beachtet hättest, würde ich aber keine Punkte
abziehen.)
AWS:
Eva kann entweder zwei 16er-Gruppen, vier 8er-Gruppen,
acht 4er-Gruppen oder sechzehn 2er-Gruppen aufstellen.
Station 3, Aufgabe 2
kgV(8, 12) = 24.
AWS: Die Glocken schlagen nach 24s wieder gleichzeitig.
Station 3, Aufgabe 3
ggT(12, 18) = 6
AWS: Die größtmögliche Gruppenstärke beträgt 6 Schüler(innen).
Station 3, Aufgabe 4
kgV ( 12cm , 15cm ) = 60cm
AWS:
Wenn Rudi 5 und Bert 4 Kisten gestapelt haben, sind beide
Türme erstmals gleich hoch.
Station 3, Aufgabe 5
V52 = { 52, 104, 166, 208, 260, 312, ..., 468, 520, 572, 624, 676, 728, ... }
AWS:
Die Wand könnte 5,20m, 5,72m, 6,24m oder 6,76m breit sein.
Station 3, Aufgabe 6
ggT(48dm, 56dm) = 8dm
AWS: a) Jeder Sprayer erhält einen 80cm breiten Wand-Abschnitt.
b) Es können sich 26 Sprayer austoben.
(2 Wände mit 6x80cm und 2 Wände mit 7x80cm)
Station 3, Aufgabe 7
ggT(120, 96) = 24
AWS: Die Platten dürften eine Kantenlänge von 2,40m haben.
Station 3, Aufgabe 8
a)
ggT(600, 500, 350) = 50
AWS:
Er kann maximal 50 Tüten zusammenstellen.
b)
AWS:
In den 50 Tüten befänden sich dann jeweils 12 rote, 10
blaue und 7 weiße Bonbons.
c)
Der Wert berechnet sich am einfachsten, indem man den
Gesamtwert der Bonbons (100€) auf die 50 Tüten verteilt.
AWS:
Eine der Misch-Tüten wird 2€ kosten.
Station 4, Aufgabe 1
Die Zahlen 1, 4, 6, 21, 25, 27, 117 und 143 ( = 1113) sind keine
Primzahlen.
Station 4, Aufgabe 2
a) 50 = 2  5  5
b) 18 = 2  3  3
c) 36 = 2  2  3  3
d) 76 = 2  2  19
e) 96 = 2  2  2  2  2  3
Station 4, Aufgabe 3
a) 22 = 2  2 = 4
b) 33  11 = 27  11 = 297
c) 22  52  7 = 4  25  7 = 700
Station 4, Aufgabe 4
a) 19 = 19
b) 333 = 3²  37
d) 162 = 2  34
e) 3 400 = 2³  5²  17
c) 132 = 2²  3  11
Station 4, Aufgabe 5
a) 29 = 512
b) 32  52 = 9  25 = 225
Station 4, Aufgabe 6
Es bieten sich alle Primfaktoren (also 2, 3, 5, 13 und 17) an. Zudem sind
alle Produkte aus 2 oder mehr Primfaktoren Teiler dieser Zahl. Man
könnte also z.B. noch 6, 10, 15, 26, 34, 39 usw. aufzählen, aber auch 30
(=2  3  5) und alle anderen Kombinationen dieser Primfaktoren.
Station 4, Aufgabe 7
a) 23²7³1113² ist durch 77 teilbar, da sie die Primfaktoren 7 und 11 enthält.
b) 23²7³1113² ist nicht durch 8 teilbar, da sie den Primfaktor 2 nur einmal
und nicht dreimal enthält.
c) 23²7³1113² ist durch 18 teilbar, da sie die Primfaktoren 2, 3 und 3 enthält.
Station 4, Aufgabe 8
2  3²  7³  11  13²
>
2²  3³  7²  11  13²
Grund: Teilt man beide Zahlen nacheinander durch all die
Primfaktoren, die zu beiden Zahlen gehören (also durch 13², durch 11,
durch 7², durch 3² und durch 2), so bleibt bei der linken Zahl nur eine
7 stehen und bei der rechten Zahl eine 2 und eine 3.
Nun sieht man: 7 > 2  3 .
Station 4, Aufgabe 9
Will man erst 211 und dann 59 rechnen, wird man (wenn überhaupt)
erst nach langer Zeit zum Ergebnis kommen.
Man kann aber 2 Tricks namens „Kommutativgesetz und Assoziativgesetz der Multiplikation“ anwenden, welche besagen, dass in einem
Pro-dukt wie 22222222222555555555 die Faktoren
beliebig vertauscht und Klammern willkürlich gesetzt werden dürfen.
Man kann also schreiben:
(25)(25)(25)(25)(25)(25)(25)(25)(25)22
= 10  10  10  10  10  10  10  10  10  22
= 1 000 000 000  4
= 4 Mrd
Station 5, Aufgabe 1
Hier gibt keine einheitliche Lösung. Auf jeden Fall müssen die drei
Brüche den Nenner 50 haben. Wurden z.B. bei den 50 Würfen 22
gerade Zahlen gewürfelt, so lautet der Bruch bei Aufgabe b)
Station 5, Aufgabe 2
3
a)
8
3
b)
10
4
c)
8
22
50
.
Station 5, Aufgabe 3
Station 5, Aufgabe 4
240 :24
 10

312
13
Denn es wurden 240 + 72 = 312 Fahrer kontrolliert.
Station 5, Aufgabe 5
Hier kann ich nur Beispiele für die richtige Lösung angeben.
a)
b)
c)
Station 5, Aufgabe 6
76 :4 19

 19%
weißer Anteil:
400 100
100 :4 25

 25%
pinkfarbener Anteil:
400 100
224 :4 56

 56%
blauer Anteil:
400 100
Station 5, Aufgabe 7
Das kleine Stück nach dem ersten Schnitt entspricht ⅓ der Pizza,
denn nur so kann es halb so groß wie das verbleibende Stück ( ⅔ ) sein.
Wenn man das Drittel nochmals in vier Teile zerlegt, muss man (um
identisch große Stückchen zu erhalten) das doppelt so große Gegenstück in 8 Teile zerlegen. Dadurch kommt man auf 12 gleiche Teile.
AWS: Eins so erzeugtes Stück entspricht
1
der Pizza.
12
Station 5, Aufgabe 8
Feld
Bruch
1
2
3
4
5
6
7
1
4
1
4
1
16
1
8
1
16
1
8
1
8
Station 6, Aufgabe 1
a)
3
von 560m = 240m
7
c) 20% von 140min =
Rechenweg:
b)
13
von 3 600kg = 1 170 kg
40
20
2
von 140min =
von 140min = 28 min
10
100
Station 6, Aufgabe 2
2
2
h=
von 60min = 40min
3
3
3
3
b)
g=
von 1000mg = 30mg
100
100
1
9
c) 2 Jahre =
von 12 Monaten = 27 Monate
4
4
17
17
d)
km =
von 1000m = 340m
50
50
11
11
e)
€=
von 100 Cent = 44 Cent
25
25
a)
Station 6, Aufgabe 3
Das Ganze sind 3000g Pilze, der Wasser-Anteil betrug offenbar
2400 :30
 80

 80%.
2400g. Das ist der Bruchteil
3000 100
AWS: Der Wasseranteil der Pilze betrug 80%
Station 6, Aufgabe 4
4
von 5600 = 224
100
4% von 5600 =
AWS: Man muss mit etwa 224 Kinder-Unfällen rechnen.
Station 6, Aufgabe 5
Lösungsweg:
a)
7
von 144m sind 84m
12
b)
12
von 3000$ sind 360$
100
Station 6, Aufgabe 6
Übrig sind dann noch
3
von 136€ = 51€.
8
Station 6, Aufgabe 7
Frage: „Wie viele Autos fahren pro Tag durch den Ort?“
Lösung:
AWS:
6
von
25
...............
= 246
Täglich fahren 1025 Autos durch Herrn Semmelmanns Dorf.
Station 6, Aufgabe 8
3
von 20s = 15s
4
gekürzt 1
25
b) 25% von 12kg =
von 12kg 
von 12kg = 3kg
4
100
gekürzt
1
4
c) 4% von 1,25km =
von 1 250m 
von 1 250m = 50m
25
100
a)
9
von 20s
12
gekürzt

Station 6, Aufgabe 9
Die Lösung ist offensichtlich keine eindeutige Zahl, sondern ein
Bereich, der zwischen 2 Zahlen liegt.
1
von ................. = 8m  Gesamthöhe = 64m
8
1
untere Grenze:
von ................. = 8m  Gesamthöhe = 40m
5
obere Grenze:
AWS: Der gesamte Eisberg ist zwischen 40m und 64m hoch.
Station 6, Aufgabe 10
Knifflig an dieser Aufgabe ist, dass die 6 Tage Sonnentage angibt,
3
3
für den Regen steht. Wenn es an
der Tage
5
5
2
regnete, war es also an
der Tage sonnig.
5
2
Die Rechnung lautet demzufolge:
von ................. = 6 Tage.
5
aber der Bruch
AWS: Der Urlaub dauerte 15 Tage.
Bruch der
Sonnentage
Anzahl der
Sonnentage
Station 6, Aufgabe 11
1
der Zeitung in 7 gleiche Teile zerlegt, so entspricht ei10
1
5
1
nes dieser Teile
der Gesamtzeitung.
von
sind demzufolge
10
70
7
5
1
7
. Der Sportteil umfasste aber nicht nur
, sondern
der
10
10
70
Wenn man
Zeitung. Das heißt, dass der Fußball 7mal so groß, wie der berechnete
5
sein muss. Der Sportteil umfasst also
70
5 5 5 5 5 5 5 35 :35
1
+ + + + + + =  der Gesamtzeitung.
70 70 70 70 70 70 70 70 2
Bruch
Aber nur
2
dieser Zeitungs-Hälfte befassen sich mit der 1.
5
Bundesliga. Zerlegt man diese Hälfte also in 5 gleiche Teile,
so befassen sich 2 davon mit der ersten Bundesliga. Das sind
2 :2 1
 der gesamten Zeitung.
offensichtlich dann
10 5
(Übrigens: Wenn wir dann die Multiplikation und Division von Brüchen kennen gelernt haben, ist diese Aufgabe ziemlich einfach.)
Station 7, Aufgabe 1
a)
4 20

7 35
b)
6 36

7 42
c)
16 4

12 3
d)
42 6

35 5
e)
1
500

2 1000
Station 7, Aufgabe 2
24 8: 3

16 2
a) 120 :40
 3

80
2
60 :20
3

100 5
d) 15 :5 3

50 10
27 :9 3

36 4
b) 16 :16
 1

32 2
150 :150
1

300
2
e) 18 :6 3

30 5
40 :40
1

200 5
c) 30 :30
 1

60 2
60 :20
 3
 3
20 1
f) 125 :125
1

1000
8
Station 7, Aufgabe 3
45 :5 9

a) 45% =
100 20
60 :20
 3

b) 60% =
100 5
76 :4 19

c) 76% =
100 25
50 :50
 1

d) 50% =
100 2
75 :25
 3

e) 75% =
100 4
170 :10
 17

f) 170% =
100 10
g) 63% =
63
(geht nicht zu kürzen)
100
Station 7, Aufgabe 4
14
6
3
= 1 oder besser 1
8
8
4
9
134
c)
=5
25
25
21 153
e) 3
=
44
44
a)
54
6
1
=2
oder besser 2
24
24
4
2 32
d) 6 =
5
5
12 892
446
f) 44
=
oder besser
20
20
10
b)
Station 7, Aufgabe 5
a)
114 :38
 3

152 4
b)
176 :88
 2

264 3
c)
198 :22
 9

242 11
d)
156 :39
 4

195 5
Station 7, Aufgabe 6
a)
143 11

91
7
b)
8 :4 2 9 18
 
12 3 27
c) Es gibt 5 Möglichkeiten, da die 99 sechs Teiler hat, man aber mit 1 nicht
42 :3 14
126 :9 14
154 :11
462 :33
1386 :99
 14
 14
 14





kürzen kann.
oder
oder
oder
oder
99 33
99 11
99 9
99
3
99
1
Station 7, Aufgabe 7
14 4 56

a)
= 56%
25 100
13 5 65

b)
= 65%
20 100
3 10
 30

c)
= 30%
10 100
2 32 20
21 :3 7 20
 640
 140
 30
24 :8 3 10





d)6 =
= 640% e)
= 140% f)
= 30%
100
100
15 5 100
5 5
80 10
Station 7, Aufgabe 8
a)
254
84
=2
85
85
d)
b)
65
17
=2
24
24
2351
19
= 44
53
53
c)
e)
346
23
=12
27
27
721
17
= 16
44
44
Station 7, Aufgabe 9
So einen Bruch erhält man, indem man einen nicht weiter kürzbaren
Bruch wie z.B.
2
8
oder
mit einer Zahl erweitert, die genau 6 Teiler
3
11
hat („1“ und 5 andere Zahlen). Das sind z.B. 12, 18, 20, 30, 50, ...
(Zahlen, die 3 Primfaktoren haben, von denen einer doppelt vorkommt – z.B. 12 = 2  2  3)
1 12
 12
Der einfachste mit genau 5 Zahlen kürzbare Bruch ist demnach 
.
2 24
Station 7, Aufgabe 10
So einen Bruch erhält man, indem man einen nicht weiter kürzbaren
Bruch wie z.B.
1
2
oder
mit einer Zahl erweitert, die genau 5 Teiler
3
15
hat. Das sind z.B. 16, 81, 625, 1296, ...
(Zahlen, die man als Quadrat einer Quadratzahl berechnen kann, z.B. 81=9²=(3²)² )
1 16
 16
Der einfachste mit genau 4 Zahlen kürzbare Bruch ist demnach 
.
2 32
Station 8, Aufgabe 1
3 :3 1

12 4
a=
b=
8 :4 2

12 3
22 :2 11
5
 1
f=
12 6
6
c=
10 :2 5

12 6
16 :4 4
1
 1
12 3
3
d=
27 :3 9
1
 2
g=
12 4
4
31
7
2
h=
12
12
e=
19
7
1
12
12
34 :2 17
5

2
i=
12 6
6
Station 8, Aufgabe 2
3 1
8 2
3
4
8
8
7
4
3 13
2 8
2
x x x x x xx
1
0
1
4
x
2
5
8
x
2
3
Station 8, Aufgabe 3
1
6
19
12
3
4
x
x
x
0
1
11
6
6 50
3 24
x xx
2
Station 8, Aufgabe 4
2
16
x
0
1
2
x
22 3
32 4
11
8
xx
x
1
7
4
x
Station 8, Aufgabe 5
20 :4 5

a=
16 4
8 :8 1

b=
16 2
26 :2 13

c=
16 8
10 :2 5

d=
16 8
e=
1
16
f=
17
16
Station 8, Aufgabe 6
1
2
x
x
1
2 25
x
2
x
x
|
2 25
x
Station 8, Aufgabe 7
1
=
2
7
5
x
roter Punkt
x
= blauer Punkt
x
x
x
x
Station 8, Aufgabe 8
Die Anzahl der Striche zwischen 0 und 1 muss ein gemeinsames
Vielfaches der Nenner aller 4 einzutragenden Brüche sein. Günstig ist
natürlich das kgV(5, 2, 8, 4 ) = 40.